LINEARNI MODEL PROIZVODNJE- nastupno predavanje -

Dr. sc. Tunjo Perić

SADRŽAJSADRŽAJ

Pojam i značenje optimizacije proizvodnje, optimizacija j j p j p j , p jproizvodnog programaOptimizacija proizvodnje u uvjetima globalizacije i povećane k k t tikonkurentnostiUvod u optimizaciju proizvodnog programa metodom linearnog programiranjalinearnog programiranjaGrafičko rješavanje modela linearnog programiranja

2

1 Pojam i značenje optimizacije proizvodnje1. Pojam i značenje optimizacije proizvodnje

U proizvodnim organizacijama proizvodnja je osnovna, p g j p j j ,najvažnija i najsloženija faza procesa reprodukcije.Značenje proizvodnje ogleda se u sljedećem:

Rezultat proizvodnje materijalna su dobra bez kojih ne može opstati niti jedno društvo;U fazi proizvodnje stvara se upotrebna vrijednost, vrijednost i novostvorena vrijednost;U proizvodnji je angažiran veliki dio sredstava i radne snage poduzeća.

Za pripremu i sam proces proizvodnje vezani su određeni p p e u s p oces p o vod je ve su od eđeproblemi, među kojima se ističu:

3

1. Određivanje optimalnog proizvodnog programa,1. Određivanje optimalnog proizvodnog programa,2. Odabir optimalnih tehnoloških varijanti,3. Određivanje najpovoljnije smjese sirovina,4 O ti l k j j t ij l4. Optimalno krojenje materijala,5. Određivanje liste ukupno potrebnih količina pojednih

proizvodnih čimbenika za slučaj poznate strukture i k tit ti ih k t lj i dkvantitativnih pokazatelja proizvodnog programa,

6. Najpovoljnije opterećenje strojeva,7. Određivanje optimalnog unutarnjeg transporta,8. Najpovoljniji raspored radnika na radnim zadacima i sl.

Rješavanje navedenih proizvodnih problema u industrijskim poduzećima kontinuirani je proces i zahtijeva primjenupoduzećima kontinuirani je proces i zahtijeva primjenu suvremenih matematičkih modela i metoda.

4

Pod optimizacijom proizvodnje podrazumijeva se procesPod optimizacijom proizvodnje podrazumijeva se proces organizacije upravljanja koji osigurava dostizanje najboljeg stanja s ekonomskog stajališta ili maksimalno

ć i iž j jmoguće približavanje tom stanju.Značenje optimizacije proizvodnje proizlazi iz objektivnih ekonomskih zakona robne proizvodnje, koji pretpostavljajuekonomskih zakona robne proizvodnje, koji pretpostavljaju maksimalnu efektivnost iskorištenja svih resursa.Pri rješavanju navedenih proizvodnih problema koriste se metode jednokriterijalnog i višekriterijalnog linearnog i nelinearnog programiranja, metode asignacije, metode simulacije, teorija zaliha, dinamičko programiranje, teorija j , j , p g j , jrepova čekanja i sl.

5

Pod pojmom proizvodnog programa podrazumijevamo skupPod pojmom proizvodnog programa podrazumijevamo skup određenih vrsta proizvoda koje poduzeće proizvodi ili planira proizvoditi u izvjesnom vremenskom razdoblju te strukturu obujma njihove proizvodnje.obujma njihove proizvodnje.Optimalni proizvodni program vrlo je dinamična pojava i može se ostvariti samo stalnim nastojanjem da se prema zahtjevima tržišta do najveće moguće mjere iskoriste vlastitazahtjevima tržišta do najveće moguće mjere iskoriste vlastita sredstva, odnosno proizvodne, financijske i kadrovske mogućnosti poduzeća.P i d i i d ij k d ć bit d žProizvodni program industrijskog poduzeća bitno se odražava na značenje, mjesto i položaj poduzeća na tržištu, a zatim i na ostvarenje rezultata poslovanja poduzeća.Položaj poduzeća na tržištu putem proizvodnog programa naročito se pokazuje kroz količinu i vrijednost prodaje, politiku prema kupcima, kanale distribucije i politiku cijena.p p p j p j

6

Najveću kvalitetu imat će proizvodni program koji poduzećuNajveću kvalitetu imat će proizvodni program koji poduzeću osigurava najvišu razinu rezultata poslovanja izraženu ekonomskim parametrima. Takav proizvodni program

d lj i i l i i d i d ćpredstavlja, u stvari, optimalni proizvodni program poduzeća za određeni period.

2. Optimizacija proizvodnje u uvjetima globalizacije i povećane konkurentnosti

Racionalni sustav planiranja proizvodnje ne može se ostvariti bez primjene kvantitativnih metoda Primjena kvantitativnihbez primjene kvantitativnih metoda. Primjena kvantitativnih metoda dovodi do optimalnog plana proizvodnje.Planiranje uz pomoć kvantitativnih metoda ima sljedeće j p jprednosti:

7

Ciljevi se mogu formulirati tako da neposredno izražavaju intereseCiljevi se mogu formulirati tako da neposredno izražavaju interese poduzeća i društva,Ciljevi se mogu izraziti jednostavnim jezikom matematike,Cijeli proces planiranja se pojednostavljujeCijeli proces planiranja se pojednostavljuje,Uz pomoć računala moguća je primjena sustava za potporu odlučivanju.

