Lsungen bungsaufgaben CrK Mathe 1

Dreisatz1) Hier ist die Beziehung: Unverdnnt hat die vorliegende Lsung eine Konzentration von 20 mg/ml.Also lsst sich sagen:

20 mg/ml 100%1 mg/ml 5%0,3 mg/ml 1,5%

Von den 500 ml, die wir herstellen wollen, mssen also 1,5% von der vorgegeben Proteinlsung sowie 98,5% reines Lsungsmittel sein. In ml bedeutet dies: Wir mischen 7,5 ml Proteinlsung und 492,5 ml Lsungsmittel.

2) Vorgegeben ist eine Beziehung zwischen Volumen und Zeit, gefragt ist aber nach Tropfen. Zunchst mssen wir also umrechnen:

1 ml 20 Tropfen1.500 ml 30.000 Tropfen

Den Zusammenhang zur Zeit stellen wir im zweiten Schritt her: Der Patient erhlt 1.500 ml, also 30.000 Tropfen pro Tag. Es gilt also:

24 h 30.000 Tropfen1 h 1.250 Tropfen1 min etwa 20,83 Tropfen

3) Auch hier wieder:

20 Tropfen 1 ml1 Tropfen 0,05 ml30 Tropfen 1,5 ml

Der Patient erhlt also 1,5 ml pro Minute =>

1,5 ml 1 min1 ml etwa 0,67 min1.500 ml 1.000 min

1.000 Minuten sind etwa 16,67 Stunden. Das Programm luft also 16 Stunden und 40 Minuten.

4) Diese Aufgabe ist ein Beispiel fr Antiproportionalitt: Die Konzentration des Harnstoffs wird sicherlich nicht steigen, wenn wir Pufferlsung hinzugeben, sondern sie wird vielmehr im gleichen Verhltnis sinken. Hier werden also auf beiden Seiten des Dreisatzes gegenstzliche Operatoren gebraucht: Wird auf der einen Seite multipliziert, so ist auf der anderen Seite zu dividieren.

10 ml 100%1 ml 1.000% (auch wenn dieser Zwischenschritt in der Praxis keinen Sinn macht)500 ml 2%

5) Hier schauen wir uns zunchst an, was denn die gesamte Mischung ergibt und was sie kostet. Insgesamtmischt der Apotheker 5 kg Tee, die zusammen 3*17 (Kamillentee) + 2*22 (Hagebuttentee) = 95 kosten.

5 kg 95 1 kg 19

Lineare Funktionen1) a) Gefragt ist nach dem Hmoglobingehalt H in Abhngigkeit von der Zeit t. Auerdem soll hier (alleine schon wegen der berschrift der Aufgabe) ein linearer Zusammenhang gelten. Es gilt also auf jeden Fall:

H (t)=mt+bIm Text heit es, dass der Hmoglobingehalt tglich um 0,24 g/l steigt. Damit haben wir die Steigung m direkt gegeben, denn zur Erinnerung: Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt die Vernderung von y (hier: H(t)), wenn x (hier: t) um eine Einheit zunimmt. Alternativ knnen wir natrlich auch mit der Formel gem Steigungsdreieck rechnen:

m=Vernderung von yVernderung von x

=+0,24 g / l+1 Tag

=0,24 g / lTag

Es drfte allerdings reichen, wenn Ihnen klar ist, in welchen Einheiten wir jeweils messen, und sie in der Gleichung die Einheiten weglassen.

Zwischenergebnis: H (t)=0,24t+b

Auch das b knnen wir direkt der Aufgabenstellung entnehmen. Zur Erinnerung: Das b entspricht bei linearen Funktionen genau dem Wert, den y annimmt, wenn x null ist. Hier: Der Wert, den H(t) annimmt, wenn t=0, also zu Beginn der Behandlung. Dieser Wert ist im Text als 80 g/l angegeben. Damit ist das

Endergebnis: H (t)=0,24t+80

b) Gesucht ist hier die Zeit t. Dafr kennen wir bereits den Hmoglobinwert H(t), der erreicht werden soll. Zur Bestimmung des Zeitpunkts setzen wir den gewnschten Hmoglobinwert in der Funktionsgleichung fr H(t) ein. Es ergibt sich damit:

120=0,24t+8040=0,24t125=t

Die gesuchte Antwort ist also: Nach 125 Tagen liegt der Hmoglobingehalt bei 120 g/l.

