Pass 1

Linjära differentialekvationer medkonstanta koefficienter I

I. Definitioner och elementära satser

Ett system av första ordningens differentialekvationer

d

dt~u(t) = A(t)~u(t) + ~f(t),

~u(t) ∈ Cn - tillståndsvektorA(t) − n× n systemmatris,~f(t) ∈ Cn - drivvektor.

Konstanta koefficienter: A 6= A(t).

Homogent system: ~f = ~0:

d

dt~u(t) = A(t)~u(t).

DefEkvationen F (u) = 0 kallas för linjär omm

u1, u1 − två godtyckliga lösningar till ekvationenα, β − två godtyckliga komplexa tal

⇒ αu1 + βu2 är en lösning till ekvationen.

1

Sats 3.1Det homogena systemet

d

dt~u(t) = A(t)~u(t)

är linjärt, d.v.s. varje linjärkombination av lösningar ärockså en lösning.

SatsVarje lösningen till det inhomogena systemet

d

dt~u(t) = A(t)~u(t) + ~f(t),

kan skrivas på formen

~u(t) = ~up(t) + ~uhom(t),

där~up är en (partikulär) lösning till systemet,~uhom(t) är en lösning till det homogena systemet.

II. Synkrona lösningar

A ~Xλ = λ ~Xλ ⇒λ ∈ C - egenvärde; ~Xλ 6= 0 - egenvektor.

SatsAntag att ~Xλj

, λj, j = 1,2, ..., k är egenvektorer ochegenvärden till matrisen A. Då är funktionen

c1eλ1t ~X1 + c2e

λ2t ~X2 + ... + ckeλkt ~Xk

där c1, c2, ..., ck är godtyckliga komplexa tal, en lösningtill det homogena systemet

d

dt~u = A~u(t).

2

Pass 2

III Diagonalisering av matriser

Def AXλ = λXλ, Xλ 6= 0 ⇔

Xλ är en egenvektorλ är ett egenvärde

DefKarakteristiskt polynom pA(λ) = det(A− λI)

Att diagonalisera en n× n matris1) bestäm alla egenvärden λk, k = 1,2, ..., n2) bestäm samtliga n egenvektorer Sk, k = 1,2, ..., n3) bilda

S = (S1, S2, ..., Sn) och D = diag(λ1, λ2, ..., λn)

Då gäller:A = SDS−1

Följande matriser är säkert diagonaliserbara:1) symmetriska, 2) unitära, 3) med n olika egenvärden.

IV Matristeori: egenvärden

DefEn matris A är likformig med B omm det finns eninverterbar matris S sådan att

S−1AS = B(⇔ AS = SB)

DefSpåret av A : tr A = a11 + a22 + ... + ann.

SatsA - diagonaliserbar matris⇒

tr A = λ1 + λ2 + ... + λn

detA = λ1λ2...λn

Sats

A och B - likformiga ⇒

tr A = tr BdetA = detBpA(λ) = pB(λ)

3

VI Komplexa egenvärden och reella lösningar

Sats

A− reell matrisλ ∈ C \R ett egenvärde med egenvektor ~Xλ

⇒ λ är ett egenvärde till A med egenvektor ~X.

VII Icke-diagonarliserbara matriser

Slutsats: Icke-diagonaliserbara matriser leder till ejsynkrona lösningar med potenser.

4

Pass 3

Stabilitet och stationära lösningarI Definitioner

DefSystemet d

dt~u = A~u, A- konstant sägs vara:

• stabilt omm varje lösning till systemet går mot 0då t → +∞;

• neutralt stabilt omm alla lösningar till systemetär begränsade för stora t, men det finns lösningarsom inte går mot 0 då t → +∞;

• instabilt omm det finns lösningar som är obegrän-sade för stora t.