P lj d jih k di d k k i iPosljednjih petnaestak godina gospodarsku aktivnost prati proces globalizacije, pod kojim podrazumijevamo okrupnjavanje poduzeća u gotovo svim granama p j j p g ggospodarstva.Okrupnjavanje poduzeća provodi se: a) preuzimanjem manjih

d ć d t likih lti i l ih k ij b)poduzeća od strane velikih multinacionalnih korporacija, b) otvaranjem filijala velikih multinacionalnih korporacija u gotovo svim zemljama svijeta, te c) seljenjem proizvodnje u zemlje Dalekog istoka, zbog niže cijene radne snage.

8

Ovaj proces omogućile su političke promjene u bivšimOvaj proces omogućile su političke promjene u bivšim socijalističkim zemljama i Kini te snažni razvoj informacijske tehnike i tehnologije.Ovo ima za posljedicu povećanu konkurenciju u gotovo svim proizvodnim granama.Iz toga proizlazi logičan zaključak da poduzeća koja želeIz toga proizlazi logičan zaključak da poduzeća koja žele opstati na tržištu i dalje se razvijati moraju maksimalno racionalizirati svoje poslovanje.Primjena matematičkih metoda optimizacije trebala bi poduzećima pomoći da lakše prevladaju povećane probleme prouzročene globalizacijom i povećanjem konkurencijeprouzročene globalizacijom i povećanjem konkurencije.

9

3 Optimizacija proizvodnog programa linearnim3. Optimizacija proizvodnog programa linearnim programiranjem

Linearno programiranje

• Linearno programiranje predstavlja metodu određivanja optimalnog rješenja problema odlučivanja kod kojih su relacije između varijabli u funkciji cilja i skupu ograničenja linearne.između varijabli u funkciji cilja i skupu ograničenja linearne. Optimalno rješenje je “najbolje” rješenje iz skupa dopustivih rješenja u skladu s usvojenim kriterijem za koje funkcija cilja dostiže ekstremnu vrijednost maksimum ili minimumdostiže ekstremnu vrijednost - maksimum ili minimum.

10

Matematička formulacija problema linearnogMatematička formulacija problema linearnog programiranja (LP) sastoji se u tome da je potrebno naći takav skup vrijednosti varijabli iz područja d i ih j š j k ji j d đ li ih

1 2, ,..., nx x xdopustivih rješenja D, koji je određen sustavom linearnih nejednadžbi/jednadžbi, za koje funkcija cilja dostiže maksimalnu (minimalnu) vrijednost.( ) jPod naprijed navedenim uvjetima, za pronađeni skup vrijednosti varijabli kažemo da predstavljaju optimalno j š jrješenje.

Model linearnog programiranjaModel linearnog programiranja

Model koji je definiran linearnom funkcijom cilja s n varijablij j j j j

11

(1)i sustavom od m linearnih nejednadžbi / jednadžbi na tom

1 1 2 2 ... (max/ min)n nz c x c x c x= + + + →i sustavom od m linearnih nejednadžbi / jednadžbi na tom skupu varijabli

11 1 12 2 1 1 ... n na x a x a x b+ + + ≤

1 1 2 2

... k k kn n ka x a x a x b

b+ + + ≤

+ + +

(2)

1,1 1 1,2 2 1, 1...

k k k n n ka x a x a x b+ + + ++ + + =

a x a x a x b+ + + (2)1 1 2 2

1,1 1 1,2 2 1, 1

... ...

l l ln n l

l l l n n l

a x a x a x ba x a x a x b+ + + +

+ + + =

+ + + ≥

1 1 2 2

...

0m m mn n ma x a x a x b

x x x+ + + ≥

≥naziva se model linearnog programiranja ili linearni model.

1 2, ,..., 0nx x x ≥

12

U modelu (1) (2) upotrijebljene su sljedeće oznake:U modelu (1) – (2) upotrijebljene su sljedeće oznake:xj – varijable odlučivanja ili strukturne varijable;z – funkcija cilja ili funkcija kriterija (objective function);j j j j ( j );cj – koeficijent (parametar) funkcije cilja po jedinici j-te varijable;aij - strukturni koeficijenti u ograničenjima (količina i-tog ograničenja potrebna za jedinicu j-te varijable);b – vrijednost ograničenja;bi – vrijednost ograničenja;i = 1,...,m; j=1,...,n.Prema tome, osnovni elementi gore opisanog matematičkog , g p g gmodela jesu:

Funkcija cilja iSkup ograničenjaSkup ograničenja.

