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Anlise Real.Curso de vero 2015 - UFPE
1. Demonstre que
Toda funo constante integrvel A funo de Dirichlet no integrvel.
2. Seja f (x) = x3 para 0 x 1 e seja Pn :=0; 1n ;
2n ; :::;
nn
uma partio
de [0; 1]. Calcule s (f; Pn), S (f; Pn) eR 10x3dx: [Sugesto: Use a frmula
13 + 23 + :::+m3 =12m (m+ 1)
23. Seja I := [a; b]. Demonstre que
Se f : I ! R montona em I, ento f integrvel em I: Se f : I ! R contnua I, ento f integrvel em I:
4. Seja f : [a; b] ! R limitada. Se para cada c 2 [a; b], f j[a;c] integrvel,ento f integrvel.
5. Seja f : [a; b] ! R limitada com um nmero nito de descontinuidades.Ento f integrvel.
6. Seja f : [a; b] ! R denida por f (x) = 0 se x irracional ou zero, efpq
= 1q se
pq uma frao irredutvel, p 6= 0. Demonstre que f
integrvel no intervalo [a; b] : [Exemplo do Elon]
7. Seja f : [a; b]! R integrvel, mostre que jf (x)j integrvel eR ba f (x) dx R b
ajf (x)j dx
8. Seja f : [a; b]! R integrvel. As seguintes armaes so equivalentes
R bajf (x)j dx = 0
Se f contnua no ponto c, ento f (c) = 0 X = fx 2 [a; b] ; f (x) 6= 0g tem interior vazio.
9. Seja f : [a; b] ! R contnua. Se f no identicamente nula entoR bajf (x)j dx > 0:
10. D um exemplo de uma funo integrvel que seja descontnua num con-junto innito.
11. Seja f : R ! R derivvel tal que f (0) = 0 e para todo x 2 R valef0(x) = [f (x)]
2: Mostre que f (x) = 0 para todo x 2 R.
12. D um exemplo de uma funo no-integrvel que possua primitiva. [Sug-esto: Ache uma funo f , derivvel em [1; 1] com f 0 ilimitada]
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13. Seja g 0 integrvel. Se R bag (x) dx = 0 ento
R baf (x) g (x) dx = 0 seja
qual for f integrvel.
14. Se g : [c; d] ! R contnua e f : [a; b] ! [c; d] integrvel, ento g f :[a; b]! R integrvel.
15. Demonstre!
Seja f : [a; b] ! R integrvel. Se f contnua em c 2 [a; b], ento afuno F : [a; b] ! R, F (x) := R x
af (t) dt derivvel em c e tem-se
f (c) = F0(c) :
Se uma funo integrvel f : [a; b] ! R possui uma primitiva F :[a; b]! R, ento Z b
a
f (x) dx = F (b) F (a)
Em outros termos, se uma funo F : [a; b] ! R possui derivadaintegrvel, ento Z b
a
F0(t) dt = F (b) F (a) :
16. Demonstre ou refute
Toda funo contnua denida num intervalo compacto admite prim-itiva.
Nem toda funo integrvel f possui primitiva F Duas primitivas de uma funo f diferem por uma constante.
17. Seja f : [a; b]! R contnua em [a; b] e H : [a; b]! R denida por
H (x) :=
Z bx
f (t) dt
Encontre H0(x).
18. Sejam f : [a; b] ! R contnua em [a; b] e v : [c; d] ! R derivvel em[c; d]. Suponha que v ([c; d]) [a; b], demonstre que se G : [c; d]! R estdenida por
G (x) :=
Z v(x)a
f (t) dt
para todo x 2 [c; d], ento G0 (x) = (f v) (x) :v0 (x) para todo x 2 [c; d] :19. Sejam f; p : [a; b]! R com f contnua. Demonstre
Existe c 2 (a; b) tal que R baf (x) dx = f (c) (b a)
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Se p integrvel e p (x) 0, ento existe c 2 (a; b) tal que R baf (x) p (x) dx =
f (c)R bap (x) dx:
20. Sejam f : [a; b] ! R contnua e g : [c; d] ! R derivvel com g0 integrvele g ([c; d]) [a; b]. EntoZ g(d)
g(c)
f (x) dx =
Z dc
f (g (t)) :g0(t) dt
21. Se f; g : [a; b]! R possuem derivadas integrveis, entoZ ba
f (t) g0(t) dt = [f (b) g (b) f (a) g (a)]
Z ba
f0(t) g (t) dt:
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