lineær algebra, 2018 1. kursusgang - aau
TRANSCRIPT
![Page 1: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/1.jpg)
Lineær Algebra, 20181. kursusgang
Lisbeth Fajstrup
Institut for Matematiske FagAalborg Universitet
LinAlg September 2018
![Page 2: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/2.jpg)
Velkommen til Lineær algebra
Kursusholder - Lisbeth Fajstrup.Kontor: Skjernvej 4A, 5-132Email:[email protected]:http://people.math.aau.dk/˜ fajstrupBlog (ikke aktiv mere)http://numb3rs.math.aau.dkNy blog:http://blog.math.aau.dk
![Page 3: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/3.jpg)
Struktur og praktiske bemærkninger
Idag:Forelæsning kl. 8:15 – 10:00 i Auditorium 6.Opgaveregning: kl. 10:10 – 12:00 i grupperummene.
![Page 4: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/4.jpg)
Overordnet struktur
22 kursusgange a 4 timerHeraf 4 selvstudiegange- I arbejder i grupperne med en størreopgave. Støttet af hjælpelærerne.18 sædvanlige kursusgange - ialt 2 timers forelæsning, 2 timersøvelser=opgaveregning.
KursusmaterialerI Moodle (kursusplan, links til “spisesedler”, slides, før, efter og "midt")På min kursushjemmesidehttp://people.math.aau.dk/˜ fajstrup/UNDERVISNING/BASIS/LINALG/“På first”- http://first.math.aau.dk/ den fælles side for alle holdene.
![Page 5: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/5.jpg)
Forelæsning???
![Page 6: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/6.jpg)
Forelæsning???
Hvordan kan man få udbytte af en forelæsning?
Hold dig i gang - vær aktiv! Selvom du sidder ned...Hvordan man gørdet, er individuelt!
Skriv noter. Tænk med. Skriv til i bogen. Læs hjemmefra og overvej,hvad du ikke forstår. Skriv spørgsmål ned under forelæsningen. Stilspørgsmål ...
HVIS du har computeren åben, så sluk for advisering om mail, FB,...En skærm med FB, YouTube,... åben distraherer (også) dinemedstuderende.
Jeg bruger slides, som jeg skriver i. De ligger på hjemmesiden førforelæsningen.
![Page 7: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/7.jpg)
Opgaveregning
I grupperummene.Hjælpelærere - Jonas Have, Achmad Choiruddin, KasperStudsgaard Sørensen, Malika Kuhlman Hansen.Vi kommer rundt til grupperummene. -Kan hidkaldes af enskraldespand...
Det kræver disciplin at lave opgaver i grupper.
![Page 8: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/8.jpg)
Gruppens opgave:
Samarbejd om, at alle får lært at lave opgaverne.Det er ikke det samme som at alle opgaver bliver lavet og alle fåren kopi af løsningerne...Hver enkelt har selv ansvar for at få det lært.Tal sammen. Spørg hinanden.
![Page 9: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/9.jpg)
Proces:1 Læs til forelæsning og husk at undre dig.2 Kom til forelæsning og tænk med - skriv til i mine slides (eller lad
være)3 Lav opgaver - meningen med opgaver er, at du forstår
matematikken bedre - og mere operativt.4 TAL om matematikken. Spørg.5 Arbejd videre hjemme - husk: du skal selv lære det.
Fælde: Jamen kan jeg ikke bare regne eksamensopgaver?Fem fejl ved den metode:
1 Du lærer ikke ret meget matematik.2 Du udnytter ikke muligheden for at se bredere perspektiver -
eksamensopgaver er "nemme".3 Du bliver en af dem, der ikke vil høre om anvendelser - og du skal
jo bruge matematikken.4 Du lærer matematik uden struktur - så du kan ikke se
matematikken i det, du møder senere.5 Du kan kun regne opgaver, der ligner dem fra sidste år. (Og
dumperisikoen er stor.)
![Page 10: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/10.jpg)
Hvad nu, hvis jeg har en rigtig god ide til at forbedreLinAlg?
Styringsgruppemøder for studieretningerne - om al aktivitet påsemesteret.Styringsgruppemøder for Hold 1.
![Page 11: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/11.jpg)
Studieretninger på Hold 1.
Elektronik og ITProdukt og DesignPsykologiInternetteknologier og ComputersystemerLandinspektørSundhedsteknologi
Mangler jeg nogen?
![Page 12: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/12.jpg)
Litteratur
Spence, Insel, Friedberg Elementary Linear Algebra. A MatrixApproach, 2nd ed., Pearson Education, 2008 (SIF). OBS: Denhedder også Compiled by Olav Geil, "Elementary Linear Algebra,"Pearson, 2015.Supplerende: H.V. Christensen, B. Rosbjerg: Kompendium ilineær algebra - Definitioner, formler og eksempler.
Bogen er på engelsk. Det vænner I jer meget hurtigt til. Ordliste findespå fælles hjemmeside.
![Page 13: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/13.jpg)
Andre ressourcer
Spisesedler - på kursushjemmesiden og i Moodle.Screencasts og Pencasts.Diverse applets. Se kursushjemmesiden eller den fælles side.MASSER af materiale på nettet. Lineær algebra er et emne på rigtigmange uddannelser.Eksempler på anvendelser - kursushjemmesiden.
![Page 14: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/14.jpg)
Pensum og eksamen - se link på min hjemmeside
Kurset evalueres ved en fire timers skriftlig eksamen uden brug afelektroniske hjælpemidler. Du må medbringe alle former for noter ogbøger.
