lista calculo1

CÁLCULO DIFERENCIAL

LISTA DE EXERCÍCIOS

[lista organizada pelos professores Álvaro Serafim e Carlos Roberto Bastos]

PARTE 01 – LIMITES

Cálculo Básico – Limites ______________________________________________________________________________________

2

Questão 1.

Questão 3.

Questão 2.

Considere a função ( )xff = abaixo definida no domínio ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ππ−−ℜ

2,

2.

Analisando o gráfico de f , responda, justificando:

(a) ( )xflim0x

−→

(b) ( )xflimx

+π→

(c) ( )xflimx

−π−→

(d) ( )π−f

(e) ( )xflimx

−π→

(f) ( )xflim2

3x

−π

→

(g) ( )0f (h) ( )xflimx

π→

(i) ( )xflim2

3x

+π

→

(j) ( )xflimx

+π−→

(k) ( )xflim2

3x

π→

(l) ( )πf

(m) ( )xflimx

π−→

(n) ( )xflim0x

+→

(o) ( )23f π (p) ( )xflim0x

→

Esboce o gráfico das funções abaixo e determine ( )xflim

ax

−→, ( )xflim

ax

+→ e, caso exista, ( )xflim

ax

→:

Obs.: Use o Winplot para visualizar os gráficos.

(a) ( ) )2a(1x,3x

1x2,x2x,12x4

xf2

2 −=⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+−

≤≤−

−<+

=

(b) ( ) )1a(

1x,x21x,1x

1x0,x10x,2

xf2

x

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−>−

<≤−

<

=

(c) ( ) ( ))1a(

1x,log

1x,21xf

)x(3

x

=⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

(d) ( ) )a(2x),xcos(

x0),x(senxf π

πππ

=⎩⎨⎧

≤≤<≤

=

Considere as funções do exercício 2. Verifique se f é contínua em ax = . Justifique a sua resposta.


3

Questão 4.

Questão 5.

Questão 6.

Questão 7.

Questão 8.

Determine, se possível, as constantes ℜ∈ba e de modo que f seja contínua em ox , sendo:

(a) ( ) ( )1x1x,2x

1x,2ax3xf o

2

=⎩⎨⎧

≥−<+

=

(b) ( ) ( )1x

1x,b1x,2bx

xf o2

2

=⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+=

(c) ( ) ( )3x3x,1x

3x,ax3x,3x3

xf o2

−=⎪⎩

⎪⎨

⎧

−<+

−=−>−

=

(d) ( )( )

( )0x0x,x2b0x,a3x7

0x,1xcos.a2xf o

2

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

=−<++

=

π

Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações):

(a) x2x

4x lim 2

2

2x −−

→ (b)

4x4x38x2 lim 2

2

2x −−−

→ (c)

112

3

2

1 −+−

→ xxx lim

x

(d) 27x

3x4xlim 3

2

3x −+−

→ (e) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

→ 2x24x3loglim

3

62x

(f) ( )( ) ]2x.8x[senlim 1

2x

−

→−−3 π

(g) x2x3x

x4xlim 23

3

2x +−−

→ (h)

12x7x6xx lim 2

2

3x +−−−

→ (i) 22

33

ax axaxlim

−−

→

Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo conjugado de radicais):

(a) 1x1xlim

1x −−

→ (b)

x3x11xlim

0x

−−+→

(c) x2x

x1lim2

1x ++−

−→

(d) 1x

32xlim 31x −−+

→ (e)

4x2xlim

4x −−

+→ (f)

32x24xlim

16x −−

→

(g) x51x53lim

4x −−

+−→

(h) x

24xlim2

0x

−+→

(i) x3x

516xlim 2

2

3x −−+

→

Calcule ( )x flim

x −∞→ e ( )x flim

x +∞→ para os itens c,b,a do exercício 2.

Analisando o gráfico da questão 1, responda, justificando:

(a) ( )xflim

2x

+π

→

(b) ( )xflim2

x

π−→

(c) ( )xflim2

x

−π

→

(d) ( )xflim2

x

π→

(e) ( )xflimx

+∞→

(f) ( )xflimx

−∞→

(g) f é contínua em 0xo = ?

(h) f é contínua em π−=ox ?

(i) f é contínua em 23xo π= ?

(j) f é contínua em π=ox ?


4

Questão 10.

Questão 11.

Questão 9.

Questão 12.

Questão 13.

