loesungshinweise uebung 5 - wiwi.uni-muenster.de · jedes unternehmen geht jetzt von einem einmal...
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Allgemeines
Einige Hinweise:
Die nächste Übung ist vom 12.1. auf den 19.1.2012 verlegt worden.
Die alten Klausuren findet Ihr unter folgendem Link:
http://www.wiwi.uni‐muenster.de/vwt/studieren/pruefungen_marktpreis.htm
Wiederholung / Einführung
homogener Markt?
Bedeutet, dass der Preis gleich sein muss.
Nash?
Jeder nimmt die Entscheidungsgröße des Anderen als gegeben an und entscheidet
dann über seine jeweils optimale Antwort.
Von‐Stackelberg?
Ein Unternehmen sieht nicht den Aktionsparameter des anderen Unternehmens als
gegeben an, sondern berücksichtigt die optimale Strategie des anderen
Unternehmens.
Cournot?
Als Cournot‐Modelle werden Modelle bezeichnet, die Mengenstrategien betrachten.
Bertrand?
Als Bertrand‐Modelle werden Modelle bezeichnet, die Preisstrategien betrachten.
2
Vergleich Nash vs. v. Stackelberg:
Nash‐Lösung
v. Stackelberg (jeweils Duopol)
Preis )(
3
1cac > )(
4
1cac
Menge 1
b
ca
3
1 < b
ca
2
1
Menge 2
b
ca
3
1 > b
ca
4
1
Menge G
b
ca 3
2 < b
ca
4
3
Die v.‐Stackelberg‐Lösung führt zu einem Wohlfahrtsgewinn gegenüber der Nash‐
Lösung, da eine größere Menge bei niedrigerem Preis angeboten wird.
Welche Lösung würde sich ergeben, wenn U2 Stackelbergführer wäre?
KK
N
S
R1
R2
1 2G G 0= =
U= Stackelbergführer1
N = NashlösungU = Stackelbergfolger2
M = MonopollösungK = vollkommene Konkurrenz
a - c
a - c
a - ca - c a - c
a - cb
b
bb b
b
1
1 1
1
3
3 2
4
x2
x1
3
Aufgabe 12: (Übung 4)
Vergleichen Sie für einen homogenen Markt (mit gegebenen linearen
Nachfragefunktionen, identischen Grenzkosten usw.) die Marktergebnisse für:
vollkommene Konkurrenz
Nash‐Cournot‐Duopol
Stackelberg‐Lösung‐Duopol
Monopol
(algebraische Herleitung + Grafik für Vergleich)
Menge y* Preis p*
vollkommene Konkurrenz b
ca c = 1 c + 0 a
Duopol Stackelberg b
ca
4
3 )(
4
1cac
Duopol Nash‐Cournot b
ca
3
2 )(
3
1cac
Monopol b
ca
2
1 )(
2
1cac
4
Vergleich
Beispielrechnung bzw. Zeichnung mit
p = 10 – x und c = 1
a = 10, b = 1 und c = 1
Ergebnisse berechnen!
Einzeichnen der jeweiligen Menge von U1 und U2 auch hier möglich! Zeigen!
Mengen‐Preis‐Diagramm Vergleich von Wohlfahrtseffekten
Mengen‐Mengen‐DiagrammVergleich der Unternehmen
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Aufgabe 13:
Untersuchen Sie die Bertrand‐Lösung im homogenen Duopol ohne
Kapazitätsbegrenzung.
Bertrand-Lösung im homogenen Duopol ohne Kapazitätsbegrenzung
Bertrand = Preisstrategie
Im Gegensatz zu den Cournot‐Modellen wird bei Bertrand‐Modellen nicht die
Produktionsmenge als Aktionsparameter angesehen, sondern der zu setzende Preis.
Was bedeutet dies unter der Annahme des Nash‐Lösungskonzeptes?
Unter der Annahme des Nash‐Lösungskonzeptes bedeutet dies, dass ein
Unternehmen U1 einen Preis setzt und dabei davon ausgeht, dass U2 bei seinem
einmal gewählten Preis bleibt.
Warum ist diese Annahme/unterstellte Verhaltensweise kritisch zu sehen?