13

Upotrebom operatora zbrajanja model definiran relacijamaUpotrebom operatora zbrajanja model definiran relacijama (1) i (2) može se napisati u obliku:

(max/ min)n

j jz c x= →∑

pri ograničenjima (p.o.)1

(max/ min)j jj

z c x=

→∑

1

, 1,...,n

ij j ij

a x b i k=

≤ =∑

1

, 1,...,n

ij j ij

n

a x b i k l=

= = +∑

1

, 1,...,

0 1

n

ij j ij

a x b i l m

x j n=

≥ = +

≥ =

∑0, 1,..., .jx j n≥ =

14

Naprijed definirani model možemo napisati i u matričnomNaprijed definirani model možemo napisati i u matričnom obliku.

Sadržina linearnog modela

Problemi poslovnog odlučivanja koji se rješavaju metodama LP moraju biti izraženi kroz sljedeće komponente:

Alternativne aktivnosti,Alternativne aktivnosti,Funkciju cilja iOgraničenja.

P d l LP d fi i j k ij bliPrema tome, model LP definiran je skupom varijabli, funkcijom cilja i skupom ograničenja 1 2, ,..., nx x x

15

Varijable u linearnom modeluVarijable u linearnom modelu

Rješenje modela LP predstavljaju vrijednosti varijabli za koje j j p j j j j jfunkcija cilja dostiže svoju ekstremnu vrijednost. Definirane se varijable predstavljaju u n-dimenzionalnom

kt k t kt T ⎡ ⎤nRvektorskom prostoru vektorom Varijable odlučivanja odražavaju alternativne načine za postizanje cilja.

1 2 ... ... .Tj nx x x x x⎡ ⎤= ⎣ ⎦

nR

postizanje cilja.Varijable u linearnom modelu se nazivaju strukturne varijable ili varijable originala (primala), odnosno varijable odlučivanja (d i i i bl )(decision variables).U modelu optimizacije proizvodnog programa varijablama su izražene količine proizvoda koje se proizvode ili mogusu izražene količine proizvoda koje se proizvode ili mogu proizvoditi u promatranom periodu.

16

Funkcija ciljaFunkcija ciljaPri optimiranju proizvodnog programa kao funkcija cilja može se pojaviti maksimizacija: dobiti, obujma proizvodnje, iskorištenja kapaciteta, ukupnog prihoda i sl.Također, kao funkcija cilja može se pojaviti minimizacija ukupnih troškovaukupnih troškova .Funkcija cilja se matematički definira kao:

1 1 2 2 ... (max/ min),n nz c x c x c x= + + + →gdje je cj koeficijent ciljne funkcije po jedinici j-te varijable, npr. dobit po jedinici proizvoda ili troškovi proizvodnje po j di i i i d

1 1 2 2 ( ),n n

jedinici proizvoda.Prema tome, funkcija cilja linearnog modela je linearna funkcija s n varijabli za koju je potrebno odrediti ekstremnufunkcija s n varijabli za koju je potrebno odrediti ekstremnu vrijednost (maksimum ili minimum) iz skupa dopustivih rješenja definiranih skupom ograničenja. 17

Skup ograničenja modelaSkup ograničenja modela

U skupu ograničenja se pojavljuju iste varijable kao i u p g j p j j j jfunkciji cilja.Skup ograničenja definira u n-dimenzionalnom prostoru d ili k d ti ih ( ćih) j š j D

nRdomenu ili skup dopustivih (mogućih) rješenja D.Ograničenja linearnog modela definiraju m+n linearnih nejednadžbi/jednadžbi modela, tako da sustav (2) može biti:nejednadžbi/jednadžbi modela, tako da sustav (2) može biti:

Proturječan (skup dopustivih rješenja je prazan skup)Nije proturječan, ali je skup D neograničen (postoji mogućnost određivanja optimalnog rješenja ako je funkcija cilja ograničena uodređivanja optimalnog rješenja ako je funkcija cilja ograničena u neograničenom području iNije proturječan i skup D je ograničen (sustav ima rješenje).

18

U n dimenzionalnom vektorskom prostoru poseban slučajnRU n-dimenzionalnom vektorskom prostoru , poseban slučaj linearne zavisnosti jest hiperravnina dana jednadžbom

n

a x b=∑

R

Ova hiperravnina dijeli vektorski prostor na vektorske l t

1

.ij j ij

a x b=

=∑

n n

nRpoluprostore

Razmotrimo skup dopustivih rješenja s geometrijskog1 1

i .n n

ij j i ij j ij j

a x b a x b= =

≤ ≥∑ ∑Razmotrimo skup dopustivih rješenja s geometrijskog stajališta.Promatrajući n-dimenzionalni prostor kao vektorski, svako nRograničenje tipa nejednakosti , odnosno definira skup točaka jednog poluprostora, uključujući i granične točke poluprostora.

1 2( , ,..., ,..., )j nx x x x≤ ≥

granične točke poluprostora.

