linear complementary systems
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7/27/2019 Linear Complementary Systems
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L i n e a r C o m p l e m e n t a r i t y S y s t e m s
W . P . M . H . H e e m e l s
J . M . S c h u m a c h e r
y
S . W e i l a n d
z
S u b m i t t e d t o S I A M J o u r n a l o n A p p l i e d M a t h e m a t i c s
A M S S u b j e c t C l a s s i c a t i o n ( 1 9 9 1 ) : 3 4 A 1 2 , 6 8 U 2 0 , 7 0 F 3 5 , 9 3 B 1 2 .
K e y w o r d s : h y b r i d s y s t e m s , d i e r e n t i a l / a l g e b r a i c e q u a t i o n s , i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s , c o m p l e -
m e n t a r i t y p r o b l e m .
A b s t r a c t
W e i n t r o d u c e a n e w c l a s s o f d y n a m i c a l s y s t e m s c a l l e d \ l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . "
T h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e s e s y s t e m s c o n s i s t s o f a s e r i e s o f c o n t i n u o u s p h a s e s s e p a r a t e d b y
\ e v e n t s " w h i c h c a u s e a c h a n g e i n d y n a m i c s a n d p o s s i b l y a j u m p i n t h e s t a t e v e c t o r . T h e
o c c u r r e n c e o f e v e n t s i s g o v e r n e d b y c e r t a i n i n e q u a l i t i e s s i m i l a r t o t h o s e a p p e a r i n g i n t h e L i n -
e a r C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m o f m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g . T h e f r a m e w o r k w e d e s c r i b e i s
s u i t a b l e f o r c e r t a i n s i t u a t i o n s i n w h i c h b o t h d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s p l a y a r o l e ,
f o r i n s t a n c e i n m e c h a n i c s , e l e c t r i c a l n e t w o r k s , p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s , a n d d y n a m i c o p t i -
m i z a t i o n . W e p r e s e n t a p r e c i s e d e n i t i o n o f t h e s o l u t i o n c o n c e p t o f l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y
s y s t e m s a n d g i v e s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s .
1 I n t r o d u c t i o n
I n m a n y t e c h n i c a l a n d e c o n o m i c a p p l i c a t i o n s o n e e n c o u n t e r s s y s t e m s o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
a n d i n e q u a l i t i e s . F o r a q u i c k r o u n d u p o f e x a m p l e s , o n e m a y t h i n k o f t h e f o l l o w i n g : m o t i o n o f
r i g i d b o d i e s s u b j e c t t o u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s , e l e c t r i c a l n e t w o r k s w i t h i d e a l d i o d e s , o p t i m a l c o n -
t r o l p r o b l e m s w i t h i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s i n t h e s t a t e s a n d / o r c o n t r o l s , d y n a m i c a l s y s t e m s w i t h
p i e c e w i s e l i n e a r c h a r a c t e r i s t i c s l i k e s a t u r a t i o n f u n c t i o n s , d e a d z o n e s , r e l a y s , C o u l o m b f r i c t i o n
a n d o n e - s i d e d s p r i n g s , p r o j e c t e d d y n a m i c a l s y s t e m s , d y n a m i c v e r s i o n s o f l i n e a r a n d n o n l i n e a r
p r o g r a m m i n g p r o b l e m s , a n d d y n a m i c W a l r a s i a n e c o n o m i e s . I t h a s t o b e n o t e d t h a t t h e r e i s
D e p t . o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g , E i n d h o v e n U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , P . O . B o x 5 1 3 , 5 6 0 0 M B E i n d h o v e n ,
T h e N e t h e r l a n d s , a n d C e n t E R a n d D e p t . o f E c o n o m i c s , T i l b u r g U n i v e r s i t y , E - m a i l : w . p . m . h . h e e m e l s @ e l e . t u e . n l
y
C W I , P . O . B o x 9 4 0 7 9 , 1 0 9 0 G B A m s t e r d a m , T h e N e t h e r l a n d s , a n d C e n t E R a n d D e p t . o f E c o n o m i c s , T i l b u r g
U n i v e r s i t y , P . O . B o x 9 0 1 5 3 , 5 0 0 0 L E T i l b u r g , T h e N e t h e r l a n d s , E - m a i l : H a n s . S c h u m a c h e r @ c w i . n l
z
D e p t . o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g , E i n d h o v e n U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , P . O . B o x 5 1 3 , 5 6 0 0 M B E i n d h o v e n ,
T h e N e t h e r l a n d s , E - m a i l : s . w e i l a n d @ e l e . t u e . n l
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c o n s i d e r a b l e i n h e r e n t c o m p l e x i t y i n s y s t e m s o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s , s i n c e n o n -
s m o o t h t r a j e c t o r i e s a n d p o s s i b l y j u m p s h a v e t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t . A s a r e s u l t o f t h i s , e v e n
b a s i c i s s u e s s u c h a s e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s a r e d i c u l t t o s e t t l e . G i v e n t h e w e a l t h
o f p o s s i b l e a p p l i c a t i o n s h o w e v e r , i t i s o f i n t e r e s t t o o v e r c o m e t h e s e d i c u l t i e s .
I n t h e l i t e r a t u r e o n e c a n n d m a n y s t r a n d s o f r e s e a r c h d e a l i n g w i t h d y n a m i c s s u b j e c t t o i n e q u a l -
i t y c o n s t r a i n t s , s o m e m a i n l y m o t i v a t e d b y p r o b l e m s i n m e c h a n i c s , o t h e r s m o r e c l o s e l y c o n n e c t e d
t o o p e r a t i o n s r e s e a r c h a n d e c o n o m i c s . T h e f r a m e w o r k o f d i e r e n t i a l i n c l u s i o n s ( s e e f o r i n s t a n c e
2 ] ) g i v e s a g e n e r a l s e t t i n g f o r t h e s t u d y o f s y s t e m s i n w h i c h b o t h d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d i n -
e q u a l i t i e s p l a y a r o l e . I n t h i s p a p e r , h o w e v e r , w e s h a l l b e i n t e r e s t e d i n m o r e s p e c i c d y n a m i c a l
s y s t e m s f o r w h i c h u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s h o l d s . A l t h o u g h o f c o u r s e o n e c a n g e t u n i q u e s o l u -
t i o n s f r o m a d i e r e n t i a l i n c l u s i o n b y i m p o s i n g s u i t a b l e s i d e c o n s t r a i n t s , w e p r e f e r t o t h i n k o f t h e
s y s t e m s c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r a s s y s t e m s t h a t s w i t c h b e t w e e n m o d e s o n t h e b a s i s o f c e r t a i n
i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s , a n d t h a t b e h a v e w i t h i n e a c h m o d e a s o r d i n a r y d i e r e n t i a l s y s t e m s r a t h e r
t h a n a s d i e r e n t i a l i n c l u s i o n s . T h i s \ m u l t i m o d a l " w a y o f t h i n k i n g i s n a t u r a l i n a n u m b e r o f a p -
p l i c a t i o n s ; i n t h e s t u d y o f C o u l o m b f r i c t i o n , o n e h a s t h e t r a n s i t i o n b e t w e e n s t i c k m o d e a n d s l i p
m o d e , i n t h e s t u d y o f e l e c t r i c a l n e t w o r k s w i t h i d e a l d i o d e s , t h e r e i s t h e t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e
c o n d u c t i n g a n d t h e b l o c k i n g m o d e o f e a c h d i o d e , a n d i n t h e c o n t e x t o f d y n a m i c o p t i m i z a t i o n ,
o n e h a s m o d e t r a n s i t i o n s w h e n a n i n a c t i v e c o n s t r a i n t b e c o m e s a c t i v e o r v i c e v e r s a . A s i m i l a r
p o i n t o f v i e w m a y b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e o n t h e s o - c a l l e d \ h y b r i d s y s t e m s " e n c o m p a s s i n g
b o t h c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e d y n a m i c s , w h i c h h a v e r e c e n t l y b e e n a p o p u l a r s u b j e c t o f s t u d y
b o t h f o r c o m p u t e r s c i e n t i s t s a n d f o r c o n t r o l t h e o r i s t s ( s e e f o r i n s t a n c e 1 , 2 7 ] ) .
A m o n g t h e s t u d i e s t h a t h a v e b e e n m a d e o f d y n a m i c a l s y s t e m s e x h i b i t i n g s o m e s o r t o f s w i t c h i n g
b e h a v i o u r , o n e m a y m e n t i o n a n u m b e r t h a t h a v e b e e n i n s p i r e d b y a p p l i c a t i o n s i n m e c h a n i c s
6 , 2 1 { 2 3 , 2 6 , 3 1 { 3 3 ] , i n e l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g 4 , 2 0 ] , a n d i n o p e r a t i o n s r e s e a r c h 1 1 , 2 4 ] , a s w e l l
a s g e n e r a l s t u d i e s s u c h a s 1 2 ] . T h e w o r k i n t h i s p a p e r i s m o r e g e n e r a l t h a n m o s t o f t h e c i t e d
s t u d i e s i n t h e s e n s e t h a t w e d o n o t a p r i o r i i m p o s e c o n d i t i o n s o n t h e \ i n d e x " o f t h e c o n s t r a i n t s .
( T h e i n d e x m e a s u r e s t h e n u m b e r o f a c t u a l c o n s t r a i n t s f o l l o w i n g f r o m a g i v e n a l g e b r a i c c o n s t r a i n t
w i t h i n t h e c o n t e x t o f a g i v e n s e t o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ; t h e t e r m c o m e s f r o m n u m e r i c a l a n a l y s i s ,
s e e f o r i n s t a n c e 5 ] . ) O u r t r e a t m e n t i s a l s o g e n e r a l i n t h a t w e a l l o w a n a r b i t r a r y n i t e n u m b e r
o f s t a t e v a r i a b l e s , a n d a n a r b i t r a r y n i t e n u m b e r o f c o n s t r a i n t s . O n t h e o t h e r h a n d , o u r w o r k
i s m o r e r e s t r i c t e d , s i n c e w e c o n s i d e r o n l y l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ; i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e
s w i t c h i n g r u l e s , t h e s y s t e m s t h a t w e s t u d y a r e t h e r e f o r e p i e c e w i s e l i n e a r d y n a m i c a l s y s t e m s .
A s a c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t w e a r e l o o k i n g a t s y s t e m s o f a r b i t r a r y i n d e x , w e h a v e t o t a k e
i n t o a c c o u n t t h e p o s s i b i l i t y o f s o l u t i o n s c o n t a i n i n g i m p u l s e s . T h e o c c u r r e n c e o f s u c h i m p u l s e s
i s s t a t e - d e p e n d e n t a n d i n t h i s s e n s e o u r s i t u a t i o n i s d i e r e n t f r o m t h e o n e i n 3 ] w h e r e i m p u l s e s
a r e e x t e r n a l l y i m p o s e d r a t h e r t h a n g e n e r a t e d b y t h e s y s t e m i t s e l f . O n e o f t h e m a i n r e a s o n s f o r
r e s t r i c t i n g t h e d e v e l o p m e n t i n t h i s p a p e r t o l i n e a r d y n a m i c s w i t h i n e a c h m o d e i s t h e f a c t t h a t
t h i s a l l o w s u s t o t r e a t i m p u l s e s w i t h i n a s t a n d a r d d i s t r i b u t i o n a l f r a m e w o r k . E a r l i e r w o r k s i n
t h e r e s e a r c h p r o g r a m t h a t h a s l e d t o t h e c u r r e n t p a p e r 2 8 , 2 9 ] h a v e u s e d a n o n l i n e a r f r a m e w o r k
w h i c h m a d e i t d i c u l t t o t r e a t i m p u l s e s , s o t h a t a c o m p l e t e s p e c i c a t i o n o f d y n a m i c s o n a
g e n e r a l l e v e l c o u l d i n f a c t n o t b e g i v e n . W i t h o u t a c o m p l e t e s o l u t i o n c o n c e p t , i s s u e s o f e x i s t e n c e
a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s c a n o n l y b e s t u d i e d p a r t i a l l y . T h e c o n t r i b u t i o n o f t h i s p a p e r i s
a s f o l l o w s : ( i ) i t g i v e s a c o m p l e t e d e n i t i o n o f w h a t i s t o b e u n d e r s t o o d b y a s o l u t i o n o f a
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l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m ; ( i i ) i t g i v e s s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r w e l l - p o s e d n e s s o f l i n e a r
c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s , i n t h e s e n s e o f e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s ; ( i i i ) i t p r e s e n t s
a n e e c t i v e p r o c e d u r e f o r g e n e r a t i n g s o l u t i o n s t o l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . I n a d d i t i o n t o
t h i s , w e e s t a b l i s h a n e x p l i c i t c o n n e c t i o n t o t h e l i t e r a t u r e o n m e c h a n i c a l s y s t e m s t h a t a r e s u b j e c t
t o m o d e - s w i t c h i n g b y s h o w i n g t h a t o u r f o r m u l a t i o n a g r e e s w i t h t h e o n e o f M o r e a u 2 3 ] ( s e e a l s o
6 , 2 2 ] ) f o r t h e c l a s s o f s y s t e m s c o v e r e d b y b o t h f o r m u l a t i o n s , n a m e l y l i n e a r m e c h a n i c a l s y s t e m s .
