lin 1996 lecture notes in mathematical finance

8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance

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L E C T U R E N O T E S I N M A T H E M A T I C A L

F I N A N C E

X . S h e l d o n L i n

D e p a r t m e n t o f S t a t i s t i c s & A c t u a r i a l S c i e n c e

U n i v e r s i t y o f I o w a

I o w a C i t y , I A 5 2 2 4 2

P h o n e : ( 3 1 9 ) 3 3 5 - 0 7 3 0

F a x : ( 3 1 9 ) 3 3 5 - 3 0 1 7

E m a i l : s h l i n @ s t a t . u i o w a . e d u

C o m m e n t s a r e w e l c o m e !

c

X . S h e l d o n L i n , 1 9 9 6 .

1


2/114

C o n t e n t s

I D i s c r e t e - T i m e F i n a n c e M o d e l s 4

1 B a s i c C o n c e p t s a n d O n e T i m e - P e r i o d M o d e l s 5

1 . 1 T h e B a s i c S e t u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 2 T r a d i n g S t r a t e g i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 3 C h a r a c t e r i s a t i o n o f N o - A r b i t r a g e S t r a t e g i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 4 V a l u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 5 R i s k P r e m i u m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 D i s c r e t e - T i m e S t o c h a s t i c P r o c e s s e s a n d L a t t i c e M o d e l s 1 6

2 . 1 D i s c r e t e - T i m e S t o c h a s t i c P r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 2 R a n d o m W a l k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

2 . 3 G e n e r a l L a t t i c e M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

3 N o - A r b i t r a g e V a l u a t i o n 2 8

3 . 1 N o - A r b i t r a g e C o n d i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 2 R i s k - N e u t r a l P r o b a b i l i t y M e a s u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

3 . 3 V a l u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

3 . 4 B i n o m i a l M o d e l s o f O p t i o n P r i c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

3 . 5 B i n o m i a l I n t e r e s t R a t e M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

3 . 6 M u l t i n o m i a l / M u l t i f a c t o r I n t e r e s t R a t e M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

2


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I I C o n t i n u o u s - T i m e F i n a n c e M o d e l s 5 1

4 S t o c h a s t i c C a l c u l u s 5 2

4 . 1 C h a r a c t e r i s t i c F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

4 . 2 W i e n e r P r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

4 . 3 R e e c t i o n P r i n c i p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0

4 . 4 S t o c h a s t i c ( I t o ) I n t e g r a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4

4 . 5 S t o c h a s t i c D i e r e n t i a l E q u a t i o n s a n d I t o ' s L e m m a . . . . . . . . . . . . . . 6 7

4 . 6 F e y n m a n - K a c F o r m u l a a n d O t h e r A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

4 . 7 O p t i o n P r i c i n g : D y n a m i c H e d g i n g A p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5

4 . 8 G i r s a n o v T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0

4 . 9 M u l t i - D i m e n s i o n a l I t o P r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6

5 C o n t i n u o u s - T i m e F i n a n c e M o d e l s 8 9

5 . 1 S e c u r i t y M a r k e t s a n d V a l u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9

5 . 2 D i g i t a l a n d B a r r i e r O p t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8

5 . 3 I n t e r e s t R a t e M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

5 . 4 S w a p s a n d S w a p t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

A P r o b a b i l i t y T h e o r y 1 0 6

B F u n c t i o n a l A n a l y s i s 1 0 9

3


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P a r t I

D i s c r e t e - T i m e F i n a n c e M o d e l s

4


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C h a p t e r 1

B a s i c C o n c e p t s a n d O n e T i m e - P e r i o d

M o d e l s

1 . 1 T h e B a s i c S e t u p

W e c o n s i d e r a s e c u r i t y m a r k e t w i t h t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

T h e r e a r e o n l y t w o c o n s u m p t i o n d a t e s : t h e i n i t i a l d a t e t = 0 a n d t h e t e r m i n a l d a t e

t = T . T r a d i n g t a k e s p l a c e a t t = 0 o n l y .

T h e r e a r e n i t e n u m b e r o f s t a t e s o f e c o n o m y

= f !

1

!

2

!

J

g

w i t h t h e p r o b a b i l i t y a t s t a t e !

j

b e i n g P ( !

j

) :

H e n c e ( F P ) c o n s i s t s o f a p r o b a b i l i t y s p a c e w i t h t h e - a l g e b r a b e i n g a l l t h e s u b s e t s

o f .

5


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T h e r e a r e N p r i m i t i v e s e c u r i t i e s . T h e n - t h s e c u r i t y h a s p r i c e p

n

a t t i m e 0 a n d

t e r m i n a l p a y o

d

n

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

@

d

n

( !

1

)

d

n

( !

2

)

.

.

.

d

n

( !

J

)

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

T h u s , w e h a v e a p r i c e s y s t e m

p = ( p

1

p

2

p

N

)

0

w h e r e

0

d e n o t e s t h e c o r r e s p o n d i n g t r a n s p o s e , a n d t h e p a y o m a t r i x

D =

0

B

B

B

B

B

@

d

1

( !

1

) d

N

( !

1

)

.

.

.

.

.

.

d

1

( !

J

) d

N

( !

J

)

1

C

C

C

C

C

A

I n v e s t o r s a r e p r i c e t a k e r s a n d h a v e t h e h o m o g e n e o u s b e l i e f P = ( P ( !

1

) P ( !

2

)

P ( !

J

) ) .

T h e r e i s o n l y o n e p e r i s h a b l e c o n s u m p t i o n g o o d .

1 . 2 T r a d i n g S t r a t e g i e s

I f a n i n v e s t o r p o s s e s s e s

n

s h a r e s o f s e c u r i t y n , t h e p o r t f o l i o o f t h e s e c u r i t i e s o f t h e i n v e s t o r

h a s t h e p a y o

P

N

n = 1

n

d

n

a t t i m e T . L e t e ( 0 ) e ( T ) b e t h e i n i t i a l e n d o w m e n t a n d t h e

t e r m i n a l e n d o w m e n t f o r t h e i n v e s t o r , r e s p e c t i v e l y . T h u s , t h e i n v e s t o r ' s c o n s u m p t i o n s a r e

c ( 0 ) = e ( 0 ) ;

N

X

n = 1

n

p

n

( 1 . 1 )

c ( T ) = e ( T ) +

N

X

n = 1

n

d

n

: ( 1 . 2 )

W e c a l l = (

1

2

N

)

0

a t r a d i n g s t r a t e g y . T h e s e t

B( e p ) c o n t a i n i n g a l l c o n s u m p t i o n

p r o c e s s e s c = ( c ( 0 ) c ( T ) ) o v e r a l l i s c a l l e d t h e b u d g e t s e t w i t h r e s p e c t t o t h e e n d o w m e n t

6


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p r o c e s s e = ( e ( 0 ) e ( T ) ) a n d t h e p r i c e s y s t e m p . M a t h e m a t i c a l l y , a b u d g e t s e t i s a n a n e

s p a c e o f R

J + 1

.

A c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s s a i d t o b e a t t a i n a b l e i f i t s t e r m i n a l c o n s u m p t i o n c a n b e

e x p r e s s e d a s t h e p a y o o f a p o r t f o l i o , i . e .

c ( T ) =

N

X

n = 1

n

d

n

:

I t i s e a s y t o s e e t h a t a c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s a t t a i n a b l e i f a n d o n l y i f

R a n k ( D ) = R a n k ( D c ( T ) ) :

I t i s a l s o e a s y t o s e e t h a t t h e t e r m i n a l c o n s u m p t i o n o f a n y a t t a i n a b l e c o n s u m p t i o n p r o c e s s

i s i n t h e i m a g e o f t h e m a t r i x D , r e g a r d e d a s a l i n e a r m a p . T h u s , e v e r y c o n s u m p t i o n p r o c e s s

i s a t t a i n a b l e i f a n d o n l y i f R a n k ( D ) = J , t h e r e f o r e , i f a n d o n l y i f t h e r e a r e J i n d e p e n d e n t

s e c u r i t i e s . I n t h i s c a s e , w e s a y t h e m a r k e t i s c o m p l e t e . O t h e r w i s e , w e s a y t h e m a r k e t i s

i n c o m p l e t e . W e w i l l s e e l a t e r t h a t i f t h e m a r k e t i s c o m p l e t e , a n y c o n s u m p t i o n p r o c e s s c a n

b e p r i c e d u n i q u e l y .

W h e n t h e m a r k e t i s n o t c o m p l e t e , t h e r e i s a n e e d t o c r e a t e n e w s e c u r i t i e s i n o r d e r

t o c o m p l e t e t h e m a r k e t . O n e a p p r o a c h i s t o c r e a t e d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s o n t h e e x i s t i n g

s e c u r i t i e s s u c h a s E u r o p e a n - t y p e o p t i o n s .

A E u r o p e a n c a l l o p t i o n w r i t t e n o n a s e c u r i t y g i v e s i t s h o l d e r t h e r i g h t ( n o t o b l i g a t i o n )

t o b u y t h e u n d e r l y i n g s e c u r i t y a t a p r e s p e c i e d p r i c e o n a p r e s p e c i e d d a t e w h i l s t a

E u r o p e a n p u t o p t i o n w r i t t e n o n a s e c u r i t y g i v e s i t s h o l d e r t h e r i g h t ( n o t o b l i g a t i o n ) t o

s e l l t h e u n d e r l y i n g s e c u r i t y a t a p r e s p e c i e d p r i c e o n a p r e s p e c i e d d a t e . T h e p r e s p e c i e d

p r i c e i s c a l l e d t h e s t r i k e p r i c e a n d t h e p r e s p e c i e d d a t e i s c a l l e d t h e e x p i r a t i o n o r m a t u r i t y

d a t e .

G i v e n a s e c u r i t y w i t h t e r m i n a l p a y o

d = (

d ( !

1

)

d ( !

J

) )

0

, t h e p a y o o f a E u r o p e a n

c a l l o p t i o n w i t h s t r i k e p r i c e K t h e n i s

m a x f

d ; K 0 g :

7


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S i m i l a r l y , t h e p a y o o f a E u r o p e a n p u t o p t i o n w i t h s t r i k e p r i c e K t h e n i s

m a x f K ;

d 0 g :

E x a m p l e 1 . 1 C o n s i d e r t w o s e c u r i t i e s w i t h p a y o d

1

= ( 1 2 4 )

0

d

2

= ( 2 0 1 )

0

r e s p e c -

t i v e l y . S i n c e t h e n u m b e r o f t h e s t a t e s i s 3 a n d t h e n u m b e r o f s e c u r i t i e s i s 2 , t h e m a r k e t

i s n o t c o m p l e t e . W r i t e a E u r o p e a n c a l l o p t i o n o n t h e r s t s e c u r i t y w i t h s t r i k e p r i c e 1 .

T h e n i t s p a y o i s d

3

= ( 0 1 3 )

0

: T h e s e t h r e e s e c u r i t i e s a r e a l g e b r a i c a l l y i n d e p e n d e n t a n d

t h e r e f o r e c o m p l e t e t h e m a r k e t .

