Zeitschr. 1. d h . Leg% und (hundlagen d . Math. Bd. 17 , S. 75-90 (1971)

LIMITES IN KATEGORIEN VON RELATIONALSYSTEMEN

von MICHAEL RICHTER in Freiburg i. Br.l)

In der Modelltheorie sind verschiedene Konstruktionen bekannt, um aus ge- gebeaen Relationalsystemen neue zu erzeugen. Meistens werden die erzeugten Relationalsysteme dadurch definiert, daB man die Triigermenge bestimmt und festlegt, wann Elemente in einer der Relationen stehen. Einige Begriffsbildungen, wie Limites und Produkte, sind eigentlich kategorialer Natur. Macht man die Klasse Ja aller Relationalsysteme zu einer Kategorie a,, indem man als Morphismen noch siimtliche Homomorphismen hinzunimmt, dann sind die explizit definierten gerichteten Limites (hier auch ,,kanonische" genannt) und direkten Produkte ge- rade Limites und Produkte in der Kategorie 9, ; leider existiert fur Ultraprodukte eine kategoriale Kennzeichnung bisher noch nicht. Wenn K eine beliebige Klasse von Relationalsystemen ist, dann definiert K eine volle Subkategorie aK von 9,. Limites mussen in solchen Kategorien nicht notwendig existieren (wiihrend jeden- falls gerichtete Limites in 9, immer existieren) , auBerdem konnen die kanonischen Limites von den in ex genommen verschieden sein. In dieser Arbeit werden fur spezielle Klassen K, insbesondere fur axiomatische Klassen K , gerichtete Limites in RK untersucht und Zusammenhiinge zwischen solchen Limites und Ultraproduk- ten behandelt. Dabei werden systematisch kategoriale Begriffsbildungen verwendet , eine zentrale Rolle spielt auch der Ultraprodukt- bzw. Ultrapotenzfunktor, der zum Ultraprodukt bzw. zur Ultrapotenz genau wie der Produkt- bzw. Potenz- funktor zum direkten Produkt bzw. zur direkten Potenz erklart ist. In 9 0 werden einige Grundbegriffe zusammengestellt, bei den kategorialen Begriffen wird auf Lehrbucher wie MITCHELL [13] und PREYD [S] verwiesen. Das Hauptergebnis des ersten Abschnitts ist, daD fur axiomatische Klassen K die in .QK genommenen gerichteten direkten Limites gerade die kanonischen Limites sind. Der Grund hier- fur ist, daB eine axiomatische Klasse hinreichend viele kanonische Limites enthiilt, niimlich alle Ultralimites, auf die sich die anderen Limites zuruckfuhren Iassen. Im zweiten Abschnitt wird versucht, gerichtete inverse Limites mit iihnlichen Methoden wie in 8 1 zu behandeln. Leider sind schon Durchschnitte in der Modell- theorie schlechter zu erfassen als Vereinigungen, erst recht gilt dies fur das Ver- hiiltnis von inversen zu direkten Limites ; deshalb werden nur spezielle inverse Systeme behandelt. Die zusatzlichen Voraussetzungen, die verlangt werden, sind bei direkten Limites erfullt.

8 0. Es wird eine axiomatische Mengenlehre, etwa nach NETTMANN-BERNAYS- GODEL, vgl. GODEL [7], zugrunde gelegt, das Auswahlaxiom wird generell'voraus- gesetzt. Sei L eine Kategorie, (I, 5) eine nach oben (bzw. nach unten) gerichtete

~~~

I) Die Arbeit enthiilt Teile der Dissertation des Verfassers an der Universitat Freiburg i. Br.

76 MICHAEL RICHTER

Menge, ( A l , i E I ) eine Familie von Objekten von 9 , (f,, , i I_ j) eine Familie von Morphismen von Q mit f,, : A , + A, (bzw. f,, : A, + A L ) . Dann heifit

81 = { ( I , 5 ) ) ( A , , iE-0 ( f i j ) i S j ) } ein gerichtetes direktes (bzw. inverses) System, wenn

(i) f, Einheit ; (ii) fur alle i , j , k mif i 5 j 5 k ist f J I , o fl, == fix.

