llibrerolf

FONAMENTS DE FISICA

Jose I. Latorre i Rolf Tarrach

Departament d'Estructura i Constituents de la Materia

Universitat de Barcelona

Magnituds i unitats 1

MATERIAL PREVI

I.1. MAGNITUDS I UNITATS

I.1.1. Unitats basiques mecaniques. Relacions fonamentals.

Tota magnitud fsica es mesura en unes certes unitats. Aquestes unitats poden ser basiques (necessiten

d'un patro per denir-les) o derivades (es poden construir recursivament a partir de les unitats basiques). Els

patrons de mesura per a les unitats basiques haurien de ser precisos, reprodubles arreu del mon i immutables

en el temps. La impossibilitat d'assolir denitivament aquests requisits ha fet que els patrons de mesura

hagin canviat en el temps i possiblement ho tornin a fer en el futur. La comunitat cientca, pero, ha

tractat de normalitzar un sistema comu d'unitats que rep el nom de Sistema Internacional d'Unitats, el qual

emprarem en aquestes notes.

Comencem per recordar que quan una forca classica donada actua sobre una partcula aquesta reacciona

tal com dicta l'equacio de Newton,~F = m~a : (I:1:1)

La banda esquerra d'aquesta equacio esta relacionada amb les interaccions que trobem a la natura, mentre

que la dreta involucra les magnituds fonamentals de temps, longitud i massa. A continuacio farem un petit

repas dels patrons d'aquestes tres magnituds basiques: temps, longitud i massa.

Temps. Es pren com a unitat de temps el segon. Una denicio grollera de segon podria ser

1s 1

86 400dia: (I:1:2)

De seguida hom pensa en el fet que els dies no son tots iguals, o be en la dicultat de reproduir aquest patro

en un laboratori. Una forma molt mes acurada de denir la unitat de temps es fer servir processos fsics

microscopics. Per exemple, durant un temps es va emprar un patro basat en rellotges de quars, que tenen

precisions de 0:02 s en un any. Actualment, es deneix el segon com

1s 9 192 631 770 (I:1:3)

on es el perode de la radiacio emesa a la transicio entre els dos subnivells hiperns del nivell fonamental

de l'atom de cesi 133Cs. Aquesta denicio dona lloc a errors d'una part en 1012, mil vegades mes precs que

els rellotges de quars.

Longitud. Durant molt de temps es va prendre com a patro de longitud el metre, denit amb una vara patro

de plat i iridi conservada a l'Ocina Internacional de Peses i Mesures de Pars. Un metre era la distancia

entre dues marques de la vara quan estava penjada a zero graus Celsius de temperatura. La inadequacio

d'aquesta denicio com a unitat de mesura es obvia: no es reproduble arreu del mon, ni precisa. Encara

2 Magnituds i unitats

mes inutil era la denicio de metre com una part en deu milions del quadrant terrestre. El 1960 es va decidir

d'emprar fsica atomica i denir el metre com

1m 1 650 763:73 (I:1:4)

on es la longitud d'ona de la transicio 2p10! 5d5 del cripto86Kr. Malgrat la precisio d'aquesta denicio,

recentment s'ha tornat a canviar el patro de metre d'una forma espectacular. Actualment es deneix el

metre com

1m distancia que recorre la llum en el buit en1

299 792 458s : (I:1:5)

Consequentment, no te sentit mesurar la velocitat de la llum ja que queda xada en (Apendix D)

c 299 792 458m

s: (I:1:6)

Tornarem a analitzar aquest punt subtil una mica mes endavant.

Massa. La massa inercial que apareix a l'equacio de Newton no es el mateix que la massa pesant que

correspon a la \carrega" de les interaccions gravitatories. El patro de massa inercial es un cilindre de plat i

iridi conservat a l'Ocina Internacional de Peses i Mesures de Pars. Com en el cas del temps, aquesta

denicio ha estat substituda de facto per un patro atomic. Es deneix la unitat de massa atomica com

1u 1

12m12C (I:1:7)

es a dir, la dotzena part de la massa d'un atom de carboni 12C. Aleshores el kilogram es

1 kg =1

1:660 540 2(10) 1027u: (I:1:8)

La nomenclatura 1:660 540 2(10) signica 1:660 540 2 0:0000010. A hores d'ara les dues denicions de les

unitats kg i u son independents i, per tant, llur relacio arrossega un error. Quan el kg es deneixi en funcio

d'u, l'error s'ometra i el signe = a (I.1.8) se substituira per .

Les tres unitats basiques que tot just hem denit son sucients per descriure la reaccio d'una partcula

o sistema de partcules a una forca donada. Tenim, doncs, denides les unitats relacionades amb la banda

dreta de l'equacio de Newton. Es clar, pero, que tan aviat com comencem a tractar interaccions, com la

gravitacio o l'electromagnetisme, precisarem un nou conjunt d'unitats. Apareixeran \carregues" associades a

cada interaccio que haurem de denir. D'altra banda, tambe estarem interessats en estudiar processos fsics

macroscopics caracteritzats pel fet d'involucrar un gran nombre de partcules (tpicament, 1023 ). Estudiarem

totes aquestes unitats en la propera seccio.

Retornem ara a esbrinar el punt, conceptualment nou, de no poder mesurar la velocitat de la llum.

Una forma potser mes na de pensar en aquest fet es notar que, per a una partcula allada, el nombre de

magnituds fonamentals es tres: temps, longitud i massa. Podem, doncs, denir tres patrons respectius com

es feia abans. Tanmateix, podem denir un unic patro, el de temps per exemple, i dues relacions. Una d'elles

es L=T , o sigui una velocitat. Per aixo fem us de la velocitat de la llum com a constant universal per denir

el patro longitud. La segona relacio podria ser M=T o qualsevol altre que involucri la massa, com

ML2T1 : (I:1:9)

De fet existeix una constant universal amb aquestes dimensions, que es la que caracteritza els fenomens

quantics,

h = 1:054 572 66(63) 1034kgm2

s: (I:1:10)

En resum, les constants universals c i h poden ser denides, proporcionant aix patrons de longitud i

massa substitutoris dels habituals. Aquesta actitud s'ha pres ocialment en el cas de c pero no pas en el de

h.


I.1.2. Unitats basiques associades a carregues.

Existeix tot un altre conjunt de llibertats de conveni a l'hora de denir unitats relacionades amb les

interaccions fonamentals (es a dir, a la banda esquerra de l'equacio de Newton). Per exemple, com veurem

mes endavant en aquest curs, la llei de Coulomb, que dona la forca entre dues carregues electrostatiques

situades a una distancia r,

~F =1

40

q1q2r3

~r ; (I:1:11)

te com a arbitrarietat la denicio de la carrega electrica i la propia constant de proporcionalitat 0, que repel nom de permitivitat del buit. Aixo permet denir la unitat de carrega, el coulomb, C, de la seguent forma.

Es xa1

40 c2 107 kg m C2 ; (I:1:12)

de manera que un coulomb es la carrega que, situada a una distancia d'un metre d'una altra igual, ambdues

en repos, fa una forca de c2 107 kg m1 ' 9 109 newtons sobre l'altra. Aquesta es la versio MKSC del

Sistema Internacional d'Unitats.

La forma mes habitual de denir unitats electriques no esta basada en l'electrostatica sino en la mag-

netostatica. Dos ls conductors parallels i llargs pels que passen uns corrents estacionaris d'intensitats i1 i

i2 i que estan a una distancia d un de l'altre fan una forca entre ells per unitat de longitud donada per

F

l=0

42i1i2

d; (I:1:13)

on de 0 se'n diu la permeabilitat del buit. Aleshores es deneix la unitat d'intensitat de corrent electric,

l'ampere, A, xant0

4 107

kg m

s2A2; (I:1:14)

de forma que un ampere es la intensitat de corrent que circulant a un metre de distancia d'una altra igual fa

una forca de 2 107 newtons sobre l'altra. Aquesta es la versio MKSA del Sistema Internacional d'Unitats

i equival a la MKSC, ja que el coulomb denit en una i l'ampere denit en l'altra satisfan A=C s1. La rao

d'aquesta equivalencia es l'existencia d'una relacio entre 0 i 0, donada per

00 1

c2: (I:1:15)

Aquesta relacio re ecteix el fet que electricitat i magnetisme no son dues interaccions independents, sino dos

aspectes d'una sola interaccio, l'electromagnetica.

De fet, cap d'aquestes denicions permet una realitzacio gaire precisa del patro corresponent al labo-

ratori. Es per aixo que es recomana una realitzacio indirecta del patro electric a traves de la consistencia

de les mesures mes precises de magnituds electromagnetiques que s'assoleixen al laboratori. Hi han dos

experiments que destaquen per llur precisio. D'una banda, l'efecte Josephson permet representar la unitat

de diferencia de potencial electric, el volt, V, amb una precisio millor que una part en 106. Mes recentment,

l'any 1990 es va recomanar representar la unitat de resistencia, l'ohm, que s'abreuja com , a partir dels

plateaus de l'efecte Hall quantic (que presenten resistencies reprodubles amb desviacions inferiors a una part

en 107).

Existeix una segona forma, conceptualment diferent, de denir les constants 0 i 0. La idea basica es

fer que aquestes constants no introdueixin cap nova magnitud, prenent en lloc de (I.1.11)

~F =q1q2

r3~r ; (I:1:16)

i, en lloc de (I.1.13),F

l=

2

c2i1i2d

: (I:1:17)

Aleshores, no hi ha cap necessitat d'introduir una nova unitat de carrega (coulomb) perque es sucient fer

servir les unitats de M;L i T per denir la unitat de carrega en conjuncio amb l'equacio de Coulomb. Per

tant, la carrega electrica te dimensions de ML3T2

12 : (I:1:18)


Aquest sistema d'unitats rep el nom de Gaussia i es l'unic que s'empra en el cas de les interaccions febles i

fortes.

En estudiar les interaccions gravitatories ens trobem de nou amb una llibertat potencial per denir les

unitats de massa pesant. La llei de la gravitacio universal

~F = Gm1m2

r3~r ; (I:1:19)

precisa una denicio d'unitat de massa pesant i la mesura de la constant de Newton. En principi, podrem

absorbir l'error de la constant de Newton dintre de la denicio de massa pesant, en forma semblant al cas

electrostatic, pero aixo no es el que es fa. La diferencia fonamental es que en el cas de la gravitacio s'eleva a

principi la igualtat entre massa pesant i massa inercial, permetent la construccio de la teoria de la Relativitat

General. Aleshores, no podem absorbir cap error de la constant de Newton dintre del patro de massa pesant.

En identicar ambdues masses, la constant de Newton s'ha de mesurar i porta un error

G = 6:672 59(85) 1011m3

kg s2: (I:1:20)

En forma semblant, existeixen llibertats de denicio en tractar interaccions fortes i febles que completen

les quatre interaccions fonamentals. Aquestes, pero, son forces que no estudiarem en aquest curs i ometrem,

en consequencia, la presentacio de les unitats de carrega forta i feble.

I.1.3. Unitats macroscopiques. Unitats derivades.

Un punt important que volem esmentar es la connexio entre les magnituds basiques i les macroscopiques.

Branques de la Fsica com l'Estat Solid, Fluids o la Mecanica Estadstica involucren magnituds que contenen

el numero d'Avogadro,

N0 = 6:022 136 7(36) 1023 (I:1:21)

com la constant d'Avogadro que deneix el mol com a unitat de quantitat de substancia

NA = 6:022 136 7(36) 10231

mol; (I:1:22)

(o qualsevol de les quantitats ntimament relacionades amb ell com la constant de Boltzmann k =

1:380 658(12) 1023 J K1). Aquest es el numero que ens porta de la fsica microscopica a la macroscopica.

Un exemple ben obvi es el canvi del patro de massa, primer basat en fsica macroscopica i despres en fsica

atomica,

N0 g

u: (I:1:23)

A continuacio donem algunes d'aquestes unitats macroscopiques, que molts textos tambe en diuen basiques,

sense presentar-hi una denicio acurada

Quantitat de materia mol mol

Temperatura kelvin K

Intensitat lluminosa candela cd

Aixo completa les unitats basiques del Sistema Internacional.

El nombre de magnituds derivades de les basiques, siguin microscopiques o macroscopiques, que hom

pot denir es illimitat. Cada branca de la Fsica te el seu propi vocabulari basat en magnituds denides per

raons de conveniencia. Tot seguit presentem algunes d'aquestes unitats derivades sense denir-les (ho farem

mes endavant)

Frequencia hertz Hz

Forca newton N

Energia joule J


Potencia watt W

Pressio pascal Pa

Carrega electrica (MKSA) coulomb C

Potencial electric volt V

Intensitat de corrent (MKSC) ampere A

Capacitat electrica farad F

Flux magnetic weber Wb

Camp magnetic tesla T

En aquest petit resum d'unitats derivades nomes hem presentat les que pertoquen al temari del present curs,

es a dir, aquelles relacionades amb la Mecanica i l'Electromagnetisme. Algunes altres unitats d'us frequent

son presentades a l'Apendix E.

Sovint ens trobarem amb la necessitat d'utilitzar multiples d'unitats. Per tal de no arrossegar potencies

de 10 inutilment, es deneixen les seguents abreviatures

1018 atto a

1015 femto f

1012 pico p

109 nano n

106 micro 103 mili m

102 centi c

101 deci d

101 deca da

102 hecto h

103 kilo k

106 mega M

109 giga G

1012 tera T

1015 peta P

1018 exa E

I.1.4. Unitats adimensionals.

Per ultim, ens queda esmentar el conjunt d'unitats adimensionals. Aquestes, essencialment, son l'angle

i l'angle solid. Podem mesurar angles en graus sexagesimals com era tradicional. Aixo, pero, no es gaire

convenient ja que els calculs es complicarien inutilment. Hi ha una unica unitat per mesurar angles que te

la seguent propietat

lim!0

sin

= 1: (I:1:24)

Aquesta unitat es el radia, que es deneix com el quocient de l'arc pel radi. L'us del radia es essencial per

poder emprar igualtats comd

dsin = cos : (I:1:25)

L'angle solid generalitza a tres dimensions el concepte d'angle en dues. Es deneix com el quocient

de l'area del casquet pel radi al quadrat i es mesura en estereoradians, que tambe son adimensionals. Una

propietat important que utilitzarem durant el curs es la forma de les mesures d'integracio en dues i tres

dimensions

(i) Dues dimensions Z1

1

dx

Z1

1

dy !Z1

0

dr r

Z 2

0

d (I:1:26)

Z 2

0

d = 2 (I:1:27)


(ii) Tres dimensions

Z1

1

dx

Z1

1

dy

Z1

1

dz !Z1

0

r2 dr

Z 2

0

d

Z

0

sin d (I:1:28)

Z 2

0

d

Z

0

sin d = 4 (I:1:29)

Frequentment es fa servir la notacio d = dd sin per al diferencial d'angle solid.

Analisi dimensional 7

I.2. ANALISI DIMENSIONAL

L'analisi dimensional es una eina molt valuosa per fer un primer estudi de qualsevol problema. Sovint,

algunes equacions de la fsica venen totalment determinades per les dimensions de les magnituds que hi

intervenen, excepte pels factors numerics que son adimensionals. Per exemple, l'acceleracio centrfuga que

senten els ocupants d'un cotxe quan pren una corba de radi r a velocitat v es pot trobar de la seguent forma.

Les dimensions d'acceleracio, velocitat i longitud son

[a] =L

T 2[v] =

L

T[r] = L : (I:2:1)

Per trobar una acceleracio en termes de velocitat i longituds, plantegem el seguent sistema

[a] = LT2 = [vr] = L+T ; (I:2:2)

+ = 1 ; = 2 =) = 2 ; = 1 : (I:2:3)

Aix doncs, l'analisi dimensional dicta que l'unica manera de construir una acceleracio, donada una velocitat

i una longitud, es

a v2

r: (I:2:4)

Noteu, pero, que aquest argument no diu res de la constant de proporcionalitat. L'estudi de la cinematica

del problema ens diu que, de fet, la constant es 1.

Anem ara a presentar un seguit d'exemples que permeten adonar-se de la potencia de l'analisi dimen-

sional, ben pales si es combina amb altres tipus de raonaments.

Exemple 1. Teorema de Pitagores

Sigui un triangle rectangle d'hipotenusa a i angle . Per arguments dimensionals, la seva area ha de ser

de la forma

S = a2f() (I:2:5)

on f() es una funcio universal de l'angle que no necessitem especicar. Considerem ara la descomposicio

del triangle anterior en dos triangles tambe rectangles,

c

a

b

α

α

Aleshores, podem escriure l'area total com la suma d'ambdues arees, fent us de l'equacio anterior

a2f() = b2f() + c2f() (I:2:6)

a2 = b2 + c2 (I:2:7)

i el teorema de Pitagores queda demostrat.

Exemple 2. Perode d'un pendol simple per petites oscillacions.En general, el perode d'un pendol simple, , pot ser una funcio qualsevol de la massa de l'objecte que

oscilla,m, de l'acceleracio de la gravetat, g, de la longitud del pendol, l, i de l'amplitud inicial de l'oscillaciocorresponent a un angle ,

= (m; g; l; ) : (I:2:8)

8 Analisi dimensional

Sabem, pero, que aquest perode no depen d' per petites amplituds. Aix doncs, tenim

= (m; g; l) : (I:2:9)

Dimensionalment, nomes hi ha una forma de construir una quantitat de tipus temps

sl

g; (I:2:10)

mentre que la solucio explcita de l'equacio diferencial adient ens dona

= 2

sl

g: (I:2:11)

Noteu com l'analisi dimensional ha estat capac de detectar la independencia del perode respecte de la massa

i de trobar la funcionalitat exacta en termes de l i g. En canvi, tan sols la solucio exacta del problema pot

xar el coecient adimensional.

Exemple 3. Quin es l'ordre de magnitud de la temperatura de la superfcie del Sol si el seu color es groc?

El color groc correspon a una longitud d'ona aproximada de 5800A. Considerant el Sol com un cos

negre, aquesta longitud d'ona ha de relacionar-se nomes amb la temperatura de la superfcie solar (lloc d'on

ve la llum groga) mitjancant les constants fonamentals k; h; c. L'analisi dimensional es sucient per dictar

la forma de combinar-les adientment,

T hc

k

1

(I:2:12)

Substituint els valors de les constants, tenim

T 4000K (I:2:13)

que es l'ordre de magnitud correcte de la temperatura de la superfcie del Sol. De fet, el resultat que hem

trobat s'apropa forca al resultat correcte. Aixo es degut al fet que l'expressio correcta per descriure aquest

fenomen es la llei de desplacament de Wien que no conte cap factor numeric gran,

hc

kT= 0:790 222 : : : (I:2:14)

Es instructiu fer notar que abans de l'adveniment de la mecanica quantica h era desconeguda i per tant

aquest raonament introduiria una constant universal extraordinariament petita en unitats del S.I..

Ordres de magnitud 9

I.3. ORDRES DE MAGNITUD

I.3.1. Estimacio d'ordres de magnitud.

Quan s'estudia un sistema fsic es molt important tenir un cert control, encara que groller, dels valors

de les magnituds que hi intervenen. De vegades, resulta facil estimar el resultat d'un experiment pero no

sempre es aix. Per exemple, un cotxe que circula per una autopista pot tenir un velocitat aproximada de

100 kmh, i amb aixo volem dir que l'ordre de magnitud de la seva velocitat es de 102 km

hen lloc de 10 km

ho de

103 kmh. Aix mateix, l'ordre de magnitud de la vida d'un home/dona es de 100 anys (i no deu o mil).

Preguntem-nos, com un exemple mes avancat, quin es el nombre de nucleons (protons i neutrons) a

l'univers conegut. Podem raonar de la seguent manera: Coneixem de l'ordre de 1011 galaxies que contenen

uns 1011 estels, els quals pesen uns 1030kg i cada kg conte uns 1027 nucleons. Tot plegat, tenim que el

nombre de nucleons a l'univers conegut ha de ser de l'ordre de 1079.

Un exercici d'estimacio d'ordres de magnitud divertit es fer el seguent seguit de raonaments. Un

home/dona ingereix al voltant de 3000 kcal per dia, que basicament son consumides per generar calor.

Aix doncs, radia una fraccio important (al voltant del 50%) amb una potencia de

1

23 106cal

4:186J

1cal

1

86400s 80W : (I:3:1)

Un home/dona emet com una bombeta, deu homes com una estufa. Si el preu del kWh es de 16 ptes, el

consum energetic diari d'un home/dona es de menys de 60 ptes, per que el menjar es aleshores tan car?

Similarment podrem fer el calcul a partir de la formula de radiacio termica considerant el cos huma com un

cos negre i trobarem una estimacio semblant.

Un altre exemple que illustra l'art d'estimar ordres de magnitud es la famosa pregunta que feia Fermi

als seus deixebles en comencar el curs: Quants anadors de piano hi ha a Chicago? Altres estimacions que

deixem com a exercici son:

1. Quin es el producte nacional brut de l'Estat espanyol?

2. Quants cotxes poden circular per Barcelona?

3. Quants nens i nenes neixen en un dia arreu del mon?

I.3.2. Ordres de magnitud de longituds.

Les distancies mes grans que podem mesurar corresponen a objectes poc entesos situats als lmits de

l'univers conegut, es a dir, a uns 1026m de la Terra. A l'extrem oposat, els experiments mes ns de fsica de

partcules esbrinen distancies de l'ordre de 1018m. A la taula seguent fem un petit repas de les diferents

estructures que es troben en les escales intermedies.

10 Ordres de magnitud

24

20

16

12

8

4

0

−4

−8

−12

−16

log(L/m)28

radi univers conegut

distància Sol−centre galàxia

distància Terra− α−centauri

distància Sol−Neptú

distància Terra−Sol

radi Sol, distància Terra−Lluna

radi Terra

alçada Everest

mida home

mida puça

mida cèl.lula humana

longitud d’ona grocmida virus

radi atòmic

radi nuclear

distàncies menors estudiades

Taula I.3.1. Ordres de magnitud de longituds.

Noteu com les diferents branques del coneixement es concatenen, i molt sovint, se solapen. Les grans

distancies corresponen a la Cosmologia, l'Astrofsica i la Relativitat General. A escales una mica mes petites

tenim l'Astronomia, mentre que la Terra es estudiada per la Geologia. L'escala pertanyent a l'home pertoca

a moltes branques: Materia Condensada, Medicina, Humanitats, etc. Poc a poc es passa a les escales de

la Biologia que, al seu torn, connecta amb la Qumica. Les distancies caracterstiques de les agrupacions

d'atoms son estudiades tambe per l'Estat Solid i la Fsica Atomica. L'estudi del nucli atomic correspon a

la Fsica Nuclear i, nalment, les partcules anomenades elementals pertanyen al camp de la Fsica d'Altes

Energies.

I.3.3. Ordres de magnitud de temps.

Un recorregut semblant al que hem fet per les escales de longitud es pot repetir en el cas del temps.

Els fenomens de la fsica poden classicar-se en primera aproximacio pels temps tpics que involucren. Una

escala temporal forca llarga es el temps d'enca el Big Bang, 1017 a 1018s. Per l'altra banda tenim les vides

mitjanes d'algunes partcules que se situen en 1024s. Una escala que en principi podria ser innita seria la

vida mitjana de partcules estables. Experimentalment, pero, hom nomes pot donar cotes inferiors a aquestes

vides mitjanes. Per exemple, la vida mitjana del proto es > 1032 anys.


36

28

20

12

4

−4

−12

−20

−28

edat univers

edat homo sapiensany Plutó

any Terradia Terravida mitjana neutróperí ode batec cor

perí ode estrella neutrons, vida mitjana muó

perí ode rotació molecular

vida mitjana Z°

log(T/s)

cota vida mitjana protó

Taula I.3.2. Ordres de magnitud de temps.

I.3.4. Ordres de magnitud de masses.

Abans hem esmentat que el nombre de nucleons a l'univers conegut es de l'ordre de 1079. Aixo ens permet

deduir que la massa de l'univers conegut (observable, sense materia obscura) es de 1052kg. Tpicament, la

massa d'un estel es de 1030kg, mentre que la de la Terra es de 1024kg. La massa d'un proto es d'uns 1027kg,

comparable en ordre de magnitud a les de moltes de les partcules anomenades elementals. Les escales mes

petites corresponen a partcules que tal vegada no tenen massa. De nou, els experiments no poden mesurar

una massa zero, nomes donen una cota superior. Tenim com a cas extrem la cota a la massa del foto que es

< 1063kg.


52

44

36

28

20

12

4

−4

−12

−20

−28

massa visible univers

massa Terramassa Lluna

massa tota la humanitat

massa home

massa cèl.lula tí pica animal

massa bactèria

massa virus

massa molècula hemoglobinamassa Z° , aminoàcid

massa electró

log(M/kg)

massa Sol

massa galàxia

Taula I.3.3. Ordres de magnitud de masses.

I.3.5. Ordres de magnitud de densitats.

Tambe hem afegit un grac amb els ordres de magnitud de les densitats mes rellevants a la natura. Es

un fet notable que els diferents nivells d'organitzacio de la materia queden ben palesos quan es dona un cop

d'ull a la taula de densitats. Hi ha dotze ordres de magnitud entre les densitats nuclears i les atomiques,

vint-i-un entre la de l'aire i la de la galaxia i quatre mes ns a arribar a la densitat crtica de l'univers.


16

12

8

4

0

−4

−8

log(ρ/(kg m ))20

densitat estrella neutrons

densitat nucli atòmic

densitat nana blanca

densitat urani

densitat Terradensitat Sol

densitat aire (condicions normals)

densitat aire al tub del LEP

densitat galàxia

densitat crí tica univers

−12

−20

−24

−16

densitat nucleons univers

−3

Taula I.3.4. Ordres de magnitud de densitats.

I.3.6. L'espectre electromagnetic.

Totes les escales de longituds, temps i masses que acabem de repassar son estudiades amb tecniques

diverses. De tota manera, el fenomen en questio es analitzat amb un aparell, es \vist" mitjancant una de les

interaccions fonamentals. Una petita re exio ens porta de seguida a entendre que la llum, es a dir les inter-

accions electromagnetiques, son l'ull que permet fer mesures. Cada ordre de magnitud tindra una frequencia

caracterstica que permetra estudiar-lo. Les longituds d'ona corresponents s'obtenen immediatament de la

formula = c. L'energia del foto que correspon a una radiacio de frequencia es E = h. Aix un foto de

llum groga ( ' 500 THz) te una longitud d'ona ' 6 000 A. Quan arriba a la retina, una de les cellulesfotosensibles absorbeix el foto que hi deposita una energia de 3 1019 J.


10

10

10

10

10

10

26

22

18

14

10

6

102

ν(Hz)

còsmics raigs γ d’ accelerador nuclears

durs raigs X tous

Bultraviolat (UV) Avisible

infraroig (IR)

microones

radar

TV, FM

radio

lí nies d’ alta tensió

Taula I.3.5. Espectre electromagnetic.

Una observacio interessant es el fet de la gran precisio amb que es mesuren certes frequencies electro-

magnetiques. Per exemple, la frequencia de la transicio hiperna del nivell fonamental de l'atom d'hidrogen

es

= 1420:405 751 786 4(17)MHz : (I:3:2)

Aquesta mesura presenta un error d'una part en 1012, sent una de les observacions experimentals mes precises

de tota la ciencia.

I.3.7. Longitud, temps i massa de Planck.

Els efectes de gravitacio quantica, que actualment s'escapen de la nostra comprensio, es donaran quan

s'investiguin distancies molt petites, temps molt breus o densitats molt elevades. De fet, podem estimar

aquests llindars construint quantitats amb dimensions adients a partir de la constant de la gravitacio G, h i

c.

Temps deP lanck ! P =

Gh

c5

12

1043s ; (I:3:3)

Longitud deP lanck ! LP =

Gh

c3

12

1035m ; (I:3:4)


Massa deP lanck !MP =

hc

G

12

108kg : (I:3:5)

Sovint es parla de la densitat de Planck que correspon a

Densitat de P lanck ! P =c5

G2h 1097

kg

m3; (I:3:6)

i de la temperatura de Planck

Temperatura deP lanck ! TP =

hc5

k2G

12

1032K : (I:3:7)

Si comparem, per exemple, les distancies mes petites que l'home esta explorant, de l'ordre de 1018m, amb

la longitud de Planck veiem que hi ha disset ordres de magnitud pel mig. Durant el segle XX, l'home ha

millorat els seus aparells experimentals de forma que s'ha guanyat un ordre de magnitud en la longitud

mnima explorada cada 10 anys, aproximadament. Obviament, experiments a l'escala de Planck queden

totalment fora de les possibilitats humanes en el present i durant bastant de temps en el futur.

Malgrat tot, hom sospita que els nostres conceptes basics de temps, longitud i massa canvin radicalment

en arribar als llindars que acabem d'esmentar. Potser l'espai-temps deixera de ser una varietat diferenciable,

es discretitzara i seran necessaris nous conceptes matematics per descriure els fenomens fsics.

16 Petit, gran i complex

I.4. PETIT, GRAN I COMPLEX

I.4.1. Les partcules.

Actualment sabem que la materia que ens envolta esta constituda majoritariament a partir de quatre

partcules elementals, es a dir, partcules l'estructura interna de les quals es inobservable (per tant, si existeix,

ha de ser menor que 1018 m). Dues d'aquestes partcules reben el nom de leptons: una es l'electro, e, il'altra el neutr electronic, e. Les altres dues s'anomenen quarks: quark u (up) i quark d (down). Llurs

carregues electriques son

qe = e qe = 0 qu =2

3e qd =

1

3e ; (I:4:1)

sent e la quantitate = 1:602 177 33(49) 1019C : (I:4:2)

Un proto es un estat lligat de dos quarks up i un down, (uud). La llei d'additivitat de la carrega electrica

dona per al proto una carrega +e. El neutro, en canvi, es un estat lligat (ddu) i, per tant, no te carrega

electrica.

