Literaturverzeichnis

[1] Alfred V. Aho, Monica S. Lam, Ravi Sethi, and Jeffrey D. Ullman. Compilers:Principles, Techniques, and Tools (2nd Edition). Addison-Wesley LongmanPublishing Co., Inc., Boston, MA, USA, 2006.

[2] K. R. Apt, F. S. de Boer, and E.-R. Olderog. Verification of Sequential andConcurrent Programs, 3rd Edition. Texts in Computer Science. Springer-Verlag, 2009. 502 pp, ISBN 978-1-84882-744-8.

[3] Adnan Aziz, Amit Prakash, and Tsung-Hsien Lee. Elements of ProgrammingInterviews: 300 Questions and Solutions. CreateSpace Independent PublishingPlatform, USA, 1st edition, 2012.

[4] Bernhard Beckert, Reiner Hähnle, and Peter H. Schmitt. Verification of object-oriented software: The KeY approach. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,2007.

[5] Alan Bundy, Robert S. Boyer, Deepak Kapur, and ChristophWalther. Automation of proof by mathematical induction. Re-port of the Dagstuhl seminar 30/95, 1995. Available viahttp://www.dagstuhl.de/Reports/95/9530.pdf.

[6] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein. Introduction toAlgorithms. The MIT Press, 3rd edition, 2009.

[7] E. Allen Emerson. Temporal and modal logic. In Handbook Of TheoreticalComputer Science, pages 995–1072. Elsevier, 1995.

[8] Nissim Francez. Program verification. International computer science series.Addison-Wesley, 1992.

[9] Carla P. Gomes, Henry Kautz, Ashish Sabharwal, and Bart Selman. Chapter2 satisfiability solvers. In Vladimir Lifschitz Frank van Harmelen and BrucePorter, editors, Handbook of Knowledge Representation, volume 3 of Founda-tions of Artificial Intelligence, pages 89 – 134. Elsevier, 2008.

[10] George Grätzer. General Lattice Theory. Birkhäuser Verlag, 2. edition, 1998.[11] Markus H. Gross. Visual computing - the integration of computer graphics,

visual perception and imaging. Computer graphics: systems and applications.Springer, 1994.

159

B. Steffen, O. Rüthing, M. Isberner, Grundlagen der höheren Informatik, eXamen.press, DOI 10.1007/978-3-642-40146-6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014

160

[12] John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman. Introduction toAutomata Theory, Languages, and Computation – International Edition (2.ed). Addison-Wesley, 2003.

[13] Michael Huth and Mark Dermot Ryan. Logic in computer science - modellingand reasoning about systems (2. ed.). Cambridge University Press, 2004.

[14] R.B. Jensen. Modelle der Mengenlehre: Widerspruchsfreiheit und Unabhän-gigkeit der Kontinuum-Hypothese und des Auswahlaxioms. Lecture Notes inMathematics. Springer-Verlag, 1967.

[15] Martin Kreuzer and Stefan Kühling. Logik für Informatiker. Pearson Studium,2006.

[16] Tiziana Margaria and Bernhard Steffen. Simplicity as a driver for agile inno-vation. IEEE Computer, 43(6):90–92, 2010.

[17] Markus Müller-Olm, David A. Schmidt, and Bernhard Steffen. Model-checking: A tutorial introduction. In Agostino Cortesi and Gilberto Filé, edi-tors, SAS, volume 1694 of Lecture Notes in Computer Science, pages 330–354.Springer, 1999.

[18] Anil Nerode and Richard A. Shore. Logic for Applications (2. ed.). GraduateTexts in Computer Science. Springer-Verlag, 1997.

[19] Hanne Riis Nielson and Flemming Nielson. Semantics with applications: aformal introduction. John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, USA, 1992. Freepreprint available via www.daimi.au.dk/~bra8130/Wiley_book/wiley.html.

[20] Ernst-Rüdiger Olderog and Bernhard Steffen. Formale Semantik und Pro-grammverifikation. In Peter Rechenberg and Gustav Pomberger, editor,Informatik-Handbuch, pages 143–163. Carl-Hanser-Verlag, 2 edition, 1999.

[21] Gordon D Plotkin. A Structural Approach to Operational Semantics. Technicalreport, DAIMI Aarhus University, Denmark, 1981.

[22] Douglas R. Hofstadter. Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band.Klett-Cotta, 10 edition, 1987. Aus dem Amerikanischen übersetzt von PhilippWolf-Windegg und Hermann Feuersee unter Mitwirkung von Werner Alexi,Roland Jonkers und Günter Jung.

[23] R. L. Rivest, A. Shamir, and L. Adleman. A method for obtaining digital signa-tures and public-key cryptosystems. Commun. ACM, 21(2):120–126, February1978.

[24] Joseph E. Stoy. Denotational Semantics: The Scott-Strachey Approach to Pro-gramming Language Theory. MIT Press, Cambridge, MA, USA, 1977.

[25] Gerald Teschl and Susanne Teschl. Mathematik für Informatiker. Diskrete Ma-thematik und Lineare Algebra. Springer-Verlag, 2010.

[26] W. F. Truszkowski, M. G. Hinchey, J. L. Rash, and C. A. Rouff. Autonomousand Autonomic Systems: A Paradigm for Future Space Exploration Missions.IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part C: Applicationsand Reviews, 36:279–291, 2006.