Ein Objekt L heiBt direkter Limes vom W , bezeichnet rnit L = lim(?[), wenn eine Familie (f, : A , + L , i E I ) existiert, so daB fur alle i, j mit i 5 j f, o f c j = f l ist, und wenn es weiterhin fur jedes Objekt L', fiir das auch eine vertrigliche Familie ( f : : A , + L', i E I ) existiert, genau einen Morphismus h : L + L' mit f l = h o f c fur alle i E I gibt. Dual erklart man, wann P ein inverser Limes vow 81 ist (bezeichnet durch P = lim (a)). lim (W) bzw. lim (a) sind bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Definitions- und Bildmenge einer Funktion f werden durch def ( f ) und im(f) notiert. Wenn X 2 clef(/), so wird die Restriktion von f auf X mit f I X bezeich- net. Unter einem Typ p wird eine Funktion mit def(p) = a , 01 Ordinalzahl und i m ( p ) 5 w verstanden. Ein Typ p sei fur das Folgende fest gegeben.

+

t 3 f-

Ein Relutionalsystem A vom Typ ,u ist eine Folge

A = (W), R%<, 7

wobei u ( A ) eine Menge und R: 5 u(A)r("), fur a.lle G < 01 ist; dabei wird u ( A ) = B ausdrucklich zugelassen. Fur (a , , . . . , up(",) E R,; wird auch R: (a, , . . . , ge- schrieben. Anstatt von den Elementen von u ( A ) wird auch kurz von den Elementen von A gesprochen. Ein Homomorphismus f zwischen zwei Relationalsystemen A

f : A + B , und B

ist eine Abbildung rnit def( f ) = u ( A ) , im(f) 5 u ( B ) , so daB fur alle cr < OL und alle a,, . . . , up(,, E A aus Rt (a,, . . . , apCui,) folgt Rt ( f (a , ) , . . . , / (up(") ) ) ; f heil3t Einbettung, wenn R: (a,, . . . , ar[@$ aquivalent ist niit Rf (f (a,), . ~ . , f (up(,))) und wenn f zusatzlich injektiv ist; wenn f auch noch surjektiv ist, so wird von einem Isomorphismus gesprochen. A heiBt Subsystem won B, wenn u ( A ) $ u(B) und R: = R: A AQ(@ fur alle IJ < a ; B heiBt Vereinigung (bzw. Durchschnitt) einer Fa- milie A , , i € I , notiert durch B = U A , (bzw. B = n A , ) , wenn ein C existiert, so

daB sowohl B als auch A , , fur alle i E I , Subsystem von C ist, und u ( B ) = U u ( A 7 )

(bzw. u(B) = fI u(A, ) ) ist. Sei K eine Klasse von Relatiorralsystemen, dann be-

zeichne Sub(K) 5 K , daB K abgeschlossen ist unter Bildung von Subsystemen, d. h., mit B E K und A Subsystem von B ist auch A E K . Entsprechend bedeute U ( K ) 5 K bzw. n ( K ) 2 K , daB K abgeschlossen ist unter Bildung von Vereinigun- gen bzw. Durchschnitten von Systemen aus K , sowie Is0 ( K ) 5 K , daf3 K rnit jedem B auch alle zu B isomorphen Relationalsysteme enthllt. Es wird von nun an fur die ganze Arbeit Iso(K) 5 K vorausgesetzt.

Zu dem Typ p definiert man auf die iibliche Weise die entsprechende formale Sprache L ( p ) (Pridikatenkalkul 1. Stufe mit Identitat), den Erfullungs- und den

LEI 1EI

7EI

IEI

LIBlITES Ih' KATEGORIEN VON RELATIONALSYSTENEN 77

Wahrheitsbegriff, elementare Bquivalenz und elemeneare Einbettungen, vgl. TARSKI-VAUGHT [ 171. Eine Klasse H von Relationalsystemen hei13t dann, TARSKI [ 161 folgend, a x i m t i s c h e Klasse oder EC,-Klasse, auch notiert durch K E EC,, wenn eine Menge Z von Formeln existiert, so dal3 K die Klasse aller derjenigen Relationalsysteme ist, in denen alle Formeln aus Z wahr sind.