W e n o w c o n s i d e r n o a r b i t r a g e s t r a t e g i e s . A t r a d i n g s t r a t e g y = (

1

2

N

)

0

i s s a i d

t o a d m i t a r b i t r a g e i f e i t h e r

N

X

n = 1

n

p

n

= 0 a n d

N

X

n = 1

n

d

n

0 ( 1 . 3 )

w i t h

P

N

n = 1

n

d

n

( !

j

) > 0 f o r s o m e j ,

o r

N

X

n = 1

n

p

n


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d ( A B ) i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n A a n d B d e n e d b y

d ( A B ) = i n f f k x ; y k f o r a n y x 2 A a n d y 2 B g :

T h e n , t h e r e e x i s t s a z 2 H a n d a s c a l a r h s u c h t h a t f o r a n y x 2 A x z > h , a n d f o r a n y

y 2 B y z < h : S e e A p p e n d i x B f o r a p r o o f .

I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e p r i c e s y s t e m a d m i t s a r b i t r a g e i f a n d o n l y i f s o m e c o n s u m p t i o n

p r o c e s s w i t h z e r o e n d o w m e n t p r o c e s s l i e s i n t h e s e t R

J + 1

+

; f 0 g : T h u s , n o a r b i t r a g e c o n d i t i o n

i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n d i t i o n t h a t t h e s e t s B ( 0 p ) a n d R

J + 1

+

; f 0 g a r e s e p a r a t e . S u p p o s e

t h i s i s t h e c a s e . L e t A = f x 2 R

J + 1

+

x

0

+ + x

J

1

2

g . T h e n i t c a n b e s h o w n ( s e e

A p p e n d i x B ) t h a t t h e r e e x i s t a 2 A a n d b 2 B ( 0 p ) s u c h t h a t d ( A B ( 0 p ) ) = k a ; b k :

B y t h e H a h n - B a n a c h T h e o r e m , t h e r e i s a z = ( z

0

z

1

z

J

)

0

a n d a s c a l a r h s u c h t h a t f o r

a n y x

2A x

0

z > h , a n d f o r a n y y

2 B( 0 p ) y

0

z < h : S i n c e

B( 0 p ) i s a l i n e a r s p a c e , y

0

z

i s e i t h e r 0 o r u n b o u n d e d f r o m a b o v e o n B ( 0 p ) . T h u s , y

0

z = 0 f o r a l l y 2 B ( 0 p ) . T h i s

m e a n s t h a t

0

D

0

z = z

0

0

p

f o r a n y , w h e r e z = ( z

1

z

J

)

0

. T h a t i s a r b i t r a r y i m p l i e s

D

0

= p ( 1 . 5 )

w h e r e = (

z

1

z

0

z

2

z

0

z

J

z

0

)

0

: I t i s e a s y t o s e e t h a t h > 0 : L e t s

j

b e t h e v e c t o r w h o s e

( j + 1 ) - t h c o m p o n e n t i s 1 a n d o t h e r s 0 . T h e n s

j

2 A a n d h e n c e s

0

j

z > 0 , w h i c h i m p l i e s

z

j

> 0 j = 0 1 J . T h u s , > 0 :

T h e r e f o r e , t h e p r i c e s y s t e m d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t t h e r e i s a v e c t o r ,

a l l o f w h o s e c o m p o n e n t s a r e p o s i t i v e , s u c h t h a t t h e e q u a t i o n ( 1 . 5 ) h o l d s .

C o n v e r s e l y , i f t h e r e i s a p o s i t i v e v e c t o r s u c h t h a t t h e e q u a t i o n ( 1 . 5 ) h o l d s , t h e r e w i l l

b e n o a r b i t r a g e . O t h e r w i s e , l e t

b e a n a r b i t r a g e t r a d i n g s t r a t e g y . M u l t i p l y i n g

0

b o t h

s i d e s o f t h e e q u a t i o n f r o m t h e l e f t g i v e s a n i n e q u a l i t y , w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n .

9


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S u m m e r i z i n g t h e a b o v e a r g u m e n t s , w e c o n c l u d e t h a t

T h e o r e m 1 . 2 T h e p r i c e s y s t e m d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i f a n d o n l y i f t h e r e i s a p o s i t i v e

v e c t o r s u c h t h a t

D

0

= p : ( 1 . 6 )

L e t u s n o w c o n s i d e r t h e c a s e t h a t o n e o f t h e s e s e c u r i t i e s i s a r i s k l e s s b o n d , s a y t h e r s t

s e c u r i t y . D e n o t e r t h e r a t e o f r e t u r n o f t h e b o n d . T h u s , d

1

= ( 1 + r ) p

1

: T h e r s t e q u a l i t y

i n e q u a t i o n ( 1 . 6 ) g i v e s ( 1 + r ) (

1

+

2

+ +

J

) = 1 : L e t Q ( !

j

) = ( 1 + r )

j

j = 1 J .

T h e n , Q = ( Q ( !

1

) Q ( !

J

) )

0

i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n ( F ) a n d t h e e q u a t i o n ( ( 1 . 6 )

b e c o m e s

D

0

Q = ( 1 + r ) p : ( 1 . 7 )

T h e n t h s c a l a r e q u a t i o n i n ( 1 . 7 ) g i v e s

J

X

j = 1

d

n

( !

j

) Q ( !

j

) = ( 1 + r ) p

n

:

T h u s ,

p

n

=

E

Q

( d

n

)

1 + r

a n d

E

Q

( R

n

) =

1

p

n

K

X

j = 1

d

n

( !

j

) Q ( !

j

) ; 1 = r

w h e r e R

n

=

d

n

p

n

; 1 :

H e n c e , t h e p r i c e s y s t e m d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i f a n d o n l y i f t h e r e i s a p r o b a b i l -

i t y m e a s u r e Q o n ( F ) s u c h t h a t u n d e r t h i s m e a s u r e , t h e p r i c e o f e a c h s e c u r i t y i s t h e

d i s c o u n t e d v a l u e o f i t s e x p e c t e d p a y o a n d a l l s e c u r i t i e s h a v e t h e s a m e e x p e c t e d r a t e o f

r e t u r n . T h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q i s o f t e n r e f e r r e d t o a s a r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a -

s u r e . I f t h e m a r k e t i s c o m p l e t e i t u n i q u e l y e x i s t s u n d e r n o a r b i t r a g e c o n d i t i o n . H o w e v e r ,

i t t h e m a r k e t i s n o t c o m p l e t e , t h e r e a r e m o r e t h a n o n e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e .

1 0


11/114

1 . 4 V a l u a t i o n

W e n o w d e n o t e t h e t i m e - 0 p r i c e o f a c o n s u m p t i o n p r o c e s s c = ( c ( 0 ) c ( T ) ) b y ( c ) . T h e n ,

n o a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t f o r a n y a t t a i n a b l e c o m s u m p t i o n p r o c e s s w i t h c ( T ) =

P

N

n = 1

n

d

n

,

( c ) = c ( 0 ) +

N

X

n = 1

n

p

n

: ( 1 . 8 )

T h i s f o r m u l a i t s e l f i s t r i v i a l b u t i t r e p r e s e n t s a v e r y i m p o r t a n t p r i n c i p l e i n p r i c i n g s e c u r i t i e s .

T h a t i s , i f t h e p a y o o f a s e c u r i t y c a n b e h e d g e d b y f o r m i n g a p o r t f o l i o o f t h e e x i s t i n g

s e c u r i t i e s , t h e p r i c e s h o u l d b e e q u a l t o t h e i n i t i a l v a l u e o f t h e p o r t f o l i o . W e w i l l s e e l a t e r

o n t h a t t h e s a m e p r i n c i p l e i s a p p l i e d t o m a n y m u l t i - p e r i o d m o d e l s .

O n t h e o t h e r h a n d , s i n c e t h e p r i c e o f e a c h e x i s t i n g s e c u r i t y c a n b e w r i t t e n a s t h e

d i s c o u n t e d e x p e c t e d v a l u e o f i t s p a y o u n d e r a r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e , w e h a v e

( c ) = c ( 0 ) +

P

N

n = 1

n

E

Q

( d

n

)

1 + r

= c ( 0 ) +

1

1 + r

E

Q

f

N

X

n = 1

n

d

n

g : ( 1 . 9 )

T h i s f o r m u l a r e p r e s e n t s a n o t h e r i m p o r t a n t p r i n c i p l e i n p r i c i n g s e c u r i t i e s . I t s a y s t h a t

t h e p r i c e o f a s e c u r i t y i s t h e d i s c o u n t e d e x p e c t e d v a l u e o f i t s p a y o u n d e r a r i s k - n e u t r a l

p r o b a b i l i t y m e a s u r e , d i s c o u n t e d a t t h e r i s k - f r e e r a t e . T h i s p r i n c i p l e i s o f t e n a p p l i e d t o

A m e r i c a n t y p e o p t i o n s a s w e l l a s c o n t i n u o u s t i m e n a n c i a l m o d e l s .

I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e p r i c e o f a n a t t a i n a b l e c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s u n i q u e l y d e t e r -

m i n e d n o m a t t e r w h i c h r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e i s u s e d . T h u s , w h e n t h e m a r k e t

i s c o m p l e t e , e v e r y c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s p r i c e d u n i q u e l y .

C o n s i d e r n o w t h e f o l l o w i n g s e c u r i t i e s : f o r e a c h j = 1 2 J t h e p a y o o f t h e j - t h

s e c u r i t y i s

j

( ! ) =

8

>

:

1 ! = !

j

0 o t h e r w i s e

( 1 . 1 0 )

T h e s e s e c u r i t i e s a r e u s u a l l y r e f e r r e d t o a s t h e A r r o w - D e b r e u s e c u r i t i e s w h i c h p a y o n e u n i t

a t o n e s t a t e a n d n o t h i n g e l s e w h e r e . T h e i r p r i c e s

j

j = 1 2

J , c a l l e d t h e A r r o w -

D e b r e u p r i c e s o r t h e s t a t e p r i c e s , c a n b e e a s i l y d e t e r m i n e d w h e n t h e m a r k e t i s c o m p l e t e .

1 1


12/114

F o r e a c h j ,

j

=

1

1 + r

E

Q

(

j

) =

1

1 + r

Q ( !

j

) : ( 1 . 1 1 )

I n o t h e r w o r d s , t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y f o r e a c h s t a t e i s a c t u a l l y t h e a c c u m u l a t e d v a l u e

o f t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e p r i c e a t t h e r i s k f r e e r a t e .

E x a m p l e 1 . 2 C o n s i d e r a n e c o n o m y w i t h o n l y t w o s t a t e s : t h e u p s t a t e a n d t h e d o w n s t a t e ,

r e s p e c t i v e l y . T h e p r o b a b i l i t y o f t h e u p w a r d s t a t e i s q a n d t h e o t h e r i s 1 ; q . T h e r e a r e

t w o s e c u r i t i e s , o n e r i s k l e s s b o n d w i t h i n t e r e s t r a t e r a n d o n e s t o c k w i t h i n i t i a l p r i c e S a n d

w i t h r e t u r n u a t t h e u p s t a t e a n d r e t u r n d a t t h e d o w n s t a t e , u > d ( F i g u r e 1 . 1 ) .