Literaturverzeichnis

Lösungen der Aufgaben

Aufgaben zu Kapitel 2

2.1 Wahrheitstafeln

1. Die Aussagen (a) - (d) lassen sich folgendermaßen ausdrücken:

a) D ≡d f C ⇒A

b) E ≡d f ¬(B∧C )

c) F ≡d f A ∨C

d) G ≡d f A ⇔B

2. Die Gesamtaussage ist dann die Konjunktion der Aussagen (a) - (d), d.h. dieFormel D ∧E ∧F ∧G . Es ergibt sich folgende Wahrheitstafel:

A B C D E F G D ∧E ∧F ∧G

f f f w w f w ff f w f w w w ff w f w w f f fw f f w w w f ff w w f f w f fw f w w w w f fw w f w w w w ww w w w f w w f

Also schreiben Alex und Bea am Ersttermin mit, während Chris den Zweitterminabwartet.

161

162 Lösungen der Aufgaben

2.2 Axiomatisches Beweisen

¬(A ∧

(B∨¬(C ∨¬A )

))≡ ¬A ∨¬

(B∨¬(C ∨¬A )

)(De Morgan)

≡ ¬A ∨(¬B∧¬¬(C ∨¬A )

)(De Morgan)

≡ ¬A ∨(¬B∧ (C ∨¬A )

)(Doppelnegation)

≡ ¬A ∨((¬B∧C )∨ (¬B∧¬A )

)(Distributivität)

≡ ¬A ∨((¬B∧¬A )∨ (¬B∧C )

)(Kommutativität)

≡(¬A ∨ (¬B∧¬A )

)∨ (¬B∧C ) (Assoziativität)

≡(¬A ∨ (¬A ∧¬B)

)∨ (¬B∧C ) (Kommutativität)

≡ ¬A ∨ (¬B∧C ) (Absorption)

≡(A ⇒ (¬B∧C )

)(Def. Implikation)

2.3 Semantisches Beweisen

A\(B∪C)

= {x | x ∈ A ∧ x /∈ (B∪C)} (Def. \ )

= {x | x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B∪C)} (Def. /∈ )

= {x | x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈C)} (Def. ∪ )

= {x | x ∈ A ∧ (¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈C))} (De Morgan)

= {x | x ∈ A ∧(x /∈ B ∧ x /∈C

)} ( Def. /∈ )

= {x | (x ∈ A ∧ x ∈ A) ∧ (x /∈ B ∧ x /∈C)} (Idempotenz)

= {x |(x ∈ A ∧ (x ∈ A ∧ x /∈ B)

)∧ x /∈C} (Assoziativität)

= {x |(x ∈ A ∧ (x /∈ B ∧ x ∈ A)

)∧ x /∈C} (Kommutativität)

= {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ x /∈C)} (Assoziativität)

= {x | x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C} (Def. \ )

= (A\B) ∩ (A\C) (Def. ∩ )

Lösungen der Aufgaben 163

2.4 Prädikatenlogik

Analog zur Definition des größten gemeinsamen Teilers stützen wir das Hauptprä-dikat auf weitere Hilfsprädikate (siehe Seite 25). Die Goldbachsche Vermutung liestsich dann als:

∀n ∈ N.((n > 2 ∧ ∃k ∈ N. n = 2k)

⇒∃ p,q ∈ N. n = p+q ∧ IsPrim(p) ∧ IsPrim(q)).

Dabei ist das Pädikat IsPrim definiert durch:

IsPrim(n) =df n 6= 1 ∧ ∀k ∈ N. (k | n ⇒ k = 1 ∨ k = n)

und die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen definiert wie auf Seite 25:

n|m =df ∃k ∈ N. n · k = m.

Aufgaben zu Kapitel 3

3.1 Äquivalenzrelationen

Die ersten beiden Punkte sind bereits im Text weitgehend beantwortet und der ent-sprechende Beweis auch zumindest skizziert (siehe Ende Abschnitt 3.3). An dieserStelle argumentieren wir daher ganz genau. Der dritte Punkt, das Relationenproduktvon Äquivalenzrelationen, ist neu.

1. Es ist R∩ S = {(u,v) ∈ A×A | (u,v) ∈ R ∧ (u,v) ∈ S}. Wir zeigen, dass R∩ Seine Äquivalenzrelation ist:

• R∩S ist reflexiv. Für beliebiges a ∈ A gilt:

(a,a) ∈ R ∧ (a,a) ∈ S (da R und S reflexiv)⇒ (a,a) ∈ R∩S (nach Definition von R∩S)

• R∩S ist symmetrisch. Für beliebige a,b ∈ A gilt:

(a,b) ∈ R∩S⇔ (a,b) ∈ R ∧ (a,b) ∈ S (nach Definition von R∩S)⇒ (b,a) ∈ R ∧ (b,a) ∈ S (da R und S symmetrisch)⇒ (b,a) ∈ R∩S (nach Definition von R∩S)

164 Lösungen der Aufgaben

• R∩S ist transitiv. Für beliebige a,b,c ∈ A gilt:

(a,b) ,(b,c) ∈ R∩S⇔ (a,b) ,(b,c) ∈ R ∧ (a,b) ,(b,c) ∈ S(nach Definition von R∩S)

⇒ (a,c) ∈ R ∧ (a,c) ∈ S (Transitivität von R und S)⇒ (a,c) ∈ R∩S (nach Definition von R∩S)

2. Nach Definition gilt R∪ S = {(u,v) ∈ A×A | (u,v) ∈ R ∨ (u,v) ∈ S}. Wir zei-gen durch die Angabe eines Gegenbeispiels, dass R∪ S im Allgemeinen keineÄquivalenzrelation ist. Seien also

A = {a,b,c}R = {(a,a) ,(a,b) ,(b,a) ,(b,b) ,(c,c)} undS = {(a,a)(b,b) ,(b,c) ,(c,b) ,(c,c)} .

Dann sind die Relationen R und S offensichtlich reflexiv, symmetrisch und tran-sitiv und es gilt:

R∪S = {(a,a) ,(a,b) ,(b,a) ,(b,b) ,(b,c) ,(c,b) ,(c,c)} .

