• Harald Ibach und Hans Lüth: FestkörperphysikSpringer, 1988

• John Ziman: Principles of the Theory of SolidsCambridge University Press, 1963Prinzipien der FestkörpertheorieHarri Deutsch

• Neil Ashcroft and David Mermin: Solid State PhysicsHolt, Rinehart and Winston, 1976FestkörperphysikOldenbourg

• Martin Dove: Structure and DynamicsOxford University Press, 2003John Singleton: Band Theory and Electronic Properties of SolidsOxford University Press, 2001

• 37. IFF Ferienschule 2006Computational Condensed Matter Physics

Literatur

Übungsaufgabe

gegeben Ne Elektronen, Ni Atomkerne der Masse Mα und Kernladungszahl Zα,

lösen Sie:

The underlying laws necessary for the mathematical theory of a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that exact applications of these laws lead to equations which are too complicated to be soluble. It therefore becomes desirable that approximate practical methods of applying quantum mechanics should be developed, which can lead to an explanation of the main features of complex atomic systems without too much computation. P.M.A Dirac, Proceedings of the Royal Society A123, 714 (1929)

H = !!22m

Ne!

j=1

"2j !Ni!

!=1

!22M!

"2! !1

4πε0

Ne!

j=1

Ni!

!=1

Z!e2

|rj ! R!|+1

4πε0

Ne!

j<k

e2

|rj ! rk |+1

4πε0

Ni!

!<"

Z!Z"e2

|R! ! R" |

More is Different

… the reductionist hypothesis does not by any means imply a ``constructionist'' one: The ability to reduce everything to simple fundamental laws does not imply the ability to start from those laws and reconstruct the universe.Sometimes, as in the case of superconductivity, the new symmetry — now called broken symmetry because the original symmetry is no longer evident — may be of an entirely unexpected kind and extremely difficult to visualize. In the case of superconductivity, 30 years elapsed between the time when physicists were in possession of every fundamental law necessary for explaining it and the time when it was actually done.Thus with increasing complication at each stage, we go up the hierarchy of the sciences. We expect to encounter fascinating and, I believe, very fundamental questions at each stage in fitting together less complicated pieces into the more complicated system and understanding the the basically new types of behavior which can result. P.W. Anderson: More is Different, Science 177, 393 (1972)

Periodensystem

1s 1s

2s

3s

4s

5s

6s

7s

2p

3p

4p

5p

6p

4d

5d

3d

6d

4f

5f

Periodensystem

H

Li

Na

K

Rb

Cs

Fr

Be

Mg

Ca

Sr

Ba

Ra

Sc

Y

Lu

Lr

Ti

Zr

Hf

Rf

V

Nb

Ta

Db

Cr

Mo

W

Sg

Mn

Tc

Re

Bh

Fe

Ru

Os

Hs

Co

Rh

Ir

Mt

Ni

Pd

Pt

Cu

Ag

Au

B

Al

Ga

In

Tl

C

Si

Ge

Sn

Pb

N

P

As

Sb

Bi

O

S

Se

Te

Po

F

At

Ne

Xe

Rn

Ce

Th

Pr

Pa

Nd

U

Pm

Np

Sm

Pu

Eu

Am

Gd

Cm

Tb

Bk

Dy

Cf

Ho

Es

Er

Fm

Tm

Md

Yb

No

La

Ac

He

Zn

Cd

Hg

I

Kr

ArCl

Br

Atomradien

E. Clementi, D.L.Raimondi, and W.P. ReinhardtJ. Chem. Phys. 47, 1300 (1967)

dichteste Kugelpackung

d=1

d=2

Dreiecksgitter

dichteste Kugelpackung

d=3

dichteste Kugelpackung

d=3

Stapelfolge: ABCABC (fcc) oder ABABAB (hcp)

Ionenkristalle

CsCl NaCl

Atom- und Hybrid-Orbitale

x

y

zpx

x

y

zpy

x

y

zpz

x

y

zd3z2-1

x

y

zdx2-y2

x

y

zdxy

x

y

zdyz

x

y

zdzx

x

y

zs

x

y

zsp21

x

y

zsp31

x

y

zsp22

x

y

zsp34

kovalente Kristalle: sp2

Graphen BN

kovalente Kristalle: sp3

http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/

Londsdaleit Wurtzit (ZnS)

Tetraeder-Stapelung: ABABAB (hcp)

kovalente Kristalle: sp3

http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/

Diamant Zinkblende (ZnS)

Tetraeder-Stapelung: ABC (fcc)

Kristalldefekte

Fremdatom(Dotierung)

Versetzung

Leerstelle

ZwischengitterAtom

Quasi-Kristall

14 Bravais Gitter12 R. GROSS UND A. MARX Kapitel 1: Kristallstruktur

Kristallsystem zugehörige Bravais-Gitter

1

2

3

4

6 7

54 Arten von Einheitszellen:

P = primitivI = raumzentriert

F = flächenzentriertC = basiszentriert

kubisch

tetragonal

rhombisch

hexagonal

monoklin triklin

trigonal

a

b

c

γ

αβ

P

P

P

P

P

P

P

I

I

I

F

FC

C

Abbildung 1.10: Die 14 Bravais-Gitter.

