Fısica I – IME2013

Lista de Exercıcios 8Rotacao de Corpos Rıgidos

E9.1 a) Calcule o angulo em radianos subentendido porum arco de 1,50 m de comprimento ao longo deuma circunferencia de raio igual a 2,50 m. Qual eesse angulo em graus?

b) Um arco de comprimento igual a 14,0 cm suben-tende um angulo de 128◦ em um cırculo. Qual e oraio da circunferencia desse cırculo?

c) O angulo entre dois raios de um cırculo de raioigual a 1,50 m e de 0,700 rad. Qual e o compri-mento do arco sobre a circunferencia desse cırculocompreendido entre esses dois raios?

E9.2 A helice de um aviao gira a 1900 rev/min.

a) Calcule a velocidade angular da helice em rad/s.b) Quantos segundos a helice leva para girar a 35◦?

E9.15 Um volante de alta velocidade em um motor esta gi-rando a 500 rpm quando subitamente ocorre uma falhano fornecimento de energia. O volante possui massade 40,0 kg e diametro de 75,0 cm. A energia eletricafica desligada por 30,0 s e nesse perıodo o volante di-minui a velocidade em funcao do atrito nos seus man-cais. Enquanto a energia esta desligada, o volante faz200 revolucoes completas.

a) Qual e a taxa de rotacao do volante quando a ener-gia retorna?

b) Quanto tempo apos o inıcio da falta de energia te-ria levado para o volante parar, caso a energia naotivesse retornado, e quantas revolucoes o volanteteria feito nesse perıodo?

E9.21 Usando dados de astronomia do Apendice F, juntamentecom o fato de que a Terra gira em torno do seu eixo umavez por dia, calcule

a) a velocidade escalar angular orbital da Terra (emrad/s) em funcao do seu movimento em torno doSol,

b) sua velocidade escalar angular (em rad/s) emfuncao do seu giro axial,

c) a velocidade escalar tangencial da Terra em tornodo Sol (supondo-se uma orbita circular),

d) a velocidade escalar tangencial de um ponto na li-nha do Equador na Terra em funcao do giro axialdo planeta e

e) os componentes radial e tangencial da aceleracaodo ponto no item (d).

E9.31 Os ciclos de rotacao de uma maquina de lavar possuemduas velocidades angulares, 423 rev/min e 640 rev/min.O diametro interno do tambor e igual a 0,470 m.

a) Qual e a razao entre a forca radial maxima sobrea roupa quando a velocidade angular e maximae a forca radial quando a velocidade angular emınima?

b) Qual e a razao da velocidade tangencial maximada roupa quando a velocidade angular e maxima equando a velocidade angular e mınima?

c) Calcule a velocidade tangencial maxima da roupae a aceleracao radial maxima em funcao de g.

E9.37 Uma barra uniforme possui duas pequenas bolas cola-das as suas extremidades. A barra possui comprimentoL = 2,0 m e massa M = 4,0 kg, enquanto as bolas pos-suem massa m = 0,500 kg cada uma e podem ser trata-das como pontos de massas. Ache o momento de inerciadesse sistema em relacao a cada um dos seguintes eixos:

a) um eixo perpendicular a barra e que passa pelo seucentro;

b) um eixo perpendicular a barra e que passa poruma das bolas;

c) um eixo paralelo a barra e que passa por ambas asbolas;

d) um eixo paralelo a barra e a uma distancia de0,500 m dela.

E9.39 Uma roda de carroca e feita como indicado na FiguraE9.39. O raio da roda e igual a 0,300 m e o aro possuimassa igual a 1,40 kg. Cada um dos seus oito raios, dis-tribuıdos ao longo de diametros, possuem comprimentode 0,300 m e massa igual a 0,280 kg. Qual e o momentode inercia da roda em relacao a um eixo perpendicularao plano da roda e passando pelo seu centro? (Use asformulas indicadas na Tabela 9.2.)

Figura E9.30

E9.45 Um volante de motor a gasolina deve fornecer uma ener-gia cinetica igual a 500 J, quando sua velocidade angu-lar diminui de 650 rev/min para 520 rev/min. Qual e omomento de inercia necessario?