Die Klasse 52 aller Relationalsysteme definiert eine Kategorie 9, : Die Objekte von 9, seien die Relationabysteme, die Morphismen seien die Homomorphismen. Jeder Klagse K von Relationalsystemen entspricht eine volle Subkategorie R, von @a: Die Objekte von RK sind die Relationalsysteme aus K , die Morphismen die Homomorphismen zwischen Systemen aus K . Die Kategorie R, hat mehrere angenehme Eigenschaften : In R, existieren Produkte sowie Limites von gerichteten direkten und inversen Systemen. Produkte sind gerade die kartesischen oder direk- ten Produkte mit den Koordinatenprojektionen, fiir die Konstruktion von Limites vergleiche man etwa BOURBAKI [2]. Fur direkte Systeme und Limites gilt in 9,:

Wenn alle f l J , i 5 j , injektiv bzw. Einbettuagen sind, dunn ist auch f , fiir alle i C I injektiv bzw. Einbettung (s . BOURBAKI [2], zwar tritt dort als einzige Relation nur die Gleichheit auf, die ubertragung auf beliebige endlichstellige Relationen ist jedoch, da ( I , 5 ) gerichtet ist, sehr einfach). Wenn alle f , ) , i 5 j , elementare Ein- bettungen sind, dann sind auch alle f l , i E I , elementare Einbettungen (5. TARSKI- VAUGHT [I71 fur den Fall, daS I = w und die f l J Inklusionen sind, fiir den all- gemeinen Fall vgl. z. B. BELL-SLOMSON [l]). Im inversen Fall gilt ein entsprechen- der Satz nicht.

Die Limites in 9, werden auch die ,,kanonischen Limites" genannt. Geht man zu einer Klasse K von Relationalsystemen und zur zugehorigen vollen Subkatego- rie 9, uber, so mu13 zu einem gerichteten System ?I nicht mehr notwendig der direkte bzw. inverse Limes existieren, dies ist jedoch der Fall, wenn der kanonische Limes in K liegt (denn dann ist der kanonische Limes auch Limes in RK). K hei13t abgeschlossen unter gerichteten direkten bzw. inversen Limites, notiert durch Iim ( K ) K bzw. lim(H) 5 K , wenn K alle entsprechenden kanonischen Limites von Systemen aus H enthdt ; die Abgeschlossenheit von K unter Limites von gerichteten Syste- men vom Typ w (d. h. ( I , 5) = (0, I), die naturlichen Zahlen in ihrer Ordnung) wird durch lim, (K) 5 K bzw. 1ew (K) 5 K vermerkt. Direkte Limites vom Typ w ,

bei denen alle f , j elementare Einbettungen sind, heiSen Ultralimites. EC,, -Klassen sind unter Ultralimites abgeschlossen (bezeichnet durch U L ( K ) 5 K ) .

Es folgt noch eine kurze Zusammenstellung der iiber Ultraprodukte benotigten Tatsachen (eine ausfuhrliche Darstellung findet man etwa in FRAYNE-MOREL- SCOTT (51 oder KOCHEN [lo]). Sei eine Familie ( A , , i E I ) von Relationalsystemen sowie ein Ultrafilter D uber I gegeben.

In u(n A , ) wird eineRelationSD definiert: Fur alle E , [ E u ( n A,)gelteS,(t, [)

genau dann, wenn {i E I I E l = [,} E D. S , ist eine Bquivalenzrelation; sei 7tD : u(n A , ) -+ u ( n A l ) / S D die Quotientenabbildung. Auf n D ( u ( I f A,)) wird re-

+ t

+

ZEI 1EI

, € I , € I & € I

78 MICHAEL RICHTER

priisentantenweise fur jedes Q < a eine Relation R,* erkliirt durch RS (al , . . . , apt,,,) genau dann, wenn fl, . . . , t*(a) existieren, so daD {i E I I R,"' ( f t , , . . , Erta))} E D ; diese Definition ist unabhiingig von den Reprasentanten. Das Relationalsystem mit der Tragermenge ZD (u (n A , ) ) und den Relationen R,* , u < a, heifit dann das

Ultraprodukt der A , nach dem Filter D , bezeichnet durch 17 A J D . Aus der Defini-

tion folgt, daB die Abbildung Z D : 17 A , -+ 17 A J D ein Homomorphismus ist. Falls

fur alle i E I A , = A ist, heiBt das Ultraprodukt auch Ultrapotenz, notiert durch A ; . Jedes Relationalsystem lafit sich in seine Ultrapotenz einbetten : Sei IdA die

Identitat auf A , dann ist A = ~ C D 0 Id;: A -A'- A; eine Einbettung; A heifit auch die kanonische Einbettung.