σ(A) = max1≤k≤n Reλk

Sats (4.1)För varje linjärt homogent system d

dt~u = A~u med diag-

onaliserbar konstant systemmatris gäller:

σ(A) < 0 ⇔ stabilitetσ(A) = 0 ⇔ neutral stabilitetσ(A) > 0 ⇔ instabilitet

Sats (4.2)För varje linjärt homogent system d

dt~u = A~u med god-

tycklig kvadratisk konstant systemmatris gäller:

σ(A) < 0 ⇔ stabilitetσ(A) = 0 ⇒ neutral stabilitet eller instabilitetσ(A) > 0 ⇒ instabilitet

5

Pass 4III Tvungna svängningar

d

dt~u = A~u + ~f(t) (1)

a) Superpositionsprincip I (repetition)

SatsVarje lösningen till det icke-homogena systemet (1)kan skrivas på formen ~u(t) = ~up(t) + ~uhom(t), där~up är en (partikulär) lösning till systemet,~uhom(t) är en lösning till det homogena systemet.

b) Stationära lösningar

~f(t) = ~best ⇒ ~upart(t) = −(A− sI)−1~best, s 6= λj(A)

Resolventmatrisen

RA(λ) = (A− λI)−1

c) Superpositionsprincip II

Sats (4.9)d

dt~u = A~u + ~f(t)

d

dt~w = A~w + ~g(t)

⇒

funktionen v = u + wär en lösning till ekvationenddt

~v = A~v + (~f(t) + ~g(t))

d) Insignalstabilitet

DefSystemet (1) sägs vara insignalstabilt om för varje be-gränsad insignal ~f tillståndsvariablerna är begränsadefunktioner av tiden.

Sats (4.5)σ(A) < 0 ⇒ systemet är insignalstabilt.

6

Pass 5

MatrisfunktionerI Polynomfunktioner

P (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0

⇒ P (A) = anAn + an−1An−1 + ... + a1A + a0I,

om A är en kvadratisk matris.Sats (Cayley-Hamilton)Varje kvadratisk matris uppfyller sin egen karakteristiskekvation pA(A) = 0.II ExponentialmatrisenDef 1-3Exponentialmatrisen eA definieras genom• om A = diag (d1, d2, ..., dn) ⇒ diagonalmatrisen

eD = diag (ed1, ed2, ..., edn) =

ed1 0 ... 00 ed2 ... 0... ... ... ...0 0 ... edn

• A = SΛS−1 ⇒ diagonaliserbar matrisen

eA = SeΛS−1

• A är en kvadratisk matris ⇒

eA =∞∑

k=0

1

k!Ak

III TillståndsekvationerSatsA - kvadratisk konstant matris. Då har begynnel-sevärdesproblemet

ddt

~u = A~u + ~f(t)

~u(t0) = ~b

den entydiga lösningen

~u = eA(t−t0)~b +

∫ t

t0

eA(t−τ)f(τ)dτ.

7

Pass 6

Symmetriska och ortogonala matriserI Rummet Cn

(x1, x2, ..., xn) ∈ Cn, xj ∈ CSkalärprodukt 〈x, y〉 =

∑nj=1 xjyj

Norm ‖ x ‖=√∑n

j=1 |xj|2

Sats (Cauchy-Schwarz-Bunjakovskys olikhet)

|〈x, y〉| ≤‖ x ‖ ‖ y ‖

cos(x, y) =〈x, y〉

‖ x ‖ ‖ y ‖Ortogonala vektorer: x ⊥ y ⇔ 〈x, y〉 = 0.

Pythagoras sats: x ⊥ y ⇒‖ x + y ‖2=‖ x ‖2 + ‖ y ‖2 .

Triangelolikheten: ‖ x + y ‖≤‖ x ‖ + ‖ y ‖ .

II Projektion och spegling

Projektion på planet som är vinkelrät mot vektorn ~n :

P : ~x 7→ ~x‖ = ~x− 〈~x, ~n〉‖ ~n ‖2~n

P 2 = P

Spegling i planet som är vinkelrät mot vektorn ~n :

S : ~x 7→ ~x‖ = ~x− 2〈~x, ~n〉‖ ~n ‖2~n

8

III Ortogonala matriser

DefQ är en ortogonal (=unitär) matris omm Q−1 = Q∗ =

Qt.