E9.47 Desejamos armazenar energia em um volante de 70,0 kgque possui forma de um disco macico uniforme comraio R = 1,20 m. Para impedir danos estruturais, aaceleracao radial maxima de um ponto na sua periferiae igual a 3500 m/s2. Qual e a energia cinetica maximaque pode ser armazenada no volante?

E9.59 Uma barra delgada e uniforme de massa M e compri-mento L e encurvada no seu centro, de modo que osdois segmentos passam a ser perpendiculares um ao ou-tro. Ache o momento de inercia em relacao a um eixoperpendicular ao seu plano e que passe a) pelo pontoonde os dois segmentos se encontram e b) pelo ponto nametade da linha que conecta as duas extremidades.

8 de novembro de 2013 1

Fısica I (IME) Lista de Exercıcios 8

P9.71 A correia de uma maquina de lavar a vacuo e enroladaligando um eixo de raio igual a 0,45 cm com uma rodade raio igual a 2,0 cm. O arranjo envolvendo a correia,o eixo e a roda e semelhante ao descrito na Figura 9.14envolvendo a corrente e as rodas dentadas de uma bici-cleta. O motor faz o eixo girar com 60,0 rev/s e a correiafaz a roda girar, que por sua vez esta ligada a outro eixoque empurra a sujeira para fora do tapete que esta sendolavado a vacuo. Suponha que a correia nao deslize nemsobre o eixo nem sobre a roda. a) Qual e a velocidade deum ponto sobre a correia? b) Qual e a velocidade angu-lar da roda em rad/s?

P9.77 Foi aventado que as usinas hidreletricas devem aprovei-tar as horas fora do pico (como tarde da noite) para ge-rar energia mecanica e armazena-la para atender a de-manda em horarios de pico, como no meio do dia. Umasugestao e armazenar a energia em grandes volantes quegiram sobre mancais praticamente livres de atrito. Con-sidere um volante feito de ferro (densidade 7800 kg/m3)no formato de um disco uniforme de 10,0 cm de espes-sura.

a) Qual deve ser o diametro desse disco para armaze-nar 10,0 MJ de energia cinetica ao girar a 90,0 rpmem torno de um eixo perpendicular ao disco, noseu centro?

b) Qual sera a aceleracao centrıpeta de um ponto naborda, quando o disco gira nessa taxa?

P9.83 Uma regua de um metro e massa igual a 0,160 kg possuium pivo em uma de suas extremidades de modo que elapode girar sem atrito em torno de um eixo horizontal. Aregua e mantida em uma posicao horizontal e a seguire libertada. Enquanto ela oscila passando pela vertical,calcule

a) a variacao da energia potencial gravitacional ocor-rida;

b) a velocidade angular da regua;c) a velocidade linear na extremidade da regua

oposta ao eixo.d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade

de um objeto caindo de uma altura de 1,0 m a par-tir do repouso.

P9.85 A polia indicada na Figura P9.85 possui raio R e mo-mento de inercia I . A corda nao desliza sobre a polia eesta gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atritocinetico entre o bloco A e o topo da mesa e µc. O sis-tema e libertado a partir do repouso, e o blocoB comecaa descer. O bloco A possui massa mA e o bloco B possuimassamB . Use metodos de conservacao da energia paracalcular a velocidade do bloco B em funcao da distanciad que ele desceu.

Figura P9.85

P9.89 Dois discos metalicos, um com raio R1 = 2,50 cm emassa M1 = 0,80 kg e outro com raio R2 = 5,0 cm emassa M2 = 1,60 kg, sao soldados juntos e montadosem um eixo sem atrito passando pelo centro comum (Fi-gura P9.89).

a) Qual e o momento de inercia dos dois discos?b) Um fio fino e enrolado na periferia do disco menor,

e um bloco de 1,50 kg e suspenso pela extremidadelivre do fio. Se o bloco e libertado do repouso auma distancia de 2,0 m acima do solo, qual e suavelocidade no momento em que atinge solo?

c) Repita calculo do item (b), desta vez com o fio en-rolado na borda do disco maior. Em qual caso avelocidade escalar final do bloco e maior? Expli-que por que.