Wie angekündigt ist R∪S nicht transitiv, da sowohl (a,b) als auch (b,c) in R∪Sliegen, nicht aber (a,c).

3. Das Gegenbeispiel aus Teil 2 ist auch geeignet zu zeigen, dass die Produktrelati-on R�S keine Äquivalenzrelation ist. Es ist nämlich R�S = (A×A)\{(c,a)}.Damit ist aber R�S nicht symmetrisch, denn es liegt (a,c) in R�S , nicht aber(c,a).

3.2 ε-äquivalente Funktionen

Bei ∼ε handelt es sich um keine Äquivalenzrelation, da die Transitivität verletzt ist.Wir wählen, für ein gegebenes ε > 0, Funktionen f ,g,h wie folgt:

f : R→ R,x 7→ x

g : R→ R,x 7→ x+ ε

h : R→ R,x 7→ x+2 · ε

Es gilt zwar die Reflexivität und die Symmetrie, jedoch folgt aus f ∼ε g und g∼ε hnicht f ∼ε h, da

∀x ∈ R. | f (x)−h(x)|= 2 · ε > ε.

Tatsächlich haben wir damit mehr bewiesen, als eigentlich nötig: Für die Widerle-gung der Allaussage in der Definition von∼ε hätte es genügt, anstelle der etabliertenAllaussage die Existenz eines solchen x ∈ R nachzuweisen.

Lösungen der Aufgaben 165

Beachte: Voraussetzung dafür, dass die Allaussage wirklich stärker als die zuge-hörige Existenzaussage ist, erfordert, dass die Menge R nicht leer ist. Die Vernach-lässigung dieser (hier gegebenen) Randbedingung ist ein typischer Fehler.

3.3 Widerspruchsbeweis

Angenommen es gelte√

2 = nm für geeignete n,m ∈ N, wobei der Bruch n

m so weit

wie möglich gekürzt sei. Dann gilt 2 = n2

m2 , also auch

2 ·m2 = n2. (∗)

Da 2 ·m2 eine gerade Zahl ist, so ist auch n2 eine gerade Zahl. Damit ist auch nselbst gerade, etwa n = 2 · k mit geeignetem k ∈ N. Aus Gleichung (*) folgt dann:

2 ·m2 = (2 · k)2 = 4 · k2.

Also gilt m2 = 2 · k2. Analog wie für n folgern wir, dass auch m gerade sein muss,was aber im Widerspruch zur Annahme steht, dass n

m maximal gekürzt ist.

3.4 Eigenschaften von Funktionen

1. f1 ist injektiv. Es gilt

f1 (x) = f1 (y)⇒ 1+ x = 1+ y

⇒ x = y.

f1 ist auch surjektiv. Für beliebiges z ∈ Z gilt f1(z−1) = 1+(z−1) = z.

2. f2 ist nicht injektiv. Wählt man z.B. x = −1 und y = 1, dann gilt x 6= y, aberf2 (x) = 1+(−1)2 = 2 = 1+12 = f2 (y).

f2 ist nicht surjektiv. Zu 0 ∈ Z existiert kein z ∈ Z mit f2(z) = 1+ z2 = 0.

3. f3 ist injektiv. Es gilt

f3 (x) = f3 (y)⇒ 1+ x3 = 1+ y3

⇒ x3 = y3

⇒ x = y.

f3 ist nicht surjektiv. So existiert z.B. kein z ∈ Z mit f3(z) = 1+ z3 = 3, da esandernfalls eine ganzzahlige Lösung der Gleichung z3 = 2 geben müsste. EineLösung von z3 = 2 muss aber zwingend echt größter als 1 und echt kleiner als 2sein und ist folglich nicht ganzzahlig.

166 Lösungen der Aufgaben

4. f4 ist nicht injektiv. Wählt man z.B. x =−1 und y = 0, dann gilt x 6= y, aber

f4 (x) = 1+(−1)2 +(−1)3 = 1 = 1+02 +03 = f4 (y) .

f4 ist nicht surjektiv. Es genügt hierfür zu zeigen, dass beispielsweise kein z ∈ Zexistiert mit f4(z) = 1+ z2 + z3 = 2. Nach einfacher Umformung ist das gleich-bedeutend damit, dass die Gleichung z2 (1+ z) = 1 keine ganzzahlige Lösungbesitzt. Dies wiederum lässt sich leicht mit Hilfe des unten aufgeführten Hilfs-satzes begründen: Wegen der Kommutativität von · gelten für eine ganzzahligeLösung von z2 (1+ z) = 1 sowohl |z2| = 1 als auch |1+ z| = 1 . Diese bei-den Gleichungen sind aber nicht simultan erfüllbar, da die zweite Gleichung fürkeine der beiden Lösungen der ersten Gleichung erfüllt ist.

Hilfssatz: ∀n, m ∈ Z. |n ·m|= 1 ⇒ |n|= 1.

Beweis: Sei also |n ·m| = |n| · |m| = 1 (die erste Gleichung lässt sich leichtdurch eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen von n und m nachvollzie-hen). Offensichtlich ist n 6= 0 (sonst wäre n ·m = 0). Also existiert ein n′ ∈N mit|n|= n′+1 und damit nach Definition der ≤-Ordnung auch 1≤ |n|.Offensichtlich ist aber auch m 6= 0. Also existiert ein m′ ∈Nmit |m|= m′+1 undes gilt

|n ·m| = |n| · |m| = |n| · |(m′+1)| (Distr.)= |n| ·m′+ |n| (Komm.)

= |n|+ |n| ·m′ = 1

und damit wegen m′ ∈ N auch |n| ≤ 1.Fassen wir zusammen, so gilt 1≤ |n| und |n| ≤ 1, also wegen der Antisymmetrieder ≤-Ordnung wie gewünscht |n|= 1.

