Editörler:Erhan Bingölbali

Mehmet Fatih Özmantar

MATEMATİKSELZORLUKLAR VE

ÇÖZÜM ÖNERİLERİ

İLKÖĞRETİMDE KARŞILAŞILAN

3. Baskı

Editörler:

İLKÖĞRETİMDE KARŞILAŞILAN MATEMATİKSEL ZORLUKLARVE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ

Yrd. Doç. Dr. Erhan BİNGÖLBALİYrd. Doç. Dr. Mehmet Fatih ÖZMANTAR

ISBN 978-605-4282-11-1

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© 2012, Pegem Akademi

1. Baskı: Ekim 20093. Baskı: Eylül 2012

Dizgi-Grafik Tasarım: Didem KestekKapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Tarcan Matbaası(Ankara-0312-384 34 35)

Bu kitabın basım, yayın ve satış haklarıPegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti’ye aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı, mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

Yayınevi Sertifka No: 14749Matbaa Sertifika No: 25744

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay/ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60E-ileti: pegem@pegem.net

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60

iii

KATKIDA BULUNAN YAZARLAR

Gülseren Karagöz Akar, Bogaziçi Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Anabilim Dalında öğretim üyesi olarak çalışmak-tadır. 1993- 1996 yılları arasında Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümünden lisans, 2001 yılında Amerika Birleşik Devletleri Pennsylvania State Üniversitesi Matematik Eğitimi alanında yüksek lisans ve yine aynı üniversiteden 2007 yılında Matematik Eğitimi alanında doktora derecesini al-mıştır. Matematik Eğitimi alanında çalışmalarına devam eden Karagöz Akar’ın ilgi ve çalışma alanları arasında matematik konularının kavramsal olarak anlaşılması ve kavramsal gelişimi, öğretmen eğitimi, üniversite ve lise seviyesinde matematik eği-timi, öğrenme ve öğretime yönelik farklı perspektifler özellikle ön plana çıkan alan-lardır.

Yılmaz Aksoy, Erciyes Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Đlköğretim Bölümü, Ma-tematik Eğitimi Anabilim Dalında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır. 1997 yılında Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Öğretmenliği Bölümünden li-sans, 2001 yılında Paris Descartes-Sorbonne Üniversitesi Matematik Eğitimi alanın-da yüksek lisans ve Gazi Üniversitesinden 2007 yılında Matematik Eğitimi alanında doktora derecesini almıştır. Matematik Eğitimi alanında çalışmalarına devam eden Aksoy, ilgi ve çalışma alanları arasında matematik öğretiminde teknoloji kullanımı, öğretmen eğitimi ve üniversite seviyesinde matematik eğitimi ön plana çıkan alan-lardır.

Cengiz Alacacı Bilkent Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsünde öğretim üye-sidir. Orta Doğu Teknik Üniversitesi Eğitim Fakültesi matematik öğretmenliği bölü-münden lisans, aynı alanda Amerika Birleşik Devletleri Illinois eyaleti Southern Illinois Üniversitesi’nden yüksek lisans,ve Pennsylvania eyaletindeki Pittsburgh Universitesi’nden doktora derecesini almıştır. Bilkent Üniversitesi’ne katılmadan önce Florida International Universitesi’nde öğretim üyesi olarak çalışmış ve bu ku-rumda doçentlik ünvanını almıştır. Cengiz Alacacı öğretmen eğitimi, matematik öğretiminde problem çözme, istatistik eğitimi, karşılaştırmalı matematik eğitimi alan-larında çalışmalarını sürdürmektedir.

Selahattin Arslan, 2005 yılından beri Karadeniz Teknik Üniversitesi Fatih Eğitim Fakültesi Đlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalında görev yapmaktadır. 1996 yılında Đnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi’nden matematik öğretmeni unvanı ile mezun olduktan sonra Yurtdışı Lisansüstü Eğitim (YLS) sınavını kazanarak 1999 yılında Milli Eğitim Bakanlığı tarafından resmi burslu statüde Fransa’ya gönderildi. Yüksek lisansını 2000 yılında Paris Denis Diderot Üniversitesi’nde tamamlayan ya-zar, doktorasını 2005 yılında Grenoble Joseph Fourier Üniversitesi’nde Đnformatik ve Matematik Eğitimi alanında tamamlamıştır. Yazarın ilgi alanları bilgisayar destekli matematik öğretimi, Analiz kavramlarının öğretimi ve öğretmen eğitimidir.

iv

İbrahim Bayazıt, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmenliği Bölümünden 1992 yılında mezun olduktan sonra ilk ve orta dereceli okullarda ma-tematik öğretmeni olarak görev yapmıştır. Milli Eğitim Bakanlığı yurt dışı lisansüstü eğitimi bursunu kazanan İbrahim Bayazıt 2001 yılında Leeds Üniversitesin-de/İngiltere Matematik Eğitimi alanında Yüksek Lisans ve yine aynı alanda 2005 yılında Warwick Üniversitesinde/İngiltere doktora eğitimini tamamlamıştır. Halen Erciyes Üniversitesi Eğitim Fakültesinde öğretim üyesi olarak görev yapmakta olan İbrahim Bayazit ‘sınıf içi öğretim yaklaşımlarının öğrencilerdeki matematiksel düşün-cenin gelişimi üzerindeki etkileri’ konusunda araştırmalarına devam etmektedir.

