líneas de investigaciónbiene/lecturefiles/l... · 2007. 5. 22. · (=visión por computadora)...
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Líneas de investigación
P e t r a W i e d e r h o l d
e-mail: [email protected]
Página Web: http://ctrl.cinvestav.mx/~biene
(Platica de 1 hora, mayo 2007, disponible en WebSite)
mailto:[email protected]://ctrl.cinvestav.mx/~biene
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Mis origenes:Turingia (Harz),
Alemania Oriental
1981-1986 Estudios de Matematicas(1986 Maestria)
Universidad “Friedrich Schiller”, Jena, Turingia
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1998 Doctorado, Matematicas(Topologia, Posets, Dimension)
UAM-Iztapala, Mexico
desde 1990 en el CINVESTAV
desde 1988 en Mexico
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Contenido de Platica:
• Introducción
• Modelos de imágenes
• * Estructuras Vecinas
• * Complejos Celulares
• * Espacios Digitales
• Proyectos en estudio
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Introducción
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Matemáticas
Procesamiento Digital
de Imágenes
/Visión
por Computadora
TopologíaGeometría
CombinatoriaAlgebra
Topología y Geometría
Digital
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Procesamiento Digital de Imágenes (=Visión por Computadora)
Hacer computadoras capaces de
captar, procesar, y
entender imágenes.
Imágenes digitales –para su
transformación, análisis, interpretación y clasificación,
y además, los métodos y algoritmos y medios de programación
y técnicospara realizar eso.
Objetivo: Objetos:
-
Procesamiento Digital de Imágenes
Áreas de aplicación :
Área industrial técnica
Control de Calidad
Procesam. de
documentos
Robotica
Biología
Medicina
GeografíaMetrología
Astronomía
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Porqué ... ?
Topología ... ?y
Geometría ... ?DIGITAL ?
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Topología Geometría
Forma
Espacio
Dimensión
Conectividad
Figura
Tamaño
LinealidadPlanaridad
Transformacionesgeométricas
... en imágenes ... ... digitales !??!
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Modelos de imágenes
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Modelos (del dominio de definición !) de imágenes digitales
Modelos gráficos
Estructuras vecinas /
de incidenciaModelos
combinatorios
Complejos Simpliciales /
CelularesModelos
topológicos
“Espacios Digitales”
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Estructuras Vecinas
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4 -Estructura Vecina / 4 -vecinos
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6R - Estructura Vecina / 6R - vecinos
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8 - Estructura Vecina / 8 - vecinos
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Def.: Estructura vecina
relación binariano reflexiva, simétrica,(en gral. no transitiva)(cantos de una gráfica !)
“relación de vecindad”
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4-vecindad, 4-camino 8-vecindad, 8-camino
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Contornos bajo 4- y 8-conectividad
! Contorno ( = frontera ) es secuencia de píxeles (no de cantos) ! Frontera es parte del objeto, por eso : frontera del objeto no coincide con frontera del complemento del objeto
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Gráficas vecinas en 3D
6-vecindad 18-vecindad 26-vecindad
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Proyectos con estudiantes realizados
• Algoritmos de Esqueletización de Imágenes Digitales BinariasAdelgazamiento y transformación al eje medio para imágenes digitales 2D, bajo las conectividades de tipo 4, 6L, 6R, 8
(Tesis de maestría, 1993, Juan Luis Díaz de León Santiago)
• Esqueletos continuos y discretos en el plano generados mediante adelgazamientoEsqueletos generados mediante adelgazamiento (8-conectividad) bajo un proceso de aumento de resolución, comparación de los esqueletos discretos con el eje medio en R2
(Tesis de maestría, 2005, Gabriela A. Gallegos Garrido )
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Complejos Celulares
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Def.: Complejo Celular
relación binariareflexiva, antisimétrica,transitiva(B es un orden parcial !)
“relación de fronterización”
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Ejemplos
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YZ
X
Z
F1
F2
F3
F4F5
F6
F7 PZ
C1
C2
C3 C4
C5
C6
Ejemplos
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Conectividad en un complejo celular
a través de caminos
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Ejemplos de subcomplejos (no) conexos
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Estrellas abiertas y frontera
Frontera de un objeto = conjunto de todos los elementos (del complejo !)
cuya estrella abierta intersectatanto al objeto como a su complemento.
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a)
Frontera
b)
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Frontera como Modelo de Contorno
! Frontera es secuencia de puntos y cantos (no cuadrados) ! Frontera es la frontera topológica del objeto, por eso : frontera del objeto coincide con frontera del complemento del objeto.
3
3
5
73
5
7
7
0
0
0 0 0
44
4
4
0
2
2
2
2
26
6
6
6
2
2
2
4
62
4
6
6
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Proyectos con estudiantes realizados
• "Seguimiento de fronteras de objetos en complejos celulares cúbicos de dimensión dos y tres"(Tesis de maestría, 2003, Saul M. Domínguez Nicolás)
• "Convexidad de subcomplejos celulares de dimensión dos"(Tesis de maestría, 2004, Luis A. Martínez Castro)
• "Adelgazamiento de subcomplejos celulares de dimensión dos"(Tesis de maestría, 2004, Maria del Rayo Zempoala Ramírez)
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Proyectos con estudiantes en proceso(Opción de estudios “Matemáticas”)
• "Topología del adelgazamiento sobre el complejo celular cuadrático y sobre el complejo celular triangular "(Tesis de maestría, 2007, Pablo Sandino Morales Chávez )
• "Geometría del adelgazamiento sobre el complejo celular cuadrático y sobre el complejo celular hexagonal "(Tesis de maestría, 2007, Alfredo Trejo Martínez )
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Espacios Digitales
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Construcción de un espacio digital según Kronheimer (1992)... en el Plano Euclidiano :
Un conjunto discreto ...
