fMA-141 GEOMETRIA ANALITICA, 12- P-P,RIODO DE 2006

TERCEIRA LISTA DE EXERcicIOS

Vetores no plano e no espa<;o

Quest ao 1. Mostre que 0u;gmento que une os pontos medics de 2 lados de um triangulo e paralelo ao terceiro ladoe e igual a sua metade. N>

Questao 2. Seja 0 triangulo de vertices ABC, e pontos, M no lado BA, N no lado CA, de tal maneira que sejam---+ ------+ ---+ ----+

verificadas as igualdades vetoriais: B1I1=u BA, CN= u CA, onde 0 < u < 1, e urn mimero real.

(a) Determine MA em funcao de BA.

(b) Mostre que 0 segmento 111N e paralelo ao lado BC.

Questao 3.

(a) Demonstre que se 0 e f3 sac mimeros reais tais que

0(2, 3) + f3(3, 2) = 5,

entao 0 = 0 e f3 = o.(b) Qual a conclusao geometrica que podemos tirar do item acima?

Quest ao 4. Considere tres vetores do espaco, u = (1,0 - 1), V= (1,1,1) e 'UJ = (x, y, z).

(a) Se ui = (-1, -5, -9) mostre que existem escalares a e b tais que ui = au + bv.

(b) Ainda para ui = (-1, -5, -9), sera que existem escalates ai, bl tais que (ai, bl) =1= (a, b) e 111 = alu + blv?

(b) Sera que para todo 111 existem escalares a e b tais que 'UJ = au + bv, como no item anterior?

cjr Existe alguma relacao entre as perguntas acima e 0 estudo de sisitemas?

Questao 5. Sejam aI, a2, a3, bl, bz, b3 seis mimeros reais quaisquer. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz:

Questao 6. (a) Determine 0 conjunto de todos os vetores do esp~o que sac paralelos ao vetor (1,1,1).(b) Descreva 0 conjunto de todos os vetores do espaco que sac ortogonais ao vetor (1,0, -1).(c) Qual 0 significadogeometrico dos conjuntos encontrados nos itens (a) e (b)?

Quest.ao 7. Dados os vetores U = (0,2, -2) e V = (2,2,0) pede-se:

(a) Dois vetores unitarios (norma 1) u e v de modo que u seja paralelo a U e v seja ortogonal a U e V;

(b) urn terceiro vetor unitario 'UJ de modo que u, v e iu sejam dois a dois ortogonais.

Questao 8. Mostre que as diagonaisde um losangocortam-se mutuamente em seu ponto medic e que sac ortogonaisentre si.

Questao 9. Considere os pontos A = (3, -2,8), B = (0,0,2) e C = (-3, -5, 10).

(a) Usando vetores mostre que 0 triangulo de vertices A, Be 0 e retangulo.

(b) Determine a area desse triangulo. (Area do triangulo = 1/2 area do paralelogramo).

(c) Seja Hope da altura do triangulo relativa ao vertice A. Determine 0 vetor BH. (Observar que BH e a projecao---> ---+

ortogonal de BA sobre BO.)

(d) De as coordenadas do ponto H.

Questao 10. Decompor 0 vetor 111 = (-1, -3, -2) como soma de dois vetores 111 = 11.+ v, onde v, e paralelo aovetor (0,1,3) eve ortogonal a (0,1,3).

Questao 11. Sejam 11., v e 111 tres vetores. Sabendo-se que 11. e ortogonal a v - we v e ortogonal a 11}- 11., verifiqueque 111 e ortogonal au - v.

Questao 12. Seja v 1= a um vetor do ]R3e sejam a, /3, e, os angulos que v vaz com os eixos coordenados.Mestre que cos2 a + cos2 f3 + cos2, = 1. (Sugestao, calcular os cossenos fazendo 0 produto escalar com os vetores(1,0,0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) respectivamente.)

Quest ao 13. A area do triangulo ABC eJ6. Sabendo-se que A = (2,1,0), B = (-1,2,1) e que 0 vertice C estano eixo Y, encontre as coordenadas de C.

Questao 14. Encontre 1illl vetor 11. que seja ortogonal aos vetores (2,3, -1) e (2, -4, 6) tal que 1111.11= 3V3.Questao 15. Dados os pontos A = (2,3, 0), B = (4,0,1) e C = (0,1,2) no ]R3determine:

(a) 0 comprimento do lado AB.

(b) A medida do angulo entre os lados BA e BC.

(c) A area do triangulo ABC.

(d) 0 comprimento da altura do triangulo ABC relativa ao vertice A.

(e) As coordenadas do ponto no lado AC por onde passa a perpendicular a esse lado que contem 0 ponto B.

(f) 0 volume do tetraedro OABC (0 = (O,O,O))(Observ~ao: 0 volume do tetraedro e igual a 1/6 do volume doparalelepipedo. )

(g) Desenhe 0 triangulo ABC no espaco ]R3.

Questao 16. Dados os vetores 11. = (1,2,1) e v = (0, a, b), determine a e b de modo que 0 vetor 10 = 11./\ v verifiqueII w 11= 11 e que os angulos agudos formados entre 10 e os eixos ccordenados X e Y sejam iguais,

Questao 17. Sejam VI = (1,0, -1), V2 = (0,2,1), V3 = (2, -2, -3) e V4 = (1,2,1), vetores do ]R8.

(a) Verificar que VI, v2 e V3 sao coplanares.

(b) Verificar que Vl,V2,V3 formam uma base de]R3 e represente V3 como combinacao linerar de Vl,V2,V3'

Questao 18. Dado 0 vetor v = (0,1,2), determine urn vetor w ortogonal ao eixo X tal que Iv /\ 101 12 e<v,w>=4.

Questao 19. Encontre urn vetor tt que seja ortogonal aos vetores (2,3, -1) e (2, -4, 6) tal que 1111.11=3J3.

Questao 20. Se 11., v e w sao tres vetores linearmente dependentes do ]R3,mostre que < u /\ V, 1IJ >= O.

Questao 21. Encontre a equacao de uma reta mediatriz do segmento de extremos A = (1,1,1) e B = (3,3,3).Questao 22. Considere os pontos A = (4,3, -2), B = (5,5, -1), C = (6,4, -3) e D = (7,6,0). Pede-se:

(a) A equacao do plano tt que passa por A, Be C. Mostre tambem que D nao esta em rr.

(b) As equacoes parametricas da reta r que passa por Dee perpendicular a rr (item (a)).

(c) 0 ponto de intersecao entre a reta r (item (b)) e 0 plano tt .

(d) A distancia do ponto D ao plano tt .

(e) A area do triangulo de vertices A, B e C (Area do triangulo = 1/2 area do paralelogramo).

(f) 0 volume do tetraedro de vertices A, B, C e D (Volume do tetraedro = 1/6 volume do paralelepipedo).

(g) A altura do tetraedro ABCD.

2

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