T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . W e s t a r t w i t h a n e x a m p l e , t o m o t i v a t e t h e i n g r e d i e n t s n e e d e d
f o r d e n i n g a s o l u t i o n c o n c e p t f o r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . T o i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f s o l u t i o n
s o m e m a t h e m a t i c a l p r e l i m i n a r i e s a s p r e s e n t e d i n S e c t i o n 3 a r e r e q u i r e d . A d e n i t i o n o f t h e c l a s s
o f l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s w i t h i t s s o l u t i o n c o n c e p t i s g i v e n i n S e c t i o n 4 . T h e d e n i t i o n
r e l i e s o n a m a p p i n g w h i c h a s s i g n s a \ n e x t m o d e " t o e a c h c o n t i n u o u s s t a t e ; s e v e r a l a l t e r n a t i v e
w a y s o f c o n s t r u c t i n g t h i s m a p p i n g a r e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5 . S u c i e n t c o n d i t i o n s f o r l o c a l
e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s f o l l o w i n S e c t i o n 6 . A f t e r t h a t , w e p r e s e n t a c o m p u t a t i o n a l
e x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e c o n s t r u c t i o n o f s o l u t i o n s f r o m t h e d e n i t i o n . I n S e c t i o n 8 , w e e s t a b l i s h
t h e c o n n e c t i o n w i t h t h e s w e e p i n g p r o c e s s f o r m u l a t i o n o f M o r e a u . F i n a l l y , c o n c l u s i o n s f o l l o w i n
S e c t i o n 9 .
I n t h i s p a p e r , t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n a l c o n v e n t i o n s w i l l b e i n f o r c e . R d e n o t e s t h e r e a l n u m b e r s ,
R
+
t h e n o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r s , a n d N : = f 0 ; 1 ; 2 ; : : : g . F o r a p o s i t i v e i n t e g e r l ,
l d e n o t e s
t h e s e t f 1 ; 2 ; : : : ; l g I f a i s a ( c o l u m n ) v e c t o r w i t h k r e a l c o m p o n e n t s , w e w r i t e a 2 R
k
a n d
d e n o t e t h e i t h c o m p o n e n t b y a
i
. F o r t w o v e c t o r s a , b 2 R
k
, t h e n o t a t i o n a b m e a n s t h a t f o r a l l
i 2
k e i t h e r a
i
= 0 o r b
i
= 0 . G i v e n t w o v e c t o r s a 2 R
k
a n d b 2 R
l
, t h e n c o l ( a ; b ) d e n o t e s t h e
v e c t o r i n R
k + l
t h a t a r i s e s f r o m s t a c k i n g a o v e r b M 2 R
m n
m e a n s t h a t M i s a r e a l m a t r i x
w i t h d i m e n s i o n s m n M
>
i s t h e t r a n s p o s e o f t h e m a t r i x M . T h e k e r n e l o f M i s d e n o t e d
b y K e r M a n d t h e i m a g e b y I m M . G i v e n M 2 R
k l
a n d t w o s u b s e t s I
k a n d J
l , t h e
( I ; J ) - s u b m a t r i x o f M i s d e n e d a s M
I J
: = ( m
i j
)
i 2 I j 2 J
. I n c a s e J =
l , w e a l s o w r i t e M
I
a n d
i f I =
k , w e w r i t e M
J
. F o r a v e c t o r a , a
I
: = ( a
i
)
i 2 I
. T h e d i a g o n a l m a t r i x w i t h d i a g o n a l e n t r i e s
a
1
; : : : ; a
k
i s d e n o t e d b y d i a g ( a
1
; : : : ; a
k
)
T h e e l d o f r a t i o n a l f u n c t i o n s i n o n e i n d e t e r m i n a t e i s d e n o t e d b y R ( s ) . R a t i o n a l v e c t o r f u n c t i o n s
w i t h k c o m p o n e n t s a n d r a t i o n a l m a t r i c e s w i t h d i m e n s i o n s m n a r e d e n o t e d b y R
k
( s ) a n d
R
m n
( s ) , r e s p e c t i v e l y . F o r r e a s o n s o f c l a r i t y , w e s h a l l s y s t e m a t i c a l l y u s e a n o t a t i o n i n w h i c h
v e c t o r s o v e r R ( s ) a r e w r i t t e n w i t h a n a r g u m e n t s t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e v e c t o r u 2 R
k
a n d
t h e r a t i o n a l v e c t o r u ( s ) 2 R
k
( s ) . A r a t i o n a l m a t r i x i s c a l l e d p r o p e r , i f f o r a l l e n t r i e s t h e d e g r e e
o f t h e n u m e r a t o r i s s m a l l e r t h a n o r e q u a l t o t h e d e g r e e o f t h e d e n o m i n a t o r . A r a t i o n a l m a t r i x
i s c a l l e d b i p r o p e r , i f i t i s s q u a r e , p r o p e r a n d h a s a p r o p e r i n v e r s e . I f t w o r a t i o n a l v e c t o r s u ( s ) ,
v ( s ) 2 R
k
( s ) s a t i s f y t h a t f o r a l l i 2
k e i t h e r u
i
( s ) = 0 o r y
i
( s ) = 0 , w e w r i t e u
i
( s ) y
i
( s )
T h e s e t C
1
( R ; R ) d e n o t e s t h e s e t o f s m o o t h f u n c t i o n s , i . e . a l l f u n c t i o n s f r o m R t o R t h a t a r e
a r b i t r a r i l y o f t e n d i e r e n t i a b l e . F o r a s m o o t h f u n c t i o n u t h e i - t h d e r i v a t i v e i s d e n o t e d b y u
( i )
A v e c t o r u 2 R
k
i s c a l l e d n o n n e g a t i v e , a n d w e w r i t e u > 0 , i f u
i
> 0 ; i 2
k a n d p o s i t i v e
( u > 0 ) , i f u
i
> 0 ; i 2
k . I f a v e c t o r u i s n o t n o n n e g a t i v e , w e w r i t e u 6> 0 . A s e q u e n c e o f
s c a l a r s ( u
1
; u
2
; : : : ; u
r
) i s c a l l e d l e x i c o g r a p h i c a l l y n o n n e g a t i v e , w r i t t e n a s ( u
1
; u
2
; : : : ; u
r
) 0 ,
i f ( u
1
; u
2
; : : : ; u
r
) = ( 0 ; 0 ; : : : ; 0 ) o r u
j
> 0 w h e r e j : = m i n f p 2 r u
p
6= 0 g . A s e q u e n c e o f
s c a l a r s i s c a l l e d l e x i c o g r a p h i c a l l y p o s i t i v e , d e n o t e d b y ( u
1
; u
2
; : : : ; u
r
) 0 , i f ( u
1
; u
2
; : : : ; u
r
) 0
3
-
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a n d ( u
1
; u
2
; : : : ; u
r
) 6= ( 0 ; 0 ; : : : ; 0 ) . F o r a s e q u e n c e o f v e c t o r s ( u
1
; u
2
; : : : ; u
r
) w i t h u
i
2 R
k
,
w e w r i t e ( u
1
; u
2
; : : : ; u
r
) 0 w h e n ( u
1
i
; u
2
i
; : : : ; u
r
i
) 0 f o r a l l i 2
k . L i k e w i s e , w e w r i t e
( u
1
; u
2
; : : : ; u
r
) 0 w h e n ( u
1
i
; u
2
i
; : : : ; u
r
i
) 0 f o r a l l i 2
k
F o r s e t s A a n d B , A n B : = f x 2 A x 62 B g a n d P ( A ) d e n o t e s t h e p o w e r s e t o f A , i . e . t h e
c o l l e c t i o n o f a l l s u b s e t s o f A . F o r t w o s u b s p a c e s V ; T o f R
n
, t h e n o t a t i o n V T = R
n
m e a n s
t h a t V a n d T f o r m a d i r e c t s u m d e c o m p o s i t i o n o f R
n
, i . e . V + T : = f v + t v 2 V ; t 2 T g = R
n
a n d V \ T = f 0 g
2 E x a m p l e
B e f o r e s p e c i f y i n g t h e c l a s s o f l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s ( L C S ) , w e i l l u s t r a t e s o m e o f t h e
a s p e c t s t h a t p l a y a r o l e i n t h e e v o l u t i o n o f s u c h s y s t e m s b y a n e x a m p l e o f t w o c a r t s c o n n e c t e d
b y a s p r i n g ( u s e d a l s o i n 2 8 ] ) . T h e l e f t c a r t i s a t t a c h e d t o a w a l l b y a s p r i n g . T h e m o t i o n o f
t h e l e f t c a r t i s c o n s t r a i n e d b y a c o m p l e t e l y i n e l a s t i c s t o p . T h e s y s t e m i s d e p i c t e d i n g u r e 1 .
x1 x2
F i g u r e 1 : T w o - c a r t s s y s t e m .
F o r s i m p l i c i t y , t h e m a s s e s o f t h e c a r t s a n d t h e s p r i n g c o n s t a n t s a r e s e t e q u a l t o 1 . T h e s t o p i s
p l a c e d a t t h e e q u i l i b r i u m p o s i t i o n o f t h e l e f t c a r t . B y x
1
, x
2
w e d e n o t e t h e d e v i a t i o n s o f t h e
l e f t a n d r i g h t c a r t , r e s p e c t i v e l y , f r o m t h e i r e q u i l i b r i u m p o s i t i o n s a n d x
3
; x
4
a r e t h e v e l o c i t i e s o f
t h e l e f t a n d r i g h t c a r t , r e s p e c t i v e l y . B y u , w e d e n o t e t h e r e a c t i o n f o r c e e x e r t e d b y t h e s t o p .
F u r t h e r m o r e , t h e v a r i a b l e y i s s e t e q u a l t o x
1
. S i m p l e m e c h a n i c a l l a w s l e a d t o t h e d y n a m i c a l
r e l a t i o n s
_x
1
( t ) = x
3
( t )
_x
2
( t ) = x
4
( t )
_x
3
( t ) = ? 2 x
1
( t ) + x
2
( t ) + u ( t )
_x
4
( t ) = x
1
( t ) ? x
2
( t )
y ( t ) : = x
1
( t )
( 1 )
T o m o d e l t h e s t o p i n t h i s s e t t i n g , t h e f o l l o w i n g r e a s o n i n g a p p l i e s . T h e v a r i a b l e y ( t ) = x
1
( t )
s h o u l d b e n o n n e g a t i v e , b e c a u s e i t i s t h e p o s i t i o n o f t h e l e f t c a r t w i t h r e s p e c t t o t h e s t o p . T h e
f o r c e e x e r t e d b y t h e s t o p c a n o n l y a c t i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n i m p l y i n g t h a t u ( t ) s h o u l d b e
n o n n e g a t i v e . I f t h e l e f t c a r t i s n o t a t t h e s t o p a t t i m e t ( y ( t ) > 0 ) , t h e r e a c t i o n f o r c e v a n i s h e s a t
4
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t i m e t , i . e . u ( t ) = 0 . S i m i l a r l y , i f u ( t ) > 0 , t h e c a r t m u s t n e c e s s a r i l y b e a t t h e s t o p , i . e . y ( t ) = 0 .
T h i s i s e x p r e s s e d b y t h e c o n d i t i o n s
0 6 y ( t ) u ( t ) > 0 ( 2 )
T h e s y s t e m c a n b e r e p r e s e n t e d b y t w o m o d e s , d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e s t o p i s a c t i v e o r n o t .
