, L'ELECTRO

, ETISME

PIERRE SAVARD

FADHEL M. GHANNOUCHI

Éditions de l'École Polytechnique de Montréal

L'électromagnétisme en application Pierre Savard, Fadhel M. Ghannouchi

Équipe de production Gestion éditoriale et production : Presses internationales Polytechnique Page couverture : Chantal Fauteux

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Tous droits réservés © Presses internationales Polytechnique, 1995

On ne peut reproduire ni diffuser aucune partie du présent ouvrage, sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit, sans avoir obtenu au préalable l᾽autorisation écrite de l᾽éditeur.

Dépôt légal : 1er trimestre 1995 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada

ISBN 978-2-553-00500-8 (version imprimée) ISBN 978-2-553-01655-4 (version pdf)

Imprimé au Canada

À Lise et Sonia

Les auteurs

Pierre Savard, ing., Ph.D.

Plerre Savard a obtenu en 1974 un baccalauréat es sciences appliquées en génie électrique de l'École Polytechnique de Montréal; en 1978, il a obtenu un doctorat es sciences appliquées en génie biomédiçal de l'École Polytechnique de Montréal. Après un stage post-doctoral de deux ans au Massachusetts Institute of Technology (Cambridge), il s'est joint, en 1980, au corps professoral de l'Institut de gériie biomédical de l'École Polytechnique de Montréal où il est pré~entement professeur titulaire. Ses intérêts de recherche portent sur les aspects biophysiques et le traitement des signaux en électrocardiographie ainsi que sur l'utilisation de l'énergie électromagnétique dans le traitement des arythmies cardiaques.

Fadhel M. Ghannouchi, ing., Ph.D.

Fadhel M. Ghannouchi a obtenu, en 1980, un diplôme universitaire d'études supérieures en physique et en chimie de l'Université de Tunis; en 1983, un baccalauréat en génie physique; en 1984, une maîtrise en génie électrique; en 1987, un doctorat en génie électrique de l'École Polytechnique de Montréal. II est présentement professeur agrégé au Département de génie électrique et de génie informatique de l'École Polytechnique de Montréal où il enseigne l'électromagnétisme et les communications par micro-ondes depuis 1984. Ses intérêts de recherche portent sur : l'instrumentation et les techniques de mesures par micro-ondes et, en particulier, la technique <<Six-port>>; la caractérisation, l'analyse et la modélisation des dispositifs à micro-ondes; la conception des circuits passifs et actifs et des sous-systèmes de micro-ondes en technologies hybride et monolithique pour les communications mobiles et spatiales.

Avant-propos

Ce livre s'adresse aux étudiants et aux étudiantes en génie électrique. Dans l'exercice de leur future profession, deux atouts importants leur permettront de résoudre les problèmes d'électromagnétisme qu'ils rencontreront : une solide connaissance de base des principes de la physique et des mathématiques qui constituent les fondements de l'électromagnétisme; une expérience variée de l'application de ces principes à des problèmes pratiques en génie. Plusieurs manuels traitent en profondeur des principes de l'électromagnétisme. Cependant, les problèmes qu'ils présentent sont souvent de nature purement théorique.

L'objectif principal de cet ouvrage est de permettre à l'étudiant de maîtriser les notions de base de l'électromagnétisme en les appliquant à des problèmes pratiques. Le processus de résolution de problèmes exige de plus que l'étudiant fasse la synthèse de ses connaissances théoriques pour trouver les solutions.

Chaque chapitre est structuré selon le modèle suivant : introduction, rappel théorique, problèmes résolus, problèmes non résolus. Le rappel théorique présente de façon succincte les principes et les équations importantes. Les problèmes résolus couvrent systématiquement tous les aspects importants de la matière. Les solutions présentent en détailla justification de l'approche retenue, les conditions nécessaires à l'application correcte des équations (par ex. : les conditions de symétrie pour les lois de Gauss et d'Ampère) ainsi que les répercussions possibles de leur application en ingénierie. Des problèmes non résolus offrent des exercices complémentaires à la fin de chaque chapitre.

