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Lista de Exercícios #6 Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação

1

1. ANPEC 2018 - Questão 6

Por regulamentação, a concentração de um produto químico não pode ultrapassar

10 ppm. Uma fábrica utiliza esse produto e sabe que, num dia qualquer, a concentração tem

distribuição Normal(7,675; 1,52). Qual a probabilidade de que, em um dia qualquer, a

concentração do produto exceda 10 ppm? Multiplique por 100 e marque o inteiro mais

próximo. (Pode ser útil a seguinte informação: P(z < 1,55) = 0,9505)

2. ANPEC 2017 – Questão 04

Sejam 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal (𝜇, 𝜎2), em que

𝜇 e 𝜎2 são desconhecidos 𝜎2 > 0. Podemos definir também �� =1

𝑛∑ 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 e

𝑆2 = 1

𝑛−1∑ (𝑋𝑖 − ��)2𝑛

𝑖=1 . Podemos afirmar:

(0) 𝑆2 é um estimador não tendencioso de 𝜎2.

(1) A variância de �� é igual a 𝜎2

𝑛.

(2) 𝑆2 é um estimador não tendencioso para a variância de ��. (3) 𝑆2 é um estimador consistente de 𝜎2. (4) �� é um estimador consistente de 𝜇.


Julgue as afirmativas abaixo:

(0) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas

com média 𝜇 e variância 𝜎2. Então �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 é um estimador consistente para 𝜇;

(1) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias com Distribuição de Poisson com parâmetro 𝜆.

Definindo �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 podemos dizer, com base na Lei dos Grandes Números, que �� se

aproxima de 𝜆 a medida que n → ∞;

(2) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas

com média 𝜇 e variância 𝜎2. Sendo �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 , podemos dizer que �� se torna bem

aproximada pela distribuição normal com média 𝜇 e variância 𝜎2 quando n → ∞;

(3) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas

com média 𝜇 e variância 𝜎2. Sendo �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 , �� se torna bem aproximada pela distribuição

normal quando n → ∞, mesmo que X1, X2,...,Xn não sejam normalmente distribuídas;

(4) Sendo X uma variável aleatória com média E(X) = 1 e variância 𝜎𝑥2 = 4, o limite de

probabilidade para |X – 1| ≥ 4 é igual a 0,50.


2


Sejam 𝑋𝑛~𝑁 (0; 2 +2

𝑛) e 𝑋~𝑁(0; 2). Julgue as seguintes afirmativas:

(0) 𝑋𝑛converge em distribuição para 𝑋 e 𝑋𝑛 converge em probabilidade para 𝑋;

(1) 𝑋𝑛 converge em distribuição para 𝑋;

(2) 𝑋𝑛 converge em probabilidade para 𝑋;

(3) lim𝑛→∞

𝑃𝑟[|𝑋𝑛 − 𝑋| < 𝜀] → 1

(4) lim𝑁→∞

𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑛] = 4


Seja 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 uma amostra aleatória de tamanho N com distribuição exponencial:

𝑓(𝑥) =1

𝜃𝑒𝑥𝑝 (−

𝑥

𝜃) , 0 < 𝑥 < ∞.

Seja 𝜃 = 𝑐��, em que 𝑐 é um número real.

Julgue as seguintes afirmativas:

(0) Podemos afirmar que 𝜃 é um estimador não-viesado para 𝜃;

(1) 𝑉𝑎𝑟[𝜃] =𝑐

𝜃;

(2) O erro quadrado médio do estimador é 𝜃2(2𝑐² − 2𝑐 + 1). O erro quadrado médio é

minimizado quando c é igual a 0,5;

(3) Se 𝑐 = 1, 𝜃 é um estimador não-viesado para 𝜃;

(4) Se 𝑐 = 1, 𝜃 é um estimador viesado para 𝜃 e o seu erro quadrado médio é igual a 𝜃2.