La massa de l'electro es

me = 9:109 389 7(54) 1031kg ; (I:4:3)

mentre que nomes podem donar una cota superior a la del neutr,

me < 1:5 105me : (I:4:4)

El problema de determinar les masses dels quarks esdeve molt mes complex perque, en condicions normals,

aquestes partcules constitueixen els protons i neutrons deixant d'existir com a partcules lliures (no s'ha

observat mai un quark lliure).

Un nucli atomic (A;Z) esta constitut per Z protons i (A Z) neutrons. El radi nuclear es de l'ordre

de R 1:2A13 fm. En un atom neutre, el nucli es troba envoltat per Z electrons, donant una mida de l'ordre

d'un A 100 000 fm a tot l'atom. Es, doncs, evident que els electrons i els quarks u i d son els elements

basics que formen tots els atoms. Noteu, pero, que la densitat mitjana de nuclis (basicament hidrogen) a

l'univers conegut no arriba a un per metre cubic.

Pel que fa als neutrins electronics, cal dir que es tracta de partcules postulades per W. Pauli el 1930

i descobertes el 1956. Apareixen en processos de desintegracio de nuclis atomics. Son molt abundants a

l'univers ja que la seva densitat es d'uns 108 neutrins per metre cubic.

Les quatre partcules que tot just acabem de presentar constitueixen la primera generacio o famlia de

partcules anomenades fonamentals. Sabem que es donen un total de tres generacions, totes formades per

dos leptons i dos quarks, que no descriurem.

I.4.2. Les interaccions.

Ara per ara coneixem l'existencia a la natura de quatre interaccions fonamentals. Cadascuna d'aquestes

forces ve associada a una \carrega" i la interaccio entre partcules carregades es mitjancada per una altra

partcula que en direm \portadora". Repassem breument totes quatre interaccions.

Interaccions gravitatories. Dues masses puntuals interactuen gravitatoriament segons la llei de la gravitacio

de Newton,

~F = Gm1m2

r2r ; (I:4:5)

on G es la constant de la gravitacio de Newton. Es sempre atractiva. Equivalentment, es pot presentar

mitjancant el potencial gravitatori produt per una massa

V = Gm1

r; ~F = m2

~rV : (I:4:6)

Petit, gran i complex 17

Aquesta interaccio es responsable de l'estructura a gran escala de l'univers, sent totalment menyspreable en

el mon microscopic. Per tal de poder comparar la intensitat de les diferents interaccions anem a construir

un numero adimensional basat en la constant de Newton, la massa del proto i les constants fonamentals h i

c,

G =Gm2

p

hc= 5:905 1039 : (I:4:7)

En comparar els numeros adimensionals de les quatre interaccions, veurem que, de lluny, la gravitatoria

es la mes feble. L'any 1905, Einstein va introduir el principi d'invariancia de les lleis de la fsica respecte

d'observadors inercials relativistes. L'extensio d'aquest principi d'invariancia a observadors no inercials dona

lloc el 1916 a la Teoria de la Relativitat General. Aquesta teoria descriu les interaccions gravitatories com

a fenomens de curvatura de l'espai-temps. Les interaccions gravitatories, pero, no han estat quantitzades,

malgrat els esforcos que s'han fet d'enca dels anys 30. Tot i aix, la partcula portadora de la interaccio

gravitatoria ja te nom: el gravito.

Interaccions electromagnetiques. El cas mes simple d'interaccio electromagnetica es la forca electrostatica

entre dues carregues electriques puntuals, o llei de Coulomb

~F = q2~rV ; V =1

40

q1r: (I:4:8)

Es tracta d'una interaccio atractiva per a carregues de signe oposat i repulsiva si son del mateix signe, de

llarg abast, produda pel bescanvi de fotons, que no tenen massa. Fent us de la carrega electrica i de les

constants fonamentals, podem construir un numero adimensional

=e2

40hc=

1

137:035 989 5(61); (I:4:9)

que rep el nom de constant d'estructura na i que dona una idea de la intensitat de les interaccions electro-

magnetiques. Electricitat i magnetisme van ser unicats dintre d'una unica teoria per Maxwell a la segona

meitat del segle XIX. Aquesta teoria va ser posteriorment quantitzada a la decada dels 30, donant lloc a

l'Electrodinamica Quantica. A hores d'ara, aquesta es la teoria mes precisa de la fsica, capac de predir

observables com el moment magnetic anomal de l'electro correctament en una part en 1010.

Interaccions febles. Els fenomens de radioactivitat son, potser, les manifestacions mes conegudes d'aquestes

interaccions. Les forces febles es produeixen pel bescanvi de les partcules W+;W i Z0 entre partcules que

tenen aroma (quarks up, down, strange, charm, bottom, top). El numero adimensional que les caracteritza

es

W =GFm

2pc

h3 105 ; (I:4:10)

on GF es la constant de Fermi, propia d'aquestes interaccions. La teoria de les interaccions febles, compatible

amb la relativitat especial i la mecanica quantica, va ser construda al nal de la decada dels anys 60.

Requereix la unicacio amb l'electromagnetisme i es coneix sota el nom de teoria de Weinberg-Salam.

Interaccions fortes. Son les responsables de l'estabilitat dels nuclis atomics. Els quarks porten una carrega

anomenada color que es bescanvia mitjancant gluons i fent-los interactuar aix fortament. La quantitat

adimensional associada a aquestes forces es

S =g2S4hc

0:1 1 ; (I:4:11)

on gS es la constant propia d'aquestes interaccions. La versio quantica i relativista de les interaccions fortes

es diu Cromodinamica Quantica i va ser construda el 1973.

Les intensitats de les quatre interaccions basiques queden ordenades de la forma seguent

S > > W G : (I:4:12)


Un fet important a entendre es que les interaccions fortes i febles, per raons diferents, son de curt abast. En

consequencia, la fsica d'escales iguals o superiors a l'atomica es descriu unicament en termes d'interaccions

electromagnetiques i gravitatories. A mes a mes, les interaccions electromagnetiques es poden apantallar, es

a dir cancellar, deixant com a unica forca rellevant a grans distancies la gravitatoria.

I.4.3. L'estructura a gran escala de l'univers.

Els objectes de la mida de la Terra o mes grans tenen carrega electrica total nulla o, si mes no,

inobservable, i moments magnetics dipolars petits. Aleshores les interaccions entre planetes i estels son

unicament degudes a les forces gravitatories. Repassem breument l'evolucio de les idees que pertoquen a la

comprensio i l'aplicacio d'aquestes forces a escales macroscopiques.

El 1915, A. Einstein introdu la teoria de la Relativitat General que dona una descripcio geometrica

del camp gravitatori. L'acceptacio de la teoria vingue de la seva capacitat per explicar un fet conegut pero

inexplicable (la precessio del periheli del planeta Mercuri) i de la conrmacio experimental de dues prediccions

de la teoria: el desviament dels raigs de llum en passar prop d'un objecte molt massiu, i el desplacament

cap al vermell de la llum emesa per un atom situat en un camp gravitatori molt intens. Aquesta teoria, junt

amb moltes altres branques de la fsica, tambe es necessaria per explicar alguns detalls de l'estructura dels

estels de neutrons (estels en la darrera fase de la seva vida i que tenen radis de pocs quilometres, formats

principalment per neutrons). En realitat, la teoria de la Relativitat General ens forca a acceptar que un

estel sucientment massiu ha de convertir-se en acabar la seva vida en forat negre quan la seva massaM es

concentra en una esfera de radi inferior al de Schwarzschild, RS = 2Gc2M .

Una altra area de la fsica de les grans escales es la Cosmologia. Els primers models cosmologics recents

neixen de la ma d'Einstein a partir de la seva teoria de Relativitat General. Avui dia, tenim un model

cosmologic estandard per descriure l'evolucio de l'univers a gran escala, anomenat model del Big Bang. El

nostre coneixement de l'univers comenca amb una gran explosio i el refredament i l'expansio ininterromputs

(amb el caveat de l'epoca in acionaria) que van succeir-la. Els fets que van donar-se en els primers 1035

s de l'expansio ens son desconeguts. Tals fenomens es descriuen en el marc de la gravitacio quantica i

dels regims d'energies i temperatures increblement elevades de les teories d'interaccions fonamentals, dels

quals no sabem gaire. Tot seguit, arrenca la historia coneguda de l'univers. Algunes de les conrmacions mes

espectaculars de la cosmologia estandard son el descobriment el 1965 de la radiacio de fons a una temperatura

de T = 2:73K, feta per Wilson i Penzias, i la nucleosntesi primordial que explica els valors de la composicio

qumica de l'univers: hidrogen 1H, 75%; heli 4He, 25%; deuteri 2H, 103%; heli 3He, 103%; liti 7Li, 108%.

Malgrat tot, encara queden molts punts foscos per completar el nostre coneixement de l'evolucio de l'univers,

com per exemple la formacio de galaxies o el dest de l'expansio de l'univers.

Anem a parlar amb una mica mes de detall d'aquest darrer punt. En el model cosmologic estandard

s'introdueix la densitat crtica de l'univers

c =3H2

0

8G= 1:878 82(24) 1026h20

kg

m3; (I:4:13)

on H0 es la constant de Hubble en el moment actual. El seu signicat es el seguent: si r es la distancia a unagalaxia, aleshores H0r es la velocitat amb la qual aquesta galaxia s'esta allunyant de nosaltres, H0 =

_rr. El

valor de c que hem donat correspon a suposar que H0 val H0 = 100h0 km s1Mpc1, on h0 es un parametre

adimensional de l'ordre de la unitat (0:4 < h0 < 1). Si la densitat mitjana de l'univers es tal que > c,l'univers deixara d'expansionar-se i comencara una fase de contraccio que acabara en un collapse. En canvi,

si c, la forca d'atraccio gravitatoria no sera sucientment intensa per aturar l'expansio actual i aquesta

continuara indenidament. El conjunt de totes les galaxies observades dona 0:05c. Malgrat aixo, els

fsics tendeixen a afavorir un valor de la densitat igual a la crtica i, per tant, ha d'existir una gran quantitat

de materia obscura de la qual cada vegada hi ha evidencia indirecta mes convincent i que pot tenir rellevancia

per descriure la formacio de galaxies.

I.4.4. L'estudi de sistemes amb molts graus de llibertat.

Despres d'haver fet unes breus introduccions a la fsica del que es petit i del que es gran cal estudiar

els sistemes complexos. Aquests estan formats per moltes partcules, tpicament de l'ordre d'alguns mols,

Petit, gran i complex 19

es a dir 1024 partcules. Estem parlant de la materia a escales humanes, que es presenta en una amplssima

varietat d'estats diferents. Una primera classicacio es en solids, lquids, gasos i plasmes. Els constituents

individuals que per agregacio formen la materia poden ser atoms, molecules, ions, electrons, nuclis, nucleons,

etc. pero en sistemes de gran nombre de graus de llibertat poden apareixer excitacions collectives com ara

fonons, plasmons, ones de spin, etc. responsables de molts dels fenomens fsics que caracteritzen els agregats

de materia.

A pressio atmosferica i temperatures normals al nostre entorn, l'aigua H2O es un lquid. A temperatura

T = 1000C, bull i passa a vapor d'aigua. Aquest pas de l'estat lquid al gasos, en el qual la densitat disminueix

en mes de tres ordres de magnitud, es diu transicio de fase. A pressions superiors ocorre el mateix, nomes

que la temperatura de vaporitzacio augmenta i la diferencia entre les densitats de les dues fases disminueix.

A la pressio de Pc = 218:3 atmosferes la temperatura de vaporitzacio es Tc = 374:10C i la densitat de les

dues fases es la mateixa, c = 0:325 gr cm3. Aquest es el punt crtic i mes enlla d'ell, a temperatures o

pressions superiors a les crtiques, les diferencies entre la fase lquida i la gasosa desapareixen: el pas d'una

a l'altra es fa de forma contnua, sense transicio de fase.

A zero graus celsius i pressio d'una atmosfera l'aigua es gela. Aquesta transicio entre la fase lquida i la

solida, que tambe es caracteritza per un canvi en la densitat, no te a diferencia de l'anterior punt crtic: aixo

es perque a mes a mes hi ha una diferencia qualitativa entre aquestes dues fases: la lquida es isotropa, la

solida, sent cristallina, no ho es. Aquests canvis en la simetria de l'estat son caracterstics de les transicions

de fase genunes. Aix la transicio vapor-gel tambe ho es, i per tant no te punt crtic, en el qual les diferencies

de les dues fases s'esvaneixen. Existeix un punt anomenat triple, en el qual les tres fases coexisteixen. Les

seves temperatures i pressio son Tt = 0:010C i Pt = 4:58 torr.Una altra classicacio dels materials ve donada pel seu comportament magnetic: diamagnets, para-

magnets, ferromagnets, antiferromagnets i ferrimagnets. Un ferromagnet es un material com el ferro, que

pot tenir moment dipolar magnetic permanent quan els moments dipolars magnetics dels dominis de mag-

netitzacio s'alineen en presencia d'un camp magnetic. Quan augmentem la temperatura el moment magnetic

d'un domini disminueix ns a desapareixer a la temperatura crtica, que pel ferro es Tc=770oC. Als punts

crtics el valor d'un parametre, anomenat d'ordre, s'anulla. Aquest parametre, la diferencia de densitats per

l'aigua uda, la magnetitzacio (densitat de moment magnetic) pel ferro, representa una mesura de l'ordre

que apareix a temperatures inferiors a la crtica. Les molecules d'aigua estan empaquetades a la fase lquida i

no disperses com a la fase gasosa, perque les forces moleculars atractives i ordenadores dominen sobre l'accio

desordenadora de les collisions degudes a l'energia cinetica de les molecules i quanticada per la temperatura

del sistema; els ions de ferro estan orientats perque les forces alineadores quantiques entre dipols magnetics

dominen sobre l'accio desordenadora de l'energia cinetica de les vibracions de la xarxa ionica quanticada

per la temperatura del sistema.

Per entendre aquesta competicio entre l'ordre i el desordre cal recordar el principi basic de la fsica

estadstica: la probabilitat de trobar el sistema fsic macroscopic en una conguracio particular microscopica,

i, es

pi = Z1 eEi

kT ; (I:4:14)

on Ei es l'energia de la conguracio i, k es la constant de Boltzmann, T la temperatura absoluta i

Z Xi

eEi

kT ; (I:4:15)

de forma que la suma de totes les probabilitats sigui 1,P

i pi = 1. La distribucio (I.4.14) es coneix sota el

nom de Boltzmann, i Z s'anomena funcio de particio. Agrupant conguracions microscopiques de la mateixa

energia sota un ndex , es pot escriure la probabilitat de trobar el sistema en com

p Xi

pi = Z1n eE

kT ; (I:4:16)

on n es el nombre de conguracions d'energia E. Aquesta expressio mostra les dues tendencies oposades

de la fsica estadstica: d'una banda el sistema macroscopic tendeix a situar-se en conguracions d'energia

baixa, perque p creix amb E decreixent; d'una altra tendeix a anar a conguracions nombroses, perque

p creix amb n creixent. La primera es la tendencia cap a l'ordre, cap als pocs estats d'energia baixa,

i domina a baixes temperatures perque aleshores la dependencia en E de l'exponencial de Boltzmann es


gran. La segona es la tendencia cap al desordre, cap als estats nombrosos, i domina a altes temperatures,

perque aleshores l'exponencial de Boltzmann es aproximadament 1 per a moltssimes energies, i l'energia no

juga un paper seleccionador.

Un dels exemples mes espectaculars d'aparicio d'ordre en un sistema macroscopic es la superconductiv-

itat, que es un fenomen quantic que implica el comportament coherent d'un nombre enorme de partcules

atomiques i que es caracteritza perque el corrent electric circula sense cap resistencia. El 1911 Kamerlingh

Onnes va descobrir que mercuri refredat per sota de la temperatura crtica T c = 4:15K no presenta resistivi-

tat electrica. Nomes el 1957 Bardeen, Cooper i Schrieer van trobar la teoria que, mitjancant la formacio de

parelles d'electrons (parelles de Cooper) deguda a la interaccio amb els fonons i la formacio d'un condensat

de Bose-Einstein d'aquestes parelles, en situar-se totes a l'estat fonamental, explica aquest extraordinari

fenomen.

I.4.5. Classicacio de les branques de la Fsica en funcio de c, h i el nombre de graus de

llibertat.

La nostra comprensio de les lleis de la natura ha avancat notablement durant el segle XX gracies a

l'adveniment de la Relativitat Especial i de la Mecanica Quantica. La primera revolucio troba les seves

arrels en el fet que la velocitat de la llum c no es innita. Els conceptes de causalitat, simultanetat i

invariancia sota canvis de sistemes de referencia inercials van patir una reanalisi minuciosa. La Mecanica

Quantica va anar mes lluny, forcant l'abandonament de molts conceptes classics com els de trajectoria i

determinisme. Els fenomens quantics venen de la ma de la constant h.Ambdues revolucions son independents de les interaccions, en el sentit de tractarse d'un canvi de

conceptes sobre els quals es fonamenten les teories. En principi, doncs, totes les interaccions fonamentals

han d'incorporar tant la Relativitat Especial com la Mecanica Quantica. Aixo ha estat assolit en els casos de

les interaccions electromagnetiques, febles i fortes pero no pas encara en la gravitacio. Ara per ara, no s'han

observat fenomens de gravetat quantica ni s'ha detectat un gravito. Recordem a mes que els experiments

sensibles a gravitacio relativista son molt difcils a causa de la feblesa d'aquesta interaccio en front de la

resta.

Tambe hem de considerar que quan es tracta de donar una descripcio util o efectiva de certs fenomens,

les idees que acabem de presentar de vegades son super ues. Cada branca de la fsica te el seu domini

d'aplicacio i, per tant, pot prendre c =1 si cap experiment rellevant es sensible a efectes relativistes o h = 0

si no hi ha efectes quantics. Altres cops, el que caracteritza una branca de la fsica es el nombre de graus

de llibertat involucrats. Veiem en la seguent taula (obviament grollera i incompleta) algunes disciplines i la

seva actitud enfront de les constants c, h i k, donant tambe quina interaccio fonamental hi interve.

Mecanica Classica c =1 h = 0 k = 0

Mecanica Relativista c <1 h = 0 k = 0

Mecanica Quantica c =1 h 6= 0 k = 0

Mecanica Estadstica c =1 h = 0 k 6= 0

Teoria Quantica de Camps c <1 h 6= 0 k = 0

Optica c <1 h = 0 k = 0

Termodinamica c =1 h = 0 k 6= 0

Electromagnetisme c <1 h = 0 k = 0 e 6= 0

Estat Solid, Electronica c =1 h 6= 0 k 6= 0 e 6= 0

Fsica Atomica, Molecular c =1 h 6= 0 k = 0 e 6= 0

Fsica Nuclear c =1 h 6= 0 k = 0 e 6= 0; gS 6= 0; GF 6= 0

Fsica de Partcules c <1 h 6= 0 k = 0 6= 0; S 6= 0; W 6= 0

Relativitat General c <1 h = 0 k = 0 G 6= 0

Cinematica 21

II. MECANICA

II.1. CINEMATICA

La cinematica estudia el moviment d'un objecte, sense parar atencio a les causes que l'han produt.

Els conceptes basics de la cinematica son els de vectors posicio, velocitat i acceleracio. Es especialment

interessant discutir les propietats d'aquestes magnituds sota transformacions de translacions, rotacions i

paritat. Un tipus de moviment omnipresent en sistemes fsics es el circular, que estudiarem en un segon

apartat.

II.1.1 Vectors posicio, velocitat i acceleracio. Transformacions sota translacions, rotacions i

paritat.

Un punt material esta en ~r, el vector posicio. El punt es mou quan passa el temps t, ~r (t). La velocitatd'aquest punt material es deneix com

~v (t) d~r (t)

dt _~r (t) : (II:1:1)

La velocitat tambe es un vector (perque el temps es un escalar), i per tant sota rotacions es transforma igual

que ~r. No aix sota translacions,

~rT! ~r

0

= ~r + ~c ; _~c = 0

~vT! ~v

0

= ~v(II:1:2)

Noteu que una translacio, igual que la resta de transformacions que discutirem en aquest captol, es pot

interpretar activament, del punt material, o passivament, del sistema de referencia:

r

c

r’

O

O’

O

r

c

r’

L'acceleracio descriu la variacio instantania de la velocitat d'un punt material

~a(t) d~v(t)

dt d2~r(t)

dt2 ~r(t) : (II:1:3)

L'acceleracio es tambe un vector que no es transforma sota translacions.

22 Cinematica

Els conceptes que acabem de presentar es basen en l'analisi, i per tant son relativament recents. Hom

pot resoldre trivialment l'aporema de Zeno d'Elea fent us del concepte de velocitat com a derivada de la

posicio respecte del temps.

De forma mes subtil, ens podem preguntar que implicaria una llei de la fsica que digues ~rt= _~r. De

(II.1.2) sota una translacio del sistema de coordenades tindrem ~r 0

t c

t= _~r

0

i per tant la llei seria diferent!

La fsica dependria d'on se situa l'origen de coordenades i l'espai no seria homogeni!

Les rotacions i translacions son transformacions contnues de les coordenades que depenen de tres

parametres, ; i i ~c respectivament. Quan = = = 0 o ~c = 0 corresponen a la transformacio

identitat. Una rotacio seguida d'una altra tambe n'es una; una translacio seguida d'una altra es una tercera.

Tota rotacio o translacio te una inversa, que en precedir-la o seguir-la l'anulla. Formen aix grups continus

de transformacions.

La paritat es una transformacio que no es contnua:

~rP! ~r

0

= ~r : (II:1:4)

Els vectors que es transformen com (II.1.4) s'anomenen polars. Existeixen vectors que sota la transformacio

de paritat son invariants; s'anomenen vectors axials. Un exemple es el producte vectorial de dos vectors,

com ~r i ~v:~r ~v P! ~r ~v : (II:1:5)

La paritat, igual que les rotacions i translacions, es pot considerar com una transformacio activa, actuant

sobre el punt material, o passiva, actuant sobre el sistema de coordenades:

x

y

z

x’

y’

z’

r

r’ = −r

x

y

z

r

La paritat, pero, no depen de cap parametre i es una transformacio unica i per tant discreta. Feta dues

vegades seguides equival a no fer res. Que implicaria una llei de la fsica que digues ~r ~v = v~r, on v j~vj ?Sota paritat canviaria a ~r

0~v 0 = v0~r 0 i per tant la fsica dependria d'utilitzar un sistema de coordenades

levogir o dextrogir (en tres dimensions; en dues dimensions la paritat equival a una rotacio, pero existeix la

re exio!). Nomes les interaccions febles violen la paritat. La biologia al nivell d'estructura de les molecules

organiques, tambe, ja que nomes utilitza un dels dos enantiomers.

Els vectors permeten escriure les lleis de la fsica de forma concisa i de forma que siguin essencialment

invariants si traslladem o girem el sistema de coordenades, o si fem una transformacio de paritat (excepte

per les forces febles). Una llei

~a = ~b ; ai = bi (II:1:6)

implica automaticament que si fem una rotacio (Apendix A)

aiR! a0i =

Xj

Rijaj =Xj

Rijbj = b0i (II:1:7)

i que se satisfa si ho fa la primera. Diem que la llei s'ha transformat covariantment. La fsica no depen de

l'orientacio del sistema de coordenades: l'espai es isotrop.

II.1.2. Coordenades polars. Moviment circular.

Hem associat ns ara un sistema de referencia a un sistema de coordenades cartesia, pero el mateix

sistema de referencia permet utilitzar altres coordenades. Per al moviment circular o en un pla en general

son utils les coordenades polars.

Cinematica 23

x

y r

θ

r =px2 + y2

= arctgy

x:

(II:1:8)

Analogament a la introduccio de vectors unitaris cartesians

~r x + y | (II:1:9)

s'introdueixen els polars, pero que depenen del punt:

û

r

θ

r

j

î

û

ur = cos + sin |

u = sin + cos | :(II:1:10)

Aleshores

~r = r ur

~v _~r = _x + _y | = _r ur + r _ur = _r ur + r _ u(II:1:11)

on hem derivat (II.1.10) i utilitzat el resultat. S'arriba aix a la velocitat radial, _r, i la transversal r _ , _sent l'angular. Per a l'acceleracio trobem

~a d2~r

dt2= x + y | = (r r _2) ur + (2 _r _ + r) u : (II:1:12)

Les acceleracions radial i transversal son complicades. De vegades es convenient introduir unes noves

coordenades solidaries a la trajectoria del punt material. Denint el vector unitari tangent a la trajectoria

uT :

~v v uT ; v =

q_r2 + r2 _2 (II:1:13)

tenim

~a = _v uT + v _uT ; uT uT = 1 ; uT _uT = 0 (II:1:14)

i _uT es un vector perpendicular a uT amb el sentit del vector unitari normal, uN , i de modul directament

proporcional a la velocitat i inversament proporcional al radi de curvatura en el punt ~r; :

24 Cinematica

ρ

ds

dθ

dθdû

T

jduT j = d =ds

) _uT

v

uN (II:1:15)

Aleshores

~a = _v uT +v2

uN : (II:1:16)

L'acceleracio te una component tangencial i una normal a la trajectoria. Les formules (II.1.14) a (II.1.16) son

valides tambe en tres dimensions, on hi ha un tercer vector unitari donat per uT uN .

El moviment circular es aquell en que r es constant, es a dir r = R on _R = 0. Aleshores de (II.1.11) i

(II.1.12),

~v = R _u

~a = R _2ur +Ru = v2

Rur + _vu :

(II:1:17)

Aixo deneix l'acceleracio centrpeta i tangencial. La comparacio de (II.1.17) amb (II.1.16) clarica el

signicat de uN i .

El moviment circular es uniforme quan _ ! es constant, es a dir, l'acceleracio angular s'anulla.Aleshores

~a = v2

Rur (II:1:18)

i no hi ha acceleracio tangencial. Es deneix el perode i la frequencia com

2

!

1

(II:1:19)

es mesura en hertz 1s1 (a causa del caracter periodic del moviment circular, se sobreenten que la unitat

hertz correspon a 1 cicle per segon).

Lleis de Newton 25

II.2. LLEIS DE NEWTON

La dinamica estudia en forma quantitativa les causes que produeixen el moviment dels cossos. En primer

lloc enunciarem les lleis de Newton, punt central de la dinamica classica. Despres passarem a analitzar els

conceptes i les hipotesis que son emprats implcitament dins les lleis.

II.2.1. Lleis de Newton.

Isaac Newton, nascut el dia de Nadal de 1642 a Woolsthorpe*, Anglaterra, i mort l'any 1727, va

sintetitzar les idees que conformen l'anomenada Mecanica Classica en els Principia, publicats gracies a E.

Halley el 1687. Les tres lleis de Newton son:

i) Principi d'inercia.

Existeixen sistemes de referencia en els quals un punt material roman en repos o moviment rectilini i uniforme

en no actuar cap forca sobre ell. Aquests sistemes s'anomenen inercials.

ii) Llei dinamica.

En els sistemes de referencia inercials, un punt material respon a l'accio d'una forca ~F de la forma

~F =d~p

dt; (II:2:1)

on ~p m~v es el moment lineal i m la massa inercial del punt material. El punt d'aplicacio de ~F es la posicio

del punt material, ~r. Com que per a punts materials la massa es constant, l'equacio (II.2.1) es pot escriure

com~F = m~a : (II:2:2)

La segona llei de Newton quantica la relacio entre l'agent dinamic, la forca, i el seu efecte cinematic,

l'acceleracio. La massa inercial es la constant de proporcionalitat.

iii) Llei d'accio i reaccio.

Quan dos punts materials interaccionen entre ells exercint cada un una forca sobre l'altre tenim

~F12 + ~F21 = 0 : (II:2:3)

A mes a mes~F12 / ~r2 ~r1 (II:2:4)

(versio forta). Estudiarem al magnetisme (IV.3.1) una aparent violacio d'aquesta llei. Noteu que ~F12 actua

a ~r2 i ~F21 a ~r1.

Les forces es mesuren en newtons (N) i les masses en kilograms.

L'enunciat de les lleis de Newton que hem fet es, si mes no, supercial ja que no hem discutit el que

entenem per forca (allo que modica el moviment dels objectes) i massa (allo que quantica l'oposicio d'un

objecte a canviar el seu estat de moviment).

II.2.2. L'espai newtonia.

L'espai en el qual es formulen les lleis de Newton es euclidia. Aixo es un fet comprovat per Gauss a

escales germaniques mesurant els angles del triangle format per tres muntanyes: = 180. Aix rectes

* Data referida al calendari antic, que correspon al 4 de gener de 1643 en el calendari actual. L'origen de

temps emprat a cada civilitzacio es un conveni permes per la homogenetat del temps.

26 Lleis de Newton

paralleles no es troben. Geometries no euclidianes permetrien que 6= 180, com passa a la superfcie

d'una esfera.

L'espai es homogeni, es a dir, la fsica es invariant sota translacions. Aixo vol dir que la fsica no depen

de l'origen de coordenades. La forca es invariant sota translacions:

~F 0(~r 0) = ~F (~r) ; ~r 0 = ~r + ~c ; _~c = 0 ; (II:2:5)

perque ~a0 = ~a i la massa es una constant caracterstica de la partcula independent de ~r. L'equacio (II.2.5)

implica que la llei dinamica (II.2.2) es invariant

~F 0(~r 0) = m~a0 : (II:2:6)

L'espai es isotrop, es a dir, la fsica es covariant sota rotacions. Aixo vol dir que la fsica no depen de

l'orientacio del sistema de coordenades perque a0i =P

j Rijaj i m es constant, que implica

F 0i (~r0) =

Xj

Rij Fj(~r) ; r0i =Xj

Rij rj ; _Rij = 0 : (II:2:7)

La forca es una funcio vectorial i la llei dinamica (II.2.2) es covariant sota rotacions.