19

U dvodimenzionalnoj ravnini ograničenja tipa nejednakostiU dvodimenzionalnoj ravnini ograničenja tipa nejednakosti definiraju odgovarajuću poluravninu uključujući i

točke koje pripadaju graničnom pravcu. ( ili )≤ ≥

Ograničenja tipa jednakosti sadrže samo točke koje se nalaze na hiperravnini n-dimenzionalnog prostora, odnosno u dvodimenzionalnoj ravnini samo točke koje se nalaze nadvodimenzionalnoj ravnini samo točke koje se nalaze na pravcu.S obzirom da linearni model ima m+n ograničenja, to će svako od njih definirati po jedan poluprostor ili hiperravninu, odnosno u dvodimenzionalnom prostoru jednu poluravninu ili pravac.jednu poluravninu ili pravac.Skup dopustivih rješenja D dobije se kao presjek skupova točaka svih poluprostora, odnosno hiperravnina (u dvodimenzionalnom prostoru presjek poluravnina i pravaca) definiranih sustavom ograničenja (2).

20

Promatrajmo dvije točke X1 i X2 iz skupa dopustivih rješenja D. Ma koja točka pravca koji prolazi kroz točke X1 i X2 jeD. Ma koja točka pravca koji prolazi kroz točke X1 i X2 je linearna kombinacija točaka X1 i X2 izražena u obliku

1 2(1 ) .X X Xλ λ= + −

Ako se uključi uvjet da je , onda se ova linearna kombinacija naziva konveksnom kombinacijom dviju točaka

0 1λ≤ ≤

točaka.Konveksni skup točaka u dvodimenzionalnom vektorskom prostoru predstavlja onaj skup točaka koji pored svoje bilo koje dvije točke X1 i X2 sadrži i sve točke dužine koja povezuje točke X1 i X2. Takav konveksni skup točaka, za razliku od konkavnog može se predstaviti konveksnim poliedrom.g p pSkup dopustivih rješenja D u linearnom modelu udovoljava osobinama konveksnog skupa točaka. Na konveksnom skupu razlikuju se dvije vrste točaka: ekstremne i neekstremne.

21

Ekstremne točke (tjemena poliedra poligona) se za razlikuEkstremne točke (tjemena poliedra – poligona) se, za razliku od neekstremnih, ne mogu izraziti kao konveksna kombinacija drugih točaka skupa.Konveksni skup se naziva konveksnim poliedrom ako je oraničen i ako mu je broj ekstremnih točaka (tjemena) konačan.konačan.Skup dopustivih rješenja (konveksni poliedar) ne daje odgovor na pitanje izbora optimalnog rješenja, već ga daje linearna forma (1) (funkcija cilja) koja ekstremnu vrijednost (maksimum ili minimum) dostiže u ekstremnoj točki konveksnog poliedra.g pFunkcija cilja u prostoru je predstavljena skupom paralelnih hiperravnina (u dvodimenzionalnom prostoru k l l ih ) O ć d t lj ij b l žiti

nR

skupom paralelnih pravaca). Ovo će se detaljnije obrazložiti kod grafičke interpretacije LP.

22

Prema tome matematički oblik ograničenja može bitiPrema tome, matematički oblik ograničenja može biti definiran jednadžbama i nejednadžbama oblika te .Ograničavajući su uvjeti najčešće definirani fiksnim

≤ ≥

količinama određenih resursa. Pod pojmom resursi shvaćaju se svi proizvodni i neproizvodni čimbenici koji se mogu kvantificirati (kapacitetineproizvodni čimbenici koji se mogu kvantificirati (kapaciteti strojeva, novčana sredstva, radna snaga, prostor, raspoloživi repromaterijal i sl.).Iskorištenost resursa ne može prelaziti definirane granice (količine resursa), pa se u matematičkom smislu izražavaju nejednadžbama oblika manje ili jednakonejednadžbama oblika manje ili jednako.Tako se i-to ograničenje može napisati u obliku:

1 1 2 2i i ij j i ia x a x a x a x b+ + + + + ≤1 1 2 2 ... ...i i ij j in n ia x a x a x a x b+ + + + + ≤

23

gdje su:gdje su:aij - strukturni ili tehnički koeficijenti u i-tom ograničenju, a definiraju količinu i-tog resursa potrebnu za jedinicu j-te varijable, ib l b d i k fi ij i ič j d lj l žibi – slobodni koeficijent u i-tom ograničenju, a predstavlja raspoloživu količinu i-tog resursa.

Ograničenja matematički izražena kao nejednadžbe oblika veće ili jednako odnose se na određene minimalne zahtjeve, kao što su:

Minimalna proizvodnja,p j ,Minimalni biološki zahtjevi,Minimalne zalihe,Minimalno korištenje resursa i sl.Minimalno korištenje resursa i sl.

Ograničenja izražena u obliku jednadžbi proizlaze iz specifičnih zahtjeva, kao što su:

Potpuna iskorištenost kapacitetaPotpuna iskorištenost kapaciteta,Struktura proizvodnog programa koja iznosi 100 % ili 1 i sl.

24

Postoji još i ograničenje koje se odnosi na zahtjev zaPostoji još i ograničenje koje se odnosi na zahtjev za nenegativnošću varijabli, tj. , s obzirom da se odnose na određene ekonomske veličine, koje ne mogu biti negativne.

