log de numero negativo

5/22/2018 Log de Numero Negativo

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NMEROS NEGATIVOS TM LOGARITMOS?1

DO THE NEGATIVE NUMBERS HAVE LOGARITHM?

Flvia Regina Oliveira do Prado2Jos Pedro Pereira de Carvalho 3

RESUMO

Este estudo foi realizado com o propsito de pesquisar uma das in-meras contribuies que o notvel Leonard Euler deixou para a matemtica.Ao se falar em logaritmos, natural definir sua existncia somente paranmeros positivos. As primeiras dvidas de um nmero negativo possuirlogaritmos surgiram no sculo XVIII, e foram discutidas, inicialmente, pe-

los matemticos Jean Bernoulli e Leibniz sem xito algum. Euler, usando osconhecimentos da trigonometria, nmeros complexos e mantendo as princi-

pais propriedades dos logaritmos e exponenciais, criou uma teoria esclare-cendo definitivamente a questo. Euler mostrou que um nico nmero realnegativo tem uma infinidade de logaritmos e nenhum deles real.

Palavras-chave: logaritmo, srie de Taylor, funo de Euler.

ABSTRACT

This study was made with the purpose of reserching one the countlesscontributions that great Leonard Euler left for mathematics. When mentioninglogarithms, it is natural to define its existence only to the positive numbers.The fisrt doubts of a negative number having a logarithm came in the XVIIIcentury, discussed at first, by the mathematicians Jean Bernoulli and Leibniz,without any success. Euler, using trigonometry knowledge, complex numbersand keeping the main proprieties of logarithms and exponentials, created atheory explaining definitely the point. Euler showed that one negative realnumber has infinity of logarithms and none of them is real.

Key words:logarithm, series of Taylor, function of Euler

INTRODUO

Quando se fala em logaritmos, natural definir-se o seu campo deexistncia somente para nmeros reais positivos. Surge uma pergunta: Exis-te logaritmo de um nmero real negativo?

1 Trabalho Final de Graduao.2Curso de Matemtica - Licenciatura Plena. UNIFRA.3Orientador.

99Disciplinarum Scientia.Srie: Cincias Exatas, S. Maria, v.2, n.1, p.99-105, 2001


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Foi baseado na trigonometria, nmeros complexos e mantendo as prin-cipais propriedades dos logaritmos e exponenciais, que o notvel matemti-co Leonard Euler criou uma teoria para provar a existncia de logaritmos

para nmeros reais negativos. Euler mostrou que um nico nmero real ne-gativo tem uma infinidade de logaritmos e nenhum deles real. Para ateoria dos logaritmos Euler contribuiu no s com a definio em termos deexpoentes que usamos hoje, mas com a idia correta quanto aos logaritmosde nmeros negativos (BOYER, 1974, p.329).

O propsito que se tem ento, no presente trabalho, pesquisar maisuma das maravilhosas contribuies que Euler deixou para a Matemtica.

NMEROS NEGATIVOS TM LOGARITMO?

Os logaritmos surgiram no incio do sculo XVII com a finalidade defacilitar as operaes aritmticas, consideradas muito complexas. SegundoLIMA (1991), Jobst Brgi (1552-1632), um suo fabricante de instrumen-tos astronmicos e inventor, foi o matemtico que teve as primeiras idiassobre logaritmos. Mas a enunciao da descoberta foi pelo escocs, telogoe matemtico John Napier (1550-1617), o qual obteve maior influncia nodesenvolvimento dos logaritmos, sendo considerado por muitos autores, onico matemtico a descobrir os logaritmos.

Ficou sugerido, at agora, que a inveno dos logaritmosfoi obra de um s homem, mas tal impresso no devepermanecer. Napier foi de fato o primeiro a publicaruma obra sobre logaritmos, mas idias muito semelhan-tes foram desenvolvidas independentemente na Suapor Jobst Brgi mais ou menos ao mesmo tempo. Naverdade, possvel que a idia de logaritmo tenha ocor-rido a Brgi em 1588, o que seria meia dzia de anos

antes de Napier comear a trabalhar na mesma direo.Porm Brgi s publicou seus resultados em 1620, meiadzia de anos depois de Napier publicar sua Descriptio(BOYER, 1974, p.230).