Les invariancies indiquen que el coneixement de la fsica en un sistema de referencia inercial es immedi-

atament traslladable a un altre sistema de referencia inercial. Si, per exemple, m depengues del sistema de

referencia inercial aixo no fora aix.

La fsica newtoniana es invariant sota paritat, i com que

~a0 = ~a ; (II:2:8)

tenim~F 0(~r 0 = ~r) = ~F (~r) ; (II:2:9)

que equival a dir que la forca es un vector polar (no pas un vector axial!).

Per que els miralls semblen canviar esquerra i dreta i no pas dalt i baix?

II.2.3. El temps newtonia.

El temps es homogeni, es a dir, la fsica es invariant sota translacions en el temps. No hi ha un origen

de temps privilegiat. La relacio entre sistemes de referencia inercials (els sistemes de referencia inclouen el

temps!) traslladats en el temps un respecte de l'altre es

t0 = t+ ; _ = 0 : (II:2:10)

Noteu~v 0 = ~v

~a0 = ~a ;(II:2:11)

i com que m no depen del temps tenim~F 0(~r; t0) = ~F (~r; t) ; (II:2:12)

de forma que la llei dinamica es invariant sota translacions en el temps. Conve notar que la forca, quan

actua sobre una partcula, te una dependencia en el temps implcita a traves de ~r, perque ~r(t), ja que la

partcula es mou; no es aquesta a la que ens referim en (II.2.12) sino a l'explcita corresponent, e.g., a un

camp electric variable; la fsica no pot dependre del fet que el rellotge compti el temps des del migdia o des

de mitjanit. Es una transformacio contnua.

S'ha observat una altra simetria, discreta, a la natura, referent al temps: la inversio temporal

tI! t0 = t ; (II:2:13)

Lleis de Newton 27

nomes violada molt lleugerament per unes poques desintegracions febles d'unes partcules anomenades kaons.

Noteu que

~v 0 = ~v~a0 = ~a ;

(II:2:14)

i com que la massa es invariant tenim~F 0(~r;t) = ~F (~r; t) ; (II:2:15)

i.e., la forca es invariant sota inversio temporal. La fsica, al nivell de les lleis de Newton aplicades a forces

fonamentals, es a dir, a nivell de les partcules o punts materials, es invariant sota el canvi en la direccio

d'evolucio del temps. No es aix en la descripcio efectiva, macroscopica (termodinamica, entropia!).

II.2.4. La invariancia galileana.

Sabem que les lleis de la fsica son les mateixes en un tren que es mou rectilniament i uniforme que a

l'estacio en repos. La transformacio que passa d'un sistema de referencia a l'altre es

~r 0 = ~r + ~v0t ; _~v0 = 0 ; (II:2:16)

i s'anomena pura de Galileo*. Es com una translacio que depen linealment del temps. De (II.2.16)

~v 0 = ~v + ~v0

~a0 = ~a ;(II:2:17)

de forma que la forca es invariant sota aquestes transformacions, ja que ho es la massa. Fsicament signica

que no hi ha origen de velocitats privilegiat; no existeix la velocitat absoluta, totes son relatives a un sistema

de referencia.

El conjunt de totes les transformacions contnues de simetria que han aparegut ns ara s'anomena

transformacions (propies, perque no inclouen les discretes) de Galileo, que depenen de 10 parametres:

r0i =Xj

Rij rj + v0i t + ci ;

t0 = t+ :

(II:2:18)

Com que sota elles

F 0i (~r0

;t0) =

Xj

Rij Fj(~r; t); (II:2:19)

les lleis dinamiques tenen la mateixa forma en passar d'un sistema de referencia inercial a un altre (son

covariants). Les transformacions completes de Galileo (amb paritat i inversio temporal) son les mes generals

de simetria de la fsica newtoniana (principi de relativitat galilea).

Com veurem, les simetries o invariancies contnues condueixen a lleis de conservacio: la invariancia

translacional a la del moment lineal, la rotacional a la del moment angular, la temporal a la de l'energia i la

pura de Galileo a la de ~r(t) t~v(t) on ~r(t) i ~v(t) es refereixen al centre de masses. Hi ha aix deu quantitats

conservades.

Tota simetria comporta la impossibilitat de mesurar una quantitat. Per exemple, la invariancia sota

translacions en el temps implica la impossibilitat d'observar l'origen del temps, nomes poden ser mesurades

diferencies de temps. En general, la invariancia galileana implica l'absencia d'un origen de temps, posicions,

velocitats i orientacions absolut.

II.2.5. Massa, inercia i sistemes de referencia inercials.

* Mantindrem la graa italiana Galileo en lloc de Galileu.

28 Lleis de Newton

Segons Newton la massa no depen de res i quantica la inercia respecte a un espai absolut. Des de

Mach la inercia es considera causada per la distribucio de massa a l'univers. Una galleda d'aigua que gira

te la superfcie de l'aigua deformada, concava. Si deixem la galleda en repos i girem l'univers al voltant de

la galleda passa el mateix (principi de Mach).

La Facultat de Fsica es, aproximadament, un sistema de referencia inercial. No ho es exactament pels

diferents moviments de rotacio. Recordeu que les rotacions depenents del temps no estan incloses en el grup

de Galileo. El centre de la Terra es un sistema de referencia inercial millor, el centre del Sol millor, el centre

de la galaxia millor, el centre del cumul de galaxies millor. El millor es aquell des del qual la radiacio de

fons de 2.7K es el mes isotropa possible.

En principi, la massa inercial no es el mateix que la massa pesant. Aquesta segona actua com la carrega

de les interaccions gravitatories. Einstein va postular la identicacio d'ambdues masses, inercial i pesant, la

qual cosa permet eliminar l'atraccio gravitatoria situant-se a un sistema de referencia local, el de caiguda

lliure. Aquesta es una de les idees centrals de la teoria de la Relativitat General.

II.2.6. Ambit d'aplicacio de les lleis de Newton.

Hem formulat les lleis de Newton per a un punt material. Per objectes extensos, un cos rgid per posar

un exemple senzill, requereixen modicacions. Aix la primera llei no impedeix que giri amb velocitat angular

constant. Tambe, forces que poden actuar en parts diferents del solid introdueixen modicacions substancials

en les altres dues lleis quan es parla del solid com un objecte individual, com veurem al captol II.7.

Les lleis de Newton classiques tambe deixen de ser valides a velocitats molt altes, que correspon al

domini de la Fsica Relativista. Com a exemple, notem que el moment lineal relativista es

~p =m~vq1 v2

c2

; (II:2:20)

on c es la velocitat de la llum. Obviament, per v c recuperem ~p = m~v. El grup de simetria de la fsica

relativista deixa de ser el de Galileo i passa a ser el de Poincare.

Per ultim, tampoc podem fer us de les lleis de Newton classiques quan apareixen efectes quantics. Si en

un experiment el fet de mesurar afecta substancialment i essencial el propi sistema fsic (principi d'incertesa),

necessitem substituir el paradigma classic per una nova forma de descriure sistemes fsics: la Fsica Quantica.

Les interaccions fortes i febles no tenen descripcio newtoniana, perque el seu abast tan extraordinariament

petit requereix energies i velocitats molt altes per poder-les estudiar (efectes relativistes) i un coneixement

de la materia a distancies molt petites (efectes quantics). La fsica newtoniana es limita des de la perspec-

tiva de les forces fonamentals a la gravitacio i a l'electromagnetisme, aquest ultim de fet tambe nomes molt

parcialment. Pero es utilssima per descriure forces efectives mesoscopiques basades en l'electromagnetisme

(elastiques, fregament, etc.).

Exemples de forces 29

II.3. EXEMPLES DE FORCES

Les forces poden ser de tipus diferents. Per exemple podem parlar entre altres de forces:

fonamentals:

gravitatories; llarg abast, centrals

electriques; llarg abast, centrals

magnetiques; llarg abast, no centrals

moleculars:

model classic (boletes); de contacte

quantiques (van der Waals); abast intermedi

intramoleculars:

ioniques; quantiques (d'ionitzacio), curt abast

covalents; quantiques (de covalencia), curt abast

efectives macroscopiques:

fregament; de contacte, depenen frequentment de la velocitat

elastiques; de contacte, depenen de la posicio

directes; de contacte

Les forces efectives macroscopiques deriven de les moleculars i intramoleculars, i aquestes de les

electriques i magnetiques. La connexio explcita entre elles, pero, no es a l'abast dels nostres coneixe-

ments de forma que moltes forces mesoscopiques i macroscopiques s'obtenen empricament i s'anomenen

forces efectives.

En aquest captol tractarem alguns casos particulars importants de forces. Primer discutirem la com-

posicio de forces i despres estudiarem l'oscillador harmonic, el pendol simple, les forces de fregament i les

forces que depenen de la velocitat.

II.3.1. Exemples senzills de forces.

Noteu els seguents exemples de composicio de forces:

i) Moviment uniforme.

v: constant

f T T F

on T es la tensio de la corda i f el fregament. Com que l'acceleracio es nulla:

F = T = f : (II:3:1)

ii) Moviment accelerat

30 Exemples de forces

N

PN

PT

P

on N es la reaccio normal i P el pes. Aleshores tenim

N = PN PT = maT : (II:3:2)

Sovint, les reaccions normals a la superfcie es limiten a introduir lligams.

iii) Estatica

P

T T’

La relacio entre les forces que mante una situacio estatica es

~P + ~T + ~T 0 = 0 : (II:3:3)

iv) Pes aparent

M

F

mm g

M g

on P = mg es el pes de l'home. La composicio de forces dona

F (M +m)g = (M +m)a : (II:3:4)

El pes aparent de l'home es

Pap = m(a+ g) =m

M +mF : (II:3:5)

Recordeu que el pes es la forca gravitatoria a la superfcie terrestre. La sensacio de pes es deguda a la

forca de reaccio, que s'utilitza per mesurar el pes en una balanca, quan aquella, per contacte, es transmet


al cos en questio. La ingravidesa correspon a la situacio en que cap contacte permet que la forca de reaccio

cancelli la gravitatoria, que per tant s'utilitza ntegrament en accelerar.

v) Politges

222222222222222222222222222222222222222222222

T TT

m g

on les politges i la corda no tenen massa. La forca necessaria per fer pujar amb velocitat constant la massa

m es la meitat del seu pes.

2T mg = ma = 0 : (II:3:6)

En canvi, s'haura d'estirar el doble de corda.

II.3.2. L'oscillador harmonic.

Tot sistema fsic a prop d'un punt d'equilibri estable descriu petites oscillacions. Aquest moviment

correspon a resoldre el problema ideal de l'oscillador harmonic. Un exemple caracterstic ve donat pel

moviment d'una massa sotmesa a l'accio d'una molla ideal, que ara mateix estudiem.

En una dimensio la llei de Hooke que descriu les forces elastiques es

F = k(x x0) ; (II:3:7)

on k es la constant elastica, que te dimensions de MT2. La segona llei de Newton diu:

mx = k(x x0) : (II:3:8)

L'equacio diferencial se simplica si denim x x0 y,

my = ky : (II:3:9)

La solucio general d'aquesta equacio (veure Apendix F) es

y(t) = A sin

rk

mt

!+ B cos

rk

mt

!; (II:3:10)

on

y(t = 0) y0 = B ; _y (t = 0) _y0 = A

rk

m: (II:3:11)


Es a dir,

y(t) = y0 cos

rk

mt

!+ _y0

rm

ksin

rk

mt

!;

_y(t) = y0rk

msin

rk

mt

!+ _y0 cos

rk

mt

!;

(II:3:12)

que descriu un moviment periodic, mes concretament la projeccio d'un moviment circular uniforme. Com

sempre es fa en els moviments periodics, denim

perode = 2

rm

k;

frequencia =1

2

rk

m;

velocitat angular ! =

rk

m:

(II:3:13)

La invariancia sota translacions en el temps permet escollir y0 = 0. Amb aquest criteri d'eleccio de condicions

inicials, la descripcio del moviment harmonic es simplement

_ymax = _y0

ymax = _y0

rm

k= amplitud d0oscil lacio

y(t) = ymax sin(!t)

(II:3:14)

Un oscillador esta caracteritzat per un sol parametre: ! o o , pero el seu moviment concret depen

d'una condicio inicial: _ymax o ymax. L'altra condicio inicial es fsicament irrellevant perque es pot absorbir

en un canvi d'origen de temps, com hem fet.

L'oscillador harmonic en tres dimensions es un problema separable en tres oscilladors unidimensionals.

II.3.3. El pendol simple.

El pendol simple correspon a una idealitzacio dels pendols fsics. Consisteix en una massa puntual mque penja d'un l de longitud ` sense massa en un camp gravitatori uniforme ~g. L'equacio del moviment

d'aquesta massa es

m ~r = m ~g + ~T : (II:3:15)

Passant a coordenades polars, tenim2

222222222222222222222222222222222222222222222

θ

θ

T

m g

l


m r _2 = m g cos T

m ` = m g sin ;(II:3:16)

on hem utilitzat (II.1.17). La primera equacio determina la tensio. La component tangencial se simplica a

+g

`sin = 0 : (II:3:17)

Un pendol simple que se separa poc de l'equilibri es un oscillador harmonic*, ja que per a 1 tenim

+g

` = 0 : (II:3:18)

Trobem aix que el pendol simple per a petites oscillacions es un oscillador harmonic amb

k

m! g

`: (II:3:19)

Aleshores, el seu perode,

= 2

s`

g; (II:3:20)

es independent de m ! Aixo es una caracterstica dels oscilladors gravitatoris: el perode no depen de m.

En estudiar la gravitacio veurem d'on ve aquesta propietat.

Noteu que per simple analisi dimensional el perode, ns i tot per a grans oscillacions, no pot dependrede m:

= 2 f(max)

s`

g: (II:3:21)

L'analisi de les correccions a les petites oscillacions es sistematic, tot i que laborios, i nomes en donem els

primers termes:

f(max) = 1 +1

4sin2

max

2+

9

64sin4

max

2+ : : : : (II:3:22)

II.3.4. Forces de fregament.

Les forces de fregament son forces de contacte tangencials que s'oposen al moviment relatiu de les

superfcies en contacte. Poden ser estatiques, quan no hi ha moviment relatiu, i cinetiques. Si la forca

externa tangencial es petita, no hi ha moviment perque la forca de fregament la cancella exactament. Aixo

ocorre ns a un valor maxim donat per

fe;max = eN e : coecient de friccio estatica ; (II:3:23)

on N es la forca normal entre les superfcies en contacte. A partir d'aquest valor, hi ha moviment relatiu i

la forca de fregament disminueix essent independent de la forca tangencial,

fc = cN c < e : coecient de friccio cinetica : (II:3:24)

* Recordeu el teorema de Taylor util per descriure una funcio sucientment regular a prop d'un punt en

el qual son coneguts el seu valor i el de les seves derivades:

f(x) = f(x0) + (x x0)f 0(x0) +(x x0)2

2f 00(x0) +

(x x0)33!

f 000(x0) + : : :

serie que, quan x x0 es prou petit, es pot truncar deixant una aproximacio polinomica.


Frequentment c creix amb la velocitat, pero en una primera aproximacio es pot considerar constant.

Per que c < e?La descripcio microscopica quantitativa de les forces de fregament es basicament inexistent. No tenim

una teoria que pugui predir els coecients de fregament. Un exemple notable de la complexitat d'aquest

fenomen es el seguent. Si prenem dues superfcies de coure (Cu-Cu) i les polim mes i mes, el coecient de

fregament passa per un mnim i comenca a augmentar. En polir les superfcies, els atoms dels dos cossos

s'han apropat ns a formar practicament un sol cos! El coecient de fregament es dispara. Un altre exemple

es el de moure dos vidres ben polits partint del repos. La forca de fregament es antiintutivament molt gran.

Per mesurar c i e fem el seguent experiment. Deixem caure un objecte per un pla inclinat, com a

l'exemple ii) d'aquest captol. c es l'angle crtic en el qual comenca el moviment. En augmentar :

mg sin c = emg cos c ) e = tg c

at = g(sin c cos ) ) c :(II:3:25)

La integracio de l'equacio del moviment es immediata.

Estudiem ara el cas d'un cotxe que pren una corba en punt mort. Les forces que actuen sobre el cotxe

son el seu pes i la reaccio normal, que es cancellen, i el fregament. El detall de les forces de fregament entre

les superfcies en contacte es

22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

El fregament estatic es el responsable de que el cotxe giri. L'accio contra el terra es absorbida per tot el

planeta. Si la carretera te sorra, aquesta, no sent solidaria a la Terra, surt disparada cap a la dreta del

dibuix anterior i no permet la reaccio contra el cotxe que el faria girar: el cotxe surt per la tangent.

El mateix succeeix en el cas d'una bicicleta,

222222222222222222222222222222222222222222222

F

P

N F

c

f

En el sistema de referencia no inercial de la bicicleta, la forca centrfuga i el pes estan compensats per la

reaccio del terra, que te una part normal i una tangencial, el fregament. El dibuix no mostra les forces que

actuen contra el planeta.

II.3.5. Forces de fregament lineals en la velocitat.

Quan un objecte es mou dins un uid sovint la resistencia que experimenta es proporcional a la velocitat:

~f = b~v : (II:3:26)

L'equacio de moviment en una dimensio es, doncs,

m _v = bv : (II:3:27)


Els seguents passos ens porten a la solucio:

dv

v= b

mdt

lnv(t)

v0= b

m(t t0)

v(t) = v0 e

b

m(tt0) ; t0 = 0 ; v(t) = v0 e

t

tc ; tc m

b

x(t) = x0 v0tc e

t

tc + v0tc

(II:3:28)

on tc s'anomena temps caracterstic. Noteu que es necessita un temps innit en aturar-se.

En presencia de gravitacio apareix el fenomen de velocitat lmit: d'una banda la gravitacio tracta de

donar una velocitat mes i mes gran a un objecte que cau, d'altra banda velocitats mes grans freguen mes.

Aquesta velocitat lmit es pot trobar directament de l'equacio del moviment

m _v = bv +mg ; (II:3:29)

observant que per a

v =mg

b vlim ) _v = 0 : (II:3:30)

L'equacio (II.3.26) descriu una forca efectiva, que viola inversio temporal. Que passa quan es fa una

transformacio pura de Galileo de forma que v0 = 0?

36 Sistemes de referencia no inercials

II.4. SISTEMES DE REFERENCIA NO INERCIALS

Barcelona es el nostre sistema de referencia natural, pero hem de ser conscients que es un sistema en

rotacio i per tant no inercial. D'altra banda, seria extremadament enfarfegador descriure els moviments dels

cossos des d'un sistema de referencia extern a la Terra. Aix doncs hem d'aprendre a entendre la dinamica

d'un sistema fsic des de sistemes de referencia no inercials. Presentem a continuacio la teoria general, seguit

d'exemples signicatius.

II.4.1. Exemples senzills de sistemes de referencia no inercials.

Considereu un sistema de referencia accelerat linealment i constant respecte als inercials. En ell, la

primera llei de Newton no es compleix i la segona tampoc. Es poden recuperar ambdues introduint-hi una

forca ctcia (o inercial)

~Ff = m~a ; ~a : acceleracio sistema referencia (II:4:1)

Les forces ctcies o inercials s'introdueixen, doncs, per tractar el moviment d'un objecte des d'un sistema

de referencia no inercial amb les equacions de Newton. Son sempre proporcionals a la massa inercial de

l'objecte que s'estudia.

Com a exemple immediat, un pendol en un vago accelerat no esta en la posicio d'equilibri quan esta

vertical.

Considereu ara una plataforma giratoria horitzontal que gira amb ! constant i un objecte que gira amb

ella subjecte a l'eix central mitjancant una corda de longitud R. No hi ha fregament.

TR

ωω

Per a l'observador inercial hi ha una forca centrpeta, la tensio de la corda ~T , que accelera l'objecte cap a

l'eix de rotacio. Per a l'observador que gira sobre la plataforma l'objecte no es mou i per tant la tensio ~T ,que la pot comprovar tocant la corda, queda compensada per una forca ctcia centrfuga

~Fce = ~T ; Fce = m!2R (II:4:2)

Considereu ara dues persones sobre la plataforma que esta girant, una al centre que llenca una pilota a

l'altra amb velocitat v. Des d'un sistema de referencia inercial extern s'observa

ω ω

v

t=0 t=t

v

Per a l'observador inercial la pilota segueix una trajectoria rectilnia, pero per a l'observador que gira amb

la plataforma la pilota es desvia i segueix una trajectoria corba que re ecteix l'accio d'una forca ctcia: la

forca de Coriolis

Sistemes de referencia no inercials 37

svt

En la direccio transversal tenim

s = vt!t =1

2acot

2 )

aco = 2v! ; Fco = 2!vm(II:4:3)

Aquesta forca ctcia explica el sentit de rotacio dels ciclons i els anticiclons, com veurem mes endavant.

II.4.2. Sistemes de referencia en rotacio.

Mes generalment, considereu dos sistemes que giren l'un respecte l'altre amb velocitat angular ~! con-

stant:

x

y

z

x’

y’

z’

ω

~r = x+ y| + zk = x0 0 + y0|0 + z0k0

~v = _~r = _x+ _y|+ _zk = ~v0 + x0 _0 + y0 _|0 + z0_k0

~v0 _x00 + _y0|0 + _z0k0 :

(II:4:4)

Pero com que

_0 = ~! 0 ; _|0 = ~! |0 ;_k0 = ~! k0 ; (II:4:5)

tenim

~v = ~v0 + ~! ~r : (II:4:6)

Per trobar l'acceleracio nomes cal derivar

~a =d~v 0

dt+ ~! ~v ; (II:4:7)

i com qued~v 0

dt= ~a0 + ~! ~v0 ; (II:4:8)

tenim

~a = ~a0 + 2 ~! ~v 0 + ~! (~! ~r) : (II:4:9)

Escrivint

~a0 = ~a 2 ~! ~v 0 ~! (~! ~r) ; (II:4:10)

38 Sistemes de referencia no inercials

obtenim la forca de Coriolis~Fco = 2 m ~! ~v0 ; (II:4:11)

i la centrfuga~Fce = m ~! (~! ~r) : (II:4:12)

En el sistema de referencia no inercial, qualsevol massa que no es trobi sobre l'eix de gir experimenta una

forca centrfuga. Qualsevol massa que es mogui no parallelament a l'eix de gir experimentara a mes a mes

una forca de Coriolis.

II.4.3. Exemples.

Com a exemple, el moviment de rotacio de la Terra ens porta a treballar de forma natural en sistemes

de referencia solidaris a la seva superfcie. Tenim que la velocitat angular de rotacio de la Terra al voltant

del seu eix es

! =2

1 dia 7:3 105s1 : (II:4:13)

La forca centrfuga es maxima a l'equador,

Fce

m :034

m

s2; (II:4:14)

reduint en un tres per mil la intensitat efectiva del camp gravitatori.

Un exemple elegant dels efectes tipus Coriolis es la dinamica dels ciclons i els anticiclons. Un anticiclo

es una zona d'altes pressions i l'aire tendeix a fugir radialment del seu centre. A l'hemisferi nord, l'aire que

fuig cap al nord es desvia cap a l'est per Coriolis, mentre que el que fuig cap al sud es desvia cap a l'oest.

El vent de l'est es desvia cap al nord i el vent de l'oest cap al sud. La geometria de l'anticiclo a l'hemisferi

nord te, doncs, etxes corbades en el sentit de les manetes del rellotge. Els ciclons generen vent a l'inreves.

A l'hemisferi sud, la geometria es la re ectida respecte al pla equatorial de l'anterior.

Un petit experiment pot tambe illustrar la forca de Coriolis. Considerem dos raigs d'aigua disparats

des de la periferia d'un disc cap al seu centre. Ajustem l'experiment de forma que, en repos, l'aigua cau en

el mateix centre. Si fem girar el disc, observarem com els raigs d'aigua es desvien avancant-se al moviment

dels tubs, d'una manera poc intutiva. Aixo es degut a la forca de Coriolis. L'aigua en moviment centrpet

porta un exces de velocitat transversal i, per tant, s'avanca.

L'ultim sistema que volem comentar es el del famos pendol de Foucault. Imagineu un pendol simple

al pol nord, penjat idealment d'un sostre que no li transmet cap forca o torsio especial. Es obvi que un

observador local veu com el pla d'oscillacio del pendol gira una volta en un dia. El pla d'oscillacio del

pendol es invariant, pero l'observador no. Aix Foucault va demostrar el moviment de rotacio de la Terra

al Panteo de Pars el 1851. En un punt de l'equador aquest efecte es perd totalment com es veu imaginant

un pendol que oscilla en la direccio nord-sud, i que mai deixa de fer-ho en aquesta direccio. Els punts de

la Terra de parallels entre 0o i 90o interpolen aquestes dues situacions extremes. Es natural entendre que

aquesta interpolacio ve donada per una funcio sinus. A Barcelona, parallel 42, un pendol de Foucault gira

el seu pla d'oscillacio uns 10o per hora (15o sin 42o).

Treball i energia 39

II.5. TREBALL I ENERGIA

La informacio completa del moviment d'un punt material que es mou sota l'accio d'una forca donada

requereix la integracio de les equacions de Newton, que son de segon ordre. Una part important d'aquesta

informacio, pero, es troba fent nomes una primera integracio de les equacions diferencials. Aix, introdum

els conceptes de treball i energia, i llurs relacions.

II.5.1. Treball fet per una forca. Teorema treballenergia.

Considereu una forca ~F que actua sobre una partcula la qual es desplaca una distancia innitesimal

d~r. El treball innitesimal fet per la forca en aquest desplacament es deneix com

dW ~F d~r (II:5:1)

i es mesura en joules (J). En recorrer un cam nit, tenim

W1!2 =

Z ~r2

~r1

d~r ~F (~r) : (II:5:2)

L'energia cinetica que te un punt material de massa m a causa del seu moviment es deneix com

Ec =1

2m v2 0 : (II:5:3)

El teorema treballenergia diu que el treball fet sobre un cos per canviar el seu estat de moviment es

just el canvi d'energia cinetica,

W1!2 =

Z ~r2

~r1

d~r d~pdt

=

Z ~p2

~p1

~v d~p = m

Z ~v2

~v1

~v d~v = m

Z v2

v1

v dv =

= m

v222 v21

2

= Ec Ec(2) Ec(1) :

(II:5:4)

Noteu que s'ha utilitzat m = constant i que ~F = d~pdt

es la forca total responsable del moviment del cos.

Aquest darrer punt es essencial per identicar ~p amb el moviment lineal de la partcula.

Sovint es mes practic fer servir el concepte de potencia

P dW

dt= ~F ~v ; (II:5:5)

es a dir, treball per unitat de temps. La potencia es mesura en watts (W). La radiacio solar arriba a la Terra

amb un ux de 1.4 kW m2 (' 2 cal cm2 minut1). Amb quina potencia radia el Sol? Una central nuclear

gran te una potencia de 1000 MW. A quantes llars pot proveir d'electricitat? Quantes centrals equivalen al

Sol? Si captessim un 1% de l'energia solar que arriba a la Terra, a quantes centrals correspondria?

Possiblement la potencia maxima assolida per un giny huma es el laser NOVA (construit al Lawrence

Livermore National Laboratory, California) que produeix un feix de 100 TW ! Clar que nomes hi arriba un

cop al dia durant 1 ns. Compareu amb aixo la potencia dels altaveus d'una discoteca. Val la pena recordar

que 120 decibelis corresponen a 1 W m2 (potencia per unitat d'area). Vosaltres sentiu al vostre professor

amb 60 decibelis que, degut al caracter logartmic de la denicio de decibeli, correspon a 106 W m2. El

llindar auditiu huma se situa a 0 decibelis, 1012 W m2.

De la denicio de treball veiem que per aixecar una pedra necessitem fer una forca que just superi el seu

pes, i per tant fem un treball W1!2 = mg(h2 h1), on h1 i h2 son les alcades inicial i nal. (Per que no hi

ha increment d'energia cinetica, com demana el teorema treball-energia?). Ara be, si nomes l'aguantem amb

el brac estirat horitzontalment, en principi no fem treball ja que no hi ha cam recorregut. Llavors, per que

ens cansem? De fet, en sostenir un objecte, els musculs del brac huma s'estiren i s'arronsen contnuament.

40 Treball i energia

El repos es nomes aparent, ja que a nivell cellular les forces (electromagnetiques) no deixen de fer treball.

Per aixo ens cansem. Alguns musculs actuen, pero, per bloqueig i no fan treball.

Sovint trobem forces que estableixen un lligam i que no treballen. Per exemple, en el cas d'un objecte

que cau per un pla inclinat, la normal es una forca de reaccio perpendicular al moviment i no treballa. Les

forces que anomenem lligams normalment no fan treball.

II.5.2. Forces conservatives. Energia potencial.

Quan el treball nomes depen del punt inicial i nal, i no del cam

γ

γ

1

2

Z 1

d~r ~F =

Z 2

d~r ~F ; (II:5:6)

de la forca se'n diu conservativa. Aleshores, el treball al llarg d'un cam tancat es nul:

I

~F d~r = 0 ; 2 1 (II:5:7)

En una dimensio tota forca que nomes depen de la posicio es conservativa:

Z 2

1

dx F (x) = U (x1) U (x2) ;d

dxU (x) F (x) (II:5:8)

(les forces de fregament no en son perque depenen del sentit del moviment relatiu entre les superfcies en

contacte). Aleshores la forca no fa treball al llarg d'un cam tancat,

Z 2

1

dx F (x) +

Z 1

2

dx F (x) = 0 : (II:5:9)

Denim les forces centrals com~F (~r) = r(r) (II:5:10)

que sempre son conservatives,

Z 2

1

d~r ~F (~r) =Z 2

1

d~r r (r) =Z 2

1

dr (r) = U (r1) U (r2) ; (II:5:11)

on U 0(r) = (r).Per a sistemes conservatius s'introdueix l'energia potencial U (~r):

U (~r1) U (~r2) Z 2

1

d~r ~F (~r) ; (II:5:12)

o, innitesimalment,

dU = ~F d~r ; (II:5:13)

que es equivalent a~F (~r) = ~rU (~r) : (II:5:14)


El gradient (Apendix B) dona la direccio i el sentit de creixement maxim de la funcio U (~r) i el seu modul

la magnitud d'aquest creixement. Desplacaments perpendiculars al gradient de l'energia potencial no la

modiquen.