0jx ≥

Osnovne pretpostavke linearnog modela

Model linearnog programiranja zadovoljava sljedeće pretpostavke:pretpostavke:

Linearnost funkcije cilja i skupa ograničenja,Diskretnost procesa odnosno varijabli po kojem vrijednost jedne varijable nema utjecaja na strukturne koeficijente koeficijente uvarijable nema utjecaja na strukturne koeficijente, koeficijente u funkciji cilja i druge varijable,Izvjesnost, što znači da su svi koeficijenti u funkciji cilja i skupu ograničenja unaprijed određeni i zadržavaju svoju konstantnost tijekomograničenja unaprijed određeni i zadržavaju svoju konstantnost tijekom vremena,

25

Proporcionalnost procesa u modelu , po kojem postojiProporcionalnost procesa u modelu , po kojem postoji proporcionalni odnos između inputa i outputa u modelu. Npr. ako je dobit po jedinici proizvoda 10 kuna, onda je dobit od 50 j di i i d j d k 500 kjedinica proizvoda jednaka 500 kuna.Aditivnost procesa u modelu, po kojem svi koeficijenti u funkciji cilja trebaju biti izraženi na taj način da ukupna j j j j pvrijednost funkcije cilja bude jednaka zbroju ciljnih vrijednosti ostvarenih od pojednih varijabli. Također, svi strukturni koeficijenti jednog ograničenja trebaju biti tako definiranikoeficijenti jednog ograničenja trebaju biti tako definirani kako bi se osiguralo sumiranje pojedinačnih utrošaka ograničenja po pojedinim varijablama.Proizvoljna djeljivost procesa po kojoj varijable mogu primiti proizvoljne realne vrijednosti, tj. varijable su kontinuiranekontinuirane.Konačan broj varijabli i ograničenja.

26

Linearni model optimizacije proizvodnog programaLinearni model optimizacije proizvodnog programa

Proizvodni program predstavlja skup svih proizvoda koje jedno poduzeće nudi na tržištu.Pored asortimana, u fazi proizvodnog planiranja potrebno je odrediti i količine pojedinih proizvoda iz asortimana kojeodrediti i količine pojedinih proizvoda iz asortimana koje poduzeće planira proizvoditi u određenom periodu.Osnovni cilj LP u području proizvodnog planiranja jest d đi j i l i dodređivanje optimalnog proizvodnog programa.

Optimalnim proizvodnim programom se određuju vrste i količine proizvoda koje će se proizvoditi u određenom periodu p j p puz najpovoljnije korištenje raspoloživih resursa ostvarujući najbolji poslovni rezultat.Mnogobrojna s ograničenja koja se mog poja iti priMnogobrojna su ograničenja koja se mogu pojaviti pri optimizaciji proizvodnog programa.

27

Ograničenja se najčešće odnose na raspoložive resurseOgraničenja se najčešće odnose na raspoložive resurse (sirovine, strojeve, radnu snagu, financijska sredstva i sl.) i tržišna ograničenja (mogućnosti nabave i prodaje).

i i ič k i i ij d bi i iliKao funkcija cilja obično se javlja maksimizacija dobiti ili ukupnog prihoda, odnosno minimizacija ukupnih troškova poslovanja.p j

Opći, standardni i kanonski oblik modela LP

Postoje dva osnovna tipa linearnih modela, i to za:Maksimum iMinimum.

Na osnovi oblika matematičkih izraza za ograničenja razlikujemo:razlikujemo:

28

Standardni ili simetrični,Standardni ili simetrični,Kanonski iOpći ili asimetrični.

Standardni oblik ima sljedeće karakteristike:Standardni oblik ima sljedeće karakteristike:Kod linearnog modela za maksimum sva ograničenja su izražena nejednadžbama oblika manje ili jednako,K d li d l i i ič j i žKod linearnog modela za minimum sva ograničenja su izražena nejednadžbama oblika veće ili jednako.

Kod kanonskog oblika su sva ograničenja izražena u formi j d d bi k k k d bl k i k i k djednadžbi, kako kod problema za maksimum, tako i kod problema za minimum.Opći oblik linearnog modela za maksimum i minimum sadrži Opć ob e og ode s u u s dkombinaciju formi ograničenja manje ili jednako, jednako i veće ili jednako.

29

Standardni oblik linearnog modela za maksimum jeStandardni oblik linearnog modela za maksimum je sljedeći:

maxn

j jz c x= →∑p.o.

(3)

1j j

j=∑

, 1,...,n

ij j ia x b i m≤ =∑ (3)1

, , ,

0 1,...,

ij j ij

jx j n=

≥ =

∑

U matričnoj formi standardni oblik (3) može se napisati kao:

(3a)maxz Cx

A A= →≤ (3a)

gdje su

0

0,Ax Ax

≤

≥[ ]1 2 ... ,nC c c c= [ ]1 2 ... ,Tx x x x= [ ]0 1 2 ... ,T

mA b b b=g j [ ]1 2 ,n [ ]1 2 ... ,nx x x x [ ]0 1 2 ,m

30

11 12 1... na a a⎡ ⎤⎢ ⎥

21 22 2... na a aA

⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥

Standardni oblik linearnog modela za minimum je:

1 2 ...m m mna a a⎢ ⎥⎣ ⎦

Standardni oblik linearnog modela za minimum je:

1

minn

j jj

z c x=

= →∑

(4)p.o.

