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Locally normal space 6Wikipedia

Contents

1 Alexandrov topology 11.1 Characterizations of Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Duality with preordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 The Alexandrov topology on a preordered set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 The specialization preorder on a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Equivalence between preorders and Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.4 Equivalence between monotony and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.5 Category theoretic description of the duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.6 Relationship to the construction of modal algebras from modal frames . . . . . . . . . . . 4

1.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Approach space 62.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Categorical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Baire space 93.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.1 Modern denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Historical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Baire category theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.8 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i

ii CONTENTS

4 Baire space (set theory) 124.1 Topology and trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Relation to the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Base (topology) 145.1 Simple properties of bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Objects dened in terms of bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 Base for the closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.5 Weight and character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.5.1 Increasing chains of open sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Borel set 186.1 Generating the Borel algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Standard Borel spaces and Kuratowski theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 Non-Borel sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.4 Alternative non-equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Boundary (topology) 227.1 Common denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.4 Boundary of a boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8 Bounded set 268.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.2 Metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.3 Boundedness in topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.4 Boundedness in order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

CONTENTS iii

9 Category (mathematics) 299.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.3 Small and large categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.5 Construction of new categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9.5.1 Dual category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.5.2 Product categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9.6 Types of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.7 Types of categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10 Category of topological spaces 3510.1 As a concrete category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.2 Limits and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.4 Relationships to other categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 Category theory 3811.1 An abstraction of other mathematical concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.2 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

11.2.1 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.2.2 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.2.3 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

11.3 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.3.1 Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.3.2 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11.4 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.5 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.6 Other concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

11.6.1 Universal constructions, limits, and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.6.2 Equivalent categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.6.3 Further concepts and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.6.4 Higher-dimensional categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

11.7 Historical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.11Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iv CONTENTS

11.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

12 Cauchy sequence 4812.1 In real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.2 In a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.3 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

12.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.3.2 Counter-example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.3.3 Counter-example: open interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.3.4 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

12.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4.1 In topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4.2 In topological groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4.3 In groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4.4 In constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4.5 In a hyperreal continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

13 Clopen set 5313.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5413.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5413.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5413.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

14 Closed set 5514.1 Equivalent denitions of a closed set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5514.2 Properties of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5514.3 Examples of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5514.4 More about closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5614.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5614.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

15 Closure (topology) 5715.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

15.1.1 Point of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5715.1.2 Limit point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5715.1.3 Closure of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

15.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5815.3 Closure operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5915.4 Facts about closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

CONTENTS v

15.5 Categorical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6015.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6015.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6015.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6015.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

16 Compact space 6116.1 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6216.2 Basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

16.3.1 Open cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.3.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6416.3.3 Compactness of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

16.4 Properties of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6516.4.1 Functions and compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6516.4.2 Compact spaces and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6516.4.3 Ordered compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

16.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.5.1 Algebraic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

16.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6716.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

17 Compact-open topology 7017.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7017.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7017.3 Frchet dierentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

18 Comparison of topologies 7218.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7218.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7218.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7218.4 Lattice of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7318.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7318.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7318.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

19 Complement (set theory) 7419.1 Relative complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7419.2 Absolute complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

vi CONTENTS

19.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7619.4 Complements in various programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7619.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7819.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7819.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

20 Complete metric space 7920.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7920.2 Some theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8020.3 Completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8020.4 Topologically complete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8120.5 Alternatives and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8120.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8120.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8220.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

21 Complex plane 8321.1 Notational conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8321.2 Stereographic projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8521.3 Cutting the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

21.3.1 Multi-valued relationships and branch points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8621.3.2 Restricting the domain of meromorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8721.3.3 Specifying convergence regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

21.4 Gluing the cut plane back together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8821.5 Use of the complex plane in control theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8921.6 Other meanings of complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8921.7 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9021.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9021.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9121.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9121.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