Esboce o gráfico de uma função f satisfazendo as condições indicadas em cada caso:

(a) ( ) 1xflim

0x=

→ não existe ( )xflim

1x

→ f é descontínua em 0x =

(b) ( ) +∞=

−∞→xflim

x ( ) −∞=

+∞→xflim

x não existe ( )xflim

2x

−→ ( ) 3xflim

4x=

→

f é descontínua em 0x =

Calcule os limites a seguir (do tipo ∞∞ ):

(a) 23

2

x x9x1825x4x2lim

−−−

+∞→ (b)

( )( )( )( )( )x24x31x

5x23xxlimx −+−

+−−∞→

(c) 1x

4x3x2lim 4

2

x +−−

+∞→

(d) ( ) ( ) 1x23.1x

x2lim

−−−

−∞→

(e) x2x4

1xx3lim 3

5

x −+−−

−∞→ (f) ( ) ( ) 123 1x.x

xlim

−−

+∞→π1

(g) 2n nn321lim ++++

∞→

L (***) (h) 3

2222

n nn321lim ++++

∞→

L (***)

(***)Sugestão:

A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula ( ) 21nn + .

A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula ( )( ) 61n21nn ++ .

Calcule os limites a seguir (do tipo ∞−∞+ ):

(a) )1xln()1xln(lim 2

x+−−

+∞→ (b) x2xlim

x−+

+∞→ (c) x2xlim

x−+

+∞→

2 (d) xx4xlimx

−++∞→

2

Calcule os seguintes limites (do tipo k/0, onde k é constante e k ≠ 0):

(a) ( )24x 4x

5xlim−−

→ (b)

( )( )xsen.xxcoslim

0x

→ (c)

( )2

2

5x 5x3x2lim

−+

→

(d) 4x5x

5xlim 21x +−+

→ (e)

3x11x3lim

3x −−

→ (f) 32x )2x(

x3lim−−

→

Calcule as constantes a, b, c e d de modo que:

(a) 4bxaxlim

2

bx=

−−

→ (b) 5

3xbaxxlim

2

3x=

−+−

→ (c) 5

1x3bxaxlim

x=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++

−+∞→

(d) 8x4x4

dcxbxax)x(f,1)x(flim3)x(flim 2

23

2xx −++++

===−→+∞→

sendo e (e) 61

1xa3xblim

1x=

−−+

→


5

Questão 14.

Questão 15.

Questão 17.

Questão 18.

Questão 16.

Calcule os seguintes limites (envolvendo o limite fundamental trigonométrico):

(a) ( )x

x4senlim0x

→ (b)

( )x2x7tglim

0x

→ (c)

( )20x x

xcos1lim −→

(d) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−→ x

xsenxx2lim3

0x (e)

( )( )xsenx

xcos1lim0x

−→

(f) ( )

2

2

0x x3xcos77lim −

→

Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e ≅ 2,7182):

(a) 3x

x x21lim

+

−∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + (b)

x

x x31lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−∞→ (c)

6x3

x x41lim

+

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + (d)

4x6

x x5xlim

+

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

(e) ( )( ) ( )xsec3

2xxcos1lim +

→

π

(f). x2

1elimx

0x

−→

(g) h

33limxhx

0h

−+

→ (h)

)xsen(1elim

x

0x

−→

Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites (diversos):

(a) 3

53

0x x6)x(senx5lim +−

→ (b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+∞→

2

2

x2x1

x2lim (c)

cbx

x xa1lim

+

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + (d)

x3x9lim

2

3x −−

→

(e) ( )55x 10x-2

-x3lim −→

(f) 5x2

5x2lim2x −

++∞→

(g) x

)xsen()x(tglim0x

+→

h) ( )2xeelim

2x

2x −−

→

Aplicações

O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima-se que

um novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha de produção produzirá 9t

e1030)t(Q−

−= novas unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se (a) Qual a produção do funcionário no início do treinamento? (b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo ?

Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o número de pessoas que

tomaram conhecimento é dado por t5,0e241600)t(N −+

= , onde t representa o número de dias após ocorrer a notícia.

Pergunta-se (a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato? (b) Determine )t(Nlim

t +∞→ e explique o seu resultado.


6

Questão 20.

Questão 19.

.axse,

x1

ax0se,0)x(E

2⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<≤=

A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado

pela função4x

x120)x(A 2

2

+= , onde )x(T é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz.

Pergunta-se: (a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês? (b) Qual será a arrecadação do filme ao longo do prazo?

