Lösung 2.1 Information

1. Wieviele Fragen benötigen Sie beim „Zahlenraten“a) 7

b) nächste_ganze_Zahl_größer( ld n)

2. Eine Nachrichtenquelle sendet Zeichen aus dem AlphabetX = {a,b,c,d} mit den Wahrscheinlichkeiten p(a)=1/4, p(b)=p(c)=1/8

a) H(x) = p(x) *h(x) = ((1/4*2)+(1/8*3)+(1/8*3)+(1/2*1)) bit = 1,75 bit

b) (2+3+3+1) bit = 9 bit

c) 4 * 1,75 bit = 7 bit

d) 1000 * 1,75 bit = 1750 bit

e) 1000 * H(x) = 1000 * (4 * (1/4 * 2 bit)) = 2000 bit

Lösung 2.2 Huffmann

a) siehe Tabelle rechts: h(x)

b) mittlerer Informationsgehalt:H(x) = 4,06 bit

Redundanz bei 8bit-Kodierung(z.B. ASCII mit Parity-Bit):R = L-H = 8 bit - 4,06 bit = 3,94 bitr = R/L = 0,49

p(x)(in %) h(x) (in Bit) p(x) * h(x)a 6,51 3,94 0,2566b 1,89 5,73 0,1082c 3,06 5,03 0,1539d 5,08 4,30 0,2184e 17,40 2,52 0,4390f 1,66 5,91 0,0982g 3,01 5,05 0,1521h 4,76 4,39 0,2091j 7,55 3,73 0,2814j 0,27 8,53 0,0230k 1,21 6,37 0,0771l 3,44 4,86 0,1672m 2,53 5,30 0,1342n 9,78 3,35 0,3280o 2,51 5,32 0,1334p 0,79 6,98 0,0552q 0,02 12,29 0,0025r 7,00 3,84 0,2686s 7,27 3,78 0,2749t 6,15 4,02 0,2474u 4,35 4,52 0,1967v 0,67 7,22 0,0484w 1,89 5,73 0,1082x 0,03 11,70 0,0035y 0,04 11,29 0,0045z 1,13 6,47 0,0731

Lösung 2.2 Huffmann  p(x) (in %)

a 6,51

b 1,89c 3,06

d 5,08

e 17,40

f 1,66g 3,01

h 4,76

i 7,55

j 0,27k 1,21

l 3,44

m 2,53

n 9,78

o 2,51p 0,79

q 0,02

r 7,00

s 7,27t 6,15

u 4,35

v 0,67

w 1,89x 0,03

y 0,04

z 1,13

jqpvxy (1,82) kz (2,34)f b

q x o w m g

fjqpvxy (3,48) bkz (4,23) c l

qx (0,05) y ow (4,40) gm (5,54)u h dt

cl (6,50)bfjkqpvxyz (7,71) a r si

qxy (0,09) j ouw (8,75) dh (9,84)gmt (11,69)n

jqxy (0,36) v nouw (18,53) dghmt (21,53)

acl (13,01) rs (14,27)bfijkqpvxyz (15,26) e

aclrs (27,28)befijkqpvxyz (32,66)

abcefijklqprsvxyz (59,94)

jqvxy (1,03) p z k dghmntouw (40,06)

Die Bezeichnung der Kanten mit 0 oder 1 ist willkürlich

o

1

c) Beispiele:a 0101b 000010c 01000d 1111e 001f 000001...

o

o

o

o

1

1

...

...

... ...

............

Lösung 2.2 Huffmann

d) H(x) = 4.,06 bitL = 4,1 bitR = L-H = 0,04 bit

e) r = R/L = 0,01

p(x) (in %) l(x) p(x)*l(x)a 6,51 4 0,2604b 1,89 6 0,1134c 3,06 5 0,1530d 5,08 4 0,2032e 17,40 3 0,5220f 1,66 6 0,0996g 3,01 5 0,1505h 4,76 4 0,1904j 7,55 4 0,3020j 0,27 9 0,0243k 1,21 7 0,0847l 3,44 5 0,1720m 2,53 5 0,1265n 9,78 3 0,2934o 2,51 5 0,1255p 0,79 7 0,0553q 0,02 11 0,0022r 7,00 4 0,2800s 7,27 4 0,2908t 6,15 4 0,2460u 4,35 4 0,1740v 0,67 8 0,0536w 1,89 5 0,0945x 0,03 11 0,0033y 0,04 10 0,0040z 1,13 7 0,0791