3.5 Beweis durch Kontraposition

Wir beweisen die Aussage durch Kontraposition, indem wir zeigen:

B 6=C ⇒ A∆ B 6= A∆ C.

Seien also B und C zwei verschiedene Mengen. Dann gibt es o.B.d.A. ein Elementx ∈ B\C. Es genügt nun zwei Fälle zu unterscheiden:

• x ∈ A : Dann gilt also x ∈ A, x ∈ B und x /∈ C. Also gilt x ∈ A∩ B, folglichx /∈ A∆ B. Andererseits gilt x ∈ A∪C und x /∈ A∩C, folglich x ∈ A∆ C. Alsohaben wir A∆ B 6= A∆ C.

• x /∈ A : Dann gilt also x /∈ A, x ∈ B und x /∈C. Also gilt x ∈ A∪B und x /∈ A∩B,folglich x ∈ A∆ B. Andererseits gilt x /∈ A∪C, folglich x /∈ A∆ C. Also haben wirA∆ B 6= A∆ C.

Lösungen der Aufgaben 167

3.6 Eigenschaften von Funktionen

Wegen der symmetrischen Rollen von f und g genügt es, die Bijektivität von f zuzeigen sowie die Eigenschaft, dass g Umkehrfunktion von f ist.

Wir zeigen zunächst die Injektivität von f . Seien also a,a′ ∈ A. Dann gilt:

f (a) = f (a′)⇒ g( f (a)) = g( f (a′)) (g ist Funktion)

⇒ (g◦ f )(a) = (g◦ f )(a′) (Def. ◦)

⇒ idA(a) = idA(a′) (g◦ f = idA)

⇒ a = a′ (Def. idA)

Für die Surjektivität haben wir zu zeigen, dass jedes b ∈ B ein Urbild a ∈ A besitzt.Sei also b ∈ B. Setzen wir nun a =df g(b), dann gilt wie gewünscht:

f (a)(Def. a)= f (g(b)) = ( f ◦g)(b)

( f◦g=idB)= idB(b) = b

Schließlich zeigen wir noch, dass g Umkehrfunktion von f ist, also f−1 = g gilt.Seien a ∈ A, b ∈ B. Dann gilt:

f (a) = b⇒ g( f (a)) = g(b) (g ist Funktion)

⇒ (g◦ f )(a) = g(b) (Def. ◦)

⇒ idA(a) = g(b) (g◦ f = idA)

⇒ a = g(b) (Def. idA)

⇒ f−1(b) = g(b) (Def. f−1)

3.7 Mächtigkeit von MengenNach Definition ist hier eine Bijektion h : Q×Q→ N zu etablieren. Mittels Diago-nalisierung wurde bereits die Gleichmächtigkeit von N und N×N sowie von N undQ gezeigt. Es existieren also bijektive Abbildungen f : N×N→ N und g : Q→ N.Die gesuchte Bijektion h erhalten wir daher einfach durch folgende definierendeGleichung h(q1,q2) =df f (g(q1),g(q2)).

Aufgaben zu Kapitel 4

4.1 Induktives Definieren

Die Exponentiation natürlicher Zahlen ist induktiv definiert durch

n0 =d f 1

ns(m) =d f n ·nm

168 Lösungen der Aufgaben

4.2 Induktives Definieren

Es bezeichne π(n,k) die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge M, diegenau k Elemente besitzt. Elemente der Partition sind hier natürlich die Partitions-klassen, also selbst Mengen. Offensichtlich gibt es für die Randfälle k = 1 und k = njeweils nur eine triviale Partition: Im ersten Fall nämlich die Partition {M} und imzweiten Fall die Partition, deren Partitionsklassen alle einelementig sind.

Für 1 < k < n wählen wir ein beliebiges Element m ∈ M aus. Offensichtlich hatdie Menge M\{m} dann n− 1 Elemente und die k-elementigen Partitionen von Mhaben folgende Gestalt:

• {m} ist Partitionsklasse. Dann bilden die restlichen k− 1 Partitionsklassen einePartition auf M\{m}.

• m gehört zu einer Partitionsklasse, die auch Elemente aus M\{m} enthält. Dannwird durch die k-elementige Partition auf M auch eine k-elementige Partition aufM\{m} induziert (durch Entfernen von m aus seiner Partitionsklasse). Umge-kehrt können wir für eine Partition auf M\{m} das Element m zu jeder beliebigenPartitionsklasse hinzufügen.

Fassen wir diese Überlegungen zusammen, so kommen wir zu folgender induktiverDefinition:

π(n,k) =d f

{1 falls k = 1 oder k = nπ(n−1,k−1)+ k ·π(n−1,k) sonst

Ein formaler Beweis für die Richtigkeit dieser Definition ist Inhalt der letztenÜbungsaufgabe dieses Bandes.

4.3 Syntaktische Substitution((X ∨ Y ) ∧

((¬X) ∨ Z

))[F/X

]=((X ∨ Y )[F/X ] ∧

((¬X) ∨ Z

)[F/X ]

)=((X [F/X ] ∨ Y [F/X ]) ∧

((¬X) ∨ Z

)[F/X ]

)=((X [F/X ] ∨ Y [F/X ]) ∧

((¬X)[F/X ] ∨ Z[F/X ]

))=((X [F/X ] ∨ Y [F/X ]) ∧

(¬X [F/X ] ∨ Z[F/X ]

))=((F ∨ Y [F/X ]) ∧

(¬X [F/X ] ∨ Z[F/X ]

))=((F ∨ Y ) ∧

(¬X [F/X ] ∨ Z[F/X ]

))=((F ∨ Y ) ∧

(¬F ∨ Z[F/X ]

))=((F ∨ Y ) ∧

(¬F ∨ Z

))

Lösungen der Aufgaben 169

Der resultierende Ausdruck ist semantisch äquivalent zu Y , denn((F ∨ Y ) ∧

(¬F ∨ Z

))≡ Y ∧ (¬F ∨ Z) (Neutralität)

≡ Y ∧ (T ∨ Z) (*)

≡ Y ∧ T (**)

≡ T ∧ Y (Kommutativität)

≡ Y (Neutralität)Hinter (*) steht das Gesetz ¬F ≡ T. Dieses folgt sofort mittels einer trivialen Wahr-heitstafel. Selbiges gilt auch für das Gesetz (**), sprich T ∨ A ≡ T.