Eine Zusammenstellung der Kristallachsen und der Achsenwinkel gibt Tabelle 1.1. Durch dieKristallachsen wird ein Parallelepiped, die so genannte Einheitszelle aufgespannt. Die Lange a,b und c der Kristallachsen bezeichnen wir als Gitterkonstanten. Wir wollen im Folgenden dieeinzelnen Kristallsysteme und die ihnen zugeordneten Bravais-Gitter anhand von Abb. 1.10kurz diskutieren.

1. kubisches Kristallsystem (3) —- a = b = c, α = β = γ = 90◦:

Das kubische Kristallsystem enthalt diejenigen Bravais-Gitter, deren Punktgruppe genauderjenigen eines Wurfels entspricht. Drei Bravais-Gitter mit nichtaquivalenten Raum-gruppen haben die gleiche kubische Punktgruppe: (i) einfach kubisch, (ii) kubisch raum-zentriert und (iii) kubisch flachenzentriert.

2. Tetragonales Kristallsystem (2) —- a = b "= c, α = β = γ = 90◦:

Wir konnen die kubische Symmetrie reduzieren, indem wir zwei entgegengesetzteFlachen auseinanderziehen, so dass z.B. a = b "= c. Die erhaltene Symmetriegruppe istdie tetragonale Gruppe. Durch Dehnen des primitiven kubischen Bravais-Gitters erhal-ten wir das primitive tetragonale Gitter. Dehnen wir das kubisch raumzentrierte oderflachenzentrierte Gitter, so erhalten wir das raumzentrierte tetragonale Gitter. Es stelltsich naturlich die Frage, warum es kein basiszentriertes tetragonales Gitter gibt. Wir

c© Walther-Meißner-Institut

7 Kristallsysteme ➞ 32 KristallklassenAnhang B: Kristallsymmetrie FESTKORPERPHYSIK 679

D

h

4h

O

C1

2C2

C3

C1hS

C2h

C2v

C6

D3

C3v

C3h6

S4

D2

4hD DC D

4 2dC4v 2h

D6

C6h

C6vT

OhD

d 6h

S4C

T T

3dD3hD

Abbildung B.11: Die 32 Kristallklassen. Die Verbindungslinien markieren die Untergruppenbeziehun-gen. Dabei sind die 7 Holoedrien farbig markiert.

oben schon bemerkt wurde, hangt die Translation T, die zu einer Bewegung (B..1) gehort, von der Wahl des Ko-ordinatenursprungs ab. Fur 73 Raumgruppen ist es moglich, den Ursprung so zu legen, dass alle Drehanteile Din der Raumgruppe mit verschwindender Translation T = 0 vorkommen. Diese Raumgruppen nennt man sym-morph. Fur sie stammen alle vorkommenden Translationen aus der Translationsgruppe T . Bei den nichtsymmor-phen Raumgruppen gehoren zu gewissen Punktgruppenelementen D so genannte nicht-primitive Translationen,die Bruchteile von Gittervektoren sind. Von den 36 Raumgruppen des kubischen Kristallsystems sind 23 symmorphund 13 nichtsymmorph.

2004

Untergruppenrelationen

kubisch

hexagonal

trigonal

tetragonal

ortho

rhombisch

monoklin

triklin

Brillouin Zone

L

zk z

!

kx

ky

W

V"

S1

3X

#

$

KM

Q

1X

U

X

S

fcc

Bilbao Crystallographic server: http://www.cryst.ehu.es/

k

k

x

y

zk z

HGN!