Sejam 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 e 𝑋4variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas de uma

população com média 𝜇 e variância 𝜎2. Considere os seguintes estimadores para 𝜇:

𝑚1 = (𝑋1 + 2𝑋2 + 2𝑋3 + 𝑋4)/6

𝑚2 = (𝑋1 + 4𝑋2 + 4𝑋3 + 𝑋4)/10

𝑚3 = (𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4)/4

Com base nesses três estimadores, são corretas as afirmativas:

(0) Os três estimadores são não tendenciosos;

(1) 𝑚1 é o estimador com maior variância;

(2) Os três estimadores são igualmente eficientes;

(3) 𝑚3 é o estimador com menor variância;


3

(4) O estimador 𝑚2 é não tendencioso e tem menor variância do que o estimador 𝑚1.


Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média e variância 2. Considere

duas amostras aleatórias independentes de X. Cada uma das amostras tem tamanho n1 e n2, e

possuem médias 1X e 2X . Podemos usar dois estimadores para a média populacional,

)(2

1~21 XX e

21

2211ˆnn

XnXn

.

Julgue as seguintes afirmativas a respeito dos estimadores:

(0) ~ é um estimador não-viesado para a média populacional;

(1) é um estimador não-viesado para a média populacional;

(2) ~ possui menor variância que ;

(3) ~ é um estimador mais eficiente, isto é, possui menor erro quadrático médio que ;

(4) ~ é um estimador consistente para a média populacional.


𝑋1, … , 𝑋𝑁 é uma amostra aleatória de tamanho 𝑁 de uma população com 𝐸[𝑋𝑖] = 𝜃1 e

𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑖] = 𝜃2. Definimos quatro estatísticas:

𝑇1 =∑ 𝑋𝑖

𝑁𝑖=1

𝑁, 𝑇2 =

∑ 𝑋𝑖𝑁𝑖=1

𝑁 − 3, 𝑇3 =

∑ 𝑋𝑖𝑁/2𝑖=1

𝑁 , 𝑇4 =


𝑁2

Em relação às quatro estatísticas, podemos afirmar que:

(0) 𝑇2 é um estimador viesado para 𝜃1 e o viés é igual a 3

𝑁−3𝜃1.

(1) Pela lei dos grandes números, 𝑇1 converge em distribuição para uma normal com média 𝜃1

e variância 𝜃2

𝑁.

(2) A variância de 𝑇3 é menor que a variância de 𝑇1.

(3) 𝑇3 é um estimador consistente para 𝜃1

2.

(4) Usando a desigualdade de Tchebycheff, podemos mostrar que Pr [𝑇4 ≥ 𝜉] ≤𝑉𝑎𝑟(𝑇4)

𝜉2 , onde

𝜉 > 0 é uma constante qualquer.


4


São corretas as afirmativas:

(0) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas e que 𝑃(𝑋1 = 𝑥) =1

11, 𝑥 = 1, 2, … , 11. Então pela lei dos grandes números, à

medida que 𝑛 → 11, �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 converge para 11.


distribuídas com distribuição de Bernoulli com parâmetro 𝑝. Defina �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 . Então, pelo

Teorema Central do Limite, à medida que 𝑛 → ∞, (�� − 𝑝)/√𝑝(1 − 𝑝)/𝑛 converge para uma

distribuição normal padrão.


distribuídas, com distribuição uniforme no intervalo [0, 𝜃]. Defina �� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛𝑛𝑖=1 . Então, 2�� é

um estimador não viesado de 𝜃.

(3) Suponha que 𝑋 tenha distribuição 𝑡 com 4 graus de liberdade. Então 𝑃(|𝑋| > 4) = 0,23.

(4) Suponha que 𝑋 seja uma variável aleatória com distribuição 𝑡 de Student com 𝑛 graus de

liberdade. À medida que 𝑛 aumenta, a distribuição de 𝑋 se aproxima de uma normal padrão.


Julgue as seguintes afirmativas:

(0) Seja X1,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que E[Xi]

= μ < ∞. Se Var[Xi] → 0, então Xi 𝑝→ μ.

(1) Seja X1, X2,... uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência de variáveis aleatórias

converge em probabilidade para uma constante μ se e somente se esta sequência de variável

aleatória converge em distribuição para μ.