Se uma esfera oca de raio cm2a = é carregada com unidade de eletricidade estática, a intensidade

de campo elétrico E no ponto P depende da distância x do centro da esfera até P pela seguinte lei:

Estude a continuidade do campo na superfície da esfera.


7

Questão 1. (a) 2 (b) 3 (c) 2 (d) 1 (e) 2 (f) 3 (g) 1 (h) não existe, pois (b) ≠ (e) (i) 3 (j) 2 (k) 3 (l) 2 (m) 2 (n) 2 (o) 3 (p) 2 Questão 2. (a)

( ) ( ) ( ) 4x flimx flimx flim2x2x2x

===−→−→−→ +−

(b)

( ) ( ) ( ) ,0xflimxflimxflim1x1x1x

===→→→ +−

(c)

( ) ( ) 0xflim5,0xflim1x1x

==+− →→ , , não existe ( )xflim

0x

→

(d)

( ) ( ) 1xflim,0xflimxx

−==+− →→

ππ, não existe ( )xflim

x

π→

Questão 3. (a) É contínua em -2 pois ( ) ( ) 42fxflim

2x=−=

−→ . (b) Não é contínua em 1x = pois ( ) ( )1fxflim

1x≠

→ .

(c) Não é contínua em 1x = pois não existe

( )xflim1x

→.

(d) Não é contínua em π=x pois não existe ( )xflim

x

π→.

Questão 4. (a) 1a −= (b) 2b1b =−= ou

(c) Não é possível pois ℜ∈∀a , o limite ( )xflim3x

−→

não existe.

(d) 3b1a =−= ou

Questão 5. (a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 2/27 (e) 2 (f) 0 (g) 4

(h) -5

(i) 3a/2

Questão 6. (a) 1/2 (b) 1/3 (c) 4/3 (d) 361 (e) 0 (f) 1/16

(g) -1/3

(h) 0

(i) 1/5

Questão 7. (a) ∞∞− , - (b) ∞+ ,0 (c) ∞+∞+ , Questão 8. (a) ∞− (b) ∞− (c) ∞+ (d) não existe

(e) ∞+ (f) 1 (g) não

(h) não

(i) sim (j) não Questão 9. Individual - Existem infinitas respostas.

Respostas


8

Questão 10. (a) 0 (b) –2/3 (c) 0 (d) 502 ,− (e) ∞− (f) 0 (g) ½

(h) 1/3

Questão 11. (a) ∞+ (b) 0 (c) 0 (d) 2 Questão 12. (a) ∞− (b) ∞+ (c) ∞+

(d) Não existe, pois +∞=+−

+−→ 4x5x

5xlim 21x e −∞=

+−+

+→ 4x5x5xlim 21x

.

(e) Não existe, pois +∞=−−

−→ 3x11x3lim

3x e −∞=

−−

+→ 3x11x3lim

3x .

(f) Não existe, pois ( )

−∞=−−

−→ 32x 2xx3lim e

( )+∞=

−−

+→ 32x 2xx3lim .

Questão 13. (a) a b= =4 2, (b) a b= = −1 6, (c) a b= = −0 5, (d) 24d,36c,12b,0a ====

(e) 3/2b,3/4a ==

Questão 14. (a) 4 (b) 7/2 (c) 1/2 (d) 0 (e) 1/2 (f) 7/3 Questão 15. (a) 2e (b) 3e − (c) 12e (d) 30e

(e) 3e (f) 1/2 (g) 3ln3x (h) 1 Questão 16. (a) 6/5− (b) 2 (c) abe (d) 312

(e) ∞+ (f) 2 (g) 2 h) 2e Questão 17. (a) 20 unidades

Questão 18. (a) 24 unidades (b) 600)t(Nlim

t=

+∞→

Questão 19. (a) 24 e 60 milhões (b) 120 milhões Questão 20. É descontínuo, pois )2(E)x(Elim

2x≠

→.

PARTE 02 – DERIVADAS

Cálculo Básico – Derivada 1a Parte ______________________________________________________________________________________

2

Questão 1.

Questão 3.

Questão 2.

Questão 5.

Questão 4.

Questão 7.

Questão 6.