W e d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e u n c o n s t r a i n e d m o d e ( u ( t ) = 0 ) a n d t h e c o n s t r a i n e d m o d e ( y ( t ) = 0 ) .
T h e d y n a m i c s o f t h e s e m o d e s a r e g i v e n b y t h e f o l l o w i n g D i e r e n t i a l a n d A l g e b r a i c E q u a t i o n s
( D A E s )
u n c o n s t r a i n e d c o n s t r a i n e d
_x
1
( t ) = x
3
( t ) _x
1
( t ) = x
3
( t )
_x
2
( t ) = x
4
( t ) _x
2
( t ) = x
4
( t )
_x
3
( t ) = ? 2 x
1
( t ) + x
2
( t ) _x
3
( t ) = ? 2 x
1
( t ) + x
2
( t ) + u ( t )
_x
4
( t ) = x
1
( t ) + x
2
( t ) _x
4
( t ) = x
1
( t ) + x
2
( t )
u ( t ) = 0 y ( t ) = x
1
( t ) = 0
W h e n t h e s y s t e m i s r e p r e s e n t e d b y e i t h e r o f t h e s e m o d e s , t h e t r i p l e ( u ; x ; y ) i s g i v e n b y t h e
c o r r e s p o n d i n g d y n a m i c s a s l o n g a s t h e i n e q u a l i t i e s i n ( 2 )
u n c o n s t r a i n e d c o n s t r a i n e d
y ( t ) > 0 u ( t ) > 0
a r e s a t i s e d . A m o d e c h a n g e i s t r i g g e r e d b y v i o l a t i o n o f o n e o f t h e s e i n e q u a l i t i e s . T h e m o d e
t r a n s i t i o n s t h a t a r e p o s s i b l e f o r t h e t w o - c a r t s s y s t e m s a r e d e s c r i b e d b e l o w .
U n c o n s t r a i n e d ! C o n s t r a i n e d : T h e i n e q u a l i t y y ( t ) > 0 t e n d s t o g e t v i o l a t e d a t a t i m e
i n s t a n t t = . T h e l e f t c a r t h i t s t h e s t o p a n d s t a y s t h e r e . T h e v e l o c i t y o f t h e l e f t c a r t i s
r e d u c e d t o z e r o i n s t a n t a n e o u s l y a t t h e t i m e o f i m p a c t : t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e l e f t c a r t
i s t o t a l l y a b s o r b e d b y t h e s t o p d u e t o a p u r e l y i n e l a s t i c c o l l i s i o n . A s t a t e f o r w h i c h t h i s
h a p p e n s i s , f o r i n s t a n c e , x ( ) = ( 0 ; ? 1 ; ? 1 ; 0 )
>
C o n s t r a i n e d ! U n c o n s t r a i n e d : T h e i n e q u a l i t y u ( t ) > 0 t e n d s t o b e v i o l a t e d a t t =
T h e r i g h t c a r t i s l o c a t e d a t o r m o v i n g t o t h e r i g h t o f i t s e q u i l i b r i u m p o s i t i o n , s o t h e s p r i n g
b e t w e e n t h e c a r t s i s s t r e t c h e d a n d p u l l s t h e l e f t c a r t a w a y f r o m t h e s t o p . T h i s h a p p e n s
f o r e x a m p l e i f x ( ) = ( 0 ; 0 ; 0 ; 1 )
>
U n c o n s t r a i n e d ! U n c o n s t r a i n e d w i t h r e - i n i t i a l i z a t i o n a c c o r d i n g t o c o n s t r a i n e d
m o d e . T h e i n e q u a l i t y y ( t ) > 0 t e n d s t o g e t v i o l a t e d a t t = . A s a n e x a m p l e , c o n s i d e r
x ( ) = ( 0 ; 1 ; ? 1 ; 0 )
>
. A t t h e t i m e o f i m p a c t , t h e v e l o c i t y o f t h e l e f t c a r t i s r e d u c e d t o z e r o
j u s t a s i n t h e r s t c a s e H e n c e , a s t a t e j u m p ( r e - i n i t i a l i z a t i o n ) t o ( 0 ; 1 ; 0 ; 0 )
>
o c c u r s . T h e
r i g h t c a r t i s a t t h e r i g h t o f i t s e q u i l i b r i u m p o s i t i o n a n d p u l l s t h e l e f t c a r t a w a y f r o m t h e
s t o p . S t a t e d d i e r e n t l y , f r o m ( 0 ; 1 ; 0 ; 0 )
>
s m o o t h c o n t i n u a t i o n i n t h e u n c o n s t r a i n e d m o d e
i s p o s s i b l e .
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T h i s l a s t t r a n s i t i o n i s a s p e c i a l o n e i n t h e s e n s e t h a t r s t t h e c o n s t r a i n e d m o d e i s a c t i v e c a u s -
i n g t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e j u m p . A f t e r t h e j u m p n o s m o o t h c o n t i n u a t i o n i s p o s s i b l e i n t h e
c o n s t r a i n e d m o d e r e s u l t i n g i n a s e c o n d m o d e c h a n g e b a c k t o t h e u n c o n s t r a i n e d m o d e .
F r o m s t a t e x ( ) = ( 0 ; ? 1 ; ? 1 ; 0 )
>
, w e c a n e n t e r t h e c o n s t r a i n e d m o d e b y s t a r t i n g w i t h a n
i n s t a n t a n e o u s j u m p t o x ( + ) = ( 0 ; ? 1 ; 0 ; 0 )
>
. T h i s j u m p c a n b e m o d e l l e d a s t h e r e s u l t o f
a ( D i r a c ) p u l s e e x e r t e d b y t h e s t o p . I n f a c t , u = r e s u l t s i n t h e s t a t e j u m p x ( + ) ?
x ( ) = ( 0 ; 0 ; 1 ; 0 )
>
. T h i s m o t i v a t e s t h e u s e o f d i s t r i b u t i o n a l t h e o r y a s a s u i t a b l e m a t h e m a t i c a l
f r a m e w o r k f o r d e s c r i b i n g p h y s i c a l p h e n o m e n a l i k e c o l l i s i o n s w i t h d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e s t a t e
v e c t o r .
T o s u m m a r i z e , t h e m o t i o n o f t h e c a r t s i s g o v e r n e d b y t w o s y s t e m s o f D i e r e n t i a l a n d A l g e b r a i c
E q u a t i o n s ( D A E s ) , c a l l e d t h e c o n s t r a i n e d a n d t h e u n c o n s t r a i n e d m o d e . A c h a n g e o f m o d e
i s t r i g g e r e d b y v i o l a t i o n o f c e r t a i n i n e q u a l i t i e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e c u r r e n t m o d e . T h e t i m e
i n s t a n t s a t w h i c h t h i s o c c u r s , a r e c a l l e d \ e v e n t t i m e s . " A t a n e v e n t t i m e , t h e s y s t e m w i l l s w i t c h t o
a n e w m o d e . A m o d e t r a n s i t i o n o f t e n c a l l s f o r a s t a t e j u m p o r r e - i n i t i a l i z a t i o n . I n t h e e x a m p l e ,
v e l o c i t y j u m p s o c c u r , w h e n t h e l e f t c a r t a r r i v e s a t t h e s t o p w i t h n e g a t i v e v e l o c i t y . I n t h i s
p a p e r , t h e a b o v e d y n a m i c s w i l l b e f o r m a l i z e d f o r t h e c o m p l e t e c l a s s o f l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y
s y s t e m s a n d s p e c i a l a t t e n t i o n w i l l b e p a i d t o t h e m o d e s e l e c t i o n p r o b l e m a n d w e l l - p o s e d n e s s
i s s u e s . H o w e v e r , r s t w e r e c a l l s o m e f a c t s c o n c e r n i n g s y s t e m s o f l i n e a r d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c
e q u a t i o n s , s u c h a s a p p e a r i n t h e c o n s t r a i n e d a n d u n c o n s t r a i n e d m o d e d e s c r i p t i o n s .
3 M a t h e m a t i c a l P r e l i m i n a r i e s
W e c o n s i d e r a l i n e a r d i e r e n t i a l / a l g e b r a i c s y s t e m o f t h e f o r m
_x ( t ) = K x ( t ) + L u ( t ) ( 3 a )
0 = M x ( t ) + N u ( t ) ( 3 b )
T h e t i m e a r g u m e n t s w i l l o f t e n b e s u p p r e s s e d f o r b r e v i t y . T h r o u g h o u t t h i s s e c t i o n , x ( t ) 2 R
n
a n d u ( t ) 2 R
m
. T h e s y s t e m p a r a m e t e r s K , L , M a n d N a r e c o n s t a n t m a t r i c e s o f d i m e n s i o n s
n n , n m , r n a n d r m , r e s p e c t i v e l y .
D e n i t i o n 3 . 1 A s t a t e x
0
i s s a i d t o b e c o n s i s t e n t f o r ( K ; L ; M ; N ) , i f t h e r e e x i s t s m o o t h f u n c -
t i o n s u a n d x s u c h t h a t x ( 0 ) = x
0
a n d ( 3 ) i s s a t i s e d . T h e s e t o f a l l c o n s i s t e n t s t a t e s f o r
( K ; L ; M ; N ) i s d e n o t e d b y V ( K ; L ; M ; N ) a n d i s c a l l e d t h e c o n s i s t e n t s u b s p a c e
T h e f o l l o w i n g s e q u e n c e o f s u b s p a c e s c o n v e r g e s i n a t m o s t n ( d i m e n s i o n o f s t a t e ) s t e p s t o V =
V ( K ; L ; M ; N ) ( f o r a p r o o f s e e 1 4 ] ) :
V
0
= R
n
V
i + 1
= f x 2 R
n
9 u 2 R
m
s u c h t h a t K x + L u 2 V
i
; M x + N u = 0 g ( 4 )
D e n i t i o n 3 . 2 T h e q u a d r u p l e ( K ; L ; M ; N ) i s c a l l e d a u t o n o m o u s , i f f o r e v e r y c o n s i s t e n t s t a t e
x
0
t h e s y s t e m ( 3 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n ( x ; u )
6
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T h e s y s t e m ( 3 ) i s a u t o n o m o u s , i f t h e f u l l - c o l u m n - r a n k c o n d i t i o n
K e r
L
N
= f 0 g ( 5 )
h o l d s t o g e t h e r w i t h
V ( K ; L ; M ; N ) \ T ( K ; L ; M ; N ) = f 0 g ( 6 )
w h e r e T ( K ; L ; M ; N ) i s t h e s u b s p a c e t h a t i s o b t a i n e d a s t h e l i m i t o f t h e s e q u e n c e
T
0
= f 0 g
T
i + 1
= f x 2 R
n
9 u 2 R
m
; 9 x 2 T
i
s u c h t h a t x = K x + L u ; M x + N u = 0 g
( 7 )
T h i s s e q u e n c e c o n v e r g e s i n m a x i m a l l y n ( d i m e n s i o n o f s t a t e ) s t e p s ( p r o o f c a n b e f o u n d i n
1 4 ] ) . T h e s u b s p a c e T = T ( K ; L ; M ; N ) c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e j u m p s p a c e a s s o c i a t e d t o
( K ; L ; M ; N ) , i . e . t h e s p a c e a l o n g w h i c h f a s t m o t i o n s w i l l o c c u r t h a t t a k e a n i n c o n s i s t e n t i n i t i a l
s t a t e i n s t a n t a n e o u s l y t o a p o i n t i n t h e c o n s i s t e n t s u b s p a c e V
T o f o r m a l i z e t h e i n t e r p r e t a t i o n o f T a s a j u m p s p a c e , w e i n t r o d u c e t h e c l a s s o f i m p u l s i v e - s m o o t h
d i s t r i b u t i o n s a s s t u d i e d b y H a u t u s a n d S i l v e r m a n 1 4 ] . T h e g e n e r a l f o r m o f a n i m p u l s i v e - s m o o t h
d i s t r i b u t i o n u ( n o t e t h e d i e r e n t f o n t u s e d f o r d i s t r i b u t i o n s ) i s
u =
l
X
i = 0
u
? i
( i )
| { z }
u
m p
+ u
r e g
; ( 8 )
w h e r e =
( 0 )
d e n o t e s t h e d e l t a d i s t r i b u t i o n w i t h s u p p o r t a t z e r o ,
( r )
i t s r - t h d i s t r i b u t i o n a l
d e r i v a t i v e , u
0
, u
? 1
; : : : , u
? l
a r e c o e c i e n t s i n R a n d u
r e g
i s a d i s t r i b u t i o n t h a t c a n b e i d e n t i e d
w i t h t h e r e s t r i c t i o n t o 0 ; 1 ) o f s o m e s m o o t h f u n c t i o n . T h e r e g u l a r p a r t o f a n i m p u l s i v e - s m o o t h
d i s t r i b u t i o n u i s d e n o t e d b y u
r e g
a n d i t s i m p u l s i v e p a r t b y u
i m p
. T h e c l a s s o f i m p u l s i v e - s m o o t h
d i s t r i b u t i o n s w i l l b e d e n o t e d b y C
i m p
. F o r a n e l e m e n t u o f C
i m p
o f t h e f o r m ( 8 ) , w e w r i t e u ( 0 + )
f o r t h e l i m i t v a l u e l i m
t # 0
u
r e g
( t ) . H a v i n g i n t r o d u c e d t h e c l a s s C
i m p
, w e c a n r e p l a c e t h e s y s t e m
o f e q u a t i o n s ( 3 ) b y i t s d i s t r i b u t i o n a l v e r s i o n
_x = K x + L u + x
0
0 = M x + N u
( 9 )
i n w h i c h t h e i n i t i a l c o n d i t i o n x
0
a p p e a r s e x p l i c i t l y , a n d w e c a n l o o k f o r a s o l u t i o n o f ( 9 ) i n
t h e c l a s s o f v e c t o r - v a l u e d i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n s . I n 1 4 ] i t i s s h o w n t h a t u n d e r t h e
c o n d i t i o n s ( 5 ) a n d ( 6 ) t h e r e e x i s t s a u n i q u e s o l u t i o n ( u ; x ) 2 C
m + n
i m p
t o ( 9 ) f o r a l l x
0
2 V + T ;
m o r e o v e r , t h e s o l u t i o n i s s u c h t h a t x ( 0 + ) i s e q u a l t o P
T
V
x
0
, t h e p r o j e c t i o n o f x
0
o n t o V a l o n g t h e
j u m p s p a c e T . I n f a c t , x ( 0 + ) d e p e n d s o n l y o n t h e i m p u l s i v e p a r t o f u : i f u
i m p
=
P
l
i = 0
u
? i
( i )
,
t h e n
x ( 0 + ) = x
0
+
l
X
i = 0
K
i
L u
? i
( 1 0 )
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L e m m a 3 . 3 C o n s i d e r t h e s y s t e m ( 3 ) a n d s u p p o s e t h a t t h e n u m b e r o f i n p u t s ( m ) e q u a l s t h e
n u m b e r o f c o n s t r a i n t s ( r ) . T h e n t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t .