Raderna i Q utgör en ortonormerad bas;Kolonnerna i Q utgör en ortonormerad bas.

SatsEtt ortonormerat koordinatbyte bevarar skalärproduk-ten och längden.

Q− ortogonalx = Qxy = Qy

⇒

〈x, y〉 = 〈x, y〉‖ x ‖=‖ x ‖

IV Symmetriska matriser

DefA - är en Hermitesk matris omm

A = A∗ = At

Def A - är en symmetrisk matris omm

A = At

Alla reella symmetriska matriser är hermiteska.

Sats (6.9)Alla egenvärden till en hermitesk matris är reella.

Sats (6.10)Egenvektorer som hör till olika egenvärden till en her-mitesk matris är ortogonala.

SatsAlla hermiteska matriser kan diagonaliseras med hjälpav ortogonala matriser.

9

Pass 7

Kvadratiska formerI Kvadratiska former

DefKvadratisk form är ett homogent andragrads poly-nom.

SatsVarje reell kvadratisk form K(~x, ~x) kan entydigt skrivaspå formen

K(~x, ~x) = 〈~x, A~x〉,där A är en reell symmetrisk matris.

II Taylorapproximation

f är en två gånger deriverbar funktion

f(~x+ δ~x) = f(~x)+ 〈∇f(~x), δ~x〉+ 1

2〈δ~x, Kδ~x〉+ o(‖ x ‖2),

∇f =(

∂f∂x1

, ∂f∂x2

, ..., ∂f∂xn

)- gradienten av funktionen f ,

K =

∂2f∂xj∂xk

n

j,k=1- Hessianen av funktionen f - en

symmetrisk matris.

Klassifikation av kvadratiska former (definition)K(x, x) > 0 för alla x 6= 0 ⇔ positivt definit;K(x, x) < 0 för alla x 6= 0 ⇔ negativt definit;K(x, x) antar både positiva och negativa värden ⇔indefinit;K(x, x) ≥ 0 för alla x 6= 0 ⇔ positivt semidefinit;K(x, x) ≤ 0 för alla x 6= 0 ⇔ negativt semidefinit.

10

III Diagonalisering av kvadratiska former

A) Genom att diagonalisera matrisen A.

A = SΛSt ⇒ x = Stx ⇒ K(x, x) =n∑

j=1

λjx2j

b) Med hjälp av kvadratkomplettering

A = RtDR, där R är en högertriangulär matris medettor på huvuddiagonalen och D = diag (d1, d2, ..., dn)är en diagonalmatris

x = Rtx ⇒ K(x, x) =n∑

j=1

djx2j

Klassifikation av kvadratiska former IIK(x, x) är positivt definit ⇔ alla egenvärden till A ärpositiva ⇔ funktionen f(x) = K(x, x) har minimum iorigo;K(x, x) är negativt definit ⇔ alla egenvärden till A ärnegativa ⇔ funktionen f(x) = K(x, x) har maximum iorigo;K(x, x) är indefinit ⇔ K har både positiva och neg-ativa egenvärden ⇔ funktionen f(x) = K(x, x) harsadelpunkt i origo.

SatsFöljande villkor är ekvivalenta för reella symmetriskamatriser K:1) den kvadratiska formen K(x, x) är positivt definit;2) alla egenvärden till matrisen K är positiva;3) K = RtDR, där R är högertriangulär med ettor påhuvuddiagonalen, och D är diagonal med positiva di-agonalelement.

11

Pass 8

Kontinuerliga insignal-utsignalmodeller

I Approximation av linjära system

Linjärt system S(c1w1(t) + c2w2(t)) = c1S(w1(t)) +c2S(w2(t)).