Usando a definição de derivada, verifique se as funções a seguir são deriváveis em ox e, em caso

afirmativo, determine ( )ox'f : (a) ( ) ( )2x5x3xf o =+= (b) ( ) ( )4x3xxf o

2 =+= (c) ( ) ( )f x x xo= =2 23 + 2 (d) ( ) ( )8x1xxf o =+= (e) ( ) ( )0x 2xxxf o

2 =−=

(f) ( ) ( )2x2x,8x2x,x3

xf o =⎩⎨⎧

>−≤−

=

Usando as funções das questões 1a, 1b,1c, 1d e 1e determine as equações das retas tangente e

normal ao gráfico de f nos pontos indicados.

Seja ( ) 0 , ≠= − xxxf 2 . Usando a definição de derivada, mostre que ( ) 3

oo x2x'f −−= ,

onde *ox ℜ∈ .

Seja ( ) 0 , ≠= xxxf . Usando a definição de derivada, mostre que ( )0

o x21x'f = ,

onde *ox ℜ∈ .

Considerando as funções a seguir, represente no mesmo sistema de coordenadas cartesianas os

gráficos das retas tangente e normal, no ponto de abscissa ox indicado, e o gráfico de f . (Visualizar no Winplot) (a) ( ) ( )1x4xxf o

2 =−= (b) ( ) ( )1x4x2xf o −=−−=

(c) ( ) ( )0xxxf o == (d) ( ) ( )2x3x2xxf o2 −=+−−=

Encontre as derivadas das funções a seguir:

(a) 332 24 −+−= xxxy (b) 2235 46 +−+−= xxxy (c) ( )x

xxx

y 3243 3 2 ++=

(d) ( )1x2xy 3132 −= (e) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

412 63 2 xxy (f)

1342

−+

=xxy

(g) 16x

8x2y 2

2

−−

=

Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa xo :

(a) ( ) ( )( ) ( )2x,1x.1xxf o

2 =+−=

(b) ( ) ( )1x,1xxxxf o2

3−=

++

=


3

Questão 13

Questão 8.

Questão 9.

Questão 10.

Questão 11.

Questão 12.

Calcule as abscissas dos pontos do gráfico de y x x x= + −3 22 4 nos quais a reta tangente é:

(a) Horizontal. (b) Paralela à reta 2 8 5 0y x+ − = .

Determine as constantes a e b em cada caso:

(a) ( ) 1xaxxf 2 ++= , sendo ( ) 91'f −= . (b) ( ) baxxxf ++= 2 , sendo ( ) 41f −= e ( ) 52'f = .

Seja ( ) ( )16xBxf 4−= . Determine a constante B de modo que a reta que passa pelos pontos

( )M 0 5, e ( )N 5 2 0, seja tangente ao gráfico de f.

Calcule a área do triângulo retângulo ABC na figura abaixo, sabendo que a reta r é normal à curva

( )f x x= −2 1 no ponto de abscissa xo = 1 .

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( )f x x x= −2 3 e que seja perpendicular à reta

2 3y x+ = .

Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:

(a) ( ) ( )xsec9xsen52y +−= (b) ( ) ( )xcosxxseny += (c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xsecxtg8xcosxsen2xf +=

(d) ( ) ( )( )xsec

1xtgxg −= (e) ( ) ( )

( )xcosxsenxxg

2

=


4

Questão 1. (a) 3 (b) 8 (c) 24 (d) 1/6 (e) 0 (f) não existe Questão 2.

(a) 035xy3:05x3y: =−+=−− normal e tangente

(b) 0156xy:013x8y: =−+=+− 8 normal e tangente

(c) 0434xy:030x24y: =−+=+− 24 normal e tangente

(d) 051x6y:010xy6: =−+=−− normal e tangente

(e) 0x:02y: ==+ normal e tangente Questão 6

(a) 168 3 +−= xx'y (b) 21230' 35 −+−= xxy (c) ( )3

3 22 2

33

1043

xx

x'y −+−=

(d) 3 322

x'y −= (e) 12

2x3x18'y 2 +−= (f)

( )21314'−

−=x

y

(g) 22 )16(48' −

−=

xxy

Questão 7.

(a) 15

13715xy:21x15y: +−=−= normal e tangente

(b) 2 :normal e :tangente −−== xyxy Questão 8. (a) x x= − =2 2 3, (b) x x= = −0 4 3, Questão 9. (a) 5a −= (b) 1a = e 6b −= Questão 10. 2B = Questão 11. 16/25 u.a. Questão 12. ( )425x2y: −= e tangentreta Questão 13. (a) ( ) ( ) ( ) ( )x.tgxsec9xcos52y' +−= (b) ( )xcos.x'y =

(c) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1xtg2.xsec8x2cos2x'f 2 ++= (d) ( ) ( )[ ] ( )xcos.xtg1x'g +=

(e) ( ) ( ) ( )xsec.xxtg.x2x'g 22+=

Respostas

PARTE 03 – DERIVADAS

Cálculo Básico – Derivada 2a Parte e Aplicações ______________________________________________________________________________________

2

Questão 1.