1 ( K ; L ; M ; N ) i s a u t o n o m o u s .
2 . T h e s y s t e m ( 9 ) a d m i t s a u n i q u e i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n f o r e a c h i n i t i a l c o n d i t i o n .
3 V ( K ; L ; M ; N ) T ( K ; L ; M ; N ) = R
n
a n d K e r
L
N
= f 0 g
4 G ( s ) : = M ( s I ? K )
? 1
L + N i s i n v e r t i b l e a s a r a t i o n a l m a t r i x .
P r o o f . T h e i m p l i c a t i o n 2 ) 1 f o l l o w s f r o m t h e d e n i t i o n o f a n a u t o n o m o u s s y s t e m . T h e
q u a d r u p l e ( K ; L ; M ; N ) i s a u t o n o m o u s i t h e s y s t e m : _x = K x + L u ; y = M x + N u i s l e f t
i n v e r t i b l e i n t h e s e n s e o f 1 4 ] . I n 1 4 ] , i t i s p r o v e n t h a t t h e s t a t e m e n t s
t h e s y s t e m i s l e f t i n v e r t i b l e
V ( K ; L ; M ; N ) \ T ( K ; L ; M ; N ) = f 0 g a n d K e r
L
N
= f 0 g
G ( s ) i s l e f t i n v e r t i b l e
a r e e q u i v a l e n t . S i n c e G ( s ) i s a s s u m e d t o b e s q u a r e ( m = r ) , l e f t i n v e r t i b i l i t y i s t h e s a m e
a s i n v e r t i b i l i t y . H e n c e , 1 ) 4 . A c c o r d i n g t o 1 4 , T h m . 3 . 2 4 ] , i n v e r t i b i l i t y o f G ( s ) i m p l i e s
a d d i t i o n a l l y t h a t V ( K ; L ; M ; N ) T ( K ; L ; M ; N ) = R
n
. T h i s p r o v e s 4 ) 3 . F i n a l l y , 3 ) 2
i s a c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t t h e a s s u m p t i o n s ( 5 ) - ( 6 ) i m p l y t h a t t h e r e i s a u n i q u e s o l u t i o n
( u ; x ) 2 C
m + n
i m p
t o ( 9 ) f o r a l l x
0
2 V + T , a s m e n t i o n e d e a r l i e r . S i n c e V + T i s e q u a l t o R
n
, t h i s
i m p l i e s 2 . 2
T h e s y s t e m s s t u d i e d i n t h i s p a p e r a r e d e s c r i b e d b y s t a n d a r d s t a t e s p a c e e q u a t i o n s o f l i n e a r
s y s t e m s t o g e t h e r w i t h c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s a s i n t h e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s o f m a t h -
e m a t i c a l p r o g r a m m i n g . T h e r e f o r e s o m e c o n c e p t s f r o m c o m p l e m e n t a r i t y t h e o r y w i l l b e r e c a l l e d
b r i e y . T h e L i n e a r C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m ( L C P ) 7 ] i s d e n e d a s f o l l o w s .
G i v e n a m a t r i x M 2 R
k k
a n d q 2 R
k
, n d u , y 2 R
k
s u c h t h a t
y = q + M u ( 1 1 )
0 6 y u > 0 ( 1 2 )
T h i s p r o b l e m i s d e n o t e d b y L C P ( q ; M )
L e t a m a t r i x M o f s i z e k k a n d t w o s u b s e t s I a n d J o f
k o f t h e s a m e c a r d i n a l i t y b e g i v e n .
T h e ( I ; J ) - m i n o r o f M i s t h e d e t e r m i n a n t o f t h e s q u a r e m a t r i x M
I J
: = ( m
i j
)
i 2 I j 2 J
. T h e ( I ; I ) -
m i n o r s a r e a l s o k n o w n a s t h e p r i n c i p a l m i n o r s . M i s c a l l e d a P - m a t r i x , i f a l l p r i n c i p a l m i n o r s a r e
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p o s i t i v e . A s q u a r e m a t r i x M i s s a i d t o b e p o s i t i v e d e n i t e , i f x
>
M x > 0 f o r a l l n o n z e r o x 2 R
n
N o t e t h a t a p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x i s n o t n e c e s s a r i l y s y m m e t r i c a c c o r d i n g t o t h i s d e n i t i o n .
W e s t a t e t h e f o l l o w i n g r e s u l t s .
T h e o r e m 3 . 4 F o r g i v e n M , t h e p r o b l e m L C P ( q ; M ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n f o r a l l v e c t o r s q i f
a n d o n l y i f M i s a P - m a t r i x .
P r o o f . S e e 7 , T h m . 3 . 3 . 7 ] . 2
T h e o r e m 3 . 5 A p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x i s a P - m a t r i x .
P r o o f . 7 , T h m . 3 . 1 . 6 a n d T h m . 3 . 3 . 7 ] . 2
4 L i n e a r C o m p l e m e n t a r i t y S y s t e m s
I n t h i s s e c t i o n , w e i n t r o d u c e l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s ( L C S ) a n d f o r m u l a t e t h e n o t i o n o f
s o l u t i o n f o r s u c h s y s t e m s .
A l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m i s g o v e r n e d b y t h e s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s
_x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) ( 1 3 a )
y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) ( 1 3 b )
0 6 y ( t ) u ( t ) > 0 ( 1 3 c )
T h e n o t a t i o n i n ( 1 3 c ) i s c o n s i s t e n t w i t h t h e n o t a t i o n u s e d i n c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s i n m a t h -
e m a t i c a l p r o g r a m m i n g ( s e e t h e f o r m u l a t i o n o f t h e l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m i n s e c t i o n 3 ) .
I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l d e s c r i b e h o w t h e r e l a t i o n s a b o v e h a v e t o b e i n t e r p r e t e d t o a r r i v e a t a
n o t i o n o f s o l u t i o n t o s u c h a c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m . T h e f u n c t i o n s u , x a n d y t a k e v a l u e s i n
R
k
, R
n
a n d R
k
, r e s p e c t i v e l y ; A , B , C a n d D a r e c o n s t a n t m a t r i c e s o f a p p r o p r i a t e d i m e n s i o n s .
N o t e t h a t t h e d i m e n s i o n s o f t h e v a r i a b l e s y ( t ) a n d u ( t ) a r e t h e s a m e . E q u a t i o n ( 1 3 c ) s t a t e s
t h a t f o r e v e r y c o m p o n e n t i = 1 ; : : : ; k e i t h e r u
i
( t ) = 0 o r y
i
( t ) = 0 . T h e s e t o f i n d i c e s f o r w h i c h
y
i
( t ) = 0 , c a l l e d t h e m o d e o r a c t i v e i n d e x s e t , m a y c h a n g e d u r i n g t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e
s y s t e m . T h e s y s t e m m a y t h e r e f o r e s w i t c h f r o m o n e ` o p e r a t i o n m o d e ' t o a n o t h e r . T o d e n e t h e
d y n a m i c s o f ( 1 3 ) c o m p l e t e l y , o n e h a s t o s p e c i f y w h e n t h e m o d e s w i t c h e s o c c u r , w h a t t h e i r e e c t
w i l l b e o n t h e s t a t e v a r i a b l e s , a n d h o w a n e w m o d e w i l l b e s e l e c t e d . W e w i l l d o t h i s b e l o w ,
e x t e n d i n g e a r l i e r t r e a t m e n t s i n 2 8 ] ( w h e r e o n l y s y s t e m s w i t h a s i n g l e c o n s t r a i n t w e r e c o n s i d e r e d
( k = 1 ) , s e e a l s o E x a m p l e 8 . 3 f o r a c o m p a r i s o n o f t h e m o d e s e l e c t i o n c r i t e r i a ) a n d 2 9 ] , w h i c h
o n l y t r e a t e d e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s m o o t h c o n t i n u a t i o n s w h i l e i m p u l s i v e m o t i o n s a n d r e -
i n i t i a l i z a t i o n r u l e s w e r e l e f t o u t o f c o n s i d e r a t i o n a n d o n l y a l i m i t e d d i s c u s s i o n o f m o d e s e l e c t i o n
c r i t e r i a c o u l d b e g i v e n . A g e n e r a l i z a t i o n f r o m s m o o t h t o i m p u l s i v e - s m o o t h c o n t i n u a t i o n s i s n o t
s t r a i g h t f o r w a r d . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e i n e q u a l i t i e s f o r i m p u l s i v e m o t i o n s i s n o t o b v i o u s . A
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r e q u i r e m e n t o f s u c h a n i n t e r p r e t a t i o n w i l l b e t h a t i t m u s t c o m p l y w i t h p h y s i c a l l a w s f o r ` r e a l - l i f e '
s y s t e m s i n c l u d e d i n t h e c l a s s o f c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l f o r m a l i z e a
d i s t r i b u t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h e i n e q u a l i t i e s t h a t a g r e e s w i t h M o r e a u ' s r e - i n i t i a l i z a t i o n r u l e s
f o r l i n e a r m e c h a n i c a l s y s t e m s ( s e e S e c t i o n 8 ) .
T h e s y s t e m h a s 2
k
m o d e s . E a c h m o d e i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e a c t i v e i n d e x s e t I
k , w h i c h
i n d i c a t e s t h a t y
i
= 0 , i 2 I a n d u
i
= 0 , i 2 I
c
w h e r e I
c
: =
k n I = f i 2
k i 62 I g . F o r e a c h s u c h
m o d e t h e l a w s o f m o t i o n a r e g i v e n b y s y s t e m s o f D i e r e n t i a l a n d A l g e b r a i c E q u a t i o n s ( D A E s ) .