4.4 Darstellung und deren Bedeutung

1. Arithmetische Terme lassen sich durch folgende BNF beschreiben:

<AT> ::= <DezimalZahl>| −<AT>| (<AT>+<AT>) | (<AT>∗<AT>)

2. [[ · ]]AT : AT → Z ist induktiv definiert durch:

[[w ]]AT =d f [[w ]]d[[ −a ]]AT =d f inv([[a ]]AT )

[[ (a1 +a2) ]]AT =d f add([[a1 ]]AT , [[a2 ]]AT )

[[ (a1 ∗a2) ]]AT =d f mul([[a1 ]]AT , [[a2 ]]AT )

Hierbei sind die semantischen Operationen inv : Z→ Z, add : Z×Z→ Z undmul : Z×Z → Z wie folgt definiert: add(i, j) = i + j, mul(i, j) = i · j sowieinv(i) =−i für alle i, j ∈ Z.1

3. Die schrittweise Auswertung der in der vorigen Teilaufgabe definierten Seman-tikfunktion [[ · ]]AT liefert die folgende Gleichungskette:

1 Wir verwenden hier diese Notation um explizit zwischen den Operatoren auf Seiten der Syntaxund den ganzzahligen Operationen auf Seiten der Semantik zu unterscheiden. In der Mathematikist eine Verwendung gleicher Symbole (z.B. + statt add) üblich.

170 Lösungen der Aufgaben

[[ (((−12+5)∗ (56+−6))∗−−3) ]]AT

= mul([[ ((−12+5)∗ (56+−6)) ]]AT , [[ −−3 ]]AT )

= mul(mul([[ (−12+5) ]]AT , [[ (56+−6)) ]]AT , inv([[−3 ]]AT ))

= mul(mul(add([[ −12 ]]AT , [[5 ]]AT ),add([[56 ]]AT , [[ −6 ]]AT ), inv(inv([[3 ]]AT )))

= mul(mul(add(inv([[12 ]]AT ), [[5 ]]AT )),add([[56 ]]AT , inv([[6 ]]AT ), inv(inv([[3 ]]AT )))

= mul(mul(add(inv(12),5),add(56, inv(6)), inv(inv(3))= mul(mul(add(−12,5),add(56,−6), inv(−3))= mul(mul(−7,50), inv(−3))= mul(−350,3)= −1050

Aufgaben zu Kapitel 5

5.1 Quasiordnungen, partielle Ordnungen

1. Wir weisen die drei Eigenschaften einer partiellen Ordnung nach.

• Reflexivität: ∀n ∈ N : n|n, denn n ·1 = n.

• Antisymmetrie: Sei n|m und m|n. Dann existieren k1,k2 ∈ N mit

n · k1 = m und (1)m · k2 = n (2)

Für n = 0 folgt aus (1) sofort m = 0 und für m = 0 folgt aus (2) sofort n = 0.Also gilt in diesen beiden Fällen insbesondere n = m. Wir können also imFolgenden davon ausgehen, dass n und m von 0 verschieden sind. Setzen wirnun (1) in (2) ein, so erhalten wir (n · k1) · k2 = n und damit:

(n · k1) · k2 = n⇒ n · (k1 · k2) = n (Assoziativität)

⇒ (k1 · k2) ·n = 1 ·n (Kommutativität, Neutralität)

⇒ (k1 · k2) = 1 (Rechtskürzungsregel)

⇒ k1 = 1 (Hilfssatz von Seite 166)

Zusammen mit (1) folgt damit auch hier wie gewünscht n = m.

Lösungen der Aufgaben 171

• Transitivität: Sei n|m und m|p. Dann existieren k1,k2 ∈ N mit

n · k1 = m und (3)m · k2 = p (4)

Durch Einsetzen von (3) in (4) erhalten wir (n · k1) · k2 = p und damit wegender Assoziativität der Multiplikation auch n · (k1 · k2) = p. Setzen wir nunk =df k1 · k2 folgt n · k = p und damit nach Definition wie gewünscht n|p.

2. Wie schon in Abschnitt 5.1.2 gezeigt, verletzt die Teilbarkeit ganzer Zahlen dieAntisymmetrie. Die Beweise für die Reflexivität und Antisymmetrie bleiben abergültig. Also liegt eine Quasiordnung vor.

5.2 Noethersche Induktion

1. Wie in Aufgabe 5.1 nachgewiesen, ist die Teilbarkeit auf natürlichen Zahlen einepartielle Ordnung. Es bleibt damit zu zeigen, dass diese auch Noethersch ist.Sei also A eine beliebige nichtleere Teilmenge von N. Dann müssen wir zeigen,dass A ein |-minimales Element besitzt.Ist A = {0}, dann ist 0 ein minimales Element von A. Wir können also davon aus-gehen, dass A wenigstens ein von 0 verschiedenes Element besitzt. Da N bzgl. <total geordnet ist, gibt es ein bzgl. < kleinstes Element n in A\{0}. Im Folgendenwerden wir zeigen, dass n minimal in A bezüglich der Teilbarkeit ist, womit dieExistenz mindestens eines |-minimalen Elements in A nachgewiesen ist.Sei also m ∈ A mit m | n. Dann existiert ein k ∈ N mit m · k = n. Mit n sind auchk und m von 0 verschieden. Außerdem gibt es wegen der ≤-Minimalität von nin A ein k1 mit m = n+ k1 und wegen k 6= 0 ein k2 mit k = 1+ k2. Fassen wirzusammen, so folgt:

n = m · k = (n+ k1) · (1+ k2) = n+ k1· k2 + k1 +n · k2

Diese Gleichung erzwingt, dass die drei rechten Summanden alle 0 sind. Da naber von 0 verschieden ist, folgt unmittelbar, dass k1 und k2 beide 0 sein müssen,womit insbesondere gezeigt ist, dass n = m gilt, also dass n keinen echten Teilerin a besitzt und damit |-minimal ist.