Questão 2.

Questão 4.

Questão 5.

Questão 3.

Questão 6.

Questão 7.

Calcule a derivada das funções abaixo:

(a) ( ) ( )33 8x5x2xf −+= (b) ( )4

5x23x3xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

= (c) ( ) ( ) ( )2233 xx.x2x5xf −+=

(d) ( ) 1x5x35xf 4 ++= (e) ( ) ( )( )2

3

x353x2xf

−−

= (f) ( ) ( )7x6x3 2

e2xf ++=

(g) ( ) ( )3x52xf −= (h) ( ) ( ) ( )x5x.exf 3x −= (i) ( ) ( )xsene3xf = (j) ( ) ( )1ecosxf x += (k) ( ) ( ) ( )1xcos.xsen2xf 2 += (l) ( ) ( )xsenxf 3=

(m) ( )( ) ( )

( )x5senx3cos.2xf

x2

= (n) ( )x312logy −= (o)

( )( )2xln

x2seny =

(p) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

x1)x(senxlnxf

2

Calcule a equação da reta tangente à curva ( ) ( )( ) 1xcos

3x2xsen2xf 3

2

+−+

= no ponto 0xo = .

Derivadas das funções trigonométricas inversas

Calcule a derivada das funções abaixo:

(a) ( )1x2arccosy += (b) ( )xesecarccosy =

(c) ( )32 )x(arcsenxy = (d) )xsec(arcey x=

(e) )2(arctgy x7= (f) )x(lny arccotg=

Mostre que a reta normal à curva ( ) ( )1xlnxarcseny +−= , no ponto 0xo = , faz com o eixo

Ox um ângulo de 90o.

Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função ( )xarctgy 2 =

no ponto de abscissa 3x0 = . Derivadas sucessivas.

Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.

(a) 4n9x2x3y 4 =−−= , (b) ( ) 5nx5seny =−= ,

(c) ( ) 2nx1lny 2 =−= , (d) 3, ney 1x2 == +

Sejam ( ) ( )xgxf e funções deriváveis até 3a ordem. Mostre que:

(a) ( ) ''fg'g'f2''gf''g.f ++= (b) ( ) '''fg''g'f3'g''f3'''gf'''g.f +++=


3

Questão 14.

Questão 13.

Questão 8.

Questão 9.

Questão 10.

Questão 11.

Questão 12.

Mostre que a função ( )αω += tcos.Ax , onde A, ω e α são constantes, satisfaz a equação

diferencial 0x''x 2 =+ω . Derivada na forma implícita.

Determine a derivada 'y das curvas dadas implicitamente por:

(a) 4yx 22 =+ (b) y2xy2xy 32 −=+ (c) ( ) 0ysenxyx 22 =+

(d) 3yxe xy −+= (e) 0yxyxy 3 =

+−

− (f) ( ) 1xyytg −=

Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo,

nos pontos indicados. (a) 19y13x6 22 =+ (elipse), nos pontos onde a normal é paralela à reta 07y12x26 =−− . (Ver no Winplot) (b) ( ) 2yxyln += no ponto ( )1,1P − . (c) y3 2.yx = , no ponto em que a normal é vertical.

Seja C a circunferência dada implicitamente por 1yx 22 =+ e t a

reta tangente à C no ponto de abscissa 22xo = , como mostra a figura ao lado . Calcule o valor da área sombreada.

Mostre que as retas tangentes às curvas 0y5xyxy4 23 =+−− e 0yx5y4x 34 =++− na

origem, são perpendiculares. Derivada na forma paramétrica

Seja a função )(xfy = dada parametricamente por ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤∈

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=2

,0t,tsen4ytcos4x

3

3 π .

Mostre que )t(tgdxdy

−= .

Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função

abaixo, nos pontos indicados.

(a) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈

⎩⎨⎧

==

2,

2t,

t2senysentx ππ onde (

6t π= ).

(b) [ ]π,0t,tsen3ytcos2x

∈⎩⎨⎧

==

( no ponto ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

223,2A ).


4

Questão 15.