Erhan Bingölbali, Gaziantep Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölü-mü, Matematik Eğitimi Anabilim Dalında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır. 1998 yılında Uludağ Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümünden lisans, 2001 yılında İngiltere Leeds Üniversitesi Matematik Eğitimi alanında yüksek lisans ve yine aynı üniversiteden 2005 yılında Matematik Eğitimi alanında doktora derecesini almıştır. Matematik Eğitimi alanında çalışmalarına devam eden Bingölbali, ilgi ve çalışma alanları arasında öğretmen eğitimi, matematik öğretiminde teknoloji kulla-nımı, üniversite seviyesinde matematik eğitimi, öğrenme ve öğretime yönelik farklı perspektifler özellikle ön plana çıkan alanlardır.

Mine Işıksal Bostan, Orta Doğu Teknik Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğre-tim Bölümünde Öğretim Üyesi olarak çalışmaktadır. 2000 yılında ODTÜ Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmenliği bölümünden Lisans, 2002 ve 2006 yıllarında ODTÜ Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi bölümünden sırasıyla Yüksek Lisans ve Doktora derecesini almıştır. 2004 yılında misafir araştırmacı olarak The University of Georgia’da, 2007 yılında ise doktora sonrası çalışmalar yapmak üzere The State University of New York’ta bulunmuştur. Öğretmen eğitimi, Matematik öğretiminde yeni yaklaşımlar, matematik öz-yeterlik algısı ve matematik kaygısı alan-larında çalışmalarına devam etmektedir.

Abdulkadir Erdoğan, 1997 yılında Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik bölümünden mezun olmuştur. Milli Eğitim Bakanlığının yurtdışı yükse-köğretim bursu ile Fransa’da matematik eğitimi alanında 2001 yılında Claude Bernard – Lyon 1 Üniversitesinde yüksek lisansını ve 2006 yılında Denis Diderot – Paris 7 Üniversitesinde doktorasını tamamlamıştır. Erdoğan şu anda Anadolu Üni-versitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Öğretmenliği programında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır. Erdoğan’ın temel çalışma konuları arasında ma-tematikte öğrencilerin bireysel çalışmaları, içerik analizi, matematik öğretimi prog-ramlarının geliştirilmesi ve matematik kültürünün yaygınlaştırılması yer almaktadır.

v

Emel Özdemir Erdoğan, 1996 yılında Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik bölümünden mezun olmuştur. Milli Eğitim Bakanlığının yurtdışı yükse-köğretim bursu ile Fransa’da matematik eğitimi alanında 2001 yılında Claude Bernard – Lyon 1 Üniversitesinde yüksek lisansını ve 2006 yılında Denis Diderot – Paris 7 Üniversitesinde doktorasını tamamlamıştır. Şu anda Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Öğretmenliği programında öğretim üyesi olarak çalışan Özdemir Erdoğan matematik eğitiminde teknoloji kullanımı, öğretmen pratikleri ve popüler matematik konularıyla ilgilenmektedir.

Sibel Kazak, Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Ma-tematik Eğitimi Anabilim dalında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır. Matematik eğitimi alanında 1998 yılında Orta Doğu Teknik Üniversitesi'nden lisans, 2001 yılın-da Pennsylvania Eyalet Üniversitesi'nden yüksek lisans ve 2006 yılında Washington Üniversitesi'nden doktora derecelerini almıştır. Doktora sonrasında Massachusetts Üniversitesi'nde (Amherst) Profesor Cliff Konold ile birlikte “Model Chance” adlı projede çalıştı. Bu projede, 6-8. sınıflarda olasılık ve veri analizi konularının öğretil-mesinde kullanılabilinecek sınıf içi öğretim materyalleri ile bir veri analizi yazılımı olan TinkerPlots'a entegre edilen olasılık simülasyon yazılımının geliştirilmesi konula-rında çalışmalarda bulundu. Şu anda Kazak'ın istatistik eğitimi dışında başlıca yayın ve araştırma alanlarını matematik eğitimi, teknoloji destekli öğrenme, yapılandırmacı ve sosyo-kültürel öğrenme teorileri oluşturmaktadır.

Asuman Oktaç, ODTÜ Fen Bilimleri Eğitimi bölümünü bitirdikten sonra master ve doktorasını Amerika Birleşik Devletleri’nde Iowa Üniversitesi’nde Matema-tik üzerine yaptı. Doktora sonrası çalışmalarını Kanada’daki Concordia Üniversite-si’nde yürüttü. RUMEC (Üniversite düzeyi Matematik Eğitimi Araştırma grubu) üye-sidir. Halen Meksika’daki lisans üstü düzeyde bir araştırma merkezi olan Cinvestav-IPN’de araştırmacı-profesör olarak çalışan Asuman Oktaç, aynı zamanda Montre-al’deki Quebec Üniversite’sinin Matematik bölümünde de faaliyetlerini “professeure associée” olarak sürdürmektedir. Araştırma ilgi alanları lineer ve soyut cebir öğrenim ve öğretimi üzerine odaklaşmıştır. Zeki bireylerin matematik eğitimi konusu ile de ilgilenmektedir.

