Lineaariset ryhmät

Pro gradu -tutkielmaMiia Lillstrang 2187044Matematiikan yksikköOulun yliopisto 2016

Sisältö

Johdanto 2

1 Esitietoja 3

1.1 Ryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Ryhmä ja aliryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Normaalit aliryhmät ja tekijäryhmät . . . . . . . . . . 81.1.3 Sykliset ryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Konjugaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Kunnat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Homomor�smit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Polynomeista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Lineaariset ryhmät 27

2.1 Ryhmä GL(2, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Ryhmä SL(2, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Ryhmä PSL(2, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Ryhmän PSL(2, 5) yksinkertaisuus 34

3.1 Apulauseita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Ryhmän PSL(2, 5) yksinkertaisuuden osoittaminen . . . . . . 36

4 Ryhmän PSL(2, 4) yksinkertaisuus 45

4.1 Kertalukua neljä oleva kunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Ryhmän PSL(2, 4) yksinkertaisuuden osoittaminen . . . . . . 47

5 Ryhmän PSL(2, 7) yksinkertaisuus 54

5.1 Huomioita ryhmän SL(2, 7) konjugointiluokkien määrittämi-sestä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Ryhmän PSL(2, 7) yksinkertaisuuden osoittaminen . . . . . . 55

6 Yleinen tapaus: Ryhmän PSL(2, K) yksinkertaisuus 62

6.1 Transvektiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2 Ryhmän PSL(2, K) yksinkertaisuuden osoittaminen . . . . . . 66

A Lausekkeiden arvoja taulukoituna 71

1

Johdanto

Ryhmä on matematiikan algebraksi kutsutun haaran kenties perustavin kä-site. Ryhmä koostuu joukosta alkioita sekä operaatiosta, joka on määriteltyjoukon minkä tahansa kahden alkion välille. Jotta kyseessä olisi ryhmä, onalkioiden ja operaation toteutettava vain muutamia yksinkertaisia ominai-suuksia.

Erilaisten ryhmien ja niiden ominaisuuksien maailma on suuri ja ihmeelli-nen. Alaluvussa 1.1 tutustutaan aliryhmiin, normaaleihin aliryhmiin, tekijä-ryhmiin ja syklisiin ryhmiin. Luvussa 2 esitellään kolme tyyppiä lineaarisia

ryhmiä eli päästään työn nimikkoaiheeseen. Lineaaristen ryhmien idea onse, että niiden yhteydessä käsitellään matriiseja. -Tämän työn tapauksessahillitysti vain pieniä 2 × 2 -matriiseja. Kahdessa ensimmäisessä lineaaristenryhmien tyypissä ryhmän alkiot ovat matriiseja. Kolmas tyyppi on tekijäryh-mä toisen tyypin suhteen; hieman mutkikkaampi tapaus siis, mutta erityisenmielenkiintoinen.

Tämä kolmas ja mielenkiintoinen lineaaristen ryhmien tyyppi on lyhyeltänimeltään PSL(2, K), pitkältä nimeltään astetta kaksi oleva projektiivinen

erityinen lineaarinen ryhmä kunnan K suhteen. Lajin yksilöistä tarkastellaanlähemmin tapauksia PSL(2, 5) (luku3), PSL(2, 4) (luku 4) sekä PSL(2, 7)(luku 5). Kaikissa tarkasteluissa käytetään alaluvussa 1.2 rakennettua työ-välinettä: konjugaatteja. Tarkastelun päämääräänä on kussakin tapauksessaselvittää, onko yksilö kenties yksinkertainen eli onko sillä ainoastaan triviaa-

lit normaalit aliryhmät. Ryhmien maailmassa yksinkertaisuus on jännittävä,jopa toivottava ominaisuus ja olemme ylpeitä, jos onnistumme löytämäänyksinkertaisia ryhmiä.

Jännitystä ei valitettavasti ole syytä pitää yllä, koska lopputulema näkyyjo sisällysluettelosta: kaikki kolme tarkkaan tarkasteltua lineaarista ryhmääosoittautuvat yksinkertaisiksi. Työ huipentuu viimeiseen lukuun 6, jossa osoi-tetaan, ettei kyseessä ole sattuma: kaikki tyyppiä PSL(2, K) olevat lineaari-set ryhmät ovat yksinkertaisia (kunhan kunnan K (ks. alaluku 1.3) kertalukuon vähintään neljä).

Työn sisältö on pyritty optimoimaan kahden tavoitteen mukaan. Ensim-mäinen tavoite on se, että esitietoja vaadittaisiin mahdollisimman vähän eikätuloksia nyhjäistä tyhjästä. Toisena tavoitteena on, että tarvittavia tuloksiavarten ei kuljettaisi tarpeettoman pitkää reittiä, vaan jos mahdollista, oiko-reittiä. Näiden kahden paineessa tasapainottelu on ollut haastavaa, muttaainakin kirjoittaja on innoissaan tuloksena syntyneestä retkestä.

Lukuiloa!

2

1 Esitietoja

Tässä luvussa luodaan tulevan työn perusta ja käydään läpi sellaiset perusta-vat määritelmät ja lauseet, joita tarvitaan työssä myöhemmin. Kuten mate-matiikassa yleensä, kertyy läpi käytävää melko paljon, kun halutaan tunnol-lisesti avata lukijalle edistyneempään tulokseen johtavan matematiikan puu.

Joitakin asioita lukijan oletetaan tietävän ennestään: Kongruenssin jajäännösluokkien käsitteet sekä niihin liittyvät perustulokset oletetaan tutuik-si. Relaation käsitteen sekä ekvivalenssirelaation ja sen perusominaisuuksienoletetaan myös olevan ennestään tuttuja. Jakoalgoritmi oletetaan tutuksi jasitä käytetään ilman erillisiä perusteluja. Myöskään operaation tai binäärio-peraation määritelmiä ei esitetä, sillä ne oletetaan tunnetuiksi.

Merkintöjä

Tässä työssä käytetään seuraavia merkintöjä:

• Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, . . .}

• Kokonaislukujen joukko Z

• Positiivisten kokonaislukujen joukko Z+ = {1, 2, . . .}

• Ryhmän G aliryhmän H vasen sivuluokka alkion a ∈ G suhteen: ylei-sesti aH, yhteenlaskun tapauksessa a+H.

• Alkion a generoima ryhmän G syklinen aliryhmä: 〈a〉.

1.1 Ryhmät

On olemassa monenlaisia ryhmiä. On Abelin ryhmiä ja tekijäryhmiä. Lineaa-riset ryhmätkin ovat ryhmiä. Ryhmä ryhmän sisällä on aliryhmä, ja sykliset

ryhmät käyttäytyvät kesysti.Määritellään ryhmä, jotta päästään alkuun. Tutustumme tässä myös ryh-

miin liittyviin perustuloksiin, joista kaikki tulevat olemaan tarpeellisia myö-hemmin.

1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä

Tässä kappaleessa määritellään ryhmä sekä aliryhmä ja osoitetaan niihinliittyviä perustuloksia.

Määritelmä 1.1. Pari (G, ∗) eli joukko G yhdessä binäärioperaation ∗ kans-sa on ryhmä, mikäli

3

(i) Joukko G on suljettu operaation ∗ suhteen, eli jos alkiot a, b ∈ G, niinmyös a ∗ b ∈ G.

(ii) Joukossa G on neutraalialkio e eli e ∗ a = a ∗ e = a kaikilla a ∈ G.

(iii) Kaikilla joukon G alkioilla a ∈ G löytyy joukosta G käänteisalkio a−1,jolla a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.

(iv) Kaikilla joukon G alkioilla a, b, c pätee (a∗b)∗c = a∗(b∗c), eli operaatio∗ on assosiatiivinen.

Jos ryhmässä G on ääretön määrä alkioita, se on ääretön ryhmä. Josalkioita on äärellinen määrä, ryhmä G on äärellinen.

Huomautus (Merkintöjä). Kun on selvää, että käytetään ryhmässä mää-riteltyä operaatiota ∗, merkitään a ∗ b = ab. Alkion a operoimista n kertaaitsensä kanssa merkitään an. Merkinnällä a−n tarkoitetaan alkion an kään-teisalkiota (an)−1. Määritellään lisäksi a0 = e.

Määritelmä 1.2. Ryhmä G on Abelin ryhmä, mikäli kaikilla sen alkioilla aja b on ab = ba. Mikäli ab = ba sanotaan alkioiden a ja b kommutoivan.

Esimerkki tutusta ryhmästä on kokonaislukujen joukko Z varustettunayhteenlaskuoperaatiolla. Tämän ryhmän (Z,+) neutraalialkio on 0 ja luvunt käänteisalkio on sen vastaluku −t. Kokonaislukujen summat ovat kokonais-lukuja ja summaamisen tiedetään olevan assosiatiivinen operaatio kokonais-lukujen joukossa. Ryhmä (Z,+) on ääretön ryhmä. Luonnollisten lukujenjoukko N sen sijaan ei ole ryhmä yhteenlaskuoperaation suhteen, sillä sen si-sältä käänteisalkio löytyy ainoastaan alkiolle nolla.

Tarkastellaan jäännösluokkia modulo neljä eli joukkoa Z4 = {[0], [1], [2],[3]}. Taulukkoon 1 on laskettu joukon alkioiden summat ja tulot. Taulukon1 avulla voidaan helposti todeta, että yhteenlaskuoperaation suhteen Z4 onryhmä: alkio [0] on neutraalialkio, kaikille alkioille löytyy käänteisalkio, jouk-ko on suljettu ja jäännösluokkien summaoperaation tiedetään olevan assosia-tiivinen. Kertolaskun suhteen joukko Z4 ei kuitenkaan ole ryhmä useammas-takaan syystä: taulukosta nähdään, että [1] on ainut alkio, joka kerrottaessasäilyttää muut alkiot itsenään. Se on siis ainut mahdollinen neutraalialkiokertolaskuoperaation suhteen. [0] ∗ [a] on kuitenkin [0] kaikilla joukon Z4 al-kioilla [a], eli jos [1] on neutraalialkio, alkiolla [0] ei ole käänteisalkiota. Edesjoukko Z4 \ [0] ei ole ryhmä kertolaskun suhteen. Se ei esimerkiksi ole suljet-tu, sillä vaikka alkio [2] kuuluu joukkoon Z4 \ [0], niin alkio [2] ∗ [2] = [0] eikuulu.

4

+ [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [1] [2] [3]

[1] [1] [2] [3] [4]

[2] [2] [3] [0] [1]

[3] [3] [0] [1] [2]

∗ [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2] [3]

[2] [0] [2] [0] [2]

[3] [0] [3] [2] [1]

Taulukko 1: Joukon Z4 alkioiden väliset tulot ja summat.

Lause 1.1. Ryhmän G neutraalialkio sekä alkioiden käänteisalkiot ovat yk-sikäsitteisiä.

Todistus. Oletetaan ensin, että ryhmässä G on kaksi toisistaan eroavaa neut-raalialkiota e ja e′. Nyt neutraalialkion määritelmästä seuraa e = ee′ = e′, elisaatiin välittömästi ristiriita. Ryhmän G neutraalialkion on siis oltava yksi-käsitteinen.Oletetaan sitten, että ryhmän G alkiolla a on kaksi toisistaan eroavaa kään-teisalkiota a−1 ja (a′)−1. Nyt käänteisalkion määritelmän nojalla aa−1 = e =a(a′)−1, josta operoimalla vasemmalta puolen käänteisalkiolla a−1 saadaan

a−1(aa−1

)= a−1

(a(a′)−1

)⇔(a−1a

)a−1 =

(a−1a

)(a′)

−1

⇔ ea−1 = e(a′)−1

⇔ a−1 = (a′)−1,

mikä on ristiriita. Näin ollen alkion a käänteisalkion on oltava yksikäsitteinen.

Lause 1.2. Jos alkiot a ja b kuuluvat ryhmään G, niin yhtälöllä ax = b onyksikäsitteinen ratkaisu x ∈ G. Samoin yhtälöllä ya = b on yksikäsitteinenratkaisu y ∈ G.

Todistus. Osoitetaan tapaus ax = b. Tapaus ya = b osoitetaan vastaavallatavalla.Alkio a−1 kuuluu ryhmään G ja siten myös a−1b ∈ G. Alkio a−1b on yhtälönratkaisu, sillä a(a−1b) = (aa−1)b = eb = b. Ratkaisu on yksikäsitteinen, sillä

5

jos yhtälöllä olisi ryhmässä G kaksi toisistaan eroavaa ratkaisua x1 ja x2, niin

ax1 = b = ax2 ‖ a−1∗⇔ a−1(ax1) = a−1(ax2)

⇔ (a−1a)x1 = (a−1a)x2

⇔ ex1 = ex2

⇔ x1 = x2.

Saatiin ristiriita oletuksen kanssa, eli ratkaisu x1 = x2 ∈ G on yksikäsitteinen.

Määritelmä 1.3. Ryhmän G osajoukko H on aliryhmä, mikäli H varustet-tuna ryhmän G operaatiolla ∗ on itse ryhmä. Tällöin merkitään H ≤ G.

Aliryhmän H neutraalialkio on sama kuin ryhmän G neutraalialkio, silläkoska kaikki ryhmän H alkiot ovat myös ryhmän G alkioita, on ryhmän Gneutraalialkiolla vaaditut ominaisuudet myös aliryhmässä H.

Selvästi ryhmä G on aina itsensä aliryhmä samoin kuin yhden alkionryhmä {e}. Nämä ovat niin kutsutut triviaalit aliryhmät. Mikäli aliryhmäH 6= G, sanotaan aliryhmää H aidoksi aliryhmäksi ja tällöin voidaan merkitäH < G.

Lause 1.3 (Aliryhmäkriteeri). Ryhmän G epätyhjä osajoukko H on aliryh-mä, mikäli

(i) Jos alkio a ∈ H, niin myös käänteisalkio a−1 ∈ H.

(ii) Jos alkiot a, b ∈ H, niin myös alkio ab ∈ H.

Todistus. Olkoot lauseen kaksi ehtoa voimassa. Ehdoista nähdään suoraankaikki ryhmältä vaaditut ominaisuudet neutraalialkion olemassaoloa ja ope-raation assosiatiivisuutta lukuunottamatta.

Koska joukkoH on epätyhjä, on siellä ainakin yksi alkio a. Ensimmäisestäehdosta seuraa, että alkion a käänteisalkio a−1 ∈ H ja toisesta ehdosta, ettäaa−1 = e ∈ H. Koska kaikki joukon H alkiot kuuluvat ryhmään G, onryhmän G neutraalialkio e myös joukon H neutraalialkio. Lisäksi operaatioon assosiatiivinen myös joukossa H. Näin ollen joukko H on ryhmä.

Lause 1.4. Olkoot g ja h ryhmän G alkioita ja olkoot r ja s kokonaislukuja.Tällöin normaalit potenssien laskusäännöt ovat voimassa eli

(i) gsgr = gr+s = grgs

6

(ii) (gr)s = grs

(iii) g−r = (g−1)r= (gr)−1

(iv) (gh)−1 = h−1g−1

Todistus. Kolmen ensimmäisen kohdan todistus on pitkähkö, koska on käytä-vä erikseen läpi tilanteita sen mukaan, ovatko r ja s positiivisia, negatiivisiasekä keskenään yhtä- vai erisuuria. Tässä sivuutettu todistus löytyy muunmuassa teoksesta [1, s. 22-24]. Viimeinen kohta seuraa siitä, että

(gh)(h−1g−1

)= g

(hh−1

)g−1 = geg−1 = gg−1 = e ja(

h−1g−1)gh = h−1

(g−1g

)h = h−1eh = h−1h = e.

Määritelmä 1.4. Ryhmän G alkion a kertaluku |a| on pienin positiivinenkokonaisluku n, jolla an = e. Mikäli tällaista lukua ei ole olemassa eli an 6= ekaikilla n ∈ Z+, määritellään |a| =∞.

Huomautus. Jos ryhmä G on äärellinen, on sen jokaisen alkion kertalukuäärellinen. Tämä voidaan todeta tarkastelemalla alkion a ∈ G potensseja an,missä n on luonnollinen luku. Jos kaikilla toisistaan eroavilla luonnollisillaluvuilla r ja s olisi ar 6= as niin alkiolla a olisi ääretön määrä toisistaan eroa-via potensseja. Koska G on ryhmä, kuuluvat kaikki nämä alkion a potenssitkuitenkin äärelliseen ryhmään G, mikä on ristiriita. Siten on olemassa sellai-set luonnolliset luvut s ja r, s > r että as = ar. Nyt asa−r = ara−r, mistälauseen 1.4 nojalla saadaan as−r = ar−r = a0 = e. Siten alkion a kertalukuon korkeintaan s− r ∈ Z+.

Lause 1.5. Olkoon G äärellinen ryhmä ja alkio a ∈ G. Nyt joukko 〈a〉 ={an : n ∈ Z} on ryhmän G aliryhmä.

Todistus. Koska ryhmä G on äärellinen, on alkion a kertaluku äärellinen.Selvästi joukko 〈a〉 sisältää tarkalleen |a| alkiota, jotka ovat a, a2, . . . , a|a|−1

ja a|a| = e. Siis 〈a〉 sisältää neutraalialkion e. Lisäksi jokaista kokonaislukuam kohti löytyy luonnollinen luku 1 ≤ m′ ≤ |a| siten, että am = am

′. Nyt

a|a|−m′on alkion am käänteisalkio, sillä

ama|a|−m′= am

′a|a|−m

′= am

′+|a|−m′ = a|a| = e

ja samoin saadaan a|a|−m′am = e. Joukko 〈a〉 on suljettu, sillä kaikilla sen

alkioilla ar ja as kuuluu alkio aras = ar+s joukkoon 〈a〉. Näin ollen lauseen1.3 nojalla 〈a〉 on ryhmän G aliryhmä.

7

Määritelmä 1.5. Lauseen 1.5 aliryhmää 〈a〉 kutsutaan ryhmän G alkion

a generoimaksi sykliseksi aliryhmäksi. Alkiota a kutsutaan aliryhmän 〈a〉generaattoriksi.

Lause 1.6. Olkoon g ryhmän G alkio, jonka kertaluku on n. Nyt gr = gs josja vain jos n jakaa luvun r − s. Erityisesti gk = e jos ja vain jos n | k.

Todistus. (ks. [1], s.25) Olkoon n sellainen, että n jakaa luvun r − s, elir − s = mn jollakin kokonaisluvulla m. Tällöin

gr = gmn+s = gmngs = (gn)m gs = emgs = gs.

Olkoon sitten gr = gs. Nyt

gr−s = grg−s = gr (gs)−1 = gr (gr)−1 = e.

Jakoalgoritmin nojalla r − s = qn+ t joillakin kokonaisluvuilla q ja t, missä0 ≤ t < n. Siten nähdään, että

gr−s = gqn+t

= gqngt

= (gn)qgt

= eqgt

= gt.

Nyt siis gt = gr−s = e. Koska 0 ≤ t < n, on oltava t = 0, sillä muutenjouduttaisiin ristiriitaan alkion g kertaluvun n suhteen. Näin on osoitettu,että r − s = qn eli n jakaa luvun r − s.

1.1.2 Normaalit aliryhmät ja tekijäryhmät

Seuraavaksi määritellään normaali aliryhmä ja tutkitaan, kuinka sen avul-la voidaan luoda uusia ryhmiä, niin sanottuja tekijäryhmiä. Normaalin ali-ryhmän määritelmää varten on tarpeen tutustua sivuluokkiin, joilla huoma-taan olevan mielenkiintoisia ominaisuuksia. Sivuluokkien avulla osoitetaan,että aliryhmän kertaluku jakaa aina ryhmän kertaluvun. Tämän tärkeä tulostunnetaan nimellä Lagrangen lause.

Määritelmä 1.6. Olkoon G ryhmä, H sen aliryhmä ja a ryhmän G mieli-valtainen alkio. Joukko aH = {ah : h ∈ H} on alkion a määräämä aliryhmänH vasen sivuluokka ryhmässä G.

8

Alkio kuuluu aina itse määräämäänsä vasempaan sivuluokkaan. Jos ni-mittäin a on ryhmän G alkio, niin koska e ∈ H, niin a = ae ∈ aH. Tästäseuraa, että ryhmä G on aliryhmän H vasempien sivuluokkien yhdiste.

Kuinka monta alkiota on vasemmassa sivuluokassa aH? Selvästi |aH| =|{ah : h ∈ H}| ≤ |H|. Sivuluokassa voi olla vähemmän alkioita kuin ryh-mässä H vain siinä tapauksessa, että kahdella toisistaan eroavalla aliryhmänH alkiolla h1 ja h2 on ah1 = ah2. Tästä saadaan kuitenkin välitön ristirii-ta kertomalla alkion a käänteisalkiolla yhtälön molemmat puolet. Jokaisessavasemmassa sivuluokassa aH on siis tarkalleen yhtä monta alkiota kuin ali-ryhmässä H.