Figura P9.89

E10.9 A peca de uma maquina tem o formato de uma esferamacica e uniforme com massa de 225 g e diametro de3,0 cm. Ela esta girando em torno de um eixo comatrito desprezıvel que passa pelo seu centro, mas em umponto no seu equador ela esta rocando contra uma partemetalica, resultando em uma forca de atrito de 0,0200 Nnesse ponto. a) Ache a aceleracao angular. b) Quantotempo levara para a velocidade escalar rotacional ser re-duzida em 22,5 rad/s?

E10.10 Uma corda e enrolada em torno da periferia de umaroda macica e uniforme de raio igual a 0,250 m e massade 9,20 kg. A corda e puxada por uma forca constantehorizontal de 40,0 N para a direita e tangencialmentea roda. A roda esta montada sobre mancais com atritodesprezıvel sobre um eixo horizontal que passa pelo seucentro.

a) Calcule a aceleracao angular da roda e a aceleracaoda parte da corda que ja foi puxada para fora daroda.

b) Ache o modulo, a direcao e o sentido da forca queo eixo exerce sobre a roda.

c) Qual das respostas nos itens (a) e (b) sofreriavariacao, caso a forca de puxar fosse de baixo paracima em vez de horizontal?

E10.14 Um balde de 15,0 kg e suspenso por uma corda enroladaem torno de um sarilho, constituıdo por um cilindrosolido com diametro de 0,300 m e massa igual a 12,0 kg.O cilindro e pivotado sobre um eixo sem atrito passandoem seu centro. O balde e libertado a partir do repousono topo de um poco e cai 10,0 m ate atingir a agua nofundo do poco. Despreze o peso da corda. a) Qual e atensao na corda enquanto o balde esta caindo? b) Comque velocidade o balde atinge a agua? c) Qual e o tempode queda? d) Enquanto o balde esta caindo, qual e aforca exercida pelo eixo sobre o cilindro?

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E10.19 Um aro de 2,20 kg e 1,20 m de diametro esta rolandoda esquerda para a direita sem deslizar, sobre um pisohorizontal a constantes 3,0 rad/s.

a) Com que velocidade o seu centro esta se movendo?b) Qual e a energia cinetica total do aro?c) Ache o vetor velocidade de cada um dos seguintes

pontos, do ponto de vista de uma pessoa em re-pouso sobre o chao: i) o ponto mais alto do aro; ii) oponto mais baixo do aro; iii) um ponto do lado di-reito do aro, a meio caminho entre o topo e a base.

d) Ache o vetor velocidade para cada um dos pontosno item (c), so que do ponto de vista de alguemque se move com a mesma velocidade do aro.

E10.23 Uma bola macica e liberada do repouso e desliza parabaixo pela encosta de uma colina com inclinacao de65,0◦ com o plano horizontal.

a) Qual valor mınimo deve ter o coeficiente de atritoestatico entre as superfıcies da colina e da bola paraque nenhum deslizamento ocorra?

b) O coeficiente de atrito calculado no item (a) e sufi-ciente para impedir que uma bola oca (como umabola de futebol) deslize? Justifique sua resposta.

c) No item (a), por que usamos o coeficiente de atritoestatico e nao o coeficiente de atrito cinetico?

E10.24 Uma bola de gude homogenea rola para baixo a par-tir do topo da lateral esquerda de uma tigela simetrica,partindo do repouso. O topo de cada lateral esta a umadistancia h0 do fundo da tigela. A metade esquerda datigela e aspera o suficiente para fazer a bola de guderolar sem deslizar, mas a metade direita nao possui ne-nhum atrito porque esta coberta de oleo.

a) A que altura da lateral lisa a bola de gude subira,se medida verticalmente a partir do fundo?

b) A que altura a bola de gude iria se ambos os ladosfossem tao asperos quanto o lado esquerdo?

c) A que voce atribui o fato de que a bola de gudesobe mais com o atrito do lado direito do que sematrito?