Mehmet Fatih Özmantar, 1998 yılında Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik bölümünden mezun olduktan sonra 2001 yılında Leeds Üniver-sitesinde yüksek lisansını ve yine aynı Üniversitede 2005 yılında matematik eğitimi alanında doktora çalışmasını tamamlamıştır. Matematik eğitimi alanında çalışmaları-na devam eden Özmantar, özellikle matematik öğrenimi ve öğretimi konularına ilgi duymaktadır. Öğrenimin kalıcılığı, öğretimin etkinliği ve bu süreçlere dahil olan sos-yal, kültürel ve tarihsel dinamikler arasındaki ilişkiler üzerine çalışmalar yapan Özmantar halen Gaziantep Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü Mate-matik Eğitimi Anabilim Dalında görev yapmaktadır.

vi

Behiye UBUZ, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Orta Öğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, Matematik Eğitimi Anabilim Dalında öğretim üyesi olarak çalışmaktadır. 1989 yılında Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Fen Bilimleri Eğitimi bölümü Matematik Eğitimi Anabilim Dalından lisans ve yine aynı üniversite ve bölümden 1991 yılında Matematik Eğitimi alanında yüksek lisans, ve 1996 yılında İngiltere Nottingham Üniversitesinden Matematik Eğitimi alanında doktora derecesini almıştır. Matematik Eğitimi alanında çalışmaları-na devam eden UBUZ, ilgi ve çalışma alanları arasında öğrenme ve öğretime yöne-lik farklı perspektifler ve yaklaşımlar, öğretmen eğitimi, ve matematik öğretimi ve öğreniminde teknoloji kullanımı özellikle ön plana çıkan alanlardır.

İsmail Özgür Zembat matematik geçmişine 1992-1996 yıllarında Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik bölümünde başlamış ve aynı Üniversitede yüksek lisansa devam etmiştir. Sonrasında MEB yurtdışı bursu kazanarak ABD’deki Pensilvanya Devlet Üniversitesi’nde doktoraya başlamıştır. 1999-2004 arasında bu üniversitede doktorasını yaparken bir yandan da ulusal bir projede araştırma asistan-lığı, öğretim görevliliği ve bulunduğu şehirdeki ilköğretim okullarında matematik öğretmenliği yapmıştır. Ağustos 2004’te yurda dönerek Hacettepe Üniversite’sinde öğretim görevlisi olarak işe başlayıp üç yıl çalıştıktan sonra 2007 Ağustos’unda Abu Dhabi’deki Birleşik Arap Emirlikleri Üniversitesi’ne yardımcı doçent ünvanıyla katıl-mış olup akademisyenliğe bu kurumda devam etmektedir. İlgi alanları; öğretmen eğitimi, öğrenci algıları, matematiksel kavramlar ve yapılandırmacılıktır.

vii

TEŞEKKÜR

Bu kitap bir yıl süren titiz bir çalışmanın neticesinde ve birçok kişinin katkı-larıyla ortaya çıkmıştır. Bunlar arasında bölüm yazarı arkadaşlarımıza, bölüm yazımlarında gösterdikleri yüksek performans, bu süreçte sergiledikleri profesyo-nel tutum ve diğer bölümler için yaptıkları hakemliklerden dolayı öncelikle te-şekkür etmek isteriz. Alanında uzman ve profesyonel böylesi bir ekip ile çalışmak bizim için büyük bir keyif oldu. Öte yandan kitapta yer alan birçok bölümü oku-yarak çeşitli tavsiye ve önemli katkılarda bulunan değerli öğretim üyesi arkadaş-larımız Yrd. Doç. Dr. Ali BOZKURT ve Yrd. Doç. Dr. Recep BİNDAK’a da yar-dımlarından dolayı teşekkür ederiz. Arş. Gör. Ökkeş ESENDEMİR’e ise bölümle-rin dizgiye hazırlığı sırasında sağladığı yardımlardan dolayı teşekkür ederiz. Son olarak bu kitabın basımını gerçekleştiren PEGEM AKADEMİ yayınevine de gös-termiş oldukları yakın işbirliği ve profesyonellikten dolayı teşekkür ederiz.

Erhan BİNGÖLBALİ

Mehmet Fatih ÖZMANTAR

ix

ÖNSÖZ

Öğrencilerin karşılaştıkları matematiksel zorluklar ve sahip oldukları kavram yanılgıları uzun bir süredir değişik ülkelerdeki matematik eğitimcilerinin ilgi oda-ğını oluşturmuştur. Bu araştırmacılar öğrencilerin matematiksel zorluklarını belir-leme, anlama, anlamlandırma ve sebeplerini ortaya koyma yönünde birçok çalışma yapmışlardır. Bununla birlikte, matematik öğreniminde karşılaşılan zor-lukların aşılması yönünde de önemli uğraşlar verilmiştir. Yapılan bu araştırma-larla değişik seviyelerdeki öğrencilerin matematiğin birçok kavramına dair ne tür öğrenme güçlükleri ile karşılaştıkları, sahip oldukları kavram yanılgılarının doğa-sının ne olduğu ve bu yanılgıların aşılması için nelerin yapılabileceği ile ilgili kapsamlı bir İngilizce literatür oluşmuştur. Birçok ülkede matematik öğrenimi ve öğretimi konusunda derin etkiler oluşturan bu literatürün, dilimize kazandırılma-sının önemine olan inancımız bu kitap çalışmasının ortaya çıkmasına yol açmış-tır.