Problemas de taxa de variação Resolva os seguintes problemas:

(a) A equação do movimento de uma partícula é ( ) 3 2tts += , s em metros e t em segundos. Determine: (a.1) o instante em que a velocidade é de 1/12 m/s. (a.2) a distância percorrida até este instante. (a.3) a aceleração da partícula quando t = 2 s. (b) A receita anual de vendas pela Internet é dada aproximadamente pela função

onde )t(R é medido em bilhões de dólares e t medido em anos, com 0t = correspondendo ao início de 1997. Pergunta-se: (b.1) Com que rapidez a receita anual de vendas pela Internet estava variando no início do ano de 2000? (b.2) Qual foi a receita anual de vendas pela internet no início do ano de 2000? (c) Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de h/km80 . Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a estação. (d) Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que o seu volume aumenta à razão de 8 cm3/min. Como está variando o raio no instante em que a bola tem 40 mm de diâmetro?

(Volume da esfera: 3r34V π= )

(e) Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2 pés/s, quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é 4

π rad?

(f) Despeja-se água num recipiente de forma cônica, à razão de 8 cm3/min. O cone tem 20 cm de profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível da água está subindo à razão de 1 mm/min, com que velocidade a água estará escoando quando esta estiver a 16 cm do fundo?

(Volume do cone: hr31V 2π= )

(g) Um meteorito entra na atmosfera da Terra e queima a uma taxa que, em cada instante, é proporcional a área de sua superfície. Supondo que o meteorito é sempre esférico, mostre que o raio decresce a uma taxa constante. (h) O piloto de uma aeronave de patrulha de guarda costeira em uma missão de busca acaba de avistar um barco pesqueiro avariado e decide sobrevoá-lo para melhor averiguar. Voando a uma altitude de 1000 pés e a uma velocidade uniforme de 264 pés/s, a aeronave passou diretamente por cima do barco pesqueiro. Com que velocidade a aeronave estava se afastando do pesqueiro quando chegou a uma distância de 1500 pés dele?

, 4t0,4,2t45,2t025,0t075,0)t(R 23 ≤≤+++=


5

Questão 16.

Questão 17.

Questão 18.

(i) Um câmera de televisão está posicionada a 4000 pés de uma base de lançamento de foguete. O ângulo de elevação da câmera deve variar a uma taxa que possa focalizar o foguete. O mecanismo de foco da câmera também deve levar em conta o aumento da distância entre a câmera e o foguete em subida. Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com uma velocidade de 600 pés/s quando já tiver subido 3000 pés. (i.1) Quão rápido está variando a distância da câmera ao foguete nesse momento? (i.2) Se câmera de televisão sempre apontar em direção ao foguete, quão estará variando o ângulo de elevação dela nesse momento? (j) Dois resistores variáveis 21 RR e são ligados em paralelo. A resistência total R é calculada pela equação

( ) ( )21 R1R1R1 += . Se 21 RR e estão aumentando às taxas de sohm 02,0 s ohm 01,0 e respectivamente, a que taxa varia R no instante em que ohms90 R ohms 30=R 21 =e ? (l) Pela ruptura de um navio-tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um círculo cuja área cresce uma taxa de 6 km2/h. Com que rapidez estará crescendo o raio da mancha quando a área for de 9 km2? Regra de L’Hospital

Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital :

(a) 3ox x2senx5x5lim +−

→ (b)

4x2x3xlim 2

3

2x −+−

−→ (c)

2

x4

x x5elim

+∞→

(d) senxx

x2eelimxx

ox −−− −

→ (e) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−∞→ x5xsenlim

x (f)

2x/5

x)x(lim

+∞→

(g) [ ] 2x3

ox)x2coslim (

→ (h) ( )x2

oxxx2lim +

→ (i) ( )1exlim x/12

x−

+∞→

Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os

eixos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos relativos, os intervalos onde o gráfico tem concavidade para cima e onde o gráfico tem concavidade para baixo, os pontos de inflexão, as assíntotas horizontais e verticais e o esboço gráfico. (a) ( ) 2x9x6xxf 23 ++−=

(b) ( ) 2x3xxf 3 −+−=

(d) ( ) 2/x2

exf −= ; Sabendo que: ( ) 2/x2

xex'f −−= e ( ) 2/x2 2

e)1x(x''f −−=

(e) ( ) ( )16x8x2xf 2

2

−+−

= ; Sabendo que: ( )( )22 16x

x48x'f−

= e ( ) ( )32

2

16x)16x3(48x''f

−

+−=

Determine as constantes a e b tais que a função 34 bxax)x(f += tenha um ponto de

inflexão em )16,2( − e um mínimo relativo em 3x = .