22 Connected space 9222.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

22.1.1 Connected components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9322.1.2 Disconnected spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

22.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9322.3 Path connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422.4 Arc connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9522.5 Local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9522.6 Set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9522.7 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

CONTENTS vii

22.8 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9822.9 Stronger forms of connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9922.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9922.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

22.11.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9922.11.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

23 Consistency 10023.1 Consistency and completeness in arithmetic and set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10023.2 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

23.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10123.2.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10123.2.3 Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10123.2.4 Henkins theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10223.2.5 Sketch of proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

23.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10223.4 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10223.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10323.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

24 Continuous function 10424.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10424.2 Real-valued continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

24.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10424.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10724.2.3 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11024.2.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11124.2.5 Directional and semi-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

24.3 Continuous functions between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11324.3.1 Uniform, Hlder and Lipschitz continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

24.4 Continuous functions between topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11424.4.1 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11624.4.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11724.4.3 Homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11824.4.4 Dening topologies via continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

24.5 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11824.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11924.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11924.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

25 Contractible space 12125.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

viii CONTENTS

25.2 Locally contractible spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12125.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12125.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

26 Cosmic space 12326.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12326.2 Unsolved problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12326.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12326.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

27 Countable set 12427.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12427.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12427.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12427.4 Formal denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12527.5 Minimal model of set theory is countable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13027.6 Total orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13027.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13127.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13127.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13127.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

28 Cover (topology) 13228.1 Cover in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13228.2 Renement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13228.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.4 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13428.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13428.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

29 Dense set 13529.1 Density in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13529.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13529.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13629.4 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13629.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13629.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

29.6.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13729.6.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

30 Dense-in-itself 138

CONTENTS ix

30.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13830.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

31 Development (topology) 13931.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

32 Discrete space 14032.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14032.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14032.3 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14232.4 Indiscrete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14232.5 Quotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14232.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14232.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

33 Disjoint sets 14333.1 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14333.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14433.3 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14433.4 Disjoint unions and partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14533.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14533.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14533.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

34 Disjoint union 14734.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14734.2 Set theory denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14734.3 Category theory point of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14834.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14834.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

35 Dispersion point 14935.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

36 Dunce hat (topology) 15036.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15136.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

37 Empty set 15237.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15237.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

37.2.1 Operations on the empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15537.3 In other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

37.3.1 Extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

x CONTENTS

37.3.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15537.3.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

37.4 Questioned existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15637.4.1 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15637.4.2 Philosophical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156


38 Filter (mathematics) 15838.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15938.2 General denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15938.3 Filter on a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

38.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16038.3.2 Filters in model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16038.3.3 Filters in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

38.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16338.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16338.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

39 Final topology 16439.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16439.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16439.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16539.4 Categorical description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16639.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16639.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

40 Fine topology (potential theory) 16740.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16740.2 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16740.3 Properties of the ne topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16740.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

41 Finite set 16941.1 Denition and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16941.2 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16941.3 Necessary and sucient conditions for niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17041.4 Foundational issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17141.5 Set-theoretic denitions of niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

41.5.1 Other concepts of niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17241.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

CONTENTS xi

41.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17241.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17341.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

42 First-countable space 17442.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17442.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17442.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17542.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

43 F set 17643.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17643.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17643.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

44 Generic point 17744.1 Denition and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17744.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17744.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17744.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

45 G set 17945.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17945.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17945.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

45.3.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18045.4 G space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18045.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18045.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18045.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

46 H-closed space 18246.1 Examples and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18246.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18246.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

47 Hausdor space 18347.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18347.2 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18447.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18447.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18447.5 Preregularity versus regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18547.6 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18547.7 Algebra of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

xii CONTENTS

47.8 Academic humour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18647.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18647.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18647.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

48 Homeomorphism 18748.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18748.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

48.2.1 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18848.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18948.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18948.5 Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19048.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19048.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19048.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