Na primeira metade do sculo XVIII, surgiram os primeirosquestionamentos sobre logaritmos de um nmero negativo. Os matemticosJean Bernoulli e Leibniz tentaram criar uma teoria que explicasse essa ques-to, porm, ambos ficaram sem uma definio concreta.

Para BOYER (1974), o resultado da teoria dos logaritmos de nme-ros negativos deveria ter sido claro para Bernoulli e outros matemticos,

100 Disciplinarum Scientia.Srie: Cincias Exatas, S. Maria, v.2, n.1, p.99-105, 2001


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pois j tinham conhecimento da frmula ei= cos()+ i sen() mesmoantes de Euler enunci-la. Porm, em 1749, Leonard Euler formulou umateoria provando a existncia de logaritmo para nmeros reais negativos.

Leibniz era de opinio que um nmero negativo no tinha logaritmoreal porque toda potncia de expoente real de um nmero positivo a, umnmero positivo; isto , ax= yonde a > 0 exIR. Bernoulli afirmava quenmeros negativos tm logaritmo real, e ainda, que log(-x)= log x (Lima,1991).

*A funo exponencialf(x)= ax definida por f: IRIR+

,tem sentidoapenas para a > 0 e a 1, isso mostra coerncia na afirmao de Leibniz.Mas Leibniz olhava o logaritmo dexna base acomo o expoentey, ou seja,log

ax = y, o que s compatvel para logaritmos de nmeros positivos. Se a

funo exponencial assume somente valores positivos e, como ela a funoinversa da funo logartmica, no teria sentido a existncia de logaritmoreal para um nmero negativo. Isto tambm estava em contradio com aexpectativa de Bernoulli.

*Em uma funo logartmica definida porg(y)=log y, ondeg: IR+IR,

sendoga inversa da funo exponencial, ento:x=log

ay ax=y, assim, alogay=y, por definio.

Para que a afirmativa de Bernoulli estivesse correta, era necessrioobter uma funo contnua ou montona, de forma que (a)=1 e (x.y)= (x)+ (y), conforme as propriedades dos logaritmos reais. Tomando-se (x)=log x, comx >0, e (y)=0, obtm-se das propriedades dos logaritmosreais (x.0)= (x)+ (0), isto , (0)= (x)+ (0). Logo, (x)=0.Isto contradiz a condio (a)=1.

Da, (y) 0 ser definida por :IR*IR,e (x)= log x. Comolog(1)= 0, ento 0= log 1= (1)= ((-1)(-1))= (-1) + (-1)= 2 (-1),logo, (1)=0.

Assim, (-y)= ((-1)(y))= (-1)+ (y)= (y)= log y= log-y,V

y

,isto evidencia a teoria de Bernoulli, mas a igualdade alogax

= x, nomais valeria, passaria a a logax =x.Mas na verdade, nem Leibniz nem Bernoulli obtiveram xito em suas

teorias, pois nada concluram, e ainda, elas pareciam um tanto antagnicas.Euler ento partiu dos pontos de vista de Leibniz e Bernoulli e escla-

receu definitivamente a questo com seu trabalho: Da controvrsia entre ossenhores Leibniz e Bernoulli sobre os logaritmos dos nmeros negativos eimaginrios (LIMA, 1991).

Para provar a existncia de logaritmos de nmeros negativos, Euler

partiu do princpio de que o nmero e base para todos os logaritmos eexponenciais, a fim de facilitar a demonstrao da teoria.