(c) ( )f xxx

=+−

11

; Sabendo que: ( )( )21x

2x'f−−

= e ( )( )31x

4x''f−

=


6

−2 −1 1 2 3 4 5

−20

−10

10

x

yQuestão 19.

Questão 20.

Sabe-se que: 234 cxbxax)x(f ++= , o gráfico da

derivada 'f é representado ao lado e f tem um máximo no ponto )5,1( . Determine as constantes a , b e c .

(Otimização)

Resolva cada problema a seguir:

(a) Deseja-se cercar um jardim de forma retangular com L metros de cerca. Encontre as dimensões do maior jardim que pode ser cercado ser usado todo o material. (b) A potência P de uma bateria de um automóvel é dada por P VI I R= − 2 , sendo I a corrente para uma voltagem V e resistência interna da bateria R. São constantes V e R. Que corrente corresponde à potência máxima? (c) Uma área retangular com 2m288 deve ser cercado. Em dois lados opostos será usada uma cerca que custa 1 dólar o metro e nos lados restantes, uma cerca que custa 2 dólares o metro. Encontre as dimensões do retângulo com o menor custo. (d) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por ( )C x x x x= + + +2 6 18 63 2 e a receita obtida na venda é dada por ( )R x x x= −60 12 2 , determinar o número ótimo de unidades que maximiza o lucro L. ( Lucro = Receita - Custo, isto é, ( ) ( ) ( )L x R x C x= − ). (e) Usando uma folha de cartolina, de lado igual a 60 cm, deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando seus cantos em quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.

(f) Uma reta variável passando por ( )P 1 2, corta o eixo Ox em ( )A a,0 e o eixo Oy em ( )B b0, . Determine o triângulo OAB de área mínima, para a e b positivos. (g) O departamento de trânsito de uma cidade, depois de uma pesquisa, constatou que num dia normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente ( )V t t t t= − + −2 27 108 353 2 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio dia.

A que horas do intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais lentamente, e com que velocidade? (h) Um gerador de corrente elétrica tem uma força eletromotriz de ε volts e uma resistência interna de r ohms. ε e r são constantes. Se R ohms é uma resistência externa, a resistência total é (r + R) ohms e se P watts é a potência então, ( ) ( )P R r R= +ε2 2 . Qual o valor de R que consumirá o máximo de potência? Interprete o resultado. (i) Se 2cm1200 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior valor possível da caixa.


7

Questão 1.

(a) ( ) ( ) ( )5x68x5x23x'f 223 +−+= (b) ( ) ( )( )5

3

5x23x384x'f

+−

=

(c) ( ) ( ) ( )( )x10x14x55x65xxx2x5x'f 234223 +−+−−+= (d) ( ) ( )1x5x32

25x60x'f4

3

++

+=

(e) ( ) ( ) ( )( )3

2

x35x6123x2x'f

−−−

= (f) ( ) ( ) ( )7x6x3 2

e12x12x'f +++=

(g) ( ) ( ) ( )( )2x5 x32ln2x'f3

−= − (h) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−= 53

25' 2

3

xx

xxexf x

(i) ( ) ( ) ( )xsenexcos3x'f = (j) ( ) ( )1esenex'f xx +−=

(k) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1xsenxsen21xcosxcosx4x'f 22 +−+= (l) ( ) ( ) ( )xcosxsen3x'f 2=

(m) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )x5senx5cosx3cos2.5x5senx3sen2.3x3cos4ln2x'f 2

x2x2x2 −−=

(n) 2ln)1x3(

3'y−

= (o)( ) ( ) ( )

( )22

2

xlnxx2sen2xlnx2cosx2'y −

=

(p) ( )x22

1)x(gcotx2x'f

+−+=

Questão 2. 03x4y2 =+− Questão 3.

(a) 2)1x2(1

2'y+−

−= (b)

1e

1'yx2 −

−=

(c) ( ) ( )2

21231

x1

xsenx3xsenx2y−

+=−

− (d) 1xx

e)xsec(arcey2

xx

−+=

(e) x14

x7

212)2ln(7y

+= . (f)

xxlnx1y 2 +

−= .