2. Für n ∈ N sei die Aussage A (n) wie folgt definiert:

A (n) =d f ∃m, k ∈ N. n = 2k ·m ∧ m ungerade.

Wir zeigen die Gültigkeit von A (n) für alle n≥ 1 mittels Noetherscher Induktionüber die Teilbarkeitsbeziehung. Sei also n≥ 1. Weiter gelte A (m) für alle echtenTeiler m von n. Dann genügt es die folgenden vier Fälle zu betrachten:

Fall 1: n = 1. In diesem Fall gilt n = 20 ·1, also auch A (1).

172 Lösungen der Aufgaben

Fall 2: n = 2. In diesem Fall gilt n = 21 ·1, also auch A (2).

Fall 3: n ist eine Primzahl ungleich 2. In diesem Fall ist n insbesondere unge-rade und es gilt n = 20 ·n. Also ist auch hier A (n) erfüllt.

Fall 4: Sonstiges: In diesem Fall ist n das Produkt zweier Zahlen 1 < a < nund 1 < b < n. Gemäß Induktionsvoraussetzung existieren damit natürlicheZahlen mit k1,k2,m1,m2, so dass

a = 2k1 ·m1

b = 2k2 ·m2

wobei sowohl m1 als auch m2 ungerade sind. Zusammenfassend gilt also:

n = a ·b = (2k1 ·m1) · (2k2 ·m2) = (2k1 ·2k2) · (m1 ·m2) = 2k1+k2 · (m1 ·m2)

und damit A (n), da das Produkt ungerader Zahlen auch ungerade ist.

5.3 Verallgemeinerte Induktion

Für den verallgemeinerten Induktionsbeweis sei n ∈ N und es gelte die Behauptungfür alle natürlichen Zahlen m mit m < n. Im Falle n < 8 ist nichts zu zeigen. Seialso n≥ 8. Dann betrachten wir die folgenden vier Fälle, von denen die ersten dreials „Induktionsanfänge“ und der vierte als „Induktionsschluss“ angesehen werdenkönnen:

Fall 1: n = 8. Hier gilt 8 = 3+5.

Fall 2: n = 9. Hier gilt 9 = 3+3+3.

Fall 3: n = 10. Hier gilt 10 = 5+5.

Fall 4: n ≥ 11. Nach Induktionsvoraussetzung kann n− 3 dann als Summe von3en und 5en dargestellt werden. Durch Addition einer weiteren 3 gilt dies dannauch wie gewünscht für n.

5.4 Strukturelle Induktion

Wir führen den Beweis mittels struktureller Induktion über den Aufbau von t. Seit ∈BT und die Behauptung für alle echten Teilterme von t bereits bewiesen. Dannunterscheiden wir folgende Fälle:

t ∈ {T,F} : In diesem Fall gilt die Behauptung trivialerweise.

t = X ∈ V : Da t als variablenfrei vorausgesetzt ist, kann dieser Fall nicht eintre-ten. Hier ist also nichts zu zeigen.

t = ¬t1 : Nach Induktionsvoraussetzung ist t1 semantisch äquivalent zu einerKonstanten c aus {T,F}. Folglich gilt:

Lösungen der Aufgaben 173

[[ t ]]B(β )Def. t= [[¬t1 ]]B(β )

Def. [[ ]]B= ¬̇[[ t1 ]]B(β )IV= ¬̇[[c ]]B(β )

ci konstant= ¬̇[[c ]]B

Also wertet t unabhängig von einer Belegung β zu w oder f aus und ist somitwie gewünscht semantisch äquivalent zu T oder F.

t = (t1 ∧ t2) : Nach Induktionsvoraussetzung sind t1 und t2 semantisch äquivalentzu konstanten Termen c1 und c2 aus {T,F}. Folglich gilt:

[[ t ]]B(β )Def. t= [[(t1 ∧ t2) ]]B(β )

Def. [[ ]]B= [[ t1 ]]B(β ) ∧̇ [[ t2 ]]B(β )IV= [[c1 ]]B(β ) ∧̇ [[c2 ]]B(β )

ci konstant= [[c1 ]]B ∧̇ [[c2 ]]B

Also wertet t unabhängig von einer Belegung β zu w oder f aus und ist somitwie gewünscht semantisch äquivalent zu T oder F.

t = (t1 ∨ t2) : Analog zu (t1 ∧ t2).

5.5 Vollständige Induktion

Induktionsbeginn: Für n = 0 haben wir:

0

∑i=0

(fib(i))2 = (fib(0))2 = 02 = 0 = 0 ·1 = fib(0) · f ib(1)

Induktionsschluss: Sei die Behauptung bewiesen für ein beliebiges, aber festesn ∈ N. Dann haben wir die Gültigkeit der Behauptung für n+ 1 nachzuweisen.Hier gilt wie gewünscht:

n+1∑

i=0(fib(i))2 =

(n∑

i=0(fib(i))2

)+(fib(n+1))2

= fib(n) ·fib(n+1)+(fib(n+1))2 (Ind.-Vor.)