Bu kitap çalışması, daha önce hazırladığımız “Matematiksel Kavram Yanıl-gıları ve Çözüm Önerileri” adlı kitap çalışmasının devamı niteliğindedir. Daha önceki çalışma ortaöğretim seviyesindeki kavramlar üzerine yoğunlaşırken, bu çalışmada ilköğretim seviyesinde öğretilen kavramlar ele alınmıştır. Fakat bu kitap çalışması bir çeviri mantığından çok yapılan araştırmaların bulgu ve sonuç-larının incelenmesi ve sentezlenmesi sonucu ortaya çıkmıştır. İlköğretim seviye-sinde öğretilmekte olan matematik konuları arasından seçilen kavramlar hakkın-da yapılan çalışmalar, kendi alanlarında uzman ve tecrübeli araştırmacılar tara-fından titizlikle incelenmiş ve bu kavramlara dair literatürde rapor edilen öğrenci zorlukları ve kavram yanılgıları ortaya konulmuştur. Bu kapsamda, ele alınan kavramlara dair öğrencilerin sergiledikleri algı biçimleri, bu algıların niçin bir yanılgı ya da zorluk oluşturduğu tartışılmış, söz konusu zorlukların daha rahat anlaşılması için örnekler sunulmuş ve bu zorlukları ortaya çıkaran nedenler irde-lenmiştir. Belirtilen zorlukların ve kavram yanılgılarının aşılmasına dönük her bölümde bir takım önerilere ayrıca yer verilmiştir.

“İlköğretimde Karşılaşılan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri” adlı bu kitap çalışmasıyla Türkçe matematik eğitimi literatürüne katkıda bulunmak amaçlanmıştır. Böylesi bir çalışma ile matematik eğitimcilerinin, halen hizmet vermekte olan matematik öğretmenlerinin ve öğretmen adaylarının faydalanabi-leceği bir eser oluşturarak, daha etkin bir matematik öğretiminin gerçekleşmesi-ne katkıda bulunmuş olmayı ümit etmekteyiz.

Erhan BİNGÖLBALİ ve Mehmet Fatih ÖZMANTAR

Eylül 2009, Gaziantep

x

İKİNCİ BASKI İÇİN ÖNSÖZ

“İlköğretimde karşılaşılan matematiksel zorluklar ve çözüm önerileri” isimli kitap çalışmamızın ikinci basımında siz değerli okuyucularımızla yeniden buluş-manın mutluluğunu yaşamaktayız. İlk baskısının bir yıldan daha kısa bir sürede tükenerek, ikinci baskısının yapılması böylesi bir kitaba olan ihtiyacın bir göster-gesi olduğu düşüncesindeyiz. Özellikle ilköğretim seviyesinde çeşitli matematik-sel kavramların öğrenilmesinde sıklıkla karşılaşılan zorlukları konu edinen bu çalışma, matematik eğitimi alanında akademik çalışma yapan ve konunun daha çok teorik boyutuyla ilgilenen araştırmacılara olduğu kadar uygulamanın içinde olan öğretmenlerimize de faydalı olması amaçlanarak oluşturulmuştu. Bu yüz-den de çalışmada karşılaşılan zorlukların yanı sıra bu zorlukların aşılması için çözüm önerileri de sunulmuştu.

Kitabın ilk basımından sonra, hem değişik üniversitelerimizde görev yapan ve bu kitabı lisans ve yüksek lisans seviyesinde derslerinde kullanan meslektaşla-rımızdan ve hem de ilköğretim seviyesinde öğretim yapan sınıf ve matematik öğretmenlerinden yorum ve dönütler bizlere ulaşmıştır. Bu dönütler ise kitabımı-zın ortaya çıkış amacına hizmet edecek nitelikte bir çalışma yapıldığına dair yo-rumlar içermektedir. Ülkemizde oldukça yeni ve hızla gelişen bir çalışma alanı olan matematik eğitimine böylesi bir eser ile katkıda bulunmanın sevincini tüm yazar arkadaşlarımızla birlikte yaşamaktayız. Değerli okuyucularımıza bize ver-dikleri destekler ve yapıcı yorumlarından dolayı teşekkürü bir borç biliriz.

Erhan Bingölbali ve Mehmet Fatih Özmantar

Ağustos 2010

xi

İÇİNDEKİLER

Özgeçmişler........................................................................................................................... iii Teşekkür .............................................................................................................................. vii Önsöz.................................................................................................................................... ix İçindekiler.............................................................................................................................. xi

1. Bölüm MATEMATİKSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLERİ

VE ÇÖZÜM ARAYIŞLARI (ss: 1/30)

Giriş .......................................................................................................................................1 Kavram Yanılgısı Nedir? .........................................................................................................2 Kavram Yanılgısının Türleri Söz Konusu Mudur? ....................................................................6

Aşırı Genelleme ...............................................................................................................6 Aşırı Özelleme ..................................................................................................................9

Kavram Yanılgılarının Sebepleri Neler Olabilir?.....................................................................10 Kavram Yanılgılarının Epistemolojik Nedenleri ...............................................................11 Kavram Yanılgılarının Psikolojik Nedenleri .....................................................................14 Kavram Yanılgılarının Pedagojik Nedenleri.....................................................................18

Kavram Yanılgılarını Aşmak Mümkün müdür?......................................................................20 Sonuç ve Değerlendirme .....................................................................................................27

Teşekkür ........................................................................................................................28 Kaynakça .............................................................................................................................28

2. Bölüm TOPLAMA VE ÇIKARMA KAVRAMLARININ ÖĞRETİMİ

VE ÖĞRENCİ GÜÇLÜKLERİ (ss: 31/61)