49 Identity function 19149.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19249.2 Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19249.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19249.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19249.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

50 If and only if 19350.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19350.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

50.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19350.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19450.2.3 Origin of i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

50.3 Distinction from if and only if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19450.4 More general usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19550.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19550.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19550.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

51 Image 19651.1 Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19651.2 Imagery (literary term) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19651.3 Moving image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19751.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19751.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19751.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

CONTENTS xiii

52 Image (mathematics) 20152.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

52.1.1 Image of an element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20252.1.2 Image of a subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20252.1.3 Image of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

52.2 Inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20252.3 Notation for image and inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

52.3.1 Arrow notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20252.3.2 Star notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20252.3.3 Other terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

52.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20352.5 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20352.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20452.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20452.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

53 Inmum and supremum 20553.1 Inma of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20653.2 Inma in partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20653.3 Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

53.3.1 Supremum of a set of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20753.3.2 Suprema within partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20853.3.3 Comparison with other order theoretical notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20953.3.4 Least-upper-bound property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

53.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21053.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21053.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

54 Isolated point 21154.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21254.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21254.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

55 Kolmogorov space 21355.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21355.2 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

55.2.1 Spaces which are not T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21355.2.2 Spaces which are T0 but not T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

55.3 Operating with T0 spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21455.4 The Kolmogorov quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21455.5 Removing T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21555.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

xiv CONTENTS

56 Kuratowski closure axioms 21656.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21656.2 Connection to other axiomatizations of topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

56.2.1 Induction of Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21656.2.2 Induction of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21756.2.3 Recovering notions from topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217


57 Limit point 21857.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21857.2 Types of limit points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21857.3 Some facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21957.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21957.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

58 Locally compact space 22158.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22158.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

58.2.1 Compact Hausdor spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22258.2.2 Locally compact Hausdor spaces that are not compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22258.2.3 Hausdor spaces that are not locally compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22258.2.4 Non-Hausdor examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

58.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22358.3.1 The point at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22358.3.2 Locally compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

58.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22458.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

59 Locally Hausdor space 22559.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

60 Locally normal space 22660.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22660.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22660.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22660.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22660.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

61 Locally regular space 22861.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

CONTENTS xv

61.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22861.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22861.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

62 Mathematical analysis 22962.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23062.2 Important concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

62.2.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23162.2.2 Sequences and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

62.3 Main branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23262.3.1 Real analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23262.3.2 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23262.3.3 Functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23262.3.4 Dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23262.3.5 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23362.3.6 Numerical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

62.4 Other topics in mathematical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23362.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

62.5.1 Physical sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23462.5.2 Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23462.5.3 Other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

62.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23462.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23562.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23662.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

63 Meagre set 23763.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

63.1.1 Relation to Borel hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23763.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23763.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23863.4 BanachMazur game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23863.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

63.5.1 Subsets of the reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23863.5.2 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

63.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23863.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23863.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

64 Metric space 24064.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24064.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

xvi CONTENTS

64.3 Examples of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24164.4 Open and closed sets, topology and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24264.5 Types of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

64.5.1 Complete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24264.5.2 Bounded and totally bounded spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24364.5.3 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24464.5.4 Locally compact and proper spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24464.5.5 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24464.5.6 Separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

64.6 Types of maps between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24464.6.1 Continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24564.6.2 Uniformly continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24564.6.3 Lipschitz-continuous maps and contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24564.6.4 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24664.6.5 Quasi-isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

64.7 Notions of metric space equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24664.8 Topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24664.9 Distance between points and sets; Hausdor distance and Gromov metric . . . . . . . . . . . . . . 24764.10Product metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

64.10.1 Continuity of distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24764.11Quotient metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24864.12Generalizations of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

64.12.1 Metric spaces as enriched categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24864.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24964.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24964.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25064.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

65 Metrization theorem 25165.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25165.2 Metrization theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25165.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25265.4 Examples of non-metrizable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25265.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25265.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