S p e c i c a l l y , i n m o d e I t h e y a r e g i v e n b y
8
>
>
>
:
_x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t )
y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t )
y
i
( t ) = 0 ; i 2 I
u
i
( t ) = 0 ; i 2 I
c
;
( 1 4 )
o r e q u i v a l e n t l y ,
8
>
>
>
>
>
>
>
:
_x ( t ) = A x ( t ) + B
I
u
I
( t )
0 = C
I
x ( t ) + D
I I
u
I
( t )
y
I
c
( t ) = C
I
c
x ( t ) + D
I
c
I
u
I
( t )
u
I
c
( t ) = 0
y
I
( t ) = 0
( 1 5 )
T h e s e t o f c o n s i s t e n t s t a t e s f o r m o d e I , d e n o t e d b y V
I
, e q u a l s V ( A ; B
I
; C
I
; D
I I
) . T h e j u m p
s p a c e i s g i v e n b y T
I
: = T ( A ; B
I
; C
I
; D
I I
) . W e c a l l m o d e I a u t o n o m o u s , i f t h e q u a d r u p l e
( A ; B
I
; C
I
; D
I I
) i s a u t o n o m o u s . A s t a n d i n g a s s u m p t i o n i n t h e r e s t o f t h i s p a p e r w i l l b e t h e
f o l l o w i n g .
A s s u m p t i o n 4 . 1 A l l m o d e s o f t h e c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m ( 1 3 ) a r e a u t o n o m o u s .
B y L e m m a 3 . 3 t h i s i s e q u i v a l e n t t o s a y i n g t h a t G
I I
( s ) : = C
I
( s I ? A )
? 1
B
I
+ D
I I
i s i n v e r t i b l e
f o r e a c h i n d e x s e t I
k . N o t e t h a t t h e n o t a t i o n G
I I
( s ) i s c o n s i s t e n t i n t h e s e n s e t h a t G
I I
( s ) i s
t h e ( I ; I ) - s u b m a t r i x o f t h e r a t i o n a l m a t r i x G ( s ) : = C ( s I ? A )
? 1
B + D . A g a i n b y L e m m a 3 . 3 ,
a s s u m p t i o n 4 . 1 i m p l i e s t h a t V
I
T
I
= R
n
f o r a l l I
k a n d t h a t ( 1 4 ) h a s a u n i q u e i m p u l s i v e -
s m o o t h s o l u t i o n f o r a l l i n d i v i d u a l m o d e s g i v e n a n a r b i t r a r y i n i t i a l s t a t e .
4 . 1 C o n t i n u o u s p h a s e
D e n i t i o n 4 . 2 G i v e n x
0
2 R
n
a n d I
k , w e d e n o t e t h e u n i q u e d i s t r i b u t i o n a l s o l u t i o n t o ( 1 4 )
f o r m o d e I a n d i n i t i a l s t a t e x
0
b y ( u
x
0
I
; x
x
0
I
; y
x
0
I
) 2 C
k + n + k
i m p
A c c o r d i n g t o 1 4 , T h m . 3 . 1 0 ] , t h e r e e x i s t s a l i n e a r m a p p i n g F
I
s u c h t h a t ( 1 4 ) i s s a t i s e d f o r
x
0
2 V
I
b y t a k i n g u ( t ) = F
I
x ( t ) . S u b s t i t u t i n g t h i s f e e d b a c k i n ( 1 4 ) t r a n s f o r m s t h e D A E i n t o a n
o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( O D E ) . H e n c e , t h e r e g u l a r p a r t o f a n i m p u l s i v e - s m o o t h s o l u t i o n
1 0
-
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u s a t i s f y i n g ( 1 4 ) f o r a g i v e n i n i t i a l s t a t e i s a B o h l f u n c t i o n , i . e . u
r e g
i s o f t h e f o r m
u
r e g
( t ) =
0 ( t 0 )
( 1 6 )
f o r r e a l m a t r i c e s E , G a n d a v e c t o r v d e p e n d i n g o n t h e i n i t i a l s t a t e a n d t h e s p e c i c m o d e I
4 . 2 R e - i n i t i a l i z a t i o n
I f i n i t i a l s t a t e s o f ( 1 4 ) a r e n o t c o n s i s t e n t , i . e . i f x
0
62 V
I
, t h e n a r e - i n i t i a l i z a t i o n o f t h e i n i t i a l
s t a t e w i l l b e n e c e s s a r y a s p o i n t e d o u t i n S e c t i o n 3 . I n d e e d , i f x
0
62 V
I
, t h e n t h e s o l u t i o n t o ( 1 4 )
w i l l c o n t a i n a n o n t r i v i a l i m p u l s i v e p a r t r e s u l t i n g i n a n i n s t a n t a n e o u s j u m p o r r e - i n i t i a l i z a t i o n
o f t h e s t a t e v a r i a b l e . A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 , t h e r e - i n i t i a l i z e d v e c t o r x
x
0
I
( 0 + ) i s e q u a l
t o t h e p r o j e c t i o n o f x
0
o n t o t h e c o n s i s t e n t s u b s p a c e V
I
a l o n g t h e j u m p s p a c e T
I
. T h a t i s
x
x
0
I
( 0 + ) : = P
I
x
0
, w h e r e P
I
i s t h e p r o j e c t i o n o p e r a t o r P
T
I
V
I
4 . 3 E v e n t d e t e c t i o n
S u p p o s e t h a t t h e c u r r e n t t i m e , s t a t e , a n d m o d e a r e = 0 ; x
0
, a n d I , r e s p e c t i v e l y . N o t e t h a t
d u e t o t h e t i m e - i n v a r i a n c e o f t h e s y s t e m d e s c r i p t i o n ( 1 3 ) , t h e a s s u m p t i o n = 0 i s j u s t a
n o r m a l i z a t i o n . T h e s y s t e m ( 1 3 ) w i l l b e r e p r e s e n t e d b y ( 1 4 ) f o r m o d e I a s l o n g a s t h e i n e q u a l i t i e s
i n ( 1 3 c )
u
x
0
I
r e g
( t ) > 0 a n d y
x
0
I
r e g
( t ) > 0 ( 1 7 )
a r e s a t i s e d f o r t > . T h e f u n c t i o n : R
n
P (
k ) ! R
+
g i v e s t h e l e n g t h o f t h e t i m e i n t e r v a l
d u r i n g w h i c h t h e s y s t e m e v o l v e s i n m o d e I f r o m i n i t i a l s t a t e x
0
N o t e t h a t w e o n l y c o n s i d e r t h e
r e g u l a r p a r t h e r e . I n f o r m a l t e r m s , i s d e n e d a s f o l l o w s .
D e n i t i o n 4 . 3 T h e t i m e - t o - n e x t - e v e n t f u n c t i o n : R
n
P (
k ) ! R
+
i s d e n e d a s
( x
0
; I ) : = i n f f t > 0 u
x
0
I
r e g
( t ) 6> 0 o r y
x
0
I
r e g
( t ) 6> 0 g
w i t h t h e c o n v e n t i o n i n f ? = 1
T h e n e x t e v e n t t i m e a f t e r t i m e w i l l b e + ( x ( ) ; I ) ( b y t i m e - i n v a r i a n c e ) , w h e n t h e m o d e
a n d t h e s t a t e a t t i m e a r e e q u a l t o I a n d x ( ) , r e s p e c t i v e l y . S i n c e s m o o t h c o n t i n u a t i o n i s n o t
p o s s i b l e i n m o d e I a f t e r t h e e v e n t t i m e + ( x ( ) ; I ) , a t r a n s i t i o n t o a n o t h e r m o d e m u s t o c c u r .
A n i m p o r t a n t a s p e c t o f t h e s o l u t i o n c o n c e p t w i l l b e h o w t o s e l e c t t h e n e w m o d e .
T o i l l u s t r a t e t h e d e n i t i o n o f , c o n s i d e r E x a m p l e 4 . 4 a n d 4 . 5 o f t h e t w o - c a r t s s y s t e m i n t h e
n e x t s u b s e c t i o n . I n t h e s e c a s e s , ( ( 0 ; ? 1 ; 0 ; 0 )
>
; f 1 g ) =
2
a n d ( ( 0 ; 1 ; ? 1 ; 0 )
>
; f 1 g ) = 0 .
1 1
-
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12/42
4 . 4 M o d e s e l e c t i o n
T h e m o d e s e l e c t i o n p r o c e d u r e t h a t w e p r o p o s e i s b a s e d o n t h e c o n c e p t o f i n i t i a l s o l u t i o n . L o o s e l y
s p e a k i n g , a n i n i t i a l s o l u t i o n w i t h i n i t i a l s t a t e x
0
i s a t r i p l e ( u ; x ; y ) 2 C
k + n + k
i m p
s a t i s f y i n g ( 1 4 )
f o r s o m e m o d e I a n d s a t i s f y i n g ( 1 7 ) e i t h e r o n a t i m e i n t e r v a l o f p o s i t i v e l e n g t h o r o n a t i m e
i n s t a n t a t w h i c h d e l t a d i s t r i b u t i o n s a r e a c t i v e . T h e i d e a i s t h a t a n i n i t i a l s o l u t i o n i s a s t a r t i n g
t r a j e c t o r y f o r t h e \ g l o b a l " s o l u t i o n t o ( 1 3 ) .
E x a m p l e 4 . 4 C o n s i d e r t h e t w o - c a r t s s y s t e m w i t h i n i t i a l s t a t e ( 0 ; ? 1 ; 0 ; 0 )
>
. T h e s o l u t i o n t o
t h e c o n s t r a i n e d m o d e i s u ( t ) = c o s t a n d y ( t ) = 0 . H e n c e , i t s a t i s e s ( 1 4 ) f o r I = f 1 g o n 0 ; 1 )
a n d ( 1 7 ) o n 0 ;
2
) . S o , t h i s s o l u t i o n s a t i s e s ( 1 3 ) o n 0 ;
2
) . T h e r e f o r e w e a d m i t s e l e c t i o n o f t h e
c o n s t r a i n e d m o d e ( I = f 1 g ) a s s m o o t h c o n t i n u a t i o n i n t h i s m o d e i s p o s s i b l e .
E x a m p l e 4 . 5 F r o m t h e i n i t i a l s t a t e x
0
= ( 0 ; 1 ; ? 1 ; 0 )
>
r s t a s t a t e j u m p o c c u r s t o P
f 1 g
x
0
=
( 0 ; 1 ; 0 ; 0 )
>
g o v e r n e d b y t h e l a w s o f t h e c o n s t r a i n e d m o d e , b u t n o s m o o t h c o n t i n u a t i o n i s p o s s i b l e
i n t h e c o n s t r a i n e d m o d e . S o l v i n g t h e d y n a m i c s c o r r e s p o n d i n g t o t h e c o n s t r a i n e d m o d e , i . e . ( 1 4 )
w i t h I = f 1 g , g i v e s ( u ; x ; y ) w i t h u = + u
r e g
, w h e r e u
r e g
( t ) = ? c o s t . A l t h o u g h ( 1 7 ) i s n o t
s a t i s e d o n a p o s i t i v e t i m e i n t e r v a l , i n c o r p o r a t i o n o f t h i s s o l u t i o n i n t h e d e n i t i o n o f i n i t i a l
s o l u t i o n s s e e m s w e l l - m o t i v a t e d o n p h y s i c a l g r o u n d s . W e a d m i t s e l e c t i o n o f I = f 1 g
W e n o w m a k e t h e n o t i o n o f i n i t i a l s o l u t i o n m o r e p r e c i s e . G i v e n a n i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n
v 2 C
i m p
, w e d e n e t h e l e a d i n g c o e c i e n t o f i t s i m p u l s i v e p a r t b y
l e a d ( v ) : =
0 ; i f v
i m p
= 0
v
? l
; i f v
i m p
=
P
l
i = 0
v
? i
( i )
w i t h v
? l
6= 0
( 1 8 )
D e n i t i o n 4 . 6 W e c a l l a s c a l a r - v a l u e d i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n v 2 C
i m p
i n i t i a l l y n o n -
n e g a t i v e , i f
l e a d ( v ) > 0 ; i n c a s e v
i m p
6= 0
t h e r e e x i s t s a n " > 0 s u c h t h a t f o r a l l t 2 0 ; " ) v
r e g
( t ) > 0 ; o t h e r w i s e
A v e c t o r - v a l u e d i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n i n C
k
i m p
i s c a l l e d i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e , i f e a c h
o f i t s c o m p o n e n t s i s i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e . W e c a l l a n i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n u i n i t i a l l y
p o s i t i v e , i f u i s i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e a n d a d d i t i o n a l l y i f u
i
i s r e g u l a r , t h e n f o r s o m e " > 0
u
i
( t ) > 0 , t 2 ( 0 ; " )
D e n i t i o n 4 . 7 W e c a l l ( u ; x ; y ) 2 C
k + n + k
i m p
a n i n i t i a l s o l u t i o n t o ( 1 3 ) w i t h i n i t i a l s t a t e x
0
, i f
1 . t h e r e e x i s t s a n I
k s u c h t h a t ( u ; x ; y ) s a t i s e s ( 1 4 ) w i t h i n i t i a l s t a t e x
0
i n t h e d i s t r i b u -
t i o n a l s e n s e ; a n d
2 u ; y a r e i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e .
