Exercícios Resolvidos de Cálculo29 de março de 2015

Solução de exercícios do Capítulo 11 Seção 1 do livro cálculo vo-lume 1 de James Stewart. Numerações correspondentes a 7 edição.O exercicios não mudam muito de edição para edição, basta procuraratentamente.Capítulo 11 - Sequências

(13) {1, 13 , 15 , 17 , 19 , ...}. Pode-se observar que o denominador do n-ésimo termo é o n-ésimo inteiro ímpar, isto éan =

12n− 1 .(00) Não tem equivalente na 7ł edição, mas é semelhante ao 16.Temos a sequência {2, 7, 12, 17, ...}. Cada termo é igual ao anteriorsomado de 5, assim:

an = a1 + 5(n− 1)= 2 + 5(n− 1)= 5n− 3.

(00) {1,− 23 , 49 ,− 827 , ...}. Neste caso, cada termo é obtido multiplicandoo termo anterior por − 23 . Como a1 = 1, temos:an = (−23 )n−1.

(00) Os primeiros termos sequência (an)n≥1, onde an = n2n+1 são13 , 25 , 37 , 49 , 511 , 613 . O que nos faz pensar que o termos desta sequên-cia estão se aproximando de 12 . De fato:limn→∞

n2n+ 1 = limn→∞

12 + 1/n

=12 + limn→∞ 1

n

=12

(23) Como an = 1− (0.2)n, temos:limn→∞

an = limn→∞

1− (0.2)n= lim

n→∞1− 210n

= 1− 0 = 1.

exercícios resolvidos de cálculo 2(25) Temos an = 3+5n2

n+n2 , segue que:limn→∞

3 + 5n2n+ n2 = lim

n→∞(3 + 5n2)/n2(n+ n2)/n2

= limn→∞

5 + 3/n21 + 1/n2=

5 + 01 + 0 .(27) É conhecido, lembre-se dos cursos de Cálculo Diferencial, quea função exponencial é contínua. Podemos então calcular o limitecom os seguintes passos:

limn→∞

an = limn→∞

e1/n

= e(limn→∞ 1/n)

= e0 = 1.(29) Novamente usaremos a contínuidade de uma das funções envol-vidas no limite. Observamos, antecipadamente que:

limn→∞

bn = limn→∞2nπ1 + 8n

= limn→∞(2nπ)/n

(1 + 8n)/n= limn→∞

2π1/n+ 8 =2π8

=π4 .

Como a função tan é contínua em π4 , temoslimn→∞

tan( 2nπ1 + 8n)

= tan( limn→∞

2nπ1 + 8n)

= tan(π4 ) = 1.(31) Queremos calcular lim

n→∞n2

√n3 + 4n .

Temos então,an =

n2√n3 + 4n =

n2/√n3

√n3 + 4n/

√n3

=

√n1 + 4/n2

exercícios resolvidos de cálculo 3Como an → ∞ quando n → ∞ temos que limn→∞√n = ∞ elimn→∞√1 + 4/n2 = 1. Portanto an é divergente.

(33) Vamos verificar se a sequência absolutamente convergente.Temos então:limn→∞

|an| = limn→∞

|(−1)n|2√n= lim

n→∞12√n

=12 · (0) = 0.

Assim podemos concluir que a série é convergente.(35) Queremos verificar se a sequência an = cos(n2 ) é conver-gente. Basta observar que se a função cosseno é periódica e que asequência assumirá valores entre 1 é −1 mas não se aproximam denenhum número real.

Figura 1: Valores assumidos pelafunção cosseno em alguns valoresinteiros.

(37) Temos an = (2n−1)!(2n+1)! ; segue que:

limn→∞

(2n− 1)!(2n+ 1)! = lim

n→∞(2n− 1)!

(2n+ 1)(2n)(2n− 1)!= lim

n→∞1

(2n+ 1)(2n)= 0.

(39) Agora an = en+e−ne2n−1 . Para mostrar que a sequência é conver-gente, proscedemos da seguinte maneira:

limn→∞

en + e−n

e2n − 1 · e−ne−n = limn→∞

1 + e−2nen − e−n

= 0,pois, quando n→∞ temos 1 + e−2n → 1 e en − e−n →∞.

exercícios resolvidos de cálculo 4(41) Podemos escrever an = n2e−n = n2

en . Daí, usando a Regra deL’Hospital, duas vezes concecutivas, obtemos:

limx→∞

x2ex = lim

x→∞2xex

= limx→∞

2ex

= 0.Segue que limn→∞ n2e−n = 0.

Referências