Les problèmes présentés couvrent plusieurs champs du génie électrique : circuits électroniques, élec­trotechnique, automatisation et communications. Les composantes passives des circuits électriques (par ex. : résistances, condensateurs, bobines, etc.) font l'objet de plusieurs problèmes afin que l'étudiant puisse les reconnaître dans des contextes physiques variés. Les composantes actives ou non linéaires (par ex. : transistors à effet de champ, jonctions P-N, etc.) sont abordées dans les problèmes d'électronique. Des problèmes illustrant le claquage, la génération et la transformation de courant, ainsi que l'effet moteur et les circuits magnétiques permettent d'appliquer les principes de l'électromagnétisme à l'électrotechnique tandis que des problèmes décrivant des capteurs électromagnétiques illustrent le domaine de l'automatisation. La propagation, le rayonnement et le couplage d'ondes électromagnétiques font l'objet de problèmes dans le champ des communications.

Nous remercions tous ceux et celles qui nous ont aidé à éditer ce livre : M11e Annie Brodeur pour le travail de traitement de texte et de révision d'une version préliminaire de cet ouvrage; MM. Manfred Nachman et Patrick Morel pour leur judicieux commentaires scientifiques et pédagogiques; les étudiants qui nous ont aidé à améliorer notre texte; le Service pédagogique de l'École Polytechnique pour l'aide financière accordée à une version préliminaire de ce document; l'équipe des Éditions de Polytechnique qui a participé à la réalisation de ce livre : M. Lucien Foisy, Mme Louise Régnier, Mme Martine Aubry, Mme Nicole Labrecque et Mme Chantal Fauteux de la section graphisme.

Pierre Savard et Fadhel M. Ghannouchi Montréal, décembre 1994

Table des matières

Avant-propos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V Liste des symboles 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 XI

CHAPITRE 1 Champs électrostatiques

Rappel théorique 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

- Loi de Coulomb, champ électrique, principe de superposition, milieu diélectrique, loi de Gauss 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

- Divergence, première équation de Maxwell, théorème de la divergence, différence de potentiel, champ conservatif, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

- Gradient, potentiel et charge, énergie électrique, courant, continuité du courant, conductivité, résistance, capacité, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

- Conditions électrostatiques, conditions aux frontières (diélectrique-diélectrique) 0 0 0 0 0 5

10 1 Électret 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

1.2 Faisceau d'électrons 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7

103 Double plan de charges 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9

1.4 Condensateur plan 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 010

105 Blindage électrostatique . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11

1.6 Capacité distribuée 0 0 12

1. 7 Condensateur réel 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 10 8 Conductivité du sol 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15

10 9 Condensateur plan 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16

1.10 Bride électrostatique 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18

1011 Condensateur plan partiellement rempli 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19

1.12 Microphone électrostatique 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21

10 13 Charges au sol 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22

1014 Électret polarisé 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24

1o15 Sphères non concentriques 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25

1.16 Électricité atmosphérique 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25

1.17 Résistance de fuite d'un câble coaxial 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26

1. 18 Éclateur 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26

10 19 Électret homocharge 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27

1020 Résistance de fuite de câbles souterrains 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27

1.21 Peinture électrostatique 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 28

1.22 Tube diode 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 28

1023 Satellite passif 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 29

1.24 Force sur câble coaxial 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 29

1.25 Capacité d'un câble isolé 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30

Table des matières VII

1.26 Réflecteur pour antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.27 Diélectrique non homogène ................................. 30 1.28 Forces dans un électret .................................... 31