Stegfunktion = Heaviside funktion Θ(t) =

1, t > 00, t < 0

Enhetspuls p∆(t) =

1∆

, 0 < t < ∆0, annars

Sampling f(t) ∼ fsampl(t) =∑

k f(τk)p∆k(t− τk)∆k

S(f) ∼ S(fsampl) =∑

k

f(τk)S (p∆k(t− τk))∆k

Def Impulssvar k(t, τ) = lim∆→0 S (p∆(t− τ))

(Sw)(t) =

∫ +∞

−∞k(t, τ)w(τ)dτ

II Tidsinvarians

Def Systemet S är tidsinvariant omm

w(t) →S y(t) ⇒ w(t− a) →S y(t− a)

SatsSystemet (Sw)(t) =

∫ +∞−∞ k(t, τ)w(τ)dτ är tidsinvariant

omm k(t, τ) = h(t− τ) för något h, d.v.s.

(Sw)(t) =

∫ +∞

−∞h(t− τ)w(τ)dτ.

III Stabilitet

12

SatsSystemet (Sw)(t) =

∫ +∞−∞ h(t − τ)w(τ)dτ är insignal-

utsignal stabilt omm∫ +∞

−∞|h(t)|dt < ∞.

Pass 9

Kontinuerliga insignal-utsignalmodeller II

IV Kausalitet

DefEtt lineärt system S är kausalt omm

w(t) = 0 då t < t0 ⇒ (Sw)(t) = 0 då t < t0

för alla t0.

SatsDet tidsinvarianta systemet

(Sw) (t) =

∫ +∞

−∞h(t− τ)w(τ)dτ

är kausalt omm h(t) ≡ 0, då t < 0.

V Tillståndsbeskrivningar

ddt

~u(t) = A~u(t) +~bw(t)y(t) = 〈~c, ~u(t)〉+ dw(t)w(−∞) = 0;~u(−∞) = ~0

A - n × n matris, ~b,~c - n-dimensionella vektorer, d -reell konstant (= 0).

Lösningen

y(t) =

∫ t

−∞〈~c, eA(t−τ)~b〉w(τ)dτ + dw(t)

SatsImpulssvaret för det kausala systemet

ddt

~u(t) = A~u(t) +~bw(t)y(t) = 〈~c, ~u(t)〉

ges avh(t) = 〈~c, eAt~b〉Θ(t).

13

Pass 10

FaltningI Definition

(f ∗ g) (t) =

∫ +∞

−∞f(t− τ)g(τ)dτ

SatsFaltningen f ∗ g existerar om f och g är styckvis kon-tinuerliga och uppfyller minst ett av följande villkora) f, g ∈ L1;b) f ∈ L1, g - begränsad;c) f, g är kausala ( f(t) = g(t) = 0 för t < 0).

II Räkneregler

SatsAntag att funktionerna f, g och h uppfyller minst ettav följande villkora) f, g, h är kausala;b) f, g, h ∈ L1, eller omvänt;c) f, g ∈ L1, h - begränsad;d) f, g, h ≥ 0.Då gäller1. f ∗ g = g ∗ f ;2. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h;3. f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h;4. Ta(f ∗ g) = Taf ∗ g = f ∗Tag där Ta är en translation;5. d

dt(f ∗ g) = ( d

dtf) ∗ g = f ∗ ( d

dtg).

III Stegsvaret

DefStegsvaret (Sθ)(t) för ett lineärt tidsinvariant systemS är lika med utsignalen då insignalen är ett enhetsstegθ(t) i t = 0.

SatsSθ - stegsvaret, h - impulssvaret, då gäller

h(t) =d

dt(Sθ)(t).

14

Pass 11

Generaliserade funktionerI DeltadistributionDefDeltadistributionen (deltafunktionen) δ definieras genom

〈δ, ϕ〉 = ϕ(0); 〈δa, ϕ〉 = ϕ(a).

II DistributionerDefTestfunktioner: D = C∞

0 (R) :1) ϕ(t) = 0 utanför en begränsad mängd;2) ϕ är oändligt många gånger deriverbar.