Diese Annahme ist relativ problematisch, da gilt:
In einem homogenen Markt ohne weitere Beschränkungen kann es nur einen
einheitlichen Preis geben und beide Unternehmen wissen dies.
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Kernüberlegung von Bertrand:
Ausgangssituation:
Unternehmen U1 bedient bisher den Markt als Monopolist und setzt den Preis
1
1 1( )
2 2M MP a c mit P P .
Es tritt ein zweites Unternehmen U2 in den Markt ein. Die Verteilung der
Nachfragemengen auf U1 und U2 hängt dann von dem zu wählenden Preis P2 des
zweiten Unternehmens ab.
(1) P2 > P1 : U1 bedient den Markt weiterhin alleine
(2) P2 < P1 : U2 bedient den Markt alleine
(3) P2 = P1 : Es ergibt sich eine beliebige Marktaufteilung der Monopolmenge *MY .
Nicht kooperatives Verhalten & c1=c2=c=GK wird angenommen
Jedes Unternehmen geht jetzt von einem einmal gewählten Preis seines
Gegenspielers aus (Nash‐Annahme), welches es nun natürlich zu unterbieten sucht.
Da beide diese Überlegung anstellen, bleibt als einzige Lösung: P1 = P2 = GK übrig.
Nur hier wird dem Gegenspieler die Chance genommen, den eigenen Preis zu
unterbieten.
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Aufgabe 14:
Untersuchen Sie die Bertrand‐Lösung im homogenen Duopol mit
Kapazitätsbegrenzung.
Bertrand-Lösung im homogenen Duopol mit Kapazitätsbegrenzung
Es gilt:
- Die jeweilige Produktionskapazität der Unternehmen U1 und U2 reicht nicht aus, um bei einem Preis P = GK den Gesamtmarkt zu beliefern.
- Grenzkosten sind identisch und konstant GK = c = GK1 = GK2
- Kapazität: max2
max1 YY
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Im Bertrand‐Modell ohne Kapazitätsrestriktion sind wir von einem Monopolisten
ausgegangen, der durch den Markteintritt des zweiten Unternehmers dazu
gezwungen wurde, den Preis GKP 01 zu akzeptieren.
Dieser Preis ist nun der Ausgangspunkt für unsere Überlegungen zum Bertrand‐
Modell mit Kapazitätsrestriktionen. Bietet U1 zum Preis 01P an, so setzt es (ohne
Angebot von U2) die Menge max1Y ab.
Diese Menge lässt aber für U2 noch eine Restnachfrage auf dem Markt zurück.
U2 kann sich als Monopolist für diese Restnachfrage verhalten, da U1 ja keine
Kapazität mehr hat, um aktiv zu werden. U2 wird also den Monopolpreis 02P wählen
und so einen Gewinn machen (Rechteck).
Für U1 wäre es jetzt inkonsequent, in 0
1P zu bleiben, da es bei einem Preis von 02P
einen Extragewinn realisieren könnte, da es weiterhin die Menge max1Y absetzen
könnte, allerdings zu einem höheren Preis.
Das Modell liefert nun keine eindeutige Aussage (Gleichgewicht):
Es gibt grundsätzlich mehrere Möglichkeiten:
(1) Trotz schlechterer Kapazitätsauslastung (und möglichem kurzfristigem Gewinnsteigungspotential) hält U2 aus Angst vor einem Preiskrieg still und akzeptiert die Lösung.
oder (2) U2 unterbietet den neuen Preis von Unternehmer U1 und löst eine
Preissenkungsspirale aus. Diese dauert dann so lange, bis es sich wieder lohnt, in die Restnachfrageposition (Ausgangssituation U2) zu gehen, wodurch alles wieder von vorne beginnt.
(3) Beide ähnlichen Gewinn a=b.
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Aufgabe 15:
Machen Sie klar, warum es je nach Ausgangslage „einen Vorteil“ bzw. „einen Nachteil
des ersten Zuges“ geben kann. (algebraisch + verbal + grafisch)
1.) Im Duopol-Modell von v. Stackelberg im homogenen Markt kommt es zu einem Vorteil des ersten Zuges – kennen wir schon!
KURZ: Vorteil des ersten Zuges besteht im homogenen Duopol.