Apulause 1.7. OlkoonH ryhmän G aliryhmä. Määritellään relaatio R siten,että kaikilla ryhmän G alkioilla a ja b

aRb⇔ b−1a ∈ H.

Nyt relaatio R on ekvivalenssirelaatio.

Todistus. Olkoot a, b ja c ryhmän G mielivaltaisia alkioita ja H ryhmän Galiryhmä. Koska H on ryhmä, a−1a = e ∈ H ja siten aRa. Olkoon sitten aRbeli b−1a ∈ H. Jälleen koska H on ryhmä, kuuluu alkio

(b−1a)−1 = a−1(b−1)−1 = a−1b

ryhmään H eli bRa. Olkoon lopuksi aRb ja bRc, eli b−1a ∈ H ja c−1b ∈ H.Koska ryhmä H on suljettu, kuuluu myös tulo

(c−1b)(b−1a) = c−1(bb−1)a = c−1a

ryhmään H, joten aRc. On näytetty, että relaatio R toteuttaa kaikki ekviva-lenssirelaation ominaisuudet, eli se on ekvivalenssirelaatio.

Lause 1.8. Olkoon G ryhmä, a ja b ryhmän G mielivaltaisia alkioita jaH ≤ G. Nyt vasemmat sivuluokat aH ja bH ovat täsmälleen samat, mikälia ∈ bH, ja täysin erilliset, mikäli a 6∈ bH. Lisäksi aH = bH täsmälleen silloin,kun b−1a ∈ H.

Todistus. Apulauseen 1.7 relaation R osoitettiin olevan ekvivalenssirelaatio.Osoitetaan, että aRb jos ja vain jos aH = bH, mistä seuraa, että vasemmatsivuluokat ovat itseasiassa relaation R ekvivalenssiluokkia. Tällöin ekviva-lenssiluokkien ominaisuuksista seuraa suoraan koko lauseen sisältö.

9

Olkoon ensin aRb eli b−1a ∈ H. Nyt b(b−1a) = (bb−1)a = a ∈ bH, elia = bh1 jollakin h1 ∈ H. Olkoon alkio x ∈ aH mielivaltainen. Tällöin x = ah2jollakin h2 ∈ H. Näillä merkinnöillä nähdään, että

x = ah2 = (bh1)h2 = b(h1h2),

missä alkio h1h2 ∈ H ja siten x ∈ bH. On osoitettu, että aH ⊆ bH. KoskaR on ekvivalenssirelaatio, bRa, ja vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, ettäbH ⊆ aH. Siten aH = bH.

Olkoon sitten aH = bH. Nyt b ∈ bH = aH, joten b = ah3 jollakinh3 ∈ H. Siten nähdään, että

b−1a = (ah3)−1a = (h3

−1a−1)a = h3−1(a−1a) = h3

−1e = h−13

on ryhmän H alkion h3 käänteisalkio ja kuuluu ryhmään H. Siis aRb.

On osoitettu, että aRb on yhtäpitävää sen kanssa, että aH = bH. Tar-kistetaan vielä, että joukkoon aH kuuluvat tarkalleen ne alkiot, jotka ovatalkion amääräämässä ekvivalenssiluokassa relaation R suhteen: Jos aRb, niinaH = bH ja koska b ∈ bH, niin b ∈ aH. Jos taas b ∈ aH, niin b = ah4 jol-lakin h4 ∈ H ja tällöin on todettu, että aRb. Vasempaan sivuluokkaan aHkuuluvat siis tarkalleen ne alkiot, jotka ovat relaatiossa alkion a kanssa.

Vasemmat sivuluokat ovat siis ekvivalenssirelaation R ekvivalenssiluok-kia. Lauseen sisältö saadaan ekvivalenssiluokkien ominaisuuksista.

Seuraus 1.9 (Lagrangen lause). Olkoon G äärellinen ryhmä ja H sen ali-ryhmä. Aliryhmän H kertaluku jakaa ryhmän G kertaluvun, eli |G| = n|H|jollakin luonnollisella luvulla n.

Todistus. Ryhmä G on vasempien sivuluokkien yhdiste ja jokaisessa sivu-luokassa on |H| alkiota. Lauseen 1.8 perusteella vasemmat sivuluokat ovatlisäksi erillisiä, eli jokainen ryhmän G alkio kuuluu ainoastaan yhteen vasem-paan sivuluokkaan. Koska ryhmä G on äärellinen, on vasempia sivuluokkiaäärellinen määrä, olkoon se n ∈ N. Nyt G =

⋃ni=1 aiH ja |G| = n|H|.

Seuraus 1.10. Millä tahansa ryhmän G alkiolla a on a|G| = e.

Todistus. Selvästi |〈a〉| = |a|. Koska 〈a〉 ≤ G, jakaa sen kertaluku eli alkiona kertaluku ryhmän G kertaluvun, eli |G| = n|a| jollakin n ∈ N . Nyt

a|G| = an|a| = (a|a|)n = en = e.

10

Määritelmä 1.7. RyhmänG aliryhmänH sivuluokkien määrä on aliryhmänH indeksi ryhmässä G. Aliryhmän H indeksiä n merkitään n = [G : H].

Huomautus. Lagrangen lauseen 1.9 perusteella äärellisen ryhmän G aliryh-män H indeksi [G : H] = |G|

|H| .

Kaikki, mikä edellä on osoitettu vasemmille sivuluokille, pätee myös oi-keille sivuluokille, jotka määritellään vastaavasti: Jos H on ryhmän G ali-ryhmä ja a ryhmän G mielivaltainen alkio, on joukko Ha = {ha : h ∈ H}alkion a määräämä aliryhmän H oikea sivuluokka ryhmässä G. Normaalinaliryhmän määritelmässä tarvitaan sekä oikean että vasemman sivuluokankäsitteitä.

Määritelmä 1.8. Ryhmän G aliryhmä N on normaali aliryhmä, jos aN =Na kaikilla ryhmän G alkioilla a. Normaalia aliryhmää merkitään N EG.

Lause 1.11. Olkoon G ryhmä ja N sen aliryhmä. Seuraavat väittämät ovatyhtäpitäviä:

(a) N EG

(b) a−1Na = N kaikilla a ∈ G

(c) a−1na ∈ N kaikilla n ∈ N ja a ∈ G

Todistus. (a)⇒ (b): Olkoon N EG eli aN = Na. Nyt joukko

a−1Na = {a−1na : n ∈ N} = {a−1(na) : n ∈ N}= a−1(Na) = a−1(aN) = {a−1(an) : n ∈ N}= {(a−1a)n : n ∈ N} = {n : n ∈ N} = N .

(b)⇒ (a): Olkoon a−1Na = N . Jos x ∈ aN , niin x = an1 jollakin n1 ∈ N .Lisäksi n1 ∈ N = a−1Na, eli n1 = a−1n′1a jollakin n′1 ∈ N . Siis

x = an1 = a(a−1n′1a) = (aa−1)n′1a = n′1a ∈ Na,

eli aN ⊆ Na. Koska alkio a on mielivaltainen, on myös (a−1)−1Na−1 =aNa−1 = N , mistä vastaavasti saadaan Na ⊆ aN . Näin ollen aN = Na.

(b)⇒ (c): Olkoon a−1Na = N ja n ∈ N . Nyt a−1na ∈ a−1Na = N .

(c)⇒ (b): Olkoon a−1na ∈ N kaikilla n ∈ N . Nyt

a−1Na = {a−1na : n ∈ N} ⊆ N ,

11

eli |a−1Na| ≤ |N |. Joukossa a−1Na voi olla joukkoa N vähemmän alkioitavain, jos joillakin toisistaan eroavilla ryhmän N alkioilla n1 ja n2 on a−1n1a =a−1n2a. Tällöin kuitenkin saadaan

a(a−1n1a)a−1 = a(a−1n2a)a

−1

⇔ (aa−1)n1(aa−1) = (aa−1)n2(aa

−1)

⇔ en1e = en2e

⇔ n1 = n2,

mikä on ristiriita. Siis |a−1Na| = |N | ja a−1Na ⊆ N , eli a−1Na = N .

Lause 1.12. Abelin ryhmän G jokainen aliryhmä on normaali.

Todistus. Olkoon H ryhmän G aliryhmä. Nyt kaikilla a ∈ G ja h ∈ H on

a−1ha = a−1ah = eh = h ∈ H,

joten lauseen 1.11 perusteella H EG.

Lause 1.13. Olkoon N ryhmän G normaali aliryhmä. Nyt vasemmat sivu-luokat aN , missä a ∈ G, muodostavat ryhmän, kun ryhmän operaatioksimääritellään aN ◦ bN = (ab)N kaikilla aliryhmän N vasemmilla sivuluokillaaN ja bN .

Todistus. Olkoot sivuluokat aN ja bN mielivaltaisia joukon {gN : g ∈ G}alkioita. Osoitetaan, että operaatio aN ◦ bN = abN on hyvin määritelty, eliettä operaation tulos ei riipu vasemman sivuluokan edustajien a ja b valin-nasta. Olkoon a′ ∈ aN ja b′ ∈ bN . Tällöin lauseen 1.8 perusteella aN = a′Nja bN = b′N , ja on osoitettava, että nyt (ab)N = (a′b′)N . Lauseen 1.8 perus-teella aRa′ ja bRb′, eli (a′)−1a ∈ N ja (b′)−1b ∈ N . Nyt

(a′b′)−1(ab) = (b′)−1(a′)−1ab = (b′)−1e(a′)−1ab

= (b′)−1(bb−1

)(a′)−1ab =

((b′)−1b

)b−1((a′)−1a

)b,

missä tiedetään tulojen (b′)−1b ja (a′)−1a kuuluvan aliryhmään N . Merkitse-mällä (b′)−1b = n1 ja (a′)−1a = n2, saadaan lauseke muotoon

n1b−1n2b.

Koska N on normaali aliryhmä, kuuluu tulo b−1(n2)b lauseen 1.11 pe-rusteella ryhmään N . On siis esitetty tulo (a′b′)−1(ab) ryhmän N alkioidentulona, joten se kuuluu ryhmään N . Näin ollen (ab)R(a′b′), eli sivuluokat(ab)N ja (a′b′)N ovat samat. Sivuluokkien välinen operaatio ◦ on siis hyvin

12

määritelty.

Nyt on helppo osoittaa, että joukko {gN : g ∈ G} toteuttaa ryhmän omi-naisuudet. Aliryhmä N = eN on ryhmän neutraalialkio, sillä mielivaltaisellealkiolle aN ∈ {gN : g ∈ G} on

aN ◦ eN = eN ◦ aN = (ae)N = aN .

Sivuluokan aN käänteisalkio on a−1N , sillä

aN ◦ a−1N = a−1N ◦ aN = (aa−1)N = eN = N .

Koska G on ryhmä, on operaatio ◦ assosiatiivinen ja joukko {gN : g ∈ G}suljettu operaation ◦ suhteen.

Määritelmä 1.9. Lauseessa 1.13 esitettyä sivuluokkien muodostamaa ryh-mää ({aN : a ∈ G}, ◦) kutsutaan ryhmän G tekijäryhmäksi normaalin ali-ryhmän N suhteen ja merkitään G/N . Ryhmän neutraalialkio on sivuluokkaeN = N .

Huomautus. Tekijäryhmän G/N kertaluku on aliryhmän N vasempien si-vuluokkien määrä eli indeksi. Kun ryhmä G on äärellinen, indeksi on |G|/|N |.

Jos ryhmä G on Abelin ryhmä, on myös tekijäryhmä G/N Abelin ryhmä,sillä millä tahansa vasemmilla sivuluokilla aN ja bN on aNbN = (ab)N =(ba)N = bNaN .

1.1.3 Sykliset ryhmät

Edellisessä kappaleessa käsiteltiin ryhmän G alkion a generoimaa syklistäaliryhmää 〈a〉. Seuraavaksi tutustutaan tarkemmin syklisiin ryhmiin eli ta-paukseen, jossa G = 〈a〉.

Määritelmä 1.10. Ryhmä G on syklinen, jos on olemassa sellainen alkiog ∈ G, että 〈g〉 = G.

Ryhmä (Z,+) on esimerkki äärettömästä syklisestä ryhmästä. Sen gene-roi alkio 1. Ryhmä (Z5 \ [0], ∗) taas on eräs äärellinen syklinen ryhmä. Sengeneroivat itseasiassa sen kaikki alkiot neutraalialkiota [1] lukuunottamattaeli alkiot [2],[3] ja [4]. Useiden generaattoreiden olemassaololle ei ole mitäänestettä. Esimerkiksi alkiolle [2] voidaan laskemalla todeta, että [2]1 = [2],[2]2 = [4], [2]3 = [3] ja [2]4 = [1], eli 〈[2]〉 = Z5 \ [0].

Lause 1.14. Jos ryhmän G kertaluku on alkuluku, niin ryhmä G on syklinen.

13

Todistus. Olkoon |G| alkuluku eli |G| ≥ 2 ja alkio e 6= a ∈ G. Lauseen 1.5perusteella 〈a〉 on ryhmän G aliryhmä ja seurauksen 1.9 perusteella aliryh-män 〈a〉 kertaluku jakaa ryhmän G kertaluvun. Nyt |G| on alkuluku, eli senainoat tekijät ovat 1 ja |G|. Koska aliryhmään 〈a〉 kuuluvat ainakin alkiota ja e, on |〈a〉| ≥ 2, eli |〈a〉| = |G|. Siis G = 〈a〉 eli ryhmä G on alkion ageneroima syklinen ryhmä.

Lause 1.15. Syklisen ryhmän aliryhmät ovat syklisiä.

Todistus. Olkoon G = 〈a〉 kertalukua n oleva syklinen ryhmä ja H ryhmänG aliryhmä. Olkoon r pienin positiivinen kokonaisluku, jolla ar ∈ H. Osoi-tetaan, että H = 〈ar〉.Koska H on ryhmä, 〈ar〉 ⊆ H. Olkoon an mielivaltainen ryhmän H alkio. Nytjakoalgoritmin nojalla n = dr + s, missä d, s ∈ Z ja 0 ≤ s < r. Nyt on siisan = adr+s = adras. Alkion adr käänteisalkio (adr)−1 = a−dr = (ar)−d ∈ H,joten tulo

a−dran = a−dr(adras) = (a−dradr)as

= adr−dras = a0as = eas = as

kuuluu aliryhmään H. Alkion ar valinnasta ja ehdosta 0 ≤ s < r seuraa,että s = 0 eli an = adr = (ar)d ∈ 〈ar〉. Siis H ⊆ 〈ar〉 ja on osoitettu, ettäH = 〈ar〉.

Lause 1.16. Olkoon G äärellinen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n.Nyt jokaista luvun n tekijää d kohti on olemassa yksikäsitteinen ryhmän Galiryhmä Gd, jonka kertaluku on d. Lisäksi ryhmässä G on d sellaista alkiotax, jotka toteuttavat yhtälön xd = 1. Nämä alkiot ovat tarkalleen ne d alkiota,jotka kuuluvat aliryhmään Gd.

Todistus. (ks. [1], s.35) Olkoon g alkio, joka generoi ryhmän G, eli G = 〈g〉ja |g| = n. Nyt

〈gn/d〉 = {gn/d, g2n/d, . . . , g(d−1)n/d, gdn/d = gn = e},

eli |〈gn/d〉| = d. Olkoon H toinen aliryhmä, jonka kertaluku on d. Lauseen1.15 perusteella H = 〈gr〉 jollakin gr ∈ G. Koska |gr| = d, on grd = (gr)d =e = gn, joten lauseen 1.6 perusteella n jakaa luvun dr. Siis dr = mn jollakinm eli r = mn/d. Nyt siis gr = gmn/d = (gn/d)

m, eli gr ∈ 〈gn/d〉 ja siten

H = 〈gr〉 ≤ 〈gn/d〉. Koska |H| = |〈gn/d〉|, on H = 〈gn/d〉. On osoitettu, ettäkertalukua d oleva aliryhmä on yksikäsitteinen.

Jos xd = e, niin edellisen perusteella alkio x on alkion gn/d potenssi.Jos toisaalta y ∈ 〈gn/d〉, niin seurauksen 1.10 nojalla yd = y|〈g

n/d〉| = e. Siisyhtälöllä xd = e on tasan d ratkaisua ryhmässä G.

14

1.2 Konjugaatit

Kun pitää katseen tulevaisuudessa eli aikomuksessa tutkia ryhmien normaa-leja aliryhmiä, on selkeää, miksi seuraavaksi tutustutaan konjugaatteihin.Toistensa kanssa konjugoivat alkiot nimittäin muodostavat ryhmään ekvi-valenssiluokat erään relaation suhteen. Normaalit aliryhmät ovat aina näi-den konjugointiluokiksi kutsuttujen ekvivalenssiluokkien yhdisteitä. Jos siishallitsemme konjugointiluokkien etsimisen, on käytössämme oiva tapa tut-kia normaaleja aliryhmiä. Juuri tätä varten osoitetaan kappaleessa 3 hiemanedistyneempi lause 3.2, jonka avulla konjugointiluokan kertaluvun selvittä-minen helpottuu huomattavasti.

Määritelmä 1.11. Olkoon a ryhmän G alkio. Tulo g−1ag, missä g ∈ G, onalkion a konjugaatti ryhmässä G, merkitään ag. Jos on olemassa sellainenryhmän G alkio g, että ag = b, sanotaan alkioiden a ja b konjugoivan ryh-mässä G. Alkion a kaikkien konjugaattien joukkoa {ag : g ∈ G} merkitäänaG.

Lause 1.17. Olkoon G ryhmä ja a, b ja c sen mielivaltaisia alkioita. Tällöin

(a) (ab)c= abc

(b)(ab)−1

= (a−1)b

(c) a = bc ⇔ b = a(c−1)

(d) (ab)c = acbc

(e) (ab)n= (an)b kaikilla luonnollisilla luvuilla n.

Todistus. (a) (ab)c= c−1(ab)c = c−1b−1abc = (bc)−1a(bc) = abc

(b) Lauseen 1.4 kohdan (iv) avulla saadaan (ab)−1 = (b−1ab)−1 =(ab)−1(b−1)−1 = b−1a−1b = (a−1)b

(c) a = bc = c−1bc⇔ cac−1 = b⇔ (c−1)−1ac−1 = b⇔ a(c

−1) = b

(d) (ab)c = c−1(ab)c = c−1a(cc−1)bc = (c−1ac)(c−1bc) = acbc

15

(e) Osoitetaan väite induktion avulla. Jos k = 0, niin (ab)0= e = eb =

(a0)b. Oletetaan induktio-oletuksena, että (ab)

k= (ak)

b. Nyt

(ab)k+1

=ab(ab)k

lauseen 1.4 perusteella

=ab(ak)b

induktio-oletuksen perusteella

=(b−1ab)(b−1akb)

=b−1a(bb−1)akb

=b−1aakb

=b−1ak+1b lauseen 1.4 perusteella

=(ak+1)b,

mikä päättää induktiotodistuksen.

Lause 1.18. Toistensa kanssa konjugoivilla alkioilla on sama kertaluku, elijos G on ryhmä ja a ja g ovat sen alkioita, niin |a| = |ag|.

Todistus. Olkoot a ja g ryhmän G alkioita ja alkion a kertaluku n. Nytlauseen 1.17 perusteella

(ag)n = (an)g = eg = g−1eg = g−1g = e,

eli |ag| ≤ n. Jos olisi |ag| = m < n eli (ag)m = e, niin saataisiin ristiriitaalkion a kertaluvun suhteen: (ag)m = (am)g = e, eli

g−1(am)g = e ‖ g∗⇔ (am)g = g ‖ ∗g−1

⇔ am = e.

Tämä on ristiriita, koska oli m < n = |a|.

Määritellään seuraavaksi myös ryhmän G aliryhmän H konjugaatti.

Määritelmä 1.12. Ryhmän G aliryhmän H konjugaatti Hg on joukko{hg : h ∈ H}, missä g on ryhmän G alkio.

Lause 1.19. Ryhmän G aliryhmän H konjugaatit ovat myös ryhmän Galiryhmiä.

16

Todistus. Olkoon H ≤ G ja g ∈ G. Nyt joukko Hg 6= ∅, sillä eg = e ∈ Hg.Olkoon a ∈ Hg eli a = (a′)g jollakin a′ ∈ H. Nyt (a′)−1 ∈ H, joten lauseen1.17 perusteella (

(a′)−1)g

= ((a′)g)−1

= a−1 ∈ Hg.

Lisäksi joukko H on suljettu, sillä jos myös b ∈ Hg, niin b = (b′)g jollakinb′ ∈ H ja jälleen lauseen 1.17 avulla saadaan ab = (a′)g(b′)g = (a′b′)g ∈ Hg,koska a′b′ ∈ H. Nyt lauseen 1.3 perusteella Hg ≤ G.