G i v e n a s t a t e x
0
, d e n e t h e s e t S ( x
0
) b y
S ( x
0
) : = f J
k t h e r e e x i s t s a n i n i t i a l s o l u t i o n ( u ; x ; y ) t o ( 1 3 ) w i t h i n i t i a l s t a t e
x
0
s u c h t h a t u
i
= 0 ; i 2 J
c
a n d y
i
= 0 ; i 2 J g ( 1 9 )
1 2
-
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13/42
T h e s e t S ( x
0
) d e n o t e s t h e s e t o f a l l p o s s i b l e m o d e s i n w h i c h a n i n i t i a l s o l u t i o n e x i s t s w i t h i n i t i a l
s t a t e x
0
R e m a r k 4 . 8 T h e r e m a y b e m o r e t h a n o n e m o d e c o r r e s p o n d i n g t o a g i v e n i n i t i a l s o l u t i o n
( u ; x ; y ) t o ( 1 3 ) . W i t h t h e i n d e x s e t I d e n e d b y
J : = f i 2
k u
i
6= 0 g ; ( 2 0 )
t h e c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s r e q u i r e y
i
= 0 f o r i 2 J . H e n c e , ( u ; x ; y ) i s a n i n i t i a l s o l u t i o n i n
m o d e J . C o n s i d e r n o w t h e \ u n d e t e r m i n e d i n d e x s e t "
K : = f i 2
k u
i
= 0 a n d y
i
= 0 g
A n y m o d e J I J K m a y a l s o b e s e l e c t e d a n d t h e i n i t i a l s o l u t i o n ( u ; x ; y ) s a t i s e s ( 1 4 ) f o r
I = J w i t h i n i t i a l s t a t e x
0
a s w e l l . A s a n e x a m p l e c o n s i d e r x
0
= 0 . I n t h i s c a s e , ( u ; x ; y ) = 0
i s a p o s s i b l e i n i t i a l s o l u t i o n . J a n d K a s d e n e d a b o v e a r e e q u a l t o ? a n d
k , r e s p e c t i v e l y .
C o n s e q u e n t l y , m o d e I c a n b e c h o s e n a r b i t r a r i l y , w h i c h m e a n s t h a t t h i s i n i t i a l s o l u t i o n s a t i s e s
t h e m o d e d y n a m i c s f o r e a c h m o d e . F o r a g i v e n i n i t i a l s o l u t i o n , t h e f r e e d o m i n t h e c h o i c e o f t h e
m o d e c o r r e s p o n d i n g t o t h i s s o l u t i o n i s e x a c t l y c h a r a c t e r i z e d b y t h e u n d e t e r m i n e d i n d e x s e t .
R e m a r k 4 . 9 I f a n i n i t i a l s o l u t i o n ( u ; x ; y ) h a s a n o n t r i v i a l i m p u l s i v e p a r t , i t c a n b e t h e c a s e
t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g m o d e i s o n l y v a l i d f o r t h e t i m e i n s t a n t 0 i t s e l f . T h i s h a p p e n s w h e n
t h e s m o o t h p a r t ( u
r e g
, y
r e g
) a r e n o t i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e . A n e x a m p l e i s p r o v i d e d b y E x -
a m p l e 4 . 5 , w h i c h e x p l a i n s a l s o t h e s p e c i a l m o d e t r a n s i t i o n a s m e n t i o n e d i n S e c t i o n 2 . T h e
c o n s t r a i n e d m o d e ( S ( ( 0 ; 1 ; ? 1 ; 0 )
>
) = f f 1 g g ) i s s e l e c t e d o n l y f o r t h e r e - i n i t i a l i z a t i o n o f t h e s t a t e
( ( ( 0 ; 1 ; ? 1 ; 0 )
>
; f 1 g ) = 0 ) . F r o m t h e r e - i n i t i a l i z e d s t a t e P
f 1 g
( 0 ; 1 ; ? 1 ; 0 )
>
= ( 0 ; 1 ; 0 ; 0 )
>
( s e e
a l s o S e c t i o n 7 ) a n e w m o d e i s s e l e c t e d ( S ( ( 0 ; 1 ; 0 ; 0 )
>
) = f ? g ) . I n t h e u n c o n s t r a i n e d m o d e a
s m o o t h i n i t i a l s o l u t i o n e x i s t s w i t h t h e r e - i n i t i a l i z e d s t a t e ( 0 ; 1 ; 0 ; 0 )
>
a s i n i t i a l s t a t e .
4 . 5 S o l u t i o n c o n c e p t
W e a r e n o w i n a p o s i t i o n t o d e n e a s o l u t i o n c o n c e p t f o r ( 1 3 ) . A p o i n t 2 E R i s c a l l e d a r i g h t -
a c c u m u l a t i o n p o i n t o f E , i f t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e f
i
g
i 2 N
s u c h t h a t
i
2 E a n d
i
< f o r a l l i
a n d f u r t h e r m o r e , l i m
i ! 1
i
= . A l e f t - a c c u m u l a t i o n p o i n t i s d e n e d s i m i l a r l y b y i n t e r c h a n g i n g
\ 0 , w i t h i n i t i a l s t a t e x
0
, i s a q u a d r u p l e
( E ; x
c
; u
c
; y
c
) , w h e r e E , t h e s e t o f e v e n t t i m e s , i s a r i g h t - i s o l a t e d c l o s e d s u b s e t o f 0 ; T
e
) w i t h
e m p t y i n t e r i o r a n d
x
c
: ( 0 ; T
e
) n E ! R
n
u
c
: ( 0 ; T
e
) n E ! R
k
y
c
: ( 0 ; T
e
) n E ! R
k
;
b e i n g a r b i t r a r i l y o f t e n d i e r e n t i a b l e t h a t s a t i s e s t h e f o l l o w i n g .
1 3
-
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14/42
1 0 2 E
2 . F o r 2 E , x
c
( + ) : = l i m
t # t 62 E
x
c
( t ) = l i m
i ! 1
z
i
, w h e r e f z
i
g
i 2 N
s a t i s e s
(
z
i + 1
= P
I
+ 1
z
i
I
i + 1
2 S ( z
i
)
( 2 1 )
a n d
z
0
: =
(
x
c
( ? ) : = l i m
t " t 62 E
x
c
( t ) ; i f > 0
x
0
; i f = 0
( 2 2 )
3 . F o r i s o l a t e d 2 E t h e r e e x i s t s a n I 2 S ( x
c
( + ) ) s u c h t h a t
: = m i n f t > t 2 E g = + ( x
c
( + ) ; I ) > 0 ( 2 3 )
a n d ( u
c
( t ) ; x
c
( t ) ; y
c
( t ) ) s a t i s e s ( 1 4 ) f o r m o d e I a n d f o r t 2 ( ;
)
P
I
+ 1
d e n o t e s t h e p r o j e c t i o n o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o m o d e I
i + 1
a s i n t r o d u c e d i n S u b s e c t i o n 4 . 2 .
T h e d e n i t i o n r e q u i r e s t h a t t h e l i m i t s i n i t e m 2 a n d i n t h e r s t c a s e o f ( 2 2 ) e x i s t .
T h e s e t E s p e c i e s t h e e v e n t t i m e s , i . e . t h e t i m e s a t w h i c h t h e r e i s a c h a n g e o f m o d e . T w o
s u c c e s s i v e i s o l a t e d e v e n t t i m e s ( a n d
) a r e r e l a t e d b y 3 i n t e r m s o f t h e t i m e - t o - n e x t - e v e n t
f u n c t i o n ( D e n i t i o n 4 . 3 ) . T h i s r e q u i r e m e n t i s i n c l u d e d i n t h e s o l u t i o n c o n c e p t t o e x c l u d e
r e d u n d a n t e v e n t t i m e s . T h e t r i p l e ( x
c
; u
c
; y
c
) d e n o t e s t h e t r a j e c t o r i e s i n t h e c o n t i n u o u s p h a s e s
o f t h e c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m ( a s i m p o s e d b y i t e m 3 ) . I t e m 2 l i n k s t h e c o n t i n u o u s p h a s e s a t
t h e e v e n t t i m e s b y a s e r i e s o f m o d e s e l e c t i o n s a n d r e - i n i t i a l i z a t i o n s . T h e m u l t i p l i c i t y m ( ) o f t h e
e v e n t t i m e 2 E i s d e n e d a s t h e m i n f i 2 N z
i
= x
c
( + ) g , i . e . t h e n u m b e r o f r e - i n i t i a l i z a t i o n s
n e e d e d b e f o r e s m o o t h c o n t i n u a t i o n ( a c o n t i n u o u s p h a s e ) i s p o s s i b l e . I n c a s e m ( ) = 1 , o n e
n e e d s a l i m i t i n g o p e r a t i o n t o d e t e r m i n e t h e s t a t e j u s t a f t e r t h e e v e n t , x
c
( + ) . I f m ( ) i s n i t e ,
t h e n o n l y a n i t e n u m b e r o f m o d e s e l e c t i o n s a n d r e - i n i t i a l i z a t i o n s ( p r o j e c t i o n s ) i n ( 2 1 ) a r e
n e e d e d . I t e m 2 s p e c i e s a l s o t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s .
R e m a r k 4 . 1 1 I n t h e l i t e r a t u r e o f h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s i t i s o f t e n a s s u m e d t h a t o n l y a
n i t e n u m b e r o f e v e n t s e x i s t s i n a n i t e t i m e i n t e r v a l . S o l u t i o n s w i t h t h i s p r o p e r t y a r e s o m e t i m e s
c a l l e d n o n - Z e n o s o l u t i o n s . T h e r e l a x a t i o n o f o u r s o l u t i o n c o n c e p t i s t w o f o l d . F i r s t , w e a l l o w t h a t
t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y m o d e s w i t c h i n g s a n d r e - i n i t i a l i z a t i o n s a t o n e t i m e i n s t a n t . S e c o n d ,
r i g h t - a c c u m u l a t i o n p o i n t s o f e v e n t t i m e s a r e i n c l u d e d . W e i n c o r p o r a t e s o l u t i o n s t h a t c o u l d
b e c a l l e d r i g h t - Z e n o t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e l i t e r a t u r e o n h y b r i d s y s t e m s . A s a n e x a m p l e
o f a r i g h t - Z e n o s o l u t i o n c o n s i d e r t h e e x a m p l e o f a b o u n c i n g b a l l w i t h e l a s t i c i m p a c t s ( w i t h
r e s t i t u t i o n c o e c i e n t s m a l l e r t h a n o n e ) . T h i s s y s t e m h a s a r i g h t - a c c u m u l a t i o n p o i n t , b e c a u s e
t h e b a l l i s a t r e s t w i t h i n a n i t e t i m e s p a n b u t a f t e r i n n i t e l y m a n y b o u n c e s . S i n c e o u r s o l u t i o n
c o n c e p t c o m p l i e s w i t h m e c h a n i c a l s y s t e m s w i t h i n e l a s t i c i m p a c t s ( s e e S e c t i o n 8 ) , t h e b o u n c i n g
b a l l e x a m p l e d o e s n o t t i n t h e c l a s s o f s y s t e m s t h a t w e s t u d y , b u t i t i n d i c a t e s t h a t t h e r e e x i s t
m o d e l s o f p h y s i c a l s y s t e m s t h a t r e q u i r e r i g h t - Z e n o s o l u t i o n s . A n e x a m p l e o f a c o m p l e m e n t a r i t y
1 4
-
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s y s t e m a l l o w i n g r i g h t - Z e n o s o l u t i o n s i s p r o v i d e d b y a t i m e r e v e r s e d v e r s i o n o f a s y s t e m s t u d i e d
b y F i l i p p o v 1 2 , p . 1 1 6 ] , i . e .