Ausgangslage:
- 2 Unternehmer U1 und U2 bedienen die Nachfragefunktion: )( 21 xxbaP
- homogener Markt bedeutet einheitlichen Preis
- Grenzkosten konstant und identisch c1 = c2 = c
KOCHREZEPT:
1. Herleitung der Reaktionsfunktionen
Aufstellen und vereinfachen der Gewinnfunktion
Durch Maximierung der Gewinnfunktion(en)
Zunächst: U1 und U2 sehen jeweils die Menge des Anderen als gegeben an.
2. Ermittlung der Nash‐Cournot‐Lösung
Gleichsetzen der Reaktionsfunktionen
Nun: Der Stackelbergführer U1 sieht nicht die Angebotsmenge als gegeben an,
sondern berücksichtigt die optimale Strategie des anderen Unternehmens U2.
3. Ermittlung der v.‐Stackelberg‐Lösung
R2 in Gewinnfunktion von U1 (Stackelbergführer)
10
Nash‐Cournot v.StackelbergP
ac3
1
3
2 ac
4
1
4
3
X1
b
ca 3
1
b
ca 2
1
X2
b
ca 3
1
b
ca 4
1
4. Ermittlung der Gewinne der Unternehmen in beiden Fällen
Nash‐Cournot:
111 xcxpG
11 )( xcpG
b
caccaG
33
2
3
11
b
cacaG
33
)(1
2
2
1
)(
9
1G
b
caG
V. Stackelberg:
b
caG S
2
1
)(
8
1
und b
caG F
2
2
)(
16
1
11
5. Interpretation
Der Stackelbergführer U1 erreicht einen doppelt so hohen Marktanteil und damit
auch einen doppelt so hohen Gewinn wie U2. Im Vergleich zur Nash‐Cournot‐Lösung
im homogenen Markt verbessert sich U1 absolut, U2 verschlechtert sich. Der
Stackelbergführer U1 hat hier also den Vorteil des ersten Zuges (first‐mover‐
advantage) gegenüber U2.
6. Grafische Darstellung
Grafik:
KK
N
S
R1
R2
1 2G G 0= =
U= Stackelbergführer1
N = NashlösungU = Stackelbergfolger2
M = MonopollösungK = vollkommene Konkurrenz
a - c
a - c
a - ca - c a - c
a - cb
b
bb b
b
1
1 1
1
3
3 2
4
x2
x1
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2.) Im Duopol Modell v. Stackelberg-Bertrand im heterogenen Markt kommt es zum Nachteil des ersten Zuges.
Ausgangslage:
- 2 Unternehmen bedienen einen heterogenen Markt mit zwei Gütern, die von
den Nachfragen als unvollkommene Substitute betrachtet werden
Es können unterschiedliche Preise 21 PP bestehen, ohne dass ein
Anbieter alle seine Kunden an den Konkurrenten verliert.
- Bertrand => Preis ist der Entscheidungsparameter
- Die Anbieter sehen sich folgender Nachfragefunktion ausgesetzt:
)( 121111 PPPx mit 0,,
)( 212222 PPPx
mit = Reaktionskoeffizient
(gibt an wie stark die Wechselbereitschaft der Nachfrager ist)
Gesamtnachfrage
22112121 )( PPxx
- Grenzkosten sind konstant und identisch c1 = c2 = c
WAS muss man jetzt machen???
Algebraische Bestimmung
(KOCHREZEPT….)
Grafische Bestimmung
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Algebraische Bestimmung:
Nash‐Bertrand‐Modell
Herleitung der Reaktionsfunktionen:
Gewinnfunktion von U1 bei gegebenem P2:
1 1 1 1 1 2 1( )[ ( )]G P c P P P
max Bed.: !
1
1
0G
P
0)()()( 1112111 cPPPP
)()( 1111121 PPPcP
111111121 PPPPccP
)(2)( 11121 PcP
2)(2 1
211
cPP
R1
R1 ist definiert für 02 y ökonomisch kann keine Reaktion erfolgen, wenn keine
Fremdmengen vorliegen.
Analog lässt sich R2 ermitteln.
2)(2 2
122
cPP
R2
definiert für 01 y
WIE WÄRE DAS WEITERE VORGEHEN???