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O nmero e, segundo GUIDORIZZI (1994), definido como olim (1+1)

n, ou seja, uma seqncia crescente de termo geral a

npara a qual,

n n

Vn 1, existe n >0 tal que an < n.Conforme GUIDORIZZI (1994), peloteorema de Taylor, a srie: 1 + x +x

2

+ x3

+ x4

+ ... + xn

+ ... converge para 2! 3! 4! n!

ex se for tomado um n suficientemente grande.Euler tambm definiu a potncia ezem srie de Taylor de maneira

anloga ao nmero e, ou seja: ez= 1 +z +z2+z

3+z

4+ . . . +z

n+ ..., em que

2! 3! 4! n!

z= x+iy.Assim escreveu cos z=

1- z2+z

4- z

6+ ... + (-1)

nz

2n

+... 2! 4! 6! 2n!

esen z =z -z3+z

5-z

7+ ... +(-1)

n-1z

2n-1

+..., em quez = x + yi.3! 5! 7! (2n-1)!

Porm, deve-se observar que paray= 0, a exponencial se reduz a ez=ex, massex=0, entozseria um nmero imaginrio puro, poisz=iy.

Da, a srie de potncia para o cos z esen zpassaria a:

eiy= 1 - y2 + y4 - y6 + ... + i y - y3 + y5 - y7 + ... 2! 4! 6! 3! 5! 7!

Quandox=0 emz=x+iy, tem-se eiy=cos y+i sen y. Sabe-se que parax0, ez=ex(cos y+i sen y) onde ex=zey=arg zque medido em radianos.De fato,ez=ex+iy=exeiy=ex(cosy+i sen y) ez=x+iy=z(cos y+i sen y) com

z= (x2+y2) = (excos y)2+(exsen y)2 = ex.

Geometricamente, ez

o ponto cuja distncia at a origem representaex , e o ngulo formado entre o segmento e o eixo das abscissas o argumen-to dez, Figura 1.

Figura 1



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Euler definiu o logaritmo de um nmero complexo w 0 como umnmero complexoztal que ez= w, (LIMA, 1991 p. 184). wem funo dez uma funo de varivel complexaz, isto , w=f(z)=ez, em quezpertence

ao conjunto S, denominado conjunto das vizinhanas deze passa a ser odomnio de definio da funo w, Fgura 2.

S

Figura 2

Seja S1(1)de comprimento igual a 2e ta medida de um arco em S

1,

partindo do ponto U=(1,0) no sentido anti-horrio. Para se descrever um arcode comprimento t>2ou seja t >2 ou t < -2, necessrio que se tenhamais de uma volta em torno de S

1.Segundo LIMA (1991), isto poder ser mos-

trado pela funo de Euler, que definida porE:IRS1na qual para cada valor

real de t, a funoEfaz corresponder um pontoE(t) em S1, Figura 3.

Figura 3

(1) S1

o conjunto dos pontos do plano cuja distncia at a origem igual a 1. Assim, o pontoz= (x, y)pertence a S

1, se e somente se,x2 +y2 = 1



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A extremidade final do arco dada porE(t) o ponto de interseco doeixo das abscissasxcom o eixo das ordenadasy, isto ,E(t)=(x,y). Sabe-se

que cos t=xesen t=y, pela funo de Euler tem-seE(t)=(cos t, sen t), tIR.Tomando-se arbitrariamente t=2k, onde kZ, tem-seE(2k)=U, emque para:

k= -1,E(-2)=(1,0);k=0,E(0)=(1,0);k=1,E(2)=(1,0);Mas E(t) uma funo peridica. De fato E(t+2k)=E(t), tIR,

assim:E(t+2k)=(cos (t+2k), sen (t+2k))=

=(cos t cos 2k- sen t sen 2k, sen t cos 2k+sen 2kcos t)==(cos t. cos2k, sen t. cos 2k)==(cos t, sen t)= E(t).