CHAPITRE2 Technique graphique

Rappel théorique ............................................ 33 - Lignes équipotentielles, lignes de flux, surfaces métalliques, lignes de courant,

densité de flux, densité de courant ............................... 33 - Capacité, résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1 Ligne de transmission rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Câble coaxial cylindrique ................................... 35 2.3 Effet de bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 37 2.4 Circuit imprimé ........................................ 38 2.5 Choc électrique ...... ;~ .................................. 38 2.6 Transistor à effet de champ ................................. 40 2.7 Condensateur en coin ..................................... 41 2.8 Fusible .............................................. 41 2.9 Coupleur par effet de bords ................................. 42 2.10 Mesure de conductivité .................................... 42 2.11 Potentiomètre .......................................... 43 2.12 Fils téléphoniques ....................................... 43 2.13 Résistances ........................................... 44

CHAPITRE 3 Problèmes de conditions aux frontières

Rappel théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 - Équation de Poisson, équation de Laplace, conditions de Dirichlet, conditions de

Neumann, conditions mixtes, théorème d'unicité, continuité du potentiel ........ 46 - Principe de superposition, solutions unidimensionnelles, solutions bidimensionnelles

cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 - Solutions bidimensionnelles sphériques et cylindriques, série de Fourier . . . . . . . . 48 - Équations pour la méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 49

3.1 Condensateur à double diélectrique ............................. 51 3.2 Précipitateur électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 53 3.3 Condensateur variable ..................................... 55 3.4 Générateur Van der Graaf . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 57 3.5 Antenne pour hyperthermie ................................. 59

VIII Table des matières

3.6 Milieu avec section rectangulaire .............................. 61 3. 7 Barreau conducteur ...................................... 64 3.8 Particule métallique dans l'huile .............................. 65 3.9 Bulle d'air dans l'huile .................................... 67 3.10 Barreau métallique dans un diélectrique .......................... 68 3.11 Orifice cylindrique dans un conducteur .......................... 69 3.12 Fil métallique isolé ...................................... 71 3.13 Électrodes isolées ....................................... 73 3.14 Élévateur à grain ........................................ 76 3.15 Jonction P-N .......................................... 77 3.16 Barreau conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.17 Capacité d'une microélectrode ................................ 81 3.18 Optimisation d'un câble coaxial ............................... 81 3.19 Plaques conductrices ..................................... 82 3.20 Traverse pour transformateur ................................ 82 3.21 Bulle d'air dans un conducteur ............................... 82 3.22 Condensateur en coin ..................................... 83 3.23 Potentiomètre audio ...................................... 83 3. 24 Élévateur à grain modifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3. 25 Électret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.26 Monteur de ligne ........................................ 84

CHAPITRE 4 Champs magnétostatiques

Rappel théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 - Loi de Biot-Savart, règle de la main droite, densité du flux magnétique, milieu

magnétique, loi d'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 - Rotationnel, théorème de Stokes, champ solénoïdal, seconde équation de Maxwell,

potentiel vecteur magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 - Potentiel scalaire magnétique, équation de Laplace pour Vm, équation de Poisson pour A,

force magnétique sur une charge en _mouvement, force magnétique sur un circuit, couple magnétique sur un circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90

- Conditions aux frontières, réluctance, énergie magnétique ................. 91 - Inductance, inductance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1 Solénoïde ............................................ 92 4.2 Câble coaxial .......................................... 94 4.3 Toroïde ............................................. 95 4.4 Ligne de transmission à conducteurs plats ........................ 96 4.5 Bobine .............................................. 97 4.6 Ligne bifilaire ......................................... 98 4.7 Inductance interne d'un fil conducteur .......................... 101