= fib(n+1) ·(fib(n)+fib(n+1)

)= fib(n+1) ·fib(n+2) (Def. fib(n+2) )

5.6 Vollständige Induktion

1. Seien A,B endliche Mengen mit |A| > |B| und f : A→ B. Wir zeigen, dass fnicht injektiv ist, durch vollständige Induktion über die Anzahl der Elemente desArgumentbereiches, also |A|.

Induktionsbeginn: Für |A|= 0 ist die Voraussetzung |A|> |B| nicht erfüllt unddamit nichts zu zeigen.

174 Lösungen der Aufgaben

Induktionsschluss: Sei die Behauptung bewiesen für n-elementige Argument-bereiche (n ∈ N beliebig aber fest). Dann haben wir die Gültigkeit der Be-hauptung für n+ 1-elementige Argumentbereiche nachzuweisen. Sei also Aeine solche n+ 1-elementige Menge und a ∈ A ein beliebiges Element. Seiweiter A′ =df A\{a}.Falls f (a) = f (a′) gilt für ein a′ ∈ A′, ist f offensichtlich nicht injektiv. An-dernfalls gilt f (a) 6= f (a′) für alle a′ ∈ A′. Also ist f |A′ eine Funktion von A′

nach B \ { f (a)}, die nach Induktionsvoraussetzung nicht injektiv sein kann.Damit ist aber auch f nicht injektiv.

2. Seien A,B endliche Mengen mit |A|< |B| und f : A→ B. Dann zeigen wir, dassf nicht surjektiv sein kann, durch vollständige Induktion über die Anzahl derElemente des Zielbereiches B.

Induktionsbeginn: Für |B|= 0 ist die Voraussetzung |A|< |B| nicht erfüllt unddamit nichts zu zeigen.

Induktionsschluss: Sei die Behauptung bewiesen für n-elementige Zielberei-che (n ∈ N beliebig aber fest). Dann haben wir die Gültigkeit derBehauptung für n + 1-elementige Zielbereiche nachzuweisen. Seialso B eine solche n+1-elementige Menge und b ∈ B ein beliebigesElement. Sei weiter B′ =d f B\{b}.Falls f (a) 6= b gilt für alle a ∈ A, ist f offensichtlich nicht surjektiv.Andernfalls gilt f (a) = b für ein a ∈ A. Wegen der Rechtseindeutig-keit von f hat a kein weiteres Bild. Also ist f |A\{a} eine Funktionvon A\{a} nach B′, die nach Induktionsvoraussetzung nicht surjek-tiv ist. Weil das Bild von a aber nicht in B′ liegt, ist auch f nichtsurjektiv.

5.7 Induktives Beweisen

Wir zeigen die Behauptung durch vollständige Induktion nach n.

Induktionsbeginn: Für n = 0 ist die Voraussetzung n > 0 nicht erfüllt und damitnichts zu zeigen.

Induktionsschluss: Die Behauptung sei bereits bewiesen für ein beliebiges aberfestes n ∈ N. Sei M = {m1, . . . ,mn+1} eine n+ 1-elementige Menge.Offensichtlich liegen für die Randfälle k = 1 oder k = n+ 1 die ein-deutig bestimmten trivialen Partitionen vor, so dass die Behauptung indiesem Falle gilt.

Es bleibt der Fall 1 < k < n zu untersuchen. Bezeichnen wir die Mengeder k-elementigen Partitionen auf M mit Π(M,k), so können wir diesedisjunkt in zwei Mengen zerlegen:

Lösungen der Aufgaben 175

I) Partitionen, die die einzelne Partitionsklasse {mn+1} enthalten.Blendet man die isolierte Klasse aus, so ergeben sich exakt diePartitionen aus Π({m1, . . . ,mn},k−1).

II) Partitionen, bei denen sich das Element mn+1 mit mindestens ei-nem weiteren Element in einer gemeinsamen Partitionsklasse be-findet. Jede dieser Partitionen wird eindeutig bestimmt durch dieAngabe

a) einer k-elementigen Partition aus Π({m1, . . . ,mn},k) und

b) der Angabe in welche der k Partitionsklassen das Elementmn+1 fällt.

Wir haben es also mit dem kartesischen Produkt

Π({m1, . . . ,mn},k)×{1, . . . ,k}

zu tun.

Fassen wir dies zusammen, so erhalten wir wie gewünscht:

π(n+1,k)

= |Π(M,k)|

= |Π({m1, . . . ,mn},k−1) ∪ (Π({m1, . . . ,mn},k)×{1, . . . ,k})|

= |Π({m1, . . . ,mn},k−1)|+ |Π({m1, . . . ,mn},k)×{1, . . . ,k}|

= |Π({m1, . . . ,mn},k−1)|+ k · |Π({m1, . . . ,mn},k)|(IV)= π(n,k−1)+ k ·π(n,k)

Sachverzeichnis

Äquivalenzklassen, 70Äquivalenzrelation, 69Überabzählbar unendlich, 65

Absteigende Kettenbedingung, 123Abzählbar unendlich, 62Ackermannfunktion, 127Allaussage, 24Alphabet, 97Antinomien, 37, 43Antisymmetrie, 69, 116, 119Argumentbereich, 50Asymmetrie, 119Aussageform, 24Aussagen, 15, 16

Semantische Äquivalenz, 20Verknüpfungen, 18

AussagenlogikGesetze, 22

Axiom, 39

Backus-Naur-Form (BNF), 101Bedeutung, 96Beweisprinzip

Auflösung von Quantoren, 56Axiomatisches Beweisen, 28Generalisierte Strukturelle Induktion, 145Kontraposition, 55Noethersche Induktion, 124Ringschluss, 64Schubfachprinzip, 57Strukturelle Induktion, 131Verallgemeinerte Induktion, 129Vollständige Induktion, 133Widerspruchsbeweis, 66