Wenn h, : A , + B, fur alle i E I ein Homomorphismus ist, dann existiert genau ein h , so daB

1EI

1EI

, € I 1 E I

I d 2 ZGg

kommutiert, denn fur 5 , [E n Ai ist {i E I I (17 h i ( f ) ) i = (n hi([)) i} =

= { i E I 1 hi( t i ) = hi(c)> 2 { i E I 1 f i = T i } , also Ker ( E L 0 ff hi) 5 Ker (no) (Ker ( f )

ist der Kern der Abbildung f ) . Sei 17 hilD = h , dann ist die Zuordnung, die jeder

Objektfamilie ( A i , i € I ) zuordnet 17 A i / D , und jeder Morphismenfamilie

(hi : Ai + Bi, i E I) zuordnet 17 hi /D : A i / D -+ 17 B J D , funktoriell, der so

erklarte Funktor heiBt Ultraproduktfunktor zurn Paar ( I , D) oder kurz Ultraprodukt- funktor. Aus der Definition folgt sofort: Wenn hi fur alle i E I injektiv bzw. Ein- bettung ist, dann ist auch 17 hi/D injektiv bzw. Einbettung. Entsprechend wird der

Ultrapotenzfunktor definiert : Wenn h : A + B ein Homomorphismus ist, dann sei h; der eindeutig bestimmte Homomorphismus, der

iEI i E I i E 1

iEI

i E I

iEI

i € I iEI iEI

i E I

h' A' - B'

LIMITES IN KATEQORIEN VON RELATlONALSYSTEMEN 79

kornmutativ macht. Der Ultrapotenzfunktor ordnet jedem A zu A; und jedem h : A + B zu h i : A; + BL. Auch der Ultrapotenzfunktor erhiilt injektive Homo- morphismen sowie Einbettungen. Aus der Definition von A folgt weiter, daD eine natiirliche Transformation vom identischen Funktor zum Ultrapotenzfunktor existiert, denn es kommutiert

h A - B

I A I A (Wie KEISLER bemerkte (nicht publiziert)).

Essei J g I u n d J E D . Dannist

D [ J = { X g J ( e x . Y E D , X = Y n J } ein Ultrafilter uber J . Ferner ist D I J 5 D , und wenn J , E D, J, J , dann ist J1 E D I J , und es gilt D I J I J , = D I J,. Weiter existiert genau ein h J , hJJl und hJl , SO daD, wenn r und r, die Restriktionen sind, folgendes Diagramm kommutiert :

r r.

I nD n1.q .I, I h.ll

denn es gilt Ker (nD) = Ker (no I J o r ) = Ker (nDI J1 o r, o r ) und Ker (nnl J ) = = K e r ( n D I J , 0 r l ) . Daraus folgt hJ1 = hJJl o h J , sowie, daD alle drei Abbildungen Isomorphismen sind.

Grundlegend fur die Bedeutung der Ultraprodukte in der Modelltheorie ist der sog. Hauptsatz uber Ultraprodukte, im wesentlichen zuerst bei L6s [ll] :

Ein Satz d> der Sprache L ( p ) ist genau dann wahr in 17 AJD, wenn {i € I I @ wahr in .Ai}€ D.