De l'Apendix B, tota forca que es el gradient d'un potencial verica

~r ~F (~r) = 0

0@X

j;k

ijk@j@kU 0

1A ; (II:5:15)

que pel teorema de Stokes (Apendix C) implica (II.5.7). L'equacio (II.5.15) es aix condicio necessaria i

sucient per a forces conservatives.

Es important notar que l'energia potencial esta denida llevat d'una constant arbitraria, que queda

determinada si es xa un origen d'energies. De fet, tambe l'energia cinetica depen del sistema de referencia

inercial utilitzat. Mes precisament, l'energia no es invariant sota transformacions de Galileo.

Tambe conve recordar que (II.5.14) es una condicio forta en 3 dimensions, ja que relacionen les tres

components d'una funcio vectorial amb una unica funcio escalar, pero no en una. Aixo no vol dir, pero, que

totes les forces siguin conservatives en una dimensio, com veurem!

II.5.3. Energia mecanica total. Llei de conservacio.

Combinant els resultats (II.5.4) i (II.5.12) tenim

U (~r1) +1

2m ~v21 = U (~r2) +

1

2m ~v22 Em ; (II:5:16)

que permet introduir una funcio de ~r i _~r anomenada energia mecanica total i que es una quantitat conservada

per forces conservatives:

Em Ec + U = constant : (II:5:17)

Derivant respecte al temps,

d

dt

1

2m ~v2 + U (~r)

= m ~v ~a+ d~r

dt ~rU (~r) = 0; (II:5:18)

d'on, sent cert per una ~v qualsevol,

m~a = ~F ; (II:5:19)

i retrobem l'equacio de Newton!

Aixo demostra que l'energia mecanica total es una primera integral de les equacions de moviment (2a

llei de Newton). Passem aix d'una equacio en derivades segones a una en derivades primeres i una constant

d'integracio, (II.5.16), que es coneix com a llei de conservacio de l'energia mecanica total. Obviament l'origen

d'Em es arbitrari, ja que ho era el d'U .

II.5.4. Estudi energetic de problemes unidimensionals.

Per a problemes unidimensionals (II.5.16) condueix per integracio a la solucio del problema. Efectiva-

ment,

1

2m

dx

dt

2+ U (x) = Em (II:5:20)

implica

dxq2m(Em U (x))

= dt ; (II:5:21)


que dona x(t) de forma implcita [ t(x) explcit! ]:

Z x

x0

dxq2m(Em U (x))

= t t0 : (II:5:22)

L'ambiguitat de signe correspon a la invariancia sota inversio temporal. Cal notar, tambe, que encara que

x(t) es una funcio univaluada, no es aix en general t(x). Les dues constants d'integracio son, per exemple,

x0 i Em.

El coneixement d'U (x) permet de forma immediata una analisi qualitativa del moviment per a qualsevol

Em:

x x x x x1 0 2 3 4

E

E

E

E

E

5

4

3

1

0

E2

U(x)

x

E0: U 0(x0) = 0 ; U 00(x0) > 0 ; Ec(x0) = 0 , equilibri estable

E1: Ec(x1) = Ec(x2) = 0 , punts de retroces

E2: Ec(x3) < 0 , prohibit

E3: U 0(x3) = 0 ; U 00(x3) < 0 ; Ec(x3) = 0 , equilibri inestable

E4: Ec(x!1)! 0 , moviment no acotat amb velocitat asimptotica nullaE5: Ec(x!1) > 0 , moviment no acotat amb velocitat asimptotica no nulla

Al voltant d'un punt d'equilibri estable, U 0(x0) = 0, podem emprar el teorema de Taylor quan x x0es prou petit

U (x) ' U (x0) +1

2(x x0)2 U 00(x0) ; (II:5:23)

de forma que

F (x) U 0(x) ' (x x0)U 00(x0) ; (II:5:24)

que es un oscillador harmonic amb k U 00(x0). A prop de l'equilibri estable les forces de restauracio son

lineals en el desplacament. Aixo explica la importancia de l'oscillador harmonic i de les equacions diferencials

lineals a la fsica!

Com a exemple de forca conservativa estudiem un oscillador harmonic (sense fregament). El treball fet

des de la posicio d'equilibri, 0, ns a la distancia maxima x > 0 es

W =

Z x

0

(kx0) dx0 = kx2

2=

1

2m (02 v20) ; (II:5:25)

mentre que el fet a la tornada es (atencio als signes i lmits!)

W 0 =

Z 0

x

(kx0)dx0 = kx2

2=

1

2m (v020 02)) v00 = v0 ; (II:5:26)

i, efectivament, W +W 0 = 0.

II.5.5. Forces no conservatives. Llei de conservacio de l'energia total.


Considerem ara l'oscillador amb fregament constant que passa per la posicio d'equilibri amb la mateixa

velocitat v0:

W +Wf =

Z x(1)

0

(kx0 f)dx0 = kx(1)2

2 fx(1) = 1

2m (02 v20) ; f > 0 ; (II:5:27)

mentre que

W 0 +W 0

f =

Z 0

x(1)(kx0 + f)dx0 = k

x(1)2

2 fx(1) = 1

2m (v020 02)) v00 < v0 (II:5:28)

i

Wf +W 0

f 6= 0 : (II:5:29)

Les forces de fregament son no conservatives, no depenen de x sino del signe de _x. Sempre s'oposen al

moviment relatiu entre les dues superfcies en contacte. Les forces de fregament son un exemple de forces

anomenades dissipatives que sempre fan treball negatiu (o nul) i per tant disminueixen l'energia mecanica

total (o no la canvien). Introduint l'energia interna UI tal que

Wf = UI ; (II:5:30)

tenim del teorema treball-energia

W +Wf = U UI = Ec ; (II:5:31)

de forma que

Ec + U + UI = E = constant : (II:5:32)

Aix es va generalitzant el concepte d'energia tot mantenint la llei de conservacio de l'energia total.

L'augment d'energia interna sol implicar augment de temperatura o canvi de fase (per exemple, fusio) en

el medi que causa el fregament. De fet, microscopicament, l'augment de temperatura es augment d'energia

cinetica, i el canvi de fase, augment d'energia potencial de les forces entre els constituents del medi. En el

fons, doncs, no hi ha forces no conservatives.

Els sistemes tendeixen cap als mnims d'U , que corresponen a les conguracions d'equilibri estable, ja

que les forces al voltant dels mnims tendeixen a restaurar la conguracio d'equilibri. En aquest proces

Em va disminuint mentre UI augmenta ns que Ec = 0 i el sistema se situa en una conguracio estatica

d'equilibri estable.

Hi ha altres formes d'energia, com la qumica, que microscopicament es energia potencial electro-

magnetica, etc.

II.5.6. Conservacio de l'energia i homogenetat en el temps.

Hem dedut la llei de conservacio de l'energia del teorema treball-energia. Havem dit, pero, que la

rao profunda era la invariancia de la fsica sota translacions en el temps, es a dir l'homogenetat del temps.

Vegem que efectivament es aix. Considereu una forca depenent del temps pero de la forma

~F (~r; t) = ~rU (~r; t) ; (II:5:33)

i l'energia mecanica de la partcula sotmesa a aquesta forca,

E =1

2m~v2 + U (~r; t) : (II:5:34)

Analitzem ara la dependencia en el temps de l'energia, tenint en compte que U (~r; t) depen tant implcitament

de t a traves de ~r(t) com explcitament,

dE

dt= m~v ~a+ ~v ~rU (~r; t) + @U (~r; t)

@t

= ~v m~a ~F

+@U (~r; t)

@t

=@U (~r; t)

@t:

(II:5:35)


En consequencia, si l'energia potencial depen explcitament (a mes d'implcitament) del temps no hi ha

conservacio de l'energia! Una dependencia explcita en el temps implica un origen de temps privilegiat.

Veiem, doncs, que la invariancia de les lleis de la fsica sota translacions en el temps es la responsable ultima

de la conservacio de l'energia.

II.5.7. Exemples.

Per illustrar els conceptes anteriors, calculem l'acceleracio de la gravetat, g, la velocitat d'escapament

de la Terra, ve, demostrem perque a la Terra hi ha atmosfera, obtenim el radi de Schwarzschild, RS , i

calculem les acceleracions que causen les marees.

En primer lloc, trobem l'energia potencial associada al camp gravitatori, que es central i per tant

conservatiu,

W =

Z r

R

~F d~r = Z r

R

GMm

r2dr = GMm

1

r 1

R

; r > R : (II:5:36)

Segons on s'agafa l'origen d'energies hi ha diverses energies potencials, com

U1(r) = GMm

1

R 1

r

; U1(R) = 0

U2(r) = GMm1

r; U2(r !1)! 0 :

(II:5:37)

Escollint la primera opcio, per a r = R + h ; h R , tenim

U1(h) ' m GM

R2

h mgh ; (II:5:38)

d'on

g =GM

R2

' 9:81m

s2: (II:5:39)

Gracament,

U

rrR

Gm M

R+

+

+

1

E

E < GMm

R) sistema lligat

energia de lligadura = GMm

RE : (II:5:40)

La velocitat d'escapament, ve, ve donada per

1

2mv2e =

GMm

R) ve =

s2GM

R' 11:2

km

s: (II:5:41)


D'altra banda, la velocitat tpica de les molecules d'aire quan aquest esta a una temperatura T (sense

rotacions ni vibracions) satisfa

1

2mv2 =

3

2kT =) v =

r3kT

m: (II:5:42)

Hi ha atmosfera si

v2 v2e ;3kT

m 2GM

R: (II:5:43)

Per a hidrogen molecular, per exemple, m 3:3 1027 kg, tenim (Apendix D) per a la

Terra: R 6:4 106 m, M 6:0 1024 kg, T 300 K,

ve 11:2 km s1 v 1:9 km s1

Lluna: R 1:7 106m, M 7:3 1022kg, T 400 K,

ve 2:4 km s1 v 2:2 km s1

Sol: R 7 108m, M 2:0 1030kg, T 6000 K,

ve 620 km s1 v 8:7 km s1

La Terra i el Sol retenen l'hidrogen i, a fortiori, les altres molecules. La Lluna, com ve v, no rete

l'atmosfera. Per conservacio de l'energia, a la Terra l'hidrogen pot arribar a alcades de l'ordre de

h 3

2

kT

mg 2 105m : (II:5:44)

Molecules tpiques de l'aire tindran distribucions de menys abast, congurant aix l'atmosfera.

D'altra banda, cossos mes densos com les nanes blanques (amb M M; R R) tenen velocitats

d'escapament de l'ordre de 6000 km s1.

Quan ve = c, el radi que apareix a (II.5.41) es diu radi de Schwarzschild i val

RS =2GM

c2; (II:5:45)

que caracteritza els forats negres ja que la velocitat d'escapament es la maxima possible, c, i per tant res noes capac de sortir de la zona d'atraccio gravitatoria. Aquest argument purament classic dona correctament

l'expressio deduda dins la Relativitat General. Per a la Terra, M = M, RS 1 cm, i per tant tota la

massa de la Terra hauria d'estar continguda en una esfera de radi RS perque fos un forat negre.

La Lluna produeix a la superfcie de la Terra una acceleracio centrfuga amb respecte del centre de la

Terra als punts mes proper i mes llunya d'ella, com representem exageradament a la gura

Lluna

Terra

oceà

R+

dL

Aquesta acceleracio es deguda a que l'atraccio gravitatoria disminueix amb la distancia. Per al punt mes

proper val

aL =GML

(dL R)2 GML

d2L' 2G

MLRd3L

' 1:1 106m s2 ; (II:5:46)

on s'ha utilitzat l'aproximacio dL R. La mateixa expressio s'obte per al punt mes llunya. Per al Sol, la

corresponent acceleracio es

a ' 2GMR

d3

' 5:1 107m s2 ; (II:5:47)

i es per tant mes feble. Aquest es l'efecte marea que deforma i ns i tot trenca objectes astronomics. Tambe

fa mes llargs els dies i allunya la Lluna de la Terra. La descripcio completa de les marees es, pero, molt mes

complicada ja que s'han de considerar molts altres efectes. Menyspreuant aquests petits efectes, calculeu de

forma aproximada l'alcada de les marees a la Terra.

46 Sistemes de partcules

II.6. SISTEMES DE PARTICULES

L'estudi de sistemes de partcules requereix, en principi, el tractament d'un nombre elevat d'equacions

diferencials. Sovint, pero, s'introdueixen noves quantitats fsiques que sintetitzen la dinamica del sistema de

partcules amb senzillesa. Presentem a continuacio aquests nous conceptes, anomenats magnituds i variables

collectives o macroscopiques, les lleis de conservacio que tenen associades i alguns exemples rellevants.

II.6.1. Centre de masses.

Per a un sistema de N partcules puntuals amb massa total

M =

NXi=1

mi ; (II:6:1)

es deneix el seu centre de masses (c.d.m.) com

M ~rCM NXi=1

mi~ri ()Xi

mi (~ri ~rCM ) = 0 : (II:6:2)

Aleshores, el moment lineal total resulta ser el del centre de masses,

~P Xi

~pi =Xi

mi ~vi =M ~vCM ; (II:6:3)

i la forca total verica la llei

~F Xi

~Fi =Xi

mi~ai =M ~aCM =_~P : (II:6:4)

Aquest es el sentit en que la segona llei de Newton es valida per a un sistema de partcules. De fet, si aixo no

fos cert, Newton mai no hagues descobert la seva llei ~fi = mi~ai per a objectes puntuals! Noteu tambe que

(II.6.3) i (II.6.4) son independents dels punts d'aplicacio de ~F i ~P , que normalment es prenen en el c.d.m..

Diferenciant entre forces internes, les causades pel propi sistema de partcules, i externes, tenim de la

tercera llei de Newton,~Fi = ~Fi;int+ ~Fi;ext ;

Xi

~Fi;int = 0 (II:6:5)

i~F =

Xi

~Fi;ext = ~Fext : (II:6:6)

Aix, menyspreant fregaments, un basto llencat a l'aire te un moviment tal que el seu c.d.m. segueix una

trajectoria parabolica, igual que el d'una bomba, encara que aquesta exploti.

Un cas especialment important de sistema de partcules es el de dues. L'equacio (II.6.2) es redueix a

~R =m1~r1 +m2~r2

m1 +m2

: (II:6:7)

A mes a mes, introdum la posicio relativa

~r ~r2 ~r1 ; (II:6:8)

i la massa reduda

m1m2

m1 +m2

: (II:6:9)

Aquestes noves quantitats permeten escriure l'energia cinetica del sistema en forma simple

Ec =1

2m1 ~v

21 +

1

2m2 ~v

22 =

1

2M

_~R2 +1

2 _~r 2 (II:6:10)

Sistemes de partcules 47

D'altra banda, si nomes hi ha forces internes, la forca que fa 1 sobre 2, ~F1!2 ~F12(~r) = ~F21(~r) ~F (~r),les dues equacions de Newton del sistema son

~F21(~r) = m1~r1

~F12(~r) = m2~r2

(II:6:11)

que correspon a un sistema d'equacions diferencials acoblades. L'us de les variables posicio relativa i massa

reduda desacobla (diagonalitza) el sistema!

M~R = 0

~r = ~F (~r): (II:6:12)

Diem que hem separat les variables ~R i ~r. Noteu que ~R s'aplica a l'origen d'un sistema de coordenades d'un

sistema de referencia inercial, pero ~r no. Com es que satisfa la segona llei de Newton? Aixo es degut al fet

que

~r2 ~R =m1

M~r ; (II:6:13)

i ~r2 ~R te l'origen al c.d.m. que, fent una transformacio pura de Galileo i una translacio, es pot portar a

l'origen. N'hi ha prou aix d'estudiar el moviment relatiu.

Per a distribucions de massa contnues, com en un solid, els sumatoris sobre partcules se substitueixen

per integrals,

M =

ZV

dm ;

M ~rCM =

ZV

dm ~r ;

(II:6:14)

on el diferencial de massa depen de la densitat de massa, (~r), del cos

dm = (~r) dV = (~r) dx dy dz (II:6:15)

Un exemple senzill de distribucio contnua de massa es el d'una barra de gruix menyspreable, rectilnia

i uniforme (densitat lineal constant = ),

M xCM =

Z M

0

dm x =

Z L

0

dx x = L2

2=M

L

2(II:6:16)

i, per tant,

xCM =L

2: (II:6:17)

Noteu que si V = V1 [ V2 ; V1 \ V2 = , es te

M ~rCM =M1 ~rCM1+M2 ~rCM2

(II:6:18)

Aixo es: tota part d'una distribucio de masses es pot substituir per un punt material localitzat al seu c.d.m.

i amb la massa corresponent a efectes de calcular el c.d.m. total.Es evident, tambe, que si la distribucio de masses es de densitat constant i es simetrica el seu c.d.m.

esta al centre de simetria o, si aquest no existeix, a l'eix de simetria, o al pla de simetria. Per exemple, per

a una barra semicircular de densitat lineal uniforme , xCM = 0 per simetria i

R

c.d.m.


M yCM =

Z

0

y R d

R yCM = R2

Z

0

sin d

yCM =R

( cos )j0 =

2R

:

(II:6:19)

Aquest exemple illustra el fet que el centre de masses pot ser fora del propi objecte.

II.6.2. Conservacio del moment lineal i de l'energia.

Quan no hi ha forca externa total, ~Fext = 0,

_~P = 0 ;Xi

~pi = constant ; (II:6:20)

que en diem llei de conservacio del moment total del sistema de partcules. Amb moltssima generalitat,~Fext = 0 implica ~Fi;ext = 0. Perque ~Fi;ext 6= 0 doni ~Fext = 0 en tot instant s'han de donar dos tipus

de condicions: les forces externes han de tenir un alt grau de simetria i les condicions inicials tambe. Un

exemple es el de dues partcules posades en una conguracio simetrica amb velocitats iguals pero oposades

en un potencial simetric. El sistema pateix forces externes pero la forca total externa s'anulla en tot instant

i es conserva el moment lineal total.

La relacio de (II.6.20) amb l'homogenetat de l'espai ara es immediata: nomes hi ha forces internes i

aquestes depenen de les posicions relatives, que no varien en fer una translacio. Aixo no vol dir, pero, que

quan (II.6.20) no se satisfa sigui perque l'espai no sigui homogeni, sino perque el sistema te forces externes.

La presencia de forces externes fa que no es conservi el moment lineal total, pero es perfectament consistent

amb un espai homogeni. Fins i tot una forca externa uniforme fa que no es conservi el moment lineal,

malgrat la seva invariancia sota translacions en l'espai. Podria derivar d'una energia potencial i per tant la

fsica no seria invariant. L'homogenetat de l'espai demana la invariancia de la fsica si traslladem, junt amb

el sistema fsic, les forces externes.

Considerant nomes forces conservatives, aquestes conduirien, segons siguin externes o internes, a dos

tipus d'energies potencials

Ui(~ri) =Xj 6=i

Ui;int (~ri ~rj) + Ui;ext(~ri) ; (II:6:21)

on hem considerat nomes forces de dos cossos. Aquesta expressio es delicada i requereix una mica d'atencio.Obviament el treball fet per les forces externes en anar d'una conguracio A a una B sera

Wext =Xi

Z B

A

~Fi;ext(~ri) d~ri =Xi

Ui;ext(~ri;A) Ui;ext(~ri;B)

=

= Uext(A) Uext(B) ;

(II:6:22)

mentre que el fet per les forces internes es

Wint =Xj

Xi6=j

Z B

A

~Fij (~rj ~ri) d~rj

=Xj

Xi>j

Z B

A

~Fij (~rj ~ri) d~rj + ~Fji (~ri ~rj) d~ri

=Xj

Xi>j

Z B

A

~Fij (~rij) d~rij

= Xj

Xi>j

Uij(~rij;B) Uij(~rij;A)

= Uint (A) Uint(B) ;

(II:6:23)


on ~rij ~rj ~ri. Aquesta no es l'expressio que haguessim obtingut de forma ingenua de (II.6.21)! Aixo es

perque l'energia potencial interna es refereix sempre a parelles de partcules i depen aix de la conguracio

del sistema de les dues partcules. Tant es acostar la primera a la segona com a l'inreves; no s'han de fer les

dues coses. Si es vol utilitzar (II.6.21), sumant sobre totes les partcules, s'ha de dividir per 2 la part interna

perque s'esta comptant el doble del que realment es.

La conservacio de l'energia mecanica total segueix ara immediatament:

Ec + Uext + Uint = Em = constant : (II:6:24)

Les extensions a energies no conservatives, com la qumica en el cas de l'explosio, son immediates

Ec + Uext + Uint + Uno cons: = E = constant : (II:6:25)

Cal notar que l'energia cinetica pot escriure's com la suma de l'energia cinetica del centre de masses i

la relativa al centre de masses:

Ec =1

2M ~v2CM +

Xi

1

2mi ~w

2i ; ~wi ~vi ~vCM ; (II:6:26)

com es dedueix de (II.6.2).

II.6.3. Xocs.

Anem a estudiar les collisions entre dos objectes o cossos amb les seguents condicions

i) ~Fi;ext = 0

ii) ~Fi;int(~r) = 0 si r > R0, sent R0 aproximadament la mida dels cossos.

De i) tenim ~P = constant, el moment lineal del centre de masses es conserva en tots els xocs. De ii) tenim

que abans i despres de la collisio no actuen forces ja que nomes ho fan durant el breu interval del contacte.

Per tenir efectes mesurables, les forces hauran de ser intenses. Aleshores es convenient denir el concepte

d'impuls

~I =

Z t2

t1

~Fdt =

Z t2

t1

_~p dt = ~p2 ~p1 = ~p : (II:6:27)

Aquest concepte es igualment important en les explosions, sempre que la forca actu intensament durant un

interval breu.

Si les forces son conservatives Em = constant i, com que abans de la collisio i despres de la collisior > R0 i U (r > R0) es constant, tenim que Ec;inicial = Ec;final,

Ec;1 + Ec;2 = E0c;1 + E0c;2 ; (II:6:28)

on denotarem amb primes tota quantitat referida a l'estat nal. Aquests xocs s'anomenen elastics.

Si les forces no son conservatives l'energia mecanica no es conserva i disminueix, perque actuen forces

dissipatives que fan augmentar l'energia interna. Aquests xocs s'anomenen inelastics. Normalment son

parcialment inelastics,

Ec;1 + Ec;2 > E0c;1 + E0c;2 ; (II:6:29)

pero poden ser perfectament inelastics de forma que a mes a mes es verica ~v0i = ~vCM per i = 1 i 2: els dos

cossos surten junts de la collisio.Analitzem amb mes detall els xocs en una i tres dimensions.

d = 1

Sempre disposem de la conservacio del moment total,

m1v1 +m2v2 = m1v0

1 +m2v0

2 : (II:6:30)


i) xoc elastic1

2m1v1

2 +1

2m2v2

2 =1

2m1v

0

12 +

1

2m2v

0

22 ; (II:6:31)

) v02 v01 = v1 v2 : (II:6:32)

Noteu que l'ordenacio espacial dels cossos no canvia abans i despres de la collisio. El sistema es facilment

soluble

v01 =

m1v1 +m2v2 m2

v1 v2 1

m1 m2

1 1

=

(m1 m2) v1 + 2m2v2

m1 +m2

v02 =2m1v1 + (m2 m1) v2

m1 +m2

:

(II:6:33)

Quan m1 m2,tenim v01 ' v1 i v02 ' 2v1 v2. Quan m1 = m2, tenim v01 = v2, v0

2 = v1.

ii) xoc perfectament inelastic

v01 = v02 = vCM =m1v1 +m2v2

m1 +m2

; (II:6:34)

i el quocient de l'energia inicial sobre la nal es

E0cEc

=12(m1 +m2)v

2CM

12m1v21 +

12m2v22

= 1 m1m2

m1 +m2

(v1 v2)2

m1v21 +m2v22: (II:6:35)

Quan v2 = 0,E0

c

Ec= m1

m1+m2que demostra que

E0

c

Ecdepen del sistema de referencia inercial.

iii) xoc parcialment inelastic

S'introdueix el coecient de restitucio, e,

v02 v01 e(v1 v2) ; (II:6:36)

de forma que e = 1 per als xocs elastics, e = 0 per als perfectament inelastics i 0 < e < 1 en els altres casos.

Noteu que es una denicio invariant Galileo.

d = 3

La conservacio del moment total ens dona tres equacions,

m1~v1 +m2~v2 = m1~v0

1 +m2~v0

2 : (II:6:37)

i) xoc elastic

La conservacio de l'energia cinetica dona

1

2m1~v

21 +

1

2m2~v

22 =

1

2m1~v

021 +

1

2m2~v

022 : (II:6:38)

Abans de continuar conve fer notar que amb una transformacio pura de Galileo l'equacio (II.6.38) es

pot escriure com1

2m1 ~w

21 +

1

2m2 ~w

22 =

1

2m1 ~w

021 +

1

2m2 ~w

022 ; (II:6:39)

on hem anat al sistema de referencia centre de masses en que el centre de masses esta en repos. Ara be,

de (II.6.39) i (II.6.38) obtenim (II.6.37)! Sembla com si (II.6.38) i (II.6.37) no fossin independents, com

si l'homogenetat del temps estigues relacionada amb l'homogenetat de l'espai! El que passa es que la


invariancia sota translacions en el temps, que porta a (II.6.38), junt amb la corresponent a transformacions

pures de Galileo, que porta a (II.6.39), implica invariancia sota translacions en l'espai:

~x! ~x0 = ~x+ ~v0tt! t0 = t+ t0

)) ~x0 = ~x+ ~v0t + ~v0t0. (II:6:40)

Retrobem aix el concepte del grup de Galileo. A mes a mes veiem que les dues primeres invariancies juntes

no formen un subgrup.

Per estudiar les collisions en tres dimensions conve utilitzar al maxim les invariancies del grup de

Galileo. Una transformacio pura de Galileo permet anar al sistema de referencia laboratori, ~v2 = 0. Una

rotacio permet fer ~v1 k i ~v 0

1 ? k de forma que ~v 0

2 ? k. Aleshores la dada inicial es v1x i les nals son

v01x; v0

1y; v0

2x i v0

2y. Les lleis de conservacio ara s'escriuen

8<:m1v1x = m1v

0

1x +m2v0

2x

0 = m1v0

1y +m2v0

2y12m1v

21x = 1

2m1(v

021x + v021y) +

12m2(v

022x + v022y) .

(II:6:41)

Aixo fa tres equacions per a quatre incognites. La quarta relacio depen de la dinamica i s'obte fent una

mesura d'una de les incognites. Aix si son dues boles i suposant la forca perpendicular a la superfcie de

contacte tenim

CCCC

CCCCCC

θ2

v’

v’

1

2

v1

bR

R

1

2

sin 2 =b

R1 +R2

=jv02yjqv022x + v022y

; (II:6:42)

on b es el parametre d'impacte. Coneixent b o mesurant 2 s'obte la informacio necessaria per resoldre

(II.6.41).

La darrera analisi mostra que els resultats d'un xoc donen informacio sobre les forces i els cossos que

collisionen. Aquest fet queda ben illustrat en el descobriment del nucli atomic degut als experiments de

H.W. Geiger i E. Marsden el 1909, disparant nuclis d'heli contra una lamina molt minsa d'or, interpretats

per Ernest Rutherford el 1911.

ii) xoc inelastic

La collisio perfectament inelastica es essencialment unidimensional.

iii) xoc parcialment inelastic

En els xocs parcialment inelastics s'han de fer dues mesures, ja que es perd la conservacio de l'energia

cinetica.

II.6.4. Coets.


El moviment d'un coet correspon a un problema de massa variable. Considerem nomes forces internes,

com les produdes per la combustio:M v

M+∆M v+∆v−∆M

u

t:

t+∆t:

Noteu que M 0. De la conservacio del moment lineal tenim

Mv = (M +M )(v +v) Mu)p =Mv + vM uM = 0 :

(II:6:43)

Aleshores, com que la velocitat d'expulsio del gasos, vexp uv, la considerem constant, tenim quan t! 0

dv = vexpdM

M; (II:6:44)

que integrat dona

v(t) v0 = vexp lnM (t)

M0

; (II:6:45)

on v0 i M0 son la velocitat i la massa inicial. La seguent integracio requeriria coneixer el ritme de consum

del combustible, es a dir, M (t).Quan s'hi afegeix una forca externa l'equacio a resoldre es

Fext =d

dt(Mv) u dM

dt=

d

dt(pcoet + pgasos) : (II:6:46)

Rotacions entorn d'un eix x 53

II.7. ROTACIONS ENTORN D'UN EIX FIX

Un cas especialment important de dinamica de sistemes de partcules es el de les rotacions. Estudiarem

primer els conceptes mes basics de moment d'una forca, moment angular i la seva conservacio per al cas

d'una partcula. Despres els generalitzarem per a sistemes de partcules i podrem estudiar el cas d'un solid

rgid.

II.7.1. Moment d'una forca. Moment angular.

