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Index

AbschluBoperator, 319Abzahlung- gewichtete, 192Additive Numerierung- Galoisfeld, 22affine Transformation, 109A-Konstruktion, 50Algebra, 46algebraischer AbschluB, 101Algorithmus- Backtrack,250,277,290,292,297- Kanonizitatstest, 259- Sift, 252- zur Berechnung der kanonischen Form,260

- zur Berechnung des Mengenstabilisators,262

- zur Berechnung von T~j), 242- zur Berechnung von Bahnen, 246Alphabet, 5Annullator, 153Aufblasung, 51Augmentationsabbildung, 163Augmentationsideal, 168auBere direkte Summe, 55Automorphismengruppe- zweifach transitive, III

Backtrack-Algorithmus, 250, 277, 290,292, 297

Bahn, 178Basis- E-reduzierte, 284, 285, 287, 288, 297- in Permutationsgruppen, 250Basisbahn, 250Basistransversale, 251Begleitmatrix, 167, 217Bezout- Satz von, 23, 24binlir-Iexikographische Ordnung, 255binomischer Satz, 19

B-Konstruktion, 52Block,92Blockcode, 4, 310- Isometrieklassen, 310Boolesche Funktion, 62, 316Bose-Distanz, 106Brouwer, 30burst error, 39

Cauchy-Frobenius Lemma, 180- gewichtete Form, 192Cauchy-Matrix, 140Charakter- eindimensionaler, 40- trivialer, 40Charaktergruppe, 40Charakteristik, 12charakteristische Funktion, 255, 311charakteristischer Vektor, 255charakteristisches Polynom, 218Chinesischer Restesatz, 88Code- I-MLD-Code,72- aquivalente -s, 27- Altemant-, 143- BCH-Code, 106- - im engen Sinn, 106-- primitiver, 106-- zu n = 7 und p = 2 und 8 = 3, 238- binarer Golay-, 118- Blocklange, 6- (d - I)-Fehler-erkennender, 8- Defekt,37- Dimension, 6- dualer,9- eingeschrankter, 51- Golay-, 118- - binlirer, I 18- - temarer, 118- Goppa-, 145- Goppa-MDS-Code, 142

332

- halbeinfacher, 95- Hamming-,46-48, 189- - erweiterter, 49- injektiver, 185- ISBN-, 2, 4- Justesen-Code, 150- - im engeren Sinn verallgemeinerter,148

- - im weiteren Sinn verallgemeinerter,148

- kanonische Form eines -s, 237- konkatenierter, 147- L-MLD-Code,75- Lange, 6- Iinearer, 4, 6- MDS-, 34,65-71- - trivialer, 34- Minimalgewicht, 7- mit trivialer Automorphismengruppe,264

- MLD-,71-76- (n, k)-Code, 6- (n, k, d)-Code, 7- Nullspalte, 191- Paritats-, 9, 49- perfekter, 34- p-modularer, 154- QR-Code, 118- quadratischer Reste-Code, 118, 299- Reed-Muller, 4, 62- - binarer, 63- Reed-Solomon-,4, 112- - verallgemeinerter, 140- selbstdualer, 9- Simplex-, 47,189- temarer Golay-, 118- t-Fehler-korrigierender, 8- Typ, 7- u I u + v-Konstruktion, 55- unzerlegbarer, 204- visibler, 156- Wiederholungs-, 2- zerlegbarer, 204- zyklischer, 77- - Annullator, 79- - Nullstelle, 102- - Varietiit, 102Codevektor, 6Codewort,6Codieren,5Codierer, I, 6Codierung- systematische, 27

Index 333

Decodierer, I, 7- Fallen-, 134- Kasami-, 135- mit fehlerkorrigierendem Paar, 136- Permutations-, 133Defekt,37Determinante, 279DFT siehe diskrete Fouriertransformation,90

DISCRETA, 176diskrete Fouriertransformation, 45, 90diskrete Fouriertransformierte, 41Divisionsschieberegister, 128Divisionstheorem, 22, 24Dixon-Wilf-Algorithmus, 304, 316Dreiecksungleichung, 287