Bijektivität, 54Bildbereich, 50

Bildmenge, 51, 53Binärdarstellung, 100Binärer Baum, 93Bitvektor, 49, 73

Charakteristischer Bitvektor, 73BNF

Ableitungsfolge, 102Ableitungsrelation, 102erzeugte Sprache, 102Nichtterminalsymbole, 101Regeln, 101Terminalsymbole, 101

Boolesche Terme, 94, 103BNF, 103Semantik, 105

Cantorsches Diagonalverfahren, 63Collatz-Funktion, 127

Darstellung, 96Dezimaldarstellung, 99Disjunkte Mengen, 33, 36

Einschränkung einer Funktion, 54Euklidischer Algorithmus, 3, 25Existenzssage, 24

Fakultätsfunktion, 87Fibonacci-Zahlen, 129Formale Sprache, 98Funktion, 53

bijektive, 54identische , 54injektive, 54Partiell definierte Funktion, 68surjektive, 54

Funktionale Vollständigkeit, 20, 21, 132

177

178 Sachverzeichnis

Funktionskomposition, 53

Generalisierte strukturelle Induktion, 145geordnete Paare, 48ggT, 3, 126Goldbachsche Vermutung, 16

Hülle, 75Kleenesche, 97reflexive, 76symmetrische, 76transitive, 76

Halbaddierer, 38Halbordnung, 116Hasse-Diagramm, 121Hilberts Hotel, 60Hoare-Kalkül, 141Hoare-Tripel, 128

identische Funktion, 54Identität, 54Identitätsrelation, 50Induktion

Noethersche, 122Strukturelle, 145Verallgemeinerte, 129

Induktionsanfang, 125, 130Induktionsschluss, 124, 130Induktionsvoraussetzung, 124Induktiv definierte Menge, 92Infixnotation, 50Informationen, 98Injektivität, 54Inklusionsfunktion, 54Interpretation, 96, 99Irreflexivität, 120

Junktoren, 19

Kardinalzahlen, 78Kartesisches Produkt, 47Kern

einer Quasiordnung, 118Kleenesche Hülle, 97Komplement einer Menge, 33Konkatenation, 97Konsistenz, 40Konstruktoren, 92, 93Korrektheit

partielle, 128totale, 128

Kreuzprodukt, 47

Leere Menge, 31

leeres Wort, 97Lexikographische Ordnung, 127Lineare Listen, 108Lineare Ordnung, 119Linkseindeutigkeit, 52Linkstotalität, 53

Mächtigkeit, 36Maximales Element, 121Menge, 30

induktiv definiert, 92leere, 31Mächtigkeit, 36, 61partiell geordnete, 116unendliche, 62

Mengendisjunkte, 33, 36Mächtigkeit, 36paarweise disjunkte, 36Verknüpfungen, 33

Mengenbeziehungen, 31Mengensystem

Potenzmenge, 32Mengensysteme, 32Mengenverknüpfungen, 33Minimales Element, 121

n-Tupel, 48Nachbarschaftsordnung, 120Natürliche Zahlen, 84

Binärdarstellung, 100Dezimaldarstellung, 99, 105Nachfolgefunktion, 84Ordnungsrelation, 116Peano-Axiome, 84Rechengesetze, 134Unärdarstellung, 99Vorgänger, 85

Negationsnormalform, 22, 27Noethersch partielle Ordnung, 123Noethersche Induktion, 122, 124Noethersche Quasiordnung, 122Notationen, 107

OrdnungHalb-, 116lexikographische, 127lineare, 119Nachbarschafts-, 120Noethersche, 122, 123partielle, 116Prä-, 118Quasi-, 118totale, 119

Sachverzeichnis 179

Paare, 48Partiell geordnete Menge, 116Partielle Korrektheit, 128Partielle Ordnung, 116Partition, 70Partitionsklassen, 70Peano-Axiome, 84Potenzfunktion, 87Potenzmenge, 32Prädikat, 24Prädikatenlogik, 23

höherer Stufe, 86Präferenzordnung, 119Präordnung, 118Produktrelation, 50

Quantor, 24Quantoren, 24Quasiordnung, 118

Kern einer, 118Noethersche, 122totale, 119

Rechtseindeutigkeit, 52Rechtstotalität, 53Reflexivität, 69, 116Relation

n-stellige, 49antisymmetrische, 69, 116Argumentbereich, 50asymmetrische, 119Bildbereich, 50binäre, 50homogene, 51Identische Relation, 50irreflexive, 120Linkseindeutigkeit, 52Linkstotalität, 53Produktrelation, 50Rechtseindeutigkeit, 52Rechtstotalität, 53reflexive, 69, 116Teilbarkeitsrelation, 25transitive, 69, 116Umkehrrelation, 50

Repräsentation, 96

Repräsentationen, 98Russelsche Antinomie, 43

Semantik, 96Boolescher Terme, 105

Semantikschema, 98Semantische Äquivalenz, 20Standards, 107Striktordnung, 119Strukturelle Induktion, 131, 145Substitution

Syntaktische, 95Surjektivität, 54Syntaktische Substitution, 95

Türme von Hanoi, 88Tautologie, 21Teilmenge, 31, 32Terminierung, 126Totale Korrektheit, 128Totale Ordnung, 119Totale Quasiordnung, 119Transitivität, 69, 116Tupel, 48

Umkehrfunktion, 59Umkehrrelation, 50Unärdarstellung, 99Unendlich, 62

überabzählbar, 65abzählbar, 62

Urbildmenge, 51, 53

Venn-Diagramm, 32, 33Vollständige Induktion, 133Vollständigkeit, 40

funktionale, 20

Wahrheitstafel, 20Wort, 97

Länge, 97leeres, 97

Zeichenreihe, 97Konkatenation, 97Länge, 97