Denim el moment d'una forca que actua sobre un punt material situat en ~r com

~ ~r ~F ; (II:7:1)

i el moment angular d'un punt material en moviment com

~= ~r ~p : (II:7:2)

Ambdues magnituds es relacionen de la forma

_~= ~r _~p = ~ (II:7:3)

on hem emprat la segona llei de Newton i el fet que _~r ~p = 0. Aquesta llei relaciona la variacio del moment

angular amb el moment de la forca de forma analoga a la segona llei de Newton. Noteu que tant ~ com ~

depenen de l'origen de coodenades O i per aixo els considerem aplicats al punt O.Per a un sistema de partcules el moment angular total es

~L NXi=1

~i ; (II:7:4)

i el moment de forces total

~ NXi=1

~i = ~ext ; (II:7:5)

on a l'ultima igualtat hem utilitzat la versio forta de la tercera llei de Newton* :

~ri ~Fji + ~rj ~Fij = (~ri ~rj) ~Fij = 0 : (II:7:6)

De les anteriors expressions trobem_~L = ~ext ; (II:7:7)

de forma que quan ~ext = 0~L = constant (II:7:8)

que es el teorema de conservacio del moment angular. La peca clau del teorema es la versio forta de la

tercera llei de Newton que es basa en:

i) Isotropia de l'espai. Un espai no isotrop permetria tenir una forca interna

~Fij 6/ (~ri ~rj) ; (II:7:9)

ja que ~Fij podria dependre del vector (o tensor) que caracteritzes l'anisotropia.

* Quina seria, doncs, la tercera llei de Newton per a forces a tres cossos? En forma feble, ~F123 + ~F231 +~F312 = 0. En forma forta, els tres vectors anteriors apunten cap al mateix punt.

54 Rotacions entorn d'un eix x

ii) Forces que nomes depenen de posicions. Si no podrem tenir, per exemple,

~Fij / ~vi ~vj (~ri ~rj)

(II:7:10)

Aquest tipus de forces es degut a interaccions que tarden un temps nit en propagar-se. No sent forces

d'accio a distancia, es fa necessaria la introduccio de camps, els quals porten energia, moment lineal i moment

angular. Es recuperen aix de forma generalitzada els teoremes de conservacio. Per tant, la conservacio del

moment angular es, en ultima instancia, nomes deguda a la isotropia de l'espai.

Anem a introduir ara el moment angular respecte al centre de masses,

~L =Xi

~ri ~pi Xi

(~rCM + ~r0i) (mi~vCM + ~p0i)

=M~rCM ~vCM +Xi

mi~r0

i ~vCM + ~rCM Xi

~p0i +Xi

~r0i ~p0i

~rCM ~P + ~LCM ;

(II:7:11)

on s'ha utilitzatP

imi~r0

i = 0 iP

i ~p0

i = 0, i

~LCM Xi

~r0i ~p0i (II:7:12)

es el moment angular referit al centre de masses, es a dir, a un sistema de referencia que es mou parallel al'inercial amb el centre de masses, i que per tant pot ser no inercial. Malgrat aixo tenim de

~ =Xi

~ri ~Fi =Xi

(~rCM + ~r0i) ~Fi ~rCM ~Fext + ~CM ; (II:7:13)

on

~CM Xi

~r0i ~Fi (II:7:14)

es el moment de les forces respecte del centre de masses, i de (II.7.7) i (II.7.11)

_~L = ~rCM _~P +_~LCM = ~rCM ~Fext + ~CM ; (II:7:15)

que implica_~LCM = ~CM : (II:7:16)

Aix es pot separar el moviment del centre de masses del moviment respecte al centre de masses que satisfa

equacions de tipus newtonia. Noteu que la darrera equacio es valida independentment que el centre de

masses porti associat un sistema de referencia inercial o no inercial.

II.7.2 Solid rgid. Rotacions.

En un solid rgid totes les distancies entre les partcules materials es mantenen constants:

j~ri ~rjj = const: (II:7:17)

Per a un solid rgid es deneix el centre de gravetat com aquell punt tal que posant el solid de qualsevol

forma en un camp gravitatori uniforme (independent del punt de l'espai) tenim

~ = ~rCG Xi

~F (~ri) ; (II:7:18)

on ~F (~ri) = ~Fi = mi~g, ~g sent l'acceleracio produda pel camp gravitatori. Recordant la denicio de moment

de forces total tenim Xi

(~ri ~rCG) ~Fi = 0 ; (II:7:19)


d'on

~g Xi

mi(~ri ~rCG) = 0 : (II:7:20)

Combinant aquest resultat amb la denicio de centre de masses, trobem

~rCM ~rCG / g ; (II:7:21)

i, com que ha de ser cert per a qualsevol orientacio del solid, tenim

~rCG ~rCM : (II:7:22)

Aixo permet utilitzar ~g per obtenir el centre de masses.

A un solid rgid es pot associar sempre un sistema de referencia solidari i el seu sistema de coordenades,

amb l'origen posat al centre de masses. En un altre instant la nova posicio del solid esta determinada per

una translacio al nou origen i una rotacio al voltant d'un eix que passa per l'origen. Aixo es aix en tres

dimensions, perque tota matriu de rotacio te un valor propi +1 (Apendix A). En dues dimensions no hi ha

valor propi +1 i per tant no hi ha eix de rotacio en el propi espai. Sabem que les rotacions es representen

per una matriu que depen de tres angles. Podrem representar-les per un vector les components del qual son

o depenen de tres angles? No, perque si fos aix, com

~1 + ~2 = ~2 + ~1 ; (II:7:23)

les rotacions commutarien, i aixo no es cert,

π2

π2

π2

π2

Mentre que amb matrius

R1R2 6= R2R1 : (II:7:24)

Ara be, si les rotacions son innitesimals, es cert que

d~1 + d~2 = d~2 + d~1 (II:7:25)

on d es l'angle de rotacio i d apunta en la direccio de l'eix de rotacio, perque rotacions innitesimals son

localment com translacions. Dividint per dt queda

~!1 + ~!2 = ~!2 + ~!1 (II:7:26)

i ~!, la velocitat angular, es un vector. Obviament el mateix passa a ~ = d~!dt, l'acceleracio angular.

II.7.3. Parell de forces. Composicio.

Per a un solid rgid es util introduir un nou vector: el parell de forces. Donades dues forces tal que~F1 + ~F2 = 0 i aplicades a ~r1 i ~r2 es deneix el seu parell com

~p (~r2 ~r1) ~F2 = (~r1 ~r2) ~F1 = ~1 + ~2 : (II:7:27)

Els parells, contrariament al que passa als moments de les forces, no depenen de l'origen. Es per aixo que

son vectors lliures. Aquesta propietat no es dona per a les forces, que son vectors lliscants,


−F F F

B A

i, ~F (A) es cancella amb ~F (B), podent-se aix traslladar d'A a B.Ara es facil veure que tot conjunt de forces que actuen sobre un solid rgid es equivalent a una resultant

i un parell resultant, ~F i ~p. Efectivament, agafant un punt arbitrari O, podem traslladar cada una de les

forces a aquest punt compensant amb el respectiu parell de forces. Totes les forces actuant en O donen la

resultant ~F i tots els parells donen el resultant ~p. Noteu que ~F actua en O pero no depen d'O, mentre que

~p es lliure, pero depen d'O.La forca resultant i el parell resultant es poden substituir per dues forces resultants. N'hi ha prou de

substituir ~p per dues forces iguals i oposades, ~F0 i ~F 0, la primera d'elles actuant a O i l'altra en un punt

O0 tal que donin ~p.

F

−F’

F’

O O’

Aleshores, ~F + ~F 0 actuant a O i ~F 0 actuant a O0 son les dues forces resultants.

En el cas d'un solid en el si del camp gravitatori terrestre queda clar que posant la forca resultant al

centre de gravetat, el parell resultant es zero.

II.7.4. Equilibri estatic.

Si la resultant i el parell resultant de les forces que actuen sobre un solid rgid satisfan

~F = 0 ;

~p = 0 ;(II:7:28)

aleshores es immediat veure que el moment de totes les forces respecte a qualsevol punt satisfa tambe

~ = 0 : (II:7:29)

De les relacions (II.6.4) i (II.7.7) tenim

~P =M ~vCM = constant ;

~L = constant :(II:7:30)

Obtenim tambe~LCM = constant ; (II:7:31)

que correspon a la primera llei de Newton, com quedara pales quan veurem que aquesta equacio implica

~! = constant : (II:7:32)

Si les condicions inicials son tals que

~P0 = 0 ; ~L0 = 0 ; (II:7:33)

tindrem una situacio d'equilibri estatic.


Considereu, com un primer exemple d'equilibri estatic, un paraigua que penja d'una taula

>>>>>>>>

Les forces del sistema son el pes del paraigua aplicat al centre de masses i la reaccio de la taula. Es clar

que tant la suma de forces com la suma de moments s'anulla quan el centre de masses es troba a la vertical

del punt on es recolza sobre la taula. Tindrem equilibri estable ja que el c.d.m. esta per sota del punt de

suspensio. Aquest tipus de problemes tambe es poden resoldre per minimitzacio de l'energia potencial, que

en aquest cas es proporcional a l'alcada del centre de masses del paraigua.

Un segon exemple es el d'una escala que es recolza en una paret.

22222222222222222222222222222222222222

2222222222222222222222222222

N

N

mg

αf

2

1

En absencia de fregament amb el terra, l'escala cau i no hi ha equilibri. La forca necessaria per mantenir

l'escala en un angle s'obte d'imposar la cancellacio de forces i moments amb respecte de qualsevol punt,

N2

f= 2 tan : (II:7:34)

Aquesta forca nomes pot ser feta pel fregament. L'equilibri es dona quan

fmax = N2e N2

2 tan=) e

cos

2 sin; (II:7:35)

on el coecient de fregament estatic entre l'escala i el terra es e. Aquest tipus de problemes s'han de resoldre

necessariament analitzant les forces del sistema. No son d'equilibri estable.

II.7.5. Tercera llei de Newton.

Considereu dos solids rgids tals que totes les forces actuant sobre cada un d'ells son degudes a l'altre.

La tercera llei de Newton, en la seva versio forta per a forces puntuals, imposa per a les resultants

~F12 + ~F21 = 0 ;

~21(O1) + ~12(O2) + (~r2 ~r1) ~F12 = 0 ;(II:7:36)

on ~F12 es la forca total del cos 1 sobre el 2 i actuant a O2, i ~12(O2) el parell total corresponent, que depen

d'O2, i corresponentment ~F21 i ~21(O1). La segona expressio de (II.7.36) correspon a ~tot = 0 o ~p;tot = 0


ja que totes les forces puntuals es compensen per parelles. En general, ~F12 i ~F21 no estan alineats pero com

que O1 i O2 son arbitraris es poden escollir alineats simplicant-se (II.7.36):

~21(O1) + ~12(O02) = 0 : (II:7:37)

Si a mes a mes ~21 ~F21 = 0 es pot trobar un O1 tal que ~21 = 0. Aleshores nomes queda la primera equacio

de (II.7.36).

II.7.6. Moment d'inercia.

En el moviment general d'un solid rgid s'ha de coneixer la seva posicio

~rCM ; ; ; (II:7:38)

i les seves velocitats

~vCM ; ~! : (II:7:39)

Normalment la rotacio ~! es considera al voltant d'un eix que passa pel centre de masses. En general

aquest eix es variable en el temps. Aqu considerarem nomes rotacions al voltant d'un eix x, pero que no

necessariament passa pel centre de masses. Aleshores

Ec =Xi

1

2mi~v

2i =

Xi

1

2mi(~! ~ri)2

=Xi

1

2mi

2i!

2 1

2I!2

(II:7:40)

on hem utilitzat ~vi = ~! ~ri, que a mes a mes xa el sentit de ~!, on i es la distancia mes curta del punt ~ria l'eix de gir i on el moment d'inercia respecte a l'eix es deneix com

I Xi

mi2i : (II:7:41)

El moment d'inercia juga per a l'energia cinetica de rotacio el paper de la massa per l'energia cinetica d'un

punt material. Quantica l'oposicio d'un solid a rebre acceleracions angulars al voltant d'un eix de gir, tal

com la massa quantica l'oposicio d'un punt material a ser accelerat. Per a una distribucio contnua de

massa es

I =

ZV

2dm =

ZV

2mdV (II:7:42)

on m es la densitat de massa.

Calculem l'exemple senzill del moment d'inercia d'una anella cilndrica respecte a l'eix de simetria,

R1

R2

h

I = m h 2

Z R2

R1

2 d =hm

2(R4

2 R41) : (II:7:43)


La massa total de l'anella es

M = m h (R22 R2

1) ; (II:7:44)

i, per tant,

I =M

2(R2

2 +R21) : (II:7:45)

Prenent el lmit R1 ! R2 = R tenim I = MR2, que correspon al moment d'inercia d'una massa puntual a

distancia R, com era d'esperar. Si fem R1 = 0 i R2 = R obtenim el moment d'inercia d'un disc.

Un exemple canonic que involucra simetria esferica es el de l'esfera. El seu moment d'inercia respecte

d'un eix que passa pel seu centre es

I =2

5MR2 : (II:7:46)

El teorema de Steiner ens permet relacionar els moments d'inercia respecte d'eixos parallels entre ells,on un d'ells passa pel centre de masses del cos.

ρρ’

ρcm CM

Noteu que el vector que dona la distancia mes curta d'un punt a un eix qualsevol es pot escriure com la

suma dels vectors del punt a l'eix que passa pel centre de masses i d'aquest a l'eix desitjat. Aleshores,

I =Xi

mi~02i =

Xi

mi(~i + ~CM )2 =Xi

mi~2i +M2CM = ICM +M2CM ; (II:7:47)

on s'ha utilitzat la denicio de centre de masses.Es important entendre com es transforma el moment d'inercia sota rotacions. Aixo requereix una analisi

mes na que la que acabem de fer. Considereu el moment angular d'un solid rgid respecte a un punt sobre

l'eix al voltant del qual gira amb velocitat angular ~! ,

~L =

Zdm ~r ~v : (II:7:48)

Emprant ~v = ~! ~r i les propietats del producte vectorial, tenim

~L =

Zdm ~r (~! ~r)

=

Zdm~! r2 ~r(~r ~!)

:

(II:7:49)

Aquesta expressio ens porta a entendre que la relacio entre les components del moment angular i de la

velocitat angular es

Li =Xj

Iij!j ; (II:7:50)

on

Iij Zdmijr

2 rirj

(II:7:51)

es el tensor d'inercia. En consequencia, la inercia a girar es parametritza correctament en un tensor de dos

ndexs, i transforma sota rotacions com a tal. L'energia cinetica del cos tambe s'escriu elegantment en termes


del tensor d'inercia

Ec =1

2

Zdm v2 =

1

2

Zdm (~! ~r)2

=1

2

Zdm

(!2r2 (~! ~r)2

=

1

2

Zdm

Xi;j

!i!jr2ij rirj

=1

2

Xi;j

Iij!i!j :

(II:7:52)

Es pot veure que la traca del tensor d'inercia, I11 + I22 + I33, es invariant sota rotacions. La relacio del

tensor d'inercia amb el moment d'inercia s'obte comparant (II.7.52) amb (II.7.40) i es

I =Xi;j

Iij!i!j : (II:7:53)

Objectes amb un alt grau de simetria (un disc, per exemple) tenen tensors d'inercia referits a l'eix de

simetria diagonals:

I12 = I13 = I23 = 0 : (II:7:54)

Aleshores, els eixos 1,2,3 es diuen principals d'inercia i es verica

L1 = I11!1 ; L2 = I22!2 ; L3 = I33!3 : (II:7:55)

Aquests eixos principals d'inercia existeixen per a qualsevol solid. Aixo, pero, no signica que el moment

d'inercia sigui un vector de components I11; I22; I33. Per tant, nomes quan ~! sigui parallel a un dels eixos

principals d'inercia tindrem que ~! k ~L.

II.7.7 Dinamica. Exemples.

Considereu un solid rgid amb un eix de rotacio x o be, si l'eix passa pel centre de masses, es sucient

que l'eix sigui de direccio xa podent-se, doncs, traslladar. Recordant que totes les forces actuant sobre el

solid rgid son equivalents a una forca resultant ~F i un parell resultant ~ , escollirem sempre el punt d'aplicacio

de la forca sobre l'eix de rotacio. En el cas de tenir un eix x, ~F queda cancellada per la reaccio. En el

segon cas, escollim el centre de masses com punt d'aplicacio de ~F . Aleshores ~F nomes accelera el centre de

masses. En ambdos casos, el parell resultant ~ te una component perpendicular a l'eix que s'anulla. Quedanomes k, parallel a l'eix, que representem com indica la gura

ρFτ

on tots els angles indicats son 2. Aleshores,

k F : (II:7:56)

on es el brac del parell. Considereu el treball fet per F ,

dW = d F = k d = dEc = I ! d! ; (II:7:57)


per tant,

dW

dt= ! F = k ! =

dEc

dt= I ! ; (II:7:58)

i obtenim l'equivalent de la segona llei de Newton

k = I : (II:7:59)

L'equacio dinamica, amb l'origen sobre l'eix, resulta de (II.7.7) i (II.7.16)

dLk

dt= k = I ) Lk = I! ; (II:7:60)

on la constant d'integracio s'ha escollit nulla, com ha de ser (si ! = 0, ~L = 0). Aquesta relacio equival a

p = mv en el mon de les rotacions i es un cas particular de (II.7.50). Es important notar que (II.7.60) deixa

clar que ~L i ~! no son parallels en general. Aixo es obvi si recordem que el moment d'inercia es un tensor.

Per exemple

ω

L

m

m

F

−F

on ~ext mante l'eix x, i per tant ~L va girant mantenint Lk constant.

Considereu un exemple de la llei de conservacio del moment angular,

d

I

ω Ω

P

Linic = 0 !inic = 0 inic = 0

LP = I! md2 = 0 ) =I!

md2

(II:7:61)

on hem emprat (II.7.11). Noteu que hi ha forces externes, pero no tenen moment amb respecte de P.

Un altre exemple es el pendol fsic


CM

mg

θ

= sin ` m g = I : (II:7:62)

Per a angles petits, 1, tenim

= `mgI

: (II:7:63)

El pendol fsic a petits angles es, doncs, un oscillador harmonic simple de perode

= 2

sI

mg`: (II:7:64)

Un darrer exemple de dinamica de rotacions es el d'un cos que roda i no llisca

+

2v v v=ωR

v v=v

v=0

P

CM

v −v=−ωR

=

L'energia cinetica del cos es

Ec =1

2IP!

2 =1

2(MR2 + ICM ) !2 =

1

2Mv2CM +

1

2ICM!

2 (II:7:65)

i aix la translacio mes rotacio al voltant del centre de masses equival a una rotacio al voltant de l'eix de

rotacio instantani, que passa pel punt de contacte. Noteu que ! es la mateixa al voltant del punt de contacte

i al voltant del c.d.m..

El punt important d'aquest exemple es notar que el punt de contacte no es desplaca i, per tant, les forces

de fregament no fan treball. Aixo es el descobriment de la roda! La idea genial consisteix en anar substituint

el punt del cos que deneix l'eix instantani de rotacio sense traslladar-ho mai. No es dissipa energia.Es notable observar que la roda ja esta representada en una pictograa sumeria de 5 500 anys d'antiguitat

i poc mes tard en una gura de fang del neoltic europeu trobada a l'actual Hongria.

Gravitacio newtoniana 63

III. GRAVITACIO

III.1. GRAVITACIO NEWTONIANA

Dedicarem aquest captol a l'estudi de la dinamica associada a una de les lleis fonamentals de la natura,

l'anomenada gravitacio classica. L'estructura matematica d'aquesta teoria queda denida a traves de la llei

de la gravitacio universal de Newton. Explotarem aquesta llei ns a explicar les lleis de Kepler. Tot seguit

presentarem els conceptes de camp gravitatori, lnies de camp, ux i llei de Gauss.

III.1.1. Antecedents historics. Lleis de Kepler. Llei de la gravitacio universal.

El cam tracat per uns pocs cientcs per assolir un coneixement fonamental, precs i per tant predictiu

de les interaccions entre els cossos celests es pot considerar com un paradigma del proces cientc.

Els antecedents historics comencen d'enca que tenim registres escrits de les diferents cultures dominants

fa uns milers d'anys. Aix, els moviments de Venus, Jupiter o Saturn eren coneguts amb precisio per maies i

egipcis. La descripcio quantitativa dels moviments dels planetes des d'una optica geocentrica es materialitza

en la teoria de C. Ptolomeo (segle II) que, renada durant mil anys, emprava mes de 80 discos per descriure

el moviment de 7 dels planetes del sistema solar. En ser explicat el complicat moviment del planetes i la

teoria de Ptolomeo, el rei Alfons X el Savi suposadament va dir:\Si jo fos Deu, ho hauria fet mes simple".

Efectivament, el moviment dels planetes del sistema solar es forca mes simple vist des d'un sistema de

referencia una mica mes inercial com es el centrat en el Sol. Nicolaus Copernicus (1473-1543) va postular

que el Sol es troba en repos i que la Terra gira al seu voltant. Les discrepancies amb l'ortodoxia catolica

no van ajudar a difondre les noves idees contingudes al seu llibre. De mica en mica, pero, el coneixement

quantitatiu de les trajectories dels planetes es va anant consolidant amb treballs com els de Tycho Brahe

(1546-1601), responsable de mesures astronomiques forca precises. Aquesta base experimental va permetre

a Johannes Kepler (1571-1630) enunciar les seves tres lleis planetaries. Aquestes lleis empriques son:

1. Les orbites dels planetes son ellptiques. El Sol esta en un focus.

2. Durant el moviment, el planeta escombra arees iguals en temps iguals.

3. El quadrat del perode de revolucio es proporcional al cub del semieix major,

sent la constant de proporcionalitat la mateixa per a tots els planetes:

2122

=R31>

R32>

(III:1:1)

Les lluites aferrissades esglesia-ciencia continuaren i han quedat simbolitzades pel famos proces que

Galileo Galilei (1564-1642) va patir. Un provecte Galileo, defensor del sistema copernica, va ser forcat a

abjurar-hi en un proces interminable portat per la Inquisicio. Diu la llegenda que, en ser obligat a negar que

la Terra gires al voltant del Sol, Galileo va afegir xiuxiuejant: \E pur si muove", (i, malgrat tot, es mou).

L'estament catolic va reconeixer l'error comes amb Galileo l'any 1993.

64 Gravitacio newtoniana

Tota aquesta lluita va ser arrasada pel treball monumental d'Isaac Newton (1642-1727). Home introvertit

en extrem (va morir verge, com requeria la seva posicio academica), va re exionar profundament en els

fenomens d'interaccions entre cossos celests i l'atraccio que pateixen els objectes a la superfcie de la Terra.

En va concloure que ambdos efectes eren deguts al mateix tipus de forca. El 1684, Halley visita Newton i li

demana quin tipus de trajectoria seguiria un planeta si la forca d'atraccio respecte del Sol fos inversament

proporcional al quadrat de la distancia que els separa. Newton va respondre immediatament que seria una

ellipse. Agradablement sorpres, Halley demana com ho sabia i Newton respongue: \Ho he calculat". En

efecte, Newton havia estat capac de crear el calcul diferencial, de resoldre equacions diferencials, de trobar les

orbites del planetes i de no dir res a ningu. Halley va accelerar la publicacio dels Principia que aparegueren

el 1686.

Constitueix, per tant, una ta historica el fet d'unicar interaccions celestes i terrestres en una unica

formula. Sota el nom de llei de la gravitacio universal, diem que entre dos cossos actua una forca atractiva

i central~F = Gmg1mg2

r2r (III:1:2)

on mg es la massa gravitatoria. La constant G es diu constant de Newton i val

G = 6:672 59(85) 1011 m3kg1s2 : (III:1:3)

El valor tan petit d'aquesta constant quan se la compara amb els seus equivalents a la resta d'interaccions

fonamentals es la rao de la irrellevancia de la gravitacio a la fsica d'escales atomiques o mes petites. En

canvi, el fet de ser una forca sempre atractiva, que no pot apantallar-se, permet a la interaccio gravitatoria

controlar l'estructura a gran escala de l'univers.

III.1.2. Massa pesant i massa inercial.

Acabem de dir que la massa pesant o gravitatoria es la carrega de les interaccions gravitatories. D'altra

banda tenim la massa inercial que quantica l'oposicio d'un cos a canviar el seu estat de moviment dins la

segona llei de Newton. Malgrat ser conceptualment diferents, son aquestes masses iguals?

Galileo, estudiant caigudes de diferents cossos des de la torre inclinada de Pisa; Newton, estudiant

perodes de pendols; Eotvos, amb una balanca de torsio, i Dicke, millorant aquest metode, han arribat a la

conclusio quemg

mi

= constant universal (III:1:4)

amb una precisio d'una part en 1011. Preneu com a exemple el perode d'un pendol simple que oscilla amb

una petita amplitud

= 2

s` mi

g mg

(III:1:5)

i es la independencia de del material la que permet arribar a (III.1.4).

Posteriorment, Albert Einstein va elevar a postulat la igualtat d'ambdues masses, sent una peca clau

de la teoria de la relativitat general (1916). Aquest postulat s'anomena el principi d'equivalencia, i equival

a dir que localment una forca gravitatoria no es pot diferenciar d'una d'inercial.

Es pot doncs escollir un sistema d'unitats en que

mi = mg m (III:1:6)

i per tant la gravitacio no introdueix cap magnitud nova, al contrari del que passa amb l'electricitat al

sistema internacional. Tampoc podem eliminar per conveni l'error a la mesura de la constant de Newton,

G, sorprenentment coneguda amb poca precisio.

III.1.3. Lleis de Kepler.


Plantegem l'equacio de la gravitacio universal per a un sistema de dues masses, m1 i m2. Seguint els

passos fets en el captol de sistemes de partcules trobem

~r = Gm1m2

r3~r = GM

r3~r ; (III:1:7)

que aix es un problema d'un cos en un camp de forces conservatiu d'energia potencial

U (~r) = GMr

; (III:1:8)

i forca ~F (~r) = ~rU (~r)*.La conservacio de l'energia mecanica correspon a

1

2 _~r

2 GM

r= Em = const: (III:1:9)

i la del moment angular~L = ~r _~r = const: (III:1:10)

Quan ~L = 0; _~r / ~r, i el moviment es unidimensional. Quan ~L 6= 0, el moviment es bidimensional i,

escollint ~L = (0; 0; L), esta contingut en el pla xy. Aleshores les lleis de conservacio anteriors s'escriuen

12( _r2 + r2 _2) + U (r) = E

r2 _ = L

)(III:1:11)

Ara be, de la constancia de L es dedueix immediatament la segona llei de Kepler:

dA =1

2r2d ) dA

dt=

1

2r2 _ =

L

2= const: (III:1:12)

D'una altra banda eliminant _ en favor de L tenim

1

2 _r2 +

L2

2r2+ U (r) = E ; (III:1:13)

que es la conservacio de l'energia depenent nomes del radi (per tant un problema unidimensional en la

semirecta r 0). Noteu l'aparicio de la barrera centrfuga deguda a l'energia cinetica angular pero que ara

es com una energia potencial. El problema unidimensional equivalent te aix una energia potencial efectiva

Uef (r) =L2

2r2+ U (r) : (III:1:14)

Aquesta barrera centrfuga implica una distancia a l'origen mnima quan el moment angular total L es

diferent de zero.

La integracio de (III.1.13) dona r = r(t) i la de (III.1.11) = (t). Es aix com surten els moviments de

trajectories coniques dels planetes, cometes, asteroides, etc., d'acord amb la primera llei de Kepler.

* Si hom vol descriure el moviment del cos 1 respecte del centre de masses (que en aquest cas correspon

a un sistema de referencia inercial), aleshores amb ~r01 ~r1 ~rCM ,

m1~r01 = G

m1m0

2

r031~r01 ; m0

2 = m2

m2

m1 +m2

2

:


R

Uef

r

E > 0! hiperbola

E = 0! parabola

E < 0! el lipseE = Uef (R)! circumferencia(U 0ef (R) = 0)

(III:1:15)

Aix donat L i E la trajectoria esta determinada (xant les arbitrarietats irrellevants amb r0 i 0).Per a les orbites ellptiques del punt mes proper al Sol se'n diu periheli i del mes llunya afeli que per

a la Terra correspon al 2 de juliol. Com es que quan estem mes lluny del Sol fa mes calor? Quin es el

quocient entre els uxos de radiacio solar que rep Barcelona al migdia dels solsticis d'estiu i d'hivern (l'angle

d'inclinacio de l'eix de rotacio de la Terra respecte al pla de l'eclptica es 23o, la latitud de Barcelona es de

42o i els semieixos de l'ellipse que descriu la Terra son 152 i 147 milions de km; per aquest calcul assumiu

que l'afeli i el solstici d'estiu coincideixen)?

Per a les orbites circulars

U 0ef (R) = 0 ) R =L2

(Gm1m2): (III:1:16)

Noteu que per a un L donat el moviment circular es el d'energia mnima,

Emin = (Gm1m2)2

2L2: (III:1:17)

De l'acceleracio centrpeta i el perode

a =v2

R= G

M

R2; =

2R

v; (III:1:18)

obtenim la tercera llei de Kepler per a orbites circulars

R3 =GM

422 : (III:1:19)

Veiem que la tercera llei es aproximada, ja que M = m1 +m2. Com que el Sol es molt mes massiu que

tots els planetes M 'M i Kepler no va notar el caracter aproximat de la seva llei.

III.1.4. Camp i potencial gravitatori. Lnies de camp.

Considereu ara un conjunt de masses, mi. Cada una d'elles exerceix una forca sobre una massa de prova

que posem en un punt arbitrari ~r

~F (~r) = Gmm1

j~r ~r1j3(~r ~r1)

Gmm2

j~r ~r2j3(~r ~r2) : : : (III:1:20)


Aquesta forca es pot obtenir de la corresponent energia potencial

U (~r) = Xj

Gmmj

j~r ~rj j(III:1:21)

fent ~F (~r) = ~rU (~r). Es deneix el potencial i el camp gravitatori dividint U (~r) i ~F (~r) per m respectivament:

V (~r) U (~r)

m= G

Xj

mj

j~r ~rjj

~g(~r) ~F (~r)

m= G

Xj

mj

j~r ~rjj3(~r ~rj) = ~rV (~r)

(III:1:22)

L'avantatge de V i ~g es que son independents de m.