Giriş .....................................................................................................................................31 Toplama ve Çıkarma ile İlgili Problem Türleri .......................................................................33 Toplama ve Çıkarma Problemlerini Çözme Stratejileri ve Gelişimleri ....................................36 Farklı Problem Türlerinde Karşılaşılan Güçlükler...................................................................37 Çok Basamaklı Sayılarla Toplama ve Çıkarma .....................................................................39

Çok Basamaklı Sayılarda Toplama ve Çıkarmaya Geçiş .................................................39 Çok Basamaklı Sayılarda Sembolik Toplama ve Çıkarma...............................................42

Sembolik Toplama ve Çıkarma İşlemlerinde Öğrenci Hataları ve Kavram Yanılgıları.............45 Öğrenci Kavram Yanılgıları.............................................................................................45

Öğretim Programlarında Toplama ve Çıkarma .....................................................................50 Değerlendirme ve Sonuç ......................................................................................................57 Kaynakça .............................................................................................................................59

xii

3. Bölüm ÖĞRENCİLERİN KESİRLER

KONUSUNDAKİ KAVRAM YANILGILARI (ss: 63/95)

Giriş .....................................................................................................................................63 Yenilenen Müfredatta Kesirlerle İlgili Kazanımlar ............................................................65 Kesirlerde Kavram Yanılgıları ve Nedenleri ....................................................................66 Kesirin Öğretim Modelleri ..............................................................................................78

Sonuçlar ..............................................................................................................................92 Kaynakça ............................................................................................................................93 EK - Öğretmenler İçin Kesirler Konusunda İnternetteki Ücretsiz Elektronik Programlar ..........95

4. Bölüm SAYILARDA BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI VE

ÖĞRENCİLERİN YAŞADIĞI ZORLUKLAR (ss: 97/126)

Giriş .....................................................................................................................................97 Basamak Değeri Kavramı ve Kısa Tarihçesi ..........................................................................99 Basamak Değeri Kavramının Öğrencilerde Gelişimi ve Zorlukların Olası Nedenleri .............103 Basamak Değeriyle ilgili Karşılaşılan Zorluklar, Hatalar ve Kavram Yanılgıları .....................105 Basamak Değeri Kavramının Çokluk Değerine İndirgenmesi...............................................106 Rakamın Basamak ve Sayı Değerlerinin Ayırt Edilememesi ................................................108 Basamaklar Arasındaki İlişkiyi Anlama ile İlgili Güçlükler ....................................................109 Sıfırı Bir 'Yer Tutucu' Olarak Kabul Etmede Karşılaşılan Güçlükler ......................................111 10 ile Çarpmayla İlgili Güçlükler.........................................................................................112 Ondalık – Yerler Arasındaki İlişkileri Belirleme Güçlüğü......................................................113 Ondalık Sayılarda Basamak Değeri ile İlgili Güçlükler .........................................................114 Basamak Değeri Kavramı ile İlgili Karşılaşılan Zorlukları Engellemek İçin Öneriler ...............115

Gattegno Tabloları .......................................................................................................119 Basamak Değeri (Gattegno) Kartları .............................................................................121 Diğer Materyaller..........................................................................................................121

Sonuç.................................................................................................................................122 Kaynakça ...........................................................................................................................123

5. Bölüm ÖLÇME, TEMEL BİLEŞENLERİ VE SIK KARŞILAŞILAN

KAVRAM YANILGILARI (ss: 127/154)

Giriş ...................................................................................................................................127 Değişik Anlamlarıyla Ölçme ...............................................................................................127

Ölçmenin Matematiksel Yapısı......................................................................................128 Farklı Nitelikler, Birbirleriyle Olan İlişkileri ve Genel Yanılgılar ............................................130 Ölçme ile İlgili Sık Karşılaşılan Yanılgılar .............................................................................133

Alan ile İlgili Genel Algılar ve Yanılgılar ........................................................................133

xiii

Hacim ile İlgili Genel Algılar ve Yanılgılar ....................................................................137 Uzunluk ile İlgili Genel Algılar ve Yanılgılar...................................................................141 Uzunluk Niteliği ve MEB İlköğretim 1-5 Matematik Programında Ele Alınışı ...........144

Ölçmenin Yapısını Dikkate Alan Yapılandırmacı Bir Ders Örneği Önerisi ............................147 Sonuç.................................................................................................................................150 Kaynakça ...........................................................................................................................151

6. Bölüm NEGATİF SAYILARA İLİŞKİN ZORLUKLAR,

KAVRAM YANILGILARI VE BU YANILGILARIN GİDERİLMESİNE YÖNELİK ÖNERİLER

(ss: 155/186)

Giriş ...................................................................................................................................155 Negatif Sayı Nedir? ..........................................................................................................156 Negatif Sayıların Müfredattaki Yeri .....................................................................................157 Negatif Sayılara İlişkin Zorluklar ve Kavram Yanılgıları ......................................................159 Negatif Sayıların Kavramlaştırılmasına İlişkin Zorluklar........................................................159 Negatif Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemlerine İlişkin Zorluklar.....................................160 Negatif Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemlerine İlişkin Zorluklar.........................................163 Kavram Yanılgılarında Öğretmen Bilgisinin Önemi .............................................................164 Çoklu Gösterim Modellerinin Kullanılması ..........................................................................166 Negatif Sayıları Anlamlı Öğrenmeye Yönelik Yöntem ve Öneriler .......................................168 Negatif Sayıların Anlamlandırılması ...................................................................................168 Negatif Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemlerinin Anlamlandırılması ...............................171