*

H

H

H

H

H

Hj

1

u

d

F i g u r e 1 . 1 : R e t u r n o f t h e r i s k y s e c u r i t y

T h e p a y o m a t r i x t h e n i s

D

0

=

0

B

@

1 + r 1 + r

S u S d

1

C

A

T h e n o a r b i t r a g e c o n d i t i o n i s e q u i v a l e n t t o u > 1 + r > d : T h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y

m e a s u r e Q = ( q

u

q

d

)

0

s a t i s e s

q

u

=

1 + r ; d

u ; d

q

d

=

u ; 1 ; r

u ; d

:

F o r a n y g i v e n p a y o C = ( C

u

C

d

)

0

, w h i c h c o u l d b e t h e p a y o o f a c a l l o r p u t o p t i o n , w e

h a v e t h e p r i c e

C

= C

u

q

u

+ C

d

q

d

=

( 1 + r ; d ) C

u

+ ( u ; 1 ; r ) C

d

u ; d

: ( 1 . 1 2 )

1 2


13/114

O n t h e o t h e r h a n d , s u p p o s e t h a t a p o r t f o l i o S + B , w h e r e i s t h e n u m b e r o f s h a r e s o f

t h e s t o c k a n d B i s t h e b o n d v a l u e , g i v e s t h e s a m e p a y o a s ( C

u

C

d

)

0

. W e t h e n h a v e

S u + B ( 1 + r ) = C

u

( 1 . 1 3 )

S d + B ( 1 + r ) = C

d

( 1 . 1 4 )

T h u s , =

C

u

; C

d

S ( u ; d )

B =

u C

d

; d C

u

( 1 + r ) ( u ; d )

: I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t

C

= S + B : i s a l s o t h e

d e r i v a t i v e o f t h e p r i c e o f t h e s e c u r i t y w i t h p a y o C w i t h r e s p e c t t o t h e s t o c k p r i c e a n d i s

o f t e n c a l l e d d e l t a b y p r a c t i t i o n e r s .

W e n o w c o n s i d e r p r i c i n g c o n s u m p t i o n p r o c e s s e s i n a n i n c o m p l e t e m a r k e t . I t s u c e s t o

p r i c e o n l y t h e r e s p e c t i v e t e r m i n a l c o n s u m p t i o n s s i n c e t h e p r i c e o f a c o n s u m p t i o n p r o c e s s

i s s i m p l y t h e s u m o f i t s i n i t i a l c o n s u m p t i o n a n d t h e p r i c e o f i t s t e r m i n a l c o n s u m p t i o n .

L e t b e a p r i c e s y s t e m o n t h e t e r m i n a l c o n s u m p t i o n s p a c e f c ( T ) 2 R

J

g : T h e n ,

( c ( T ) ) = ( c ( T ) ) a n d ( c

1

( T ) + c

2

( T ) ) = ( c

1

( T ) ) + ( c

2

( T ) ) : I n o t h e r w o r d s , i s

a l i n e a r f u n c t i o n a l o n R

J

. F u r t h e r m o r e , t h e f a c t t h a t i s a p r i c e s y s t e m a n d i t d o e s n o t

a d m i t a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t

(

j

) > 0 j = 1 J ( 1 . 1 5 )

a n d

J

X

j = 1

(

j

) =

1

1 + r

: ( 1 . 1 6 )

I f w e r e q u i r e t h e p r i c e s y s t e m t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e c u r r e n t p r i c e s y s t e m p =

( p

1

p

N

)

0

, i . e . ( d

n

) = p

n

n = 1 N w e h a v e

J

X

j = 1

d

n

( !

j

) (

j

) = p

n

: ( 1 . 1 7 )

D e n e Q

( !

j

) = ( 1 + r ) (

j

) j = 1 J : T h e s e t h r e e c o n d i t i o n s ( 1 . 1 5 ) , ( 1 . 1 6 ) a n d ( 1 . 1 7 )

g i v e

D

0

Q

= ( 1 + r ) p : ( 1 . 1 8 )

1 3


14/114

T h u s , t h e y t o g e t h e r a r e a l s o s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r a c o n s i s t e n t n o - a r b i t r a g e p r i c e s y s t e m

f o r a l l c o n s u m p t i o n p r o c e s s e s .

T h e c o r r e s p o n d a n c e ! Q

i s a n o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d a n c e s i n c e a l i n e a r f u n c t i o n a l i s

u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y i t s v a l u e s o n a b a s i s w h i c h i s

j

j = 1 J i n o u r c a s e . T h u s ,

t h e n u m b e r o f p r i c e f u n c t i o n a l s i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y

m e a s u r e s f o r t h e p r i c e s y s t e m p = ( p

1

p

N

)

0

. M o r e o v e r , i f R a n k ( D ) = N t h e r e a r e

e x a c t l y J ; N i n d e p e n d e n t p r i c e f u n c t i o n a l s a n d a n y o t h e r p r i c e f u n c t i o n a l i s a l i n e a r

c o m b i n a t i o n o f t h o s e .

F r o m t h e e q u a t i o n ( 1 . 1 8 ) , f o r a n y c o n s i s t e n t n o - a r b i t r a g e p r i c e s y s t e m , t h e r e i s a

u n i q u e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q

s u c h t h a t

( c ( T ) ) =

1

1 + r

E

Q

( c ( T ) ) : ( 1 . 1 9 )

1 . 5 R i s k P r e m i u m s

A s i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , w e l e t

R

n

=

d

n

p

n

; 1

b e t h e r a t e o f r e t u r n o f s e c u r i t y n . D e n o t e t h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n u n d e r t h e p r o b a b i l i t y

m e a s u r e P b y

n

= E

P

( R

n

) =

E

P

( d

n

)

p

n

; 1 :

T h i s i s t h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n b a s e d o n t h e i n v e s t o r s h o m o g e n e o u s b e l i e f . H e n c e , t h e

d i e r e n c e

n

; r b e t w e e n t h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n a n d t h e r i s k f r e e r a t e o f r e t u r n i s t h e

r i s k p r e m i u m f o r s e c u r i t y n . I f w e l e t z =

P

Q

;1 i n d e p e n d e n t o f t h e s e c u r i t i e s , t h e n

n

; r = E

P

( R

n

) ; E

Q

( R

n

) = E

P

( 1 ;

P

Q

) R

n

] = ; C o v

P

( z R

n

) : ( 1 . 2 0 )

F o r a n y g i v e n p o r t f o l i o

P

N

n = 1

n

p

n

w i t h t h e r a t e o f r e t u r n

R =

P

N

n = 1

n

d

n

P

N

n = 1

n

p

n

; 1

1 4


15/114

a n d t h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n = E

P

( R )

; r = E

P

( R ) ; E

Q

( R ) = ; C o v

P

( z R ) ( 1 . 2 1 )

s i n c e E

Q

( R ) = r :

I f z i s a t t a i n a b l e , i . e . z =

P

N

n = 1

n

d

n

, t h e n ,

z = (

N

X

n = 1

n

p

n

) ( 1 + R

z

)

w h e r e R

z

i s t h e r a t e o f r e t u r n o f p o r t f o l i o z . W e h a v e

E

P

( R

z

) ; r = ; (

N

X

n = 1

n

p

n

) V a r

P

( R

z

)

a n d

;r =

;(

N

X

n = 1

n

p

n

) C o v

P

( R

z

R ) :

T h e r e f o r e ,

;r =

C o v

P

( R

z

R )

V a r

P

( R

z

)

( E

P

( R

z

)

;r ) : ( 1 . 2 2 )

T h e e q u a t i o n ( 1 . 2 2 ) i s i n t h e f o r m o f t h e w e l l - k n o w n C a p i t a l A s s e t P r i c i n g M o d e l ( C A P M ) .

z i s r e f e r r e d t o a s t h e m a r k e t p o r t f o l i o a n d t h e q u a n t i t y

C o v

P

( R

z

R )

V a r

P

( R

z

)

i s r e f e r r e d t o a s t h e

m a r k e t b e t a . S i n c e t h e c o v a r i a n c e o p e r a t o r a n d t h e v a r i a n c e o p e r a t o r a r e i n v a r i a n t u n d e r

p a r a l l e l s h i f t i n g R ! R + a t h e a b o v e f o r m u l a a l s o h o l d s w h e n t h e r a t e s o f r e t u r n s a r e

r e p l a c e d b y t h e r e t u r n s p e r u n i t . T h e l a t t e r i s u s e d i n t h e s t a n d a r d C A P M s e t t i n g .

1 5


16/114

C h a p t e r 2

D i s c r e t e - T i m e S t o c h a s t i c P r o c e s s e s

a n d L a t t i c e M o d e l s

2 . 1 D i s c r e t e - T i m e S t o c h a s t i c P r o c e s s e s

l e t ( F P ) b e a p r o b a b i l i t y s p a c e . F t h e n i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l p o s s i b l e r a n d o m e v e n t s .

T h u s , F r e p r e s e n t s a l l t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h i s p r o b a b i l i t y s p a c e .

L e t F

1

b e a n o t h e r - a l g e b r a d e n e d o n . I f F

1

i s c o a r s e r t h a n F , t h e p r o b a b i l i t y

s p a c e ( F

1

P ) c o n t a i n s l e s s i n f o r m a t i o n t h a n ( F P ) d o e s .

E x a m p l e 2 . 1 L e t F

1

= f g : F

1

i s t h e c o a r s e s t - a l g e b r a w h i c h c o n t a i n s n o i n f o r m a t i o n

a t a l l .

L e t F

2

b e t h e s e t o f a l l s u b s e t s o f . F

2

i s t h e n e s t - a l g e b r a w h i c h c o n t a i n s a l l t h e

i n f o r m a t i o n f r o m t h e u n d e r l y i n g s p a c e .

L e t X b e a r a n d o m v a r i a b l e d e n e d o n ( F P ) . H o w m u c h i n f o r m a t i o n w o u l d w e b e

a b l e t o o b t a i n f r o m X ? O b v i o u s l y , a n y r a n d o m e v e n t w e c o u l d o b s e r v e t h r o u g h X w i l l b e

r e p r e s e n t e d b y t h e v a l u e s o f X o n t h e r a n d o m e v e n t . I f t w o e v e n t s g i v e t h e s a m e r a n g e

f o r X , w e w i l l b e u n a b l e t o d i s t i n g u i s h t h e m . H e n c e , a l l p o s s i b l e r a n d o m e v e n t s w e c a n

1 6


17/114

o b s e r v e f r o m X a r e i n t h e - a l g e b r a g e n e r a t e d b y e v e n t s f X x g f o r a l l r e a l n u m b e r s

x . W e c a l l t h e - a l g e b r a g e n e r a t e d b y f X x g x 2 R t h e B o r e l - a l g e b r a w i t h r e s p e c t

t o X a n d d e n o t e i t a s B

X

. H e n c e , B

X

r e p r e s e n t s a l l t h e i n f o r m a t i o n t h a t c a n b e o b t a i n e d

f r o m X .