Einheitswurzel, 82- primitive, 82Einschrankung- auf die ersten i + 1 Stellen, 256- einer Menge, 239endliche Gruppenaktion- siehe Operation, 194Endlicher Korper- siehe Galoisfeld, 12Entropie-Funktion, 39Entwurfsdistanz, 106erzeugende Funktion, 192Erzeugendensystem- starkes, 253Erzeugungsbaum, 241Euklidscher Algorithmus- polynomiale Fassung, 24- zahlentheoret. Fassung, 22Exponent- einer Gruppe, 40Exponent eines Polynoms, 223Exponentiation, 183, 310

Faktoroperation, 186Faltung, 46, 150Fehlerbtindel, 39Fehlerkorrekturrate, 3, 38fehlerkorrigierendes Paar, 137Fixkorper, 20Fixpunkt, 180fixpunktfrei, 180Fouriermatrix, 90Fouriertransformation- diskrete, 45Fouriertransformierte- diskrete, 41Frobenius-Abbildung, 19

334 Index

Frobenius-Automorphismus, 19,83,306Fundamentalparallelotop, 277- Volumen, 278, 279

Galoisfeld, 5, 18- additive Numerierung, 22- multiplikative Darstellung, 20Galoisgruppe, 20G-Bahn,178Generatormatrix, 6, 297- kanonische Form, 237- systematische, 27- unzerlegbare, 204- zerlegbare, 204Generatorpolynom, 79Gewicht- siehe Hamminggewicht, 7gewichtete Abzahlung, 192Gewichtsfunktion, 192- allgemeine, 193- multiplikative, 193G-Homomorphismus,265G-Isomorphismus,265Gitter, 277,300- e-reduziertes, 284- aufeinanderfolgende Minima, 279- Basis, 282- Basiswechsel, 278- Determinante, 279- Dimension, 277- ganzzahliges, 277- Rang, 277Gitterbasisreduktion, 276,277,282Goppa-Polynom, 145groBter gemeinsamer Teiler, 23, 24Grad- eines Multinoms, 62- eines Polynoms, 24Gradformeln, 24Gram-Matrix, 279, 286, 288, 289, 303Gram-Schmidt-Verfahren, 281, 283, 284,290

Gruppe- PG L3(2), 242, 253- PG L4(2), 244- affine lineare Gruppe, 108- Exponent, 40- projektive spezielle Gruppe, 120- volle monomiale, 27Gruppenaktion- endliche, siehe Operation, 194Gruppenalgebra, 150Gruppenalgebracode, 151Gruppenbaum, 252

- Teilbaum, 252Gruppencode, 151Gruppenoperation- siehe Operation, 177

Hadamard- Ungleichung von, 287Hadamardprodukt, 46, 91Halbordnung, 319Halbraum, 292, 293Hamming- -Code, 46-48, 189- -abstand, 6- -distanz, 3- -gewicht, 7- -metrik,6- -raum,6Hauptideal, 25Hauptnebenklasse, 252Hermite- Konstante, 282- Satz von, 280, 289Hesse-Form, 292homogene Koordinaten, 126Homomorphieprinzip, 316Homomorphiesatz, 25Homomorphismus- von Gruppenoperationen, 265Hyperbegleitmatrix, 218

Ideal- maximales, 92- minimales, 92- teilerfremde -e, 88- unzerlegbares, 92Idempotent- orthogonales, 96- primitives, 96- zentrales, 96improvisierter Summencode, 55Indexsequenz- fUr Gruppenelemente, 252Informationsmenge, 29Informationsrate, 3, 38Informationsstelle, 29Inhalt, 186integrales Element, 222, 225Integritatsbereich, 100Invariante, 180ISBN-Code, 2, 4Isometrie, 26, 176Isometriegruppe, 177, 184Isomorphiesatz fUr Ringe, 95Isomorphismus