Toplama İşlemi ............................................................................................................171 Çıkarma İşlemi .............................................................................................................172

Negatif Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemlerinin Anlamlandırılması ...................................177 Sonuç.................................................................................................................................182 Kaynakça ...........................................................................................................................183

7. Bölüm SİMETRİ KAVRAMININ ÖĞRENİM

VE ÖĞRETİMİNDE KARŞILAŞILAN ZORLUKLARIN ANALİTİK BİR YAKLAŞIMLA İNCELENMESİ

(ss: 187/215)

Giriş ...................................................................................................................................187 Simetri Kavramının Doğası .................................................................................................190 Simetri Kavramının İlköğretim Ders Programlarındaki Yeri .................................................194 Simetri Kavramının Öğreniminde Karşılaşılan Zorluklar ......................................................196 Simetri Kavramının Öğrenimini Nasıl Kolaylaştırabiliriz .......................................................203 Sonuç ve Öneriler ..............................................................................................................211 Kaynakça ...........................................................................................................................213

xiv

8. Bölüm

OLASILIK KONUSU ÖĞRENCİLERE NEDEN ZOR GELMEKTEDİR? (ss: 217/239)

Giriş ...................................................................................................................................217 Olasılıkları Tahmin Etme ve Değerlendirme ........................................................................218 Olası Durumları Belirleme ..................................................................................................222 Olasılıkla İlgili Temel Kavramları Anlama ve Uygulama.......................................................223 Olasılık Çeşitlerini ve Aralarındaki İlişkiyi Anlama ...............................................................226 Teknoloji Destekli Olasılık Öğretimi ....................................................................................228 Sonuç.................................................................................................................................237 Kaynakça ...........................................................................................................................238

9. Bölüm BİRİNCİ DERECEDEN TEK BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

İLE İLGİLİ KAVRAM YANILGILARI (ss: 241/262)

Giriş ...................................................................................................................................241 Cebirsel denklem çözümü öğrenciler için anlamlı bir etkinlik olabilir mi? .............................242 Kavram Yanılgıları ve İlgili Hataların Belirlenmesinin Faydaları...........................................244 Denklem Çözümünde Eşitlik Kavramının Önemi ve Bununla İlgili Kavram Yanılgıları .........248 Denklem Bağlamında İşlemler Arası İlişkiler ........................................................................250 Denklemlerin Yapısı ve Eşdeğer Denklemler .......................................................................251 Denklem Çözümü ve Getirdiği Zorluklar .............................................................................252 Değişken Kavramının Denklem Kavramı Üzerindeki Etkisi ..................................................255 Çözüm Önerileri .................................................................................................................256 Tartışma.............................................................................................................................258 Kaynakça ...........................................................................................................................260

10. Bölüm ORAN KONUSUNUN KAVRAMSAL ÖĞRENİMİNDE

KARŞILAŞILAN ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ (ss: 263/285)

Giriş ...................................................................................................................................263 Orantısal Düşünebilme Yeteneği.........................................................................................264 Oran ve Orantı ...................................................................................................................265

Toplamsal ve Çarpımsal İlişkilendirme Yapabilme Yeteneği..........................................266 Nitel Muhakame ve Nicel Muhakeme ...........................................................................268 Oran Kavramının İçerdiği Nitel ve Nicel (Kantatif) Muhakeme Çeşitleri .........................269 Nitel Muhakeme Çeşitleri..............................................................................................269 Nicel Muhakeme Çeşitleri .............................................................................................270 Dönüşüm (Transformasyon).........................................................................................272

Oran Kavramının Oluşturulması Sürecinde Karşılaşılabilecek Muhtemel Kavram Yanılgıları..273 Toplamsal ve Çarpımsal İlişkilendirmeyle İlgili Öğrenci Yanılgıları.................................273

xv

Kovaryasyon ve Dönüşüm ile İlgili Öğrenci Yanılgıları ..................................................274 Değişmezlik Konusundaki Yanılgılar .............................................................................276

Oran Kavramının Oluşturulmasında Karşılaşılabilecek Muhtemel Öğrenme Zorlukları .........277 Oran Konusunda Kavram Yanılgıları ve Öğrenme Zorlukları Üzerine Çözüm Önerileri ........281

Sonuç ve Değerlendirme ..............................................................................................282 Kaynakça ...........................................................................................................................283

11. Bölüm MATEMATİKSEL PROBLEMLERİN ÖĞRENİM VE ÖĞRETİMİ

(ss: 287/312)

Giriş ...................................................................................................................................287 Problem ve Problem Çözme Nedir?....................................................................................290 Problem Türleri ..................................................................................................................291 Problem Çözme Sürecinde Takip Edilen Aşamalar .............................................................294 Problem Çözme Stratejileri .................................................................................................296

Tahmin-Kontrol Stratejisi .............................................................................................296 Geriye Doğru Çalışma Stratejisi ...................................................................................297 Tümevarımcı Düşünme Stratejisi (Looking for Pattern).................................................299

Problem Çözme Konusunun Öğretimi Nasıl Yapılmalıdır?...................................................300 Üst Bilişsel Yetenek ve Problem Çözme .......................................................................305

Sonuç ve Öneriler ..............................................................................................................308 Kaynakça ..........................................................................................................................310