Deflimn→∞ϕn = ϕ i D ⇔1) alla funktioner är lika med 0 utanför en begränsadmängd;2) limn→∞ ϕ(l)

n (x) = ϕ(l)(x),∀x ∈ R,∀l ∈ N.

DefEn distribution f ∈ D′ är en linjär kontinuerlig av-bildning som till varje testfunktion ϕ ∈ D ordnar etttal 〈f, ϕ〉 ∈ R.

Kontinuerlig:ϕn

D→ ϕ ⇒ 〈f, ϕn〉 → 〈f, ϕ〉 då n →∞.

Linjär:〈f, c1ϕ1 + c2ϕ2〉 = c1〈f, ϕ1〉+ c2〈f, ϕ2〉.III Derivation

〈f ′, ϕ〉 = −〈f, ϕ′〉Multiplikation:

〈ψf, ϕ〉 = 〈f, ψϕ〉, ψ ∈ C∞

SatsAntag att f är styckvis glatt med brytpunkterna t1, ..., tm.Då är distributionsderivatan av f lika med

f ′ = [f ′]p+(f(t1+0)−f(t1−0))δt1+...+(f(tm+0)−f(tm−0))δtm,

där [f ′]p betecknar den punktvisa derivatan av f.

15

Pass 12

Generaliserade funktioner IINågra viktiga distributioner

δ′ : 〈δ′, ϕ〉 = −ϕ′(0);

δ(k) : 〈δ(k), ϕ〉 = (−1)kϕ(k)(0);

δa : 〈δa, ϕ〉 = ϕ(a).

Distributioner med stöd i origo

f =N∑

k=0

ckδ(k).

IV Konvergens i distributionsmening

Def

fnD′→ f då n →∞⇔ 〈fn, ϕ〉 → 〈f, ϕ〉,då n →∞

för varje testfunktion ϕ

V Distributioner och lösningar till differentialekvationer

f ′(t) + af(t) = h(t), h(t) ∈ C0(R). (2)

Beräkna Greens funktion g:

g′(t) + ag(t) = δ ⇒ g(t) =

e−at, t > 00 t < 0.

En lösning till ekvationen (2) ges av

f(t) =

∫ +∞

−∞g(t− τ)h(τ)dτ =

∫ t

−∞e−a(t−τ)h(τ)dτ.

16

Pass 13

FrekvensanalysI Överföringsfunktion

Sats (12.1)1) S är ett tidsinvariant systemy(t) =

∫∞−∞ h(t− τ)w(τ)dτ ;

2) Insignalen w(t) = est är en komplex svängning medfrekvensen s;3) Integralen H(s) =

∫∞−∞ h(τ)e−sτdτ konvergerar

⇒ utsignalen y(t) är en komplex svängning med sammafrekvens

y(t) = H(s)est.

II Frekvensfunktionen

H(iω) = A(ω)eiϕ(ω)

A(ω) - amplitudfunktionen;ϕ(ω) - fasfunktionen.Sats (12.4)1) S - ett reellt stabilt tidsinvariant system;2) insignalen w(t) = cosωt är en harmonist svängningmed vinkelfrekvensen ω⇒ utsignalen y(t) är en harmonisk svängning

y(t) = A(ω) cos(ωt + ϕ(ω)),

däramplitudfunktionen A(ω) är kvoten mellan utsignalensoch insignalens reella amplituder;fasfunktionen ϕ(ω) är fasförskjutningen mellan utsig-nalen och insignalen.III Superposition och frekvens

w(t) =+∞∑

k=−∞ck(w)eikΩt S→ y(t) =

+∞∑

k=−∞H(ikΩ)ck(w)eikΩt

IV Resonanser

H(s) ∼ k1

s− (α + iβ)⇒ A(ω) ∼ |k|√

α2 + (ω − β)2

17

Pass 14

Fouriertransformation II Definition och inversionsformel

f(t)F→ f(ω) =

∫ ∞

−∞e−iωtf(t)dt

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞eiωtf(ω)dω

F−1← f(ω)

Gaußpuls

e−t2 F→ √πe−

1

4ω2

II Räkneregler

c1f1 + c2f2F7→ c1f1 + c2f2

f(t)F7→ f(−ω)

d

dtf

F7→ iωf(ω)

−itf(t)F7→ d

dωf

III Faltningsatsen

Sats (13.5)f, g ∈ L1 ⇒

F(f ∗ g) = Ff · Fg.