66 Morphism 25366.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25366.2 Some special morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25466.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25566.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25566.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

CONTENTS xvii

66.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25566.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

67 Normal space 25667.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25667.2 Examples of normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25767.3 Examples of non-normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25767.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25867.5 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25867.6 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25867.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

68 Open and closed maps 25968.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25968.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25968.3 Open and closed mapping theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26068.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26068.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

69 Partially ordered set 26269.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26369.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26369.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26369.4 Orders on the Cartesian product of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26469.5 Sums of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26469.6 Strict and non-strict partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26569.7 Inverse and order dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26569.8 Mappings between partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26569.9 Number of partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26669.10Linear extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26669.11In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26769.12Partial orders in topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26769.13Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26769.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26769.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26869.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26869.17External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

70 Regular space 26970.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26970.2 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27070.3 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27070.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

xviii CONTENTS

70.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

71 Separable space 27271.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27271.2 Separability versus second countability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27271.3 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27371.4 Constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27371.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

71.5.1 Separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27371.5.2 Non-separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

71.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27471.6.1 Embedding separable metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

71.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

72 Separated sets 27672.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27672.2 Relation to separation axioms and separated spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27772.3 Relation to connected spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27772.4 Relation to topologically distinguishable points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27772.5 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

73 Separation axiom 27873.1 Preliminary denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27873.2 Main denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27973.3 Relationships between the axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28073.4 Other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28073.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28173.6 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28173.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

74 Sigma-algebra 28474.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

74.1.1 Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28474.1.2 Limits of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28574.1.3 Sub -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

74.2 Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28674.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28674.2.2 Dynkins - theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28674.2.3 Combining -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28674.2.4 -algebras for subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28774.2.5 Relation to -ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28774.2.6 Typographic note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

74.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

CONTENTS xix

74.3.1 Simple set-based examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28874.3.2 Stopping time sigma-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

74.4 -algebras generated by families of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28874.4.1 -algebra generated by an arbitrary family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28874.4.2 -algebra generated by a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28874.4.3 Borel and Lebesgue -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28974.4.4 Product -algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28974.4.5 -algebra generated by cylinder sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28974.4.6 -algebra generated by random variable or vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29074.4.7 -algebra generated by a stochastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

74.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29074.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29174.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

75 Subharmonic function 29275.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29275.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29275.3 Subharmonic functions in the complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

75.3.1 Harmonic majorants of subharmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29375.3.2 Subharmonic functions in the unit disc. Radial maximal function . . . . . . . . . . . . . . 293

75.4 Subharmonic functions on Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29475.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29475.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29475.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

76 Subspace topology 29676.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29676.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29676.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29776.4 Preservation of topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29876.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29876.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

77 T1 space 29977.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29977.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29977.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30077.4 Generalisations to other kinds of spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30177.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

78 Topological space 30278.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

78.1.1 Neighbourhoods denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

xx CONTENTS

78.1.2 Open sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30378.1.3 Closed sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30478.1.4 Other denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

78.2 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30478.3 Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30478.4 Examples of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30578.5 Topological constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30678.6 Classication of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30678.7 Topological spaces with algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30678.8 Topological spaces with order structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30678.9 Specializations and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30678.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30778.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30778.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30778.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

79 Tychono space 30979.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30979.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30979.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

79.3.1 Preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31079.3.2 Real-valued continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31079.3.3 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31179.3.4 Compactications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31179.3.5 Uniform structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

79.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

80 Uniform space 31280.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

80.1.1 Entourage denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31280.1.2 Pseudometrics denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31380.1.3 Uniform cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

80.2 Topology of uniform spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31380.2.1 Uniformizable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

80.3 Uniform continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31480.4 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

80.4.1 Hausdor completion of a uniform space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31580.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31580.6 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31680.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31680.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