12. Bölüm ETKİNLİK TASARIMI VE TEMEL TASARIM PRENSİPLERİ

(ss: 313/348)

Giriş ...................................................................................................................................313 Etkinlik Nedir?....................................................................................................................314 Etkinlik (Task) Türleri .........................................................................................................317

Matematiksel objeleri sınıflandırma...............................................................................317 Farklı gösterimlerin yorumlanması ................................................................................318 Matematiksel ifadeleri değerlendirmek..........................................................................319 Öğrencinin kendi problemini oluşturması ve çözmesi ....................................................320 Çözüm ve Gerekçeleri Analiz Etme...............................................................................321 Var olan problem durumlarından genellemeler yapmak................................................321

Etkinlik Tasarım Prensipleri ................................................................................................321 Etkinliğin Amacı ...........................................................................................................323 Sınıf Yönetimi ..............................................................................................................330 Etkinliğin Birden Fazla Başlangıç Noktasına Sahip Olması ............................................333 Kullanılacak Materyaller/Araçlar ...................................................................................335 Öğretmen ve Öğrenci Rolleri ........................................................................................337 Öğrencilerin Ön Bilgileri ...............................................................................................338 Öğrenci Zorluk ve Yanılgıları ........................................................................................339 Ölçme Değerlendirme ..................................................................................................340

xvi

Uygulamada Dikkat Edilecek Bazı Noktalar ........................................................................341

Esneklik........................................................................................................................341 Öğrencilerin Dikkatlerini Yönlendirme (shift of attention)..............................................342 Alana Özgü Uygun Dil Geliştirme .................................................................................344

Sonuç.................................................................................................................................344 Teşekkür ............................................................................................................................345 Kaynakça ..........................................................................................................................345

1. Bölüm

MATEMATİKSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLERİ VE

ÇÖZÜM ARAYIŞLARI1

Erhan Bingölbali Mehmet Fatih Özmantar

Bu bölümde matematiksel kavram yanılgıları ve bu yanılgıların giderilebilmesine yönelik çözüm arayışları üzerinde durulmaktadır. Bunun için öncelikle kavram yanılgısı, hata ve zorluk terimlerinin ne anlama geldiği ve bunlar arasında ne tür bir ilişkinin söz konusu olduğu açıklanmıştır. Daha sonra kavram yanılgılarının türlerinden bahsedilmiş ve bu türler matematiğin değişik konularından seçilen kavramlarla örneklendirilmiştir. Ayrıca kavram yanılgılarını ortaya çıkaran epistemolojik, psikolojik ve pedagojik sebepler incelenmiştir. Matematiksel yanılgı ve zorlukların aşılması için öğretim sürecinde neler yapılabileceği konusunda bir değerlendirme yapılarak, bu kapsamda örnek etkinlikler sunulmuştur.

Giriş

Öğrenciler matematiği öğrenmede neden zorlanmaktadırlar? Öğrenci-ler matematik öğreniminde neden kavram yanılgısına düşmektedirler? Öğ-renciler bazı matematiksel hataları neden sistematik bir şekilde yapmakta-dırlar? Matematiksel zorlukların aşılması ve kavram yanılgılarının engel-lenmesi için neler yapılabilir?

Bu ve benzeri sorular özellikle son 40 yıldır değişik ülkelerdeki mate-matik eğitimcilerinin ilgisini çekmiş ve birçok araştırmaya yön vermiştir.

1 Bu çalışma TÜBİTAK tarafından desteklenen bir proje sonucu olarak ortaya çıkmıştır (proje numarası: 108K330).

İlköğretimde Karşılaşılan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri 2

Matematik eğitimcilerinin matematik öğreniminde karşılaşılan zorluklarla ilgili yukarıda belirtilen sorular eksenli yaptıkları araştırmalar incelendiğin-de, karşımıza birbirini tamamlayan ve kısmen de takip eden iki araştırma teması çıkmaktadır. Bunlardan birincisi problemi belirleme ve anlamlandır-ma, ikincisi ise çözüm üretme temasıdır. Matematik eğitimi literatüründe kavram-eksenli yapılan ve öğrencilerin karşılaştıkları zorlukların, kavram yanılgılarının, hataların ve bunların nedenlerinin araştırıldığı çalışmalar (örneğin kesirlerle alakalı öğrenci zorlukları, kavram yanılgıları, hataları ve bunların nedenleri) problemi belirleme ve anlamlandırma teması çalışmala-rına örnek olarak gösterilebilir. Çözüm üretme teması çerçevesinde yer alan çalışmalar ise öğrencilerin karşılaştıkları zorlukların aşılmasına yönelik ola-rak nelerin yapılabileceği konusu üzerinde durmaktadırlar. Matematik öğ-retiminde çoklu temsillerin kullanımı (cebirsel, tablo, grafik), teknolojinin öğretime entegre edilmesi, öğrenci zorlukları göz önünde bulundurularak etkinliklerin tasarlanması, öğretmen eğitimi ve mesleki gelişimine yönelik yapılan araştırmalar çözüm üretme temasına örnek gösterilebilecek çalışma-lardır.