- von Gruppenoperationen, 265

lacobische Normalform, 218lenningsbasis, 155, 168lenningsgewicht, 168

kanonische Form, 237- Algorithmus zur Berechnung, 260- Berechnung, 255-265- eines Codes, 237kanonische Transversale, 237kanonische Zerlegung, 271kanonischer Reprasentant, 23, 25, 78Kanonisierer, 237Kanonisierungsabbildung, 237Kanonizitatstest- Algorithmus, 259k-Bahnen, 182Kern- einer Permutationsdarstellung, 181k-fach transitiv, 183k-homogen, 182Klassifizierung- metrische, 185Kleinsche Vierergruppe, 151, 253kombinatorische Prageometrie, 319Kommunikationssystem, IKompositionsreihe, 89,216- Lange, 216Kontroll- -matrix, 9- -polynom, 79- -stellen, 27- -summen, 72Koordinaten- separierte, 185Kranzprodukt, 183, 310

Langenreduktion, 284, 285, 289Lagrange- Satz von, 15Legendre Symbol, 115Leitkoeffizient, 13Lenstra- A. K., 282, 283- H. w., 282, 283Lerneffekt, 315lexikographische Ordnung, 236linearer Code, 4Linearkombination, 277- unzerlegbare, 204- zerlegbare, 204Linksannullator, 153Linksideal, 151

Index 335

Linksmodul, 215LLL-Verfahren, 283, 284, 289Lovlisz,L., 282, 283Lyndonwort, 249, 307

MacWilliams-Gleichung, 40, 43Matrix- Gram-, 279, 286, 288, 289, 303Matroid, 319- Isomorphie, 320- regulares, 321- zusammenhangendes, 323Maximum-Likelihood-Decodierung, 7Maximum-Likelihood-Prinzip, 7MDS-Code, 65-71- trivialer, 65Menge- unabhangige,204- unzerlegbare, 204- zerlegbare, 204Mengenpartition, 178Mengenstabilisator, 261- Algorithmus zur Berechnung, 262mengenweiser Stabilisator, 179Minima- aufeinanderfolgende, 279Minimaldistanz, 3,7,276,277,289,293,294

Minimalgewicht, 7Minimalitatstest, 255Minimalpolynom, 14, 218Minterm,62MLD-Codes, 71-76MLD-Distanz,75MLD-Schranke,75Mobius-Funktion, 26Mobius-Inversion, 26, 312Modul- zyklischer, 216, 217Multiplikative Darstellung- Galoisfeld, 20

Nachricht, 1Nachrichtenraum, 5NebenklassenanfUhrer-Algorithmus, 8Nebenklassen- Linksnebenklassen, 250- Rechtsnebenklassen, 250NebenklassenanfUhrer, 10Nichtquadrat, 115Nilpotenzgrad, 169(n, k)-Code, 6(n, k, d)-Code, 7Norm, 277

336 Index

- f oo-,277- f q -,277- oo-Norm, 277- q-Norm, 277Normalbasis, 306Normalform, 218- in GLk(q), 215- Jacobische,218- von Endomorphismen, 216Normalisator, 179Normalreihe,215Normaiteiler, 33NP-schwer, 282NP-vollstandig, 282Nullkoordinate, 185Nullspaite, 185,191

Operation- Bahn, 178- einer Gruppe, 177- Fixpunkt, 180- primitive, 52- Stabilisator, 179Ordnung- binlir-Iexikographische, 255- einer Gruppe, 15- eines Gruppenelements, 15- eines Polynoms, 223- lexikographische, 236ordnungstreue Erzeugung, 315- linearer Codes, 239-276orthogonale Projektion, 284Orthogonalisierungsverfahren, 283- einstufiges, 72- mehrstufiges, 75Orthogonalitatsrelation, 45

P6lya, 193- Satz von, 311Paritatsbit, 9Paritatserweiterung, 49partielle Ordnung, 319Partition- einer Menge, 178Periode eines Polynoms, 223Permutationsdarstellung, 181PG2(2), 189PG3(2),244PGL3(2), 242, 253PGL4(2),244Polynom- erzeugendes,40- Exponent, 223- irreduzibles, 13