Table des matières IX

4.8 Haut-parleur ......................................... 102 4.9 Canon magnétique ...................................... 103 4.10 Toroïde à deux milieux ................................... 104 4.11 Électroaimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.12 Noyau de transformateur .................................. 106 4.13 Entrefer .. , .......................................... 108 4.14 Densité de courant non uniforme ............................. 109 4.15 Densité coaxiale à deux milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ~ . . . . . . . 109 4.16 Potentiel magnétique vectoriel ............................... 109 4.17 Orientation d'un satellite de communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . -. . . . 110 4.18 Relais ............................................. 110 4.19 Galvanomètre ......................................... 110 4.20 Conducteur à cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.21 Moteur ............................................. 112 4.22 Transformateur pour soudure à l'arc ........................... 112 4.23 Transformateur de bloc d'alimentation .......................... 113 4.24 Toroïde ............................................ 113

CHAPITRE 5 Cnamps électromagnétiques dynamiques

Rappel théorique ..................... -...................... 115 - Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 - Troisième équation de Maxwell, courant de déplacement, quatrième équation de

Maxwell et théorème d'Ampère généralisé, milieu linéaire, homogène et isotrope ............................................... 116

- Équations de Maxwell, approximation quasi statique, potentiels retardés . . . . . . . 117 - Condition de Lorentz, champ électrique dynamique, équations de Laplace et de

Poisson dynamiques ....................................... 118

5.1 Antenne de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Capteur de déplacement ................................. . 5. 3 Transformateur idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Boucle de courant dans un champ magnétique . . . -. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Débitmètre magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Courants dans un câble coaxial ............................. . 5.7 Circuit RLC ......................................... . 5.8 ~ Inductance parasite d'un condensateur ......................... . 5.9 Capacité parasite d'une bobine ............................. . 5.10 Résistance parasite d'une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Noyau de bobine fractionné ............................... . 5.12 Frein magnétique ..................................... . 5.13 Amortisseur pour balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118 120 121 123 124 125 126 128 130 132 133 135 135

X Table des matières

5.14 Carte d'accès ......................................... 136 5.15 Pince ampèremétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.16 Détecteur de courant de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.17 Courant de surface équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.18 Autotransformateur ..................................... 138 5.19 Chauffage inductif ...................................... 138 5.20 Courants induits sous une ligne de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.21 Dégel de tuyaux par induction ............................... 139 5.22 Mesure de conductivité par induction .......................... 140 5.23 Courants de déplacement dans un solénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.24 Filtre micro-ondes ...................................... 141

CHAPITRE 6 Propagation des ondes électromagnétiques

Rappel théorique ........................................... 143 - Équation d'onde, onde plane uniforme en régime harmonique . . . . . . . . . . . . . . 143 - Vecteur de Poynting et transport d'énergie ......................... 144 - Polarisation des ondes électromagnétiques (linéaire, elliptique et circulaire) . . . . . 145

6.1 Onde plane à polarisation circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6. 2 Boucle réceptrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7 6.3 Réseau de boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.4 Cavité résonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.5 Antenne doublet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.6 Onde plane .......................................... 155 6. 7 Onde sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.8 Vecteur de Poynting dans un condensateur ....................... 156 6.9 Guide d'ondes ........................................ 156 6.10 Onde plane .......................................... 157 6.11 Onde plane avec direction quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.12 Boucles d'émission et de réception ............................ 157 6.13 Radiogoniomètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.14 Onde sphérique ........................................ 159

Annexe A Conventions et systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Annexe B Formules d'analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Annexe C Spectre des ondes électromagnétiques ....................... 167 Annexe D Constantes importantes ................................ 168 AnnexeE Problèmes non résolus : réponses ......................... 169

liste des symboles

Symbole Description Unités SI

A potentiel vecteur magnétique weber par mètre (Wb/rn)

B densité de flux magnétique tesla (T)

c capacité farad (F)

D densité de flux électrique coulomb par mètre carré (C/m2)

dl élément de longueur scalaire mètre (rn)

dl élément de longueur vecteur mètre (rn)

ds élément de surface scalaire mètre au carré (m2)

ds élément de surface vecteur mètre au carré (m2)

dv élément de volume scalaire mètre au cube (m3)