En aquesta formulacio classica no relativista, les masses generen instantaniament el camp gravitatori

que es l'acceleracio que produeix en el punt ~r la forca gravitatoria sobre qualsevol massa que s'hi posa. Aixo

correspon a l'accio a distancia newtoniana. El camp permet actuar localment, fa una forca alla on es diferent

de zero.

Per a distribucions contnues de massa:

V (~r) = GZ

dm0

j~r ~r 0j (III:1:23)

~g(~r) = GZ

dm0

j~r ~r 0j3 (~r ~r 0) (III:1:24)

Si la distribucio de massa es acotada i ens n'allunyem molt

V (~r) GMr

! 0 : (III:1:25)

Ja veurem que per a distribucions no acotades (III.1.23) pot ser divergent i conve restar una constant

innita del potencial, recordant que als potencials, com les energies potencials, se'ls pot sumar una constant

arbitraria.

Conve recordar aqu que estem considerant la gravitacio deguda a una distribucio de massa xa, son

aix forces externes.

Considerem ara l'espai ple d'unes lnies, anomenades de camp, orientades tals que

i) ~g(~r) es tangent a ellesii) tenen el sentit de ~g(~r)iii) el nombre de lnies per unitat de superfcie perpendicular a ~g(~r) es proporcional

a j~g(~r)j.Seguint aquestes instruccions, el dibuix de lnies de camp per al cas d'una massa puntual es

N

m

N

4r2/ j~g(~r)j = Gm

r2) N : constant (III:1:26)

Aquest exemple permet comprovar que les lnies de camp no acaben o comencen a punts arbitraris de

l'espai. De fet comencen a l'innit i acaben a les masses que creen el camp. Nomes es poden tocar on hi ha

una massa, ja que correspon a un camp d'intensitat innita, i en els punts on el camp es nul.


Un segon exemple es el de les lnies de camp associades a dues partcules puntuals de masses iguals

Aqu tambe hem dibuixat les superfcies equipotencials, perpendiculars sempre al camp i de diferencia de

potencial entre superfcies contigues constant. Recordeu

dV = d~r ~rV (~r) = 0 si d~r ? ~g(~r) : (III:1:27)

Quan mes a prop estan les superfcies equipotencials mes intens es el camp. Es important notar que les

trajectories no coincideixen en general amb les lnies de camp, ja que velocitat i l'acceleracio no son en

general paralleles.

III.1.5 Flux. Llei de Gauss.

Considereu una superfcie orientable S (una cinta de Mobius no es orientable)

dS

S

dN = ~g d~S ; : constant arbitraria : (III:1:28)

Es deneix el ux del camp a traves de la superfcie com

ZS

~g d~S =N

: (III:1:29)

Considereu ara una superfcie tancada i esferica centrada en una massa m:

=N

= 4Gm (III:1:30)

Si ara moveu la massa, com que N es el mateix es constant. I si deformem la superfcie, deixant m dins,

continua sent el mateix.


Aixo es la llei de Gauss:

=

IS

~g d~S = 4GM ; M massa continguda en S (III:1:31)

Combinant-la amb el teorema de Gauss,IS

~g d~S =

ZV

~r ~gdV = 4GZV

mdV ; (III:1:32)

arribem a la forma diferencial de la llei de Gauss:

~r ~g(~r) = V (~r) = 4Gm(~r) : (III:1:33)

La divergencia del camp nomes es diferent de zero on hi ha massa. Per a una sola partcula (Apendix B),

V (~r) = Gmr

; m(~r) = m(~r) , 1

r= 4(~r) : (III:1:34)

Recordeu un altre cop que la llei de Gauss exigeix una forca que decreixi com 1r2

i de fet es equivalent a

ella. Noteu tambe que les lnies de forca son utils per demostrar la llei de Gauss, pero que una vegada tenim

aquesta podem prescindir de les primeres.

Un comentari mes avancat consisteix en discutir la perfecta cancellacio que hem trobat entre les de-

pendencies r2 de l'element de superfcie i 1r2

de la interaccio gravitatoria. Ambdues semblen desconnectades.

La primera s'arrela en el fet que l'espai te tres dimensions, la segona es una llei fonamental que hem trobat

empricament. Mes endavant veurem que el mateix fenomen apareix en el cas de les interaccions electriques.

En el marc mes potent de les teories quantiques de camps, hom pot veure que aquests dos comportaments

estan relacionats, i son deguts al fet que el gravito i el foto no tenen massa.

III.1.6 Exemple de camp gravitatori extern: closca esferica i esfera.

Estudiem ara la forca feta per un sistema de partcules mitjancant la interaccio gravitatoria. Prenem el

cas d'una distribucio contnua, una closca esferica,

x

r m

R

M θα

F

Comencem escrivint els elements de superfcie i massa,

dS = 2 sin RRd dM = mdS m = densitat supercial : (III:1:35)

La forca que volem calcular es

dF = Gm dM

x2cos : (III:1:36)

S'obeeixen les seguents relacions

x cos+ R cos = r ; x2 = R2 + r2 2Rr cos ; (III:1:37)

d'on allem

sin d =x

Rrdx ; cos =

r2 R2 + x2

2rx: (III:1:38)


Hem de calcular, doncs, les seguents integrals en funcio de si estem dins o fora de la closca

F = Gmmr2

R

Z r+R

rR

r2 R2

x2+ 1

dx| z

4R

= GmMr2

; r > R ;

F = Gmmr2

R

Z R+r

Rr

r2 R2

x2+ 1

dx| z

0

= 0 ; r < R :

(III:1:39)

Aquests resultats son importants: fora de la closca la forca gravitatoria es exactament com si tota la massa

estigues a l'origen. Dins es zero, hi ha cancellacio perfecta! El potencial es

V (r) = GMr

; r > R ;

V (r) = GMR

; r < R :

(III:1:40)

Aqu hem utilitzat la continutat del potencial. Aixo es perque sobre la closca (III.1.39) dona g = GM2R2 i

per tant V ha de ser contnua. Una V discontnua donaria g / (r R).Si la closca es massissa i de densitat constant:

F = GmMr2

; r > R

F = GmM (r)

r2= GmMr

R3; r < R ; on M (r) =M

r3

R3;

(III:1:41)

i el potencial es

V (r) = GMr

; r > R (III:1:42)

V (r) = GM

2R3r2 3

2GM

R; r < R (III:1:43)

R r R r

g(r) V(r)

La llei de Gauss reprodueix aquests resultats immediatament:

g(r)4r2 = 4GM (r) ) g(r) = GM (r)

r2: (III:1:44)

Aquests dos exemples illustren les profundes consequencies de la llei de Gauss. Donada una distribucio

de massa amb simetria esferica, tot experiment gravitatori realitzat en el punt P nomes pot determinar la

massa total continguda dintre de la superfcie esferica que passa per P .

III.1.7 Exemple de camp gravitatori intern: esfera.


Estudiem a continuacio l'energia potencial interna deguda a interaccions gravitatories per a una dis-

tribucio de masses homogenia i esferica. Volem calcular

U =1

2

Z R

0

V (r) dm =1

2

GM

2R34m

Z R

0

(r2 3R2)r2dr ; (III:1:45)

on la massa total de l'esfera es

M =4

3R3m : (III:1:46)

El calcul es senzill i trobem

U = 4

5GMR2m = 3

5GM2

R= 16

152GR52m : (III:1:47)

Imagineu que aquesta esfera massiva s'hagi format per collapse gravitatori d'una esfera uniforme in-

nitament gran, que de (III.1.47) tindria energia potencial nulla, i que tota l'energia gravitatoria s'hagi

transformat en energia interna. Aleshores la temperatura vindra donada per

3

2kT

M

m=

3

5GM2

R) T =

2

5

G

k

Mm

R(III:1:48)

Pel Sol M ' 2 1030kg, R ' 7 108m, mH2' 3 1027kg i T ' 2 107K que es una estimacio relativament

correcta de la temperatura interna del Sol, que obviament esta modicada pels processos nuclears i l'emissio

de radiacio electromagnetica i neutrins.

En la teoria de la Relativitat la massa te un contingut energetic E = mc2. Que valR si justMc2+U = 0?

Surt

R =3

5GM

c2=

3

10RS (III:1:49)

Per l'univers M ' 1081mp, R ' 4 1026m ' 4 1010 ly que es una bona estimacio de la mida de l'univers.

III.1.8 Paradoxes gravitatories. Distribucions no acotades.

Distribucions de masses no acotades a l'espai porten rapidament a paradoxes. Considereu una densitat

de massa, m, uniforme per tot arreu. Anem a raonar que el camp ~g en un punt P qualsevol es arbitrari.

O P

L'esfera centrada en 0, sent 0 arbitrari, dona el camp dibuixat. Les closques concentriques amb 0 i que tenen

P a l'interior totes donen zero. El camp es, doncs, el dibuixat.Es evident que aquest raonament es incorrecte ja que la isotropia de l'espai exigeix ~g = 0. Les closques

exteriors no hi contribueixen perque hi ha dues contribucions que es cancellen. En tant que el nombre

de closques externes sigui nit, el raonament anterior es correcte. Pero quan tenim un nombre innit de

closques (distribucions no acotades), el resultat exigeix donar sentit a una serie del tipus

1 1 + 1 1 + 1 1

que, com es sabut, requereix una prescripcio per ser sumada. En aquest cas, la fsica diu com s'han de sumar

series d'aquest tipus, donant un camp gravitatori total nul.

Considereu una distribucio esferica de densitat variable


m =a

r(III:1:50)

Podrem fer

V (r) = GM (r)

r G

Z1

r

dM

dM = 42dm = 4ad ;

(III:1:51)

que dona

V (r) = Gr4a

Z r

0

d G4a(1 r) = 2Gar 1 : (III:1:52)

La constant innita re ecteix V (1) = 0. Es convenient eliminar-la i tenir V (0) = 0. El mateix s'obte per

integracio del camp

g(r) = GM (r)

r2= 2Ga : (III:1:53)

Electrostatica 73

IV. ELECTRICITAT I MAGNETISME

IV.1. ELECTROSTATICA

Les interaccions electromagnetiques controlen l'estructura de la materia a partir de l'escala de l'atom.

Son responsables, doncs, dels lligams moleculars i reaccions qumiques, de l'estructura dels solids i dels

fenomens luminosos. El Sol ens escalfa mitjancant radiacio electromagnetica, les ones de televisio, les mi-

croones, la llum visible, els raigs X, alguns raigs cosmics son radiacio electromagnetica. Tots els experiments

que estudiem a la Fsica es mesuren amb aparells sempre basats, de forma immediata o fonamental, en

l'electromagnetisme. Nomes el fet notable de que el doble signe de la carrega electrica permeti el seu apan-

tallament es la rao per la qual les interaccions gravitatories dominen les grans escales.

D'altre banda el nostre coneixement de les interaccions electromagnetiques es molt solid. Avui dia,

l'Electrodinamica Quantica es la teoria amb mes poder predictiu contrastable que coneix la Ciencia. El

domini de validesa d'aquesta teoria cobreix mes de vint ordres de magnitud d'energies, en perfecte accord

amb els experiments.

En aquest captol tractarem els conceptes mes elementals de les interaccions entre carregues electriques

estatiques. Tambe analitzarem els dipols i condensadors.

IV.1.1. Antecedents historics. Generalitats.

Ja els grecs sabien que l'ambre fregat atrau trossets de palla i que certs minerals, com la magnetita,

atrauen trossets de ferro. Va ser Gilbert (segona meitat del s. XVI) qui va entendre la diferencia entre

l'atraccio electrica i la magnetica (elektro = ambre, Magnesia = provncia grega a l'Asia Menor). Gray

(primera meitat s. XVIII) descobreix que la capacitat d'atraure o repelir es pot transferir mitjancant

connexions metaliques. A la mateixa epoca Du Fay suggereix l'existencia de dos tipus d'electricitat, pero es

Benjamin Franklin (1706-1790) qui, a meitat del s. XVIII enten que l'electricitat no es crea, es un uid que

es transfereix i que l'exces i la deciencia es poden descriure amb els signes mes i menys. Aqu neix la llei de

la conservacio de la carrega, sempre comprovada i conrmada i ns i tot teoricament considerada intocable.

La dependencia 1r2

de la forca electrica va ser trobada cap al 1800 per Priestley i immediatament

conrmada per Charles A. Coulomb (1736-1806). Cap a 1820, Hans Ch. Oersted (1777-1851) va observar

que un corrent electric afecta a l'agulla d'una bruixola. Andre M. Ampere (1775-1836) va ampliar aquests

estudis que relacionen corrents amb camps magnetics. La part central del s. XIX esta ocupada pels grans

experiments de Michael Faraday (1791-1867) i per la seva introduccio del camp, integrat tot per James Clerk

Maxwell (1831-1879) en les seves equacions (segona meitat s. XIX), que uniquen totalment l'electricitat i

el magnetisme, que no son simetrics, pero!

El 1897 Joseph J. Thomson (1856-1940) descobreix l'electro, mesurant em, de carrega negativa e, com

a portador fonamental de l'electricitat, just despres d'haver produt per primera vegada Heinrich Hertz

(1857-1894) ones electromagnetiques. Es Hendrik A. Lorentz (1853-1928) qui complementa les equacions

dels camps de Maxwell amb les de les carregues (electrons), tancant aix el sistema. El 1909 Robert Millikan

74 Electrostatica

descobreix que les carregues sempre estan quantitzades en multiples de la carrega de l'electro (els quarks

tenen carregues 13e i 2

3e, pero no existeixen sols com a partcules lliures; si no la quantitzacio fora en

multiples de e3), q = Ne, sent N un nombre natural.

IV.1.2. Conductors, allants i semiconductors.

Les carregues negatives son, a mes dels electrons, els ions negatius (Cl) o altres partcules (inestables

excepte l'antiproto) de carrega negativa, com els muons als raigs cosmics. Les positives son ions positius

(Na+) el mes senzill dels quals es el proto (H+), nuclis, positrons (antipartcula de l'electro, es troba als raigs

cosmics) i altres partcules (inestables) de carrega positiva. Els ions poden ser moleculars (OH).

Les substancies que tenen carregues lliures s'anomenen conductores. Exemples son els plasmes (atoms o

molecules ionitzades degut a la temperatura), els electrolits (molecules ioniques dissociades degut al caracter

polar de l'aigua) i els metalls (en estat solid son xarxes cristalines de ions positius i electrons lliures). Lesque no tenen carregues lliures s'anomenen allants o dielectrics i no condueixen l'electricitat. Finalment

existeixen els semiconductors, com el germani (Ge) i el silici (Si) en que electrons lligats s'alliberen amb

facilitat frequentment amb l'ajut d'impureses.

Els solids cristalins tenen bandes d'estats permesos i no nivells discrets com la mecanica quantica

prediu pels atoms i molecules. Aix els conductors tenen una banda nomes parcialment ocupada, la banda

de conduccio, on estan els electrons que poden canviar d'estat, reaccionant a una diferencia de potencial, i

que porten el corrent.

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000

parcialment banda deocupat conducció

prohibit

ple

Els allants pel contrari passen de les bandes plenes a les buides; no tenen electrons de conduccio, ja que els

electrons de les bandes plenes no poden canviar d'estat a l'estar tots els estats ocupats.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000

buit

prohibit

ple

Als semiconductors la banda buida i la plena estan tan properes (pocs eV) que alguns electrons salten deixant

un forat a la plena. Aix els portadors de carrega son positius i negatius.

&&&&&&&&&&&

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000

e−

< eV−

Electrostatica 75

Les impureses introdueixen nivells donants d'electrons just sota la banda de conduccio (semiconductors tipus

n) o acceptors d'electrons just sobre la banda de valencia (semiconductors tipus p), donant portadors negatiusi positius respectivament.

e−

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

000000000000000000000000000000000

semiconductor tipus p

e−

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

000000000000000000000000000000000000

semiconductor tipus n

+

En augmentar la temperatura salten mes electrons augmentant la conductivitat. Aixo es el contrari del que

passa amb els metalls.

IV.1.3. Llei de Coulomb.

Entre dues carregues electriques puntuals q1 i q2 actua una forca

~F = k1q1q2

r3~r ; (IV:1:1)

que es atractiva si q1q2 < 0 i repulsiva si les carregues son del mateix signe. En el sistema internacional

d'unitats

k1 1

40 c2 107NA2 = c2 107 Ns2C2 ; (IV:1:2)

on 0 es la permitivitat del buit que es xa arbitrariament denint aix l'ampere (A) o el coulomb (C A s).Aix la unitat de carrega, el coulomb, es la carrega que repeleix una altra igual que esta a 1 m de distancia

amb una forca de107c2 s2

m2

N.

La carrega de l'electro es qe e ' 1:6 1019C i una tpica transferencia de carrega al fregar es de

10 o 100 nC, fent impossible observar la quantitzacio. La carrega del proto es qp = +e amb un error mes

petit que 1021e: la quantitzacio se satisfa amb una precisio extraordinaria.

En altres sistemes d'unitats 0 = 1 i no s'introdueix cap nova magnitud independent. En alguns k1 = 1

(electrostatic, Gauss) mentre en altres k1 = 14

mantenint la relacio (IV.1.2) (Heaviside - Lorentz). Ens

limitarem aqu al S.I..

IV.1.4. Potencial i camp electric.

Els conceptes de potencial i camp electrics, aix com els de lnia de camp i la llei de Gauss, son analegs

als de la gravitacio, excepte que les carregues poden tenir ambdos signes.

L'energia potencial d'una carrega q en un sistema de carregues externes i la forca que actua sobre ella

corresponen a:

U (~r) = k1qXi

qi

j~r ~rij;

~F (~r) = ~rU (~r) :(IV:1:3)

El potencial i camp electric produts pel sistema de carregues en un punt ~r son:

V (~r) U (~r)

q; V(volt) JC1 ;

~E(~r) = ~rV (~r) ~F (~r)

q; Vm1 = NC1 ;

(IV:1:4)

76 Electrostatica

on hem especicat tambe llurs unitats. La unitat d'energia electro-volt es 1eV ' 1:6 1019J i s'utilitza

usualment per a l'energia dels acceleradors (MeV, GeV), dels nivells nuclears (MeV) i dels nivells atomics

(eV).

Les equacions anteriors representen el principi de superposicio: els camps electrics deguts a varies

carregues simplement se sumen. Aixo vol dir que quan a l'espai hi ha un camp electric aquest no in uencia

la presencia d'un altre, es a dir no modica la permitivitat del buit. Tambe implica l'absencia de forces

electriques de tres cossos. Aquest principi, que tambe satisfan els camps magnetics, porta nalment a la

linearitat de les equacions de Maxwell. Conve adonar-se'n que es un principi contingent: la gravitacio

einsteiniana no el satisfa.

L'energia potencial d'un sistema tancat (forces internes) correspon a:

U =k12

Xj

Xi 6=j

qiqjj~ri ~rjj

= k1Xj

Xi>j

qiqjj~ri ~rjj

: (IV:1:5)

Per a distribucions de carrega contnues amb densitat de carrega e(~r), les sumes passen a integrals:

V (~r) = k1

Zd3r0

e(~r0

)

j~r ~r 0 j ;

U =k1

2

Zd3r

Zd3r0

e(~r)e(~r0

)

j~r ~r 0 j =1

2

Zd3r e(~r) V (~r) :

(IV:1:6)

Les lnies de camp comencen a les carregues positives i acaben a les negatives. Si el sistema no es

globalment neutre hi ha lnies que comencen o acaben a l'innit.

El ux electric es deneix en forma diferencial com:

dE ~E d~S ; (IV:1:7)

i en forma integral, per a una superfcie tancada, com:

E =

IS

d~S ~E : (IV:1:8)

La llei de Gauss, analoga a la del cas gravitatori, es

E = 4k1q =q

0(IV:1:9)

on q es la carrega total continguda en la superfcie tancada S. Recordant aleshores que la carrega total es

q =

ZV

d3r e(~r) ; (IV:1:10)

i el teorema de Gauss, tenim la forma diferencial de la llei de Gauss

~r ~E(~r) =e(~r)

0: (IV:1:11)

Escrivint ~E en termes del potencial obtenim:

4V (~r) = e(~r)0

; (IV:1:12)

que es coneix com equacio de Poisson. La seva solucio es (IV.1.6) , com es pot comprovar utilitzant l'Apendix

B. Aquesta elegant equacio permet aix obtenir el potencial a tot arreu donada una distribucio de carregues

que actua com a font. On no hi ha carregues se satisfa l'equacio de Laplace

4V (~r) = 0 : (IV:1:13)

Electrostatica 77

Conve recordar que totes aquestes expressions es dedueixen de la llei de Coulomb, o sigui de la forma 1r2

de

la forca electrica i del seu caracter central.

Noteu que de (IV.1.6) i (IV.1.11) se segueix

U =02

Zd3r ~r ~E(~r) V (~r) (IV:1:14)

que, integrant per parts (per a una distribucio de carregues acotada no hi ha contribucio a l'innit), dona

U = 02

Zd3r ~E(~r) ~rV (~r) = 0

2

Zd3r ~E2(~r) : (IV:1:15)

Aix l'energia potencial esta continguda en el camp electric i la densitat d'energia electrostatica es

UE(~r) 0

2~E2(~r) : (IV:1:16)

Noteu que en gravitacio U es negatiu mentre que aqu es positiu: masses s'atrauen, carregues identiques es

repeleixen.D'altra banda, pero, de (IV.1.15) tenim U > 0 mentre que una carrega positiva i una carrega negativa

tenen U < 0 ! Aixo es perque les carregues puntuals contenen una autoenergia divergent que s'ha substret.

Considereu una densitat supercial de carrega constant sobre una superfcie esferica de radi R:

q = 4R2 : (IV:1:17)

L'energia potencial d'aquesta conguracio es de (IV.1.6) i de (IV.1.15) respectivament

U =1

2

q:q

40R=024

Z1

R

r2 drq2

(40)2r4; (IV:1:18)

i quan R! 0, per formar una carrega puntual, U !1. Pero una carrega puntual te U = 0, i per tant s'ha

substret aquesta autoenergia innita, pero constant. Cal doncs diferenciar l'energia potencial d'un sistema

de carregues puntuals de la d'una distribucio contnua de carrega.

IV.1.5. Dipol electric.

Un dipol electric es un sistema format per una carrega positiva i una negativa

−q +q

2a

El potencial produt per aquesta conguracio es

V (~r) = k1qp

(x a)2 + y2 + z2 k1

qp(x+ a)2 + y2 + z2

'a r

2k1qax

r3 k1

~d ~rr3

; (IV:1:19)

on s'ha introdut el moment dipolar electric

~d q(~rq ~rq) : (IV:1:20)

78 Electrostatica

El camp electric d'un dipol a grans distancies resulta, doncs,

~E = ~rV (~r) = k1

~d

r3 3

~d ~rr5

~r

!; (IV:1:21)

Es interessant fer notar com el camp electric ha passat a decaure com 1r3, i ja no es central.

El dipol es efectivament puntual quan les distancies mnimes en les quals ens interessem son grans

comparades amb a. Aleshores, es pot fer el lmit a! 0 mantenint ~d constant: aixo es el dipol puntual, pel

qual (IV.1.21) val a tot l'espai.

Les molecules polars, com NaCl, tenen moment dipolar electric permanent. Les molecules no polars,

com H2, nomes tenen moments dipolars electrics induts per un camp electric, ~dind / ~E. Quan el camp

electric es massa gran trenca la molecula. Per a l'aire aquest camp de ionitzacio es de 3 MV m1. Les

cavitats superconductores que s'installaran al LEP2 al CERN per accelerar els electrons a una energia (en

el sistema de referencia del centre de masses) de 190 GeV generaran un camp electric de 6 MV m1.

Considereu un dipol en un camp electric uniforme:

θ

−q

+q

E

F

−F

2a

on el parell alineador es

~ = ~d ~E : (IV:1:22)

El treball fet exteriorment (cancelant ~F i ~F ) per tal d'augmentar l'energia potencial del dipol (posant-lo

perpendicular o en contra d'~E) es innitesimalment

dW = 2Fd a sin = U ( + d) U () = dU () ; (IV:1:23)

i integrant obtenim

U () = 2qEa cos = ~d ~E : (IV:1:24)

Per tant, en un camp electric uniforme tota l'energia potencial deguda al camp es nomes la d'orientacio. En

un camp electric no uniforme actua una forca resultant total sobre el dipol, accelerant el seu c.d.m.:

E

F F− +

d

F > F+ −

Conve insistir aqu en la diferencia entre el treball fet per forces externes al sistema fsic complet (e.g. fetes

per l'estudiant) que es poden utilitzar per augmentar l'energia potencial del sistema i el treball fet per les

forces, externes o internes, que actuen sobre el sistema, que augmenten l'energia cinetica (disminuint la

potencial si el sistema es conservatiu).

L'energia potencial d'orientacio d'un sistema de dos dipols distants o puntuals es, de (IV.1.21) i (IV.1.24),

U = k1

~d1 ~d2r3

3~d1 ~r ~d2 ~r

r5

!: (IV:1:25)

Electrostatica 79

Quan ~d1; ~d2 i ~r son paralels ~d1 i ~d2 tendeixen a apuntar en el mateix sentit. El contrari passa quan ~d1 i ~d2son paralels pero perpendiculars a ~r:

~d1 " ; ~d1 " ~d2 #~d2 "

IV.1.6. Electrostatica. Conductors.

L'electrostatica correspon a l'estudi del camp electric creat per un conjunt de carregues xes a l'espai.

Aixo implica@

@t~E = 0 ) ~E(~r)

no ~E(~r; t)

; (IV:1:26)

i, com ~E = ~rV (~r), tenim tambe~r ~E(~r) = 0 : (IV:1:27)

Els camps electrostatics es caracteritzen per aquestes dues condicions a mes a mes de (IV.1.11). La segona

diu que el camp es irrotacional, es a dir, acaba i comenca en carregues (o a l'innit). No podem tenir un

camp com

E

perque aleshores la circulacio del camp electric al llarg d'una lnia de camp fora no nula,Hd~r ~E 6= 0, que

pel teorema de Stokes es incompatible amb (IV.1.27).

Considereu ara un conductor carregat en equilibri estatic, es a dir sense corrent, amb les carregues en

repos. A l'interior del conductor ~E = 0, ja que si no degut als electrons lliures hi hauria corrent. Degut

a la llei de Gauss aixo implica que la carrega tambe es nula a l'interior i tota ella esta a la superfcie,

amb densitat , que en general no es uniforme. L'electrostatica tambe estudia la densitat de carrega que

correspon a l'equilibri estatic. La superfcie d'un conductor, a l'electrostatica, juga el paper d'un lligam.

E

E=0

conductor

A l'exterior ~E es perpendicular a la superfcie, ja que si no mouria les carregues. Aleshores, de la llei de

Gauss aplicada a un cilindre innitesimal tenim

E =

0: (IV:1:28)

Quan en un conductor hi ha una cavitat (gabia de Faraday) = 0 sobre la superfcie de la cavitat. Si

no fos aix hi haurien lnies de camp a l'interior de la cavitat i la circulacio del camp al llarg d'elles i tancada

per dins del conductor fora no nula.

80 Electrostatica

Ex. 1 Conductor neutre en un camp electric extern.

− +

− +

− +

− +

El camp a l'interior es nul. S'indueixen carregues a la superfcie.

Ex. 2 Un disc de radi R i gruix menyspreable carregat amb densitat uniforme (dielectric). Obteniu el

camp i el potencial al llarg de l'eix de simetria. El resultat es

R

x

σ

E = Ex =

20

1 xp

x2 +R2

;

V =

20

px2 + R2 x

:

(IV:1:29)

Noteu E(x!1)! 0 i V (x!1)! 0, i que E(x! 0)! 20

. Per simetria E(0) = 0.

Ex. 3 Considereu l'exemple 2 pero amb un pla innit. S'obte fent R!1,

E =

20; (la llei de Gauss dona immediatament el mateix):

V =

20limR!1

R+

x2

2R x+ 0

1

R3

=

= const: innita

20x

(IV:1:30)

i menyspreant la constant tenim V = 20x amb V (x = 0) = 0. L'analisis dimensional no permet que E

depengui de x, de forma que necessariament E / 0.

Ex. 4 Considereu un conductor esferic de radi R i densitat supercial de carrega . Un casquet de radi

r R es com el disc, de l'exemple 2. Si considerem el camp a una distancia x r tindrem, degut al

casquet, E = 20

de signes contraris fora i dins. Per tant el casquet complementari crea en el primer un

camp E = 20

de signe constant, que cancela el primer a l'interior i el duplica a l'exterior.

IV.1.7. Condensadors.

Es un sistema format per dos conductors separats pel buit o un dielectric.

Electrostatica 81

q

V

−q

V+ −

Inicialment no estan carregats. Al transferir carrega d'un a l'altre se situen a potencials diferents (recordeu

que el potencial dins un conductor es constant). Aleshores es deneix la diferencia de potencial

V V+ V ; (IV:1:31)

que no depen de la constant arbitraria que sempre es pot afegir al potencial, i la capacitat

C q

V; (IV:1:32)

on q es la carrega transferida. L'aspecte important es que donat un condensador aquesta nova magnitud, la

capacitat, es constant, es a dir es caracterstica del condensador, no de quant s'ha carregat. Aixo es evident

per raons dimensionals: com V sempre porta 10

tenim

[C] = [0]L ; (IV:1:33)

i per tant C nomes depen d'una caracterstica del buit, 0, (o de la corresponent del dielectric), i d'una

longitud, L, pero de cap carrega.