CONTENTS xxi

81 Unit disk 31781.1 The open unit disk, the plane, and the upper half-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31881.2 Hyperbolic space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31881.3 Unit disks with respect to other metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31981.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31981.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31981.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

82 Upper set 32182.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32282.2 Ordinal numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32282.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32282.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

83 Vacuous truth 32383.1 Scope of the concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32383.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32383.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32483.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32483.5 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32483.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32483.7 Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

83.7.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32583.7.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33483.7.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Chapter 1

Alexandrov topology

In topology, an Alexandrov space (or Alexandrov-discrete space) is a topological space in which the intersectionof any family of open sets is open. It is an axiom of topology that the intersection of any nite family of open sets isopen. In an Alexandrov space the nite restriction is dropped.Alexandrov topologies are uniquely determined by their specialization preorders. Indeed, given any preorder on aset X, there is a unique Alexandrov topology on X for which the specialization preorder is . The open sets are justthe upper sets with respect to . Thus, Alexandrov topologies on X are in one-to-one correspondence with preorderson X.Alexandrov spaces are also called nitely generated spaces since their topology is uniquely determined by the familyof all nite subspaces. Alexandrov spaces can be viewed as a generalization of nite topological spaces.

1.1 Characterizations of Alexandrov topologiesAlexandrov topologies have numerous characterizations. Let X = be a topological space. Then the followingare equivalent:

Open and closed set characterizations: Open set. An arbitrary intersection of open sets in X is open. Closed set. An arbitrary union of closed sets in X is closed.

Neighbourhood characterizations: Smallest neighbourhood. Every point of X has a smallest neighbourhood. Neighbourhood lter. The neighbourhood lter of every point in X is closed under arbitrary intersec-

tions.

Interior and closure algebraic characterizations: Interior operator. The interior operator of X distributes over arbitrary intersections of subsets. Closure operator. The closure operator of X distributes over arbitrary unions of subsets.

Preorder characterizations: Specialization preorder. T is the nest topology consistent with the specialization preorder of X i.e.

the nest topology giving the preorder satisfying x y if and only if x is in the closure of {y} in X. Open up-set. There is a preorder such that the open sets of X are precisely those that are upwardly

closed i.e. if x is in the set and x y then y is in the set. (This preorder will be precisely the specializationpreorder.)

1

2 CHAPTER 1. ALEXANDROV TOPOLOGY

Closed down-set. There is a preorder such that the closed sets of X are precisely those that aredownwardly closed i.e. if x is in the set and y x then y is in the set. (This preorder will be precisely thespecialization preorder.)

Upward interior. A point x lies in the interior of a subset S of X if and only if there is a point y in Ssuch that y x where is the specialization preorder i.e. y lies in the closure of {x}.

Downward closure. A point x lies in the closure of a subset S of X if and only if there is a point y in Ssuch that x y where is the specialization preorder i.e. x lies in the closure of {y}.

Finite generation and category theoretic characterizations: Finite closure. A point x lies within the closure of a subset S of X if and only if there is a nite subset

F of S such that x lies in the closure of F. Finite subspace. T is coherent with the nite subspaces of X. Finite inclusion map. The inclusion maps fi : Xi X of the nite subspaces of X form a nal sink. Finite generation. X is nitely generated i.e. it is in the nal hull of the nite spaces. (This means that

there is a nal sink fi : Xi X where each Xi is a nite topological space.)

Topological spaces satisfying the above equivalent characterizations are called nitely generated spaces or Alexan-drov spaces and their topology T is called the Alexandrov topology, named after the Russian mathematician PavelAlexandrov who rst investigated them.

1.2 Duality with preordered sets

1.2.1 The Alexandrov topology on a preordered setGiven a preordered set X = hX;i we can dene an Alexandrov topology on X by choosing the open sets to bethe upper sets:

= fG X : 8x; y 2 X x 2 G ^ x y ! y 2 G; gWe thus obtain a topological space T(X) = hX; i .The corresponding closed sets are the lower sets:

fS X : 8x; y 2 X x 2 S ^ y x ! y 2 S; g

1.2.2 The specialization preorder on a topological spaceGiven a topological space X = the specialization preorder on X is dened by:

xy if and only if x is in the closure of {y}.