1

j

n

a x b i m≥ =∑1

, 1,...,

0, 1,...,

ij j ij

j

a x b i m

x j n=

≥ =

≥ =

∑

31

Kanonski oblik linearnog modela za maksimum glasi:Kanonski oblik linearnog modela za maksimum glasi:

1

maxn

j jj

z c x=

= →∑

(5)

1

p.o.

1

j

n

a x b i m∑1

, 1,...,

0, j=1,...,n.

ij j ij

j

a x b i m

x=

= =

≥

∑

Kanonski oblik linearnog modela za minimum identičan je kanonskom obliku linearnog modela za maksimum samo što se u funkciji cilja riječ “max” zamjenjuje riječju “min”se u funkciji cilja riječ max zamjenjuje riječju min .Opći oblik linearnog modela dat je relacijama (1) i (2), s tim što mora sadržavati najmanje dvije forme ograničenja.

32

Standardni oblik za maksimum transformira se u kanonskiStandardni oblik za maksimum transformira se u kanonski pretvaranjem sustava ograničenja nejednadžbi manje ili jednako u jednadžbe tako da se na lijevim stranama

ič j d d j ij bl k j i j d k iliograničenja dodaju varijable koje se nazivaju dopunske ili izravnavajuće varijable Koeficijenti u funkciji cilja za dopunske varijable jednaki su

( ).n ix +

j j j p j jnuli. Prema tome, nakon uvođenja dopunskih varijabli dobiva se sljedeći model u kanonskom obliku:

n m+

1

max

p.o.

j jj

z c x=

= →∑

(6)

1

p.o.

, 1,...,n

ij j n i ij

a x x b i m+=

+ = =∑0, 1,..., .

j

jx j n m≥ = +33

Standardni oblik za minimum transformira se u kanonskiStandardni oblik za minimum transformira se u kanonski pretvaranjem sustava ograničenja veće ili jednako u jednadžbe tako da se na lijevim stranama ograničenja oduzimaju d k ij bl k fi ij ti f k iji ilj( )dopunske varijable , s koeficijentima u funkciji cilja jednakim nuli. Nakon uvođenja dopunskih varijabli kanonski oblik modela izgleda ovako:

( )n ix +

1

minn m

j jj

z c x+

=

= →∑

(7)p.o.

, 1,...,n

ij j n i ia x x b i m+− = =∑1

, , ,

0, 1,..., .

ij j n i ij

jx j n m

+=

≥ = +

∑

Svođenje na kanonski oblik modela je potrebno kad se model LP rješava simpleks metodom.

34

Transformacija općeg oblika linearnog modela zaTransformacija općeg oblika linearnog modela za maksimum u standardni oblik vrši se na sljedeći način:

Ograničenja oblika jednadžbi pretvaraju se u dvije nejednadžbe, jednu oblika manje ili jednako a drugu oblika veće ili jednako Potom seoblika manje ili jednako, a drugu oblika veće ili jednako. Potom se nejednadžbe oblika veće ili jednako pomnože s (-1), tj.

n n

a x b a x b⎧ ⎫ ⎧ ⎫≤ ≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪∑ ∑

1 1

1 / ( 1)

ij j i ij j inj j

ij j i n nj

a x b a x ba x b

a x b a x b

= =

=

≤ ≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⇔ ⇔⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪≥ − − ≤ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∑ ∑∑

∑ ∑

Ograničenja oblika veće ili jednako množe se s (-1), odnosno

1 1/ ( 1)ij j i ij j i

j ja x b a x b

= =

≥ ≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭∑ ∑

1 1

/ ( 1) .n n

ij j i ij j ij j

a x b a x b= =

≥ − ⇒ − ≤ −∑ ∑

35

Prethodnim operacijama sva su ograničenja izraženaPrethodnim operacijama sva su ograničenja izražena nejednadžbama oblika manje ili jednako, što je karakteristika standardnog oblika linearnog modela.

f ij ć d l i i d d i blikTransformacija općeg modela za minimum u standardni oblik vrši se na sličan način, samo što se s (-1) množe ograničenja oblika manje ili jednako, te se na taj način dobivaju sva j j , j jograničenja oblika veće ili jednako, što je karakteristika standardnog oblika modela za minimum.Pretvaranje općeg u standardni oblik posebno je važnoPretvaranje općeg u standardni oblik posebno je važno kod rješavanja problema LP korištenjem duala.Transformacija općeg u kanonski oblik vrši se tako da se dopunske varijable kod ograničenja oblika manje ili jednako dodaju lijevoj strani, a kod ograničenja veće ili jednako oduzimaju od lijeve strane nejednadžbe.oduzimaju od lijeve strane nejednadžbe.