E champ électrique volt par mètre (V/rn)

F force newton (N)

f fréquence hertz (Hz)

fem force électromotrice volt (V)

H champ magnétique ampère par mètre (A/rn)

1 courant électrique ampère (A)

J densité de courant ampère par mètre carré (A/m2)

[J(t)] densité de courant retardée ampère par mètre carré (A/m2)

K densité de courant de surface ampère par mètre (A/rn)

L inductance henry (H) M aimantation ampère par mètre (A/rn)

rn moment magnétique ampère-mètre carré (A· m2)

M inductance mutuelle henry (H)

ô vecteur unitaire normal à une surface p polarisation électrique coulomb par mètre carré (C/m2

)

p moment de dipôle électrique coulomb-mètre (C ·rn) p puissance instantanée watt (W)

<P> puissance moyenne watt (W) (p vecteur de Poynting instantané watt par mètre carré (W/m2

)

(densité de puissance instantanée)

<CP> vecteur de Poynting moyen watt par mètre carré (W 1m2)

Q charge électrique coulomb (C)

R résistance ohm (0)

Î' vecteur unitaire de direction r (sphér.)

~ réluctance henry à la puissance moins l(H"1)

T période seconde (s)

v potentiel électrique · volt (V)

XII Liste des symboles

Symbole Description Unités SI

v ab différence de potentiel électrique volt (V) entre les points a et b

vm potentiel magnétique scalaire ampère-touL( A· t) (force magnétomotrice)

v vitesse mètre par seconde (m/s) w travail joule (J)

w. énergie électrique joule (J)

w. densité d'énergie électrique joule par mètre cube (J/m3)

wm énergie magnétique joule (J)

wm densité d'énergie magnétique joule par mètre cube (J/m3)

~ vecteur unitaire de direction x (carté.) A vecteur unitaire de direction y (carté.) y z vecteur unitaire de direction z (carté.)

~ constante de phase radian par mètre (rad/rn) E permittivité farad par mètre (F/m)

Er permittivité relative sans unité

Eo permittivité du vide farad par mètre (F/m) 1J impédance caractéristique ohm (0)

TJo impédance caractéristique du vide ohm (0)

ô vecteur unitaire de direction () (sphér.) )\ longueur d'onde mètre (rn)

Jl perméabilité henry par mètre (H/m)

Jlr perméabilité relative sans unité

llo perméabilité du vide henry par mètre (H/m) p vecteur unitaire de direction p (cylin.)

Pv densité de charge volumique coulomb par mètre cube (C/m3)

Ps densité de charge surfacique coulomb par mètre carré (C/m2)

Pt densité de charge linéique coulomb par mètre (C/m) [p.(t)] densité de charge retardée coulomb par mètre cube (C/m3

)

a conductivité siemens par mètre (S/m) T couple newton-mètre (N ·rn) ;p vecteur unitaire de direction cp(cyl/sph)

x. susceptibilité électrique sans unité

Xm susceptibilité magnétique sans unité

1/;. flux électrique (flux de déplacement) coulomb (C)

1/Jm flux magnétique weber (Wb) w fréquence angulaire radian par seconde (rad/s)

CHAPITRE 1

Champs électrostatiques

Le premier chapitre présente essentiellement trois techniques différentes qui permettent de calculer 1 'intensité du champ électrique à partir d'une distribution connue de charges électriques : la loi de Coulomb (équat. 1.1), la loi de Gauss (équat. 1.5) et le gradient du potentiel électrique (équat. 1.11 et 1.12). La loi de Coulomb présente l'avantage d'être très générale et de pouvoir être appliquée à n'importe quel problème, son principal inconvénient est la complexité des intégrales vectorielles qui doivent être sol~tionnées. La technique basée sur la loi de Gauss utilise des intégrales de surface très simples, mais elle ne peut être appliquée qu'à des problèmes présentant une certaine symétrie. Finalement, la technique qui consiste à calculer d'abord la distribution du potentiel électrique puis le gradient de cette. distribution possède les avantages d'être aussi générale que la loi de Coulomb et d'utiliser des intégrale~ scalaires plus simples que celles de la loi de Coulomb, mais elle comporte des inconvénients, car les intégrales sont plus complexes que celles de la loi de Gauss et elle nécessite le calcul additionnel du gradient de la distribution de potentiel.