2) a) Wir machen uns hier das Leben deutlich leichter, wenn wir die Zeit in Minuten messen. Auerdem ignorieren wir dreist den genauen Zeitpunkt, wann die Krankenschwester die Infusionsflasche angelegt hat, sondern setzen das in das Blut gelangte Volumen an Infusionslsung in Beziehung zur verstrichenen Zeit (anstelle der exakten Uhrzeit).Messen wir also x in Minuten und V(x) in Litern, so ergeben sich zwei Messpunkte: (0/0) und (15/0,15).Wie gehabt setzen wir mit dem Steigungsdreieck zur Bestimmung der Steigung m an:

m=Vernderung des VolumensVernderung der Zeit

= 0,1515

=0,01

Das b erhalten wir ebenfalls analog zu Aufgabe 1, indem wir uns y anschauen, wenn x=0. Praktischerweise ist dies hier ebenfalls direkt vorgegeben: b = 0. Damit ist

V ( t)=0,01t

Gefragt ist nach dem Volument nach 30 Minuten. Setzen wir also fr t 30 ein:V (30)=0,0130=0,3

Es sind also 0,3 Liter nach 30 Minuten in das Blut gelangt.

Hinweis: Die obige Lsung ist nur einer von mehreren mglichen Wegen wie so oft in der Mathematik fhren verschiedene Wege zum gleichen Ziel. Man knnte auch bspw. den in der Flasche verbleibende Rest als y whlen. Dann wre V(t) = -0,01*t +0,5

b) Die Flasche ist leer, wenn der komplette Inhalt im Patienten ist. Wir suchen also den Zeitpunkt t, zu dem gilt: V(t)=0,5. Setzen wir dies in die Gleichung ein:

0,5=0,01t50= t

Die Flasche ist also nach 50 Minuten leer.

c) Wenn noch 75% in der Flasche sind, dann sind erst 25% in den Patienten geflossen. Daher rechnen wir:

100% 0,5 l 1% 0,005 l 25% 0,125 l

Wir suchen also den Zeitpunkt t, zu dem 0,125 l im Patienten sind. Setzen wir also wie in b) diese 0,125 l in die Gleichung ein:

0,125=0,01t12,5=t

Es ist also nach 12,5 Minuten soweit.

3) Aus dem Aufgabentext lassen sich zwei Messpunkte ablesen: 0 C 32 F und 100 C 212 F.Wir haben somit zwei Punkte der gesuchten Funktion, die die Temperatur in F in Abhngigkeit von der Temperatur in C angibt: (0/32) und (100/212).a) Die Antwort hier entspricht genau der Steigung (vgl. Aufgabe 1a). Damit berechnen wir:

m=Vernderung der Temperatur in FVernderung der Temperatur in C

= 212321000

= 180100

=1,8

Ein Grad Celsius Temperaturvernderung entspricht also 1,8 Grad Fahrenheit Temperaturvernderung.

b) Aus Aufgabenteil a) wissen wir bereits, dass F(C) die Form F (C)=1,8C+b haben muss, wobei C die Temperatur in C und F(C) die Temperatur in F sein soll.Um b zu berechnen, setzen wir einen der Datenpunkte in die Gleichung ein: Die x-Koordinate fr C, die y-Koordinate fr F(C). Wir wollen hier zu bungszwecken den Punkt (100/212) nehmen =>

212=1,8100+b212=180+b32=b

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit: F (C)=1,8C+32

Hinweis: Einfacher wre es natrlich gewesen, das b mit der Temperatur in F zu identifizieren, die bei 0 C herrscht. Hier sollte um der bung willen ein anderer Weg als in den vorigen Aufgaben gezeigt werden.

c) 41 C Fieber: C ist also 42. Um die Temperatur in Fahrenheit zu erhalten, setzen wir diesen Wert in die Funktionsgleichung ein: F (41)=1,841+32=105,8Sie htten also 105,8 F Fieber.

Exponentialfunktion:1) Zunchst einmal modellieren wir den Zerfall als Wachstumsfunktion. Zur Erinnerung:

f (t)=ab t wobei a den Zustand zum Zeitpunkt 0 (also den Anfangswert) und b einen Vervielfltigungsfaktor und t in kompletten Zeitschritten gemessen wird.Hier geht es um eine Halbwertszeit. Daher ist der Vervielfltigungsfaktor 0,5 (die Hlfte), wenn wir t in Intervallen zu 5570 Jahren messen. Der Startwert a betrgt 100%, denn zu Beginn eines radioaktiven Zerfalls ist noch die komplette Menge des Stoffs vorhanden. In unserem Fall gilt also:

f (t)=100%0,5tGesucht ist der Zeitpunkt, an dem noch 70% der radioaktiven Menge vorhanden ist. Damit ergibt sich:

70 %=1000,5t | durch 100% teilen0,7=0,5t | Logarithmus zur Basis 0,5t=log0,5(0,7)t0,515

Achtung! Diese Lsung ist nicht etwa eine Anzahl an Tagen, sondern wir haben beim Aufstellen der Funktion gesagt, dass wir t in 5570-Jahres-Intervallen messen. Die verstrichene Zeit in Jahren betrgt also 0,515*5570 Jahre = 2869 Jahre.