- Minimal-, 14- norrniertes, 13- Ordnung, 223- Periode,223- primitives, 16- reziprokes, 80- separables, 145- Subexponent, 225Post-Funktion, 316Primlirkomponente, 217Primarzerlegung, 217Primelement, 215primitives Element, 16primitives Polynom, 16Prirnkorper, 12Produktcode, 58Projektion- orthogonale, 283Projektive Geometrie- PG2 (2), 189- PG3(2),244projektive Gerade, 119projektive lineare Gruppe, 188projektiver Raum, 188Punktieren, 50punktweiser Stabilisator, 179

Quadrat, 115Quadratische Form, 279, 282- positiv definite, 280quadratischer Nichtrest, 115quadratischer Rest, 115Quadratisches Reziprozitatsgesetz, 116

Riickkopplungspolynom, 128Reads Rekursionsmethode, 175,315Rechtsannullator, 153Rechtsmodul, 215Restklassenring, 13Restklassenring modulo n, 23Ring- halbeinfacher, 95- nullteilerfreier, 22R-Linksmodul,215- einreihiger, 216- endlich erzeugter, 216

Satz- binomischer, 19- Chinesischer Reste-, 88- Eulersches Lemma, I 17- Homomorphie-,25- Isomorphie-, 95- Struktur zyklischer Codes, 92

- von Berman, 157- von Bezout, 23, 24- von der Faltung, 46- von Gleason, Prange, 120- von Lagrange, 15- von P6lya, 193, 194Schaltfunktion, 62Schaltkreise, 316Schranke- BCH-,106- Gilbert-Varshamov-, 37, 39- Griesmer-, 36- Hamming-, 34, 39- MLD-,75- Plotkin-, 35- Quadratwurzel-, 121- - verscharfte, 121- - verscharfte binare, 122- Rieger-, 39- Singleton-, 34, 38Schranken, 34-39Simplex-Code, 47, 189Sims-Kette, siehe Stabilisatorkette, 314Skalarprodukt, 277Stabilisator, 179- mengenweiser, 179- punktweiser, 179Stabilisatorkette, 249-255Standardbilinearform, 9starkes Erzeugendensystem, 253Stufe,75Subexponent eines Polynoms, 225Subzykel, 222- -Ausdruck, 223- -index, 222, 228- -lange, 223- -typ, 223Summe- auBere direkte, 55Summencode- improvisierter, 55Superkanal, 147SYMMETRICA, 176Symmetrische Gruppe- Zykelindex, 232Syndrom, 10Syndromdecodierung, 10

Teilbaum- des Gruppenbaumes, 252Teilcode, 56Teilmuster, 271Teiloperation, 181Tensor, 57

Index 337

Tensorprodukt, 57Tiefensuche, 292Trager, 71transitiv, 108- k-fach, 183- zweifach, 126Transporter- -abbildung, 238- -element, 238- -menge, 238Transversale, 178- kanonische, 237Transversalenvertreter, 25 Itrivialer Charakter, 40

Uberdeckungspolynom, 135Unterraum- separierter, 185Unzerlegbarkeitstest, 207

Vandermondesche Matrix, 70Varietlit, 10 I- irreduzibIe, 101- konsekutive, 105Varietatenverband, 102Vektor- normierter, 189Vektoren- f q -kiirzeste,279- direkt verbundene, 204- orthogonale, 71- verbundene, 204Verfahren- von Ritter, 290Verkiirzung, 50Verlangem, 50Vertauschungsschritt, 284visibel, 156volle monomiale Gruppe, 27

Warter, I

X-Konstruktion,56

Y1-Konstruktion, 52

Zech-Logarithmus, 21Zentralisator, 179Zerlegung- kanonische, 271Zerlegungssatz, 205Zirkulante, 123Zykelindex, 194- der Exponentiation, 314

338 Index

- der symmetrischen Gruppe, 232- PGLk(q),229- Sn,232Zykelprodukt, 312Zykeltyp, 193Zyklenzeiger, 194zyklischer Modul, 217