E10.31 As extremidades dos dentes de carboneto de uma serracircular estao situadas a uma distancia de 8,6 cm do eixode rotacao.

a) Quando a serra nao esta cortando nenhum objeto,sua velocidade angular e de 4800 rev/min. Por quesua potencia e desprezıvel quando ela nao esta cor-tando nenhum objeto?

b) Quando ela esta cortando tabuas, sua velocidadeangular se reduz para 2400 rev/min e a potenciade saıda e igual a 1,9 HP. Qual e a forca tangencialque a madeira exerce sobre as extremidades dosdentes de carboneto?

E10.39 Sob determinadas circunstancias, uma estrela pode so-frer um colapso e se transformar em um objeto extrema-mente denso, constituıdo principalmente por neutrons echamado estrela de neutrons. A densidade de uma es-trela de neutrons e aproximadamente 1014 vezes maiordo que a da materia comum. Suponha que a es-trela seja uma esfera macica e homogenea antes e de-pois do colapso. O raio inicial da estrela era de7,0×105 km (comparavel com o raio do Sol); seu raio fi-nal e igual a 16 km. Supondo que a estrela original com-pletava um giro em 30 dias, ache a velocidade angularda estrela de neutrons.

E10.40 Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizontalsem atrito possui massa de 0,0250 kg. Ele esta preso auma corda sem massa que passa atraves de um buracona superfıcie (Figura E10.40). No inıcio, o bloco esta gi-rando a uma distancia de 0,300 m do buraco com umavelocidade angular de 1,75 rad/s. A seguir a corda e pu-xada por baixo, fazendo com que o raio do cırculo se en-curte para 0,150 m. O bloco pode ser considerado umapartıcula.

a) O momento angular e conservado?b) Qual e a nova velocidade angular?c) Calcule a variacao da energia cinetica do bloco.d) Qual foi o trabalho realizado ao puxar a corda?

Figura E10.40

E10.43 Uma mesa giratoria grande possui forma de disco comraio de 2,0 m e massa igual a 120 kg. A mesa giratoriaesta inicialmente a 3,0 rad/s em torno de um eixo ver-tical que passa em seu centro. Repentinamente, umpara-quedista de 70 kg pousa suavemente em um pontoproximo da periferia da mesa.

a) Ache a velocidade angular da mesa giratoriadepois do pouso do paraquedista. (Suponhaque o para-quedista possa ser considerado umapartıcula.)

b) Calcule a energia cinetica do sistema antes e depoisdo pouso do para-quedista. Por que essas energiascineticas sao diferentes?

E10.47 Uma barra de metal delgada e uniforme que tem 2,0 mde comprimento e pesa 90,0 N esta suspensa vertical-mente do teto por um pivo com atrito desprezıvel. Derepente, ela e atingida num ponto que esta 1,50 m abaixodo teto por uma pequena bola de 3,0 kg, movendo-seinicialmente, no sentido horizontal a 10,0 m/s. A bolarebate na direcao contraria com uma velocidade escalarde 6,0 m/s.

a) Calcule a velocidade escalar angular da barra logoapos a colisao.

b) Durante a colisao, por que o momento angular seconserva, mas o momento linear nao?

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E10.49 O rotor (volante) de um giroscopio de brinquedo pos-sui massa M = 0,140 kg. Seu momento de inercia emrelacao ao seu eixo e I = 1,20×10−4 kgm2. A massado suporte e m = 0,0250 kg. O giroscopio e suportadoem um unico pivo (Figura E10.49) e seu centro de massaesta situado a uma distancia h = 4,0 cm do pivo. O gi-roscopio possui movimento de precessao em um planohorizontal, completando uma revolucao em tp = 2,20 s.

a) Ache a forca de baixo para cima exercida pelo pivo.b) Ache a velocidade angular com a qual o rotor gira

em torno de seu eixo, expressa em rev/min.c) Faca um diagrama, desenhando vetores para mos-

trar o momento angular do rotor e o torque queatua sobre ele.