La unitat de capacitat es el farad, F= CV1. Capacitats tpiques son de l'ordre del nF o pF.

Els condensadors serveixen per crear camps electrics i per emmagatzemar energia.

Ex. 1 Considereu un condensador estandard format per dues plaques paraleles

d

+ + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − −

d2 A) ~E aproximadament uniforme entre les plaques *

q = AV = Ed

E = EA = q0

)) C = 0A

d(IV:1:34)

* La rao es la seguent. Considereu les plaques circulars de radi R d. Sigui la distancia des de l'origen

en la que ~E varia en un 1%. Per raons dimensionals

= f

d

R

R1d ;

on f es una funcio tal que per d R es aproximadament constant, f(0). D'una banda, 0 ja que creix

quan d decreix. D'altra banda, 0 per garantir que < R. Aleshores = 0 i

f(0) R ; f(0) < 1 ;

i no depen practicament de d, com voliem demostrar.

82 Electrostatica

i nomes depen de la geometria.

Ex. 2 Considereu ara un condensador format per dues closques cilndriques concentriques de longitud

l a; b,

a

b r

−

−−

−

++

+

+

E2r` =q

0

E =q

20`r) V =

q

20`lnb

a

C =20`

ln ba

(IV:1:35)

Considerem l'associacio de condensadors en paralel. Es clar que la carrega total emmagatzemada es la

suma de carregues. Per tant

V

q q q1 2 3

−q −q −q1 2 3

q = q1 + q2 + q3

qi = CiV

C =q

V= C1 + C2 + C3 :

(IV:1:36)

En canvi, si l'associacio de condensadors es fa en serie, el potencial total es suma de potencials

V

V V V1 2 3

−q q q −q q−q

V = V1 + V2 + V3

Vi =q

Ci

1

C=

1

C1

+1

C2

+1

C3

:(IV:1:37)

Electrostatica 83

Per ultim, calculem l'energia emmagatzemada dins d'un condensador. Ha de ser igual al treball que fem

des de fora al carregar-lo,

dW = V dq0 =q0

Cdq0 ; (IV:1:38)

i integrant

W =1

2

q2

C=

1

2CV 2 =

1

2qV = U : (IV:1:39)

Aquesta energia esta emmagatzemada al camp electric. Per a un condensador de plaques paraleles, ladensitat sera

UE =U

Ad=

12CV 2

Ad=0

2

V

d

2

=0

2~E2 (IV:1:40)

que reprodueix (IV.1.15) i on s'ha utilitzat (IV.1.34). Aquest resultat no es especic de la geometria del

condensador.

84 Corrent electric

IV.2. CORRENT ELECTRIC

Una de les aplicacions mes immediates dels fenomens electromagnetics es el corrent electric. Presentarem

els conceptes microscopics i macroscopics de corrent. Tot seguit descriurem les idees basiques de circuits

electrics.

IV.2.1. Intensitat i densitat de corrent. Equacio de continutat.

Considereu un conductor connectat a una pila electrica que crea un camp electric a l'interior. Aquest

camp fa una forca sobre els electrons i accelera els lliures. Pero la forca e~E queda contrarrestada per l'impuls

degut a les collisions amb la xarxa ionica, resultant, en mitjana, una velocitat constant de desplacament

en la direccio contraria a ~E. Per una seccio S xa del conductor travessa una certa carrega per unitat de

temps. Aixo deneix la intensitat del corrent

i(t) =dq(t)

dt; (IV:2:1)

mesurada en amperes, A C s1. En regim estacionari,

di(t)

dt= 0 : (IV:2:2)

El corrent electric es pot descriure tambe microscopicament amb la densitat de corrent, ~|,

i(t) =

ZS

d~S ~|(~r; t) : (IV:2:3)

Conve fer notar que ~| i ~v tenen sentit contrari, a causa del conveni de signes: l'electro te carrega negativa

mentre que ~E apunta en la direccio en que s'acceleraria una carrega positiva.

−

E

v A

l

La relacio entre els moduls es

q = NAle t =l

v

i =q

t= NAev ) v =

j

Ne; (IV:2:4)

on N es el nombre d'electrons lliures per unitat de volum.

De les denicions d'intensitat i de densitat de corrent tenimIS

d~S ~|(~r; t) = dq(t)dt

; (IV:2:5)

on q(t) es la carrega al volum V interior a S. Aquesta equacio diu simplement que tota carrega que surt

d'una certa regio de l'espai ja no esta en aquesta regio. Es, doncs, la llei de conservacio de la carrega electrica.

Escrivint la carrega total en termes de la densitat de carrega electrica, e(~r; t),

q(t) =

ZV

dV e(~r; t) ; (IV:2:6)

Corrent electric 85

i fent us del teorema de Gauss tenimZV

dV ~r ~|(~r; t) = d

dt

ZV

dV e(~r; t) = ZV

dV@e(~r; t)

@t; (IV:2:7)

on hem considerat un volum xat a l'espai. D'aqu obtenim l'equacio de continutat

~r ~|(~r; t) + @e(~r; t)

@t= 0 : (IV:2:8)

De (IV.2.4) tenim

~| = e~v : (IV:2:9)

Conve notar que en aquestes expressions e es refereix a la carrega mobil, no a la immobil, i es negatiu per

als metalls.

El corrent electric depen del material conductor, de la forma concreta del conductor i del camp electric.Es una magnitud macroscopica. La densitat de corrent electric pel contrari no depen de la forma del

conductor, i es una magnitud microscopica, pero encara depen del camp electric, a mes del material.

Un exemple que ofereix la Natura de corrents macroscopics es el seguent. La superfcie terrestre i

l'atmosfera forman un condensador. L'aire sec es molt poc conductor, mentre que la terra, degut a la

humitat, es conductora. A 50 km d'alcada, l'atmosfera es conductora perque esta ionitzada a causa de la

radiacio cosmica. La superfcie de la Terra esta carregada negativament amb 103 C km2. El camp electric

a prop d'ella es d'uns 100 V m1 i s'afebleix amb l'alcada. La conductivitat remanent de l'aire sec fa que

arribi un corrent a la superfcie de la Terra de 1800 A. La diferencia de potencial entre aquesta i les parts

altes de l'atmosfera es de 400 000 V i es mantinguda pels llampecs i tempestes.

IV.2.2. Resistencia i resistivitat. Llei d'Ohm.

Quan un conductor es connecta a una diferencia de potencial, que crea el camp electric, passa un corrent

i. Es deneix la resistencia com

R V

i; (IV:2:10)

mesurada en ohm,

V

A: (IV:2:11)

Per a molts materials aquest quocient es constant pel conductor, es a dir no depen de la diferencia de

potencial o del corrent concret. Aixo es el que diu la llei d'Ohm, que es una llei emprica no fonamental. De

fet, hi ha conductors que no satisfan la llei d'Ohm.

La magnitud microscopica corresponent a la resistencia es la resistivitat, que no depen de la forma del

conductor:

E

j: (IV:2:12)

Notem que ~E(~r; t) i ~|(~r; t) son magnituds locals, mentre que V i i no ho son ja que estan associades a una

distancia i a una superfcie respectivament. Per la llei d'Ohm es constant, es a dir independent d'E o j, iper tant es una caracterstica intrnseca del material conductor.

Per a una barra, com a (IV.2.4), tenim

R =El

NAev=E

j

l

A=

l

A; (IV:2:13)

on queda explcit el factor geometric que relaciona R amb . La resistivitat es mesura en m. Resistivitats

tpiques a 20oC son

Ag = 1:6 108 m (conductor) ;

vidre = 1010 1014 m (allant) ;

Si ' 640 m (semiconductor) ;

86 Corrent electric

Com a funcio de la temperatura les resistivitats es poden escriure com

(T ) = (T0) (1 + (T T0)) ; (IV:2:14)

on 102 K1 (conductor) ;

101 102

K1 (semiconductor) :

(IV:2:15)

Per a un superconductor = 0 en la fase superconductora, com a T < 4:2 K pel Hg. Una excepcio notable al

comportament lineal de la resistivitat com a funcio de la temperatura es el anomenat efecte Kondo. Aquest

correspond a l'existencia d'un mnim en la resistivitat que presenten certs aliatges magnetics a temperatures

de l'ordre de 10 K.

Algunes propietats basiques dels conductors poden tractar-se amb un model classic (teoria de P. Drude

(1900)). A temperatures ambientals la velocitat tpica dels electrons es

vT r

3kT

me

105ms1 :

El temps mitja entre collisions amb la xarxa, , que depen de vT , es 1013 s. La velocitat mitjana de

desplacament anisotrop del corrent es

v =a

2=eE

2me

: (IV:2:16)

La velocitat de desplacament anisotrop v com a funcio del temps es:

v

v’

v

τ 2τ

t

−

−

E’ E’

E E

Aleshores queda

=E

ev=

2me

ee; (IV:2:17)

que no depen d'E. Com que v1T , la dependencia en T de en aquest model classic no es la donada per

(IV.2.14). Valors tpics de v son v 1mm s1, v vT . Aixo correspon, per a un l de radi 1 mm pel qual

passa un corrent d'1 A, a N 0:2 1022 cm3. No s'ha de confondre aquesta velocitat amb la de propagacio

del senyal electromagnetic, que es de l'ordre de magnitud de la velocitat de la llum (com podeu comprobar

trucant per telefon). Es deneix la conductivitat com la inversa de la resistivitat.

Sabem, pero, que una comprensio correcta de la resistivitat requereix la mecanica quantica, que explica

que la resistivitat es deguda a impureses, vibracions i imperfeccions de la xarxa cristallina que forma el solid

metallic.

IV.2.3. Forca electromotriu. Efecte Joule.

Considereu una font de forca electromotiu (f.e.m.), ", que genera una diferencia de potencial V

a

b

i

+−ε

Corrent electric 87

" = V+ V > 0 ; V = Va Vb > 0 ; (IV:2:18)

on els borns a i b corresponen a un acumulador (energia qumica), una resistencia (calor), un motor (energia

mecanica), etc. Aleshores, la carrega que va d'a a b disminueix la seva energia potencial fent treball o

produint energia interna o qumica. Com

dU = dq V = i dt V ;

la potencia es

P =dU

dt= iV = i2R =

V 2

R; (IV:2:19)

on les ultimes dues expressions corresponen a una resistencia R i donen la calor dissipada per unitat de

temps per efecte Joule. Aix una estufa de molta potencia requereix una resistencia molt petita.

Aquest augment d'energia interna es deu a les collisions dels electrons lliures amb els ions de la xarxa,

fent-los vibrar mes i augmentant aix la temperatura. Aquestes collisions son la base fsica de la resistencia

com vam veure. Aixo dona, com a unitats de potencia, W = AV = A2 = V21. Quan hi ha una

resistencia interna, r, V no coincideix amb ":

V = " ir ; (IV:2:20)

i la tensio entre borns es mes petita que la f.e.m. nominal.

IV.2.4. Circuits. Lleis de Kirchho. Circuits RC.

Considereu un circuit amb una resistencia R,

i

+−ε R

O

La f.e.m. fa l'equivalent de moure carregues positives del pol negatiu, a baix potencial, al pol positiu,

a alt potencial on les injecta al circuit fent aix un treball

dW = "dq : (IV:2:21)

La segona llei de Kirchho re ecteix que el potencial es una funcio (univaluada) del punt al llarg del

circuit:

V+ iR+ " = V+ ! " = iR ; (IV:2:22)

o equivalentment la llei de la conservacio de l'energia:

P =dW

dt= "i = i2R : (IV:2:23)

La potencia que la f.e.m. injecta al circuit es igual a la que es perd en forma de calor a la resistencia. Si la

f.e.m. te una resistencia interna r tenimi =

"

R+ r: (IV:2:24)

V

V0

V0

O O

iR ε−ir

88 Corrent electric

Considereu ara una xarxa, on els sentits dels corrents s'assignen arbitrariament:

i i

R R R

i

1 2

1 3 2

3

ε ε1 2

La primera llei de Kirchho es la de la conservacio de la carrega:

i1 + i2 = i3 : (IV:2:25)

I de la segona:

"1 R1i1 R3i3 = 0 ;

"2 R2i2 R3i3 = 0 :(IV:2:26)

Noteu els signes! Aquest sistema de tres equacions i tres incognites, ii, es resol facilment escrivint0@ 1 1 1R1 0 R3

0 R2 R3

1A0@ i1i2i3

1A =

0@ 0

"1"2

1A ; (IV:2:27)

que implica

i1 =1

4 (R3"2 R2"1 R3"1) ;

i2 = 1

4 (R3"2 + R1"2 R3"1) ;

i3 = 1

4 ("1R2 + "2R1) ;

(IV:2:28)

amb

4 (R1R2 +R1R3 +R2R3) : (IV:2:29)

Les resistencies es poden associar en serie

iR

R

R

1

2

3

ε

" = iR1 + iR2 + iR3 ! R = R1 +R2 + R3 ; (IV:2:30)

en parallel

i

ε

i i i1 2 3

Corrent electric 89

i = i1 + i2 + i3 = "

1

R1

+1

R2

+1

R3

! 1

R=

1

R1

+1

R2

+1

R3

; (IV:2:31)

o en qualsevol combinacio de les anteriors.

Fins aqu hem considerat processos estacionaris. Estudiem ara circuits que tenen condensadors i re-

sistencies, anomenats RC. Es obvi que en aquests circuits els condensadors no deixen passar el corrent i per

tant nomes son processos de carrega i descarrega i aix variables en el temps, no estacionaris.

i

R

εC

a

b

Si en aquest circuit fem contacte en a, la segona llei de Kirchho ens diu

" = iR+q

C: (IV:2:32)

L'energia que la f.e.m. injecta en el circuit produeix calor a la resistencia i crea un camp electric al conden-

sador. De (IV.2.32)

" = Rdq

dt+q

C; (IV:2:33)

que, per integracio, dona

q(t) = C"(1 et

RC ) ; (IV:2:34)

i(t) ="

Re

t

RC ; (IV:2:35)

Cε

q i

ε/R

t t

Fent contacte en b i emprant tambe la segona llei de Kirchho,

iR+q

C= 0 ; (IV:2:36)

que, per integracio, dona

q(t) = qoe

t

RC ; (IV:2:37)

i(t) = qo

RCe

t

RC : (IV:2:38)

iq

q0

t

t

−q0

RC

90 Corrent electric

Noteu que en tancar el circuit en la posicio a la f.e.m. fa un treball

W = q(1)" = "2C ; (IV:2:39)

mentre que l'energia emmagatzemada al condensador nomes es la meitat d'aixo. L'altra meitat es calor

deguda a l'efecte Joule:

UI =

Z1

o

i2Rdt ="2

R

Z1

o

e2tRC dt =

1

2"2C ; (IV:2:40)

i que no depen de R! Aixo es perque q(1) no depen de R.

Magnetostatica 91

IV.3. MAGNETOSTATICA

Els fenomens associats al magnetisme son menys intutius que els electrics. L'experiencia diaria ens ha

acostumat a les interaccions de tipus central (gravitacio i electrostatica), mentre el magnetisme es manifesta

de forma ben diferent, com estudiarem en aquest captol. Ens limitarem, pero, a analitzar les equacions

que descriuen camps magnetics estatics. Queden fora de l'abast d'aquestes notes els fenomens d'induccio

electromagnetica, tot i que les acabem amb les equacions de Maxwell.

IV.3.1. Forca i camp magnetic.

El descobriment de la bruixola data del segle XII. Cap al 1600, W. Gilbert associa el seu mecanisme

d'orientacio a l'existencia d'un camp magnetic terrestre (que avui en dia sabem que no es constant en el

temps i que ns i tot hi ha inversions dels pols cada 0.3 a 1 milio d'anys, sense una clara periodicitat; ara

mateix el pol nord magnetic correspon aproximadament al sud geograc). Despres del descobriment de

H.Ch. Oersted el 1820 de l'accio que fa un l pel qual passa un corrent electric sobre una bruixola propera

es va veure en una serie d'experiments que:

i) Un imant i un solenoide, o bobina, pel qual passa corrent, son equivalents a distancies macroscopiques.

ii) Les forces entre ells son exactament de la mateixa forma que entre dos dipols electrics.

iii) No existeixen monopols (carregues) magnetics, pero una bobina esta formada per trossos innites-

imals de l conductor que per aixo s'ha de considerar l'agent elemental actiu (subjecte) i passiu (objecte)

d'aquesta forca, dita magnetica.

iv) A causa del punt ii), aquesta forca es pot descriure per un camp similar a l'electric, el magnetic,

representat per lnies de camp. Conve fer notar que ara la forca i el camp no son vectors parallels com per

al camp gravitatori o electric.

v) L'analogia amb la llei de Coulomb ve reforcada pel caracter 1r2

de la forca elemental entre dos ls

innitesimals, de longituds d~1 i d~2, pels quals passen corrents i1 i i2,

d2 ~F12 =0

4i1i2

d~2 d~1 ~r

r3

; (IV:3:1)

i1

i2

dl1dl2

r

on ~r ~r2 ~r1 i 0 es la permeabilitat magnetica del buit donada per

00 1

c2: (IV:3:2)

Aix, les magnituds magnetiques son derivades de les electriques.

Una primera observacio important es adonar-se que la tercera llei de Newton no es verica per a aquest

tipus de forca, d2 ~F12 + d2 ~F21 6= 0 ! Aixo no es massa greu, perque dos trossos de circuit oberts i allats no

es una situacio fsicament realizable. Considereu, pero, dos circuits tancats (e.g. superconductors)

i1

i2

r

dl1dl2

92 Magnetostatica

Aleshores,

~F12 =0

4i1i2

I I d~2 ~r

d~1

d~1 d~2

~r

r3

=0

4i1i2

0@I d~1

Id~2 ~rr3

I I

d~1 d~2~r

r3

1A

= 04i1i2

I I d~1 d~2

~r

r3

= ~F21 ;

(IV:3:3)

i se satisfa la tercera llei de Newton. En aquesta deduccio hem utilitzat (C.3) amb punts 1 i 2 coincidents.

El mateix passa si els ls van a l'innit. Obviament (IV.3.3) es un resultat estatic i no re ecteix l'evolucio

real del sistema tancat, ja que no considerem corrents induts per situacions no estacionaries, ni radiacio.

L'equacio (IV.3.1) ens porta a introduir el camp (o induccio) magnetic(a), ~B(~r), produt pel corrent

i0d~0

d ~B(~r) 0i0

4

d~0 (~r ~r0)j~r ~r0j3 ; (IV:3:4)

que es coneix com a llei de Biot i Savart. Tenim, de (IV.3.1), que la forca exercida localment pel camp

magnetic sobre un corrent i d~ esd~F = i d~ ~B ; (IV:3:5)

que es la llei de Laplace.

Per a un corrent format per una sola carrega q la forca exercida sobre ella pels camps electrics i magnetics

es, de (IV.3.5) i (IV.1.4),~F = q (~E + ~v ~B) ; (IV:3:6)

que es la forca de Lorentz. Aquesta expressio es valida tambe en el sistema d'unitats electrostatic, mentre

que en el de Gauss o Heaviside-Lorentz

~F = q (~E +~v

c ~B) ; (IV:3:7)

de forma que les dimensions del camp electric i magnetic son les mateixes. Treballarem aqu en el S.I., en el

qual la unitat de camp magnetic, el tesla, es

T N

Am; (IV:3:8)

i el weber es la unitat de ux magnetic,

Wb T m2 : (IV:3:9)

El camp magnetic terrestre es de l'ordre del gauss, la unitat del sistema gaussia, que es relaciona amb el

tesla de la forma

1 gauss 104T : (IV:3:10)

Al laboratori aviat s'arribara a camps de 100 T. A la natura es troben camps de 108 T a la superfcie

d'estrelles de neutrons.

De (IV.3.5) es evident que els camps magnetics no treballen, i per tant no varien l'energia cinetica.

Analitzarem aquesta questio amb mes cura en la seccio IV.3.3..

El camp magnetic creat per una carrega en moviment es, de (IV.3.4),

~B(~r) =0

4q0~v0 (~r ~r0)j~r ~r0j3 (IV:3:11)

de forma que la forca magnetica entre dues carregues en moviment es

~F12 =0

4q1q2

~v2 (~v1 ~r)r3

; (IV:3:12)

Magnetostatica 93

que complementa la llei de Coulomb.

Noteu que (IV.3.11) es pot escriure en termes del camp electric com

~B(~r) =1

c2~v0 ~E(~r) ; (IV:3:13)

on s'ha utilitzat (IV.3.2). El camp electric i magnetic produts per una carrega en qualsevol punt de l'espai

son perpendiculars.

El camp magnetic sempre es relatiu a un cert observador inercial. Si fem una transformacio de Galileo

en la qual la partcula carregada passa a estar en repos despareix el camp magnetic. Recordant (IV.3.2),

queda clar que es un efecte relativista, que no existiria si c fos innit.

L'electromagnetisme es invariant sota una important simetria discreta, la conjugacio de carrega, q !q, la primera independent de l'espai i del temps. De les expressions anteriors i del captol d'electrostatica

es immediat que sota aquesta simetria,

~EC! ~E ~B

C! ~B ; (IV:3:14)

pero la forca de Lorentz es invariant. Aquesta simetria rau sobre la no observabilitat del signe d'una carrega.

Nomes signes relatius son observables. L'electro te carrega negativa per conveni.

IV.3.2. Camps magnetics creats per circuits conductors.

La formula basica que descriu el camp creat per una distribucio de corrents es, en essencia, (IV.3.4) que

es pot escriure com

~B(~r) =0

4

Zd3r0

~| (~r0) (~r ~r0)

j~r ~r0j3 0

4~r

Zd3r0

~| (~r0)

j~r ~r0j(IV:3:15)

Introduint el potencial vector ~A(~r),

~A(~r) 0

4

Zd3r0

~| (~r0)

j~r ~r0j; (IV:3:16)

tenim~B = ~r ~A ; (IV:3:17)

l'analeg magnetic d'~E = ~rV . Veiem, doncs, que un camp electromagnetic no te sis graus de llibertat,

(~E; ~B). Es sucient emprar quatre variables, (V; ~A) per descriure la mateixa fsica.

Un primer exemple de potencial i campmagnetic es el creat per un l recte i innit amb corrent constant:

R

z

θ

i

Bx

on el sentit del camp magnetic correspon a penetrar en el llibre i que se simbolitza perN

. El potencial

resulta innit

~A = k0

4i

Z1

1

dz1p

R2 + z2! divergent ; (IV:3:18)

94 Magnetostatica

pero el camp no, ja que el seu modul es

B =0i

4R

Z1

1

dz

(R2 + z2)3=2

=0iR

4

Z

2

2

R

cos2 d

cos3

R3

=0i

2R:

(IV:3:19)

Aquest innit del potencial vector correspon a una constant i es pot sostreure. La direccio del camp es tal

que circula al voltant d'i en lnies de camp tancades, com correspon a l'absencia de carregues magnetiques,

o, matematicament, a~r ~B = 0 (IV:3:20)

que es immediat de (IV.3.17).

Un segon exemple es el d'un corrent circular. Estudiem el camp que crea sobre l'eix de simetria

θ θ

dB

Br

R

i

B = 0i

2

R2

(R2 + r2)3=2: (IV:3:21)

Recordant que el camp magnetic creat per un dipol magnetic ~ (o imant) es, per analogia amb el cas electric,

~B =0

4

3~r ~r5

~r ~

r3

(IV:3:22)

veiem que reprodueix (IV.3.21) per r R si associem al circuit un dipol segons

i

R

µ

= iR2 : (IV:3:23)

Aquest es el moment dipolar magnetic que s'associa a un circuit pla tancat que porta un corrent i. La fsicaclassica no te moments dipolars magnetics no deguts a corrents. A la natura, pel contrari, existeixen dipols

magnetics elementals que venen correctament descrits per la mecanica quantica.

El camp magnetic als pols de la Terra es de l'ordre del gauss i esta ben mesurat. El moment magnetic

puntual que produiria aquest camp es 8 1022A m2. Si aquest dipol estigues format per ions de Fe,

el moment dipolar dels quals es aproximadament el dels electrons, que s'anomena magneto de Bohr, B,equivaldria a

B eh

2me

= 9:3 1024Am2 ) n =

B' 1046 (IV:3:24)

ions de ferro, que pesen uns 1021 kg. Aixo correspondria a un volum interior d'uns 300 km de radi de ferro.

El camp magnetic real de la Terra, pero, no es el creat per petits magnets sino per corrents macroscopics

de carregues electriques. Aquests corrents circulen al mantell lquid de la Terra (entre 1 200 i 3 500 km del

centre) amb intensitats de l'ordre de 2 109 A.

Magnetostatica 95

IV.3.3. Forces magnetiques actuant sobre circuits conductors o carregues.

Aquestes forces venen descrites per la formula basica (IV.3.5), que per a un bucle en un camp uniforme

dona

a

b

i

F1

F3

Bx

θ

F1

F3

B

F1 = F3 = iaB j~pj = iabB sin

de forma que la forca total es nulla pero hi ha un parell. Si al bucle se li associa un moment magnetic

dipolar ~ perpendicular i de modul

= iA = iab ; (IV:3:25)

aquest parell es pot escriure com

~p = ~ ~B ; (IV:3:26)

en concordanca amb el cas electric. L'energia potencial d'orientacio d'un bucle en un camp magnetic es

aleshores

U = ~ ~B : (IV:3:27)

Aquesta es una de les idees basiques per a la construccio de motors o altres aparells que converteixin energia

electromagnetica en mecanica.

Considereu el moviment d'una partcula de carrega q dins d'un camp magnetic uniforme ~B en la direccio

de k. L'equacio de Lorentz (IV.3.6) escrita en components es

m _vx = qBvy

m _vy = qBvxm _vz = 0 :

(IV:3:28)

La solucio d'aquest sistema d'equacions diferencials es

vx(t) = v? cos

qB

mt+ '

vy(t) = v? sin

qB

mt + '

vz(t) = v0z = constant ;

(IV:3:29)

on les tres constants d'integracio, v?; ' i v0z venen determinades per les condicions inicials ~v0 segons

v20x + v20y = v2?

; tan' = v0yv0x

; (IV:3:30)

de forma que v? es el modul de la velocitat en el pla perpendicular a la direccio de ~B. Noteu que v(t)2 es

constant i per tant es conserva l'energia cinetica. En general

d

dt

1

2mv2 = mq~v

~E + ~v ~B

= mq~v ~E ; (IV:3:31)

96 Magnetostatica

Nomes el camp electric canvia l'energia cinetica. La trajectoria de la carrega tambe pot obtenir-se per

integracio de (IV.3.29), trobant-se un moviment helicoidal (circular uniforme en el pla perpendicular a ~B i

lineal uniforme en la direccio de ~B) de frequencia

c =qB

2m; (IV:3:32)

que s'anomena frequencia ciclotro i es independent de v!

El radi de gir es

r =v?m

qB; (IV:3:33)

Noteu que tendeix a zero si el camp es fa innit.

Una aplicacio de tot aixo es el ciclotro

metall(gàbia de Faraday)

xB

V alterna (ν)

Aix la partcula s'accelera ns a una energia cinetica

Ec =1

2mv2 =

q2B2R2

2m(IV:3:34)

Un ultim exemple important es l'efecte Hall. El 1879, H. Rowland va posar el seguent problema al seu

estudiant Hall. Considereu l'experiment de la gura

B

v I

k

i

j

Y

Z

X

El camp extern aplicat en el sentit de k fa que els electrons que viatgen en el sentit oposat a | es desvinen el sentit d'. Passat un temps de transicio, les carregues s'acumulen a la superfcie donant lloc a un nou

camp Ex. L'equilibri s'assoleix quan

qEx + (~v ~B)x

= 0 ) Ex = vB : (IV:3:35)

Aleshores, els portadors de carrega circulen a causa de nomes la diferencia de potencial inicial.

Una carrega en repos, pero, sera sensible al camp Ex, o al seu potencial

Ex =VH

X; (IV:3:36)

Magnetostatica 97

anomenat potencial Hall. Com que

VH = XvB ; (IV:3:37)

l'efecte Hall permet mesurar camps magnetics amb un voltmetre. Tambe permet esbrinar quin es el signe de

la carrega del portador a la mostra (existeixen materials on els portadors son forats!). Podem relacionar la

velocitat v amb la intensitat, i = NqXZv, on N es el nombre de portadors de carrega per unitat de volum.

Aleshores,

VH =i B

q N Z; (IV:3:38)

i trobem que el potencial Hall no depen de X o Y . En canvi, un Z petit aumenta el potencial i per aixo

s'empren plaques molt primes quan s'estudia aquest efecte. En general, doncs, hem trobat que

VH = RHi ; (IV:3:39)

on RH es la resistencia Hall de la mostra que depen del material i del camp magnetic aplicat. Malgrat que

acabem de trobar que la resistencia Hall creix linealment amb el camp magnetic, experimentalment s'observa

una quantitzacio de RH respecte del camp magnetic. L'efecte Hall quantic, descobert per von Klitzing, pot

ser descrit per la mecanica quantica on es troba que

RH =h

e21

n; n = 1; 2; 3; :: ; (IV:3:40)

on per n = 1, RH 25 813. Les mesures experimentals son extremadament precises amb errors mes

petits que una part en 107. Aquesta es la rao per la qual el 1990, l'ohm va passar a denir-se de forma que

aquesta constant es 25812:807 exactament. L'activitat cientca no s'ha aturat i s'han trobat resistencies

no predites pel model simple de la mecanica quantica. Experimentalment apareix un efecte Hall quantic

fraccionari, que ha generat una frenetica investigacio de la seva explicacio teorica.

IV.3.4. Forces entre dos ls parallels i entre dos dipols magnetics.