Alternative 1: Wir messen t in Jahren. Dann mssen wir dem allerdings in der Funktion Rechnung tragen. Sie muss dann entsprechend lauten: f (t)=100%0,5

t5570

Alternative 2: Wir messen t in Jahren, benutzen aber statt der Basis 0,5 die Basis e. Hierfr benutzen wir die

Formel von Folie 34 der Prsentation: t 12

= 1ln (2)=ln (2)

t 12

Da die Halbwertszeit 5570 Jahre

betrgt, folgt: 0,000124 f (t )=100 %e0,000124t

Alle drei Wege fhren (bis auf Rundungsdifferenzen) zum gleichen Ergebnis.Hinweis: Sie knnen als Anfangswert natrlich auch 1 statt 100% whlen. Sie rechnen dann in ihren Gleichungen nicht mit Prozentstzen, sondern mit Anteilen.

2) Diese Aufgabe wurde bereits auf Folie 44 der Prsentation gelst. Der Vollstndigkeit halber sei hier nochmal ein anderer Weg vorgestellt: Analog zu Aufgabe 1 wollen wir hier die Zeit t in 6-Stunden-Intervallen messen. Das erlaubt uns, die Zerfallsfunktion bersichtlich zu erstellen: f (t)=100%0,5tGesucht ist hier der Anteil, der nach 2 Tagen noch im Krper des Patienten vorhanden ist. 2 Tage entsprechen 48 Stunden, die wiederum genau 8 volle 6-Stunden-Intervalle sind. Wir knnen also direkt in die Funktion eine 8 fr t einsetzen: f (8)=100 %0,580,39 %

3) Wenn zu Beginn der Einnahme 0,8 Gramm des Wirkstoffs im Krper sind und nach 10 Stunden 0,04, dann knnen wir sagen, dass nach jeweils 10 Stunden noch das 0,05-fache der ursprnglichen Menge vorhanden ist. Damit ergibt sich die Funktion: f (t)=0,80,05t , wobei wie erwhnt t in 10-Stunden-Intervallen und f(t) in Gramm angegeben sein soll.

b) Die Halbwertszeit ist die Zeit, zu der noch 50% der jeweils ursprnglichen Menge vorhanden sind. Es bietet sich daher folgender Ansatz an:

0,4=0,80,05t

0,5=0,05t

t=log0,05(0,5)t0,231

Da wir t aber in 10-Stunden-Intervallen messen, betrgt die Halbwertszeit in Stunden also 10*0,231h = 2,31h

c) Hierzu berechnen wir, wie viel von den jeweiligen Medikamentengaben einzeln noch brig ist, und addieren die Ergebnisse:

Von der Tablette um 8 Uhr verbleiben am nchsten Tag (also 24 Stunden und damit 2,4 Zeitschritte spter) noch f (2,4)=80,052,40,006

Von den zwei Tabletten um 14 Uhr verbleiben 18 Stunden spter pro Tablette f (1,8)=80,051,80,036 , zusammen also etwa 0,072 Gramm

Von der Medikamentengabe um 20 Uhr verbleiben 12 Stunden spter f (1,2)=80,051,20,22Zusammen ergibt das etwa 0,298 Gramm bzw. 298 mg.

Logarithmusfunktion1) Eine doppelt so hohe Konzentration bedeutet also eine Konzentration von 2*10-8,5 mol/l. Der pH-Wert ist nun der negative dekadische Logarithmus von dieser Konzentration, also pH=log10(210

8,5) Mit dem ersten Logarithmusgesetz auf Folie 42 folgt damit:

pH=(log10(2)+log10(108,5))(0,38,5)=8,2

b) Vgl. Folie 47

c) Wenn uns interessiert, wie viel mal mehr, strker, weniger, schwcher oder wie auch immer etwas als eine Vergleichsgre ist, so teilen wir die uns interessierende Gre durch die Vergleichsgre. Der Regen hat wegen seines pH-Werts eine H3O+-Konzentration von 10-2,4 mol/l, reines Wasser eine Konzentration von 10-7

mol/l. Die Konzentration in dem Regen ist also 102,3

107=104,750119 mal so hoch.