(2) Seja X1, X2,..., Xn uma amostra aleatória com média �� e variância 0 < S2 < ∞. Podemos

afirmar que W = c��, com c 𝜖 𝑅 converge para uma distribuição normal com média μ e

variância 𝜎2

𝑁.

(3) Seja X1,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média μ e

variância 0 < σ2 < ∞. Seja 𝑆2 = 1

𝑁 ∑ (𝑋𝑖

𝑁𝑖=1 − ��)2 em que �� =


𝑁 . Neste caso S2, é um

estimador consistente para σ2.

(4) Se Y é uma variável aleatória tal que E[Y2] < ∞, então podemos afirmar que P(|Y| ≥ 𝑐) ≤

𝐸[𝑌]

𝑐2 para c>0.


5



(0) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas, com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Então, pela Lei dos Grandes

Números, à medida que n→ ∞, �� = ∑𝑋𝑖

𝑛

𝑛𝑖=1 converge para p.


distribuídas, com distribuição uniforme no intervalo [0,1]. Seja �� = ∑𝑋𝑖

𝑛

𝑛𝑖=1 . Pelo Teorema

Central do Limite, à medida que n→ ∞, √𝑛[(��−

1

2 )

√112⁄

] aproxima-se de uma distribuição normal

padrão.


distribuídas e que Xi ~ N(0,1), ∀ i. Então, se definirmos 𝑌 = 𝑋𝑖2, P(|Yi -1| > 2) ≤ 0,5.


distribuídas, com distribuição log normal com parâmetros μ e σ. Seja �� = ∑𝑋𝑖

𝑛

𝑛𝑖=1 . Então, log

�� é um estimador consistente de μ.


distribuídas e que Xi ~ N(μ,σ2), ∀ i. Então, se definirmos �� = ∑𝑋𝑖

𝑛

𝑛𝑖=1 e ��2 =

∑ (𝑋𝑖 − ��)2 𝑛𝑖=1 / 𝑛, ��2 será um estimador eficiente de σ2.


Sejam W1 e W2 variáveis aleatórias discretas independentes com a seguinte função de

probabilidade: f(0) = ½, f(1) = 1/3 e f(2) = 1/6. Seja Y = W1 + W2. Julgue as seguintes

afirmativas:

(0) E[Y] = 4/3

(1) Var[Y] =10/9

(2) Pela desigualdade de Tchebyshev, P(Y ≥ 3) ≤ 2/5

(3) Usando os dados acima, obtemos que P(Y ≥ 3) = 1/36 .

(4) Y é uma variável aleatória discreta que assume os seguintes valores {0,1,2,3,4,5}.


6



(0) Suponha que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas e que Xi ~ 2,N . Então é um estimador eficiente de .


distribuídas e que Xi ~ 2,N . Então, se definirmos , 2

2

XP

para

0 .

(2) Se um estimador de um parâmetro é não viesado e a variância de converge para 0

à medida que o tamanho da amostra tende a infinito, então é consistente.


distribuídas e que Xi ~ Poisson(λ), i . Seja . Pela lei dos grandes números,

à medida que n → ∞, X converge para λ.


distribuídas e que 2~ viX , i . Seja . À medida que n → ∞,

nvvX /2/ aproxima-se de uma distribuição normal padrão.


Responda se verdadeiro ou falso:

(0) A Diferença entre as medianas de uma distribuição 𝐹(𝑎,𝑏) e de uma distribuição 𝑎2 diminui à

medida que 𝑏 → ∞;

(1) O Teorema Central do Limite justifica a afirmação: “Seja 𝑇 uma variável aleatória,tal que

𝑇~𝑡𝑘−1, em que 𝑡 representa uma distribuição 𝑡 de Student, com 𝑘 − 1 graus de liberdade, em

que 𝑘 é fixo. Então 𝑇 converge em distribuição para uma Normal Padrão";

(2) Sejam 𝑆12 = ∑

(𝑥𝑖−��)2

𝑛

𝑛𝑖=1 e 𝑆2

2 = ∑(𝑥𝑖)2

𝑛

𝑛𝑖=1 . Ambos estimadores podem ser demonstrados

consistentes para 𝜎2, supondo uma amostra aleatória de 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2);

(3) Uma moeda justa foi jogada 300 vezes e observou-se cara em 188 destas. A Lei dos Grandes

Números justifica a afirmação: 𝑃(cara na 301ª jogada | 188 caras em 300 jogadas) < 0,5.