Sei die Abgeschlossenheit einer Klasse K unter Bildung von Ultraprodukten mit UProd ( K ) 2 K bezeichnet, dann folgt aus dem Hauptsatz: Wenn K E EC, , dann UFrod ( K ) 5 K . AuDerdem gilt, daD die kanonische Einbettung A : A 3 A; elementar ist und dap sowohl Ultrapodukt- wie auch Ultrapotenzfunktor elementare Einbettungen erhalten.

iEI

80 MICHAEL RICHTER

Q 1. In diesem Paragraphen werden einige Zusammenhange zwischen direkten Limites und Iiltraprodukten betrachtet.

Sei (I, 5) eine nach oben gerichtete Menge. Die Mengen J, = {j E I 1 j >= i} , i E I sind dann die Filterbasis eines Filters Do uber I, Do heil3t auch der Filter der E'nclen won ( I , 5); sei im Folgenden D ein Ulcrafilter uber I mit Do 5 f). Sei H eine Klasse von Relationalsystemen mit UProd [ K) 5 K und sei ein perichtetes direk- tes System

? ~ = { ( ~ , ~ ) , ( A , , i ~ I ) , ( f l ~ , ~ ~ j ) } ) A , C K f u r i C I ,

gegcben ; sei weiter angenommen, da13 der direkte Limes L von ?( in der durch K definierten vollen Subkategorie fiiH der Kategorie R, aller Relationalsysteme existiert, die Limesabbildungen seien f L : A I + L. Dann gilt :

1.1 Hi l f ssa tz . E's existiert ein Homomorphismus

f : L -+ 17 A , l D . I E I

Beweis. Um sich den Homomorphismus f zu verschaffen, genugt es (wegcn der Universaleigenschaft von L), Homomorphismen von den A I in das Ultraprodukt zu konstruieren, wolche mit den f l , kommuticren. Das geschicht uber folgendes Diagramm :

Wenn r Projektionsabbildung ist, kommutiert ( [). Ferncr gilt fur

5 , c E 17 Aj : {j E J , 16, = c,} E D 1 J, genau dann, wenn {j E Jk 1 t j = c,} E Ll 1 J h ,

also ist Ker (nnl J~ 0 r ) = Ker (3" I J , ) ) mithin esistiert ein eindeutig bestimmter Isomorphismus F , so da13 (11) komrnutiert. Aus der 'Definition yon hJ, und hJ, (vgl. Q 0 ) folgt dann auch die Kommutatiritat von (111).

j E J i

LIMITES IN EATEGORIEN VON RELATIONASSYSTEMEN 81

fur alle i E I kommutiert.

Wed sich Diagramm (a) aus natiirlichen Transformationen zusammensetzt, exi- stiert sogar eine natiirliche Transformation vom Limesfunktor zum Ultraprodukt- funktor.

Der Ultraproduktfunktor auf die Limesabbildungen f i : A i + L angewandt., liefert nun einen Homomorphismus

(Auch hier handelt es sich um eine natiirliche Transformation.) Weiter gilt :

1.2Hilfssatz . WenlzA : L --+ L~diekanonischeEinbettungist ,sogiltgof=A,d.h. ,

f

kommutiert . Beweis.

t t

6 Ztschr. f. math. Logik

82 MICHAEL RICHTER

Fur i, i E I und i d j ist fj o f i j = f i , der Produktfunktor liefert, dalj (I) kommu- t,iert, ebenso auch (11). Da (111) und (IV) wegen ( 0 0) kommutativ sind, folgt g o f o f i = A o f i , und daraus die Behauptung g o f = A .