2) Ein Anstieg um 1 auf der Richterskala bedeutet, dass das Erdbeben 10 mal so stark gewesen sein muss. Wem dies nicht unmittelbar einleuchtet: Wir uns berlegen: Die Strke des ersten Erdbebens wollen wir einmal x nennen. Wenn es eine Strke von 6 auf der Richterskala hat, dann muss gelten:

log10(x )=6 Durch Anwenden der Exponentialfunktion zur Basis 10 auf beiden Seiten der Gleichung wird aber gerade der Logarithmus auf der linken Seite aufgehoben. Also: x=106

Fr die Strke y des zweiten Bebens muss analog gelten: log10( y)=7 y=107

Und 107 ist nun gerade 10 mal grer als 106

b) Wie in Teil a knnen wir sagen: Die Strke des Bebens auf der Schwbischen Alb betrug 105,8, die des

Bebens von San Francisco entsprechend 108,3. Damit war das Beben in S.F. 108,3

105,8=102,5316,23 mal so

stark wie das in der Schwbischen Alb.

Differentiation1) Die Ableitung einer Summe ist die Summe der (Einzel-)Ableitungen. Wir knnen also Schritt fr Schritt vorgehen: Die Ableitung von 0,5x3 ist 0,5*3*x3-1, also 1,5x2. Analog verfahren wir mit den anderen Summanden. Zur Erinnerung: Die Ableitung eines konstanten Summanden ist 0, fllt also weg. Die Lsung ist somit: f ' ( x)=1,5 x22x+50

b) Ein konstanter Faktor bleibt bei der Ableitung erhalten, hier die 0,3. Die Ableitung von ln(x) ist 1/x. Haben wir hier aber nicht vorliegen, sondern wir haben ln(3x). Wir bentigen daher die Kettenregel (Nr. 5 der Ableitungsregeln auf dem Handout). Aus ln(3x) wird (als uere Ableitung) 1/ln(3x), es fehlt aber noch die Ableitung des Terms in der Klammer (die innere Ableitung). Die Ableitung von 3x ist 3. Die Lsung

lautet daher: f ' ( x)=0,3 1ln(3x )3= 0,9

ln(3x )Hinweis: Die Ableitung einer ln-Funktion lautet wegen der Kettenregel immer 1 / die ln-Funktion mal die Ableitung des Terms in der Klammer.

c) Hier wird die Produktregel (Nr. 3) bentigt, da die abzuleitende Variable (x) in beiden Teilen des Produkts auftaucht. Ausgangssituation ist f (x )=xex ,die beiden Faktoren sind also einmal x und einmal ex. Daher lautet die Ableitung: f ' ( x)=1e x+xex=e x+xex=(1+x )ex

2) Bei der Erstellung der Funktion knnen wir hier nicht so vorgehen, wie in den Aufgabenteilen zu den Exponentialfunktionen, da wir hier keinen Vervielfachungsfaktor haben. Stattdessen ist die Wachstumskonstante k so zu verstehen, dass das Wachstum mit einer e-Funktion zu modellieren ist. Diese lautet f (t)=15e0,3 t ,wobei die 15 wie gewohnt den Anfangsbestand darstellt und die Wachstumskonstante den Faktor vor der Variablen t, die wir in Tagen messen wollen (da k 0,3 pro Tag betrgt).Es soll nun das Wachstum zwischen dem vierten und dem fnften Tag nherungsweise durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Hierzu haben wir zwei unterschiedliche Mglichkeiten:

Variante 1: Wir berechnen die Bakterienanzahl am 4. und am 5. Tag und nehmen einen linearen Verlauf dazwischen an. Dies funktioniert wie gewohnt durch Einsetzen in die Funktionsgleichung (dafr haben wir sie ja): f (4)=15e0,3449,8 f (5)67,22Damit haben wir zwei Messpunkte: (4/49,8) und (5/67,22). Eine lineare Funktionsgleichung hat bekanntlich immer die Form g ( t)=mt+b Mit dem Steigungsdreieck erhalten wir

m= Bakterienanzahl Zeit

=17,421

=17,42 Den Wert fr b erhalten wir, indem wir einen der beiden

Punkte in die Gleichung einsetzen. Hier wollen wir einmal den Punkt (4/49,8) whlen. Damit ergibt sich:49,8=17,424+b und damit b=19,88 Unser Endergebnis ist also: g ( t)=17,42 t19,88

Hinweis: Wir werden hierbei das Wachstum in den ersten Stunden ber- und in den letzten Stunden unterschtzen.