Huomautus. Selvästi aliryhmän H konjugaatissa Hg on korkeintaan |H|alkiota. Jos a ja b ovat aliryhmänH kaksi erisuurta alkiota ja g ∈ G, nähdäänhelposti, että myös ag 6= bg. Näin ollen konjugaatin Hg kertaluku on samakuin aliryhmän H.

Apulause 1.20. Määritellään ryhmän G alkioilla relaatio ∼ seuraavasti:a ∼ b jos ja vain jos on olemassa sellainen ryhmän G alkio g, että b = ag.Tällöin relaatio ∼ on ekvivalenssirelaatio.

Todistus. a ∼ a, sillä e−1ae = a. Jos a ∼ b, niin b = ad jollakin ryhmän Galkiolla d. Tällöin lauseen 1.17 perusteella a = b(d

−1) ja siten b ∼ a.Olkoot lopuksi ryhmän G alkiot a, b ja c sellaisia, että a ∼ b ja b ∼ c. Nytsiis b = ad ja c = bf joillakin ryhmän G alkioilla d ja f . Tällöin saadaanc = bf = (ad)

f, josta lauseen 1.17 nojalla c = adf , eli a ∼ c. On osoitettu,

että relaatio ∼ on ekvivalenssirelaatio ryhmässä G.

Seuraus 1.21. Apulauseen 1.20 relaatio ∼ jakaa ryhmän G pistevieraisiinekvivalenssiluokkiin, joiden yhdiste ryhmä G on. Alkion a määräämä ekvi-valenssiluokka on aG = {ag : g ∈ G}.

Määritelmä 1.13. Relaation ∼ ekvivalenssiluokkia ryhmässä G kutsutaanryhmän G konjugointiluokiksi.

Lause 1.22. Normaalit aliryhmät ovat aina konjugointiluokkien yhdisteitä.

Todistus. Olkoon N ryhmän G normaali aliryhmä ja a sen mielivaltainenalkio. Merkitään {ag : g ∈ G} = Na. Nyt alkio a = ae kuuluu joukkoon Na

kaikilla a ∈ N , jotenN ⊆

⋃a∈N

Na.

Lauseen 1.11 perusteella b−1ab = ab ∈ N kaikilla b ∈ G, eli Na ⊆ N . Näinollen on myös ⋃

a∈N

Na ⊆ N

eli joukot ovat samat. Normaali aliryhmä N on siis konjugointiluokkien yh-diste.

17

1.3 Kunnat

Seuraavaksi tarkastellaan kuntia. Olennainen ero ryhmän ja kunnan välilläon se, että ryhmässä joukon alkioiden välillä on määritelty yksi operaatio,kunnassa taas kaksi. Kappaleen loppupuolella käytetään suurimman yhteisentekijän käsitettä, joka oletetaan lukijalle ennestään tutuksi.

Määritelmä 1.14. Kunta on kolmikko (K,+, ·), missä pari (K,+) on Abelinryhmä eli yhteenlaskuoperaatio + on kommutatiivinen ryhmässä K. Lisäksialkioiden välillä on määritelty kertominen siten, että (K \{e(+)}, ·) on Abelinryhmä ja a · e(+) = e(+) · a = e(+) kaikilla a ∈ K. Lisäksi kaikilla joukon Kalkioilla a, b ja c pätevät näiden operaatioiden suhteen osittelulait

1. (a+ b) · c = (a · c) + (b · c) ja

2. a · (b+ c) = (a · b) + (a · c),

Ryhmä (K,+) on kunnan additiivinen ryhmä ja ryhmä (K \ {e(+)}, ·) onkunnan multiplikatiivinen ryhmä.

Kun väärinkäsityksen vaaraa ei ole, merkitään kolmikkoa (K,+, ·) ly-hyemmin K.

Kunnassa K on aina neutraalialkio sekä yhteenlaskun että kertomisensuhteen. Neutraalialkiota yhteenlaskun suhteen merkitään e(+) = 0 ja kutsu-taan nolla-alkioksi. Neutraalialkiota kertomisen suhteen merkitään e(·) = 1

ja kutsutaan ykkösalkioksi.Kaikilla kunnan nolla-alkiosta poikkeavilla alkioilla on olemassa kääntei-

salkio sekä yhteenlaskun että kertomisen suhteen. Alkion a käänteisalkiotayhteenlaskun suhteen kutsutaan vasta-alkioksi ja merkitään −a. Käänteisal-kiota kertomisen suhteen merkitään a−1.

Kunnan kaikilla alkioilla on kertaluku sekä yhteenlaskun että kertomisensuhteen. Kun siis jatkossa puhutaan kunnan alkion kertaluvusta, on kerrot-tava kummasta kertaluvusta on kyse.

Kunnan kaksi neutraalialkiota on syytä pitää tarkasti erillään. Tulee huo-mata esimerkiksi se, että 0+ 1 = 1 kun taas 0 · 1 = 0.

Huomautus. Jos alkiot a ja b kuuluvat kuntaan K, niin koska (K \{0}) onryhmä, on ab = 0 jos ja vain jos a = 0 tai b = 0.

Esimerkiksi (R,+, ·) eli reaalilukujen joukko yhdessä normaalien yhteen-ja kertolaskujen kanssa on kunta. Tämä on helposti todettavissa tarkasta-malla, että (R,+) ja (R \ {0}, ·) ovat ryhmiä, ja että määritelmän 1.14 osit-telulait ovat voimassa.

18

Esimerkki äärellisestä kunnasta on jäännösluokkien joukko Z5 ={[0], [1], [2], [3], [4]}. Yhteenlaskun ja kertomisen tiedetään olevan suljettuja,assosiatiivisia ja kommutatiivisia jäännösluokkien joukossa. Lisäksi vaaditutosittelulait pätevät. Neutraali- ja käänteisalkioiden löytymisen voi tarkistaataulukosta 2, johon on laskettu alkioiden väliset summat ja tulot.

+ [0] [1] [2] [3] [4]

[0] [0] [1] [2] [3] [4]

[1] [1] [2] [3] [4] [0]

[2] [2] [3] [4] [0] [1]

[3] [3] [4] [0] [1] [2]

[4] [4] [0] [1] [2] [3]

· [0] [1] [2] [3] [4]

[0] [0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2] [3] [4]

[2] [0] [2] [4] [1] [3]

[3] [0] [3] [1] [4] [2]

[4] [0] [4] [3] [2] [1]

Taulukko 2: Joukon Z5 alkioiden väliset tulot ja summat.

Määritelmä 1.15. Kunnan K ykkösalkion 1 additiivista kertalukua kutsu-taan kunnan K karakteristikaksi ja merkitään charK. Jos siis charK = n,niin 1+ · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸

n kappaletta

= 0.

Lause 1.23. Olkoon K kunta, n sen karakteristika ja 0 6= a ∈ K. Nyt

(a) na = 0

(b) alkion a additiivinen kertaluku on n.

(c) karakteristika n on alkuluku.

Todistus. (ks. [5])

(a) Käyttämällä n− 1 kertaa osittelulakia (ac) + (bc) = (a+ b)c saadaan

(1a) + · · ·+ (1a)︸ ︷︷ ︸n kappaletta

=

1+ · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸n kappaletta

a.

Siten

na = a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸n kappaletta

= (1a) + · · ·+ (1a)︸ ︷︷ ︸n kappaletta

=

1+ · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸n kappaletta

a = 0a = 0.

19

(b) Kohdan (a) nojalla na = 0. Jos olisi ma = 0 jollakin luvulla m < n,niin

ma = a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸m kappaletta

= (1a) + · · ·+ (1a)︸ ︷︷ ︸m kappaletta

=

1+ · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸m kappaletta

a = (m1)a = 0,

ja koska a 6= 0, on m1 = 0, mikä on ristiriita karakteristikan määritel-män suhteen.

(c) Oletetaan, että kunnan K karakteristika n on yhdistetty luku, eli n =st joillakin luonnollisilla luvuilla 1 < t, s < n. Nyt karakteristikanmääritelmän nojalla s1 6= 0 ja t1 6= 0, joten koska (K \ {0}, ·) onryhmä, (s1)(t1) 6= 0. Tämä on ristiriita, sillä

(s1)(t1) =

1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸s kappaletta

1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸t kappaletta

=

1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸st kappaletta

= (st)1 = n1 = 0.

Tavoitteena on seuraavaksi osoittaa, että äärellisen kunnan kertaluku onaina muotoa pn, missä alkuluku p on kunnan karakteristika. Ensin osoitetaan,että jos alkuluku p jakaa Abelin ryhmän kertaluvun, ryhmässä on kertalukuap oleva alkio. Tämä vaatii hieman vaivaa ja pari apulausetta, mutta työpalkitaan: kunnan kertalukua koskevan lauseen todistaminen onnistuu hyvänpohjatyön jälkeen muutamassa rivissä.

Apulause 1.24. Jos a on ryhmän G alkio kertalukua n = mk, missä m,k ≥1, niin |ak| = m.

Todistus. Koska (ak)m = akm = an = e, on |ak| ≤ m. Kaikilla 1 ≤ s < m on(ak)s = aks, missä ks < km = n, joten (ak)s 6= e. Siis alkion ak kertaluku onm.

Apulause 1.25. Olkoon x Abelin ryhmän G alkio ja alkuluku p kertaluvun|G| tekijä. Jos on olemassa sellainen tekijäryhmän G/〈x〉 alkio y′, että |y′| =p, niin ryhmässä G on alkio, jonka kertaluku on luvun p monikerta.

Todistus. Koska G on Abelin ryhmä, on lauseen 1.12 nojalla 〈x〉 E G elitekijäryhmä G/〈x〉 on olemassa. Nyt alkio y′ = y〈x〉 jollakin ryhmän Galkiolla y. Alkio kuuluu aina itse määräämäänsä vasempaan sivuluokkaan,

20

joten jos ym = e, niin ym ∈ ym〈x〉 = e〈x〉 = 〈x〉. Alkion y kertaluvulle npätee siis yn〈x〉 = 〈x〉 eli (y〈x〉)n = 〈x〉. Huomataan, että tässä yhtälössäy〈x〉 = y′ on tekijäryhmän G/〈x〉 alkio ja 〈x〉 tekijäryhmän neutraalialkio.Siis koska |y′| = p, niin lauseen 1.6 nojalla (y〈x〉)n = 〈x〉 jos ja vain joskertaluku |y′| = p jakaa potenssin n. On siis osoitettu, että alkion y kertalukun on luvun p monikerta.

Lause 1.26. Olkoon G äärellinen Abelin ryhmä ja p alkuluku, joka jakaaryhmän kertaluvun |G|. Tällöin ryhmässä G on alkio, jonka kertaluku on p.

Todistus. (ks. [3], s.73) Olkoon ryhmän G kertaluku |G| = pm, missä m ≥ 1.Todistetaan lause induktiolla luvun m suhteen.

1. Olkoon ensin m = 1. Nyt |G| = p, eli lauseen 1.14 nojalla ryhmä G onsyklinen ja tällöin sen generaattorin kertaluku on p.

2. Tehdään induktio-oletus: Aina jos |G| = pm, missä m < m′, niin ryh-mässä G on kertalukua p oleva alkio.

3. Olkoon nyt |G| = pm′ ja x ryhmän G alkio, jolla |x| > 1. Tarkastellaanerikseen tapaukset p

∣∣ |x| ja p - |x|:(a) Jos p

∣∣ |x|, niin |x| = np jollakin n ∈ Z+ ja apulauseen 1.24 nojalla|xn| = p. Tällöin lause on todistettu.

(b) Olkoon p - |x|. Koska G on Abelin ryhmä, niin lauseen 1.12 nojalla〈x〉EG ja siten tekijäryhmä G/〈x〉 on olemassa. Lisäksi G/〈x〉 onAbelin ryhmä, jonka kertaluku |G|/|x| = pn jollakin luonnollisel-la luvulla n < m′. Induktio-oletuksen perusteella tekijäryhmässäG/〈x〉 on nyt alkio y′, jonka kertaluku on p. Täten apulauseen 1.25nojalla ryhmässä G on alkio y, jonka kertaluku |y| = qp jollakinq ∈ Z+. Näin ollen todistus palaa tapaukseen (a), joten lause ontodistettu.

Lause 1.27. Äärellisen kunnan K kertaluku |K| = pn, missä alkuluku p onkunnan karakteristika ja n ∈ Z+.

Todistus. (ks. [5], s.16) Olkoon charK = p. Lauseen 1.23 nojalla p on alkulu-ku ja kaikkien kunnan alkioiden a 6= 0 additiivinen kertaluku on p. Tehdäänvastaoletus, eli olkoon olemassa sellainen alkuluku q 6= p, että q

∣∣ |K|. Nytlauseen 1.26 nojalla kunnan additiivisessa ryhmässä (K,+) on alkio b, jonkaadditiivinen kertaluku on q 6= p, mikä on ristiriita. Siis ainoa alkuluku, jokajakaa kertaluvun |K|, on p, eli |K| = pn jollakin n ∈ Z+.

21

1.4 Homomor�smit

Tässä kappaleessa esitellään suppeasti homomor�set ja isomor�set kuvauk-set. Tämä tehdään, jotta voitaisiin määritellä, milloin kaksi kuntaa ovat ra-kenteeltaan yhtäläiset eli isomor�set. Lopuksi osoitetaan, että samaa kerta-lukua olevat kunnat, joiden kertaluku on alkuluku, ovat keskenään isomor-�sia eli rakenteeltaan yhtäläisiä. Homomor�smien yksinkertaisistakaan omi-naisuuksista ei esitellä muita kuin ne, joita tullaan jatkossa tarvitsemaan.

Määritelmä 1.16. Olkoon joukossa A määritelty binäärioperaatio (·) jajoukossa A′ binäärioperaatio (�). Kuvausta f : A→ A′ sanotaan homomor-

�smiksi, mikäli kaikilla a, b ∈ A on f(a · b) = f(a) � f(b). Homomor�smia,joka on bijektio, sanotaan isomor�smiksi.

Määritelmä 1.17. Homomor�smi f ryhmältä (A, ·) ryhmälle (A′,�) onryhmähomomor�smi. Mikäli f on isomor�smi, se on ryhmäisomor�smi.

Jos on olemassa isomor�smi ryhmältä A ryhmälle A′, sanotaan ryhmienolevan keskenään isomor�set eli rakenneyhtäläiset, merkitään A ∼= A′.

Lause 1.28. Jos kuvaus f ryhmältä (A, ·) ryhmälle (A′,�) on ryhmähomo-mor�smi, niin

(a) f säilyttää neutraalialkion.

(b) kaikilla a ∈ A on f(a−1) = f(a)−1.

Todistus. (a) Merkitään ryhmän A neutraalialkiota e ja ryhmän A′ neut-raalialkiota e′. Homomor�smin ja neutraalialkion määritelmien perus-teella kaikilla a ∈ A on f(a) � f(e) = f(a · e) = f(a). Operoimallavasemmalta puolelta alkiolla f(a)−1 saadaan f(e) = e′ eli kuvaus fsäilyttää neutraalialkion.

(b) Kohdan (a) perusteella millä tahansa a ∈ A on e′ = f(e) = f(a · a−1)= f(a) � f(a−1) ja samoin e′ = f(a−1) � f(a). Näin ollen f(a−1) onalkion f(a) ∈ A′ käänteisalkio eli f(a−1) = f(a)−1.

Huomautus. Isomor�set ryhmät ovat nimensä mukaisesti rakenteeltaan yh-täläisiä, toisin sanoen ne ovat alkioiden nimeämistä vaille samat. Tämänvuoksi rakenneyhtäläiset ryhmät voidaan samaistaa.

Määritelmä 1.18. Olkoot (K,+, ·) ja (K ′,⊕,�) kuntia. Kuvausta f : K →K ′ sanotaan kuntahomomor�smiksi, mikäli kaikilla a, b ∈ K on

• f(a · b) = f(a)� f(b)

22

• f(a+ b) = f(a)⊕ f(b)Bijektiivistä kuntahomomor�smia f sanotaan kuntaisomor�smiksi. Mikäli onolemassa kuntaisomor�smi kunnalta K kunnalle K ′, kunnat ovat keskenäänisomor�set eli rakenneyhtäläiset ja merkitään K ∼= K ′.

Kuntahomomor�smi on ryhmähomomor�smi sekä kuntien additiivistenryhmien että multiplikatiivisten ryhmien välillä. Kuntahomomor�smi siissäilyttää sekä kunnan nolla- että ykkösalkiot. Lisäksi kaikilla a ∈ A onf(−a) = −f(a) ja f(a−1) = f(a)−1. Samoin kuin rakenneyhtäläiset ryh-mät, voidaan rakenneyhtäläiset kunnat samaistaa.

Huomautus. Usein on tapana määritellä kuntahomomor�smin sijaan ren-

gashomomor�smi. Rengas on kuntaa muistuttava rakenne, jossa kertomisenei kuitenkaan tarvitse olla kommutatiivinen operaatio eikä alkioilla tarvit-se olla käänteisalkioita kertomisen suhteen. Tässä työssä ei tarvita sellaisiarenkaita, jotka eivät olisi myös kuntia, joten homo- ja isomor�smit on käy-tännöllisempää määritellä suoraan kunnille.

Lause 1.29. Jos (K,+, ·) ja (K ′,⊕,�) ovat kuntia, joiden kertaluku onalkuluku p, niin K ∼= K ′.

Todistus. Lauseen 1.23 nojalla molempien kuntien karakteristika on p. Näinollen kuntien ykkösalkiot 1 ja 1′ generoivat kuntien additiiviset ryhmät (K,+)ja (K ′,⊕). Kunnan K kaikki alkiot ovat siis muotoa n1 ja kunnan K ′ alkiotmuotoa n1′ jollakin n ∈ N. Olkoon kuvaus f : K → K ′ sellainen, ettäf(n1) = n1′ kaikilla n ∈ N. Osoitetaan, että tällöin kuvaus f on kuntaiso-mor�smi.

Olkoot a, b ∈ K. Nyt a = n1 ja b = m1 joillakin n,m ∈ N, joten

f(a+ b) = f(n1+m1) = f((n+m)1) = (n+m)1′

= n1′ +m1′ = f(n1) + f(m1) = f(a) + f(b).

Käyttämällä kunnan osittelulakeja a(b+ c) = ab+ac ja (a+ b)c = ac+ bctoistuvasti saadaan

n1 ·m1 = (1+ · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸n kpl

) · (1+ · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸m kpl

)

= (1+ · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸m kpl

) + · · ·+ (1+ · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸m kpl

)

︸ ︷︷ ︸n kpl

= 1+ · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸nm kpl

= (nm)1.

23

Sama pätee myös kunnan K ′ ykkösalkiolle 1′. Näin ollen on

f(a · b) = f(n1 ·m1) = f ((nm)1) = (nm)1′ = n1′ �m1′

= f(n1)� f(m1) = f(a)� f(b).

Näin on osoitettu, että kuvaus f on kuntahomomor�smi. On osoitettavavielä, että se on bijektio.

Olkoon f(a) = f(b) ∈ K ′ eli f(n1) = f(m1). Nyt siis n1′ = m1′ elilauseen 1.6 nojalla p | (n−m). Saman lauseen nojalla on siis myös n1 = m1eli a = b. Näin ollen kuvaus f on injektio.

Olkoon sitten c ∈ K ′ mielivaltainen. Nyt c = q1′ jollakin q ∈ N. Alkioq1 ∈ K ja f(q1) = q1′ = c eli on osoitettu, että kuvaus f on surjektio.

Nyt on osoitettu, että kuvaus f on bijektiivinen homomor�smi eli isomor-�smi. Näin ollen kunnat K ja K ′ ovat keskenään isomor�set.

Jatkossa kunnan K kertaluvun ollessa alkuluku p merkitään kunnan al-kioita K = {0,1, 2, · · · , p− 1}. Kullakin luvulla n on tässä merkitty kunnanalkiota n1. Näillä kunnan alkioilla lasketaan kuten jäännösluokilla.

1.5 Polynomeista

Esitiedoista viimeisimpänä tutustutaan hieman polynomeihin. Käyttöön tah-dotaan saada tulos, jonka mukaan astetta n ∈ N olevalla polynomilla on kor-keintaan n toisistaan eroavaa nollakohtaa. Kyseistä tulosta tarvitaan lauseen6.4 todistuksessa. Lukija, jolle tämä polynomien ominaisuus on tuttu, voihuoletta siirtyä lukuun 2.

Määritelmä 1.19. Kun K on kunta, sanotaan polynomeiksi joukon

K[x] = {anxn + · · ·+ a1x+ a0 : n ≥ 0, ai ∈ K, an 6= 0}

alkioita.