Lösung 2.3 Hamming

1. Hamming-Distanz bei ASCII-Codea) D=1

b) (D-1) = 0

c) (D-1)/2 = 0

2. Hamming-Codierung für 0000 - 1111a) D=3 (durch Vergleich der Distanz zwischen allen Codes)

b) 2-bit Fehler können erkannt werden

c) 1-bit Fehler können korrigiert werden

0000000 10010110000111 10011000011001 10100100011110 10101010101011 11000010101100 11001100110011 11110000110100 1111111

Lösung 2.3 Hamming

3. Betrachten Sie den mit der Hamming-Methode codierten Code für „1000“

a) 1001011 P-Bits falsch => Fehler bei bit 1001010 1 1 1001001 2 2 1001111 1,2 3 1000011 4 4 1011011 1,4 5 1101011 2,4 6 0001011 1,2,4 7

b) Kippen von Bit 1 und Bit 6: 1101010 1,2,4 7es wird ein Fehler erkannt (gut !).Allerdings wird der Fehler bei Bit 7 erkannt, wobei der Code bei derKorrektur also fälschlicherweise zu 0101010 korrigiert wird, statt zu 1001011

Lösung 3.1 Zahlensysteme

1. Die Duodezimalindianer haben zwölf Fingera) Berechnen Sie nach dem Zahlensystem der Duodezimalindianer die

wichtigsten Werte des täglichen Lebens:a) 21012g Pizza

b) Eine Flasche Bier (0,612 bzw. ca. 0,3B62A68781B05912 Liter)

c) ALDI ca. 2,B4972497249724 €

b) Bin: 100101100 0,1 0,0101010001111010111000010,111100Okt: 454 0,4 0,250753412172702432,74631Hex: 12C 0,8 0,547AE147AE1452,F333333

Lösung 3.1 Zahlensysteme

2. Grundrechenarten 568110 : 1910 = 299 1011000110001 : 10011 = 100101011

38 10011188 00011001171 10011 171 0011010 171 10011 000 11100

10011 10011 10011 00000

100101011 * 10011 100101011 100101011 100101011 1011000110001

3. 0,110

2 · 0,1 = 0,2 --> Ziffer: 02 · 0,2 = 0,4 --> Ziffer: 02 · 0,4 = 0,8 --> Ziffer: 02 · 0,8 = 1,6 --> Ziffer: 12 · 0,6 = 1,2 --> Ziffer: 12 · 0,2 = 0,4 --> Ziffer: 02 · 0,4 = 0,8 --> Ziffer: 02 · 0,8 = 1,6 --> Ziffer: 1...

Also: 0,000110011001100...

4. 44 65 72 20 42 61 6C 6C 20 69 73 74 20 72 75 6E 64 2EASCII: Der Ball ist rund.LongInt 1147499040 1113681004 543781748 544372078 1680736256

(mit 0en aufgefüllt)......

Lösung 3.1 Zahlensysteme

Lösung 3.1 Zahlensysteme

4. Subtraktion durch Addition des Zweierkomplementes 0 -1 -2 -3 0000 1111 1110 1101

4 0100 0100 (1)0011 (1)0010 (1)00013 0011 0011 (1)0010 (1)0001 (1)00002 0010 0010 (1)0001 (1)0000 11111 0001 0001 (1)0000 1111 11100 0000 0000 1111 1110 1101-1 1111 1111 (1)1110 (1)1101 (1)1100 -2 1110 1110 (1)1101 (1)1100 (1)1011-3 1101 1101 (1)1100 (1)1011 (1)1010

-4 1100-5 1011-6 1010

Lösung 3.2 Gebrochene Zahlen

3. = 3,14159265358979311...10 = 11,00100100001111110110101010001000100001011010001100...2

Mantisse Exponent0,1100100100001111110110102 * 22

VEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM01000000010010010000111111011010

4. Maximalwerte (bei bias = 126):größte negative 1 11.10 111...11 - 1 * 2127

kleinste negative 1 00..0 000...01 = - 2-23 * 2-126 = - 2-149 kleinste positive 0 00..0 000...01 = 2-23 * 2-126 = 2-149 größte positive 0 11.10 111...11 1 * 2127

Number sign exponent mantissa normalized number 0/1 01 to FE any value denormalized number 0/1 00 any value

Lösung 3.3 IEEE 754