(4) Se um estimador convergir em média quadrática para o parâmetro, ele será consistente

(convergirá em probabilidade para o parâmetro).

nXXn

i i/

1

nXXn

i i/

1

nXXn

i i/

1

nXXn

i i/

1


7



(0) Considere dois estimadores não tendenciosos 𝜃1 e 𝜃2, de um parâmetro 𝜃. 𝜃1 é eficiente

relativamente 𝜃2 se 𝑉𝑎𝑟(𝜃1) < 𝑉𝑎𝑟(𝜃2);

(1) Um estimador 𝜃 de um parâmetro 𝜃 é consistente se 𝜃 converge em probabilidade para 𝜃;

(2) Um estimador 𝜃 de um parâmetro 𝜃 é consistente se, e somente se, 𝜃 é não viesado e a

variância de 𝜃 converge para 0 a medida que o tamanho da amostra tende a infinito ;

(3) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋10 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas e que 𝑋𝑖~2 2 , 𝑖 = 1, 2, … ,10. Defina �� = ∑

𝑋𝑖

𝑛

10𝑖=1 . Então 𝑃(1 < �� < 3) = 0,55;

(4) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas e que 𝑋𝑖~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆), ∀𝑖. Defina �� = ∑𝑋𝑖

𝑛

10𝑖=1 . À medida que 𝑛 → ∞, (�� −

𝜆)/√(𝜆 𝑛⁄ ) aproxima-se de uma distribuição normal padrão.


Suponha que 𝑌1 e 𝑌2 sejam variáveis aleatórias independentes, com média 𝜇 e variâncias

𝑉(𝑌1) = 75 e 𝑉(𝑌2) = 25. O valor de 𝜇 é desconhecido e é proposto estimar 𝜇 por uma média

ponderada de 𝑌1 e 𝑌2, isto é, por: 𝑎𝑌1 + (1 − 𝑎)𝑌2. Qual valor de 𝑎 produz o estimador com a

menor variância possível na classe dos estimadores não viesados? Multiplique o resultado por

100.


Seja Yi, i = 1, ..., n, uma variável aleatória tal que Yi = 1 com probabilidade p e Yi = 0 com

probabilidade 1-p. Defina

n

1i

iYX . Responda se cada uma das afirmativas abaixo é verdadeira

ou falsa:

(0) Yi, i = 1, ..., n, possui distribuição Poisson com média p.

(1) X possui distribuição Binomial com parâmetros n e p.

(2) V(Yi) = V(X) = p. V(X) significa variância de X.

(3) Se n →∞ e p permanecer fixo, então )p1(np

npX

converge para distribuição normal com

média 0 e variância 1.

(4) E(Y2) = p2.


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Sejam X1, X2, ..., Xn, n variáveis aleatórias independentes, igualmente distribuídas, com

distribuição Poisson dada por

contrário caso0

,...2,1,0x!x

e)x(p

x

x

Julgue as afirmativas:

(0) Pela Lei dos Grandes Números

n

1i

iXn

1T aproxima-se da distribuição normal quando n

tende para o infinito.

(1) Suponha que n>5.

n

6i

i

5

1i

i X5n

1X

5

1T é um estimador consistente de E(Xi).

(2)

n

1i

i

2n

1i

i Xn

1X

n

1T é um estimador tendencioso de 2.

(3) Pelo Teorema Central do Limite,

n

1i

iXn

1T é um estimador consistente de V(Xi).

(4)

n

1i

iXn

1T é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro .


Considere uma amostra aleatória de n variáveis x1, x

2, ..., x

n, normalmente distribuídas com

média μ e variância σ2. Sejam

n

1i

ixn

1x e

n

1i

2i

2 xxn

1s . É correto afirmar que:

(0) x e 2s são estimadores de máxima verossimilhança de μ e σ2, respectivamente.