Suurin polynomissa f(x) ∈ K[x] esiintyvä tuntemattoman x potenssi onpolynomin aste, jota merkitään deg f(x). Vakiopolynomin c 6= 0 aste on siisnolla. Määritellään lisäksi, että nollapolynomin aste on deg 0 = −∞.

Huomautus. Se, kuinka polynomien summat ja tulot muodostetaan, seuraasuoraan tavasta, jolla lasketaan kunnan K alkioilla. Joukko K[x] on suljettupolynomien yhteenlaskun ja kertomisen suhteen, sillä polynomien tulot jasummat ovat edelleen polynomeja.

24

Jos f(x), g(x) ∈ K[x] \ {0}, on helppo huomata, että deg (f(x)g(x)) =deg f(x)+deg g(x) ja deg (f(x) + g(x)) ≤ max{deg f(x), deg g(x)}. Nollapo-lynomin aste on määritelty olemaan −∞, jotta tämä pätisi myös nollapoly-nomille. Mielivaltaisen polynomin f(x) ∈ K[x] aste on joko n ∈ N tai −∞ja kaikilla n ∈ N on n − ∞ = −∞ −∞ = −∞. Näin ollen tulon f(x) · 0asteeksi saadaan

deg(f(x) · 0) = deg 0 = −∞ = deg f(x)−∞ = deg f(x) + deg 0.

Koska f(x) + 0 = f(x), seuraa määrittelystä deg 0 = −∞ selvästi myösdeg (f(x) + 0) = deg f(x) = max{deg f(x), deg 0}.

Lause 1.30. Olkoon K kunta, f(x), g(x) ∈ K[x] ja g(x) 6= 0. Tällöin on ole-massa sellaiset joukon K[x] polynomit q(x) ja r(x), että deg r(x) < deg g(x)ja f(x) = q(x)g(x) + r(x).

Todistus. (ks. [5]) Olkoot f(x), g(x) ∈ K[x] ja g(x) 6= 0. Tarkastellaan jouk-koa

S = {f(x)− s(x)g(x) : s(x) ∈ K[x]}.Selvästi S ⊆ K[x] ja S 6= ∅. Olkoon r(x) ∈ S polynomi, jonka aste onmahdollisimman pieni. Nyt r(x) = f(x) − q(x)g(x) jollakin q(x) ∈ K[x] elif(x) = q(x)g(x) + r(x).

On osoitettava enää, että deg r(x) < deg g(x). Tehdään tämä vastaole-tuksen avulla eli oletetaan, että deg r(x) ≥ deg g(x). Merkitään

r(x) = rnxn + · · ·+ r0 rn 6= 0

g(x) = gmxm + · · ·+ g0 gm 6= 0,

missä vastaoletuksen perusteella on n ≥ m. Nyt k(x) = g−1m rnxn−m ∈ K[x].

Avaamalla hieman joukon K[x] polynomia t(x) = r(x)− k(x)g(x) nähdään,että

t(x) = (rnxn + · · ·+ r0)− (g−1m rnx

n−m)(gmxm + · · ·+ g0)

= (rnxn + · · ·+ r0)− (rnx

n + · · ·+ g−1m rng0xn−m),

joten termi rnxn supistuu ja siten deg t(x) < n = deg r(x).

Toisaalta

t(x) = r(x)− k(x)g(x)= (f(x)− q(x)g(x))− k(x)g(x)= f(x)− ((q(x) + k(x))g(x)),

25

joten t(x) ∈ S. Tämä on ristiriita, koska polynomi r(x) valittiin joukostaS siten, että sen aste on mahdollisimman pieni. Koska saatiin ristiriita, onvastaoletus deg r(x) ≥ deg g(x) epätosi, eli deg r(x) < deg g(x).

Määritelmä 1.20. Mikäli f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 ∈ K[x] ja α on

kunnan K sellainen alkio, että

f(α) = anαn + · · ·+ a1α + a0 = 0,

niin α on polynomin f(x) nollakohta kunnassa K.

Jos f(x) = q(x)g(x) joillakin q(x), g(x) ∈ K[x], g(x) 6= 0, niin polynoming(x) sanotaan jakavan polynomin f(x), merkitään g(x)

∣∣ f(x).Lause 1.31. Alkio α ∈ K on polynomin f(x) ∈ K[x] nollakohta jos ja vainjos (x− α) | f(x).

Todistus. (ks. [5]) Oletetaan ensin, että (x − α) | f(x). Nyt siis f(x) =q(x)(x− α) jollakin q(x) ∈ K[x]. Siis

f(α) = q(α)(α− α) = q(α)0 = 0.

Olkoon sitten f(α) = 0. Lauseen 1.30 perusteella on olemassa sellai-set q(x) ja r(x) ∈ K[x], että f(x) = q(x)(x − α) + r(x) ja deg r(x) <deg (x− α) = 1. Siten r(x) on vakiopolynomi c ∈ K. Nyt f(α) = q(α)(α−α)+ c = c ja toisaalta oletuksen perusteella f(α) = 0. Siis c = 0 jotenf(x) = q(x)(x− α) eli (x− α) | f(x).

Seuraus 1.32. Astetta n olevalla polynomilla on korkeintaan n erisuurtanollakohtaa kunnassa K.

Todistus. Olkoon f(x) astetta n oleva joukonK[x] polynomi, jonka toisistaanpoikkeavat nollakohdat ovat x1, x2, . . . , xm. Nyt f(x) = (x− x1)g(x) jollaking(x) ∈ K[x]. Koska f(x2) = (x2 − x1)g(x2) = 0 ja x2 − x1 6= 0, on g(x2) = 0

eli g(x) = (x− x2)h(x) jollakin h(x) ∈ K[x]. Näin on saatu f(x) =(x− x1)(x− x2)h(x) ja samoin jatkamalla nähdään, että

t(x) = (x− x1)(x− x2) . . . (x− xm)

jakaa polynomin f(x). Siten m = deg t(x) ≤ deg f(x) = n eli erisuurianollakohtia on korkeintaan n kappaletta.

26

2 Lineaariset ryhmät

Tässä luvussa määritellään kolme erilaista lineaaristen ryhmien tyyppiä: ylei-nen, erityinen ja erityinen projektiivinen lineaarinen ryhmä. Kaksi ensim-mäistä lineaarista ryhmää ovat neliömatriisien muodostamia ryhmiä, joidenoperaationa on matriisien välinen kertolasku ja joissa matriisien sisältämätalkiot kuuluvat johonkin äärelliseen kuntaan K. Kolmas määriteltävä ryhmäon näistä jälkimmäisen eräs tekijäryhmä. Vaikka lineaariset ryhmät voidaanmääritellä m × m -matriiseille millä tahansa 2 ≤ m ∈ N, käsitellään tässävain 2× 2 -matriisien muodostamia lineaarisia ryhmiä.

Matriisien välisen kertolaskun oletetaan olevan lukijalle tuttu. Samointutuksi oletetaan determinantin käsite, sen laskeminen, identiteettimatriisinkäsite sekä seuraavat m × m -matriisien ja niiden determinanttien ominai-suudet:

• Matriisien A ja B tulon AB determinantti det (AB) on detA detB.

• Identiteettimatriisille Im×m pätee AI = IA = A kaikilla m×m-matriiseilla A.

• m × m-matriisilla A on olemassa käänteismatriisi A−1, jolla AA−1 =A−1A = I jos ja vain jos detA 6= 0

• Kaikilla m×m -matriiseilla A,B ja C on (AB)C = A(BC).

• Jos matriisin A alkiot kuuluvat kuntaan K, matriisi −A = −1A saa-daan korvaamalla kukin matriisin A alkio a ∈ K vasta-alkiollaan −a ∈K.

Edellisistä nähdään helposti, että jos A−1 on matriisin A käänteismatriisi,niin det (A−1) = (detA)−1.

2.1 Ryhmä GL(2, K)

Olkoon GL(2, K) joukko, johon kuuluvat kaikki 2 × 2 -matriisit, joiden al-kiot ovat äärellisestä kunnasta K ja joiden determinantti ei ole 0. TällöinGL(2, K) varustettuna matriisien kertolaskuoperaatiolla on ryhmä:

det I = det

(1 0

0 1

)= 11− 00 = 1 6= 0,

27

joten I ∈ GL(2, K). Matriisi I on ryhmän neutraalialkio, sillä AI = IA = Akaikilla A ∈ GL(2, K). Koska joukon määritelmän mukaan mielivaltaisenalkion A ∈ GL(2, K) determinantti ei ole nolla, on olemassa käänteismatriisiA−1. Lisäksi A−1 kuuluu joukkoon GL(2, K), sillä detA−1 = (detA)−1 6=0. Matriisien kertolaskun tiedetään olevan assosiatiivinen operaatio. Lisäksijoukko GL(2, K) on suljettu matriisien kertolaskun suhteen, sillä det (AB) =0 jos ja vain jos detA = 0 tai detB = 0.

Määritelmä 2.1. Ryhmä GL(2, K) on yleinen lineaarinen ryhmä astettakaksi. Sen operaatio on matriisien kertolasku ja siihen kuuluvat kaikki 2× 2-matriisit, joiden alkiot kuuluvat kuntaan K ja joiden determinantti ei ole 0.Jos kunnan K kertaluku on p, voidaan merkitä GL(2, K) = GL(2, p).

Lause 2.1. Jos kunnan K kertaluku on p, niin ryhmässä GL(2, K) on(p− 1)2p(p+ 1) alkiota.

Todistus. Olkoon A =

(a bc d

)∈ GL(2, K). On selvitettävä, kuinka monella

tapaa alkiot a, b, c ja d voidaan valita kunnasta K siten, että detA =ad− bc 6= 0. Tarkastellaan erikseen tapaukset ad = 0 ja ad 6= 0:

1. Jos ad = 0, niin joko a = 0 ja d ∈ K tai a ∈ K ja d = 0. Alkiot aja d voidaan siis valita 2p eri tavalla. Jotta tämän jälkeen ad− bc 6= 0

toteutuisi, on oltava bc 6= 0 eli b,c ∈ K \ {0}. Alkiot b ja c voidaansiis valita (p − 1)2 tavalla. Yhteensä alkioiden a,b,c ja d mahdollisiavalintoja on siis 2p(p− 1)2 kappaletta.

2. Jos ad 6= 0, niin a,d ∈ K \ {0}, eli alkiot a ja d voidaan valita (p− 1)2

eri tavalla. Jotta yhtälö ad − bc 6= 0 toteutuisi, on nyt oltava ad 6= bceli c 6= b−1ad. Alkio b voidaan siis valita vapaasti joukosta K, minkäjälkeen alkio c on valittava joukosta K \{b−1ad}. Mahdollisia alkioidenb ja c valintoja on siis yhteensä p(p− 1) kappaletta. Siten alkiot a,b, cja d voidaan valita yhteensä (p− 1)2p(p− 1) = (p− 1)3p tavalla.

Näistä tapauksista saadaan yhteensä

(2p)(p− 1)2 + (p− 1)3p = (p− 1)2p(2 + (p− 1)) = (p− 1)2p(p+ 1)

mahdollista valintaa matriisin A alkioille.

Tarkastellaan pienintä mahdollista yleistä lineaarista ryhmää, joka onGL(2, 2). Nyt matriisien alkiot kuuluvat kahden alkion kuntaan K = {0,1}.Juuri osoitetun lauseen mukaan ryhmässä on (2−1)2 ·2 ·3 = 6 alkiota. Jos jo-kainen matriisin neljästä alkiosta saisi olla kunnan kumpi tahansa alkio, olisi

28

mahdollisia matriiseja tällöinkin yhteensä vain 24 = 16 kappaletta. Tarkaste-lemalla ehtoa detA 6= 0 tai kirjaamalla mahdolliset 16 matriisia ja laskemallaniiden determinantit voidaan todeta, että ryhmän GL(2, 2) kertaluku tosiaanon kuusi ja että

GL(2, 2) =

{(1 0

0 1

),

(1 1

0 1

),

(1 0

1 1

),

(0 1

1 0

),

(0 1

1 1

),

(1 1

1 0

)}.

Merkitään samassa järjestyksessä ryhmän alkioita seuraavasti:

GL(2, 2) = {I, R, S, T, U, U 2}

Tutkitaan, millaisia ei-triviaaleja aliryhmiä ryhmällä GL(2, 2) on: Tode-taan ensin, että todellakin

UU =

(0 1

1 1

)(0 1

1 1

)=

(1 1

1 0

)= U2,

eli merkintä on järkevä. Koska U3 = I, on |U | = 3 ja 〈U〉 = {U,U2, I} = 〈U2〉.Matriiseilla R, S ja T on R2 = S2 = T 2 = I, eli näiden matriisien kertalukuon kaksi. Siten 〈R〉 = {I, R}, 〈S〉 = {I, S} ja 〈T 〉 = {I, T}.

Yksittäisten matriisien generoimia aliryhmiä on siis löydetty yhteensä nel-jä kappaletta, joista kolme on kertalukua kaksi ja yksi on kertalukua kolme.Näiden lisäksi ryhmällä GL(2, 2) ei ole muita ei-triviaaleja aliryhmiä; jos ni-mittäin H on ryhmän GL(2, 2) ei-triviaali aliryhmä, niin Lagrangen lauseen1.9 perusteella |H|

∣∣ 6 eli |H| ∈ {2, 3}. Näin ollen lauseen 1.14 perusteellaryhmä H on syklinen eli jokin aiemmin löydetyistä.

Selvitetään vielä ovatko löydetyt ryhmän GL(2, 2) aliryhmät normaaleja:Laskemalla on helppo todeta, että RS = U ja RT = U2. Kuitenkin SR = U2

ja TR = U ja siten

R〈S〉 = {R,U} 6= {R,U2} = 〈S〉R,S〈R〉 = {S, U2} 6= {S, U} = 〈R〉S ja

T 〈R〉 = {T, U} 6= {T, U2} = 〈R〉T ,

joten aliryhmät 〈R〉, 〈S〉 ja 〈T 〉 eivät ole normaaleja. Aliryhmä 〈U〉 sen si-jaan on normaali aliryhmä. Lauseen 1.19 perusteella nimittäin 〈U〉A on ryh-män GL(2, 2) kertalukua kolme oleva aliryhmä kaikilla A ∈ GL(2, 2). Kos-ka 〈U〉 on ryhmän GL(2, 2) ainut kertalukua kolme oleva aliryhmä, on siisA−1〈U〉A = 〈U〉 eli 〈U〉A = A〈U〉 kaikilla A ∈ GL(2, 2). Näin ollen 〈U〉 onnormaali aliryhmä.

29

2.2 Ryhmä SL(2, K)

Tiedetään, että matriisien A ja B determinanteille pätee detA detB =det (AB). Siten kaikkien sellaisten 2 × 2 -matriisien joukko, joiden alkiotovat äärellisestä kunnasta K ja joiden determinantti on 1, on suljettu mat-riisien kertolaskun suhteen. Merkitään tätä joukkoa SL(2, K). Koska 2 × 2-identiteettimatriisin determinantti on 1, kuuluu se tähän joukkoon. Myösjoukon jokaisen matriisin käänteismatriisi kuuluu joukkoon, sillä jos A ∈SL(2, K), niin

det (A−1) = (detA)−1 = 1−1 = 1.

Lisäksi matriisien kertolaskun tiedetään olevan assosiatiivinen, joten joukkoSL(2, K) varustettuna matriisien kertolaskulla on ryhmä.

Määritelmä 2.2. Ryhmä SL(2, K) on erityinen lineaarinen ryhmä astettakaksi. Sen operaationa on matriisien kertolasku ja siihen kuuluvat kaikkimatriisit, joiden alkiot ovat äärellisestä kunnasta K ja joiden determinanttion 1. Jos kunnan K kertaluku on p, voidaan merkitä SL(2, K) = SL(2, p).

Aiemmin tarkasteltiin pienintä mahdollista yleistä lineaarista ryhmääGL(2, 2). Koska detA ∈ K \ {0} kaikilla A ∈ GL(2, K), on ryhmän GL(2, 2)alkioiden determinantti 1. Näin ollen yleinen lineaarinen ryhmä GL(2, 2) onitseasiassa sama kuin erityinen lineaarinen ryhmä SL(2, 2). Kahden alkionkunta K on ainut tapaus, jossa tämä on totta. Jos nimittäin |K| > 2, on

kunnassa K alkio a, joka ei ole nolla- eikä ykkösalkio. Matriisi

(a 0

0 1

)kuu-

luu ryhmään GL(2, 2) ja sen determinantti on a 6= 1 eli se ei kuulu ryhmäänSL(2, 2). Jos kunnan K kertaluku on suurempi kuin kaksi, on SL(2, K) ryh-män GL(2, K) aito aliryhmä.

Lause 2.2. Jos kunnan K kertaluku on p, niin ryhmän SL(2, K) kertalukuon (p− 1)p(p+ 1).

Todistus. SL(2, K) on ryhmän GL(2, K) aliryhmä. Tarkastellaan sen vasem-pien sivuluokkien määrää. Olkoon A ∈ GL(2, K) ja detA = a ∈ K. Nytkaikki sivuluokan A(SL(2, K)) alkiot ovat muotoa AX, missä X ∈ SL(2, K)ja

det (AX) = detA detX = a1 = a.

Jos toisaalta detB = detA = a, niin

det (B−1A) = det (B−1) detA = (detB)−1 detA = a−1a = 1

30

eli alkio B−1A ∈ SL(2, K). Siten lauseen 1.8 perusteella on B(SL(2, K)) =A(SL(2, K)).

On osoitettu, että jokaista ryhmän GL(2, K) matriisien mahdollista de-terminanttia vastaa tasan yksi aliryhmän SL(2, K) vasen sivuluokka. Deter-minantit kuuluvat joukkoon K \{0} eli mahdollisia determinantteja on p−1kappaletta, joten tämä on myös aliryhmän SL(2, K) vasempien sivuluokkienlukumäärä. Siten Lagrangen lauseen 1.9 nojalla

|SL(2, K)| = |GL(2, K)|p− 1

=(p− 1)2p(p+ 1)

p− 1= (p− 1)p(p+ 1).

Määritellään ennen uutta esimerkkiä tärkeä mielenkiintomme kohde:

Määritelmä 2.3. Jos ryhmän G ainoat normaalit aliryhmät ovat {1} ja G,niin G on yksinkertainen ryhmä.

Seuraavien kappaleiden ajan tulemme olemaan kiinnostuneita siitä, ovat-ko tarkastelemamme ryhmät yksinkertaisia. Aiemmin ryhmästä GL(2, 2) löy-dettiin aito normaali aliryhmä 〈U〉. Tämän löydön vuoksi voidaan todeta, et-tä ryhmä GL(2, 2) ei ole yksinkertainen.

Tarkastellaan lyhyesti ryhmää SL(2, K) = SL(2, 3), jossa matriisien al-kiot ovat kunnasta K = {0,1, 2}. Tässä ryhmässä on lauseen 2.2 perusteella2 · 3 · 4 = 24 alkiota.

Meitä erityisesti kiinnostava kysymys ryhmän SL(2, 3) mahdollisesta yk-sinkertaisuudesta on ratkaistavissa ilman pitkiä tarinoita. Nimittäin matriisin

A =

(2 0

0 2

)∈ SL(2, 3) kertaluku on kaksi eli 〈A〉 = {A, I} ja A kommutoi

kaikkien 2× 2 -matriisien kanssa. Jos siis X ∈ SL(2, 3), niin

X〈A〉 = {XA,X} = {AX,X} = 〈A〉X.

Siten aliryhmä 〈A〉 on ei-triviaali normaali aliryhmä ja SL(2, 3) ei ole yksin-kertainen.

2.3 Ryhmä PSL(2, K)

Seuraavaksi tutustutaan kolmanteen ja meitä eniten kiinnostavaan lineaaris-ten ryhmien tyyppiin. Ennen kuin päästään asiaan, on kuitenkin tunnettavaryhmän keskuksen käsite.

31

Määritelmä 2.4. Ryhmän G keskus Z(G) on niiden ryhmän G alkioidenjoukko, jotka kommutoivat kaikkien ryhmän alkioiden kanssa. Siis Z(G) ={a ∈ G : ag = ga kaikilla g ∈ G}.

Huomautus. Selvästi ryhmän G keskus Z(G) on ryhmän G normaali ali-ryhmä.

Lause 2.3. Erityisen lineaarisen ryhmän SL(2, K) keskus on {I,−I}.

Todistus. (ks. [9]) Selvästi matriisit I ja −I kommutoivat kaikkien ryhmänSL(2, K) matriisien kanssa eli {I,−I} ⊆ Z(G).

Jos matriisi A =

(a bc d

)∈ Z(SL(2, K)), niin A kommutoi matriisien(

1 1

0 1

)ja

(1 0

1 1

)kanssa. Siis

(a bc d

)(1 1

0 1

)=

(1 1

0 1

)(a bc d

)ja(

a bc d

)(1 0

1 1

)=

(1 0

1 1

)(a bc d

).