La principale technique utilisée dans ce chapitre est basée sur la loi de Gauss. Cette approche nous permettra de mettre l'accent sur les concepts de base de l'électrostatique plutôt que sur les difficultés du calcul des intégrales ou du gradient. Nous verrons à travers les différents problèmes présentés que le calcul du champ électrique est .souvent une étape préliminaire pour le calcul du potentiel électrique, de la capacité, de la résistance, de l'énergie électrique et de la force électrostatique. Dans ces problèmes, les différents matériaux diélectriques et conducteurs sont linéaires et isotropes comme ceux utilisés dans la pratique courante; ils sont également homogènes, ce qui nous permet d'analyser plus clairement les conditions aux frontières entre deux matériaux différents. Ces conditions aux frontières constituent la base de la théorie des .images décrite au problème 1.13 et qui permet de résoudre certains problèmes qui présentent des surfaces conductrices.

Finalement, mentionnons qu'aux chapitres 2 et 3 nous étudierons une autre approche qui consiste à calculer la distribution du potentiel à partir des conditions aux frontières sans connaître la distribution des charges électriques.

2 Chapitre 1

Rappel théorique

Loi de coulomb. Dans le vide (permittivité e0 "' 8,85 x 10-12 F/m), une charge ponctuelle Q (C) située à l'origine produit une force F (N) sur la charge ponctuelle q située à r, telle que :

F"' q Q r (1.1)

Champ électrique. En un point donné, le champ électrique E (V/rn) est égal au rapport entre la force électrique s'exerçant sur la charge témoin Llq et la valeur de Llq lorsque celle-ci tend vers zéro, soit :

E "' lim _!_ Llq-0 Llq

(1.2)

Principe de superposition. Dans un milieu diélectrique linéaire et isotrope de permittivité e, le champ électrique E au point r est produit par la superposition de l'effet de chacune des charges élémentaires dq qui ont pour position r', soit :

E "' _1_ J (r - r') dq (1.3) 4rre Ir - r'l 3

où la charge élémentaire dq peut être égale à : Pt dl, Ps ds ou Pv dv, selon que l'on ait une densité de charge linéaire Pt (Cim), surfacique Ps (C/m2

), ou volumique Pv (Cim3).

Milieu diélectrique. Dans un milieu diélectrique, la densité de flux électrique D (C/m2) est

toujours égale à e0 E + P, où P est la polarisation électrique. Dans le cas plus restreint où le milieu est linéaire, homogène, isotrope et caractérisé par une permittivité e, la densité de flux électrique est définie par :

(1.4)

où e, est la permittivité relative et Xe est la susceptibilité électrique.

Loi de Gauss. Le flux électrique l/!e (C) sortant d'une surface fermée est égal à la charge électrique Q contenue à l'intérieur de cette surface. Pour une densité de flux électrique D sur une surface fermées entourant un volume V pouvant contenir une densité volumique de charge Pv, on a:

lfr "'J:D·ds"'fpdv"'Q e Js v V

(1.5)

Lorsque la disposition des charges est symétrique, il est parfois possible d'appliquer la loi de Gauss pour trouver la densité de flux électrique D. La surface s doit être soigneusement choisie de façon à ce que :

1) La densité de flux électrique soit parallèle ou perpendiculaire à chacun des éléments ds qui forment cette surface s.

Champs électrostatiques 3

2) La densité de flux électrique D ait une amplitude constante sur la surface s, ou sur chacune des parties de cette surface s.