(1) x e 2s são não viesados.

(2) x e 2s são consistentes.

(3) Apenas x é consistente.

(4) Apenas x é não viesado.


9



(0) O teorema de Tchebychev é útil para se calcular o limite inferior para a probabilidade de

uma variável aleatória com distribuição desconhecida quando se tem apenas a variância da

população.

(1) Um estimador não-tendencioso pode não ser consistente.

(2) Um estimador consistente pode não ser eficiente.

(3) Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média µ e variância finita. Pela Lei

dos Grandes Números, E(m) = µ, em que m =

n

i

iYn 1

1.

(4) Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média μ e variância finita. Pelo

Teorema do Limite Central, a distribuição da média amostral m converge para uma

distribuição Normal.



(0) Uma variável aleatória X tem média zero e variância 36. Então, pela desigualdade de

Tchebychev, 36,0)10|(| XP .

(1) Pela Lei dos Grandes Números a distribuição da média amostral de n variáveis aleatórias

independentes, para n suficientemente grande, é aproximadamente Normal.

(2) O estimador de um determinado parâmetro é dito consistente se convergir, em

probabilidade, para o valor do parâmetro verdadeiro.

(3) A Lei dos Grandes Números está relacionada com o conceito de convergência em

probabilidade, enquanto que o Teorema Central do Limite está relacionado com

convergência em distribuição.

(4) Um estimador é dito não-tendencioso se a sua variância for igual à variância do parâmetro

estimado.


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Suponha que n21 x,........,x,x sejam variáveis aleatórias independentes, identicamente

distribuídas, com média E(xi) = μ (i = 1,2,3,...n) e variância σ2 = 10. Utilizando a lei dos grandes

números responda à questão. Qual deverá ser o valor de n de modo que possamos estar 95%

seguros de que a média amostral x difira da média μ por menos de 0,1? Divida o resultado final

por 1000.


Sejam: X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média

e variância 2;

n

i

iXnX1

1 ; e

n

i

iYZ1

2 , em que XYi

1 . É correto afirmar que:

(0) X é um estimador tendencioso da média ;

(1) Z é uma variável aleatória com distribuição 2 com n graus de liberdade;

(2)

n

i

i XXns1

212 é um estimador tendencioso da variância 2;

(3) Xn é uma variável aleatória normalmente distribuída com média n e variância 2;

(4) a variável aleatória

n

Z

YW i

i possui distribuição F com n1 e n2 graus de liberdade, em que

n1 = 1 e n2 = 2n.


O número de clientes – Y – que passa diariamente pelo caixa de um supermercado foi observado

durante certo período. Constatou-se que o valor médio de Y é de 20 clientes, com desvio padrão

igual a 2. Encontre o limite mínimo para a probabilidade de que o número de clientes amanhã se

situe entre 16 e 24. (Pista: Utilize o teorema de Tchebycheff). Multiplique o resultado por 100.


Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade que dependa do parâmetro

desconhecido , tal que E(X) = . Seja também x1, x2, ..., xn uma amostra aleatória de X.

(0) Para amostras suficientemente grandes, o estimador de máxima verossimilhança de , caso

exista, segue uma distribuição Normal.


11

(1) Se

n

i

ii xcˆ

1

é um estimador de , este não será viciado desde que 1cn

1ii

. Além do mais,

terá variância mínima se ci=1/n para todo i.

(2) Se

n

1iix

n

1ˆ é um estimador não viciado de , então 2 também será um estimador não

viciado de 2 .

(3) Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [0,], com > 0, então

n

nˆ 1 máximo[x1, x2, ..., xn] não é um estimador consistente de .

(4) Se 1 e 2 são dois estimadores do parâmetro em que E ( 1 ) = θ1 e E ( 2 ) θ2 mas Var (

2 ) < Var ( 1 ), então o estimador 2 deve ser preferível a 1 .