![Page 15: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/15.jpg)
Lad os komme igang
Lineær algebra: Vektorregning og meget, meget mere.Godt råd: Intuition fra plan og rum er god at have, men holder ikkealtid.
![Page 16: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/16.jpg)
Funktioner og ligninger - mange variable
![Page 17: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/17.jpg)
Matricer
DefinitionEn matrix er et rektangulært skema af tal (skalarer).
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 . . . a2n
.... . . . . .
...am1 am2 . . . amn
En matrix med m rækker og n søjler kaldes en m × n matrix.Indgange/elementer: aij er tallet i den i’te række, j’te søjle.
![Page 18: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/18.jpg)
Matricer
A =
1 13 3 02 4 6 83 6 9 17
A er en 3× 4 matrix. 3 rækker, 4 søjler.A er et rektangulært skema af tal, en matrix.Søjlerne i A 1
23
1346
369
08
17
Rækkerne i A[
1 13 3 0] [
2 4 6 8] [
3 6 9 17]
![Page 19: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/19.jpg)
Matricer eksempler
![Page 20: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/20.jpg)
Matricer og vektorer
Vektorer: En 1× n matrix kaldes en (række)-vektor.En m × 1 matrix kaldes en (søjle)vektor.Eller bare en vektor.Mængden af alle m × 1 vektorer kaldes Rm.Eksempler 1
−√
2π
[12
] sin(227)−2056
e5
ln(5)
[
1 13 3 0] [
2 4 6 8] [
3 6 9 17]
OBS: OK med mere end 3 koordinater.
![Page 21: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/21.jpg)
Skalarprodukt, længder, Pythagoras, vinkelret,projektion
![Page 22: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/23.jpg)
Delmatricer
Matricen B er en delmatrix af A, hvis B kan fås ved at fjerne noglerækker og søjler i A.
![Page 24: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/24.jpg)
Addition af matricer
A og B begge m × n.A + B er m × n matricen med (i , j)’te indgang (A + B)ij = aij + bijEksempel:
![Page 25: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/25.jpg)
Addition af matricer
![Page 26: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/26.jpg)
Multiplikation med en skalar
A m × n matrix, c et reelt tal. (En skalar).cA er en m × n matrix med (i , j)’te indgang (cA)ij = caijNotation: (−1)A skrives −A
![Page 27: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/27.jpg)
Multiplikation med en skalar
![Page 28: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/28.jpg)
Subtraktion
A og B begge m × n. A− B er matricen A + (−B)
![Page 29: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/29.jpg)
Subtraktion
![Page 30: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/30.jpg)
Regneregler
For m × n matricer A og B og reelle tal, s, t gælder1 A + B = B + A (kommutativitet)2 (A + B) + C = A + (B + C) (associativitet)3 A + 0 = A4 A + (−A) = 05 (st)A = s(tA)6 s(A + B) = sA + sB7 (s + t)A = sA + tA
![Page 31: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/31.jpg)
Transponeret matrix
Den transponerede matrix AT har indgang (i , j)
(AT )ij = aji .
Bemærk: i og j i omvendt rækkefølge!Søjlerne i AT er rækkerne i A og omvendt.Hvis A er m × n, så er AT n ×m
![Page 32: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/32.jpg)
Transponeret matrix
![Page 33: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/33.jpg)
Regneregler for transponering
For m × n matricer A og B og s en skalar gælder1 (A + B)T = AT + BT
2 (sA)T = sAT
3 (AT )T = A
![Page 34: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/34.jpg)
Vektorer
Addition af vektorer i plan og rum har en geometrisk fortolkning(velkendt fra gymnasiet.)
![Page 35: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/35.jpg)
Hvorfor vektorer med flere end 3 koordinater?
Et billede er en vektor. Gråtone ∼ koordinater mellem 0 og 256.Et digitalt signal er en vektor.Data er vektorer: (højde, vægt, blodtryk, skatteprocent,...)Punkter på Jorden - placering og en vektor, som indikererkontinentaldrift (ITRF)
![Page 36: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/36.jpg)
Linearkombination
DefinitionEn linearkombination af vektorerne u1, · · · ,uk , som alle ligger i Rn, eren vektor
c1u1 + c2u2 + · · ·+ ckuk
hvor c1, c2, . . . , ck er skalarer.
M.a.o. v er en linearkombination af u1, · · · ,uk , hvis der findes skalarerc1c2, . . . , ck , så
v = c1u1 + c2u2 + · · ·+ ckuk
![Page 37: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/38.jpg)
Linearkombination - eksempler
Den naturlige basis: e1,e2, . . . ,en i Rn.
e1 =
100...0
e2 =
010...0
· · ·
ej er en n × 1 søjlevektor, hvor alle elementer er 0, undtagen element(j ,1)’th, som er 1.
![Page 39: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/39.jpg)
Linearkombination
1/2 +1/2 =
![Page 40: Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang - AAU](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012411/616b01edd6e7e86d0d4c6ec1/html5/thumbnails/40.jpg)
Linearkombinationer - spørgsmål
Kan v skrives som en linearkombination af u1, · · · ,uk?Hvilke vektorer i Rn kan skrives som linearkombinationer afu1, · · · ,uk?Specielt: Kan alle vektorer i Rn skrives som linearkombinationer afu1, · · · ,uk?