GLEICHSETZEN FÜR NASH‐BERTRAND‐LÖSUNG
R2 in G1 für v.Stackelberg
….noch nie in Klausur abgefragt, aber GRAFISCH!
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Grafische Bestimmung:
Über Isogewinnkurven: Aus Gewinnfunktion mit fixiertem G
)()( 1211111 PPPcPG
121111
1 PPPcP
G
211111
1 PPPcP
G
111
1
12 )(
1P
cP
GP
Betrachtung von zwei Grenzgeraden:
a) 1P geht gegen c, geht 2P
b) Wenn 1P sehr groß wird, verhält sich die Isogewinnkurve ungefähr wie
1 12 11P P
Je höher der Gewinn ist, desto weiter „östlich“ liegt die Isogewinnkurve
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Vergleich NC‐Lösung mit einer Lösung bei Stackelberg‐Verhalten:
U1 setzt R2 in seine Gewinnfunktion G1 ein.
Grafisch heißt das, dass er die Isogewinnkurve sucht bei der R2 die Tangentiale von
dieser ist.
U1 erreicht dadurch einen höheren Gewinn als im Nash‐Bertrand Gleichgewicht.
U1 ermöglicht damit jedoch Anbieter U2 eine Preispolitik mit P2 < P1, was U2 den
Vorteil eines noch höheren Gewinns G2 verschafft
Vergleiche Strecke zwischen den Isogewinnkurven GN und GS
=> Nachteil des ersten Zuges (first‐mover‐disadvantage)
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Zeichnung für Bertrand-Lösungen im heterogenen Markt
1. Preis‐Preis Diagramm: Hier muss man darauf achten, auch den negativen Bereich mit einzuzeichnen und alles symmetrisch zu halten (wenn die Duopolisten gleich sind)
2. Grenzbereiche in die Zeichnung einführen: a) Die beiden Grenzkostengeraden (Grenzgerade i) müssen parallel mit geringem
Abstand zu Ordinate bzw. Abszisse liegen. b) Die Yi=0 Grenzen möglichst hoch bzw. rechts ansetzen und eine leichte Steigung
berücksichtigen.
3. Reaktionsfunktionen R1 und R2 einzeichnen: Hier zwischen den jeweiligen Grenzgeraden auf der Achse ansetzen und ruhig eine etwas stärkere Steigung wählen (z.B. die doppelte/dreifache Steigung von Yi=0). Dann ungefähr mittig zwischen den Schnittpunkten Yi=0/i bzw. Yi=0/ii abknicken und ein Stück auf letzterer weiterlaufen lassen.
4. Isogewinnkurven im Nash‐Gleichgewicht einzeichnen: Dabei beachten, dass der nördlichste bzw. westlichste Punkt der Isogewinnkurven immer auf den jeweiligen Reaktionsfunktionen liegt (hier also im Nash‐Gleichgewicht). Die Ausläufer verlaufen asymptotisch zu den Grenzgeraden i bzw. ii. Insbesondere ist zu beachten, dass die Isogewinnkurve des Nash‐Gleichgewichts die Reaktionsfunktion zweimal schneidet. Hier wird das Zeichnen umso einfacher, je größer die Steigung der Reaktionsfunktionen gewählt wurde.
5. Nun ist die Richtung anzugeben, in der die Gewinne steigen.
6. Daraufhin kann die v.‐Stackelberg‐Lösung eingezeichnet werden, indem man eine Isogewinnkurve tangential an die R2 zeichnet und asymptotisch auf die Grenzgeraden laufen lässt. Zu beachten ist dabei, dass der Tangentialpunkt nicht der westlichste Punkt ist: letzterer liegt auf der eigenen Reaktionsfunktion.
7. Jetzt kann die Isogewinnkurve des anderen Unternehmens im v.‐Stackelberg‐Gleichgewicht eingezeichnet werden, hier ergibt sich nun der nördlichste Punkt der Isogewinnkurve. Letztere verläuft wieder asymptotisch zu den Grenzgeraden.
8. Nun ist zu zeigen, dass die Entfernung zwischen den beiden Isogewinnkurven beim v.‐Stackelberg‐Führer U1 geringer ist als bei U2.
9. Am Schluss nochmal überprüfen, ob alles richtig beschriftet ist.