We thus obtain a preordered set W(X) = .

1.2.3 Equivalence between preorders and Alexandrov topologiesFor every preordered set X = we always have W(T(X)) = X, i.e. the preorder of X is recovered from thetopological space T(X) as the specialization preorder. Moreover for every Alexandrov space X, we have T(W(X)) =X, i.e. the Alexandrov topology of X is recovered as the topology induced by the specialization preorder.However for a topological space in general we do not have T(W(X)) = X. Rather T(W(X)) will be the set X with aner topology than that of X (i.e. it will have more open sets).

1.2. DUALITY WITH PREORDERED SETS 3

1.2.4 Equivalence between monotony and continuityGiven a monotone function

f : XY

between two preordered sets (i.e. a function

f : XY

between the underlying sets such that xy in X implies f(x)f(y) in Y), let

T(f) : T(X)T(Y)

be the same map as f considered as a map between the corresponding Alexandrov spaces. Then

T(f) : T(X)T(Y)

is a continuous map.Conversely given a continuous map

f : XY

between two topological spaces, let

W(f) : W(X)W(Y)

be the same map as f considered as a map between the corresponding preordered sets. Then

W(f) : W(X)W(Y)

is a monotone function.Thus a map between two preordered sets is monotone if and only if it is a continuous map between the correspondingAlexandrov spaces. Conversely a map between two Alexandrov spaces is continuous if and only if it is a monotonefunction between the corresponding preordered sets.Notice however that in the case of topologies other than the Alexandrov topology, we can have a map between twotopological spaces that is not continuous but which is nevertheless still a monotone function between the correspondingpreordered sets. (To see this consider a non-Alexandrov space X and consider the identity map

i : XT(W(X)).)

1.2.5 Category theoretic description of the dualityLet Set denote the category of sets and maps. Let Top denote the category of topological spaces and continuousmaps; and let Pro denote the category of preordered sets and monotone functions. Then

T : ProTop and

W : TopPro

are concrete functors over Set which are left and right adjoints respectively.Let Alx denote the full subcategory of Top consisting of the Alexandrov spaces. Then the restrictions

4 CHAPTER 1. ALEXANDROV TOPOLOGY

T : ProAlx and

W : AlxPro

are inverse concrete isomorphisms over Set.Alx is in fact a bico-reective subcategory of Top with bico-reector TW : TopAlx. This means that given atopological space X, the identity map

i : T(W(X))X

is continuous and for every continuous map

f : YX

where Y is an Alexandrov space, the composition

i 1f : YT(W(X))

is continuous.

1.2.6 Relationship to the construction of modal algebras from modal framesGiven a preordered set X, the interior operator and closure operator of T(X) are given by:

Int(S) = { x X : for all y X, xy implies y S }, for all S X

Cl(S) = { x X : there exists a y S with xy } for all S X

Considering the interior operator and closure operator to be modal operators on the power set Boolean algebra of X,this construction is a special case of the construction of a modal algebra from a modal frame i.e. a set with a singlebinary relation. (The latter construction is itself a special case of a more general construction of a complex algebrafrom a relational structure i.e. a set with relations dened on it.) The class of modal algebras that we obtain in thecase of a preordered set is the class of interior algebrasthe algebraic abstractions of topological spaces.

1.3 HistoryAlexandrov spaces were rst introduced in 1937 by P. S. Alexandrov under the name discrete spaces, where heprovided the characterizations in terms of sets and neighbourhoods.[1] The name discrete spaces later came to be usedfor topological spaces in which every subset is open and the original concept lay forgotten. With the advancement ofcategorical topology in the 1980s, Alexandrov spaces were rediscovered when the concept of nite generation wasapplied t

locally normal space 6

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