E x a m p l e 2 . 2 S u p p o s e t h a t X i s a r a n d o m v a r i a b l e w h i c h o n l y t a k e s a n i t e n u m b e r

o f d i e r e n t v a l u e s u

1

u

2

u

J

. L e t !

j

= f X = u

j

g j = 1 2 J . T h e n B

X

i s t h e

c o l l e c t i o n o f a l l s u b s e t s o f f !

1

!

2

!

J

g .

C o n s i d e r n o w a l l t h e t i m e - d e p e n d e n t r a n d o m e v e n t s i n

F. L e t

F

t

b e t h e c o l l e c t i o n o f

a l l p o s s i b l e r a n d o m e v e n t s t h a t m a y h a p p e n b e f o r e o r a t t i m e t . T h e n , ( i ) F

t

i s a - a l g e b r a

c o a r s e r t h a n F ( i i ) i f t < s , F

t

F

s

. T h u s , f F

t

t 0 g d e n e a n i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e

o n ( F P ) , w i t h F

t

r e p r e s e n t i n g t h e i n f o r m a t i o n u p t o t i m e t . I n p r o b a b i l i t y t h e o r y , a n y

c o l l e c t i o n o f - a l g e b r a s w h i c h s a t i s e s ( i ) a n d ( i i ) i s c a l l e d a l t r a t i o n o n ( F P ) a n d t h e

q u a d r u p l e t ( F F

t

P ) i s c a l l e d a l t e r e d s p a c e .

A t t h i s m o m e n t l e t u s c o n s i d e r a d i s c r e t e - t i m e s e t t i n g : t = t

0

t

1

: W i t h o u t l o s s o f

g e n e r a l i t y , a s s u m e t = 0 1 2 : I f w e h a v e a s e q u e n c e o f r a n d o m v a r i a b l e s X ( 0 ) X ( 1 )

X ( t ) s u c h t h a t X ( t ) i s a r a n d o m v a r i a b l e o n ( F

t

P ) , t h e n t h e s e q u e n c e X ( 0 ) X ( 1 )

X ( t )

i s c a l l e d a n a d a p t e d d i s c r e t e - t i m e s t o c h a s t i c p r o c e s s o n (

F

F

t

P ) . I n t h e s e

n o t e s , w e a l w a y s a s s u m e t h a t a s t o c h a s t i c p r o c e s s i s a d a p t e d a n d s i m p l y c a l l i t a s t o c h a s t i c

p r o c e s s .

G i v e n a s t o c h a s t i c p r o c e s s X ( t ) t = 0 1 w e w a n t t o s e e h o w m u c h i n f o r m a t i o n

w e w i l l b e a b l e t o o b t a i n f r o m i t . A s w e h a v e m e n t i o n e d a b o v e , B

X ( t )

i s t h e i n f o r m a -

t i o n w e c a n o b t a i n f r o m t h e r a n d o m v a r i a b l e X ( t ) . T h u s , t h e i n f o r m a t i o n u p t o t i m e t

f r o m t h e s t o c h a s t i c p r o c e s s X ( t ) t = 0 1 i s t h e - a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e r a n d o m

e v e n t s i n B

X ( 0 )

B

X ( 1 )

B

X ( t )

: I n o t h e r w o r d s , i t i s t h e s m a l l e s t - a l g e b r a c o n t a i n i n g

B

X ( 0 )

B

X ( 1 )

B

X ( t )

: W e d e n o t e t h i s - a l g e b r a a s B

t

. I t i s e a s y t o s e e t h a t

B

0

B

1

B

t

F

1 7


18/114

T h u s , B

t

t = 0 1 f o r m a l t r a t i o n o n ( F P ) , c a l l e d t h e B o r e l o r n a t u r a l l t r a t i o n

w i t h r e s p e c t t o X ( t ) t = 0 1 : T h i s l t r a t i o n c o n t a i n s e x a c t i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m

X ( t ) t = 0 1 a n d B

t

i s t h e e x a c t i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m X ( t ) t = 0 1 u p

t o t i m e t . S i n c e X ( t ) i s F

t

- m e a s u r a b l e , B

t

F

t

. H e n c e t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e

B o r e l l t r a t i o n i s n o m o r e t h a n t h a t i n t h e o r i g i n a l l t r a t i o n F

t

t = 0 1 :

S o f a r , w e a s s u m e t h a t w e a r e g i v e n a n i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e o r l t r a t i o n F

t

t =

0 1 : B a s e d o n t h i s i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e , w e d e n e a s t o c h a s t i c p r o c e s s a n d i t s B o r e l

i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e . B u t v e r y o f t e n , w h a t w e h a v e i s a s e q u e n c e o f r a n d o m v a r i a b l e s

X ( t ) t = 0 1 d e n e d o n ( F P ) w i t h o u t h a v i n g t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e F

t

t =

0 1 : I n o t h e r w o r d s , t h e s e q u e n c e o f r a n d o m v a r i a b l e s i s t h e o n l y s o u r c e w e c a n o b t a i n

i n f o r m a t i o n f r o m . I n t h i s c a s e , w e m a y d i r e c t l y d e n e

B

t

f r o m t h e s e q u e n c e X ( t ) t =

0 1 a s a b o v e . I t i s e a s y t o s e e t h a t ( F B

t

P ) i s a l t e r e d s p a c e a n d X ( t ) t =

0 1 i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n i t .

F i n a l l y , w e e x t e n d o u r d i s c u s s i o n t o v e c t o r - v a l u e d s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . W e s a y a s e -

q u e n c e o f r a n d o m v e c t o r s

( X

1

( t ) X

2

( t )

X

N

( t ) ) t = 0 1

i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n ( F F

t

P ) i f f o r a n y n = 1 2 N , X

n

( t ) t = 0 1


t

P ) . T h e c o r r e s p o n d i n g B o r e l - a l g e b r a B

t

i s d e -

n e d a s t h e s m a l l e s t - a l g e b r a c o n t a i n i n g t h e B o r e l - a l g e b r a s g e n e r a t e d b y X

n

( s ) n =

1 2 N s = 0 1 t :

2 . 2 R a n d o m W a l k s

R a n d o m w a l k s a r e o n e o f t h e s i m p l e s t d i s c r e t e - t i m e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . B e c a u s e t h e y

a r e s i m p l e , i n t u i t i v e a n d h a v e o t h e r a p p e a l i n g f e a t u r e s , t h e y h a v e b e e n w i d e l y u s e d i n

m o d e l i n g s e c u r i t i e s . I n t h i s s e c t i o n w e s h o w h o w a r a n d o m w a l k i s c o n s t r u c t e d a n d h o w i t

1 8


19/114

c a n b e u s e d t o m o d e l s e c u r i t i e s .

L e t Y

1

Y

2

Y

k

b e a s e q u e n c e o f i n d e p e n d e n t , i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d ( i i d ) B e r n o u l l i

r a n d o m v a r i a b l e s d e n e d o n a p r o b a b i l i t y s p a c e ( F P ) . F i r s t , l e t u s a s s u m e t h a t f o r a

g i v e n h > 0 ,

Y

k

=

8

>

:

h

; h

( 2 . 1 )

a n d

P r ( Y

k

= h ) = P r ( Y

k

= ; h ) =

1

2

: ( 2 . 2 )

W e n o w c o n s t r u c t a r a n d o m w a l k o v e r t h e t i m e p e r i o d 0 T ] a s f o l l o w s :

A n o b j e c t s t a r t s a t a p o s i t i o n m a r k e d 0 . I t m o v e s o n c e o n l y a t a t i m e i n t e r v a l w i t h

l e n g t h > 0 . W e c h o o s e s u c h t h a t T i s a m u l t i p l e o f . D u r i n g e a c h t i m e i n t e r v a l

t h e o b j e c t e i t h e r m o v e s u p h u n i t s w i t h p r o b a b i l i t y

1

2

o r m o v e s d o w n h u n i t s w i t h

p r o b a b i l i t y

1

2

.

L e t X ( t ) b e t h e p o s i t i o n o f t h e o b j e c t a t t i m e t . T h e n w e h a v e

X ( t ) = Y

1

+ Y

2

+ + Y

t

( 2 . 3 )

w h e r e t =

t . A p p a r e n t l y , X ( t ) i s b i n o m i a l l y d i s t r i b u t e d . T h e B o r e l - a l g e b r a B

t

w i t h

r e s p e c t t o t h i s p r o c e s s i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l t h e s u b s e t s o f t h e s e t o f a l l p o s s i b l e p a t h s u p

t o t i m e t . F o r e x a m p l e , B

2

i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l t h e s u b s e t s o f

f ( h h ) ( h ; h ) ( ; h h ) ( ; h ; h ) g :

L e t P ( x t ) d e n o t e t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e o b j e c t i s a t p o s i t i o n x a t t i m e t , i . e . P ( x t ) =

P r ( X ( t ) = x ) . T h e n w h e n x i s r e a c h e d b y m o v i n g u p m t i m e s a n d m o v i n g d o w n

t ; m

t i m e s , w e h a v e

P ( x t ) =

0

B

@

t

m

1

C

A

(

1

2

)

t

x = ( 2 m ;

t ) h ( 2 . 4 )

1 9


20/114

m = 0 1

t .

W e c a n a l s o e a s i l y c o m p u t e i t s m e a n a n d v a r i a n c e .

E ( X ( t ) ) =

t E ( Y

1

) = 0 ( 2 . 5 )

V a r ( X ( t ) ) =

t V a r ( Y

1

) =

t h

2

= t

h

2

: ( 2 . 6 )

M o r e o v e r , t h e r e i s a r e c u r s i v e r e l a t i o n a m o n g P ( x t ) t = 0 . I t f o l l o w s f r o m

P ( x t + ) = P r ( X

t

= x ; Y

t + 1

) = E ( P r ( X

t

= x ; y ) j Y

t + 1

= y )

t h a t

P ( x t + ) = P ( h ) P ( x ; h t ) + P ( ; h ) P ( x + h t ) ( 2 . 7 )

w i t h P ( 0 0 ) = 1 P ( x 0 ) = 0 x 6= 0 .

I n t h e a b o v e c a s e ,

P ( x t + ) =

1

2

P ( x ; h t ) + P ( x + h t ) ] : ( 2 . 8 )

N e x t , w e c o n s i d e r r a n d o m w a l k s w i t h d r i f t . A s w e h a v e s e e n i n t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n

t h a t t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e r a n d o m w a l k d i s c u s s e d a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e t i m e t h a t

h a s p a s s e d . I n o t h e r w o r d s , t h e a v e r a g e m e a n a n d v a r i a n c e o v e r t i m e r e m a i n c o n s t a n t .

F u r t h e r m o r e , t h e m o v e a t t i m e t o n l y d e p e n d s o n t h e p o s i t i o n o f t h e o b j e c t a t t i m e t ,

n o t t h e p o s i t i o n s i n t h e p a s t , w h i c h i s c a l l e d t h e M a r k o v p r o p e r t y . T h o s e p r o p e r t i e s a r e

a p p e a l i n g s i n c e m a n y r i s k y s e c u r i t i e s e n j o y t h e s a m e p r o p e r t i e s . H o w e v e r , i n p r a c t i c e , t h e

a v e r a g e m e a n o f a r i s k y s e c u r i t y i s o f t e n n o n z e r o . T h u s t h e r e i s a n e e d t o e x t e n d t h e

r a n d o m w a l k w e h a v e c o n s i d e r e d .