Pour appliquer ces deux conditions, on doit tenir compte de l'effet de toutes les charges, même celles qui ne sont pas contenues à l'intérieur de la surface s. La partie de gauche de l'équation 1.5 se ramène alors à un simple calcul de surface, tandis que la partie de droite correspond à évaluer la charge Q contenue dans s. Lorsque les charges sont symétriques autour d'un point, d'une ligne ou d'un plan, on peut utiliser respectivement : une surface sphérique, une surface cylindrique ou une surface ayant la forme d'une «boîte à pilules».

Divergence. La divergence d'un champ vectoriel quelconque A dont les composantes sont continues, est définie par :

f  · ds V·A = lim

Llv-o Llv (1.6)

Première équation de Maxwell. En appliquant le théorème de la divergence (équat. 1.8) à la loi de Gauss (équat. 1.5), on obtient la première équation de Maxwell sous forme différentielle :

V· D = Pv (1.7)

Théorème de la divergence. Pour un champ vectoriel quelconque A, le théorème de la divergence s'applique à une surface fermées entourant un volume V, soit :

fs A · ds = f v V · A dv (1. 8)

Différence de potentiel. La différence de potentiel électrique (V) entre les points a et b correspond au travail (J) accompli en transportant une charge ponctuelle Q de 1 Coulomb entre ces deux points, de a à b, soit :

w Q

où dl est l'élément différentiel du vecteur déplacement.

a

-JE ·dl (1.9)

b

Champ conservatif. Le champ électrostatique E est conservatif, car le potentiel entre deux points est indépendant du parcours d'intégration entre ces deux points (équat. 1.9). Donc, pour n'importe quel parcours d'intégration fermé on a :

f E · dl = 0 (1.10)

4 Chapitre 1

Gradient. Pour les champs électrostatiques, E peut être calculé à partir du potentiel électrique lorsque ce dernier est décrit par une fonction continue V :

E = - 'V V (1.11)

Potentiel et charge. À partir des équations 1. 3 et 1. 9, nous obtenons le potentiel V en un point situé à une distance d d'une charge Q pour un milieu diélectrique de permittivité e (on considère que le potentiel est nul à l'infini) :

v = __!}_ (1.12) 4ned

Énergie électrique. Dans un volume V, l'énergie électrique We (J) est :

W = lJ E · D dv = lJ e E2 dv e 2 v 2 v

(1.13)

Courant. Le courant 1 (A) est défini comme étant la quantité de charges qui traverse une frontière par unité de temps (1 A = 1 C/s). Le vecteur densité de courant J (A/m2

) est défini comme étant le courant Lll qui traverse la surface Lls de normale n orientée selon la direction du courant, lorsque Lls tend vers zéro, soit :

J = lim Ll/ n (1.14) L1s-o Lls

Continuité du courant. Le courant quittant une surface fermée s est égal à la perte de charges par unité de temps à l'intérieur de cette surface, soit :

f f apv J·ds =- -dv

s v at 'V·J (1.15)

Conductivité. Dans un milieu conducteur linéaire et isotrope, la conductivité électrique a (S/m) relie la densité de courant et le champ électrique de la façon suivante :

J = a E (1.16)

Résistance. La résistance R (0) entre deux bornes d'un dispositif formé d'un matériau conducteur dépend de la géométrie du dispositif et de la conductivité du matériau. Selon la loi d'Ohm, la résistance est définie comme le rapport entre la tension entre les bornes et le courant y circulant, soit :

v R = -1

(1.17)

Capacité. Un condensateur est formé par deux conducteurs isolés. La capacité C (F) de ce condensateur est égale au rapport entre la charge ± Q portée par chacune des plaques et la différence de potentiel V entre celles-ci. Une autre définition implique l'énergie électrique We contenue dans le condensateur, soit :

Q __ 2We c = v y2

Champs électrostatiques 5

(1.18)