Figura E10.49

P10.57 Uma barra delgada e uniforme de 3,80 kg e 80,0 cmde comprimento possui uma bola muito pequena de2,50 kg grudada em cada extremidade (Figura P10.57).Ela e sustenta da horizontalmente por um eixo fino, ho-rizontal e com atrito desprezıvel, que passa pelo seu cen-tro e e perpendicular a barra. Subitamente, a bola dolado direito se descola e cai, mas a outra permanece gru-dada na barra.

a) Ache a aceleracao angular da barra logo apos abola cair.

b) A aceleracao angular permanecera constante en-quanto a barra continua a oscilar? Em caso nega-tivo, ela vai aumentar ou diminuir?

c) Ache a velocidade angular da barra logo apos elaoscilar pela sua posicao vertical.

Figura P10.57

P10.63 Um grande rolo de papel de 16,0 kg com raio R =18,0 cm esta em repouso contra uma parede e e man-tido no lugar por um suporte ligado a uma barra quepassa em seu centro (Figura P10.63). A barra pode gi-rar sem atrito no suporte, e o momento de inercia dopapel em torno do eixo do rolo e igual a 0,260 kgm2.A outra extremidade da barra esta presa a parede poruma articulacao sem atrito de modo que a barra faz umangulo de 30,0◦ com a parede. O peso da barra e des-prezıvel. O coeficiente de atrito cinetico entre o papele a parede e µc = 0,25. Uma forca constante verticalF = 40,0 N e aplicada ao papel, e o papel desenrola.

a) Qual e modulo da forca que a barra exerce sobre opapel enquanto ele desenrola?

b) Qual e a aceleracao angular do rolo?

Figura P10.63

P10.69 O Ioio. Um ioio e feito usando-se dois discos uniformes,cada um com massam e raioR ligados por um eixo levede raio r. Um fio leve e fino e enrolado diversas ve-zes em torno do eixo e a seguir mantido fixo enquanto oioio e libertado do repouso, caindo verticalmente a me-dida que o fio desenrola. Calcule a aceleracao linear e aaceleracao angular do ioio e a tensao no fio.

P10.71 A Figura P10.71 mostra tres ioios identicos que estao ini-cialmente em repouso sobre uma superfıcie horizontal.Para cada ioio, o fio e puxado conforme indicado. Emcada caso existe atrito suficiente para cada ioio rolar semdeslizar. Desenhe um diagrama do corpo livre para cadaioio. Qual e o sentido da rotacao de cada ioio? (Tente fa-zer essa experiencia!) Explique suas respostas.

Figura P10.71

P10.83 Um cilindro homogeneo de massa M e raio 2R esta emrepouso sobre o topo de uma mesa. Um fio e ligadopor meio de um suporte duplo preso as extremidadesde um eixo sem atrito passando atraves do centro do ci-lindro de modo que o cilindro pode girar em torno doeixo. O fio passa sobre uma polia em forma de discode massa M e raio R montada em um eixo sem atritoque passa em seu centro. Um bloco de massa M e sus-penso na extremidade livre do fio (Figura P10.83). O fionao desliza sobre a superfıcie da polia, e o cilindro rolasem deslizar sobre o topo da mesa. Calcule o moduloda aceleracao do bloco quando o sistema e libertado apartir do repouso.

Figura P10.83

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P10.91 Um passaro de 500,0 g esta voando a 2,25 m/s, quandoinadvertidamente colide com uma barra vertical fixa,atingindo-a 25,0 cm abaixo do topo (Figura P10.91). Abarra homogenea com 0,750 m de comprimento e massade 1,50 kg esta presa por uma dobradica na sua base. Acolisao atordoa o passaro, que cai ao chao em seguida.Qual e a velocidade angular da barra a) logo apos seratingida pelo passaro e b) assim que atinge o solo?

Figura P10.91

E13.35 Um relogio da quatro tiques a cada segundo; cada tiquecorresponde a metade do perıodo. A roda catarina dorelogio consiste em uma fina camada circular com raiode 0,55 cm conectada ao conjunto da roda por meio deraios com massas desprezıveis. A massa total da roda eigual a 0,90 g. a) Qual e o momento de inercia da rodaem torno do eixo central? b) Qual e a constante de torcaoda mola capilar?