Kun nämä tulot kerrotaan auki, saadaan(a a+ bc c+ d

)=

(a+ c b+ dc d

)ja

(a+ b bc+ d d

)=

(a b

a+ c b+ d

).

Näistä yhtälöistä nähdään, että c = b = 0 ja a = d. Siten A on muotoa(a 0

0 a

)ja koska A ∈ SL(2, K), on detA = 1, joten

detA = a2 = 1

⇔ a2 − 1 = 0

⇔ (a+ 1)(a− 1) = 0

⇔ a = 1 tai a = −1,

Siten ainoat ryhmän SL(2, K) keskukseen Z(SL(2, K)) kuuluvat matriisitovat I ja −I.

Huomautus. Mikäli kunnan K karakteristika on kaksi, on 1 = −1 ja I =−I, joten Z(SL(2, K)) = {I}. Tällöin ja vain tällöin keskuksen Z(SL(2, K))kertaluku on yksi. Jos karakteristika ei ole kaksi, on I 6= −I ja siten keskuksenkertaluku on kaksi.

32

Koska ryhmän keskus on ryhmän normaali aliryhmä, voidaan sen suhteenmuodostaa tekijäryhmä. Tekijäryhmä SL(2, K)/Z(SL(2, K)) on kolmas line-aaristen ryhmien tyyppi, jonka määrittelemme.

Määritelmä 2.5. Tekijäryhmä PSL(2, K) = SL(2, K)/Z(SL(2, K)) onprojektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä astetta kaksi.

Koska ryhmien SL(2, K) ja Z(SL(2, K)) kertaluku on tiedossa, tekijä-ryhmän PSL(2, K) kertaluku on näiden osamääränä laskettavissa. Jos siiskunnan karakteristika ei ole kaksi, on

|PSL(2, K)| = |SL(2, K)|/|Z(SL(2, K))| = (p− 1)p(p+ 1)/2.

Jos kunnan karakteristika on kaksi, todettiin keskuksen Z(SL(2, K)) olevankertalukua yksi ja siten |PSL(2, K)| = (p− 1)p(p+ 1).

Tässä vaiheessa voidaan todeta päässeemme asiaan. Seuraavissa kappa-leissa aiotaan nimittäin tarkastella ryhmien PSL(2, K) yksinkertaisuuttakunnan K eri kertaluvuilla. Ensin osoitetaan, että mikäli kunnan K ker-taluku on neljä, viisi tai seitsemän on ryhmä PSL(2, K) yksinkertainen. Nä-mä tapaukset eivät ole erityistapauksia; Kappaleessa 6 nimittäin osoitetaanjuhlallisesti, että PSL(2, K) on yksinkertainen ryhmä aina kun kunnan Kkertaluku on vähintään neljä.

33

3 Ryhmän PSL(2, 5) yksinkertaisuus

Tässä luvussa osoitetaan, että ryhmä PSL(2, 5) on yksinkertainen. Tärkeä-nä työvälineenä toimivat konjugointiluokat, joiden yhdisteitä normaalien ali-ryhmien tiedetään olevan (lause 1.22). Ennen kuin ryhdymme osoittamaanryhmän yksinkertaisuutta, todistamme erityisen kätevän tuloksen, joka aut-taa selvittämään alkion konjugaattien määrän eli sen määräämän konjugoin-tiluokan kertaluvun. Kyseinen lause tulee olemaan käytössä seuraavissakinluvuissa.

3.1 Apulauseita

Seuraavaksi esitellään kaksi työvälinettä, joiden avulla voidaan tehokkaastietsiä ryhmien PSL(2, K) normaaleja aliryhmiä. Ensimmäinen apulause eiehkä ensikatsauksella vaikuta erityisen mielenkiintoiselta. Siitä on kuitenkinsuuri hyöty, koska sen ansiosta jatkossa ei tarvitse juurikaan työskennellätekijäryhmän PSL(2, K) alkioiden kanssa. Apulauseessa osoitetaan ryhmänja tekijäryhmän normaaleille aliryhmille yhteys, jonka ansiosta saadaan siir-rettyä normaalien aliryhmien etsiminen tekijäryhmästä PSL(2, K) ryhmäänSL(2, K).

Lause 3.2 helpottaa konjugointiluokkien kertaluvun selvittämistä ja onjatkossa erityisen ahkerassa käytössä. Sen todistaminen onnistuu osoittamal-la erään kuvauksen olevan bijektio, minkä seurauksena äärellisissä lähtö- jamaalijoukoissa on yhtä monta alkiota. Bijektion määritelmä ja sen edellämainittu ominaisuus oletetaan lukijalle tutuiksi.

Apulause 3.1. Olkoon G äärellinen ryhmä. Nyt

N/Z(G)EG/Z(G)⇔ N EG ja Z(G) ⊆ N .

Todistus. Olkoon ensin N/Z(G)EG/Z(G). Koska tekijäryhmä N/Z(G) onolemassa, on Z(G) E N eli Z(G) ⊆ N . Olkoot alkiot g ∈ G ja n ∈ Nmielivaltaisia. Tällöin

gZ(G) = G1 ∈ G/Z(G),nZ(G) = N1 ∈ N/Z(G)

ja lauseen 1.11 perusteella G−11 N1G1 ∈ N/Z(G). Auki kirjoitettuna siis

(gZ(G))−1 (nZ(G)) (gZ(G))

=(g−1Z(G)

)(nZ(G)) (gZ(G))

=(g−1ng)Z(G) ∈ N/Z(G)

34

eli alkio g−1ng ∈ N ja siten lauseen 1.11 nojalla N EG.

Olkoon sitten N EG ja Z(G) ⊆ N . Selvästi Z(G)EN , joten tekijäryhmäN/Z(G) on olemassa. Olkoot N1 = nZ(G) ∈ N/Z(G) ja G1 = gZ(G) ∈G/Z(G) tekijäryhmien mielivaltaiset alkiot. Jälleen

G−11 N1G1 = (g−1ng)Z(G),

missä oletuksenNEG ja lauseen 1.11 perusteella g−1ng ∈ N . SiisG−11 N1G1 ∈N/Z(G) eli edelleen lausetta 1.11 käyttäen saadaan N/Z(G)EG/Z(G).

Kuvitelkaamme tässä vaiheessa itsemme aarrejahtiin saarelle, jonka ki-lometrien pituiselle hiekkarannalle on kätketty kalleuksia. Kätketyt aarteetovat konjugointiluokkia ja seuraava apulause on metallinpaljastin. Metallin-paljastimemme ansiosta meidän ei tarvitse kaivella rantahiekkaa summanmu-tikassa sieltä sun täältä. Toisin sanoen: meidän ei tarvitse luetella ryhmänalkioita ja laskeskella suuria määriä niiden konjugaatteja selvittääksemme,mitkä alkioista konjugoivat keskenään. Metallinpaljastin vain päälle (eli ryh-män alkio tarkasteluun) ja etsimään kätköpaikkaa, toisin sanoen konjugoin-tiluokan kertalukua. Tätä päivän pelastavaa välinettä varten tarvitaan yksiuusi määritelmä:

Määritelmä 3.1. Ryhmän G alkion a sentralisoija CG(a) on joukko{g ∈ G : ag = ga}.

On helppo todeta, että CG(a) on ryhmän G aliryhmä. Nyt olemme val-miita kaivamaan esiin kullanarvoisen apuvälineemme:

Lause 3.2. Alkion a konjugaattien lukumäärä äärellisessä ryhmässä G on|G|/|CG(a)|.

Todistus. (ks. [3], s.44) Merkitään lukemisen helpottamiseksi CG(a) = C.Merkitään lisäksi aliryhmän C vasempien sivuluokkien joukkoa {gC :g ∈ G} = G/C. Joukko G/C ei nyt ole tekijäryhmä, koska aliryhmän C nor-maalisuudesta ei ole tietoa.

Määritellään kuvaus f : aG → G/C siten, että f(ag) = gC. Osoitetaanensin, että kuvaus on hyvin määritelty, eli jos ag = ah niin gC = hC: olkoonag = ah. Nyt siis

g−1ag = h−1ah

⇔ g−1agh−1 = h−1a

⇔ a(gh−1) = (gh−1)a

⇔ gh−1 ∈ C,

35

eli lauseen 1.8 perusteella hC = gC. Siis kuvaus f on hyvin määritelty. Koskaäskeiset yhtälöt ovat keskenään yhtäpitäviä, nähdään samalla kertaa kuvauk-sen olevan injektio. Mielivaltaisille lähtöjoukon alkioille ag ja ah nimittäin ongC = hC eli f(ag) = f(ah) jos ja vain jos ag = ah.

On selvää, että kuvaus on surjektio, sillä mielivaltainen maalijoukon alkiogC on alkion ag kuva: f(ag) = gC.

Koska kuvaus on injektio ja surjektio, se on bijektio, joten äärelliset lähtö-ja maalijoukot ovat samaa kertalukua. Siis |aG| = [G : C] = |G|/|C|.

Tätä lausetta käytettäessä tulee tehtäväksi sentralisoijan kertaluvun sel-vittäminen. Tämä on huomattavasti helpompi tehtävä kuin konjugointiluo-kan kertaluvun löytäminen ilman tätä lausetta. Samaan tapaan kuin me-tallinpaljastimen kanssa käveleminen on helpompaa kuin sattumanvarainenhiekan kaiveleminen.

3.2 Ryhmän PSL(2, 5) yksinkertaisuuden osoittaminen

Tässä luvussa osoitetaan, että ryhmä PSL(2, 5) on yksinkertainen. Juonikulkee seuraavasti: on osoitettava, että ryhmällä PSL(2, 5) on ainoastaantriviaalit normaalit aliryhmät, jotka ovat Z(SL(2, 5)) ja se itse eli PSL(2, 5).Apulauseessa 3.1 osoitettiin, että tekijäryhmän PSL(2, 5) = SL(2, 5)/Z(SL(2, 5))normaaleista aliryhmistä saadaan tietoa tutkimalla ryhmän SL(2, 5) normaa-leja aliryhmiä.

Normaalien aliryhmien tiedetään olevan konjugointiluokkien yhdisteitä,minkä vuoksi aiomme lauseen 3.2 avulla selvittää kaikki ryhmän SL(2, 5)konjugointiluokat: jokaisen konjugointiluokan kertaluku tulee olemaan tie-dossa samoin kuin se, mitä kertalukua ovat konjugointiluokan alkiot. Kon-jugointiluokkia etsittäessä suurin osa työstä on itseasiassa sentralisoijan ker-taluvun selvittämistä. Sentralisoijaan päästään käsiksi avaamalla sen määri-telmä kussakin tapauksessa. Valitaan siis matriisi, jonka määräämää konju-gointiluokkaa halutaan tutkia, ja selvitetään, millaiset matriisit kuuluvat sensentralisoijaan eli kommutoivat sen kanssa.

Kaikkien konjugointiluokkien tiedetään löytyneen, kun niiden alkioidenyhteenlaskettu lukumäärä on ryhmän SL(2, 5) kertaluku. Tässä vaiheessatunnetaan konjugointiluokkien kertaluvut sekä konjugointiluokkiin kuuluvienalkioiden kertaluvut. Näiden avulla osoitetaan, ettei konjugointiluokkien yh-disteenä saada ryhmälle SL(2, 5) ei-triviaaleja normaaleja aliryhmiä. Tämäpäättää lauseen todistuksen.

36

Suunnitelma on selvä, olemme valmiina töihin!

Lause 3.3. Ryhmä PSL(2, 5) on yksinkertainen.

Todistus. Tässä tehty todistus seurailee J. F. Humphreysin kirjan A Coursein Group Theory todistusta (ks. [1] s.205-207). Kirjassa pois jätetyt välivai-heet on tässä avattu perusteellisesti.

Koska kunnan K kertaluku on alkuluku, tiedetään lauseen 1.29 perus-teella, kuinka kunnan K alkioilla {0,1, 2, 3, 4} lasketaan. Lukemisen helpot-tamiseksi merkitään SL(2, 5) = G, jolloin PSL(2, 5) = G/Z(G). Mielessäkannattaa pitää, että viiden alkion kunnassan 4 = −1 ja millä tahansa kun-nan alkiolla k on 4k = −k.

Ryhmä G/Z(G) on yksinkertainen, jos sillä on vain triviaalit normaalitaliryhmät Z(G) ja G/Z(G). Lauseen 3.1 mukaan N/Z(G) E G/Z(G) jos javain jos N EG ja Z(G) ⊆ N . Ryhmän G/Z(G) yksinkertaisuus voidaan siistodistaa osoittamalla, että ryhmän G ainoat joukon Z(G) sisältävät normaa-lit aliryhmät ovat Z(G) jaG, sillä tällöin lauseen 3.1 mukaan ryhmänG/Z(G)ainoat normaalit aliryhmät ovat Z(G)/Z(G) = {Z(G)} = {e{PSL(2,5)}} jaG/Z(G) = PSL(2, 5). Tämän tavoitteen saavuttamiseksi selvitetään ryh-män G konjugointiluokat.

Lauseen 2.2 nojalla ryhmän SL(2, 5) kertaluku on 6 · 5 · 4 = 120. Kunon löydetty niin monta toisistaan eroavaa konjugointiluokkaa, että niissä onalkioita yhteensä 120 kappaletta, tiedetään siis kaikkien konjugointiluokkienlöytyneen.

Yksinkertaisimmin selviävät konjugointiluokat {I} ja {−I}. Nämä ovatkonjugointiluokkia, koska matriisit I ja −I kommutoivat kaikkien ryhmän Gmatriisien kanssa ja siten

IG = {IA : A ∈ G} = {A−1IA : A ∈ G}= {A−1AI : A ∈ G} = {I : A ∈ G} = {I}

ja samoin saadaan (−I)G = {−I}. Merkitään näitä konjugointiluokkia K1 ={I} ja K2 = {−I}.

37

Konjugointiluokka K3 = TG =

(0 41 0

)G

Matriisi T =

(0 41 0

)kuuluu ryhmään G, sillä detT = 0 ·0−1 ·4 = −4 = 1.

Tarkastellaan matriisin T määräämää konjugointiluokkaa. Kuten suunnitel-tu, aloitetaan sentralisoijan CG(T ) kertaluvun selvittämisellä. SentralisoijaCG(T ) on joukko {A ∈ G : AT = TA}, joten tutkitaan, millaiset matriisitkommutoivat matriisin T kanssa.

Olkoon A =

(a bc d

)∈ G. Tällöin

AT = TA⇔(a bc d

)(0 41 0

)=

(0 41 0

)(a bc d

)⇔(b 4ad 4c

)=

(4c 4da b

)⇔

{a = d

b = 4c

Siis A =

(a 4cc a

), missä detA = a2 − 4c2 = 1 eli a2 + c2 = 1. Kunnan

K alkioiden neliöt ovat 02 = 0, 12 = 1, 22 = 4, 32 = 4 ja 42 = 1, jotenyhtälön ainoat ratkaisuparit (x, y), missä x, y ∈ K, ovat (0,1), (0, 4), (1,0)ja (4,0). Jokainen ratkaisupari vastaa tarkalleen yhtä sentralisoijan alkiota,joten |CG(T )| = 4 ja lauseen 3.2 avulla nähdään, että

|TG| = |G|/|CG(T )| = 120/4 = 30.

Lauseen 1.18 perusteella samassa konjugointiluokassa olevien alkioidenkertaluku on sama. Tämän ansioista tiedämme, että jos jonkin ryhmän Gmatriisin kertaluku on eri kuin matriisin T , sen on kuuluttava eri konjugoin-

tiluokkaan. Lasketaan matriisin T kertaluku: T 2 =

(−1 0

0 −1

)= −I eli

T 4 = (−I)2 = I ja matriisin T kertaluku on siis neljä.

Konjugointiluokka K4 = SG =

(0 1

4 4

)G

Matriisi S =

(0 1

4 4

)kuuluu ryhmään G, sillä detS = 0 ·4−1 ·4 = −4 = 1.

Tarkastellaan matriisin S määräämää konjugointiluokkaa. S2 =

(4 41 0

)ja

38

S3 =

(1 0

0 1

), joten |S| = 3 6= |T |. Näin ollen SG ja TG eivät ole sama kon-

jugointiluokka, joten tarkastelua kannattaa jatkaa.

Kuten edellä siirrytään tarkastelemaan sentralisoijaa CG(S). Tutkitaan

siis, mitä ryhmän G matriisille A =

(a bc d

)seuraa ehdosta AS = SA.

(a bc d

)(0 1

4 4

)=

(0 1

4 4

)(a bc d

)⇔(−b a− b−d c− d

)=

(c d

−a− c −b− d

),

joten matriisin A alkioiden on toteutettava yhtälöt−b = c

a− b = d

−d = −a− cc− d = −b− d

⇔

{−b = c

a− b = d.

Siis matriisi A on muotoa

(a b−b a− b

), missä

detA = a(a− b)− b(−b) = a2 + b2 − ab = 1.

Taulukkoon 3 on laskettu determinantin lausekkeen f(a, b) = a2 + b2 −ab arvoja alkioiden a ja b eri arvoilla. Yhtälön f(a, b) = 1 ratkaisemiseksiriittävät taulukkoon lasketut arvot, koska f(a, b) = f(b, a) kaikilla a, b ∈ K.

a = 0 1 2 3 4b = 0 0 1 4 4 1

1 1 3 2 32 4 2 23 4 34 1

Taulukko 3: lausekkeen f(a, b) = a2 + b2 − ab arvoja viiden alkion kunnassaK.

Taulukosta 3 nähdään, että yhtälön ratkaisuparit (x, y), x, y ∈ K ovat(0, 4), (0,1), (1,0), (4,0), (1,1) ja (4, 4). Jokainen ratkaisupari vastaa yhtä

39

sentralisoijan alkiota, joten sentralisoijan kertaluku on kuusi ja lauseen 3.2ansiosta tiedämme, että konjugointiluokan SG kertaluku on

|SG| = |SL(2, 5)||CG(S)|

=120

6= 20.

Konjugointiluokka K5 = (−S)G

Koska S ∈ G, on −S = −(0 14 4

)∈ G. Tarkastellaan matriisin −S määrää-

mää konjugointiluokkaa. Matriisin S aiemman tarkastelun perusteella tiede-tään, että Sn ei ole koskaan −I ja Sn = I tarkalleen silloin, kun luku n onmatriisin S kertaluvun kolme monikerta. Lisäksi matriisin −S potensseilleon

(−S)n =

{Sn, n parillinen

−(Sn), n pariton .

Pienin parillinen luvun kolme monikerta on kuusi, joten | − S| = 6. Kertalu-kunsa perusteella −S määrää aiemmista poikkeavan konjugointiluokan.

Matriisi A kuuluu alkion −S sentralisoijaan jos ja vain jos A(−S) =(−S)A eli AS = SA. Ehto on sama kuin alkion S sentralisoijan alkioille,joten CG(−S) = CG(S). Siten |CG(−S)| = 6 ja lauseesta 3.2 seuraa, ettämyös |(−S)G| = |SG| = 20.

Konjugointiluokka K6 = RG =

(1 1

0 1

)G

Matriisi R =

(1 1

0 1

)kuuluu ryhmään G, sillä detR = 1 · 1 − 1 · 0 = 1.

Tarkastellaan matriisin R määräämää konjugointiluokkaa. Matriisin R ker-talukua voidaan etsiä laskemalla vain parillisia potensseja. Jos nimittäin ker-taluku n on pariton, tulee se löydetyksi kun havaitaan, että Rn+1 = R. Nyt

R2 =

(1 20 1

). R4 =

(1 40 1

)ja R6 =

(1 1

0 1

)= R, joten R5 = I ja siten

|R| = 5. Alkio R määrää siis aiemmista poikkeavan konjugointiluokan.

40

Olkoon sitten A =

(a bc d

)∈ CG(R) eli AR = RA. Nyt

(a bc d

)(1 1

0 1

)=

(1 1

0 1

)(a bc d

)⇔(

a a+ bc c+ d

)=

(a+ c b+ dc d

),

mistä nähdään, että a = d

c = 0

b ∈ K.

Matriisi A on siis muotoa

(a b0 a

), missä detA = a2 = 1 eli a = 1 tai

a = −1 = 4. Alkio a voi siis saada kaksi ja alkio b viisi erilaista arvoa, jotensentralisoijan matriisin A alkiot voidaan valita yhteensä 2 · 5 = 10 toisistaaneroavalla tavalla. Näin ollen |CG(R)| = 10 ja lauseen 3.2 nojalla saadaankonjugointiluokan kertaluvuksi

|RG| = 120

10= 12.