As funes cos tesen tso funes peridicas de perodo 2. Pelafuno de Euler so consideradas funes da varivel real t. Portanto, paratodo treal, tem-se cos t=cos (t+2) esen t=sen (t+2) e para qualquer kinteiro tem-se cos t=cos (t+2k) esen t=sen (t+2k), pois, para um mlti-

plo inteiro de 2, tem-se outro perodo para estas funes.

Para Lima (1991), a funo de Euler,E: IRS1estabelece uma cone-xo entre logaritmo, nmeros complexos e trigonometria, efetuando umasntese entre elas.

Como w uma funo de varivel complexa z, ento sew=r(cos+i.sen)=r.eionde log w=z,w0 tem-se w=ez.

Mas eln r=re w=eln r(cos +i.sen )=ez, onde w=eln r.ei=eln r+i=ez,portantoz=ln r+i.

Como r=we log w=log r+iento log w= log w+i(+2k), kZ (1).

Isto mostra que o logaritmo de um nmero complexo tem uma infini-dade de valores medida que se toma um kinteiro qualquer. E ainda, todosos logaritmos de um mesmo nmero so imaginrios, com exceo se o n-mero for positivo. Mas os nmeros negativos ou imaginrios possuemlogaritmos imaginrios.

Pode-se escrever um nmeroxreal e positivo qualquer da seguinte forma:-x=x(cos +i.sen )=xeie para todo kinteiro fica -x=x[cos(+2k)+i.sen(+2k)]= xei(1+2k) , fazendo-se w= -xem (1), log(-x)=log x+log e i(1+2k)

= log x+ i(1+2k) (2).Qualquer que seja kinteiro, nunca se ter um nmero real para

log (-x). Por exemplo, fazendo-se em (2) x = 1, tem-se:



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log(-1)=log1+ i(1+2k) (3)Fazendo-se em (3) -2k2, com kZ, tem-se os seguintes logaritmos.k=1,log (-1)=log1+ i(1+2)=3 i;

k=-1, log(-1)=log1+ i(1-2)=- i;k=2,log (-1)=log1+ i(1+4)=5 i;k=-2,log (-1)=log1+ i(1-4)=-3 i;Por outro lado, sexainda um nmero real positivo e, ey=x, tem-se

tambm ey+2ki=x, kZ, assim, todos os nmeros da formay+2ki, kZso logaritmos dex. Apenask= 0 fornece um logaritmo real, os demais sotodos complexos.

Euler observou que, se o smbolo log w for interpretado como o con-junto de todos os nmeros complexosz, tais que ez=w, continua vlida a

propriedade do logaritmo do produto, ou seja, um nmero complexo logaritmo de (w z), se e somente se, log(w z)=log w+log z, como pretendiaBernoulli.

A autenticidade de que, para cada nmero existe uma infinidade delogaritmos, como Euler pretendia, pode ser verificada observando-se que anica funo contnua :C*Ctal que (w z)= (w)+ (z) e (e)=1, afuno definida por (w)=logw.

Isto significa que, ao admitir-se uma infinidade de logaritmos paracada nmero, manteve-se a validade da regra elog w=w, como queria Leibniz.

O que no ocorreria se para cada nmero houvesse apenas um logaritmo.CONCLUSO

Baseado neste estudo, pode-se concluir que, para cada nmero realnegativo, existe uma infinidade de logaritmos complexos ou imaginrios.

Nenhum deles real. Portanto, s tem sentido falar-se em logaritmo de umnmero real negativo se o seu campo de existncia for o conjunto dos nme-ros complexos.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

BOYER, Carl B. 1974. Histria da matemtica. 3.ed. So Paulo: Edgar Blcher.

CHURCHILL, Ruel V. 1975. Variveis complexas e suas aplicaes.2.ed.So Paulo: McGraw-Hill.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. 1994. Um curso de clculo.2.ed. So Paulo:LTC editora.

LIMA, Elon Lages. 1991. Meu professor de matemtica e outras histrias.Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de matemtica.

_____.1991.Logaritmos.Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica.


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