-
... es identificado con una fenestración W,
(Esta es la fenestración estándar.)
Fenestración de Rn
= familia de sub-conjuntos propiosno vacíos, ajenospor parejas, regulares abiertosde Rntal que su unión es densa en Rn.
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... y extendido a un espacio cociente abierto del plano,
llamado W - grid.
Hay un W – grid minimal ... !
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El W – grid minimal de la fenestración estándar:
Teorema:(Kronheimer)
Para todafenestraciónlocalmente
finitade Rn,
el W – grid minimal es un
espacio T0Alexandroff.
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Espacio Alexandroff =
espacio topol. donde toda intersección de abiertos es abierta,o, equivalentemente,
donde cada punto tiene una vecindad abierta minimal.
(Alexandroff 1937)
Ejemplo:
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Espacio Digital X = W – grid minimal de una
fenestración localmente finita
• X es un espacio T0 Alexandroff• la proyección natural es mapeo abierto
• la dimensión de X debe ser igual a n !?!
suponiendo una fenestración del espacio Euclidiano Rn
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Dimensión para espacios Alexandroff
Aplicación de la dimensión indde la Topología General
Def. y demostración de propiedades “bonitas”:
"Dimension for Alexandrov Spaces“, (Wiederhold/Wilson),Vision Geometry, SPIE Proceedings Series, 1993.
"The Krull dimension of Alexandroff T0 spaces”,(Wiederhold/Wilson), Papers on General Topology and Applications, Annals of the New York Academy of Science, 1996.
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Espacios T0 Alexandroff son equivalentes a conjuntos parcialmente ordenados
(= complejos celulares !!!)
(X,
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Dimensión del orden parcial
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Dimensión topológica = dimensión del orden parcial
Teorema: (Wiederhold/Wilson 1993)
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El espacio digital construido a partir de lafenestración estándar de Rn (cubos abiertos)
tiene dimensión igual a n.
Para fenestraciones local-mente finitas arbitrarias de Rn,
lo mismo NO es verdad. (Ejemplos: Wiederhold/Wilson 2002)
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El caso acotado convexo
Teorema: (Wiederhold/Wilson 2002)
"The Alexandroff dimension of digital quotients of Euclidean spaces”,Discrete & Computational Geometry, Vol. 27, 2002.
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Homeomorfo a discos …, para el plano:
Teorema: (Wiederhold/Wilson 2004)
"The Alexandroff dimension of quotients of R2“,Discrete & Computational Geometry, Vol. 32, 2004.
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Proyectos en estudio
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Temas actuales de investigación:
• Conceptos de dimensión para espacios digitales (espacios topológicos de Alexandroff ) y estructuras matemáticas relacionadas (posets, grupos, grafos)
• Esqueletos y sus propiedades topológicas y geométricas, en particular: Adelgazamiento sobre espacios digitales (2 Tesis de maestría en proceso)
• Estimadores del área de superficies digitales bajo el aspecto de la convergencia multireticular.(1 Tesis de doctorado en proceso)
• Generalización de resultados sobre la dimensión de espacios digitales generados a partir de fenestraciones esféricas de Rnpara n>=3.
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Esqueletos
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Esqueleto según Blum (1967)
!!! en el plano Euclidiano !!!
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Adelgazamiento sobre complejos celulares (Kovalevsky 2001)
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Esqueletos en complejos celulares cuadráticos(Tesis Rayo)
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Esqueletos en complejos celulares cuadráticos(Tesis Rayo)
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Esqueleto
Adelgazamiento
en complejos celulares cuadráticos
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(Tesis Alfredo)
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(Tesis Sandino)
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Gracias
Para consultar publicaciones y tesis asesoradas:Página Web: http://ctrl.cinvestav.mx/~biene
http://ctrl.cinvestav.mx/~biene
Gráficas vecinas en 3DProyectos con estudiantes realizadosConectividad �en un complejo celularEjemplos de subcomplejos (no) conexosEstrellas abiertas y fronteraFronteraProyectos con estudiantes realizadosProyectos con estudiantes en proceso�(Opción de estudios “Matemáticas”)... y extendido a �un espacio cociente abierto del plano,�llamado W - grid.Espacios T0 Alexandroff son equivalentes a conjuntos parcialmente ordenados �(= complejos celulares !!!)Dimensión del orden parcialEl caso acotado convexo Homeomorfo a discos …, para el plano:Esqueleto según Blum (1967)Adelgazamiento sobre �complejos celulares (Kovalevsky 2001)Esqueletos en complejos celulares cuadráticos�(Tesis Rayo) Esqueletos en complejos celulares cuadráticos�(Tesis Rayo) Adelgazamiento �en complejos celulares cuadráticos Gráficas vecinas en 3DProyectos con estudiantes realizadosConectividad �en un complejo celularEjemplos de subcomplejos (no) conexosEstrellas abiertas y fronteraFronteraProyectos con estudiantes realizadosProyectos con estudiantes en proceso�(Opción de estudios “Matemáticas”)... y extendido a �un espacio cociente abierto del plano,�llamado W - grid.Espacios T0 Alexandroff son equivalentes a conjuntos parcialmente ordenados �(= complejos celulares !!!)Dimensión del orden parcialEl caso acotado convexo Homeomorfo a discos …, para el plano:Esqueleto según Blum (1967)Adelgazamiento sobre �complejos celulares (Kovalevsky 2001)Esqueletos en complejos celulares cuadráticos�(Tesis Rayo) Esqueletos en complejos celulares cuadráticos�(Tesis Rayo) Adelgazamiento �en complejos celulares cuadráticos