Indique se as seguintes considerações sobre a Lei dos Grandes Números, Desigualdade de

Tchebycheff e teorema do Limite Central são verdadeiras (V) ou falsas (F).

(0) De acordo com a desigualdade de Tchebycheff, se a variância de uma variável aleatória X

for muito próxima de zero, a maior parte da distribuição de X estará concentrada próxima de

sua média.

(1) O teorema do Limite Central afirma que, para uma amostra grande o suficiente, a distribuição

de uma amostra aleatória de uma população Qui-quadrado se aproxima da Normal.

(2) As condições suficientes para identificar a consistência de um estimador são baseadas na Lei

dos Grandes Números.

(3) Em n repetições independentes de um experimento, se Af é a freqüência relativa da

ocorrência de A, então 2A

n

)P1(P1}Pf{P

, em que P é a probabilidade constante

do evento A e é qualquer número positivo.

(4) Se uma variável aleatória X tem distribuição Binomial com parâmetros n = 20 e P = 0,5,

então 5

10}{

aaXP em que )(• é a função de distribuição Normal padrão.


Uma amostra de tamanho n foi selecionada de uma população de m elementos. Pode-se afirmar:

(0) A média amostral X é um estimador não tendencioso e eficiente da média populacional

se todos elementos de m tiverem a mesma probabilidade de serem selecionados .


12

(1) A variância da distribuição amostral de X é 2

n se a população for infinita ou se a

amostragem for com reposição.

(2) Se a população for finita, a variância da distribuição amostral de X é 2 1

(1 )n n

porque as

observações da amostra são independentes.

(3) Se X for uma variável aleatória qualquer a distribuição de X será normal com média e

variância 2

1n

.

(4) Se lim ( ) 0n

E X

, então X é um estimador assintoticamente não tendencioso.


Seja uma variável aleatória X com média E(X) = 0 e variância 2

x = 25. Qual o limite de

probabilidade para que [X – E(X)] > 10? Resposta em percentagem.


Seja X1, X2 , ..., Xn uma amostra aleatória da densidade Normal(0,) e seja T= 1/n

n

i

iX1

2 . É

correto afirmar que:

(0) T é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de .

(1) T é um estimador tendencioso de .

(2) A variável aleatória Z = /1

2

n

i

iX tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.

(3) E (3

2

2

1 XX ) = 2.

(4) T é um estimador eficiente de


Seja Y uma variável aleatória contínua com distribuição de probabilidade f(y;), em que =

(1,2 ,...,p). Considere uma amostra aleatória de Y, com tamanho n. Com relação à função de

verossimilhança L(), é correto afirmar que:

(0) l()= ln L() =

n

i

iyf1

);(log , em que ln é o logaritmo natural.

(1) A função de verossimilhança é também uma função de densidade de probabilidade, que

possui, assim, todas as propriedades matemáticas associadas à uma função de densidade de

probabilidade.


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(2) Uma condição necessária a que os estimadores de máxima verossimilhança devem satisfazer

é que a matriz { jil /)(2} i,j = 1, 2, ..., p, avaliada no ponto de máximo, seja negativa

definida.

(3) Sendo Tn o estimador de máxima verossimilhança do parametro escalar 1, segue-se que Tn

apresenta a seguinte propriedade:

0)|Pr(| 1lim nTn

, > 0.

(4) Sendo = g(1), em que g(.) é uma função um a um de 1, e Tn é o estimador de máxima

verossimilhança de 1, segue-se que o estimador de máxima verossimilhança de será Gn =

g(Tn )[d/d1] , em que a derivada é avaliada em 1= Tn.


Sejam p e p~ dois estimadores do parâmetro p da distribuição Binomial, em que Y é a variável

desta distribuição e n o tamanho da amostra:

1

1~ˆ

n

Yp

n

Yp

p é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p.

Sob o critério do erro quadrado médio, para pequenas amostras, não há supremacia de um

estimador sobre o outro. O viés do estimador p~ é dado por )]1()1[( np .