Variante 2: Wir schauen uns die momentane nderungsrate sowie die momentane Bakterienanzahl am 4. Tag an. Letzteres wurde bereits in Variante 1 gemacht, es fehlt also noch die nderungsrate. Diese erhalten wir, indem wir zunchst die Ableitung bilden f ' ( t)=4,5e0,3 t und dann den Wert am 4. Tag berechnen:

f ' (4)14,94 Diesen Wert nehmen wir fr die lineare Annherung, also g ( t)=14,94 t+b Analog zur Variante 1 berechnen wir durch Einsetzen der Daten am 4. Tag b und erhalten g ( t)=14,94 t9,96

Hinweis: Diese Variante liefert sehr gute Nherungswerte fr Zeitpunkte, die noch sehr nahe am 4. Tag liegen, also fr die ersten Minuten nach der Messung. Je nher die Zeit jedoch an Tag 5 heranrckt, desto grer werden die Abweichungen. Wir werden hierbei das Bakterienwachstum systematisch unterschtzen.

3) Am ehesten lsst sich dies durch Aufgabenteil b zeigen. Ein erster Ansatz knnte allerdings sein, dass wir vergleichen, wie sehr das Erkrankungsrisiko nach jeweils 2 Jahren (also einer gleichen Zeitspanne) zurckgegangen ist. Tabellarisch knnte dies so aussehen

Jahr nach Aufgabe des Rauchens 2 4 6 8 10 12

Risikonderung in % -8 -9 -5 -4 -4 -3

Bei gleichbleibenden Zeitintervallen ist die Risikonderung (mit Ausnahme des Ausreiers zwischen den Jahren 2 und 4) betragsmig immer kleiner. Dies ist ein Kennzeichen eines exponentiellen Zerfallsprozesses (in diesem Fall des Risikos).

b) Wie gewohnt stellen wir unsere Funktion mittels eines Anfangswertes und eines Vervielfltigungsfaktors auf. Es ist hier aber zur Vermeidung groer relativer Fehler durch Messunsicherheiten und gerundeter Daten sinnvoll, fr die Berechnung des Vervielfltigungsfaktors den Datenpunkt nach 12 Jahren heranzuziehen.Was wir auf jeden Fall wissen: Wenn wir t in 2-Jahres-Schritten und f(t) in % messen, ist f (t)=40btDen Datenpunkt (6/7) (6, da 12 Jahre 6 2-Jahres-Schritte sind) eingesetzt ergibt sich

7=40b6 0,175=b6 b0,748Unsere Funktion lautet also: f (t)=400,748t

c) 25 Jahre entsprechen 12,5 Zeitschritten, wir berechnen also f (12,5)=400,748121,227

d) Erneut setzen wir in die Funktionsgleichung ein. Diesmal aber nicht einen Wert fr t, sondern fr f(t):1=400,748t 0,025=0,748t t= log0,748(0,025) t12,7

Da wir t in 2-Jahres-Schritten messen, ist es also nach etwa 25,4 Jahren soweit.

e) Das Risiko eines ehemaligen Rauchers, der vor 40 Jahren aufgehrt hat, lsst sich berechnen alsf (20)0,12

Der Ex-Raucher htte also ein wesentlich geringeres Risiko als ein Mensch, der noch nie eine Zigarette angefasst hat. Eine sinnvolle medizinische Interpretation scheint es hierfr nicht zu geben. Naheliegender ist eher die Erklrung, dass hier die Grenzen der Aussagekraft unserer Funktion berschritten sind. So, wie wir unsere Funktionsgleichung gebildet haben, wird sie mit steigendem t immer kleiner und somit immer nher an 0 heranrcken. Dies wird jedoch dem Basisrisiko fr Lungenkrebs in Hhe von 1% nicht gerecht.Ein Ausweg knnte sein, dass wir unsere Funktion modifizieren und am Ende ein konstantes +1 einfgen. Wir mssten in diesem Fall jedoch auch unseren Vervielfltigungsfaktor neu berechnen, da wir die Datenpunkte jeweils um 1% korrigieren mssten.

Ab hier geht es fr diejenigen weiter, die wissen wollen, wie man dies tun knnte

Jahre seit beenden des Rauchens 0 2 4 6 8 10 12

Erkrankungsrisiko durch das Rauchen in % 39 31 22 17 13 9 6

Generelles Erkrankungsrisiko durch andere Faktoren in % 1 1 1 1 1 1 1

=> f (t)=39b t+1 Mit (6/6) eingesetzt folgt 0,128b6 b0,71=> f (t)=390,71t+1