L e t u s n o w d e s i g n a r a n d o m w a l k X ( t ) t = 0 2 : : : w i t h a c o n s t a n t a v e r a g e m e a n

a n d a c o n s t a n t a v e r a g e v a r i a n c e , n a m e l y

E ( X ( t ) ) = t V a r ( X ( t ) ) = t

2

: ( 2 . 9 )

T h e r e a r e t w o a p p r o a c h e s t o a c h i e v e t h i s g o a l .

2 0


21/114

1 . A d j u s t t h e p r o b a b i l i t i e s o f t h e u p m o v e m e n t a n d t h e d o w n m o v e m e n t . L e t

P r ( Y

k

= h ) = q P r ( Y

k

= ; h ) = 1 ; q :

T o s a t i s f y e q u a t i o n s i n ( 2 . 9 ) , w e m u s t h a v e

h ( 2 q ; 1 )

=

4 h

2

q ( 1 ; q )

=

2

w h i c h y i e l d s

h =

q

2

+

2

2

q =

1

2

h

1 +

s

1

1 +

2

=

2

i

: ( 2 . 1 0 )

T h e c o r r e s p o n d i n g r e c u r s i v e f o r m u l a b e c o m e s

P ( x t + ) = q P ( x ; h t ) + ( 1 ; q ) P ( x + h t ) : ( 2 . 1 1 )

2 . A d j u s t t h e m a g n i t u d e o f t h e u p m o v e m e n t a n d t h e d o w n m o v e m e n t s e p a r a t e l y .

P r ( Y

k

= h

1

) =

1

2

P r ( Y

k

= ; h

2

) =

1

2

:

S i n c e

E ( Y

k

) =

1

2

( h

1

; h

2

) V a r ( Y

k

) = (

h

1

+ h

2

2

)

2

h

1

; h

2

2

=

( h

1

+ h

2

)

2

4

=

2

:

T h i s y i e l d s

h

1

= +

p

h

2

=

; +

p

: ( 2 . 1 2 )

T h e r e c u r s i v e f o r m u l a i s t h e s a m e a s ( 2 . 8 ) .

W e n o w i l l u s t r a t e h o w a r a n d o m w a l k w i t h d r i f t c a n b e u s e d t o m o d e l t h e p r i c e m o v e -

m e n t o f a r i s k y s e c u r i t y .

C o n s i d e r a r i s k y s e c u r i t y f o r t h e t i m e p e r i o d 0 T ] . A s s u m e t h a t d u r i n g t h e p e r i o d

0 T ] t h e r e a r e

T t r a d i n g d a t e s ,

t = 0 1

T

;1 , s e p a r a t e d i n r e g u l a r i n t e r v a l s , i . e .

t = t = w h e r e i s t h e t i m e b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e t r a d i n g d a t e s . A t e a c h t i m e t , t h e r e

2 1


22/114

a r e o n l y t w o s t a t e s o f e c o n o m y o v e r t h e n e x t t i m e i n t e r v a l : t h e u p s t a t e a n d t h e d o w n s t a t e .

T h e p r o b a b l i t i e s o f t h e u p s t a t e a n d t h e d o w n s t a t e a r e q a n d 1 ; q , r e s p e c t i v e l y . T h e r e t u r n

o f t h e s e c u r i t y o v e r t h e n e x t t i m e i n t e r v a l i s u w h e n t h e u p s t a t e i s a t t a i n e d a n d d w h e n

t h e d o w n s t a t e i s a t t a i n e d . S u p p o s e t h a t S ( t ) i s t h e p r i c e o f t h e s e c u r i t y a t t i m e t . D e n e

t h a t Y

t

= l o g S ( t ) ; l o g S ( t ; ) : T h e n Y

t

i s a B e r n o u l l i r a n d o m v a r i a b l e w i t h

P r ( Y

t

= l o g u ) = q P r ( Y

t

= l o g d ) = 1

;q : ( 2 . 1 3 )

L e t X ( t ) = Y

1

+ Y

2

+ + Y

t

: T h e n X ( t ) i s a r a n d o m w a l k a n d t h e p r i c e S ( t ) c a n b e

e x p r e s s e d a s

S ( t ) = S ( 0 ) e

X ( t )

: ( 2 . 1 4 )

I f w e f u r t h e r r e q u i r e t h a t t h e l o g a r i t h m o f S ( t ) h a v e c o n s t a n t a v e r a g e m e a n a n d

c o n s t a n t a v e r a g e v a r i a n c e

2

, o u r r s t a p p r o a c h g i v e s

u = e

p

2

+

2

2

d = e

;

p

2

+

2

2

: ( 2 . 1 5 )

a n d

q =

1

2

h

1 +

s

1

1 +

2

=

2

i

: ( 2 . 1 6 )

T h e r s t - o r d e r a p p r o x i m a t i o n o n i n ( 2 . 1 5 ) a n d ( 2 . 1 6 ) y i e l d s t h e w e l l - k n o w n b i n o m i a l

m o d e l o f C o x , R o s s a n d R u b i n s t e i n 5 ] .

I f w e u s e t h e s e c o n d a p p r o a c h , t h e n q =

1

2

a n d

u = e

+

p

d = e

;

p

: ( 2 . 1 7 )

T h i s i s s i m i l a r t o t h e m o d e l p r o p o s e d b y H u a H e 1 4 ] .

2 . 3 G e n e r a l L a t t i c e M o d e l s

W e n o w c o n s i d e r a s e c u r i t y m a r k e t w i t h t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

2 2


23/114

T h e r e a r e T + 1 c o n s u m p t i o n d a t e s s e p a r a t e d i n r e g u l a r i n t e r v a l s . W i t h o u t l o s s o f

g e n e r a l i t y , w e a s s u m e t h e s e d a t e s a r e t = 0 1 T . T r a d i n g s t a k e p l a c e o n l y a t

t = 0 1 T ; 1 .

T h e r e a r e a n i t e n u m b e r o f s t a t e s o f e c o n o m y

= f !

1

!

2

!

J

g

w i t h t h e p r o b a b i l i t y a t s t a t e !

j

b e i n g P ( !

j

) :

H e n c e t h e - a l g e b r a F o f t h i s p r o b a b i l i t y s p a c e ( F P ) i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l t h e

s u b s e t s o f .

T h e r e i s a n i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e

f F

t

t = 0 1 T g ( 2 . 1 8 )

o n ( F P ) s u c h t h a t F

0

= f g i s t h e t r i v i a l - a l g e b r a a n d F

T

= F : T h u s , a t

t h e b e g i n n i n g o f t h e p e r i o d , t h e r e i s n o i n f o r m a t i o n a n d a t t h e e n d o f t h e p e r i o d , a l l

i n f o r m a t i o n i s a v a i l a b l e .

T h e r e a r e N p r i m i t i v e s e c u r i t i e s w i t h p r i c e p r o c e s s

p ( t ) = ( p

1

( t ) p

2

( t ) p

N

( t ) )

0

t = 0 1 T

w h e r e p

n

( t ) i s t h e p r i c e o f s e c u r i t y n a t t i m e t . T h e p r i c e s ( p

1

( T ) p

2

( T ) p

N

( T ) )

a t t i m e T i s a c t u a l l y t h e t e r m i n a l p a y o s o f t h o s e s e c u r i t i e s a n d s o m e t i m e w e d e n o t e

t h e m b y p a y o m a t r i x

D =

0

B

B

B

B

B

@

d

1

( !

1

) d

N

( !

1

)

.

.

.

.

.

.

d

1

( !

J

) d

N

( !

J

)

1

C

C

C

C

C

A

2 3


24/114

S i n c e a t t i m e t t h e s e c u r i t i e s a r e p r i c e d b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e u p t o t i m e

t , t h e p r i c e p r o c e s s

( p ( 0 ) p ( 1 ) p ( T ) )


t

P ) .

W e f u r t h e r a s s u m e t h a t o n e o f t h e s e s e c u r i t i e s , s a y , t h e r s t s e c u r i t y , i s a r i s k f r e e

b o n d w i t h c o n s t a n t i n t e r e s t r a t e r o v e r e a c h t i m e i n t e r v a l . T h u s , p

1

( t ) = ( 1 + r )

t

p ( 0 ) :

I n v e s t o r s a r e p r i c e t a k e r s . T h e y s h a r e t h e s a m e i n f o r m a t i o n r e p r e s e n t e d b y f F

t

t =

0 1 T g a n d h a v e a h o m o g e n e o u s b e l i e f P .

T h e r e i s o n l y o n e p e r i s h a b l e c o n s u m p t i o n g o o d .

A t r a d i n g s t r a t e g y ( t ) = (

1

( t )

N

( t ) )

0

a t t h e t i m e t i s s u c h t h a t a f t e r t r a d i n g t h e

i n v e s t o r o w n s

n

( t ) s h a r e s o f s e c u r i t y n a t t i m e t . A t r a d i n g s t r a t e g y f o r t h e p e r i o d 0 T ]

i s t h e n

( 0 ) ( 1 ) ( T ; 1 ) :

S i n c e ( t ) i s d e t e r m i n e d a t t i m e t , i t i s a r a n d o m v e c t o r o n ( F

t

P ) . T h u s , ( t ) t =

0 1 T ; 1 i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n ( F F

t

P ) .

L e t e ( t ) b e a n e n d o w m e n t a t t i m e t w h i c h i s a r a n d o m v a r i a b l e o n ( F

t

P ) . H e n c e ,

t h e e n d o w m e n t p r o c e s s e = ( e ( 0 ) e ( 1 ) e ( T ) ) i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n ( F F

t

P ) .

A s t o c h a s t i c p r o c e s s c = ( c ( 0 ) c ( 1 ) c ( T ) ) i s c a l l e d a c o n s u m p t i o n p r o c e s s w i t h

r e s p e c t t o t h e e n d o w m e n t p r o c e s s e a n d t h e p r i c e p r o c e s s p i f t h e r e i s a t r a d i n g s t r a t e g y

( t ) t = ; 1 0 1 T s u c h t h a t

c ( t ) = e ( t ) +

N

X

n = 1

(

n

( t ; 1 ) ;

n

( t ) ) p

n

( t ) ( 2 . 1 9 )

f o r t = 0 1 2 T , w h e r e

n

( ; 1 ) = 0

n

( T ) = 0 : S i m i l a r t o t h e o n e t i m e - p e r i o d c a s e ,

a c o n s u m p t i o n p r o c e s s c = ( c ( 0 ) c ( 1 ) c ( T ) ) i s a t t a i n a b l e i f t h e r e i s a t r a d i n g s t r a t e g y

2 4


25/114

( t ) s u c h t h a t

c ( t ) =

N

X

n = 1

(

n

( t ; 1 ) ;

n

( t ) ) p

n

( t ) ( 2 . 2 0 )

f o r t = 1 2 T . A m a r k e t i s c o m p l e t e i f e v e r y c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s a t t a i n a b l e .