Matematik eğitimi çalışmalarında ön plana çıkan bu iki ana tema, öğ-rencilerin matematiksel zorluklarını, kavram yanılgılarını ve hatalarını an-lamlandırmayı ve bunlar için çözüm olabilecek öneriler sunmayı amaçlayan bu bölüm yazımında rehber olarak kullanılacaktır. Bu kapsamda öncelikle matematiksel zorluk, kavram yanılgısı ve hata kavramları, kavram yanılgısı ile ilişkilendirilerek tanıtılacaktır. Daha sonra kavram yanılgısı türleri işle-necektir. Ayrıca öğrencilerin karşılaştıkları zorlukların ve kavram yanılgıla-rının nedenleri konusu ele alınacaktır. Son olarak karşılaşılan zorlukların aşılmasına yönelik çözüm olabilecek öneriler üzerinde durulacaktır.

Kavram Yanılgısı Nedir?

Matematik eğitimi literatüründe matematik öğreniminde karşılaşılan zorlukları ifade etmek için birçok değişik terimin, çoğu zaman da birbirleri-nin yerine, kullanıldığı görülmektedir. “Zorluk” (difficulty), “kavram yanıl-gısı” (misconception) ve “hata” (error) terimleri öğrencilerin matematik öğreniminde yaşadıkları güçlüklerin ifade edilmesinde en sık kullanılanlar arasında gelmektedir.

“Zorluk” kapsamlı bir kavram olup, öğrencilerin matematik öğrenimi ile ilgili yaşadıkları güçlükleri genel anlamda ifade etmek için kullanılan bir terimdir. Bu özelliğinden dolayı kavram yanılgısı ve hatayı da içeren bir kavramdır. “Zorluk” teriminin genel ve kapsayıcı bir ifade olarak kullanıl-ması kanaatimizce bu terimi öğrencilerin öğrenme güçlüklerini anlamlan-

Matematiksel Kavram Yanılgıları: Sebepleri ve Çözüm Arayışları 3

dırmada ve çözümlemede yetersiz de kılmaktadır. Zorluk teriminin bu özel-liğinden ötürü öğrencilerin karşılaştıkları güçlükler daha çok “kavram yanıl-gısı” terimi ekseninde incelenecektir. Zorluk ve hata terimlerinin anlaşılma-sını da mümkün kılacağını düşündüğümüz bu inceleme, öncelikle kavram yanılgısının ne olduğunun açıklanmasını gerekli kılmaktadır.

Mevcut literatüre bakıldığında kavram yanılgısını (misconception) ifade etmek için birçok değişik terimin kullanıldığı görülmektedir. Bunlar arasın-da “ön kavrayış” (preconceptions), “alternatif kavrayış” (alternative conceptions), “olgunlaşmamış kavrayış” (naive conceptions) terimleri örnek olarak verilebilir (Clement, 1982; Hewson ve Hewson, 1984; McCloskey, 1983; daha fazla detay için, bknz, Zembat, 2008a). Bu terimler yakından incelendiğinde iki önemli husus ön plana çıkmaktadır. Birincisi bu terimler aslında örtük de olsa uzman bilgisinden farklı olan veya bilimsel olarak ka-bul edilen bir kavrayıştan uzak olan kavrayışları ifade etmek için kullanıl-maktadır. Bu anlamda kavram yanılgısı “bir konuda uzmanların (expert) üzerinde hemfikir oldukları görüşten uzak kalan algı ya da kavrayış (conception)”olarak kullanılmaktadır (Zembat, 2008a, s.2). İkincisi husus ise Hammer’ın (1996) da belirttiği gibi “kavrayış (conception)” teriminin bu terimlerin hepsinin özünü ve esasını oluşturmasıdır. Her iki husus da aslın-da kavram yanılgısı teriminin anlaşılmasında “kavrayış” teriminin önemli rolüne işaret etmektedir.

Bu bağlamda Smith, diSessa ve Roschelle (1993, s.119) kavrayış terimi-nin kavram yanılgısının anlamlandırılmasındaki rolüne işaret etmiş ve kav-ram yanılgısını “sistematik bir şekilde hata üreten öğrenci kavrayışı” olarak tarif etmiştir. Bu açıdan, Zembat’ın da (2008b, s.42) belirttiği gibi, kavram yanılgısı “basit hatadan çok sistemli bir şekilde insanı hataya teşvik eden algı biçimidir.” Buradan da anlaşılmaktadır ki öğrencilerin sistematik olarak yaptıkları hatalar sıradan yapılan bir işlem hatasından farklı olup, kendisini ortaya çıkaran ve kontrol eden derin bir kavrayışın, bir mana sisteminin (Nesher, 1987), bir bilişsel yapının (cognitive structure) (Oliver, 1989) ya da bir kavram yanılgısının varlığına işaret etmektedir. Başka bir deyişle öğrenci-lerin yaptıkları hatalar yüzeydeki görüntü olup, bu görüntünün oluşmasını kontrol eden ve oluşmasına kaynaklık eden bir kavram yanılgısı söz konusu-dur (Nesher, 1987).

Sistemli bir şekilde insanı hataya teşvik eden bir kavrayış biçimi olarak kabul ettiğimiz kavram yanılgısının ve ayrıca hata ile olan ilişkisinin daha iyi anlaşılması için aşağıdaki örneği yakından inceleyelim. Ele alacağımız örnek öğrencilerin sıkça kavram yanılgısına sahip olduğu ve neticesinde de hatalar yaptıkları, değişik ülkelerdeki birçok araştırmacı tarafından da ortaya konu-lan, ondalık sayılara ilişkindir (Nesher, 1987).

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/CreateJDFFile false /Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice