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MAT 137 – INTRODUÇÃO À ALGEBRA LINEAR 1a lista –2009/II

1 . Dados os vetores v1= (0,1,3), v2= (-1,0,4) e v3= (5,-1,0), efetue as operações indicadas.

a) v1 + v2 b) v1 + v2 + v3 c) v1 - v2 d) 2v3 - 4v2 e) 2v1 - 3v2 + 2v3

2 . Represente geometricamente os conjuntos:

a) 2{( , ) | 2 0}A x y x y= ∈ − =ℝ b) 3{( , , ) | 2 0}B x y z x y= ∈ − =ℝ 3{( , , ) | 0}C x y z y= ∈ =ℝ

3 . Construa uma matriz e identifique a ordem, em cada caso: a) linha b) coluna c) quadrada d) triangular superior e) simétrica f) anti-simétrica g) diagonal

4 . Dadas as matrizes:1 2

0 3A =

−

e 1 2

2 1B =

a ) Obtenha as matrizes A2, AB, B2, (A+B), e (A+B)2;

b ) Verifique se vale a identidade: A2 – B2 = (A + B) (A – B)

5 . Obtenha as matrizes que comutam com a matriz 1 1

0 2A

−=

.

6 . Dadas as matrizes: 1 3

2 5A

=

2

1

xB

y

= −

9 3

3 1C

=

a ) determine x e y tais que AC = BC. b ) Sendo AC = BC, é possível cancelar C?

7 . Se A é uma matriz 2x4, definida pela lei ,

,ij

i j se i ja

i j se i j

+ ≤= − >

,determine as matrizes A e AT.

8 . Dadas as matrizes 2 3

1 1A =

−

e 2 4

1 2B =

, determine:

a ) Uma matriz X tal que A + X = B. Essa matriz X é única?

b ) Uma matriz X tal que BX = A. Essa matriz X é única? Por quê?

9 . Dada uma matriz quadrada A, se existir um número inteiro p>0, tal que pA A= , diz-se que A é uma matriz

idempotente. Se 2 1 1

3 4 3

5 5 4

A

− −− −− −

=

, mostre que A é idempotente. Determine o menor inteiro p para o qual pA A= .

10 . Calcule o valor de x, para que o produto da matriz 2

3 1

xA

−=

pela matriz 3 1

2 1B

−=

seja uma matriz simétrica

11 . Calcule o determinante das seguintes matrizes e identifique as que são invertíveis.

1 2 3 1

2 1 2 1

1 1 1 0

0 1 2 0

C =

0 1 3 2

0 4 1 3

0 0 2 1

0 5 3 4

D =

−−−−

2 1 2 1 1

0 2 3 1 2

0 0 3 3 0

0 0 0 1 2

0 0 0 0 1

E

−

=

−

12 . Considere a matriz 1 1 1

1 0 1

0 1 1

A

−= −

a) Determine o polinômio ( ) det( )p x A xI= − sendo 3I a matriz identidade de ordem 3 e x∈R .

b) Verifique que p(A) = 0 (matriz nula) e use esta informação para calcular a inversa de A.

2

13 . Sendo A e B matrizes invertíveis de ordem n, isolar a matriz X de cada equação abaixo:

(a) AXB I= (b) ( )TAX B= (c) 1( )AX I− =

(d) ( )TA X B+ = (e) BAAXB = (f) 1( )TAX B− =

14 . Sejam BA, e C , matrizes reais de ordem 3, satisfazendo a seguintes relações; ABCAB 2,1 == − . Se o determinante da matriz C vale 32, qual é o módulo do valor do determinante da matriz A?

15 . Use algumas propriedades dos determinantes para mostrar que: 2

det 0

1 1 1

a c b c c

a b c

+ +=

16 . Um fabricante de móveis faz cadeiras e mesas, cada uma das quais passa por um processo de montagem e outro de acabamento. O tempo necessário para esses processos é dado (em horas) pela matriz

2 2

3 4

Montagem Acabamento

CadeiraA

Mesa=

O fabricante tem uma fábrica em Belo Horizonte e outra em Ubá. As taxas por hora para cada um dos processos são dadas (em dólares) pela matriz

9 10

10 12

Belo Horizonte Ubá

MontagemB

Acabamento=

Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?

17 . Um fabricante faz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma de suas fábricas, X e Y. Ao fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outros materiais poluentes. As quantidades de poluente são dadas (em quilos) pela matriz

QodutoPr

PodutoPr

400250200

150100300A

nítricoenxofre

PárticulasÓxidodeDióxido

=

Leis estaduais e federais exigem a remoção desses poluentes. O custo diário para remover cada quilo de poluentes é dado (em dólares) pela matriz

Partículas

nítricoÓxido

enxofredeDióxido

10

9

12

15

7

8

B

YFábricaXFábrica

=

Qual é o significado dos elementos do produto matricial AB? 18 . A tiragem diária na cidade de Mimosa dos jornais: Dia a Dia, Nossa Hora, Acontece e Urgente, durante o ano de

2002 está representada na seguinte tabela:

Dia a Dia Nossa Hora Acontece Urgente Dias úteis 400 600 450 650 Feriados 350 550 500 650 Sábados 350 600 500 650

Domingos 450 500 400 700

Determine: a) A tiragem de cada jornal em Mimosa em 2002, sabendo-se que 2002 tivemos 52 sábados, 52 domingos, 12

feriados e 249 dias úteis.

b) A estimativa da tiragem total de cada jornal em Mimosa para o ano de 2005, sabendo-se que a previsão é que até o final deste ano (2005) a tiragem tenha um aumento de 60% em relação à 2002.

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19 . A secretaria de meio ambiente de uma cidade constatou que as empresas que trabalham nos ramos de suinocultura, cunicultura e piscicultura são as grandes poluidoras de três regiões do município. Diariamente despejam dejetos destas culturas segundo a descrição da tabela abaixo:

Quantidade de Dejetos Por dia (em Kg)

Região I Região II Região III

Cunicultura 80 90 70 Piscicultura 200 40 30 Suinocultura 150 120 100

A secretaria decidiu então aplicar multas diárias sobre estas empresas a fim de angariar fundos para despoluir tais regiões, as multas foram estabelecidas de acordo com a tabela abaixo:

Multa Cobrada(em R$reais) por Kg de objetos depositados

Região I Região II Região III

Cunicultura 400 200 300 Piscicultura 50 400 100 Suinocultura 600 300 500

Considerando A a matriz obtida através da tabela 1 e B a matriz obtida através da tabela 2, determine os elementos da matriz TAB quem fornecem a arrecadação da secretaria nas regiões, por ramo de atividade, ao aplicar tais multas.

20 . Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

(a) det(− A) = − det(A)

(b) Sejam A, B e P matrizes reais de ordem n, tais que TB P AP= , sendo P invertível. Então ( ) ( )det detA B= .

(c) Dada a equação matricial 2 2 0X X+ = , onde X é uma matriz quadrada de ordem n, não singular. Então esta equação tem única solução.

(d) Se , ( )n nA B M IR×∈ são tais que AB = 0 (matriz nula), então A = 0 ou B = 0.

(e) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.

(f) A soma de dois vetores soluções de um sistema linear é sempre um vetor solução do sistema.

Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes cujos tamanhos são apropriados para as operações indicadas

(g) Se AC = BC e C é invertível, então A = B.

(h) Se AB = C e duas das matrizes são invertíveis, então a terceira também é.

21 . Sejam as matrizes

=

01

10A e

=

10

01I . Definamos 0A I= e 1.n nA A A−= para todo número natural n,

com 1≥n . Então mostre que: IA n =2 e AA n =+12

, para todo natural n.

22 . Uma empresa produz dois artigos. Para cada real faturado com o produto B, a empresa gasta R$ 0,45 com matéria

prima , R$ 0,25 com mão-de-obra e R$ 0,15 com as demais despesas. Para cada real do produto, a empresa gasta

0,40 centavos com matéria prima, 30 centavos com mão de obra e 15 centavos com as demais despesas

Construa um vetor-linha b que represente os gastos com o produto B. Qual a interpretação econômica que pode ser dada ao vetor 100b? Suponha que a empresa produza 100 unidades do produto B e 50 unidades do produto C. Encontre um vetor-coluna que descreva os diferentes custos da empresa (matéria-prima, mão-de-obra e demais custos) com essa produção.

23 . Resolva os sistemas abaixo e classifique-os quanto ao número de soluções:

a)

=−++=+++

=+−+

4t2zyx2

0t2zy3x3

1tz3yx b)

−=++=++

=++

10z4y3x5

4z4y5x3

2z2y3x

4

c)

=+−=++

=+−=−+

13z4yx3

9z2y3x

5zyx2

2zy2x

d)

1 2 3 5

1 2 3 4 5

1 2 3 5

3 4 5

2 2 0

2 3 0

2 0

0

x x x x

x x x x x

x x x x

x x x

+ − + =− − + − + = + − − = + + =

24 . Determine os valores de a, de modo que o seguinte sistema

1

2 3 3

3 2

x y z

x y az

x ay z

+ − =

+ + =

+ + =

tenha:

a) nenhuma solução b) mais de uma solução c) uma única solução

25 . No seguinte sistema estabeleça as condições que devem ser satisfeitas pelos termos independentes para que o sistema seja compatível:

a)

3

2

2

3

a b x

a b y

a b z

a b t

− + =

− =

− + =

+ =

b)

2

2 3

4 3

x y z a

x y z b

x y z c

− − =

+ + =

− + =

26 . No meu bairro há três cadeias de supermercados: A, B e C. A tabela abaixo apresenta os preços (em reais) por quilo

do produto X, do produto Y e do produto Z, nessas cadeias. Produto X Produto Y Produto Z

A 3 4 2 B 1 6 4 C 1 4 7

Comprando-se x quilos do produto X, y quilos do produto Y e z quilos do produto Z em qualquer dos supermercados, pagarei R$31,00. Determine x, y e z.

27 . Num concurso, foram aplicadas a quatro candidatos três provas A, B e C de pesos a, b e c, respectivamente. O quadro abaixo mostra as notas obtidas em cada prova e a nota final de cada um dos candidatos desse concurso.

Prova A Prova B Prova C Nota Final 1o candidato 9 8 10 9 2o candidato 6 8 9 8 3o candidato 5 7 8 7 4o candidato 4 7 9 6

Cada nota final foi obtida calculando-se a média ponderada das notas obtidas nas provas pelo candidato. Calcula-se a média ponderada somando-se os produtos das notas de cada prova pelo seu respectivo peso e dividindo-se a soma assim obtida pela soma dos pesos. O quarto candidato alegou que se as notas dos outros três candidatos estivessem corretas a sua estaria incorreta. Supondo que as notas finais dos outros três candidatos estejam corretas, calcule a nota final do quarto candidato.

28 . Uma indústria produz três produtos, A, B e C, utilizando dois tipos de insumos, X e Y. Para a manufatura de 1kg de A são utilizados 1g do insumo X e 2g de Y; para 1 kg de B, 1 g de X e 1g de Y e, para 1kg de C, 1g de X e 4 g de Y. O preço da venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C é de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de A, B e C manufaturada com 1kg de X e 2kg de Y, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos.

29 . Dois metais x e y são obtidos de dois tipos de minérios I e II. De 100 kg de I se obtém 3 gramas de x e 5 gramas de y e de 100 kg de II obtém-se 4 gramas de x e 2,5 gramas de y. Quantos quilos de minério de cada tipo serão necessários para se obter 72 g. de x e 95 g. de y, usando-se simultaneamente os dois minérios?

30 . Necessita-se corrigir um terreno acrescentando a cada 10m2, 140g de nitrato, 190g de fósforo e 205g de potássio. Dispõe-se de quatro tipos de adubo, com as seguintes características por kg: o adubo I contém 10g de nitrato, 10g de fósforo e 100g de potássio e custa R$ 5,00; o adubo II contém 10g de nitrato, 100g de fósforo e 30g de potássio e custa R$ 15,00; o adubo III contém 50g de nitrato, 20g de fósforo e 20g de potássio e custa R$ 5,00; e o adubo IV contém 20g de nitrato, 40g de fósforo e 35g de potássio e custa R$ 10,00. Quanto de cada adubo deve ser misturado para conseguir o efeito desejado, podendo-se gastar R$ 40,00 para cada 10m2 de adubação?