_x
1
= ? s g n ( x
1
) + 2 s g n ( x
2
) ( 2 4 a )
_x
2
= ? 2 s g n ( x
1
) ? s g n ( x
2
) ; ( 2 4 b )
w h e r e \ s g n " d e n o t e s t h e s i g n u m - f u n c t i o n g i v e n b y s g n ( x ) = 1 , i f x > 0 a n d s g n ( x ) = ? 1 , i f
x
-
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O b s e r v e t h a t t h e p o l y n o m i a l p a r t o f t h e L a p l a c e t r a n s f o r m c o r r e s p o n d s t o t h e i m p u l s i v e p a r t
a n d t h e s t r i c t l y p r o p e r p a r t t o t h e r e g u l a r p a r t o f t h e B o h l d i s t r i b u t i o n .
L e m m a 5 . 1 L e t v =
P
l
i = 0
v
? l
( i )
+ v
r e g
2 C
i m p
b e a B o h l d i s t r i b u t i o n . T h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s
a r e e q u i v a l e n t .
1 v i s i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e .
2 . T h e r e e x i s t s a
0
2 R s u c h t h a t t h e L a p l a c e t r a n s f o r m ^v ( s ) s a t i s e s ^v ( ) > 0 f o r a l l
2 R ; >
0
3 . T h e s e q u e n c e ( v
? l
; v
? l + 1
; : : : ; v
0
; v
r e g
( 0 ) ; v
( 1 )
r e g
( 0 ) ; v
( 2 )
r e g
( 0 ) ; : : : ) i s l e x i c o g r a p h i c a l l y n o n n e g a -
t i v e .
A l s o t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t .
1 v i s t h e z e r o d i s t r i b u t i o n .
2 . T h e L a p l a c e t r a n s f o r m v ( s ) i s t h e z e r o f u n c t i o n .
3 . T h e s e q u e n c e ( v
? l
; v
? l + 1
; : : : ; v
0
; v
r e g
( 0 ) ; v
( 1 )
r e g
( 0 ) ; v
( 2 )
r e g
( 0 ) ; : : : ) i s t h e z e r o s e q u e n c e .
P r o o f . E v i d e n t . 2
L e t ( u ; x ; y ) b e a n i n i t i a l s o l u t i o n t o ( 1 3 ) w i t h i n i t i a l s t a t e x
0
. T h e L a p l a c e t r a n s f o r m s o f u , y ,
d e n o t e d b y u ( s ) , ^y ( s ) , a r e r a t i o n a l a n d s a t i s f y
y ( s ) = C ( s I ? A )
? 1
x
0
+ C ( s I ? A )
? 1
B + D ^u ( s ) a n d ^y ( s ) = 0 ^u ( s ) ( 2 5 )
f o r a l l i 2
k ; m o r e o v e r t h e r e e x i s t s a
0
2 R s u c h t h a t
^y ( ) > 0 ; u ( ) > 0 ( 2 6 )
f o r a l l 2 R , >
0
. T h e c o n v e r s e i s t r u e a s w e l l , s o t h e L a p l a c e t r a n s f o r m s a r e r a t i o n a l a n d
s a t i s f y ( 2 5 ) - ( 2 6 ) i t h e c o r r e s p o n d i n g t i m e f u n c t i o n s d e n e a n i n i t i a l s o l u t i o n t o ( 1 3 ) .
T h e a b o v e o b s e r v a t i o n s r e s u l t i n t h e f o r m u l a t i o n o f t h e R a t i o n a l C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m
( t e r m i n o l o g y i n t r o d u c e d i n 2 9 ] ) . N o t e t h a t t h e f o r m u l a t i o n o f t h e R C P h e r e i s a r e l a x a t i o n o f
t h e o n e i n 2 9 ] , b e c a u s e w e a l l o w g e n e r a l r a t i o n a l s o l u t i o n s .
R a t i o n a l C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m . ( R C P ( x
0
) ) L e t a s y s t e m d e s c r i p t i o n ( A ; B ; C ; D )
a n d i n i t i a l s t a t e x
0
b e g i v e n . F i n d r a t i o n a l v e c t o r f u n c t i o n s y ( s ) a n d u ( s ) s u c h t h a t t h e e q u a l i t i e s
y ( s ) = C ( s I ? A )
? 1
x
0
+ C ( s I ? A )
? 1
B + D u ( s ) a n d y ( s ) = 0 u ( s ) ) ( 2 7 )
1 6
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h o l d f o r a l l i 2
k , a n d t h e r e e x i s t s a
0
2 R s u c h t h a t f o r a l l >
0
w e h a v e
y ( ) > 0 ; u ( ) > 0 ( 2 8 )
I f ( u ( s ) ; y ( s ) ) i s a s o l u t i o n t o R C P ( x
0
) , a n y i n d e x s e t J
k s a t i s f y i n g u
J
c
( s ) = 0 a n d y
J
( s ) = 0
r e p r e s e n t s a m o d e J i n w h i c h a n i n i t i a l s o l u t i o n e x i s t s . H e n c e , i t i s e a s i l y o b s e r v e d t h a t d u e t o
t h e o n e - t o - o n e r e l a t i o n b e t w e e n i n i t i a l s o l u t i o n s a n d s o l u t i o n s t o t h e c o r r e s p o n d i n g R C P t h e s e t
o f p o s s i b l e c o n t i n u a t i o n m o d e s S ( x
0
) m u s t b e e q u a l t o S
R C P
( x
0
) , w h e r e
S
R C P
( x
0
) = f I
k 9 ( u ( s ) ; y ( s ) ) s o l u t i o n t o R C P ( x
0
)
s u c h t h a t u
I
c
( s ) = 0 a n d y
I
( s ) = 0 g ( 2 9 )
A s e c o n d a l g e b r a i c m o d e s e l e c t i o n m e t h o d c a n b e d e r i v e d b y u s i n g t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n
o f t h e s o l u t i o n s t o R C P ( x
0
) . T h i s i s d e s c r i b e d n e x t .
5 . 2 L i n e a r d y n a m i c c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m
I f ( u ( s ) ; y ( s ) ) i s a s o l u t i o n t o R C P ( x
0
) , t h e n i t n e c e s s a r i l y h a s t o s a t i s f y u
I
c
( s ) = 0 a n d y
I
( s ) = 0
f o r s o m e I
k . C o n s e q u e n t l y ,
0 = R
I
( s ) x
0
+ G
I I
( s ) u
I
( s )
y
I
c
( s ) = R
I
c
( s ) x
0
+ G
I
c
I
( s ) u
I
( s ) ;
w h e r e G ( s ) i s t h e p r o p e r t r a n s f e r f u n c t i o n C ( s I ? A )
? 1
B + D , a n d R ( s ) i s t h e s t r i c t l y p r o p e r
r a t i o n a l m a t r i x C ( s I ? A )
? 1
. N o t e t h a t G
I I
( s ) i s i n v e r t i b l e b y A s s u m p t i o n 4 . 1 . T h i s i m p l i e s
t h a t u
I
( s ) = ? G
? 1
I I
( s ) R
I
( s ) x
0
a n d
y
I
c
( s ) = R
I
c
( s ) ? G
I
c
I
( s ) G
? 1
I I
( s ) R
I
( s ) x
0
I t f o l l o w s f r o m t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f r a t i o n a l m a t r i x f u n c t i o n s ( s e e f o r i n s t a n c e 1 8 ] ) t h a t
t h e d e g r e e o f t h e p o l y n o m i a l p a r t o f G
? 1
I I
( s ) i s a t m o s t n . H e n c e , t h e p o l y n o m i a l p a r t s o f t h e
r a t i o n a l f u n c t i o n s u ( s ) a n d y ( s ) h a v e d e g r e e a t m o s t n ? 1 . I n t e r m s o f t i m e - d o m a i n s o l u t i o n s ,
t h i s m e a n s t h a t o n l y d e r i v a t i v e s o f t h e D i r a c f u n c t i o n u p t o o r d e r n ? 1 c a n a p p e a r i n i n i t i a l
s o l u t i o n s . S o w e c a n w r i t e
y ( s ) =
1
X
i = ? n + 1
y
i
s
? i
( 3 0 )
a n d l i k e w i s e f o r u ( s ) . T o t r a n s l a t e t h e n o n n e g a t i v i t y c o n d i t i o n s ( 2 8 ) t o t h e c o e c i e n t s o f t h e
p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n a r o u n d i n n i t y , w e u s e t h a t y ( s ) i s n o n n e g a t i v e f o r a l l s u c i e n t l y l a r g e
r e a l s , i f a n d o n l y i f
( y
? n + 1
; y
? n + 2
; : : : ) 0 ( 3 1 )
1 7
-
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a n d s i m i l a r l y f o r u ( s )
G i v e n t h e s y s t e m d e s c r i p t i o n ( A ; B ; C ; D ) , t h e M a r k o v p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m a r e d e n e d b y
H
i
=
(
D ; i f i = 0
C A
i ? 1
B ; i f i = 1 ; 2 ; : : :
( 3 2 )
N o t e t h a t
G ( s ) =
1
X
i = 0
H
i
s
? i
( 3 3 )
U s i n g t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n s o f y ( s ) a n d u ( s ) a n d ( 3 3 ) , R C P ( x
0
) c a n b e r e f o r m u l a t e d a s
t h e L i n e a r D y n a m i c C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m ( t e r m i n o l o g y i n t r o d u c e d i n 2 9 ] ) b y c o n s i d e r i n g
t h e c o e c i e n t s c o r r e s p o n d i n g t o e q u a l p o w e r s o f s . T h e f o r m u l a t i o n h e r e e x t e n d s t h e c o n c e p t
o f L D C P a s i n t r o d u c e d i n 2 9 ] , b e c a u s e i m p u l s i v e m o t i o n s a r e i n c l u d e d .
L i n e a r D y n a m i c C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m ( L D C P
( x
0
) ) L e t a s y s t e m d e s c r i p t i o n
( A ; B ; C ; D ) , a n i n t e g e r > ? n + 1 a n d a n i n i t i a l s t a t e x
0
b e g i v e n . L e t H
i
; i > 0 b e g i v e n b y
( 3 2 ) . F i n d s e q u e n c e s ( y
? n + 1
; y
? n + 2
; : : : ; y
) a n d ( u
? n + 1
; u
? n + 2
; : : : ; u
) s u c h t h a t t h e e q u a t i o n s
y
i
=
i
X
j = ? n + 1
H
i ? j
u
j
; i f ? n + 1 6 i 6 m i n ( 0 ; ) ( 3 4 a )
y
i
= C A
i ? 1
x
0
+
i
X
j = ? n + 1
H
i ? j
u
j
; i f 1 6 i 6 ( 3 4 b )
a r e s a t i s e d , a n d f o r a l l i n d i c e s i 2
k a t l e a s t o n e o f t h e f o l l o w i n g i s t r u e :
( y
? n + 1
i
; y
? n + 2
i
; : : : ; y
i
) = 0 a n d ( u
? n + 1
i
; u
? n + 2
i
; : : : ; u
i
) 0 ( 3 5 )
( y
? n + 1
i
; y
? n + 2
i
; : : : ; y
i
) 0 a n d ( u
? n + 1
i
; u
? n + 2
i
; : : : ; u
i
) = 0 ( 3 6 )
L D C P
1
( x
0
) d e n o t e s t h e p r o b l e m o f n d i n g v e c t o r s e q u e n c e s ( u
j
)
1
j = ? n + 1
a n d ( y
j
)
1
j = ? n + 1
t h a t
s a t i s f y L D C P
( x
0
) f o r a l l > ? n + 1
I f ( u
j
)
j = ? n + 1
a n d ( y
j
)
j = ? n + 1
f o r m a s o l u t i o n t o L D C P
( x
0
) , t h e n i n d e x s e t s J
k s a t i s f y i n g
( 3 5 ) , i 2 J a n d ( 3 6 ) , i 2 J
c
r e p r e s e n t c a n d i d a t e m o d e s f o r s e l e c t i o n .