36

Metode za rješavanje problema LPMetode za rješavanje problema LP

Postoje dvije osnovne grupe metoda pomoću kojih se mogu rješavati problemi linearnog programiranja:

Simpleks metoda – opća metoda za rješavanje svih problema LP,Metode prilagođene rješavanju specijalnih vrsta problema, kao što p g j j p j p ,su transportni problem, problem raspoređivanja (asignacije).

Simpleks metoda predstavlja opći algoritam pomoću kojeg se rješavaju svi oblici modela LP kao i značajne grupe problemarješavaju svi oblici modela LP, kao i značajne grupe problema koje se mogu svesti na linearne modele (višekriterijalni problemi, nelinearni modeli i sl.).

ij ij j d ži li ih d l iZa potpunije razumijevanje sadržine linearnih modela i postupka njihovog rješavanja simpleks metodom, u dvodimenzionalnom prostoru ćemo prikazati grafičku p p ginterpretaciju postupka rješavanja problema LP.

37

Grafičko rješavanje problema LPGrafički se mogu rješavati linearni modeli sa dvije varijableGrafički se mogu rješavati linearni modeli sa dvije varijable. Neka se promatra model sa dvije varijable u obliku:

(8)1 1 2 2 max/ minz c x c x= + →

p.o.11 1 12 2 1 a x a x b+ ≤

1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 1

k k k

k k k

a x a x ba x a x b+ + +

+ ≤

+ =(9)

1,1 1 1,2 2 1

1 1 2 2

k k k

l l la x a x b

+ + +

+ =1 1 2 2

1,1 1 1,2 2 1

l l l

l l la x a x b+ + ++ =

1 1 2 m ma x a+ 2

1 2

, 0

mx bx x

≥

≥ 38

Sustav nejednadžbi / jednadžbi (9) ima rješenje ako je sustavSustav nejednadžbi / jednadžbi (9) ima rješenje ako je sustav suglasan, tj. ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice (koeficijenti uz varijable i slobodni članovi u

ič ji )ograničenjima).Rješenje sustava ograničenja (9) u ravnini, ako postoji, može se predstaviti kao: poluravnina (a), zatvoreni poligon (b) i p p ( ), p g ( )pravac, polupravac ili dužina.

Slika 1. Moguća rješenja sustava nejednadžbi / jednadžbi39

Skup točaka D dobiven rješavanjem sustava (9) naziva se skup dopustivih rješenja. Ovaj skup je konveksan.p p j j j p jU skupu D se mogu uočiti ekstremne točke (tjemena poligona) među kojima se nalazi optimalno rješenje.Linearna forma (8) predstavlja familiju paralelnih pravacaLinearna forma (8) predstavlja familiju paralelnih pravacapošto koeficijent pravca –c1/c2 ne zavisi od varijable z.Rješenje problema se sastoji u određivanju onog pravca koji sa skupom D ima bar jednu zajedničku točku, a u kojoj linearna forma (8) dostiže maksimalnu / minimalnu vrijednost.Ta presječna točka predstavlja optimalno rješenje modelaTa presječna točka predstavlja optimalno rješenje modela.Zbog pojednostavljenja grafički se predstavlja pravac koji prolazi kroz koordinatni početak, tj. c1x1+c2x2=0 i onda se parelelno pomiče u odnosu na skup D.U slučaju da su oba koeficijenta u funkciji cilja veća od nule maksimalna vrijednost funkcije cilja se postiže u najudaljenijojmaksimalna vrijednost funkcije cilja se postiže u najudaljenijoj točki (točkama) presjeka z i skupa D, dok se minimalna vrijednost postiže u najbližoj točki koordinatnom početku. 40

U slučaju kad je jedan od koeficijenata c1, c2 negativan onda se maksimalna vrijednost linearne forme postiže pomicanjem pravca z duž osi kojoj odgovara varijabla s pozitivnim koeficijentom, dok se minimalna vrijednost postižekoeficijentom, dok se minimalna vrijednost postiže pomicanjem pravca z duž osi kojoj odgovara varijabla s negativnim koeficijentom.

Ilustrativni primjer

Jedno poduzeće proizvodi dvije vrste skija – skije za spust (A) i skije za slalom (B). Za proizvodnju jednog para skija tipa A

t b j 2 t d d ik j č j 1 t d d ikpotrebno je 2 sata rada radnika na sječenju, 1 sat rada radnika na oblikovanju i 3 sata rada radnika na završnoj obradi, dok je za proizvodnju jednog para skija tipa B potrebno 2 sata rada radnika na sječenju, 2 sata rada radnika na oblikovanju i 1 sat rada radnika na završnoj obradi. 41

Poduzeće ima na raspolaganju svaki dan 140 sati rada radnikaPoduzeće ima na raspolaganju svaki dan 140 sati rada radnika na sječenju, 120 sati rada radnika na oblikovanju i 150 sati rada radnika na završnoj obradi.

lik d b i i i kij i k lik iKoliko dnevno treba proizvesti pari skija tipa A, a koliko tipa B da bi ukupni profit poduzeća bio maksimalan, ako poduzeće ostvaruje profit od 10 $ po paru skija tipa A, odnosno 8 $ po j p p p j p , pparu skija tipa B?