5

31 . Uma firma fabrica dois produtos: A e B. Cada um deles passa por duas máquinas: I e II. Para se fabricar uma unidade de A gasta-se 1h da máquina I e 1h e 30 min da máquina II. Cada unidade de B gasta 3h de I e 2h de II. Quantas unidades de cada produto poderão ser fabricadas em um mês se, por motivos técnicos, I só funciona 300 horas e II só 250 horas por mês?

32 . Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refinaria; já o petróleo com alto teor são necessários 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura está disponível por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser processadas para que os dois setores não fiquem ociosos?

33 . Um fabricante de plástico produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Para produzir uma tonelada de plástico normal são necessárias duas horas na fábrica A e 5 horas na fábrica B; já na produção de uma tonelada de plástico especial são necessárias 2 horas na fábrica A e 3 horas na fábrica B. Se a fábrica A funciona 8 horas por dia e a fábrica B funciona 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as duas fábricas se mantenham totalmente ocupadas?

34 . Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

a) Um sistema linear com menos equações do que incógnitas tem um número infinito de soluções. b) Um sistema linear com mais equações que incógnitas pode ter uma infinidade de soluções. c) Se um sistema quadrado 0Ax = tem somente a solução trivial, então Ax b= tem uma única solução. d) A soma de dois vetores soluções de um sistema linear é sempre um vetor solução do sistema. e) A soma de dois vetores soluções de um sistema linear homogêneo é também um vetor solução do sistema f) Um múltiplo escalar de um vetor solução de um sistema homogêneo é também um vetor solução do sistema. g) Um sistema linear compatível, com matriz dos coeficientes A quadrada, tem infinitas soluções se e somente se A

pode ser linha-reduzida a uma matriz escalonada que contem alguma linha nula.

35 . Encontre todos os escalares a, b e c tais que: a) (1,2,0) (2,1,1) (0,3,1) (0,0,0)a b c+ + = b) (1,2,0) (2,1,1) ( 1,4, 2) (0,0,0)a b c+ + − − =

36 . Sejam os vetores u = (2,-3, 2) e v = (-1, 2, 4) em 3ℝ .

a. Existem escalares a e b tais que w = au + bv, para w = (7,-11, 2)? Justifique. b. Existem escalares a e b tais que w = au + bv,, para w = (2,-5,4)? Justifique.

c. Determine o conjunto de vetores w do 3ℝ tais que w = au + bv, para a e b reais.

37 . Determine: a) x e y de modo que x(3,4) + y(4,5) = (10,20)

b) x, y e z de modo que x(1,2,5) + y(3,7,2) +z(0,1,3) = (4,8,15)

38 . Mostre que : a) a(5,8) + b(3,7)=(0,0) ⇒ a = 0 e b = 0

b) a(2,4) + b(1,2) = (0,0) não implica necessariamente a = 0 e b = 0

39 . Seja A uma matriz m x n e FA: ( ) ( )n mM M→ℝ ℝ uma função definida por FA(X) = AX. Considere também as

matrizes B =1 2 0

1 1 1−

, C =1 1 1

1 0 1

0 1 1

−−

e D = 1 1 1

1 0 1

0 1 2

−−

que serão utilizadas em alguns dos itens abaixo.

a) Determine FB(X), FC(X) e FD(X). b) Calcule FC(X), para X = [1, 0, 2]T.

c) Determine o vetor X tal que FC(X) = 0 (vetor nulo do 3ℝ ).

d) Determine o vetor X tal que FD(X) = 0 (vetor nulo do 3ℝ ).

e) Mostre que FC(X + Y) = FC(X) + FC(Y) e FC(aX) = aFC(X), ∀ a ∈ℝ e ∀ X , Y em 3( )M ℝ .

f) Mostre que FA(X + Y) = FA(X) + FA(Y) e FA(aX) = aFA(X), ∀ a ∈ℝ e ∀ X , Y em ( )nM ℝ e para qualquer matriz A, m x n.

g) O núcleo N(FA) de FA é definido por N(FA) = {X ( )nM∈ ℝ : FA (X) = 0}. Determine N(FB) , N(FC) e N(FD). h) Existe relação entre o posto de uma matriz A e N(FA)? Justifique.