1.3 Korollar. Da A eine Einbettung ist, ist auch f eine Einbettung.

Sei nun L' der Limes des gerichteten Systems $1 in der Kategorie 9, aller Rela- t'ionalsysteme, die Limesabbildungen seien f i : Ai --f L'. Dann existiert genau ein h , so da13

kommut,iert. Weiter existiert ein eindeutig bestimmtes f', so dalj

Ai

kommutativ ist; da f c h dieses Dreieck kommutativ macht, ist f' = f 0 h. Wenn A' : L' -+ L: die kanonische Einbettung ist, g' = n f l gesetzt wird, beweist man

wie in (1.2) g' o f' = A', d. h., folgendes Diagramm kommutiert: ZEZ

(8) f' 4

L' <y;:3 1 L ;

9 = D f t l D 1 E I Lb

Wendet man auf Diagramm (g) den Ultraproduktfunktor an, so erhiilt man Dia- gramm (h) und dieses schlieDt genau an (g) an. Dieses Verfahren l&& sich nun ab- zahlbar oft wiederholen, man erhiilt ein gerichtetes direktes System

Ti = ( (0, s, (A,,, n < o), ( f n k , n i A)}, wobei die A,, und j r l h induktiv definiert sind

A. = L', A, = L , A2 = n A J D ; TL 2 3: A,, = IEI

I f O l = h , 1 1 2 = f , f 2 3 = nfl/D; 2 3: ?n ,n+ l = ( f n - 3 , n - Z ) D ;

1EZ

LIXITES IN KATEGORIEN VON REL-4TIONALSYSTEMEN 83

die restlichen fnk werden aus diesen zusammengesetzt. Da sowohl J , = (3n I n < w } , J , = {3n + 1 1 n < w } als auch J , = {3n + 2 I n < w } konfinal in w sind, haben die durch diese Mengen definierten Teilsysteme von @ den gleichen Limes wie a , falls dieser existiert.

Man erhiilt:

1.4 Satz . Sei KE EC,. Dann silt

(i) Wenn der Limes L von 2I in K existiert, dann ist L E L', d. h., L ist der kano- nische Limes.

(ii) Jeder Limes von K ist elementares Subsystem eines w-Limes von K , also 5, (K) 5 K , genau dann, wenn lim (K) C K.

Beweis. Man betrachte das System a. Sei E der kanonische Limes von a. Dann ist E ein Ultralimes sowohl von L als auch von L'. Aus L E K folgt dann E E K und damit L'E K , also L zz L', d. h., (i) gilt. Sei nun lim,(K) 2 K. Das durch J, definierte Teilsystem von a (hier kommen nur Ultrapotenzen von 17 ACID, also

Relationalsysteme aus K , vor) ist vom Typ w und hat also nach Voraussetzung einen Limes, dieser ist wegen (i) isomorph zu 5, L ist aber ein elementares Sub- system von ti, also gilt (ii).

+ -

-+ 1EI

1.5 Korol lar . (i) U(K) 2 K genau dann, wenn U,(H) 5 K. (ii) Wenn alle f c J elementare Einbdtungen sind, dann auch alle f l sowie f .

Beweis. (i) Sind alle f E J Einbettungen, so auch die f l , 17 f J D sowie samtliche

Ultrapotenzen hiervon. (ii) Es ist /: = hJo o 17 f lJ /D I J,, hJo ist ein Isomorphismus J E J ,

und f , ,ID I J , ist elementar, weil der Ultraproduktfunktor elementare Einbettun-

ZEI

i E J i gen in elementare Einbettungen iiberfiihrt; die Behauptung folgt dann aus 3 0.

6*

84 MICHAEL RICHTER

Das obige Verfahren fuhrt nun, KEISLER [S] folgend, zu einer Charakterisierung

1.6 Definition. (i) A E E ( B ) genau dann, wenn ein Ultrafilter D uber einer

limesabgeschlossener Klassen.

Menge I und Homomorphismen f : A --f B , g : B + A; existieren, so da13

i

kommutiert . (ii) E(K) = U E ( B )

BEK Bezeichne im ntichsten Satz das Komplement von K in der Klasse aller Relatio- nalsysteme.

1.7 Satz. Sei UProd (K) 2 K, U L ( K ) 5 g . Dann i s t lim(K) 2 K genaudann, wenn E(K) 2 K.

Beweis. Sei E ( K ) 2 K, und seien A, E K, i E I , Relationalsysteme eines ge- richteten direkten Systems nX mit dem kanonischen Limes L'. Dann ist I7 A, /D E K

und Itifit sich nach Satz 1.2 auf die gewunschte Weise zwischen L' und Lk einschach- teln, also L' E K .