Konjugointiluokka K7 = (R2)G

Tarkastellaan seuraavaksi matriisin R2 =

(1 20 1

)määräämää konjugointi-

luokkaa. Matriisi R2 kuuluu ryhmäänG, koska R ∈ G. Suurin työ on osoittaa,että R2 määrää eri konjugointiluokan kuin R. Konjugointiluokan kertaluvunselvittäminen on tämän jälkeen melko vaivatonta.

Selvästi 〈R2〉 ≤ 〈R〉, joten Lagrangen lauseen 1.9 perusteella|〈R2〉|

∣∣ |〈R〉| = 5. Siten |〈R2〉| ∈ {1, 5} ja koska 〈R2〉 6= {1}, on |〈R2〉| = 5.

Matriisi R2 voisi kertalukunsa puolesta kuulua samaan konjugointiluok-kaan kuin R. Näin ei kuitenkaa ole, sillä jos R2 olisi matriisin R konjugaat-

ti, olisi olemassa matriisi A =

(a bc d

)∈ SL(2, K), jolla A−1RA = R2 eli

41

RA = AR2. Tämä tarkoittaa, että(1 1

0 1

)(a bc d

)=

(a bc d

)(1 20 1

)⇔(

a+ c b+ dc d

)=

(a 2a+ bc 2c+ d

),

mistä nähdään, että b ∈ Kc = 0

d = 2a.

Matriisi A on siis muotoa

(a b0 2a

), missä detA = 2a2 = 1. Aiemmin on

todettu, että a2 ∈ {0,1, 4}, eli 2a2 ∈ {0, 2, 3}. Yhtälöllä 2a2 = 1 ei siis oleratkaisuja kunnassa K, eli ei ole olemassa matriisia A ∈ SL(2, K), jolla olisiRA = R2. Näin ollen R2 kuuluu eri konjugointiluokkaan kuin R.

Olkoon nyt matriisi B =

(q rs t

)∈ CG(R

2) eli BR2 = R2B. Tällöin(q rs t

)(1 20 1

)=

(1 20 1

)(q rs t

)⇔(

q 2q + rs 2s+ t

)=

(q + 2s r + 2ts t

),

mistä nähdään, että q = t

s = 0

r ∈ K.

Tämä ehto on yhtenevä matriisin R tapauksessa saadun ehdon kanssa, jotenCG(R

2) = CG(R) ja siten |CG(R2)| = |CG(R)| = 10. Lauseen 3.2 nojalla nyt

on myös|(R2)G| = |RG| = 12.

Konjugointiluokka K8 = (−R)G

Samoin kuin aiemmin matriisin −S tapauksessa voidaan päätellä, että mat-riisin −R kertaluku on 2|R| = 10. Siten −R määrää aikaisemmista poik-keavan konjugointiluokan. Edelleen samoin kuin alkion −S tapauksessa ovat

42

alkion ja vasta-alkion sentralisoijat samat eli CG(−R) = CG(R). Siten|CG(−R)| = |CG(R)| = 10 ja jälleen lauseen 3.2 perusteella |(−R)G| =|RG| = 12.

Konjugointiluokka K9 = ((−R)2)G

Samoin perustein kuin edellisissä tapauksissa on matriisin (−R)2 kertaluku|(−R)2| = 2|R2| = 10. Aiemmin on todettu myös, että alkion ja vasta-alkionsentralisoijat ovat samat. Näin ollen myös sentralisoijien kertaluvut ovat sa-mat, eli lauseesta 3.2 seuraa, että

|((−R)2

)G | = |(R2)G| = 12.

Nyt |(−R)2| = | − R| ja | ((−R)2)G | = | (−R)G |, joten on tarkistettava,ettei kyseessä ole sama konjugointiluokka eli K9 = K8. Jos näin olisi, löytyisisellainen matriisi A ∈ SL(2, K), että A−1(−R)A = −R2 eli A−1RA = R2.Tätä ehtoa tutkittiin edellä, tarkistettaessa etteivät konjugointiluokat K6 jaK7 ole samat, ja ehdosta havaittiin seuraavan ristiriita. Näin ollen tällaistamatriisia A ei ole olemassa eli matriisit −R ja (−R)2 eivät kuulu samaankonjugointiluokkaan eivätkä konjugointiluokat K9 ja K8 siis ole samat.

Yhteenveto konjugointiluokista ja todistuksen päätös

Alla olevaan taulukkoon 4 on koottu löydetyt konjugointiluokat, niiden ker-taluvut ja niissä olevien alkioiden kertaluvut. Koska konjugointiluokissa onyhteensä 120 alkiota, tiedetään kaikkien konjugointiluokkien löytyneen.

Nyt Z(G) = {I,−I} = K1 ∪K2. Olkoon N sellainen ryhmän G normaa-li aliryhmä, että Z(G) < N . Osoitetaan, että tällöin N = G. Tarkastellaanerikseen kaksi tapausta sen mukaan sisältääkö N kertalukua viisi olevan al-kion:

Oletetaan ensin, että aliryhmä N ei sisällä kertalukua viisi olevaa alkiota.Tällöin se ei sisällä myöskään kertalukua 10 olevaa alkiota, sillä jos B ∈ N ja|B| = 10, niin myös B2 ∈ N ja |B2| = 5. Ryhmään N ei nyt sisälly yhtäkäänkonjugointiluokistaK6,K7,K8 jaK9. Keskus Z(G) = K1∪K2 sisältyy aidostialiryhmään N , minkä lisäksi jäljelle jäävät konjugointiluokat K3, K4 ja K5.Näiden kertalukuja tarkastelemalla nähdään helposti, ettei niiden yhdisteenäsaada joukkoa, jonka kertaluku jakaisi ryhmän G kertaluvun. Näin ollen Nei voi olla ryhmän G aliryhmä, mikä on ristiriita.

Oletetaan siis, että aliryhmä N sisältää kertalukua viisi olevan alkion M .Nyt M ∈ RG tai M ∈ (R2)G.

43

Ki |Ki|alkioidenkertaluku

K1 = IG 1 1

K2 = (−I)G 1 2

K3 = TG 30 4

K4 = SG 20 3

K5 = (−S)G 20 6

K6 = RG 12 5

K7 = (R2)G 12 5

K8 = (−R)G 12 10

K9 = ((−R)2)G 12 10

Yhteensä 120

Taulukko 4: Yhteenveto ryhmän SL(2, 5) konjugointiluokista.

Lauseen 1.11 perusteella kaikki normaaliin aliryhmään kuuluvan matriisinkonjugaatit kuuluvat kyseiseen normaaliin aliryhmään. Jos M ∈ RG, niinmatriisi R on matriisin M konjugaatti ja näin ollen R ∈ N . Koska −I ∈Z(G) ⊂ N , seuraa ryhmän ominaisuuksista, että myös matriisit R2, −R ja−(R2) sekä niiden määräämät konjugointiluokat K6, K7, K8 ja K9 kuuluvataliryhmään N .

Jos taas M ∈ (R2)G, niin R2 on matriisin M konjugaatti ja kuuluu sitenaliryhmään N . Tästä seuraa, että (R2)3 = R6 = R ∈ N eli jälleen konjugoin-tiluokat K6, K7, K8 ja K9 kuuluvat aliryhmään N .

Nyt tiedetään, että ryhmän G keskuksen K1 ∪ K2 lisäksi ainakin kon-jugointiluokat K6, K7, K8 ja K9 sisältyvät aliryhmään N . Siten |N | ≥ 50.Koska loppujen ryhmän G konjugointiluokkien kertaluku on suurempi kuinkymmenen, on |N | 6= 60. Siten |N | voi jakaa kertaluvun |G| = 120 vain jos|N | = |G| eli N = G.

Näin on osoitettu, että ryhmän G = SL(2, 5) ainoat normaalit aliryhmät,joihin Z(G) sisältyy, ovat {I,−I} = Z(G) ja G itse. Näin ollen apulauseen3.1 perusteella ryhmän PSL(2, 5) ainoat normaalit aliryhmät ovat {Z(G)}ja PSL(2, 5). Siten ryhmä PSL(2, 5) on yksinkertainen.

44

4 Ryhmän PSL(2, 4) yksinkertaisuus

Tässä luvussa osoitetaan konjugointiluokkien avulla ryhmän PSL(2, 4) yk-sinkertaisuus. Ennen varsinaista osoitusta tarkastellaan hieman neljän alkionkuntia ja osoitetaan, että ne ovat keskenään isomor�sia.

4.1 Kertalukua neljä oleva kunta

Neljän alkion kunnasta tekee mielenkiintoisen se, että kunnan kertaluku eiole alkuluku. Siksi neljän alkion kunnassa laskeminen eroaa viiden alkionkunnasta olennaisesti, nyt nimittäin karakteristika ei ole sama kuin kunnankertaluku.

Sudokuja täyttänyt lukija huomaa nopeasti, että ryhmän alkioiden väli-sistä operaatioista laaditut taulukot voidaan täyttää hieman sudokun tavoin.Se, että tämä näppärä tapa toimii, on seurausta lauseesta 1.2. Mielenkiinnos-ta asiaa kohtaan tarkastelemme tässä kuitenkin myös muita tapoja summienja tulojen selvittämiseen.

Lauseesta 1.27 seuraa, että kertalukua neljä olevan kunnan karakteris-tika on kaksi. Jos merkitsemme kuntamme alkioita aluksi K = {0,1, a, b},näemme karakteristikan avulla, että 1 + 1 = a + a = b + b = 0. Tämänvuoksi alkion lisääminen ja vähentäminen (eli vasta-alkion lisääminen) ovatneljän alkion kunnassa sama asia. Tämän tiedon ja neutraalialkioiden avul-la voidaan kunnan alkioiden välisten operaatioiden taulukoita täyttää melkopitkälle (ks. taulukko 5).

+ 0 1 a b0 0 1 a b1 1 0

a a 0

b b 0

· 0 1 a b0 0 0 0 0

1 0 1 a ba 0 ab 0 b

Taulukko 5: Kertalukua neljä olevan kunnan alkioiden välisiä summia ja tu-loja.

Entä summat a+1 ja b+1? Jos a+1 = 0, niin lisäämällä yhtälön molem-mille puolille alkio a saadaan a+a+1 = a ja kun muistetaan, että a+a = 0,päädytään yhtälöön 1 = a, mikä on ristiriita. Jos taas a + 1 = 1, saadaanristiriita a = 0 lisäämällä ykkösalkio yhtälön molemmille puolille. Kun niin

45

ikään yhtälöstä a + 1 = a seuraa ristiriita 1 = 0, on poissulkumenetelmälläosoitettu, että a+ 1 = b. Samalla tavalla voidaan osoittaa, että b+ 1 = a.

Summista ainoastaan a+ b on selvittämättä. Summa a+ b = 1, mikä voi-daan todeta monella eri tavalla. Samaan tapaan kuin edellä voidaan osoittaakaikkien muiden vaihtoehtojen johtavan ristiriitaan. Voidaan myös tarkastel-la sivuluokkaa a+K ja päätellä alkion a+ b arvo siitä, että a+K = K. Taivoidaan täyttää alkioiden summien taulukko saman kaltaisesti kuin sudokueli siten, että kunnan kaikki alkiot esiintyvät joka rivillä ja joka sarakkeessatarkalleen kerran.

Viimeisimpänä kuvaillulla "sudokutekniikalla"voidaan selvittää alkioidena2, b2 ja ab = ba arvot. Tarkasteltaessa alkion ab mahdollisia arvoja nähdäännimittäin taulukosta, että ab 6∈ {0, a, b} eli ab = ba = 1. Tämän tiedon avul-la ryhmätaulut saadaan täytettyä loppuun kuten taulukossa 6.

+ 0 1 a b0 0 1 a b1 1 0 b aa a b 0 1

b b a 1 0

· 0 1 a b0 0 0 0 0

1 0 1 a ba 0 a b 1

b 0 b 1 a

Taulukko 6: Loputkin kertalukua neljä olevan kunnan alkioiden väliset sum-mat ja tulot.

Nyt on huomattu, että a + 1 = a2 = b. Tämän tiedon valossa sovitaanjatkossa merkittävän kunnan alkioita K = {0,1, ω, ω2}. Näillä merkinnöilläalkioiden välisistä operaatioista saadaan taulukko 7.

+ 0 1 ω ω2

0 0 1 ω ω2

1 1 0 ω2 ωω ω ω2 0 1

ω2 ω2 ω 1 0

· 0 1 ω ω2

0 0 0 0 0

1 0 1 ω ω2

ω 0 ω ω2 1

ω2 0 ω2 1 ω

Taulukko 7: Kunnan K = {0,1, ω, ω2} alkioiden väliset operaatiot.

Huomionarvoista on se, että alkioiden väliset laskutoimitukset on selvitet-ty ainoastaan kunnan kertaluvun avulla. Tästä seuraa, että kertalukua neljä

46

olevat kunnat ovat keskenään rakenneyhtäläisiä eli alkioiden nimeämistä vail-le samoja. Jatkossa tullaan kertalukua neljä olevat kunnat samaistamaan japuhutaan ainoastaan yhdestä kunnasta, jonka alkiot ovat 0,1, ω ja ω2.

Kunnan kertaluvun ollessa alkuluku tiedetään, että sen alkioilla laskemi-nen toimii samoin kuin jäännösluokilla. Neljän alkion kunnassa tilanne onaivan toinen. Kappaleessa 1.1.1 tarkasteltiin jäännösluokkien joukon Z4 al-kioiden välisiä summia ja tuloja ja tehtiin näistä taulukot 1. Vertaamallataulukoita nyt laadittuihin nähdään, että ne poikkeavat toisistaan runsaasti.Summaoperaation suhteen sekä kunta K että joukko Z4 ovat ryhmiä, vaik-ka taulukot ovatkin erilaiset. Kertolaskun suhteen (K \ {0}, ·) on jo kun-nan määritelmän perusteella ryhmä, kun taas kappaleessa 1.1.1 nähtiin, että(Z4 \ {0}, ∗) ei ole.

4.2 Ryhmän PSL(2, 4) yksinkertaisuuden osoittaminen

Seuraavaksi osoitetaan ryhmän PSL(2, 4) yksinkertaisuus. Nyt on huomatta-va, että koska neljän alkion kunnan karakteristika on kaksi, on jokainen alkiooma vasta-alkionsa. Tämä tarkoittaa että myös 1 = −1 ja siten Z(SL(2, 4)) ={I}. Näin ollen PSL(2, 4) = SL(2, 4)/{I} ∼= SL(2, 4). Ryhmä SL(2, 4) koos-tuu omista alkioistaan ja ryhmä PSL(2, 4) näiden alkioiden muodostamistayhden alkion joukoista. Selvästi f : PSL(2, 4) → SL(2, 4) on isomor�smi,kun f({A}) = A kaikilla {A} = A{I} ∈ PSL(2, 4). Koska ryhmät ovat ra-kenteeltaan yhtäläiset, ne samaistetaan jatkossa.

Lause 4.1. Ryhmä PSL(2, 4) on yksinkertainen.

Todistus. Merkintöjen helpottamiseksi merkitsemme SL(2, 4) = G. On osoi-tettava, että ryhmän G ainoat normaalit aliryhmät ovat {I} ja G. Kutenedellisessä luvussa, tarkastellaan jälleen ryhmän G konjugointiluokkia. Jo-kainen normaali aliryhmä on niiden yhdiste.

Identiteettimatriisi I määrää oman konjugointiluokkansa {I} = K1. Tar-kastellaan matriisien

A =

(0 1

1 0

), B =

(ω 0

0 ω2

), C =

(1 ωω ω

)ja C2 =

(ω 1

1 0

),

määräämiä konjugointiluokkia.

47

Konjugointiluokka K2 = AG =

(0 1

1 0

)G

Tutkitaan alkion A =

(0 1

1 0

)määräämää konjugointiluokkaa. Nyt A2 =

I, joten |A| = 2. Jotta saataisiin tietää matriisin A konjugaattien määräryhmässä G, tarkastellaan matriisin A sentralisoijaa CG(A). Olkoon X =(a bc d

)∈ CG(A). Tällöin AX = XA eli

(0 1

1 0

)(a bc d

)=

(a bc d

)(0 1

1 0

)⇔(

c da b

)=

(b ad c

)⇔{c = b

a = d

SiisX =

(a bb a

), missä detX = a2+b2 = 1. Merkitään f(a, b) = a2+b2 ja

havaitaan, että f(a, b) = f(b, a). Taulukosta 8 nähdään, että yhtälön a2+b2 =1 ratkaisuparit (a, b), a, b ∈ K ovat (0,1), (1,0), (ω2, ω) ja (ω, ω2). Jokainenratkaisupari vastaa yhtä sentralisoijan CG(A) matriisia, joten |CG(A)| = 4 jasiten lauseen 3.2 perusteella |AG| = 60

4= 15.

a = 0 1 ω ω2

b = 0 0 1 ω2 ω1 0 ω ω2

ω 0 1

ω2 0

Taulukko 8: lausekkeen f(a, b) = a2 + b2 arvoja neljän alkion kunnassa K.

Konjugointiluokka K3 = BG =

(ω 0

0 ω2

)G

Selvitetään seuraavaksi, millaiseen konjugointiluokkaan kuuluu matriisi B =(ω 0

0 ω2

). Koska B2 =

(ω2 0

0 ω

)ja B3 =

(1 0

0 1

), on |B| = 3 ja siten B

48

kuuluu eri konjugointiluokkaan kuin A.

Tarkastellaan, millaiset matriisit kuuluvat sentralisoijaan CG(B). Olkoon

X =

(a bc d

)∈ CG(B) eli BX = XB. Nyt siis

(ω 0

0 ω2

)(a bc d

)=

(a bc d

)(ω 0

0 ω2

)⇔(

aω bωcω2 dω2

)=

(aω bω2

cω dω2

)⇔{

bω = bω2

cω2 = cω⇔ b = c = 0.

Näin ollen matriisi X on muotoa

(a 0

0 d

), missä detX = ad = 1. Tä-

män yhtälön ratkaisuparit (a, d) nähdään suoraan taulukosta 7 ja ne ovat(1,1), (ω, ω2) ja (ω2, ω). Koska jokainen ratkaisupari vastaa yhtä sentrali-soijan CG(B) matriisia, on |CG(B)| = 3. Siten matriisilla B on lauseen 3.2perusteella |BG| = |G|/|CG(B)| = 60/3 = 20 konjugaattia ryhmässä G.

Konjugointiluokka K4 = CG =

(1 ωω ω

)G

Tarkastellaan seuraavaksi matriisin C =

(1 ωω ω

)määräämää konjugointi-

luokkaa. Nyt

C2 =

(ω 1

1 0

), C4 =

(ω ωω 1

)ja C6 =

(1 ωω ω

)= C,

joten |C| = 5. Tiedetään siis, että C määrää aiemmista poikkeavan kon-jugointiluokan.

Jos matriisi X =

(a bc d

)kuuluu sentralisoijaan CG(C) eli CX = XC,

49

niin (1 ωω ω

)(a bc d

)=

(a bc d

)(1 ωω ω

)⇔(

a+ ωc b+ ωdaω + cω bω + dω

)=

(a+ bω aω + bωc+ dω cω + dω

).

Matriisit ovat samat jos ja vain jos b = c ja b+dω = aω+bω. Ratkaistaanyhtälöstä b+ dω = aω + bω alkio b:

b+ dω = aω + bω ‖ +dω + bω

⇔ b+ bω = aω + dω

⇔ b(1 + ω) = (a+ d)ω

⇔ bω2 = (a+ d)ω ‖ ·ω⇔ b = (a+ d)ω2

Nyt on selvitetty, että matriisi X on muotoa

(a (a+ d)ω2

(a+ d)ω2 d

),

missä

detX = ad+ ((a+ d)ω2)2

= ad+ ((a+ d)2ω)

= ad+ (a2 + 2ad+ d2)ω ‖ 2ad = 0

= ad+ (a2 + d2)ω = 1

Lausekkeen f(a, d) = ad+(a2+d2)ω arvoja on kirjattu taulukkoon 9. Kos-ka f(a, d) = f(d, a), yhtälön f(a, d) = 1 ratkaisemiseksi riittävät taulukkoonlasketut arvot.

a = 0 1 ω ω2

d = 0 0 ω 1 ω2

1 1 1 ωω ω2 ω2

ω2 ω

Taulukko 9: lausekkeen f(a, d) = ad+(a2+d2)ω arvoja neljän alkion kunnassaK.

Taulukosta 9 nähdään, että yhtälöllä detX = f(a, d) = 1 on viisi toisis-taan eroavaa ratkaisuparia (a, d). Siten |CG(C)| = 5 ja lauseen 3.2 perusteella|CG| = 60/5 = 12.

50

Konjugointiluokka K5 = (C2)G

Viimeisenä tutkitaan, millaisen konjugointiluokan määrää alkio C2 =

(ω 1

1 0

).