" #

D$F

P

F1

RN1

3H

F2

bcc

loop__citation_id_citation_journal_abbrev_citation_year_citation_journal_volume_citation_page_first_citation_page_last_citation_journal_id_ASTMprimary 'Physikalische Zeitschrift' 1916 17 277 283 PHZTAOloop__publ_author_nameDebye, P.;Scherrer, P._cell_length_a 3.70_cell_length_b 3.70_cell_length_c 3.70_cell_angle_alpha 39.75_cell_angle_beta 39.75_cell_angle_gamma 39.75_cell_volume 18.651_cell_formula_units_Z 2_symmetry_space_group_name_H-M 'R -3 m R'_symmetry_Int_Tables_number 166

crystallographic information file: cif

Veröffentlichung

Kristallachsen

Punktgruppe

loop__symmetry_equiv_pos_site_id_symmetry_equiv_pos_as_xyz 1 '-z, -y, -x' 2 '-z, -x, -y' 3 '-x, -z, -y' 4 '-y, -z, -x' 5 '-y, -x, -z' 6 '-x, -y, -z' 7 'z, y, x' 8 'z, x, y' 9 'x, z, y' 10 'y, z, x' 11 'y, x, z' 12 'x, y, z' loop__atom_site_label_atom_site_type_symbol_atom_site_symmetry_multiplicity_atom_site_Wyckoff_symbol_atom_site_fract_x_atom_site_fract_y_atom_site_fract_z_atom_site_B_iso_or_equiv_atom_site_occupancyC1 C0+ 2 c 0.167 0.167 0.167 0.0 1.

crystallographic information file: cif

Symmetrieoperationenin Kristallachsen

Atompositionen

Phononen Dispersion: Al (fcc)170 R. GROSS UND A. MARX Kapitel 5: Gitterdynamik

T2

0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.50

2

4

6

q

!

(10

13 1

/s)

[110] [111][100]

L L

L

L

L

T1

0" X "

Zonengrenze

L

" XK

X

[100]

[110]

[111]L

Kq

Abbildung 5.9: Phononen-Dispersionsrelationen von Al. Die durchgezogenen und gestrichelten Linienstellen mit unterschiedlichen Methoden berechnete Kurven, die Symbole experimentelle Daten dar. DerWellenvektor q ist in Einheiten von 2!

a ,!

2 2!a und

!3 2!

a in [100], [110] und [111] Richtung aufgetragen(nach M. A. Coulthard, J. Phys. C: Solid State Phys. 3, 820-834 (1970)).

die beiden transversalen Zweige ist q " u. Im Allgemeinen ist die Frequenz des longitudina-len Zweiges großer, d.h. "L > "T. Die verschiedenen Moden konnen aber auch energetischentartet sein. So sind z.B. fur einen kubischen Kristall die transversalen Moden fur die [100]und [111] Richtung entartet (siehe Tabelle 4.2).

Wie wir bereits bei der Diskussion elastischer Wellen in Abschnitt 4.6 diskutiert haben, sinddie drei Polarisationen im Allgemeinen nicht exakt parallel oder senkrecht zu q. Dies trifft nurfur bestimmte Ausbreitungsrichtungen zu (z.B. fur die [100], [110] und [111] Richtung in einemkubischen Kristall).

Die Disperisonskurven sind nach wie vor periodisch. Es gilt

"(q) = "(q + G) (5.2.45)

und ferner aufgrund der Zeitumkehrsymmetrie

"(#q) = "(q) . (5.2.46)

Es genugt deshalb, die Dispersionskurve in einem Oktanden der 1. Brillouin-Zone anzugeben.

Als Beispiel ist in Abb. 5.9 die Dispersionskurve von Al gezeigt. Aluminium hat ein monoato-mares fcc-Gitter. In der Praxis werden die Dispersionskurven immer entlang von bestimmtenRichtungen im q-Raum gezeigt. Diese Richtungen werden durch Symbole ! , X, W, K, etc. ange-geben, die bestimmte Punkte der Brillouin-Zone markieren. Zum Beispiel markiert ! das Zen-trum der Brillouin-Zone. Im gezeigten Beispiel sehen wir die Dispersionskurve von Al entlangder ! X-Richtung (entspricht [100]), der !K-Richtung (entspricht [110]) und der ! L-Richtung(entspricht [111]).

c$ Walther-Meißner-Institut

spezifische Wärme: Diamant

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Zustandsdichte: Debye Näherung208 R. GROSS UND A. MARX Kapitel 6: Thermische Eigenschaften

0 10 20 30 400

5

10

15

20

25

! (1012

s-1)

D(!

) (

10

9 s

/cm

3)

Debye-Näherung

realerFestkörper

qD

Abbildung 6.6: Phononen-Zustandsdichte eines realen Festkorpers und die Debye-Naherung. DerWellenvektor qD ist so gewahlt, dass die Flachen unter den Kurven gleich sind.

3 akustischen Zweige gut mit einer linearen Dispersionsrelation annahern konnen. DieSummation !r in (6.1.30) geht dann in !3

i=1 uber.