18

Pass 15

Fouriertransformation IIIV Parsevals formel

f, g ∈ L2(R) ⇒

〈f, g〉 =

∫ ∞

−∞f(x)g(x)dx

Parsevals formel

〈f, g〉 =1

2π〈f , g〉

eller ∫ ∞

−∞f(x)g(x)dx =

1

2π

∫ ∞

−∞f(x)g(x)dx

Slutsats: Fourier transformen avbildar rummet L2(R)till rummet L2(R) :

‖ f ‖2= 1

2π‖ f ‖2

Fouriertransformationen av distributioner

δF7→ 1

δ(k) F7→ (iω)k

19

Pass 16

LaplacetransformationenI Definition

Def

(Lf)(s) =

∫ ∞

−∞e−stf(t)dt

II Inversionsformeln

Sats (14.7)Antag att Laplacetransformen (Lf)(s) = F (s) av funk-tionen f konvergerar i strimlan α < Re s < β. Då gäller

f(t) =1

2πi

∫ σ+i∞

σ−i∞estF (s)ds,

om α < σ < β.

III Räkneregler

linearitet c1f1(t) + c2f2(t)L7→ c1F1(s) + c2F2(s)

skalning f(at)L7→ 1

|a|F (sa)

förskjutning f(t− t0)L7→ e−st0F (s)

dämpning es0tf(t)L7→ F (s− s0)

konjugering f(t)L7→ F (s)

tidsderivation ddt

f(t)L7→ sF (s)

frekvensderivation −tf(t)L7→ d

dsF (s)

20

Pass 17-18

Laplacetransformationen II-IIIIV Laplacetranformation av distributioner

(Lδ)(s) = 1

V Inverstransformation av rationella funktioner

A) Partialbråksuppdelning

B) Residykalkyl

f(t) =

∑Res<σ Res(estF (s)), t > 0

−∑Res>σ Res(estF (s)), t < 0

VI Lösning av differentialekvationer

any(n) + an−1y(n−1) + ... + a1y

′ + a0y = f(t)

⇒ Y (s) =1

ansn + an−1sn−1 + ... + a1s + a0F (s)

VII Lineära system och Laplacetransformationen

Sats (14.12) Faltningsatsen

h = f ∗ g ⇔ H(s) = F (s)G(s)

omm Laplacetransformationerna H, F, G är definieradei en strimla α < s < β.

21

Sats (14.13)Överföringsfunktionen H(s) till ett tidsinvariant lineärtsystem

y(t) =

∫ ∞

−∞h(t− τ)w(τ)dτ

är lika med Laplacetransformen av impulssvaret:

H(s) =

∫ ∞

−∞e−sth(t)dt.

H(s) =Y (s)

W (s)

där Y, W är Laplacetransformerna av ut- och insignalerna.

VIII Den ensidiga Laplacetransformationen

Def

(LIf) (s) =

∫ ∞

0e−stf(t)dt

Sats (14.18)(LIf

(n))(s) = sn (LIf) (s)−f (n−1)(0)−sf (n−2)(0)−...−sn−1f(0)

Sats 14.19 (Faltningssatsen)(LI

(∫ t

0f(t− τ)g(τ)dτ

))(s) = (LIf) (s) (LIg) (s)

IX Faltningsekvationer

Ex

y(t) +

∫ ∞

0e−2(t−τ)y(τ)dτ = e−2t, t > 0