Dados os seguintes enunciados, é correto afirmar que:

(0) A Lei Fraca dos Grandes Números diz que: dada uma variável aleatória com distribuição

arbitrária e média e variância finitas, a média amostral obtida a partir de uma amostra

aleatória de tamanho n terá distribuição Normal.

(1) Se X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Poisson(), >

0, então, para n "grande", é válida a seguinte aproximação:

n (___

X - ) / ~ N(0,1), em que __

X é a média amostral.

(2) Se X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Normal(,2), 2

> 0, então, para qualquer tamanho de n, n (___

X - ) / ~ Normal(0,1), em que __

X é a média

amostral.


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Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações :

(0) De acordo com o critério de eficiência, medido pela comparação entre as variâncias dos

estimadores, a média amostral X é preferível a primeira observação 1X como estimador da

média populacional, supondo-se que 2 seja a variância da população.

(1) Seja um estimador não-viciado de . Se g( ) é uma função do parâmetro , então E[g(

)] g[E( )] com a igualdade ocorrendo somente quando g( ) for uma função linear.

(2) A função densidade de probabilidade da variável aleatória x é dada por

1)( xf para

x0 e 0 para outros valores. Assim sendo, considerando-se uma amostra aleatória de

tamanho n , nxxxx ,,, 321 , o estimador de Máxima Verossimilhança de será igual ao

Mínimo de nxxxx ,,, 321 .

(3) Dado que as variâncias das estatísticas S1

2 =

(xi - x)2

i=1

n

å

n-1 e S2

2 =

(xi - x)2

i=1

n

å

nsão,

respectivamente , iguais a 1

2 4

n

e

24

)1

(1

2

n

n

n

, então S2

2 é mais preciso do que S1

2embora

seja uma estatística viciada.


Seja o estimador do parâmetro :

(0) O erro quadrático médio é igual a variância do estimador se for um estimador não-

tendencioso de .

(1) Um estimador 1 é dito eficiente se 1 for não-tendencioso e Var( 1 ) Var ( 2 ), onde 2

é outro qualquer estimador não-tendencioso de .

(2) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média e variância 2. Sejam

x1 e x2 duas observações de uma amostra aleatória de tamanho 2. Podemos afirmar que

~ 3 2

5

1 2x x é um estimador tendencioso de .

(3) Se é consistente, então é não tendencioso.


15


Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações :

(0) Se é um parâmetro populacional e seu estimador, a afirmação de que é um estimador

consistente de se lim { }P 1 para todo 0 quando n , é equivalente a

afirmação de que se )ˆ(lim E e lim ( )Var 0 quando n , então será um

estimador consistente de .

(1) Se x é uma variável aleatória com E(X) = e variância 2 , então a média amostral, X , será

um estimador consistente da média populacional .

(2) A estatística, S

x x

n

ii

n

2

2

1

( )

, baseada em uma amostra aleatória x 1 , x 2 ,x 3 ,....,x n é um

estimador não tendencioso da variância populacional.

(3) A estatística, S

x x

n

ii

n

2

2

1

( )

, baseada em uma amostra aleatória x 1 , x 2 ,x 3 ,....,x n é um

estimador inconsistente da variância populacional.


Com relação a desigualdade de Tchebycheff e ao Teorema Central do Limite, pode-se afirmar

que:

(0) Se uma variável aleatória X tem média , E(X)= , e variância igual a zero, Var(X) = 0,

então P X{ } 1 para todo 0 , ou seja, toda a probabilidade estará concentrada na

média E(X) = .

(1) Seja X uma variável aleatória com média e variância 2. Quando se considera o evento

complementar, uma das formas da desigualdade de Tchebycheff é igual a

2

11}{

kkXP , onde k é um número real.

(2) Se a população tem distribuição Normal, então a distribuição das médias amostrais também

será Normal, independente do tamanho da amostra.

(3) Se X tem distribuição desconhecida com média 500 e variância 2.500, para uma amostra

aleatória de tamanho 100 podemos afirmar que a média da amostra tem distribuição

aproximadamente normal com média 500 e variância 25.

lista de exercícios #6 · lista de exercícios #6 assunto: propriedade dos estimadores e métodos...

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