A s e l f - n a n c i n g t r a d i n g s t r a t e g y i s a t r a d i n g s t r a t e g y s u c h t h a t

N

X

n = 1

(

n

( t ; 1 ) ;

n

( t ) ) p

n

( t ) = 0 ( 2 . 2 1 )

f o r t = 1 2 T ; 1 . I n o t h e r w o r d s , u n d e r a s e l f - n a n c i n g t r a d i n g s t r a t e g y a n i n v e s t o r

c o n s u m e s o n l y h i s / h e r e n d o w m e n t , n o m o r e a n d n o l e s s , o n a n y i n t e r m e d i a t e t r a d i n g d a t e .

I t i s e a s y t o s e e t h a t a c o n s u m p t i o n p r o c e s s w i t h n o i n t e r m e d i a t e c o n s u m p t i o n s i s a t t a i n a b l e

i f a n d o n l y i f t h e c o r r e s p o n d i n g t r a d i n g s t r a t e g y i s s e l f - n a n c i n g .

I n t h i s s e c t i o n w e e x a m i n e t h e r e l a t i o n o f p r i c e s b e t w e e n a n y t w o c o n s e c u t i v e t r a d i n g

d a t e s .

L e t p ( t ) t = 0 1 T b e t h e p r i c e p r o c e s s a n d F

t

t = 0 1 T b e t h e i n f o r -

m a t i o n s t r u c t u r e w e d e n e d i n S e c t i o n 2 . 3 . A s w e h a v e a s s u m e d t h a t c o n s i s t s o f o n l y

a n i t e n u m b e r o f s t a t e s , i t c a n b e s h o w n t h a t e a c h F

t

i s g e n e r a t e d b y a n i t e p a r t i t i o n

f F

1

t

F

2

t

F

m

t

t

g , i . e .

m

t

i = 1

F

i

t

= F

i

t

\ F

j

t

= i 6= j a n d e a c h F

i

t

i s i n d i v i s i b l e i n F

t

.

T o s e e t h i s , g i v e n a n y ! 2 , l e t F

t

( ! ) b e t h e s m a l l e s t s e t i n F

t

c o n t a i n i n g ! . A l l s u c h

s e t s t h e n e i t h e r c o i n c i d e o r c o m p l e t e l y s e p a r a t e . T h u s a l l d i e r e n t F

t

( ! ) ! 2 , f o r m a

n i t e p a r t i t i o n o f . F r o m t h e i n d i v i s i b i l i t y o f e a c h F

i

t

, e v e r y r a n d o m v a r i a b l e d e n e d o n

( F

t

P ) i s c o n s t a n t o n F

i

t

.

L e t n o w t h e p a r t i t i o n

fF

1

t ; 1

F

2

t ; 1

F

m

t ; 1

t ; 1

gg e n e r a t e

F

t ; 1

. I t f o l l o w s f r o m

F

t ; 1

F

t

t h a t e a c h F

j

t ; 1

i s t h e u n i o n o f a n i t e n u m b e r o f F

i

t

' s . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e m a y

n u m b e r ! i s s u c h a w a y t h a t , f o r e a c h t , t h e r e a r e

1 i

1

< i

2


26/114

3

F

1

0

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Qs

1

F

1

1

-

P

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

F

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

Pq

:

F

1

2

X

X

X

X

X

Xz

-

F

2

2

:

-

X

X

X

X

X

Xz

F

3

2

-

F

4

2

:

-

X

X

X

X

X

Xz

F

5

2

F i g u r e 2 . 1 : T r e e s t r u c t u r e o f a l a t t i c e m o d e l

T h u s , i

j

; i

j ; 1

i s t h e n u m b e r o f s e t s i n F

t

s p l i t f r o m F

j

t ; 1

. S u m m a r i z i n g t h e d i s c u s s i o n

a b o v e , w e s e e t h a t t h e m o d e l w e c o n s i d e r i s o f a l a t t i c e o r t r e e s t r u c t u r e . U n d e r t h i s

s t r u c t u r e ,

F

j

t ; 1

j = 1 2 m

t ; 1

a r e n o d e s a t t i m e t ; 1 . T h e s e t F

i

t

F

i

t

F

j

t ; 1

, i s a b r a n c h c o m i n g f r o m F

j

t ; 1

:

R e c a l l t h a t p ( t ; 1 ) i s c o n s t a n t o n e a c h F

j

t ; 1

a n d p ( t ) i s c o n s t a n t o n e a c h F

i

t

. W e m a y

d e n o t e t h e s e c o n s t a n t v e c t o r s a s p ( F

j

t ; 1

) a n d p ( F

i

t

) r e s p e c t i v e l y .

F o r e a c h F

j

t ; 1

, w e n o w c o n s t r u c t a o n e t i m e - p e r i o d m o d e l a s f o l l o w s : p ( F

j

t ; 1

) i s i t s p r i c e

s y s t e m a n d

D ( F

j

t ; 1

) =

0

B

B

B

B

B

@

p

1

( F

i

j ; 1

+ 1

t

) p

N

( F

i

j ; 1

+ 1

t

)

.

.

.

.

.

.

p

1

( F

i

j

t

) p

N

( F

i

j

t

)

1

C

C

C

C

C

A

( 2 . 2 3 )

2 6


27/114

i s i t s p a y o m a t r i x .

T h u s , t h e m u l t i p l e t i m e - p e r i o d l a t t i c e m o d e l i s d e c o m p o s e d i n t o a c o l l e c t i o n o f t h e

a s s o c i a t e d o n e t i m e - p e r i o d m o d e l s i n w h i c h t h e p a y o s o f a p r i c e s y s t e m a r e t h e p r i c e s o n

t h e f o l l o w i n g t r a d i n g d a t e .

2 7


28/114

C h a p t e r 3

N o - A r b i t r a g e V a l u a t i o n

3 . 1 N o - A r b i t r a g e C o n d i t i o n

S i m i l a r t o t h e d e n i t i o n o f a r b i t r a g e f o r o n e t i m e - p e r i o d m o d e l s , w e s a y a p r i c e p r o -

c e s s p ( t ) t = 0 1 T a d m i t s a r b i t r a g e i f t h e r e e x i s t s a t r a d i n g s t r a t e g y ( t ) t =

0 1

T

;1 s u c h t h a t t h e a s s o c i a t e d c o n s u m p t i o n p r o c e s s

c ( t ) =

N

X

n = 1

(

n

( t ; 1 ) ;

n

( t ) ) p

n

( t ) ( 3 . 1 )

f o r t = 0 1 2 T , i s a n o n z e r o , n o n n e g a t i v e c o n s u m p t i o n p r o c e s s .

W e w i l l s h o w b e l o w t h a t a p r i c e p r o c e s s d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i f a n d o n l y i f e v e r y

a s s o c i a t e d o n e t i m e - p e r i o d m o d e l d e n e d i n S e c t i o n 2 . 4 d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e .

S u p p o s e t h a t t h e r e i s a n a s s o c i a t e d o n e t i m e - p e r i o d m o d e l w h i c h a d m i t s a r b i t r a g e , s a y

t h e o n e w i t h p r i c e s y s t e m p ( F

i

t

) a n d p a y o m a t r i x D ( F

i

t

) . T h u s , t h e r e i s a t r a d i n g s t r a t e g y

= (

1

2

N

)

0

s u c h t h a t

( ;

0

p ( F

i

t

)

0

D

0

( F

i

t

) )

i s n o n z e r o a n d n o n n e g a t i v e . L e t ( t ) = w h e n t h e s t a t e F

i

t

p r e v a i l s o t h e r w i s e , ( t ) = 0 .

T h e n ( t ) t = 0 1 T ; 1 i s a n a r b i t r a g e s t r a t e g y .

2 8


29/114

C o n v e r s e l y , S u p p o s e t h a t n o n e o f t h e a s s o c i a t e d o n e p e r i o d m o d e l s a d m i t s a r b i t r a g e

b u t t h e p r i c e p r o c e s s p ( t ) t = 0 1 T a d m i t s a r b i t r a g e . L e t ( t ) t = 0 1 T ; 1

b e a n a r b i t r a g e s t r a t e g y . T h u s ,

c ( t ) =

N

X

n = 1

(

n

( t ; 1 ) ;

n

( t ) ) p

n

( t ) 0

f o r t = 0 1 T a n d c ( s ) > 0 a t s o m e n o d e F

i

s

.

S t a r t i n g f r o m t h e l a s t t i m e i n t e r v a l T ; 1 T ] , t h a t

c ( T ) =

N

X

n = 1

n

( T ; 1 ) p

n

( T ) 0

a n d e v e r y o n e p e r i o d m o d e l d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i m p l i e s

N

X

n = 1

n

( T ; 1 ) p

n

( T ; 1 ) 0 :

I t f o l l o w s f r o m c ( T ; 1 ) 0 t h a t

N

X

n = 1

n

( T ; 2 ) p

n

( T ; 1 ) 0 :

C o n t i n u i n g b a c k w a r d s o v e r t i m e i n t h i s m a n n e r , w e h a v e

N

X

n = 1

n

( t ) p

n

( t ) 0

f o r t = s s + 1 T ; 1 :

S i n c e c ( s ) > 0 a t n o d e F

i

s

,

P

N

n = 1

n

( s ; 1 ) p

n

( s ) > 0 a t n o d e F

i

s

. T h e s a m e a r g u m e n t a s

a b o v e c a n s h o w t h a t f o r t = 0 1 s ; 1 , a t a t l e a s t o n e n o d e a t t i m e t

N

X

n = 1

n

( t ) p

n

( t ) > 0 :

I n p a r t i c u l a r , ; c ( 0 ) =

P

N

n = 1

n

( 0 ) p

n

( 0 ) > 0 w h i c h i s c o n t r a d i c t o r y t o c ( 0 ) 0 :

H e n c e , t o v e r i f y w h e t h e r a m u l t i - p e r i o d m o d e l a d m i t s a r b i t r a g e , i t i s s u c i e n t t o v e r i f y

w h e t h e r i t s a s s o c i a t e d o n e p e r i o d m o d e l s a d m i t a r b i t r a g e , w h i c h c a n e a s i l y b e d o n e a s w e

h a v e s h o w n i n C h a p t e r O n e .

2 9


30/114

3 . 2 R i s k - N e u t r a l P r o b a b i l i t y M e a s u r e s

W e n o w a l w a y s a s s u m e t h a t t h e p r i c e p r o c e s s p ( t ) t = 0 1 T d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e .

W e w i l l s h o w i n t h i s s e c t i o n t h a t u n d e r t h e n o - a r b i t r a g e a s s u m p t i o n , t h e r e i s a p r o b a b i l i t y

m e a s u r e o n ( F ) s u c h t h a t t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a r e m a r t i n g a l e s w i t h r e s p e c t t o

t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e F

t

.