Tämän konjugointiluokan tarkastelu vaatii enemmän työtä kuin aiempien.Koska |〈C〉| = 5 ja selvästi 〈C2〉 ≤ 〈C〉, täytyy Lagrangen lauseen 1.9 nojallaaliryhmän 〈C2〉 kertaluvun jakaa luku viisi. Koska |〈C2〉| > 1, on kertalukusiis viisi ja siten 〈C2〉 = 〈C〉 eli |C2| = |C| = 5. Alkiot C ja C2 voisivat siiskertalukunsa puolesta kuulua samaan konjugointiluokkaan.

Osoitetaan, että (C2)G 6= CG

Tehdään vastaoletus eli oletetaan, että C2 ∈ CG. Nyt on siis olemassa sellai-

nen matriisi S =

(q rs t

)∈ G, että S−1CS = C2 eli CS = SC2. Kun tulot

CS ja SC2 kirjoitetaan auki, saadaan(q + ωs r + ωtωq + ωs ωr + ωt

)=

(ωq + r qωs+ t s

).

Jotta matriisit olisivat samat, on alkioiden q, r, s ja t toteutettava yhtälötq + ωs = ωq + r

r + ωt = q

ωq + ωs = ωs+ t

ωr + ωt = s

Poistamalla yhtälöiden molemmilla puolin esiintyvät termit ja sijoitta-malla ensimmäiseen ja kolmanteen yhtälöön q = r + ωt ja s = ωr + ωtsaadaan yhtälöpari{

(r + ωt) + ω(ωr + ωt) = ω(r + ωt) + r

ω(r + ωt) = t.

51

Alemmasta yhtälöstä saadaan

ω(r + ωt) = t

⇔ ωr + ω2t = t ‖ +ω2t

⇔ ωr = t+ ω2t

⇔ ωr = (1+ ω2)t

⇔ ωr = ωt

⇔ r = t,

mikä vie tilannetta huomattavasti eteenpäin. Nyt nimittäin ylemmästä yh-tälöstä saadaan runsaalla mutta helpolla sieventämisellä

(r + ωr) + ω(ωr + ωr) = ω(r + ωr) + r ‖ ωr + ωr = 0

r + ωr = ωr + ω2r + r ‖ −r − ωr0 = ω2r

Tämä yhtälö toteutuu jos ja vain jos r = 0. Tästä seuraa, että myöst = r = 0 ja aiemmin saatujen alkioiden q ja s yhtälöiden perusteella myösq = s = 0. Matriisin S kaikki alkiot ovat siis nolla ja detS = 0, mikäon ristiriita, sillä S ∈ G. Ristiriita seurasi siitä oletuksesta, että C ja C2

kuuluvat samaan konjugointiluokkaan, joten on osoitettu, ettei näin ole.

Määrätään konjugointiluokan K5 = (C2)G kertaluku

Kun nyt ollaan varmistuttu siitä, että C2 määrää aiemmista poikkeavan kon-jugointiluokan, siirrytään selvittämään tämän konjugointiluokan kertalukua.

Olkoon A =

(a bc d

)∈ CG(C

2) eli AC2 = C2A. Nyt siis

(a bc d

)(ω 1

1 0

)=

(ω 1

1 0

)(a bc d

)⇔(

aω + b acω + d c

)=

(aω + c bω + da b

).

Nämä matriisit ovat samat jos ja vain jos b = c ja a = bω + d. Siten

matriisi A on muotoa

(bω + d bb d

), missä

detA = (bω + d)d− b2 = b2 + d2 + bdω = 1.

52

Lausekkeen g(b, d) = b2 + d2 + bdω arvoja on laskettu taulukkoon 13.Koska g(b, d) = g(d, b), riittävät taulukkoon lasketut arvot yhtälön g(b, d) =1 ratkaisujen löytämiseen.

b = 0 1 ω ω2

d = 0 0 1 ω2 ω1 ω 1 ωω 1 ω2

ω2 ω2

Taulukko 10: lausekkeen g(b, d) = b2+d2+bdω arvoja neljän alkion kunnassaK.

Taulukosta 13 nähdään, että yhtälön detA = g(b, d) = 1 viisi toisis-taan eroavaa ratkaisuparia kunnassa K ovat (1,0), (0,1), (ω,1), (1, ω) ja(ω, ω). Sijoittamalla nämä ratkaisuparit (b, d) matriisiin A nähdään sentra-lisoijan CG(C

2) sisältävän tasan viisi matriisia. Siten lauseen 3.2 perusteella|(C2)G| = 60/5 = 12.

Yhteenveto konjugointiluokista ja todistuksen päättäminen

Taulukkoon 11 on koottu löydetyt konjugointiluokat ja niiden kertaluvut.Olkoon nyt N ryhmän SL(2, 4) normaali aliryhmä ja Z(SL(2, 4)) = {I} =K1 < N . Normaalin aliryhmän N tiedetään olevan konjugointiluokkien yh-diste ja sen kertaluvun tiedetään jakavan ryhmän SL(2, 4) kertaluvun. Kon-jugointiluokkien kertalukuja tarkastelemalla nähdään, että aliryhmä N täyt-tää nämä ehdot vain jos N = SL(2, 4).

Näin on osoitettu, että ryhmän SL(2, 4) ainoat normaalit aliryhmät ovat{I} ja SL(2, 4). Aluksi todettiin, että koska Z(SL(2, 4)) = {I}, voidaanryhmät SL(2, 4) ja PSL(2, 4) samaistaa. Siten on osoitettu, että ryhmäPSL(2, 4) on yksinkertainen.

53

Ki |Ki|K1 = IG 1

K2 = AG 15

K3 = BG 20

K4 = CG 12

K5 = (C2)G 12

Yhteensä 60

Taulukko 11: Yhteenveto ryhmän SL(2, 4) konjugointiluokista.

5 Ryhmän PSL(2, 7) yksinkertaisuus

Tässä luvussa osoitetaan edellisten lukujen tapaan konjugointiluokkien avullaryhmän PSL(2, 7) yksinkertaisuus. Todistuksen juoni on sama kuin tapauk-sissa PSL(2, 5) ja PSL(2, 4). Koska menetelmät ovat jo tuttuja ja konjugoin-tiluokkia on aiempia tapauksia enemmän, ei välivaiheita tulla aukaisemaanyhtä tarkasti kuin edellisissä tapauksissa.

Ryhmän SL(2, 7) matriisien alkiot ovat nyt kunnasta, jonka kertalukuon alkuluku. Siten lauseen 1.29 perusteella kunnan alkioita voidaan merkitä{0,1, 2, 3, 4, 5, 6} ja niillä laskeminen toimii tuttuun tapaan kuten jäännös-luokilla Z7.

5.1 Huomioita ryhmän SL(2, 7) konjugointiluokkien mää-

rittämisestä

Välivaiheiden tarkan kirjaamisen sijaan avataan ennen konjugointiluokkienmäärittämistä hieman, kuinka työn eri vaiheissa on edetty:

Tarkasteltavien matriisien kuuluminen ryhmään SL(2, 7) todetaan jat-kossa ilman perusteluja. Lukija voi halutessaan tarkistaa asian laskemallamatriisin determinantin ja varmistumalla siitä, että se on 1.

Matriisien kertaluvut annetaan jatkossa ilman perusteluja. Kertaluku onselvitettävissä suoraviivaisesti laskemalla matriisin potensseja kunnes saa-daan ykkösmatriisi. Joidenkin vastaan tulevien matriisien kertaluku on jopaneljätoista. Jokaista potenssia ei kertaluvun selvittämiseksi ole tarpeen las-kea, sillä jos on laskettu esimerkiksi kolme ensimmäistä potenssia, riittääjatkossa joka neljännen potenssin laskeminen. Mikäli nimittäin jokin väliinjääneistä potensseista on ykkösmatriisi, havaitaan tämä siitä, että laskettupotenssi on sama kuin jokin kolmesta ensimmäisestä.

54

Kunkin matriisin tarkastelussa on tavoitteena selvittää, montako konju-gaattia sillä on ryhmässä SL(2, 7) eli mikä on sen konjugointiluokan kertalu-ku, johon kyseinen matriisi kuuluu. Lisäksi osoitetaan, että konjugointiluokkaon todella uusi eikä mikään aiemmin tarkastelluista. Kertaluvun selvittämi-sessä siirrytään suoraan selvittämään matriisin sentralisoijan kertalukua. Josmatriisi X kuuluu matriisin A sentralisoijaan, on sentralisoijan määritelmänperusteella XA = AX. Tämä ehto aukaistaan kussakin tapauksessa ja kos-ka matriisien XA ja AX alkioiden täytyy olla samat, saadaan ehdon kanssayhtäpitävä yhtälöryhmä. Yhtälöryhmän perusteella saadaan tietoa sentrali-soijan matriisin X muodosta.

Seuraavaksi otetaan kussakin tapauksessa avuksi se tieto, että detX = 1.Muodostuu yhtälö, jonka jokainen ratkaisu vastaa yhtä sentralisoijan CG(A)matriisia. Näin selviää sentralisoijan kertaluku, josta lauseen 3.2 perusteellasaadaan matriisin A konjugointiluokan kertaluku.

Mikäli aiemmin on löydetty konjugointiluokka, joka on samaa kertalu-kua ja jonka alkiot ovat samaa kertalukua kuin viimeisimpänä löydetyn, onmahdollista, että konjugointiluokat ovat samat. Tällaisessa tapauksessa onvarmistettava, ettei näin ole. Tällöin tehdään vastaoletus, eli mikäli tarkaste-lussa ovat matriisien A ja B määräämät konjugointiluokat, oletetaan löyty-vän sellainen matriisi Y ∈ SL(2, 7), että Y −1AY = B. Tämä on yhtäpitävääsen kanssa, että AY = Y B. Jälleen tarkastellaan tästä saatua yhtälöryhmääyhdessä ehdon detY = 1 kanssa ja toivotaan, että päädytään ristiriitaan.

Useiden konjugointiluokkien tapauksessa päädytään kahden muuttujanyhtälön f(x, y) = 1 ratkaisemiseen, missä x, y ∈ K. Muutamassa tapaukses-sa yhtälön ratkaisut löytyvät näppärimmin taulukoimalla lausekkeen f(x, y)arvoja. Taulukot löytyvät liitteestä A. Jos f(a, b) = f(b, a), on lausekkeenarvoista taulukoitu vain yhtälön ratkaisuun riittävä osa.

5.2 Ryhmän PSL(2, 7) yksinkertaisuuden osoittaminen

Tarinan pituuden vuoksi emme tällä kertaa muotoile ryhmän PSL(2, 7) yk-sinkertaisuuden osoittamista lauseeksi ja todistukseksi. Tämä ei olisi miele-kästä senkään vuoksi, että seuraavassa luvussa todistetaan ryhmän PSL(2, K)yksinkertaisuus yleisessä tapauksessa, jolloin tämän luvun tarkastelu on lop-putuloksensa puolesta turhaa. Seuraavaan tarkastelun arvo ei olekaan senlopputuloksessa vaan tavassa, jolla lopputulokseen päästään. Lukijan kan-nattaa suhtautua edessä olevaan tutkimusretkeen edistyneenä esimerkkinäkonjugointiluokkien potentiaalista.

Jatkossa merkitään seitsemän alkion kuntaa {0,1, 2, . . . , 6} yksinkertai-sesti K, lisäksi merkitsemme SL(2, 7) = G, jolloin PSL(2, 7) = G/Z(G).Ellei toisin mainita, ryhmän G mielivaltaisen matriisin X alkioita merkitään

55

(a bc d

), missä a, b, c, d ∈ K. Osoituksen aikana on hyvä pitää mielessä, että

kunnassa K on −6 = 1.Lauseen 2.2 nojalla ryhmässä G on 6 · 7 · 8 = 336 alkiota. Yksinkertai-

simmat konjugointiluokat ovat jälleen K1 = {I} ja K2 = {−I}. Molemmatkonjugointiluokat ovat kertalukua yksi, ja matriisien kertaluvut ovat |I| = 1ja | − I| = 2.

Konjugointiluokka K3 = AG =

(0 61 1

)G

Matriisi A =

(0 61 1

)kuuluu ryhmään G ja sen kertaluku on kuusi. Sentra-

lisoijan CG(A) alkiolle X saadaan nyt ehto AX = XA, josta aukaisemalla(−c −da+ c b+ d

)=

(b b− ad d− c

)⇔

{c = −bd = a− b.

Siis X =

(a b−b a− b

)ja detX = a2+ b2− ab. Taulukoimalla lausekkeen

a2 + b2− ab arvoja (ks. liite A taulukko 13) nähdään, että ratkaisupari (a, b)kuuluu joukkoon

{(0, 1), (0, 6), (1, 1), (6, 6), (1, 0), (6, 0)}.

Siten sentralisoijaan CG(A) kuuluu kuusi toisistaan eroavaa matriisia eli|CG(A)| = 6 ja |AG| = 336/6 = 56.

Konjugointiluokka K4 = (A2)G

Matriisi A2 =

(−1 −11 0

)kuuluu ryhmään G ja sen kertaluku on kolme.

Sentralisoijan CG(A2) alkiolle X seuraa ehdosta A2X = XA2, että(

−a− c −b− da b

)=

(b− a −ad− c −c

)⇔

{c = −bd = a− b.

Nämä ehdot ovat samat kuin sentralisoijalla CG(A), eli CG(A2) = CG(A).

Siis |CG(A2)| = 6 ja |(A2)G| = 56.

56

Konjugointiluokka K5 = BG =

(2 64 2

)G

Matriisi B =

(2 64 2

)kuuluu ryhmään G ja sen kertaluku on kahdeksan.

Sentralisoijan CG(B) alkiolle X saadaan nyt ehto BX = XB, josta aukaise-malla (

2a− c 2b− d4a+ 2c 4b+ 2d

)=

(2a+ 4b 6a+ 2b2c+ 4d 6c+ 2d

)⇔

{a = d

c = 3b.

Siis X =

(a b3b a

)ja detX = a2 − 3b2 = 1. Neliöt a2 ja b2 kuuluvat

joukkoon {0,1, 2, 4}, koska kunnan K neliöinä saadaan vain nämä alkiot.Siten 3b2 ∈ {0, 3, 5, 6}, ja jotta yhtälö a2 − 3b2 = 1 toteutuisi, on oltava

(a2, 3b2) ∈ {(1,0), (0, 6), (4, 3)} .

Tästä nähdään, että

(a, b) ∈ {(1, 0), (6, 0), (0, 3), (0, 4), (2, 1), (2, 6), (5, 1), (5, 6)}.

Sentralisoijaan CG(B) kuuluu siis kahdeksan toisistaan eroavaa matriisia jasiten |BG| = 336/8 = 42.

Konjugointiuokka K6 = (B2)G

Matriisi B2 =

(0 32 0

)kuuluu ryhmään G ja sen kertaluku on neljä. Sentra-

lisoijan CG(B2) matriisille X seuraa ehdosta B2X = XB2, että(

3c 3d2a 2b

)=

(2b 3a2d 3c

)⇔

{a = d

c = 3b.

Ehdot ovat samat kuin sentralisoijan CG(B) tapauksessa, eli CG(B2) =

CG(B) ja siten |(B2)G| = |BG| = 42.

Konjugointiluokka K7 = CG =

(1 1

1 2

)G

Matriisi C =

(1 1

1 2

)kuuluu ryhmään G ja sen kertaluku on kahdeksan. Jos

matriisi X kuuluu sentralisoijaan CG(C), on CX = XC eli(a+ c b+ da+ 2c b+ 2d

)=

(a+ b a+ 2bc+ d c+ 2d

)⇔

{b = c

d = a+ b.

57

Siis X =

(a bb a+ b

)ja detX = a2 − b2 + ab. Taulukoimalla lausekkeen

a2 − b2 + ab arvot (ks. liite A taulukko 14) nähdään, että ratkaisupari (a, b)kuuluu joukkoon

{(1, 0), (6, 0), (1, 1), (6, 6), (2, 3), (5, 1), (5, 4), (2, 6)} .

Siten sentralisoijaan CG(C) kuuluu kahdeksan matriisia eli |CG(C)| = 8ja |CG| = 336/8 = 42.

Koska |C| = |B| ja |CG| = |BG|, on vielä varmistettava, ettei CG olesama konjugointiluokka kuin BG. Jos näin olisi, löytyisi sellainen matriisi

Y =

(e fg h

)∈ G, että CY = Y B eli

(e+ g f + he+ 2g f + 2h

)=

(2e+ 4f 2f − e2g + 4h 2h− g

)⇔

e+ g = 2e+ 4f

f + h = 2f − ee+ 2g = 2g + 4h

f + 2h = 2h− g.

Vähentämällä yhtälöiden molemmilla puolilla esiintyvät alkiot saadaan yh-täpitävä yhtälöryhmä

g = e+ 4f

h = f − ee = 4h

f = −g.

Sijoittamalla kahden viimeisen yhtälön e = 4h ja f = −g ensimmäisiin kah-teen yhtälöön saadaan {

g = 4h− 4g

h = −g + 4h.

Ylemmän yhtälön perusteella 4h = 5g eli h = 3g, minkä seurauksena alim-masta yhtälöstä saadaan ristiriita 3g = 4g. Näin ollen vastaoletus on epätosieli konjugointiluokat CG ja BG eivät ole samat.

58

Konjugointiluokka K8 = DG =

(1 1

0 1

)G

Matriisi D =

(1 1

0 1

)kuuluu ryhmään G ja sen kertaluku on seitsemän.

Sentralisoijan CG(D) alkiolle X on DX = XD eli

(a+ c b+ dc d

)=

(a a+ bc c+ d

)⇔

b ∈ Kc = 0

a = d.

Siis X =

(a b0 a

)ja detX = a2 = 1 eli a = ±1. Matriisin X alkiot voidaan

valita siis yhteensä 14 eri tavalla eli |CG(D)| = 14 ja |DG| = 336/14 = 24.

Konjugointiluokka K9 = (−D)G

Matriisi −D =

(6 60 6

)kuuluu ryhmään G ja sen kertaluku on neljätoista.

Sentralisoijan CG(−D) alkiolle X on (−D)X = X(−D) eli DX = XD. Ehtoon täsmälleen sama kuin sentralisoijan CG(D) tapauksessa. Siten CG(D) =CG(−D) ja |CG(−D)| = 14 eli |(−D)G| = 24.

Konjugointiluokka K10 = EG =

(3 43 2

)G

Matriisi E =

(3 43 2

)kuuluu ryhmään G ja sen kertaluku on 14. Sentralisoi-

jan CG(E) matriisille X on EX = XE eli(3a+ 4c 3b+ 4d3a+ 2c 3b+ 2d

)=

(3a+ 3b 4a+ 2b3c+ 3d 4c+ 2d

)⇔

{c = −bd = a+ 5b.

Siis X =

(a b−b a+ 5b

)ja detX = a2 + b2 + 5ab. Taulukoimalla lausek-

keen a2 + b2 + 5ab arvoja (ks. liite A taulukko 15) nähdään, että yhtälöllädetX = 1 on yhteensä neljätoista ratkaisuparia (a, b), missä a, b ∈ K. Siis|CG(E)| = 14 ja |EG| = 24.

Nyt |−D| = |E| = 14 ja |(−D)G| = |EG| = 24, joten on tarkistettava, et-teivät konjugointiluokat K9 ja K10 ole samat. Jos näin olisi, löytyisi sellainen

59

matriisi Y =

(e fg h

)∈ G, että EY = Y (−D) eli

(−e −e− f−g −g − h

)=

(3e+ 4g 3f + 4h3e+ 2g 3f + 2h

)⇔

{e = −gf = 2g − h.

Matriisi Y on siis muotoa(−g 2g − h//g h

)ja detY = −gh−g(ag−h) =

5g2. Tämä on ristiriita, koska g2 ∈ {0,1, 2, 4} ja siten 5g2 ∈ {0, 3, 5, 6},mutta toisaalta Y kuuluu ryhmään G ja siten detY = 1. Näin on osoitettu,että konjugointiluokat (−D)G ja EG eivät ole samat.

Konjugointiluokka K11 = (E2)G

Matriisi E2 =

(0 61 2

)kuuluu ryhmään G ja sen kertaluku on seitsemän.

Sentralisoijan CG(E2) alkiolle X on E2X = XE2 eli(

−c −da+ 2c b+ 2d

)=

(b 2b− ad 2d− c

)⇔

{c = −bd = a+ 5b.

Ehto on sama kuin sentralisoijan CG(E) alkioille, joten CG(E2) = CG(E).

Näin ollen |CG(E2)| = 14 ja |(E2)G| = 24.

Koska |E2| = |D| ja |(E2)G| = |DG|, on vielä tarkistettava, etteivät kon-jugointiluokat (E2)G jaDG ole samat. Jos näin olisi, löytyisi sellainen matriisi

Y =

(e fg h

)∈ G, että E2Y = Y D eli

(−g −h

e+ 2g f + 2h

)=

(e e+ fg g + h

)⇔

{g = −eh = −e− f .