Questão 5.

reta tangente: ( )3x69

y2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ππ reta normal: ( )3x6

9y

2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−

Questão 6. (a) ( ) 72y 4 = (b) ( ) ( ) ( )x5cos5y 55 −−= (c)

( )22

2

x1x22''y

−

−−=

(d) ( )1x2e8'''y +=

Respostas


8

Questão 9. (a) 1xy'y −−=

(b) 2y6xy2

y1'y 2

2

++−

= (c) ( )( )ycosxyx2ysenxy2'y 2

2

+−−

=

(d) xy

xy

xe11ye'y

−−

= (e) ( ) x2yxy3

y2'y 22 ++= (f) ( ) xysec

y'y 2 −=

Questão 10.

(a) R. T: ( )( )⎩

⎨⎧

=−+−−=++

1,1Q019y13x61,1P019y13x6

em em

R. N: ( )( )⎩

⎨⎧

=+−−−=−−

1,1Q07x13y61,1P07x13y6

em em

(b) reta tangente: xy −= reta normal: 2xy +=

(c) reta tangente: 0y = reta normal: 0x =

Questão 11. Área = .a.u4

1 π−

Questão 14. (a) reta tangente: 01y32x4 =+− reta normal: 033y4x32 =−+

(b) reta tangente: ( )2x23

223y −−=− reta normal: ( )2x

32

223y −=−

Questão 15.

(a) 23

m/s236

1m2s6 − (a.3) (a.2) (a.1) (b) (b.1) ano/bi625,4$R (b.2) bi12$R

(c) h/km09,119 (d) min cm/21π

(e) 52 rad/s

(f) ( ) min/ cm

558 3π−

(h) s/pés8,196588 ≅

(i) (i.1) s/pés360 (i.1) s/rad096,0

(j) ohm/s1600

11 (l) h/km1

π

Questão 16. (a) 12/5− (b) 2/5− (c) ∞+ (d) 2 (e) 5− (f) 1 (g) 3e (h) 1 (i) ∞+


9

Questão 17. (a) ( )D f R= ; interseção com Oy: ( )2;0P ; não tem assíntotas; crescente: ( ] [ )+∞∪∞− ,31, ; decrescente: [ ]3,1 ;

máx.: ( )6,1Q ; mín.: ( )2,3R ; C.V.B: ]2,( −∞ ; C.V.C: [ ),2 +∞ ; P.I: ( )4,2M . (b) ( )D f R= ; interseção com Oy: ( )2;0P − ; não tem assíntotas; crescente: [ ]1,1− ;

decrescente: ( ] [ )+∞∪−∞− ,11, ; máx.: ( )0,1Q ; mín.: ( )4,1R −− ; C.V.C: ]0,( −∞ ; C.V.B: [ ),0 +∞ ; P.I: ( )2,0M − . (c) ( ) { }D f R= − 1 ; interseção com Ox ( )P −1 0, e com Oy ( )Q 0 1,− ; assíntotas: x y= =1 1 e ; decrescente em { }R − 1 ; não possui máximo nem mínimo relativos; C.V.C: ( )1,+∞ ; C.V.B: ( )− ∞,1 ; não tem ponto de inflexão. (d) ( )D f R= ; interseção com Oy: ( )N 0 1, ; assíntota y = 0 ; crescente: ( ]− ∞,0 ; decrescente: [ )0,+∞ ;

máx.: ( )N 01, ; não tem mín.; C.V.C: ] ] [ [− ∞ − ∪ +∞, , 1 1 ; C.V.B: [ ]−1 1, ; P.I: ( ) ( )6,0;1Qe6,0;1P − . (e) ( ) { }4,4RfD −−= ; interseção: com Oy: ( )2/1,0N − e com Ox: ( )0,2P − e ( )0,2Q ; assíntotas

2y,4x,4x −=−== ; crescente: ) ( )[ +∞∪ ,44,0 ; decrescente: ( ) ]( 0,44, −∪−∞− ; mín.: ( )2/1,0N − ; não tem máx..; C.V.C: ] [4,4− ; C.V.B: ( ) ( )+∞∪−∞− ,44, . Questão 18. 1a = , 4b −= Questão 19. 3a = , 16b −= , 18c = Questão 20. (a) um quadrado de lado 4/L (b) I = V/2R (c) 24 m ($1) e 12 m($2) (d) x = 1000 unidades (e) 10 cm (f) base = 2 e altura = 4 (g) Mais rapidamente às 3 horas com velocidade de 100 km/h e mais lentamente às 6 horas com velocidade de 73 Km/h. (h) r = R (i) 3cm4000

lista calculo1

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