C o n s i d e r t h e o n e p e r i o d m o d e l a t e a c h n o d e F

j

t ; 1

. F r o m T h e o r e m 1 . 2 , t h e r e i s a r i s k -

n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e , d e n o t e d a s

Q ( F

j

t ; 1

) s u c h t h a t

D

0

( F

j

t ; 1

)

Q ( F

j

t ; 1

) = ( 1 + r ) p ( F

j

t ; 1

) : ( 3 . 2 )

D e n e

Q ( t ! ) =

Q ( F

j

t ; 1

) ( F

i

t

) i f ! 2 F

i

t

F

j

t ; 1

:

T h e n , Q ( t ) i s m e a s u r a b l e o n ( F

t

) a n d Q ( t ) i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n e a c h F

j

t ; 1

. L e t

Q =

T

Y

t = 1

Q ( t ) : ( 3 . 3 )

W e r s t s h o w t h a t Q i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n ( F ) . T h e p o s i t i v i t y o f Q i s o b v i o u s .

L e t

1 i

1

< i

2


31/114

w h e r e Q ( s F

i

t

) = Q ( s ! ) f o r ! 2 F

i

t

a n d s t . I t i s w e l l d e n e d s i n c e Q ( s ) s = 1 t

a l l a r e F

t

- m e a s u r a b l e . P r o c e e d i n g i n t h i s m a n n e r y i e l d s

J

X

j = 1

Q ( !

j

) = =

m

0

X

k = 1

Q ( 1 F

k

1

) = 1 : ( 3 . 5 )

F u r t h e r m o r e , f o r a n y F

i

t

2 F

t

Q ( F

i

t

) =

X

!

j

2 F

i

t

Q ( !

j

) =

X

!

j

2 F

i

t

T

Y

s = 1

Q ( s !

j

)

=

t

Y

s = 1

Q ( s F

i

t

)

X

!

j

2 F

i

t

T

Y

s = t + 1

Q ( s !

j

) : ( 3 . 6 )

T h e s e c o n d f a c t o r i n ( 3 . 6 ) i s e q u a l t o o n e , w h i c h c a n b e d e r i v e d e x a c t l y a s w a s d o n e i n

( 3 . 4 ) a n d ( 3 . 5 ) . T h u s ,

Q ( F

i

t

) =

t

Y

s = 1

Q ( s F

i

t

) : ( 3 . 7 )

F o r a n y p a i r F

i

t

F

j

t ; 1

t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y

Q ( F

i

t

j F

j

t ; 1

) =

Q

t

s = 1

Q ( s F

i

t

)

Q

t ; 1

s = 1

Q ( s F

j

t ; 1

)

= Q ( t F

i

t

) =

Q ( F

j

t ; 1

) ( F

i

t

) ( 3 . 8 )

s i n c e Q ( s F

i

t

) = Q ( s F

j

t ; 1

) f o r s = 1

t

;1 .

W e n o w i n t r o d u c e t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s

a

n

( t ) = ( 1 + r )

; t

p

n

( t ) ( 3 . 9 )

f o r s e c u r i t y n n = 1 N . I n f a c t , a

n

( t ) i s t h e p r e s e n t v a l u e a t t i m e 0 , o f t h e p r i c e o f

s e c u r i t y n a t t i m e t , d i s c o u n t e d a t t h e r i s k f r e e r a t e r .

R e c a l l t h a t a s t o c h a s t i c p r o c e s s X ( t ) o n ( F F

t

P ) i s c a l l e d a m a r t i n g a l e i f

E ( X ( t ) j F

t ; 1

) = X ( t ; 1 ) : ( 3 . 1 0 )

W e n o w s h o w t h a t a

n

( t ) i s a m a r t i n g a l e u n d e r t h e p r o b a b i l t y m e a s u r e Q .

3 1


32/114

F o r a n y F

j

t ; 1

2 F

t ; 1

,

E

Q

( a

n

( t ) j F

j

t ; 1

) = ( 1 + r )

; t

E

Q

( p

n

( t ) j F

j

t ; 1

)

= ( 1 + r )

; t

X

F

i

t

F

j

t ; 1

p

n

( F

i

t

) Q ( F

i

t

j F

j

t ; 1

)

= ( 1 + r )

; t

X

F

i

t

F

j

t ; 1

p

n

( F

i

t

)

Q ( F

j

t ; 1

) ( F

i

t

)

b y ( 3 : 2 )

= ( 1 + r )

; t + 1

p

n

( F

j

t ; 1

) = a

n

( t ; 1 F

j

t ; 1

) :

T h e r e f o r e ,

E

Q

( a

n

( t ) j F

t ; 1

) = a

n

( t ; 1 ) : ( 3 . 1 1 )

M o r e o v e r , f o r a n y s < t ,

E

Q

( a

n

( t )

j F

s

) = a

n

( s ) : ( 3 . 1 2 )

T h i s c a n b e e a s i l y d e r i v e d f r o m E ( E ( X j F

1

) j F

2

) = E ( X j F

2

) w h e r e F

1

i s n e r t h a n F

2

.

H e n c e , i f t h e p r i c e p r o c e s s p ( t ) t = 0 1

T d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e , t h e r e i s a

p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q s u c h t h a t t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a

n

( t ) t = 0 1 T n =

1 N a r e m a r t i n g a l e s o n t h e l t e r e d s p a c e ( F F

t

Q ) . I t i s p r o v e d b e l o w t h a t t h i s i s

a l s o t r u e c o n v e r s e l y .

T h e o r e m 3 . 1 A p r i c e p r o c e s s p ( t ) t = 0 1 T d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i f a n d

o n l y i f t h e r e i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q s u c h t h a t t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a

n

( t ) t =

0 1

T n = 1

N a r e m a r t i n g a l e s o n t h e l t e r e d s p a c e (

F

F

t

Q ) .

P r o o f : I t i s e n o u g h t o p r o v e t h e s u c i e n t p a r t .

L e t Q b e s u c h a p r o b a b i l i t y m e a s u r e . F o r e a c h n o d e F

j

t ; 1

, d e n e a p r o b a b i l i t y m e a s u r e

Q ( F

j

t ; 1

) f o r t h e a s s o c i a t e d o n e p e r i o d m o d e l a s f o l l o w s : f o r e a c h F

i

t

F

j

t ; 1

,

Q ( F

j

t ; 1

) ( F

i

t

) = Q ( F

i

t

j F

j

t ; 1

) :

3 2


33/114

F r o m

E

Q

( a

n

( t ) j F

t ; 1

) = a

n

( t ; 1 )

w e h a v e

D

0

( F

j

t ; 1

)

Q ( F

j

t ; 1

) = ( 1 + r ) p ( F

j

t ; 1

) :

T h u s , n o n e o f t h e o n e p e r i o d m o d e l s a d m i t s a r b i t r a g e , n e i t h e r d o e s t h e m u l t i - p e r i o d m o d e l .

T h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q u n d e r w h i c h t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a r e m a r t i n g a l e s i s

c a l l e d t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e .

S o f a r , w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e r i s k f r e e r a t e i s a c o n s t a n t a n d n o n r a n d o m t h r o u g h t o u t

t h e e n t i r e p e r i o d 0 T ] : M o r e r e a l i s t i c a l l y , t h e i n t e r e s t r a t e s h o u l d b e a s s u m e d t o d e p e n d o n

t h e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e u p t o a c u r r e n t p o i n t i n t i m e . M a t h e m a t i c a l l y , t h i s i s e q u i v a l e n t

t o a s s u m i n g t h a t t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s r

t

t = 1 T i s a p r e d i c t a b l e p r o c e s s ( a

s t o c h a s t i c p r o c e s s X ( t ) i s s a i d t o b e p r e d i c t a b l e i f X ( t + 1 ) i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s ) . L e t

u s d e n o t e t h e d i s c o u n t f u n c t i o n a t t i m e t a s

R

; 1

t

=

1

( 1 + r

1

) ( 1 + r

2

) ( 1 + r

t

)

: ( 3 . 1 3 )

T h e n t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a r e

a

n

( t ) = R

; 1

t

p

n

( t ) t = 1 T ( 3 . 1 4 )

f o r n = 1 N . A l l t h e r e s u l t s f o r m u l t i - p e r i o d m o d e l s w e h a v e d i s c u s s e d a n d i n t h e

f o l l o w i n g s e c t i o n s c a n b e e x t e n d e d t o h o l d i n t h e c a s e t h a t t h e d i s c o u n t f u n c t i o n i s d e n e d

i n ( 3 . 1 3 ) .

3 . 3 V a l u a t i o n

I n t h i s s e c t i o n , w e a s s u m e t h a t t h e m a r k e t i s c o m p l e t e . T h e d i s c u s s i o n o f p r i c i n g i n a n

i n c o m p l e t e m a r k e t w i l l b e s i m i l a r t o t h a t i n S e c t i o n 1 . 4 .

3 3


34/114

S i n c e a n y c o n s u m p t i o n p r o c e s s c = ( c ( t ) t = 0 1 2 T ) , i s a t t a i n a b l e , w e h a v e a

t r a d i n g s t r a t e g y ( t ) t = 0 1 2 T ; 1 s u c h t h a t

c ( t ) =

N

X

n = 1

(

n

( t ; 1 ) ;

n

( t ) ) p

n

( t ) ( 3 . 1 5 )

f o r t = 1 2 T . N o - a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t t h e p r i c e o f t h i s c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s

( c ) = c ( 0 ) +

N

X

n = 1

n

( 0 ) p

n

( 0 ) ( 3 . 1 6 )

T h i s f o r m u l a s u g g e s t s t h a t t h e c o n s u m p t i o n p r o c e s s c = ( c ( t ) t = 0 1 2 T ) c o u l d

b e a c h i e v e d b y r e b a l a n c i n g a p o r t f o l i o w i t h i n i t i a l v a l u e ( c ) a t e a c h t r a d i n g d a t e : a t t i m e

0 , c o n s u m e c ( 0 ) a n d f o r m a p o r t f o l i o w i t h

n

( 0 ) s h a r e s o f s e c u r i t y n a t t i m e 1 , a d j u s t t h e

p o r t f o l i o s o t h a t w e o w n

n

( 1 ) s h a r e s o f s e c u r i t y n a n d c o n s u m e t h e r e s t w h i c h i s e x a c t

a m o u n t o f c ( 1 ) , a n d s o o n . T h i s p r o c e s s i s o f t e n c a l l e d r e p l i c a t i o n o r d y n a m i c h e d g i n g .

W h e n a s e c u r i t y h a s n o i n t e r m e d i a t e c o n s u m p t i o n s , w h i c h i s t h e c a s e f o r m a n y d e r i v a t i v e

s e c u r i t i e s , t h e p r i c e o f t h i s s e c u r i t y i s t h e v a l u e o f a p o r t f o l i o w h i c h r e p l i c a t e s t h e t e r m i n a l

p a y o o f t h e s e c u r i t y t h r o u g h a s e l f - n a n c i n g t r a d i n g s t r a t e g y .

A n o t h e r a p p r o a c h i s t o u s e t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e . S i m i l a r t o t h e o n e

p e r i o d c a s e , t h e p r i c e o f a c o n s u m p t i o n p r o c e s s c a n b e e x p r e s s e d a s t h e e x p e c t e d p r e s e n t

v a l u e u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e .