Considereu dos ls parallels

dFdB

ia i

b

Ba =0

2

ia

dFb = ib`Ba =

0

2

iaib

d` (IV:3:41)

Si els dos corrents circulen en el mateix sentit, la forca entre els ls es atractiva i permet denir l'ampere

com la intensitat que circula per aquells tal que s'atrauen amb una forca per unitat de longitud igual a

F

`= 2 107N m1 (IV:3:42)

quan estan a 1 metre de distancia. Es interessant fer notar que no hi ha forces electriques a causa de la

neutralitat dels ls conductors (tantes carregues positives com negatives), quedant nomes les magnetiques

d'origen relativista. Els efectes relativistes, tan difcils d'observar a la mecanica, son molt conspicus al

magnetisme.

D'altra banda, l'energia potencial entre dos dipols magnetics puntuals es

U = 04

3~r ~1 ~r ~2

r5 ~1 ~2

r3

(IV:3:43)

98 Magnetostatica

en exacta analogia al cas electric.

IV.3.5. Llei d'Ampere. Magnetostatica.

En aquestes notes nomes enunciarem, pero no demostrarem, la llei d'Ampere que, per a la magne-

tostatica, te un paper similar al de la llei de Gauss per a l'electrostatica. Considerem el camp magnetic

generat per un l rectilini i innit pel qual circula un corrent i. En integrar-lo al llarg d'una lnia de camp

magnetic, es a dir en calcular la seva circulacio, obtenim, per a qualsevol d'elles,

I~B d~r = 0i (IV:3:44)

que resulta de validesa general per a corrents estacionaris. Aquesta expressio resumeix la llei d'Ampere en

la forma integral. Fent servir el teorema de Stokes, aquesta llei es pot obtenir en forma diferencial de

ZS

d~S ~r ~B

= 0

ZS

d~S ~| ; (IV:3:45)

donant~r ~B = 0~| ; (IV:3:46)

que recorda la rao per la qual el camp magnetostatic no es irrotacional.

La magnetostatica correspon als camps magnetics creats per corrents constants i immobils. Obviament

aleshores@

@t~B(~r; t) = 0 ; (IV:3:47)

de forma que ~B = ~B(~r) i que satisfa (IV.3.46), a mes a mes de (IV.3.20),

Una aplicacio immediata de la llei d'Ampere es a un solenoide llarg amb n espires per unitat de longitud,

lluny dels extrems:

d c

a bB

B=0l

B` + 0 + 0 + 0 = 0n`i

on es evident que ~B = 0 fora perque no depen de d i c i que es uniforme dins perque no depen de a i b, i val

B = 0ni : (IV:3:48)

El camp magnetic, igual que l'electric, es un magatzem d'energia. L'expressio de la seva densitat

d'energia, analoga a l'electrica, es

UB(~r) =1

20~B2(~r) : (IV:3:49)

IV.3.6. Conservacio del moment lineal a l'electromagnetisme.

Magnetostatica 99

En presencia de camps estatics uniformes hi ha un vector que substitueix el moment lineal de la partcula

i que es conservat en absencia d'altres forces:

m _~r q~Et + ~r ~B

: (IV:3:50)

Derivant respecte del temps tenim, efectivament,

m~r q~E + ~v ~B

= 0 : (IV:3:51)

En presencia de camps variables no uniformes, la conservacio del moment tambe te una generalitzacio que

involucra tant el moment de la partcula com el del camp electromagnetic (que no denim en aquestes notes).Es interessant fer notar que la simetria que hi ha darrera aquesta llei de conservacio es local, la mes

senzilla local que existeix a la fsica. Localment dos punts qualssevols son absolutament equivalents si els

camps electrics i magnetics son constants i uniformes. Globalment no, ja que, per exemple, tenen valors dels

potencials escalar i vector diferents. Localment aquestes diferencies no es poden detectar, perque l'origen

d'energies es arbitrari, pero globalment s, ja que en anar d'un punt a l'altre es fa o es rep treball.

Si els camps no son uniformes, la quantitat anterior no es conservada perque hi ha una dependencia en

el temps implcita (recordeu la discussio de la seccio II.5.6). Quan son uniformes hi ha, pero, una invariancia

local sota translacions en l'espai.

IV.3.7. Equacions de Maxwell.

A l'estudi de l'electrostatica i magnetostatica ens han aparegut diverses lleis que son part de les equa-

cions de Maxwell: la llei de Gauss, el caracter irrotacional del camp electrostatic, l'absencia de carregues

magnetiques i la llei d'Ampere en magnetostatica. Les equacions completes de Maxwell al buit son

~r ~E(~r; t) = (~r; t)

0;

~r ~E(~r; t) +@ ~B(~r; t)

@t= 0 ;

~r ~B(~r; t) = 0 ;

~r ~B(~r; t) 1

c2@ ~E(~r; t)

@t= 0~j(~r; t) :

(IV:3:52)

Quan ~E i ~B son constants, aquestes equacions reprodueixen les estudiades aqu i se separen en dos grups

independents. La segona es la llei de Faraday, i correspon al fenomen d'induccio. De la primera i ultima es

pot comprovar l'equacio de continutat: per aixo Maxwell va haver d'introduir el terme @ ~E@t, i va encertar!

Obviament el factor 1c2

que porta aquesta contribucio nova fa que en condicions normals sigui menyspreable.

Aixo, pero, no era conegut a l'epoca de Maxwell. Les lleis de conservacio, aqu de la carrega, determinen les

equacions de la fsica.

100 Vectors i rotacions

Apendix A. VECTORS I ROTACIONS

A.1. Vectors i rotacions en el pla

A la fsica newtoniana emprem vectors (~v; ~a; ~F ; : : :) que son objectes que es transformen d'una deter-

minada forma sota rotacions. Estudiem el cas de dues dimensions per precisar i illustrar aquesta armacio.

En dues dimensions, un vector ~A es pot caracteritzar per dos numeros

y

x

~A x+ y| (x; y) (A.1)

on i | son els vectors unitaris que deneixen els eixos, i (x; y) son les projeccions o coordenades del vector

sobre els eixos,

x = r cos ; y = r sin ; r =px2 + y2 ; tan =

y

x: (A.2)

Sota una rotacio d'angle , les coordenades del vector canvien

α

x

y

x’

y’

x

y

x’

y’

α

~A0 = (x0; y0) = (x cos y sin; x sin+ y cos) ; (A.3)

on hem representat la rotacio de forma activa a la esquerra de la gura, i passiva a la dreta. Aquesta llei de

transformacio deneix el concepte de vector. Podem escriure la transformacio de la coordenada i-esima del

vector de la seguent forma compacta

A0i =

2Xj=1

R()ijAj on R() =

cos sinsin cos

: (A.4)

Vectors i rotacions 101

La matriu R() es ortogonal, de determinant unitat,

R()TR() = R()R()T = I ; detR() = 1 (A.5)

i forma grup amb l'operacio de composicio de matrius

R()R() = R(+ ) (A.6)

donant, per tant, una representacio del grup de rotacions en dues dimensions.

Un tensor de segon ordre (o de rang dos) es un objecte les coordenades del qual porten dos ndexs i es

transformen sota rotacions de la forma

T 0ij =

2Xk;l=1

R()ikR()jlTkl : (A.7)

Aquesta tranformacio conte com a cas particular la que hem denit per a vectors i tambe es generalitzable

a qualsevol nombre d'ndexs (tensors d'ordre n). Els tensors de rang dos es poden representar per matrius.

Noteu que els objectes que no canvien sota rotacions (son invariants) es diuen escalars i els que es

transformen com a tensors (com es el cas dels vectors) s'anomenen covariants.

En tres dimensions, les matrius de rotacions son forca mes complicades ja que depenen de tres angles,

R(; ; ). Tanmateix veriquen les propietats del grup ortogonal i les denicions de vector i tensor son

paralleles a les de dues dimensions.

A.2. Operacions entre vectors

Donats dos vectors en tres dimensions, ~A = (a1; a2; a3) i ~B = (b1; b2; b3), podem construir dues opera-

cions basiques:

(i) Producte escalar,

~A ~B 3X

i=1

aibi (A.8)

(ii) Producte vectorial,

~A ~B (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1) =

| ka1 a2 a3b1 b2 b3

: (A.9)

Combinant aquestes dues operacions, es tenen les seguents propietats

~A ( ~B ~C) = ~B (~C ~A) = ~C ( ~A ~B)

~A ( ~B ~C) = ( ~A ~C) ~B ( ~A ~B)~C( ~A ~B) (~C ~D) = ( ~A ~C)( ~B ~D) ( ~A ~D)( ~B ~C)

(A.10)

Una forma mes compacta de demostrar aquestes propietats es fent us dels tensors delta de Kronecker

ij =

1 si i = j0 si i 6= j

(A.11)

i de Levi-Civita,

ijk =

( 123 = 1

ijk = jki = jik0 si i = j o i = k o j = k

(A.12)

102 Vectors i rotacions

que es cclic i antisimetric i que veriquen la seguent relacio

3Xi=1

ijkilm = jlkm jmkl : (A.13)

Aleshores es te,

~A ~B =

3Xi;j=1

ijaibj (A.14)

( ~A ~B)i =

3Xj;k=1

ijkajbk (A.15)

Els tensors ij i ijk son els unics tensors invariants en tres dimensions, es a dir, son els unics objectes

amb ndexs que no transformen sota rotacions.

Sovint, les components d'un vector s'escriuen Ax; Ay i Az en lloc de A1, A2 i A3.

Operadors derivatius 103

Apendix B. OPERADORS DERIVATIUS

En tres dimensions, denim l'operador nabla

~r @

@x;@

@y;@

@z

: (B.1)

Aquest operador permet denir quatre operacions derivatives amb nom propi:

(i) Gradient. Es deneix com l'operador nabla actuant sobre una funcio escalar de x, y i z (o camp

escalar),

~rV (x; y; z) @V

@x;@V

@y;@V

@z

: (B.2)

(ii) Divergencia. Es deneix com el producte escalar de l'operador nabla amb un camp vectorial,

~r ~A(x; y; z) @Ax

@x+@Ay

@y+@Az

@z: (B.3)

(iii) Rotacional. Es deneix com el producte vectorial de l'operador nabla amb un camp vectorial,

~r ~A(x; y; z) @Az

@y @Ay

@z;@Ax

@z @Az

@x;@Ay

@x @Ax

@y

: (B.4)

(iv) Laplacia. Es deneix com el producte escalar de dos operadors nabla. Pot actuar sobre escalars o

vectors; per exemple, la seva accio sobre un escalar es

V ~r ~rV @2V

@x2+@2V

@y2+@2V

@z2: (B.5)

A continuacio presentem algunes propietats importants de l'operador nabla,

~r ~r ~A

= 0 (B.6)

~r~rV= 0 (B.7)

~r~r ~A

= ~r

~r ~A

~A (B.8)

~r ~r = 3 (B.9)

~r ~r = 0 (B.10)

~r ~rr 2

r(B.11)

1

r= 4(~r) (B.12)

on la delta de Dirac satisfa

(~r) = 0 8~r 6= 0 (B.13)ZR3

dV (~r) = 1 (B.14)

104 Teoremes integrals

Apendix C. TEOREMES INTEGRALS

Tot seguit presentem tres teoremes que involucren integrals de diverses variables i que son d'us frequent.

(1) Teorema de Gauss. Considerem un volum V tancat per una superfcie S i denotem l'element d'area

que apunta cap a fora de la superfcie en forma normal com a d~S. Aleshores, donat un camp vectorial ben

comportat es te ZV

~r ~A d3x =ZS

~A d~S : (C.1)

(2) Teorema de Stokes. Considerem una superfcie S tancada per un contorn C. Prenem la direccio de

l'element de superfcie d~S com el donat per la regla del tirabuixo quan es gira al voltant del contorn seguint

la direccio dictada per l'element de lnia d~l. Aleshores,ZS

~r ~A

d~S =

IC

~A d~l ; (C.2)

(3) Considerem una lnia que va del punt 1 al punt 2 i sigui d~l l'element de lnia. Aleshores

Z 2

1

~r d~l = (2) (1) : (C.3)

Constants universals 105

Apendix D. CONSTANTS UNIVERSALS I DADES D'INTERES

Velocitat de la llum en el buit c 299 792 458 m s1 (exacte)

Constant de Planck h 6:626 075 5(40) 1034 J s

4:135 669 2(12) 1015 eV s

h=2 h 1:054 572 66(63) 1034 J s

6:582 122 0(20) 1016 eV s

Longitud de Planck LP 1:616 05(10) 1035m

Temps de Planck P 5:390 56(34) 1044s

Massa de Planck MP 2:176 71(14) 108kg

Constant de la gravitacio de Newton G 6:672 59(85) 1011m3kg1s2

Permeabilitat del buit 0 4 107NA2(exacte)

Permitivitat del buit 0 1=0c2 (exacte)

= 8:854 187 817 : : : 1012Fm1

Carrega del electro e 1:602 177 33(49) 1019C

Massa del electro me 9:109 389 7(54) 1031kg

5:485 799 03(13) 104u

0:510 999 06(15) MeV / c2

Massa del proto mp 1:672 623 1(10) 1027kg

1:007 276 470(12) u

938:272 31(28) MeV / c2

Constant d'Avogadro NA 6:022 136 7(36) 1023mol1

Constant de Boltzmann k 1:380 658(12) 1023JK1

Radi equatorial del Sol R 6:96 108m

Massa del Sol M 1:99 1030kg

Radi equatorial de la Terra R 6:38 106m

Massa de la Terra M 5:97 1024kg

Radi mitja de la Lluna RL 1:74 106m

Massa de la Lluna ML 7:35 1022kg

Distancia mitjana Terra-Sol d 1.50 1011m

Distancia mitjana Terra-Lluna dL 3.84 108m

Any terrestre any 3:16 107s

Acceleracio de la gravetat estandard g 9:806 65 m s2 (exacte)

106 Unitats d'us frequent

Apendix E. ALGUNES UNITATS D'US FREQUENT

1 angstrom 1 A 1010 m

1 fermi 1 fm 1015 m

1 barn 1028 m2

1 unitat astronomica 1 AU 1:495 978 706 6(2) 1011 m1 parsec 1 pc 3:085 677 580 7(4) 1016m1 any llum 1 ly 0:306 6 : : : pc

1 CV 735 W 1 hp 746 W

1 erg 107 J

1 electrovolt 1 eV 1:602 177 33(49) 1019 J

1 gauss 104 T

0C 273:15 K (1C 274:15 K)1 cal= 4.186 J 1 Cal 1000 cal

1 atmosfera 760 torr 760 mmHg 1:013 25 bar 1:013 25 105 Pa

Equacions diferencials 107

Apendix F. EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS DE SEGON ORDRE AMB COEFI-

CIENTS CONSTANTS

Breument analitzem la solucio d'equacions lineals de segon ordre amb coecients constants tant ho-

mogenies com inhomogenies.

F.1. Equacions homogenies

Sigui l'equacio

P0y + P1 _y + P2y = 0 : (F.1)

Denint Dy = _y = dydt, D2y = y, tenim

P0(D m1)(D m2)y P0F (D)y ; (F.2)

on F (D) = 0 es l'equacio caracterstica amb arrels caracterstiques mi,

m1 +m2 = P1

P0; m1m2 =

P2

P0: (F.3)

La solucio general es

y(t) = C1em1t + C2e

m2t ; si m1 6= m2

y(t) = C1em1t + C2te

m2t ; si m1 = m2

(F.4)

on C1 i C2 son constants arbitraries. Si les arrels son complexes, m1 = a+ ib; m2 = a ib, aleshores la e.g.

primera solucio es pot escriure de moltes maneres:

y(t) = eat (C3 cos bt+C4 sin bt)

y(t) = eatC5 cos (bt+C6)

y(t) = eatC7 sin (bt+ C8)

(F.5)

F.1. Equacions inhomogenies

Partim de l'equacio P0D

2 + P1D + P2y = Q(t) : (F.6)

La solucio completa es la suma de la solucio general de l'equacio homogenia mes una solucio particular de

l'equacio inhomogenia. Tot i que hi ha metodes generals, en aquest curs la solucio particular sempre es podra

obtenir per inspeccio.

Prefaci i

PREFACI

Aquestes notes recullen el nostre punt de vista del que hauria de ser el contingut de l'assignatura

\Fonaments de Fsica" del primer semestre de l'Ensenyament de Fsica. Estan dirigides en primer lloc

a l'estudiant, tot i que no segueixen el model malauradament sovint preferit pels estudiants, ja que son

escarides en tot allo que hem considerat desenvolupament mecanic o aplicacions immediates. Deixen aix

feina per als estudiants, un aspecte que ens sembla essencial. En segon lloc, aquestes notes estan pensades

per als nostres collegues, professors de la primera assignatura de fsica a la llicenciatura de Fsica. Esperem

que aquells que les segueixin hi trobin punts de vista diferents i nous, i s'hi diverteixin. Arreu de les notes

s'insinuen temes i desenvolupaments que sense el professor no podran ser aprotats per l'estudiant de primer

semestre. En tercer lloc, les notes tornen a estar dirigides als estudiants, pero ara als mes avancats, que

podran utilitzar-les com a repas o introduccio a assignatures de Mecanica o Electromagnetisme i que ara

estaran en condicions de gaudir-les adientment.

Hi ha tres collectius de professors de fsica per als que la nostra esperanca es que tambe puguin ser

d'utilitat aquestes notes: els professors de fsica de COU o de l'ultim curs de l'ESO, perque vegin el material

que volem que aprenguin els estudiants en comencar llurs estudis universitaris; els professors de les altres

assignatures de l'Ensenyament de Fsica, perque tinguin una idea precisa del que es fa als \Fonaments de

Fsica"; i els professors de fsica d'altres ensenyaments universitaris, en particular tecnics, per complementar

llur visio aplicada amb alguns aspectes basics i fonamentals.Es difcil explicar tot el text en un semestre, pero no ho es si es deixen, a criteri del professor, alguns

punts de banda. Hi ha uns pocs leitmotive que ens han condut: les simetries, les lleis de conservacio, els

ordres de magnitud, les deduccions aproximades ben fetes, les aplicacions elementals a questions avancades,

l'analisi de les lleis de Newton, la introduccio del concepte de camp, l'analisi del concepte d'energia. La

Fsica no son 1000 lleis, son algunes poques, i saber que es rellevant i que prescindible en cada problema.

Esperem que aquest text ajudi a entendre la fsica d'aquesta ultima forma, i que provoqui en els estudiants

tantes noves questions com les que hagi respost.

Aquesta es la primera versio d'aquestes notes. Tindra errades i errors. Esperem que els lectors ens les

comuniquin (e-mail: latorre @ sophia.ecm.ub.es , tarrach @ ifae1.ecm.ub.es).

ii Agraments

AGRAIMENTS

Entre els primers materials utilitzats en la confeccio d'aquest text hi havia unes notes de Jordi Ortn

basades en el text de Tipler. Li estem agrats. Els collegues que han compartit l'assignatura, i en particular

Nuria Barberan, Llus Ma~nosa, Emili Rojas, Francesc Salvat i Eduard Vives ens han ajudat molt amb llurs

comentaris, crtiques i questions. Pere Pascual i Josep Taron han fet de sparrings; el primer se'ns ha adrecat

amb correccions, el segon ens ha fertilitzat amb questions. Molts collegues del Departament d'Estructura i

Constituents de la Materia ens han ajudat amb llurs comentaris i crtiques.

Els estudiants amb els seus interrogants ens han estimulat i ajudat molt. Els ho agram.

Finalment, agram al Gabinet d'Avaluacio i Innovacio Universitaria de la Universitat de Barcelona l'ajut

rebut.

Referencies iii

REFERENCIES

Hi ha moltssims textos introductoris de fsica. Aqu ens limitema set, que creiem que son representatius.

Fsica, P.A. Tipler, Ed. Reverte, Barcelona, 1994.

Aquest llibre, en dos volums, ha determinat molt el nostre text, perque ha estat utilitzat durant molts anys

a la nostra Facultat. Es un llibre extens, clar, detallat i estandard.

Fsica Clasica y Moderna, W.E. Gettys, F.J. Keller i M.J. Skove, McGraw-Hill, 1991.

Text de nivell i estructura semblant al Tipler.

Fsica, M. Alonso i E.J. Finn, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

Text classic i complet.

Feynman. Fsica, R.P. Feynman, R.B. Leighton i M. Sands, Fondo Educativo Interamericano, 1972.

Parts dels dos primers volums tracten els mateixos temes que el nostre text. Es una obra magistral, pero

molt extensa. El nostre text re ecteix la seva in uencia.

Fonaments de Fsica, V. Martnez Sancho, Enciclopedia Catalana, Barcelona, 1991.

Editat en dos volums, es un text complet, amb enunciats de questions i problemes, extens, lleugerament mes

avancat que el text de Tipler, i tambe estandard.

La fsica en preguntas. Mecanica. J.M. Levy-Leblond, Alianza Editorial, Madrid, 1988.

La fsica en preguntas. Electricidad y Magnetismo. J.M. Levy-Leblond, Alianza Editorial, Madrid,

1986.

Son dos textos deliciosos amb preguntes de la vida quotidiana i respostes precises. Per gaudir i autoexaminar-

se.

Fsica General, R. Pascual, Servei de Publicacions, UAB, 1994.Es un text introductori a la fsica des d'una perspectiva moderna i de lectura molt agradable. Complementa

el nostre text amb dades historiques i exemples.

iv Introduccio

INTRODUCCIO PER A L'ESTUDIANT

Aquest text-guia s'ha escrit per a l'assignatura \Fonaments de Fsica" del primer semestre de

l'Ensenyament de Fsica, a la qual corresponen 10.5 credits. Te un doble objectiu: un introductori i un

fonamentador. El primer preten donar una visio general de la Fsica i deixar entreveure a l'estudiant el seu

extraordinari atractiu intellectual. El segon vol establir les bases sobre les que despres es poguin desenvolu-

par les altres assignatures.

La primera part, Material Previ, es mig introductoria i mig fonamentadora. No es preten que l'estudiant

la digereixi totalment, pero si que n'adquereixi una visio general. Les altres tres parts son dominantment

fonamentadores, i llevat d'alguns temes mes avancats, s que han de ser enteses i assimilades. Corresponen

a una introduccio a la Mecanica (amb emfasi en les lleis de Newton, en la importancia de les simetries i en

el concepte d'energia) i a l'estudi elemental de les dues interaccions fonamentals conegudes classicament: la

gravitacio i l'electromagnetisme. El tema central de la part dedicada a la gravitacio es el concepte de camp

mentre que per a l'electromagnetisme nomes es donen les idees basiques corresponents a camps electrics i

magnetics estatics, i a corrents estacionaris. Camps i corrents variables en el temps, tan importants en la

tecnologia quotidiana, no son introduts, com tampoc la profunda unitat dels fenomens electrics i magnetics

(llevat d'una breu discussio a la seccio nal).

Res es mes negatiu que estudiar un text sense consultar referencies. Aquest text-guia difcilment podra

ser estudiat sense fer aquestes consultes, i esta pensat per ser treballat amb el professor, dia a dia. A mes a

mes s'ha de complementar amb la solucio de problemes.

La Fsica te com a objectiu primordial donar una explicacio d'allo que observem. Els problemes represen-

ten una escenicacio simplicada d'aquesta activitat. Donen unes dades i uns fets, i demanen una explicacio.

Encara millor, sens dubte, es obtenir les dades i els fets per experimentacio i observacio. L'explicacio es la

teoria.

Per resoldre un problema s'ha d'entendre que es essencial i que marginal i quina llei es la mes rellevant

per al problema. Aixo s'apren amb la practica. Un nen no apren a caminar amb un llibre; el mateix passa

amb els problemes. I viceversa, nomes la contrastacio amb els problemes fa que, nalment, s'entengui la

teoria.

El text-guia suggereix alguns temes mes avancats; estan pensats perque l'estudiant que li agrada la

Fsica gaudeixi d'ells, pero requereixen una certa cerca bibliograca. Aixo tambe s'ha d'aprendre.

El nivell del text-guia es una mica superior al nivell de l'assignatura. Volem que sigui un text al qual

l'estudiant, quan sapiga mes, hi torni.

Temari v

TEMARI

Prefaci : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i

Agraments :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ii

Referencies : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : iii

Introduccio per a l'estudiant : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : iv

Temari : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : v

I. MATERIAL PREVI

I.1. Magnituds i Unitats : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

I.1.1. Unitats basiques mecaniques. Relacions fonamentals. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

I.1.2. Unitats basiques associades a carregues. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

I.1.3. Unitats macroscopiques. Unitats derivades. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

I.1.4. Unitats adimensionals. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

I.2. Analisi dimensional : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

I.3. Ordres de magnitud : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

I.3.1. Estimacio d'ordres de magnitud. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

I.3.2. Ordres de magnitud de longituds. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

I.3.3. Ordres de magnitud de temps. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10

I.3.4. Ordres de magnitud de masses. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11

I.3.5. Ordres de magnitud de densitats. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12

I.3.6. L'espectre electromagnetic. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13

I.3.7. Longitud, temps i massa de Planck. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14

I.4. Petit, gran i complex : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

I.4.1. Les partcules. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

I.4.2. Les interaccions. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

I.4.3. L'estructura a gran escala de l'univers. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17

I.4.4. L'estudi de sistemes amb molts graus de llibertat. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18

I.4.5. Classicacio de les branques de la Fsica en funcio de c, h i el nombre

de graus de llibertat. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20

II. MECANICA

II.1. Cinematica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21

vi Temari

II.1.1. Vectors posicio, velocitat i acceleracio.

Transformacions sota translacions, rotacions i paritat. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21

II.1.2. Coordenades polars. Moviment circular. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22

II.2. Lleis de Newton : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

II.2.1. Lleis de Newton. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

II.2.2. L'espai newtonia. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

II.2.3. El temps newtonia. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26

II.2.4. La invariancia galileana. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27

II.2.5. Massa, inercia i sistemes de referencia inercials. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27

II.2.6. Ambit d'aplicacio de les lleis de Newton. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28

II.3. Exemples de forces : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29

II.3.1. Exemples senzills de forces. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29

II.3.2. L'oscillador harmonic. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31

II.3.3. El pendol simple. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32

II.3.4. Forces de fregament. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33

II.3.5. Forces de fregament lineals en la velocitat. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34

II.4. Sistemes de referencia no inercials : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36

II.4.1. Exemples senzills de sistemes de referencia no inercials. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36

II.4.2. Sistemes de referencia en rotacio. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37

II.4.3. Exemples. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38

II.5. Treball i energia : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39

II.5.1. Treball fet per una forca. Teorema treballenergia. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39

II.5.2. Forces conservatives. Energia potencial. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39

II.5.3. Energia mecanica total. Llei de conservacio. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41

II.5.4. Estudi energetic de problemes unidimensionals. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41

II.5.5. Forces no conservatives. Llei de conservacio de l'energia total. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

II.5.6. Conservacio de l'energia i homogenetat en el temps. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43

II.5.7. Exemples. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43

II.6. Sistemes de partcules : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46

II.6.1. Centre de masses. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46

II.6.2. Conservacio del moment lineal i de l'energia. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48

II.6.3. Xocs. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49

II.6.4. Coets. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51

II.7. Rotacions entorn d'un eix x : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53

II.7.1. Moment d'una forca. Moment angular. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53

II.7.2. Solid rgid. Rotacions. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54

II.7.3. Parell de forces. Composicio. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55

II.7.4. Equilibri estatic. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56

II.7.5. Tercera llei de Newton. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57

II.7.6. Moment d'inercia. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57

II.7.7. Dinamica. Exemples. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60

III. GRAVITACIO

III.1. Gravitacio newtoniana : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63

III.1.1. Antecedents historics. Lleis de Kepler. Llei de la gravitacio universal. : : : : : : : : : : 63

III.1.2. Massa pesant i massa inercial. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64

III.1.3. Lleis de Kepler. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64

III.1.4. Camp i potencial gravitatori. Lnies de camp. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66

III.1.5. Flux. Llei de Gauss. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68

III.1.6. Exemple de camp gravitatori extern: closca esferica i esfera. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69

III.1.7. Exemple de camp gravitatori intern: esfera. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70

Temari vii

III.1.8. Paradoxes gravitatories. Distribucions no acotades. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71

IV. ELECTRICITAT I MAGNETISME

IV.1. Electrostatica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73

IV.1.1. Antecedents historics. Generalitats. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73

IV.1.2. Conductors, allants i semiconductors. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74

IV.1.3. Llei de Coulomb. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75

IV.1.4. Potencial i camp electric : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75

IV.1.5. Dipol electric. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77

IV.1.6. Electrostatica. Conductors. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79

IV.1.7. Condensadors. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80

IV.2. Corrent electric : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84

IV.2.1. Intensitat i densitat de corrent. Equacio de continutat. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84

IV.2.2. Resistencia i resistivitat. Llei d'Ohm. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85

IV.2.3. Forca electromotriu. Efecte Joule. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86

IV.2.4. Circuits. Lleis de Kirchho. Circuits RC. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87

IV.3. Magnetostatica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91

IV.3.1. Forca i camp magnetic. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91

IV.3.2. Camps magnetics creats per circuits conductors. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93

IV.3.3. Forces magnetiques actuant sobre circuits conductors o carregues. : : : : : : : : : : : : : : 94

IV.3.4. Forces entre dos ls parallels i entre dos dipols magnetics. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 97

IV.3.5. Llei d'Ampere. Magnetostatica. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 97

IV.3.6. Conservacio del moment lineal a l'electromagnetisme. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98

IV.3.7. Equacions de Maxwell. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 99

APENDIXS

A. Vectors i rotacions. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 100

B. Operadors derivatius. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103

C. Teoremes integrals. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 104

D. Constants universals i dades d'interes. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105

E. Algunes unitats d'us frequent. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 106

F. Equacions diferencials lineals de segon ordre amb coecients constants. : : : : : : : : : : : : : : : 107

llibrerolf

Documents