T h e c o m p l e t e s e t o f c a n d i d a t e s f o r s e l e c t i o n , d e n o t e d b y S
L D C P
( x
0
) , i s d e n e d b y
S
L D C P
( x
0
) : = f J
k 9 ( u
j
)
j = ? n + 1
; ( y
j
)
j = ? n + 1
s o l u t i o n t o L D C P
( x
0
) s u c h t h a t
( 3 5 ) h o l d s f o r i 2 J a n d ( 3 6 ) h o l d s f o r i 2 J
c
g
1 8
-
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T h e o r e m 5 . 2 L e t a s y s t e m ( A ; B ; C ; D ) b e g i v e n . T h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t w h e n
A s s u m p t i o n 4 . 1 h o l d s .
1 . T h e e q u a t i o n s ( 1 3 ) h a v e a n i n i t i a l s o l u t i o n f o r i n i t i a l s t a t e x
0
2 . R C P ( x
0
) h a s a s o l u t i o n .
3 . L D C P
1
( x
0
) h a s a s o l u t i o n .
T h e r e i s a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n i n i t i a l s o l u t i o n s t o ( 1 3 ) , s o l u t i o n s t o R C P ( x
0
) ,
a n d s o l u t i o n s t o L D C P
1
( x
0
) . F u r t h e r m o r e , f o r a l l x
0
2 R
n
,
S ( x
0
) = S
R C P
( x
0
) = S
1
L D C P
( x
0
)
P r o o f . F r o m t h e d e r i v a t i o n o f R C P , i t f o l l o w s t h a t 1 a n d 2 a r e e q u i v a l e n t . I f ( u ( s ) ; y ( s ) ) i s a
s o l u t i o n t o R C P ( x
0
) , t h e n t h e c o e c i e n t s o f t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n o f t h i s s o l u t i o n a r o u n d
i n n i t y f o r m a s o l u t i o n t o L D C P
1
( x
0
) . H e n c e , 2 i m p l i e s 3
T o s e e t h a t 3 i m p l i e s 1 , s u p p o s e t h a t ( y
? n + 1
; y
? n + 2
; : : : ) , ( u
? n + 1
; u
? n + 2
; : : : ) i s a s o l u t i o n t o
L D C P
1
( x
0
) . T a k e I
k s u c h t h a t ( 3 5 ) h o l d s f o r i 2 I a n d ( 3 6 ) h o l d s f o r i 2 I
c
. D e n e
p ( 0 ) : = x
0
+
P
n ? 1
i = 0
A
i
B u
? i
. W e r s t s h o w t h a t p ( 0 ) 2 V
I
. T o t h i s e n d , n o t e t h a t y
i
I
= 0 a n d
u
i
I
c
= 0 f o r a l l i 2 f ? n + 1 ; ? n + 2 ; : : : g . F r o m ( 3 4 b ) , i t f o l l o w s t h a t p ( 0 ) s a t i s e s
0 = y
1
I
= C
I
p ( 0 ) + D
I I
v ( 0 )
0 = y
2
I
= C
I
A p ( 0 ) + D
I I
v ( 1 ) + C
I
B
I
v ( 0 )
0 = y
I
= C
I
A
? 1
p ( 0 ) + D
I I
v ( ? 1 ) + C
I
B
I
v ( ? 2 ) + + C
I
A
? 2
B
I
v ( 0 )
( 3 7 )
w h e r e v ( i ) = u
i + 1
I
, i > 0 . C o m b i n i n g a l g o r i t h m ( 4 ) a n d t h e e q u a t i o n s a b o v e , i t f o l l o w s t h a t
f o r l > 0 t h e s t a t e s A
l
p ( 0 ) +
P
l ? 1
i = 0
A
i
B
I
v ( l ? 1 ? i ) b e l o n g t o V
j
( A ; B
I
; C
I
; D
I I
) ; , j > 0 . I n
p a r t i c u l a r f o r l = 0 t h i s m e a n s t h a t p ( 0 ) 2 l i m V
j
( A ; B
I
; C
I
; D
I I
) = V
I
. H e n c e , t h e r e e x i s t s a
s m o o t h s o l u t i o n ( u
r e g
; x
r e g
; y
r e g
) t o ( 1 4 ) f o r m o d e I w i t h i n i t i a l s t a t e x ( 0 ) = p ( 0 ) .
B y d i e r e n t i a t i n g ( 1 4 ) i n t i m e a n d e v a l u a t i n g t h e r e s u l t i n g e q u a l i t i e s a t t i m e i n s t a n t 0 f o r t h e
s o l u t i o n ( u
r e g
; x
r e g
; y
r e g
) , w e o b s e r v e t h a t ~v ( i ) : = u
( i )
r e g ; I
( 0 ) , i = 0 ; 1 ; : : : s a t i s e s ( 3 7 ) a s w e l l . T o
s h o w t h a t t h i s i m p l i e s t h a t ~v
i
= v
i
f o r a l l i , o b s e r v e t h a t d u e t o ( 3 7 ) b o t h s e q u e n c e s s a t i s f y t h e
d i s c r e t e - t i m e a n a l o g u e o f t h e r s t t w o l i n e s o f ( 1 5 ) , i . e .
p ( i + 1 ) = A p ( i ) + B
I
v ( i ) ; 0 = C
I
p ( i ) + D
I I
v ( i ) ; i = 0 ; 1 ; 2 ; : : : ( 3 8 )
w i t h i n i t i a l s t a t e p ( 0 ) . T h e d i e r e n c e w ( i ) : = v ( i ) ? ~v ( i ) s a t i s e s ( 3 8 ) w i t h i n i t i a l s t a t e 0 . W e
i n t r o d u c e t h e f o r m a l z - t r a n s f o r m
w ( z ) : =
1
X
i = 0
w
i
z
? i
1 9
-
7/27/2019 Linear Complementary Systems
20/42
U s i n g t h e z - t r a n s f o r m G
I I
( z ) o f t h e d i s c r e t e - t i m e s y s t e m ( s e e e . g . 1 9 ] ) , w e g e t 0 = G
I I
( z ) w ( z )
T h e i n v e r t i b i l i t y o f G
I I
( z ) i m p l i e s t h a t w ( z ) = 0 a n d h e n c e , v ( i ) = ~v ( i ) f o r a l l i > 0 , o r
e q u i v a l e n t l y , u
i + 1
I
= u
( i )
r e g ; I
( 0 ) , i > 0 . T h i s a l s o i m p l i e s t h a t y
i + 1
= y
( i )
r e g
( 0 ) ; i > 0
W e d e n e u : =
P
n ? 1
i = 0
u
? i
( i )
+ u
r e g
, y : =
P
n ? 1
i = 1
y
i
( i ? 1 )
+ y
r e g
a n d l e t x b e t h e s o l u t i o n t o
_x = A x + B u + x
0
. O b v i o u s l y , ( u ; x ; y ) s a t i s e s 1 i n D e n i t i o n 4 . 7 . W e o n l y h a v e t o s h o w t h a t
2 i n D e n i t i o n 4 . 7 i s s a t i s e d . S i n c e ( y
? n + 1
; y
? n + 2
; : : : ) = ( y
? n + 1
; : : : ; y
0
; y
( 0 )
r e g
( 0 ) ; y
( 1 )
r e g
( 0 ) ; : : : )
a n d ( u
? n + 1
; u
? n + 2
; : : : ) = ( u
? n + 1
; : : : ; u
0
; u
( 0 )
r e g
; u
( 1 )
r e g
; : : : ) f o r m a s o l u t i o n t o L D C P
1
( x
0
) , ( 3 5 )
o r ( 3 6 ) i s s a t i s e d f o r a l l i 2
k . A c c o r d i n g t o L e m m a 5 . 1 , t h i s i s e q u i v a l e n t t o u a n d y b e i n g
i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e . C o n s e q u e n t l y ( u ; x ; y ) i s a n i n i t i a l s o l u t i o n w i t h i n i t i a l s t a t e x
0
T h e o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e f o l l o w s e a s i l y f r o m t h e a b o v e , b e c a u s e s o l u t i o n s t o R C P a n d
i n i t i a l s o l u t i o n s a r e r e l a t e d t h r o u g h L a p l a c e t r a n s f o r m a n d i t s i n v e r s e . S o l u t i o n s t o R C P a r e
u n i q u e l y t r a n s f o r m e d t o s o l u t i o n s t o L D C P b y t a k i n g t h e c o e c i e n t s o f a p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n
a r o u n d i n n i t y . M o r e o v e r , a s o l u t i o n t o L D C P i s l i n k e d t o a n i n i t i a l s o l u t i o n b y s e t t i n g t h e
d e r i v a t i v e s o f a n i n i t i a l s o l u t i o n a t z e r o e q u a l t o t h e L D C P s o l u t i o n a s s t a t e d a b o v e ( s e e a l s o
r e m a r k 5 . 3 ) . T h e n a l s t a t e m e n t i s a r e s u l t o f t h e o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e . 2
R e m a r k 5 . 3 N o t e t h a t i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 5 . 2 , a d i r e c t l i n k b e t w e e n i n i t i a l s o l u t i o n s a n d
s o l u t i o n s t o L D C P
1
( x
0
) i s g i v e n . I f ( u ; x ; y ) i s a n i n i t i a l s o l u t i o n w i t h u =
P
n ? 1
i = 0
u
? i
( i )
+ u
r e g
a n d y =
P
n ? 1
i = 0
y
? i
( i )
+ y
r e g
f o r i n i t i a l s t a t e x
0
, d e n e ~u
i
: = u
i
, i = ? n + 1 ; : : : ; 0 a n d ~u
i + 1
=
u
( i )
r e g
( 0 ) , i > 0 a n d l e t ~y
i
, i > ? n + 1 b e d e n e d a n a l o g o u s l y . T h e n ( ~u
i
)
1
i = ? n + 1
, ( ~y
i
)
1
i = ? n + 1
i s
a s o l u t i o n t o L D C P
1
( x
0
) . W e s h a l l u s e t h e t r a n s f o r m a t i o n s b e t w e e n L D C P
1
( x
0
) , R C P ( x
0
)
a n d i n i t i a l s o l u t i o n s f r e q u e n t l y . T h e a b o v e p r o o f a l s o y i e l d s a n a l t e r n a t i v e w a y o f d e r i v i n g t h e
L D C P : d i e r e n t i a t e t h e i n i t i a l s o l u t i o n w i t h i n c o r p o r a t i o n o f t h e i m p u l s i v e p a r t a n d e v a l u a t e
t h e r e s u l t s a t t i m e i n s t a n t z e r o . F o r s m o o t h c o n t i n u a t i o n s , t h i s m e t h o d c a n a l s o b e u s e d i n t h e
n o n l i n e a r c a s e 2 1 , 2 9 ] .
I n t h e a b o v e t h e o r e m i t i s s h o w n t h a t t h e i n n i t e v e r s i o n o f L D C P c a n b e u s e d t o s e l e c t t h e
c o r r e c t m o d e s . H o w e v e r , u n d e r s u i t a b l e c o n d i t i o n s , a l r e a d y t h e n i t e v e r s i o n L D C P
n
( x
0
) s e l e c t s
t h e r i g h t m o d e s , w h e r e n i s t h e d i m e n s i o n o f t h e s t a t e v a r i a b l e ( s e e T h e o r e m 6 . 1 0 b e l o w ) . I n
1 0 ] , i t h a s b e e n s h o w n t h a t L D C P
( x
0
) f o r n i t e i s a s p e c i a l c a s e o f t h e G e n e r a l i z e d L i n e a r
C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m 8 ] a n d t h e E x t e n d e d L i n e a r C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m 9 ] . I n 8 ] , a n
a l g o r i t h m i s p r o p o s e d t o n d a l l s o l u t i o n s t o G L C P . S u c h a l g o r i t h m s c a n b e u s e d t o e c i e n t l y
s o l v e t h e L D C P .
6 W e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s
D u e t o t h e m u l t i m o d a l a n d n o n l i n e a r b e h a v i o r o f l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s , b a s i c q u e s -
t i o n s l i k e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s g i v e n a n i n i t i a l s t a t e a r e n o n t r i v i a l . I t i s n o t