L e t

a = c ( 0 ) +

T

X

t = 1

c ( t )

( 1 + r )

t

: ( 3 . 1 7 )

a i s t h e p r e s e n t v a l u e o f t h e c o n s u m p t i o n p r o c e s s .

E

Q

( a ) = c ( 0 ) +

T

X

t = 1

E

Q

( c ( t ) )

( 1 + r )

t

= c ( 0 ) +

T

X

t = 1

N

X

n = 1

E

Q

(

n

( t ; 1 ) p

n

( t ) ) ; E

Q

(

n

( t ) p

n

( t ) )

( 1 + r )

t

:

S i n c e

E

Q

(

n

( t

;1 ) p

n

( t ) ) = E

Q

h

E

Q

(

n

( t

;1 ) p

n

( t )

j F

t ; 1

)

i

= ( 1 + r ) E

Q

(

n

( t

;1 ) p

n

( t

;1 ) )

3 4


35/114

E

Q

( a ) = c ( 0 ) +

T

X

t = 1

N

X

n = 1

h

E

Q

(

n

( t ; 1 ) p

n

( t ; 1 ) )

( 1 + r )

t ; 1

;

E

Q

(

n

( t + 1 ) p

n

( t ) )

( 1 + r )

t

i

= c ( 0 ) +

N

X

n = 1

n

( 1 ) p

n

( 0 ) = ( c ) : ( 3 . 1 8 )

I n p a r t i c u l a r , i f w e l e t

F

i

t

( ! ) =

8

>

:

1 ! 2 F

i

t

0 o t h e r w i s e

( 3 . 1 9 )

b e t h e A r r o w - D e b r e u s e c u r i t y w h i c h p a y s o n e u n i t w h e n t h e s t a t e F

i

t

p r e v a i l s a n d z e r o

o t h e r w i s e . T h e n , t h e c o r r e s p o n d i n g p r i c e i s

(

F

i

t

) =

E

Q

(

F

i

t

)

( 1 + r )

t

=

Q ( F

i

t

)

( 1 + r )

t

: ( 3 . 2 0 )

A l t h o u g h b o t h a p p r o a c h e s p r o d u c e t h e s a m e p r i c e f o r a n a n c i a l s e c u r i t y u n d e r t h e

i d e a l a s s u m p t i o n s w e h a v e u s e d , w h i c h s h o u l d b e u s e d i n p r a c t i c e d e p e n d s o n t h e t y p e

o f t h e s e c u r i t y . I n m a n y c a s e s , t h e r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n a p p r o a c h i s s i m p l e r t h a n t h e

d y n a m i c h e d g i n g a p p r o a c h , e s p e c i a l l y w h e n a s e c u r i t y i s a E u r o p e a n t y p e d e r i v a t i v e . T h i s

c a n b e s e e n i n t h e n e x t s e c t i o n w h e r e a E u r o p e a n c a l l i s c o n s i d e r e d . H o w e v e r , t h e d y n a m i c

h e d g i n g a p p r o a c h o e r s m o r e e x i b l i t i e s . i t a l l o w s u s n o t o n l y t o d e a l w i t h n o n - E u r o p e a n

d e r i v a t i v e s b u t a l s o t o d e a l w i t h t h e v a l u a t i o n p r o b l e m f o r m o d e l s u n d e r m o r e r e a l i s t i c

a s s u m p t i o n s . M a n y f e a t u r e s s u c h a s d i v i d e n d p a y m e n t s , t r a n s a c t i o n c o s t s c a n b e d e a l t w i t h

e a s i l y . T h e v a l u a t i o n o f A m e r i c a n d e r i v a t i v e s i s i l l u s t r a t e d i n t h e n e x t s e c t i o n . A p p l i c a t i o n s

o f t h e d y n a m i c h e d g i n g a p p r o a c h t o m o d e l s w h i c h i n c o r p o r a t e s t r a n s a c t i o n c o s t s c a n b e

f o u n d i n 4 ] a n d 3 ] .

3 . 4 B i n o m i a l M o d e l s o f O p t i o n P r i c i n g

C o n s i d e r n o w a m a r k e t w i t h o n l y t w o s e c u r i t i e s : a r i s k l e s s b o n d a n d a s t o c k . B o t h a r e

t r a d e d o v e r t h e p e r i o d 0 T ] . T h e r e a r e

T t r a d i n g d a t e s ,

t = 0 1

T ; 1 , s e p a r a t e d i n

3 5


36/114

r e g u l a r i n t e r v a l s . T h e s t o c k p r i c e S ( t ) f o l l o w s t h e r a n d o m w a l k m o d e l d e s c r i b e d i n S e c t i o n

2 . 2 . H e n c e ,

P r f S ( t ) = u S ( t ; ) j S ( t ; ) g = q

P r f S ( t ) = d S ( t ; ) j S ( t ; ) g = 1 ; q 0 < q


37/114

= ( 1 + r )

;

T

S ( 0 )

X

s

l o g ( K = S ( 0 ) ) ;

T l o g d

l o g ( u = d )

0

B

@

T

s

1

C

A

u

s

d

T ; s

q

s

u

( 1 ; q

u

)

T ; s

; ( 1 + r )

;

T

K

X

s

l o g ( K = S ( 0 ) ) ;

T l o g d

l o g ( u = d )

0

B

@

T

s

1

C

A

q

s

u

( 1 ; q

u

)

T ; s

:

L e t

q

u

=

u q

u

1 + r

: ( 3 . 2 4 )

T h e n , f r o m ( 3 . 2 2 )

q

d

= ( 1 ; q

u

) =

d q

d

1 + r

: ( 3 . 2 5 )

T h e p r i c e o f t h e c a l l c a n t h e n b e w r i t t e n a s

c

= S ( 0 )

X

s

l o g ( K = S ( 0 ) ) ;

T l o g d

l o g ( u = d )

0

B

@

T

s

1

C

A

q

s

u

( 1 ; q

u

)

T ; s

;( 1 + r )

;

T

K

X

s

l o g ( K = S ( 0 ) ) ;

T l o g d

l o g ( u = d )

0

B

@

T

s

1

C

A

q

s

u

( 1

;q

u

)

T ; s

= S ( 0 )

X

s

T l o g u + l o g ( S ( 0 ) = K )

l o g ( u = d )

0

B

@

T

s

1

C

A

q

s

d

( 1 ; q

d

)

T ; s

; ( 1 + r )

;

T

K

X

s

T l o g u + l o g ( S ( 0 ) = K )

l o g ( u = d )

0

B

@

T

s

1

C

A

q

s

d

( 1 ; q

d

)

T ; s

: ( 3 . 2 6 )

D e n o t e

d =

T l o g u + l o g ( S ( 0 ) = K )

l o g ( u = d )

a n d B ( x n p ) t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e b i n o m i a l

d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r s n a n d p , i . e .

B ( x n p ) =

X

s x

0

B

@

n

s

1

C

A

p

s

( 1 ; p )

n ; s

: ( 3 . 2 7 )

W e h a v e

c

= S ( 0 ) B (

d

T q

d

) ; ( 1 + r )

;

T

K B (

d

T q

d

) : ( 3 . 2 8 )

3 7


38/114

T h i s f o r m u l a i s t h e w e l l k n o w n o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a o f R o s s , C o x a n d R u b i n s t e i n 5 ] .

T h e d e l t a i s B (

d

T q

d

) . O t h e r G r e e k s c a n b e c a l c u l a t e d e a s i l y . I t a l s o r e v e a l s t h a t t o

r e p l i c a t e a E u r o p e a n c a l l , t h e s t r a t e g y i s t o f o r m a p o r t f o l i o l o n g i n s t o c k a n d s h o r t i n b o n d .

N o t e t h a t t h e r s t s u m m a t i o n i n t h e f o r m u l a i s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e b i n o m i a l

d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r q

d

a n d t h e s e c o n d s u m m a t i o n i s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f

t h e b i n o m i a l d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r q

d

. H e n c e b o t h c a n b e e v a l u a t e d q u i t e e a s i l y .

T o v a l u e a E u r o p e a n p u t o p t i o n , w e c a n e i t h e r u s e t h e a b o v e a p p r o a c h o r u s e t h e

p u t - c a l l p a r i t y .

L e t

P = m a x ( K ; S ( T ) 0 )

b e t h e p a y o o f a E u r o p e a n p u t o p t i o n w i t h t h e s t r i k e p r i c e K , e x p i r e d a t t i m e T . I t i s

e a s y t o s e e t h a t

m a x ( S ( T ) ; K 0 ) ; m a x ( K ; S ( T ) 0 ) = S ( T ) ; K :

H e n c e i f

p

i s t h e p r i c e o f t h e p u t , w e h a v e

c

;

p

= ( 1 + r )

;

T

E

Q

( S ( T ) ) ; K ] = S ( 0 ) ; ( 1 + r )

;

T

K : ( 3 . 2 9 )

T h i s i d e n t i t y i s c a l l e d t h e p u t - c a l l p a r i t y .

W e n o w c o n s i d e r t h e v a l u a t i o n p r o b l e m f o r A m e r i c a n o p t i o n s . T h e p a y o s t r u c t u r e o f

a n A m e r i c a n o p t i o n i s s i m i l a r t o i t s E u r o p e a n c o u n t e r p a r t . H o w e v e r , a n A m e r i c a n o p t i o n

c a n b e e x e r c i s e d a t a n y t i m e b e f o r e i t s e x p i r a t i o n d a t e . F o r e x a m p l e , a n A m e r i c a n c a l l

o p t i o n a n d a n A m e r i c a n p u t o p t i o n w r i t t e n o n a s t o c k w i t h t h e p r i c e S ( t ) a t t i m e t f o r

t h e p e r i o d 0 T ] c a n b e e x e r c i s e d b e f o r e t i m e T . T h e i r p a y o s , i f e x e r c i s e d a t t , w i l l b e

m a x ( S ( t ) ; K 0 ) a n d m a x ( K ; S ( t ) 0 ) , r e s p e c t i v e l y .

T h e v a l u a t i o n p r o b l e m f o r A m e r i c a n o p t i o n s i s g e n e r a l l y m u c h m o r e d i c u l t t h a n E u -

r o p e a n o p t i o n s . U n l i k e E u r o p e a n o p t i o n s , T h e r e a r e n o c l o s e d f o r m s o l u t i o n s f o r A m e r i c a n

o p t i o n s . T h i s i s b e c a u s e t h e b u y e r o f a n A m e r i c a n o p t i o n h o l d s t h e r i g h t t o e x e r c i s e a t

3 8


39/114

a n y t i m e a n d t h e p r o b l e m b e c o m e s h o w t o n d t h e o p t i m a l e x e r c i s e t i m e a t w h i c h t h e

e x p e c t e d d i s c o u n t e d p a y o f o r t h e b u y e r i s m a x i m i z e d . S i n c e a d e c i s i o n o n w h e t h e r t o e x -

e r c i s e s h o u l d b e b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n u p t o d a t e , a n e x e r c i s e t i m e i s a r a n d o m

lin 1996 lecture notes in mathematical finance

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