Conditions électrostatiques. Pour un conducteur dans des conditions statiques, c'est-à-dire sans déplacement de charges :

- La densité de charge est nulle à 1 'intérieur du conducteur : Pv = 0 (1.19) - Le champ électrique est nul à l'intérieur du conducteur : E.nt = 0 (1.20) - Le potentiel Vest constant partout dans le conducteur : V= ete (1.21) - S'il y a des charges excédentaires, elles sont sur la surface. (1.22) - Sur la- surface, la composante tangentielle de E est nulle : E 11 = 0 (1.23) - Sur la surface, la composante normale (intérieur vers l'extérieur)

de la densité de flux est égale à la densité de charge surfacique : D!n = Ps (1.24)

Conditions aux frontières (diélectrique-diélectrique). Sur la frontière entre deux milieux diélectriques l et 2 :

- Les composantes tangentielles des champs électriques dans les deux milieux :sont égales :

- La différence entre les composantes normales (de 1 à 2) des densités de flux électrique est égale à la densité de charge surfacique :

1.1 ÉLECTRET (Coulomb, coordonnées cylindriques)

Énoncé

Un électret produit un champ électrique permanent, tout comme un aimant produit un champ magnéti­que permanent. Une des façons de fabriquer un électret consiste à bombarder, sous vide, un mor­ceau de plastique à l'aide d'un faisceau d'électrons. Les électrons· restent piégés dans le plastique et génèrent un champ électrique permanent. Dans 1 'électret illustré à la figure 1.1, la Tégion où les électrons sont restés piégés a la forme d'un disque de rayon p = a, d'épaisseur négligeable et de densité surfacique de charge uniforme Ps· Le bloc de plastique a la même permittivité que celle du vide.

a) Trouver le champ électrique E(z) le long de l'axe du disque. b) Trouver la valeu~ de E(z) lorsque z tend vers zéro.

D!n - D2n = Ps (1.26)

Figure 1.1

6 Chapitre 1

c) Déduire le champ électrique résultant d'un plan infini ayant une densité de charge surfacique uniforme Ps·

Solution

a) On ne peut pas utiliser la loi de Gauss, car aucune surface d'intégration ne satisfait aux conditions mentionnées à l'équation 1.5. Nous utiliserons donc la loi de Coulomb (équat 1.3). À chaque élément de l'électret hors de l'axe des z, en correspond un autre diamétralement opposé qui annule la compo­sante radiale du champ électrique apporté par le premier élément de charge. Ainsi il ne reste qu'une composante enz pour le champ électrique global. Nous utilisons un système de coordonnées cylindriques pour faciliter les calculs.

pour z > 0, Ez = ;;0 (1 -

pour z < 0, E ;;o( -1 z

b)

pour z > 0, limz~o Ez

pour z < 0, 1im E z~O z

z r = (0, 0, z)

ds = p df/J dp

a

Figure 1.2

Ja2 z+ z2)

Jaz z+ z2)

Ps

2e0

-ps

2€Q

AnnexeE 119

6.12 Boucles d'émission et de réception m0 m0 w sin8 cosw(t - rfc) A

a) H = - cos8 sinw(t - rfc) r + 0 ~l 2rlc

S p 0 m0 w2 sinw(t - dfc) b) jem = _..::........;:___ ____ _ 2dlc

wm0 sin8 cos w(t - rfc) A

c) E = ~ 2lc2 r

6.13 Radiogoniomètre

a)n=--0 {3=5 A (4 3 ) ' s' s'

b) H = (7,9i - 10,6y - 13,2z) cos(108t - 4x - 3y) Afm -jem1 c) fem1 = 0,12S sin108t fem2 = -0,167 sin108t d) 4> = arctan --fem2

6.14 Onde sphérique

a) H = {J sinfJ cos(3 x 108t - pr) cÎ>

r

b) p = 1207r{J sin28cos2 (3 x 108t- {Jr) r r2