Matriisi Y on siis muotoa

(e f−e −e− f

)ja detY = e(−e − f) − f(−e) =

−e2. Tämä on ristiriita, koska −e2 ∈ {0, 3, 5, 6}, mutta toisaalta Y kuuluuryhmään G ja siten detY = 1. Näin on osoitettu, että konjugointiluokat DG

ja (E2)G eivät ole samat.

Yhteenveto konjugointiluokista ja osoituksen päättäminen

Taulukkoon 12 on kerätty löydetyt konjugointiluokat, niiden kertaluvut sekäniiden alkioiden kertaluvut.

60

Ki |Ki|alkioidenkertaluku

K1 = IG 1 1

K2 = (−I)G 1 2

K3 = AG 56 6

K4 = (A2)G 56 3

K5 = BG 42 8

K6 = (B2)G 42 4

K7 = CG 42 8

K8 = DG 24 7

K9 = (−D)G 24 14

K10 = EG 24 14

K11 = (E2)G 24 7

Yhteensä 336

Taulukko 12: Yhteenveto ryhmän SL(2, 7) konjugointiluokista.

Olkoon nyt N ryhmän G normaali aliryhmä, johon joukko {I,−I} =K1 ∪K2 sisältyy. Lauseen 1.22 nojalla N on konjugointiluokkien yhdiste. Li-säksi aliryhmän N kertaluku jakaa ryhmän G kertaluvun. Tarkastelemallalöydettyjen konjugointiluokkien kertalukuja nähdään, että ryhmä N täyttääedellämainitut ehdot vain, jos N = {I,−I} tai N = G. Tarkastelu on tilaa-vievä mutta suoraviivainen, joten sitä ei tässä aukaista. Mikäli lukija haluaatarkistaa asian, helpottaa tarkastelua hieman tieto siitä, että mikäli konju-gointiluokka K3 kuuluu aliryhmään N , kuuluu siihen myös konjugointiluokkaK4 ja päinvastoin. Samoin aliryhmään N yhdessä kuuluvat tai ovat kuulu-matta konjugointiluokkien parit K8 ja K9 sekä K10 ja K11.

On osoitettu, että ryhmän G = SL(2, 7) ainoat joukon Z(G) sisältävätnormaalit aliryhmät ovat Z(G) ja G. Näin ollen lauseen 3.1 perusteella ryh-män PSL(2, 7) = G/Z(G) ainoat normaalit aliryhmät ovat {Z(G)} sekäG/Z(G) eli PSL(2, 7) itse. Siten ryhmä PSL(2, 7) on yksinkertainen.

61

6 Yleinen tapaus: Ryhmän PSL(2, K) yksinker-

taisuus

Tässä luvussa osoitetaan, että ryhmä PSL(2, K) on yksinkertainen aina kunkunnan K kertaluku on vähintään neljä. Tämän osoittamisen tärkeänä apu-välineenä toimivat transvektioiksi kutsutut matriisit.

6.1 Transvektiot

Tutustumme tässä kappaleessa transvektioiksi kutsuttuihin matriiseihin.

Määritelmä 6.1. Ryhmän GL(2, K) matriisi on transvektio, mikäli se on

muotoa

(1 λ0 1

)tai

(1 0

λ 1

), missä λ 6= 0.

Huomautus. Jokaisen transvektion determinantti on 1, joten kaikki ryhmänGL(2, K) transvektiot kuuluvat ryhmään SL(2, K). Lisäksi jokaisen trans-vektion käänteismatriisi on transvektio: jos λ ∈ K, niin(

1 λ0 1

)−1=

(1 −λ0 1

)ja(

1 0

λ 1

)−1=

(1 0

−λ 1

).

Kahdella seuraavalla lauseella tasoittelemme tien valmiiksi ryhmänPSL(2, K) yksinkertaisuuden osoittamista varten. Ensin osoitetaan, että jo-kainen ryhmän SL(2, K) alkio voidaan esittää transvektioiden tulona. Tämätarkoittaa, että mikäli kaikkien transvektioiden voidaan osoittaa kuuluvanryhmän SL(2, K) aliryhmään N , on N tällöin koko ryhmä SL(2, K).

Lause 6.1. Jokainen ryhmän SL(2, K) matriisi voidaan esittää transvektioi-den tulona.

Todistus. (ks. [8], s.22-23) Olkoon A =

(a bc d

)∈ SL(2, K) eli detA =

ad− bc = 1. Tarkastellaan erikseen tilanteet c 6= 0 ja c = 0.

1. Olkoon c 6= 0. Tällöin alkiolla c on käänteisalkio c−1 kunnassa K. Nytmatriisit

T1 =

(1 (1− a)c−10 1

), T2 =

(1 0

−c 1

)ja T3 =

(1 (d− 1)c−10 1

)62

kuuluvat ryhmään SL(2, K). Näillä merkinnöillä on

T1A =

(1 (1− a)c−10 1

)(a bc d

)=

(a+ (1− a)c−1c b+ (1− a)c−1d

c d

)=

(1 b+ (1− a)c−1dc d

),

missä determinantin detA = ad− bc = 1 avulla voidaan sieventää

b+ (1− a)c−1d=bcc−1 + (d− ad)c−1

=(bc+ d− ad)c−1 ‖ −ad+ bc = −1=(d− 1)c−1.

Merkitään tuloa T1A =

(1 (d− 1)c−1c d

)= C.

Lisäksi

T2C =

(1 0

−c 1

)(1 (d− 1)c−1c d

)=

(1 (d− 1)c−10 1

)= T3.

Koska detT2 = 1 6= 0, kuuluu T−12 ryhmään SL(2, K) ja siten C =T−12 T3. Näin saadaan T1A = C = T−12 T3 ja koska myös detT1 = 1 6= 0,kuuluu T−11 ryhmään SL(2, K) ja siten A = T−11 T−12 T3.

Koska c 6= 0, on T2 transvektio. Matriisi T1 on transvektio, ellei olea = 1. Tilanne a = 1 ei kuitenkaan aiheuta ongelmia, sillä tällöinT1 = T−11 = I ja se voidaan jättää merkitsemättä tuloon. Samoin onmatriisin T3 kanssa, mikäli d = 1. Koska transvektion käänteismatriision transvektio, on A = T−11 T−12 T3 onnistuttu esittämään transvektioi-den tulona.

2. Olkoon sitten c = 0 eli A =

(a b0 d

). Nyt transvektio T4 =

(1 0

1 1

)kuuluu ryhmään SL(2, K) ja

T4A =

(1 0

1 1

)(a b0 d

)=

(a ba b+ d

),

63

missä a 6= 0 sillä detA = ad = 1 6= 0. Nyt kohdan 1. nojalla T4A = Bon transvektioiden tulo, joten myös A = T−14 B on transvektioiden tulo.

Seuraavaksi edetään osoittamaan, että mikäli ryhmän SL(2, K) normaali

aliryhmä N sisältää yhdenkin transvektion U =

(1 u0 1

), se sisältää kaikki

transvektiot. Tämä yhdessä edellisen lauseen 6.1 kanssa antaa mahdollisuu-den käydä tehokkaasti käsiksi ryhmän normaaliuden osoittamiseen. Riittäänimittäin osoittaa, että normaali aliryhmä N sisältää yhden transvektion,jolloin lauseista 6.1 ja 6.3 seuraa, että N = SL(2, K). Ennen varsinaisenlauseen osoittamista tarvitaan yksi aputulos.

Apulause 6.2. Olkoon K äärellinen kunta ja a ∈ K. Nyt yhtälöllä x2−y2 =a on ainakin yksi ratkaisupari (x, y), missä x, y ∈ K.

Todistus. (ks. [9]) Tarkastellaan erikseen tapaukset charK = 2 ja charK 6=2.

1. Olkoon ensin charK = 2. Tällöin lauseen 1.27 nojalla |K| = 2n jollakinn ∈ Z+ eli |K \ {0}| = 2n − 1. Jos a ∈ K \ {0}, niin seurauksen 1.10perusteella a|K\{0}| = a2

n−1 = 1 eli a2n= (a2

n−1)2 = a. Näin ollen

(a2n−1,0) on yhtälön x2 − y2 = a ratkaisupari.

2. Olkoon sitten charK 6= 2. Nyt x2−y2 = (x+y)(x−y) = a = a1. Osoi-

tetaan, että kunnassa K on sellaiset alkiot x ja y, että

{x+ y = a

x− y = 1.

Tällöin (x, y) on yhtälön ratkaisupari. Lisäämällä alempi yhtälö ylem-

pään saadaan yhtäpitävä yhtälöpari

{2x = a+ 1

x− y = 1.Tästä yhtälöpa-

rista voidaan ratkaista muuttujat x ja y. Ylempää yhtälöä on ensinkuitenkin muokattava, koska luonnollisella luvulla kaksi jakaminen eisisälly käytössämme oleviin työvälineisiin. Tilanne selviää avaamalla

2x = x+ x = 1x+ 1x = (1+ 1)x,

jonka avulla merkitsemällä kunnanK alkiota 1+1 = 2 saadaan yhtälöt

muotoon

{2x = a+ 1

x− y = 1.Koska nyt 2−1 ∈ K, tästä voidaan ratkaista

{x = 2−1(a+ 1)

y = x− 1

64

eli {x = 2−1(a+ 1)

y = 2−1(a+ 1)− 1.

Tämä on yhtälön x2 − y2 = a ratkaisupari. Ratkaisupari voidaan vieläsieventää muotoon {

x = 2−1(a+ 1)

y = 2−1(a− 1).

Lause 6.3. Olkoon NESL(2, K). Jos N sisältää ainakin yhden transvektion

U =

(1 u0 1

), niin N = SL(2, K).

Todistus. (ks. [9]) Olkoon N E SL(2, K) ja transvektio U =

(1 u0 1

)∈ N .

Millä tahansa kunnan K alkiolla y 6= 0 kuuluu matriisi

B =

(y−1 0

0 y

)ryhmään SL(2, K). Koska aliryhmä N on normaali, niin lauseen 1.11 perus-teella tulo B−1UB kuuluu aliryhmään N . Nyt

B−1UB =

(y 0

0 y−1

)(1 u0 1

)(y−1 0

0 y

)=

(y yu0 y−1

)(y−1 0

0 y

)=

(1 y2u0 1

).

Jos z on toinen mielivaltainen nollasta poikkeava alkio kunnasta K, niin

äskeisen perusteella

(1 z2u0 1

)∈ N . Nyt aliryhmään N kuuluu siis myös

tulo

(1 y2u0 1

)(1 z2u0 1

)−1=

(1 y2u0 1

)(1 −z2u0 1

)=

(1 −z2u+ y2u0 1

)=

(1 (y2 − z2)u0 1

).

65

Osoitetaan, että alkioiden y ja z sopivilla valinnoilla saadaan lausekkeenu(y2 − z2) arvoiksi kaikki kunnan K alkiot: olkoon alkio c ∈ K mielivaltai-nen. Nyt u−1c ∈ K ja apulauseen 6.2 perusteella yhtälöllä y2 − z2 = u−1con ainakin yksi ratkaisupari (y, z) kunnassa K. Näillä alkioiden y ja z ar-

voilla on c = u(y2 − z2), eli transvektio(1 c0 1

)=

(1 (y2 − z2)u0 1

)kuuluu

normaaliin aliryhmään N . Alkio c ∈ K oli mielivaltainen, joten on osoitettu

kaikkien muotoa

(1 u0 1

), u ∈ K \ {0} olevien transvektioiden kuuluvan ali-

ryhmään N .

Koska aliryhmä N on normaali, kuuluu lauseen 1.11 perusteella myösmatriisi (

0 −11 0

)−1(1 c0 1

)(0 −11 0

)=

(0 1

−1 0

)(1 c0 1

)(0 −11 0

)=

(0 1

−1 −c

)(0 −11 0

)=

(1 0

−c 1

)aliryhmään N . Siten on osoitettu, että N sisältää kaikki transvektiot. Näinollen lauseen 6.1 nojalla N = SL(2, K).

6.2 Ryhmän PSL(2, K) yksinkertaisuuden osoittaminen

Nyt aiomme osoittaa, että kun kunnan K kertaluku on suurempi tai yhtä-suuri kuin neljä, ryhmä PSL(2, K) on yksinkertainen.

Lause 6.4. Kun kunnan K kertaluku |K| ≥ 4, ryhmä PSL(2, K) on yksin-kertainen.

Todistus. (ks. [2], s.75-76)PSL(2, K) on tekijäryhmä SL(2, K)/Z(SL(2, K)). Lauseen 3.1 perus-

teella ryhmän PSL(2, K) yksinkertaisuus voidaan osoittaa näyttämällä, ettäryhmän SL(2, K) = G ainoat keskuksen Z(G) sisältävät normaalit aliryh-mät ovat G ja Z(G).

Tiedetään, että Z(G) on ryhmän G normaali aliryhmä. Olkoon nyt Z(G)< N EG. Osoitetaan, että tällöin N sisältää ainakin yhden transvektion.

66

Koska Z(G) = {I,−I} < N , sisältää aliryhmä N matriisin A 6= ±I.Merkitään

A =

(a bc d

)ja tarkastellaan erikseen tapaukset c = 0 ja c 6= 0:

1. Olkoon ensin c = 0 eli A =

(x y0 x−1

), missä 0 6= x ∈ K. Jos x = ±1,

niin y 6= 0, sillä A 6= ±I. Tällöin siis joko A tai −A on ryhmäänN kuuluva transvektio, mikä juuri piti osoittaa. Oletetaan sitten, ettäx 6= ±1. Tällöin x2 6= 1, sillä

x2 = 1

⇔ x2 − 1 = 0

⇔ (x+ 1)(x− 1) = 0

⇔ x = ±1.

Nyt matriisi

(1 1

0 1

)∈ SL(2, K), joten lauseen 1.11 perusteella tulo

A

(1 1

0 1

)−1A−1

(1 1

0 1

)︸ ︷︷ ︸

∈N

kuuluu ryhmään N . Avataan tulo:

A

(1 1

0 1

)−1A−1

(1 1

0 1

)=

(x y0 x−1

)(1 −10 1

)(x−1 −y0 x

)(1 1

0 1

)=

(x y − x0 x−1

)(x−1 x−1 − y0 x

)=

(1 x(x−1 − y) + x(y − x)0 1

)=

(1 (1− xy) + (xy − x2)0 1

)=

(1 1− x20 1

).

Koska x 6= 1, nähdään nyt, että tämä tulo on transvektio. On siisosoitettu, että kun c = 0, aliryhmä N sisältää transvektion.

67

2. Olkoon sitten c 6= 0. Tarkastellaan seuraavaksi matriisia B, jota käy-tään apuna aliryhmän N transvektion löytämisessä: Jos f ∈ K∗, niinsopivalla alkion g ∈ K valinnalla

B =

(af gcf −af

)kuuluu ryhmään SL(2, K). Tässä alkio g määräytyy ehdosta detB = 1,eli

−a2f 2 − cfg = 1

⇔ −cfg = 1+ a2f 2 ‖ cf 6= 0⇒ (cf)−1 ∈ K⇔ g = −(cf)−1(1+ a2f 2) ∈ K.

Huomataan ensin, että

B(−B) =

(af gcf −af

)(−af −g−cf af

)=

(−a2f 2 − cfg 0

0 −cfg − a2f 2

),

missä −a2f 2 − cfg = detB = 1 eli B(−B) = I ja siten B−1 = −B.

Nyt matriisit −I, B−1AB ja A kuuluvat normaaliin aliryhmään N ,joten myös niiden tulo

−IB−1ABA = −I(−B)ABA = BABA = (BA)2

kuuluu aliryhmään N . Avataan tämä tulo:

(BA)2 =

[(af gcf −af

)(a bc d

)]2=

(a2f + cg baf + dgacf − caf bcf − daf

)2

=

((− detB)f−1 baf + dg

0 −(detA)f

)2

=

(−f−1 baf + dg0 −f

)2

=

(f−2 z0 f 2

).

68

Oikeaan yläkulmaan syntyvää alkiota on merkitty z. Tätä alkiota ei oletarpeen kirjoittaa auki, sillä seuraavassa tarkastelussa sen huomataansieventyvän pois. Merkitään äsken avattua tuloa (BA)2 = E ja laske-

taan vielä auki tulo E−1(1 1

0 1

)−1E

(1 1

0 1

)︸ ︷︷ ︸

∈N

. Myös tämä tulo kuuluu

normaaliin aliryhmään N .

E−1(1 1

0 1

)−1E

(1 1

0 1

)=

(f−2 z0 f 2

)−1(1 1

0 1

)−1(f−2 z0 f 2

)(1 1

0 1

)=

(f 2 −z0 f−2

)(1 −10 1

)(f−2 z0 f 2

)(1 1

0 1

)=

(f 2 −f 2 − z0 f−2

)(f−2 f−2 + z0 f 2

)=

(1 f 2(f−2 + z)− f 2(f 2 + z)0 1

)=

(1 (1+ f 2z)− (f 4 + f 2z)0 1

)=

(1 1− f 4

0 1

)näin on löydetty normaalin aliryhmän N alkio, joka vaikuttaa trans-vektiolta. Saatu matriisi on transvektio jos ja vain jos joukosta K∗ löy-tyy alkio f , jolla 1 − f 4 6= 0. Koska astetta n olevalla polynomilla onlauseen 1.32 nojalla korkeintaan n erisuurta nollakohtaa kunnassa K,on yhtälöllä 1 − f 4 = 0 korkeintaan neljä ratkaisua kunnassa K. Jossiis |K| > 5, on joukossa K∗ enemmän kuin neljä alkiota eli sieltä löy-tyy sopiva alkio f .

On osoitettu, että ryhmän SL(2, K) normaali aliryhmä N > {I,−I}sisältää transvektion aina kun |K| > 5. Tällöin lauseen 6.1 nojallakaikki transvektiot kuuluvat aliryhmään N ja edelleen lauseen 6.3 pe-rusteella N = SL(2, K). Näin ollen ryhmän SL(2, K) ainoat normaalitaliryhmät ovat {I,−I} = Z(SL(2, K)) ja SL(2, K) itse. Tästä seuraalauseen 3.1 perusteella, että tekijäryhmän PSL(2, K) ainoat aliryhmätovat {Z(SL(2, K)} ja se itse, eli PSL(2, K) on yksinkertainen, kun

69

|K| > 5. Kun |K| = 4 tai |K| = 5, on ryhmän PSL(2, K) yksinkertai-suus osoitettu lauseissa 3.3 ja 4.1.

70

LIITTEET

A Lausekkeiden arvoja taulukoituna

a = 0 1 2 3 4 5 6b = 0 0 1 4 2 2 4 1

1 1 3 0 6 0 32 4 0 5 5 0

3 2 6 5 64 2 0 0

5 4 36 1

Taulukko 13: lausekkeen f(a, b) = a2 + b2 − ab arvoja seitsemän alkion kun-nassa K.

a = 0 1 2 3 4 5 6b = 0 0 1 4 2 2 4 1

1 6 1 5 4 5 1 62 3 6 4 4 6 3 23 5 2 1 2 5 3 34 5 3 3 5 2 1 25 3 2 3 6 4 4 66 6 6 1 5 4 5 1

Taulukko 14: lausekkeen f(a, b) = a2 − b2 + ab arvoja seitsemän alkion kun-nassa K.

71

a = 0 1 2 3 4 5 6b = 0 0 1 4 2 2 4 1

1 0 1 4 2 2 42 0 1 4 2 23 0 1 4 24 0 1 45 0 1

6 0

Taulukko 15: lausekkeen f(a, b) = a2 + b2 + 5ab arvoja seitsemän alkionkunnassa K.

Viitteet

[1] J.F. Humphreys, A Course in Group Theory, Oxford Science Publica-tions, 1996.

[2] M.I. Kargapolov ja Ju.I. Merzljakov, Fundamentals of the Theory of

Groups, Springer-Verlag New York, Inc., 1979.

[3] J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-VerlagNew York, Inc., 1995.

[4] J. J. Rotman, The Theory of Groups, an Introduction, Allyn and Bacon,Inc., 1979.

[5] Renkaat, kunnat ja polynomit luentomuistiinpanot, Kari Myllylän luen-tojen pohjalta, 2011.

[6] Kauppi, Jukka (Markku Niemenmaan luentojen pohjalta), Algebra IIluentomoniste, matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopisto, 2008.

[7] Permutaatiot, kunnat ja Galois'n teoria luentomuistiinpanot, MarkkuNiemenmaan luentojen pohjalta, 2013.

[8] Kauppi, Jukka (Markku Niemenmaan luentojen pohjalta), Ryhmäteorialuentomoniste, matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopisto, 2009.

[9] Ryhmäteoria luentomuistiinpanot ja harjoitukset, Markku Niemenmaanluentojen pohjalta, 2013.

72