Rj š jRješenje:Varijable odlučivanja:

x1 – broj pari skija tipa A,x2 – broj pari skija tipa B.

Funkcija cilja:Max z = 10 x1 + 8 x2Max z 10 x1 + 8 x2

42

Ograničenja:2 2 140x x+ ≤1 2

1 2

1 2

2 2 140 2 120

3 150

x xx xx x

+ ≤+ ≤+ ≤

Najprije ćemo grafički predstaviti sve nejednadžbe

1 2

1 2

3 150, 0.

x xx x

+ ≤≥

Najprije ćemo grafički predstaviti sve nejednadžbe ograničenja, a to je najjednostavnije napraviti uzimajući jednakosti umjesto nejednakosti, kako bi se mogli grafički predstaviti pravci koji odgovaraju ograničenjima.Potom se u prvom kvadrantu koordinatnog sustava nacrtaju pravci koji odgovaraju jednadžbama.pravci koji odgovaraju jednadžbama. Nakon toga se strelicom označi smisao nejednakosti.Kao rezultat toga formira se skup dopustivih rješenja.Optimalno rješenje se nalazi u ekstremnoj točki skupa dopustivih rješenja.

43

x2

150Na nacrtani graf treba unijeti ograničenja tipa jednakosti, a potom funkciju cilja u obliku

70

funkciju cilja u obliku familije pravaca

607050

50 70 120 x10

44

x2

1502x1+2x2=140

70

U ovom slučaju strelica okrenuta u lijevo znači da se

607050

radi o nejednadžbi oblika manje ili jednako

50 70 120 x10

Pravac prikazujemo samo u prvom kvadrantu gdje su obje varijable pozitivne. Također, i preostala dva pravca ćemo prikazati samo upreostala dva pravca ćemo prikazati samo u prvom kvadrantu.

45

x2

1502x1+2x2=140

70

x1+2x2=120

607050

50 70 120 x10

46

x23 + 150

1502x1+2x2=140

3x1+x2=150

70

x1+2x2=120

607050

50 70 120 x10

47

x23 + 150

1502x1+2x2=140

3x1+x2=150 Uključili smo i 2 ograničenja koja označavaju nenegativnost varijabli odlučivanja

70

x1+2x2=120odlučivanja

Presjek svih poluravnina predstavlja skup

607050

D

predstavlja skup dopustivih rješenja D

50 70 120 x10

48

x23 + 150

1502x1+2x2=140

3x1+x2=150

70

x1+2x2=120

Ovime smo dobili skup dopustivih rješenja D607050

D

Ovime smo dobili skup dopustivih rješenja D.

50 70 120 x10

Nacrtajmo pravac 10x1+8x2=0

49

x23 + 150

1502x1+2x2=140

3x1+x2=150 z = 10 x1 + 8 x2Ako stavimo da je z = 0, tada pravac prolazi kroz koordinatni početak i

70

x1+2x2=120koordinatni početak i imamo x1 = -8x2/10

607050

D

50 70 120 x10

Koeficijent pravca jednadžbe funkcije cilja jeste -10/8.Pravac ćemo najlakše nacrtati ako stavimo recimo da je x1=40, onda je x2=-50, pošto je x1=-8x2/10.

50

x23 + 150

1502x1+2x2=140

3x1+x2=150 Pravac 10x1+8x2=0 crtamo na temelju dvije točke: (0, 0) i (40 50)

70

x1+2x2=120(40, -50)

607050

D10x1+8x2=0 F

GH

50 70 120 x10

E

Ako formiramo familiju pravaca paralelnih pravcu 10x +8x =0 uočitAko formiramo familiju pravaca paralelnih pravcu 10x1+8x2=0, uočit ćemo da je taj pravac najviše udaljen od koordinatnog početka u točci F, koja je prema tome točka gdje funkcija cilja ostvaruje svoju maksimalnu vrijednost na skupu dopustivih rješenja.

51

Vrijednosti ciljne funkcije u točkama E, F, G i H su sljedeće:E(0 50) = 500 $E(0, 50) 500 $F(40, 30) = 640 $G(20, 50) = 600 $( )H(0,60) = 480 $Vrijednosti varijabli u točkama E, F, G i H nalazimo j j j d d bi k ji j d fi i d krješavanjem sustava jednadžbi kojim je definirana data točka

(svaka od tih točaka je nastala kao presjek dvaju pravaca).Npr točka F je presječna točka pravaca:Npr. točka F je presječna točka pravaca:2x1+2x2=1403x1+ x2=150.1 2

Rješenje ovog sustava je x1=40 i x2=30 za koje funkcija cilja ostvaruje svoju maksimalnu vrijednost, koja iznosi 640 $640 $.

52

Hvala na pozornosti!p

53