2. Die Summation uber alle Wellenvektoren q ersetzen wir durch eine Integration uber die1. Brillouin-Zone. Da fur die linearen Dispersionsrelationen die Flachen konstanter Fre-quenz Kugeloberflachen sind, vereinfachen wir diese Integration weiter, indem wir dasIntegral uber die 1. Brillouin-Zone durch ein Integral uber eine Kugel mit Radius qD er-setzen. Dabei muss der Debye-Wellenvektor qD gerade so gewahlt werden, dass das In-tegral genau N Wellenvektoren enthalt. Dies stellt bei 3 Dispersionszweigen sicher, dass3N-Schwingungsmoden auftreten.

Wir mussen zunachst die Lange des Debye-Wellenvektor qD bestimmen. Wir wissen, dass im q-Raum ein Zustand das Volumen (2!/L)3 einnimmt. Da wir pro Dispersionszweig N Zustandevorliegen haben und diese in einer Kugel mit Radius qD enthalten sein mussen, erhalten wir

N!

2!

L

"3=

43!q3

D (6.1.43)

und damit

qD =!

6!2 NV

"1/3. (6.1.44)

Wir sehen, dass qD durch die Atomdichte N/V bestimmt wird. Die durch das Debye-Model ge-machte Vereinfachung der Phononen-Zustandsdichte ist in Abb. 6.6 veranschaulicht. Wahrenddie Zustandsdichte in der Debye-Naherung einer Parabel folgt, kann die wirkliche Zustands-dichte eine reichhaltige Struktur zeigen. Insbesondere konnen scharfe Spitzen durch van HoveSingularitaten auftreten (siehe Abschnitt 5.3.3). Die Große der Debye-Frequenz "D ist dadurch

c! Walther-Meißner-Institut

Austausch Loch

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

0 1 2 3 4 5 6

g(r)

r/kF

kF = (3!2n)1/3

gx(r) = 1!!3

(kF r)3

"sin(kF r)! kF r cos(kF r)

#$2unpolarisiertes, homogenes Elektronengas

Austausch-Korrelations Loch (QMC)

0

0.4

0.8

1.2 r = 0.8s

↑↓

↑↑

r = 1s

↑↓

↑↑

0

0.4

0.8

1.2 r = 2s

↑↓

↑↑

r = 3s

↑↓

↑↑

0

0.4

0.8

1.2 r = 4s

↑↓

↑↑

r = 5s

↑↓

↑↑

0

0.4

0.8

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

r = 8s

↑↓

↑↑

0 0.5 1 1.5 2 2.5

r = 10s

↑↓

↑↑

G. Ortiz, M. Harris, P. BallonePhys. Rev. Lett. 82, 5317 (1999)P. Gori-Giorgi, F. Sacchetti, G.B. BacheletPhys. Rev. B 61, 7353 (200)

g!!!

xc (r/rs)

rs = (3/4!n)1/3

unpolarisiertes, homogenesElektronengas

Austausch-Korrelations Loch

*

* *

*

*

**

0.95

0.85

0.75

0.65

0.55

0.5

0.75

1

(b)

*

* *

*

*

**

-0.025

-0.05

-0.075

-0.1

-0.1

0

(a)

Elektron im Zentrum einer Si-Si Bindung

R.Q. Hood, M.Y. Chou, A.J. Williamson, G. Rajagopal, R.J. Needs, W.M.C. FoulkesPhys. Rev. B 57, 8972 (1998)

Austausch Loch λ-integriertes Korrelations Loch

homogenes Elektronengas (QMC)

D.M. Ceperley, B.J. Alder, Phys. Rev. Lett. 45, 566 (1980)

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ε i

n Ha

rs in a0

εxcεc-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ε tot

in H

a

rs in a0

Ladungsdichte in C60

Die Suche nach guten Dichtefunktionalen

Science 298, 759 (2002)

Comparison shopping for a gradient-corrected density functionalJohn P. Perdew and Kieron Burke

Int. J. Quant. Chem. 57, 309 (1996)

Parametrised local spin density exchange-correlation energiesand potentials for electronic structure calculationsComputer Physics Communications 66, 383 (1991)

Lösen der Kohn-Sham Gleichungen

initial guess: n(r)

calculate effective potential: W(r)=Vext(r)+VH[n](r)+Vxc[n](r)

solve KS equation: (-1/2 Δ + W(r)) φn(r)=εn φn(r)

calculate electron density: n(r) = Σn |φn(r)|2

output quantities: energy, forces, eigenvalues, ...

self-consistent?

Bandstruktur von Kupfer

winkelaufgelöste Photoemission (ARPES) vs. DFT Rechnung

P. Thiry et al., Phys. Rev. Lett. 43, 82 (1979)G.A. Burdick, Phys. Rev. 129, 138 (1963)