E13.50 Desejamos suspender um aro fino usando um prego efazer o aro executar uma oscilacao completa com angulopequeno a cada 2,0 s. Qual deve ser o valor do raio doaro?

E13.53 Dois pendulos possuem as mesmas dimensoes (compri-mento L) e massa total (m). O pendulo A e uma esferabem pequena oscilando na extremidade de uma barrauniforme de massa desprezıvel. No pendulo B, me-tade da massa pertence a bola e a outra metade a barrauniforme. Encontre o perıodo de cada pendulo paraoscilacoes pequenas. Qual dos dois pendulos leva maistempo para completar uma oscilacao?

E13.55 Cada um dos dois pendulos mostrados na Figura E13.55consiste em uma solida esfera uniforme de massaM sus-tentada por uma corda de massa desprezıvel, porem aesfera do pendulo A e muito pequena, enquanto a es-fera do pendulo B e bem maior. Calcule o perıodo decada pendulo para deslocamentos pequenos. Qual dasesferas leva mais tempo para completar uma oscilacao?

Figura E13.55

P13.88 Dois cilindros homogeneos de raio R e massa total Msao conectados ao longo de seu eixo comum por umabarra leve e curta, e estao em repouso sobre uma mesahorizontal. Uma mola cuja constante e k possui uma ex-tremidade presa na mesa por uma bracadeira e sua ou-tra extremidade e ligada a um anel sem atrito no cen-tro de massa dos cilindros (Figura P13.88). Os cilindrossao puxados para a esquerda esticando a mola ate umadistancia x, e a seguir sao libertados. Existe entre o topoda mesa e os cilindros um atrito suficiente para fazer oscilindros rolarem sem deslizar a medida que eles osci-lam na extremidade da mola. Mostre que o movimentodo centro de massa dos cilindros e um MHS, e calcule oseu perıodo em termos de M e de k. (Sugestao: O mo-vimento e harmonico simples quando a aceleracao ax eo deslocamento x sao relacionados mediante a Equacao(13.8) e o perıodo e entao dado por T = 2π/ω. Apli-que as relacoes

∑τz = Icmαz e

∑Fx = Macmx para os

cilindros a fim de obter uma relacao entre acmx e o des-locamento x dos cilindros de sua posicao de equilıbrio.]

Figura P13.88

P13.91 Uma barra metalica delgada e homogenea de massa Mpossui um pivo em seu centro por onde passa um eixoperpendicular a barra. Uma mola horizontal cuja cons-tante e k possui uma extremidade presa na parte infe-rior da barra e sua outra extremidade esta rigidamentepresa a um suporte. Quando a barra e deslocada for-mando um pequeno angulo θ com a vertical (FiguraP13.91) e libertada, mostre que a oscilacao e um movi-mento harmonico angular e calcule seu perıodo. (Su-gestao: Suponha que o angulo θ seja suficientemente pe-queno para que as relacoes sen θ ≈ θ e cos θ ≈ 1 sejamaproximadamente validas. O movimento e harmonicosimples quando d2θ/dt2 = −ω2θ e o perıodo e entaodado por T = 2π/ω.)

Figura P13.91

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P13.93 Duas hastes delgadas, cada uma delas com massa m ecomprimento L, sao conectadas perpendicularmente demodo a formarem um objeto em forma de L. Esse ob-jeto e equilibrado no topo de uma aresta aguda (FiguraP13.93). Quando o objeto em forma de L e deslocadoligeiramente, ele oscila. Ache a frequencia da oscilacao.

Figura P13.93

P13.94 Voce deseja construir um pendulo com um perıodo de4,00 s em um local onde g = 9,80 m/s2. a) Qual e ocomprimento de um pendulo simples com esse perıodo?b) Suponha que o pendulo deve ser montado em umacaixa que nao possui mais do que 0,50 m de altura. Vocepode imaginar um pendulo que tenha um perıodo de4,0 s e que satisfaca a essa condicao?

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