Wenn umgekehrt lim ( K ) 5 K vorausgesetzt wird und B E K , A E E (B) ist, also Dreieck (i) kommutiert, so verschafft man sich wie in Satz 1.4 ein gerichtetes System, dessen Glieder abwechselnd Ultrapotenzen voii A bzw. B sind. Wegen UProd (K) 5 2 K sind alle Ultrapotenzen von B aus K , damit aber auch deren Limes 2 ; E ist aber Ultralimes von A , also A E K.

Die Einbettung aus Satz 1.1 ist in einem Spezialfall bereits bei FRAYNE-MOREL- SCOTT [5] behandelt : Sei (A, , i E I) die Familie aller endlichen Subsysteme eines Relationalsystems A , durch die Inklusionsabbildungen zu einem gerichteten System mit dem Limes A gemacht, dann ist A einbettbar in 17 A J D .

--+

i E I

4

1 E I

Korollar 1.5(i) ist schon in KEISLER [9] bewiesen; im Palle aufsteigender Ketten steht 1.5(i) schon bei CHANC [3] und L6s-Sr;rszKo [12]. Aus Satz 1.1 folgt weiter: Wenn K E UC, (d. h. es existiert eine K definierende Menge von Satzen, die in praneser Normalform nur Allquantoren enthalten), dann ist lim(K) 5 K (denn

Sub (K) 2 K). (In FLEISCHER [4] durch Induktion uber den Aufbau der Pormeln bewiesen). Eine syntaktische Charakterisierung limesabgeschlossener axiomatischer Klassen findet sich bei KEISLER [S].

Wenn K keine axiomatische Klasse ist, stimmt 1.4 i. a. nicht, wie folgendes Bei- spiel zeigt: Piir Ordinalzahlen v sei A , = ( Y , <); die Klasse K bestehe aus

--t

LIMITES IN KATEQORIEN YON RELATIONALSYSTEMEN 85

{A,, I v < w } v und allen hierzu isomorphen Relationalsystemen. In der durch K definierten Kategorie sind dann alle Homomorphismen injektiv. Fur v < p sei f v P : A , -+ A,, die Inklusionsabbildung und sei 8 das gerichtete System der A , und f,,,. Der kanonische Limes von 2l ist dann A , 4 K . Urn zu zeigen, da13 der Limes von i?l jedoch A,+1 ist (mit den Inklusionen f , : A, + A,+1 als Limes- abbildungen), mu13 die Universaleigenschaft nachgepriift werden: Sei (1: , v < w ) eine mit den f,,, vertragliche Familie, f: : A , 4 A,. Aus der Eineindeutigkeit der f : folgt oc = w + 1 , und weiter existiert genau ein h , so daB

f”

fur x < w , v > x kommutativ ist, und zwar ist dies h (x) =

g 2. Dieser Abschnitt beschaftigt sich mit inversen Systemen und inversen Li- mites. Dieses sind im allgemeinen in der Modelltheorie schwieriger zu behandeln als direkte Systeme, z. B. kann der Durchschnitt yon elementaren Subsystemen leer sein. Es werden hier Bedingungen fur gerichtete inverse Systeme angegeben, so da13 analoge Bedingungen fur gerichtete direkte Systeme gelten und iihnliche Methoden wie in 4 1 zur Anwendung kommen konnen. Sei ( I , 5 ) eine beliebige nach unten gerichtete Menge. Die Mengen

J:’ = { j E I / j 5 i}, i E 1 , sind dann die Basis eines Filters Do uber I (der sog. Filter der Anfange von ( I , I); sei im folgenden D ein Ultrafilter uber I mit Do 5 D. Sei wieder K eine Klasse von Relationalsystemen mit UProd (K) 2 K und sei ein inverses System

a, = { ( I , S ) , (Ai, i E I ) , ( p l J , i 5 j ) } , A E K fur i E I , gegeben, der Limes Po von U, in K existiere, die Projektionsabbildungen seien p , : Po 3 A , .

A , . Dann existiert wegen der Universaleigenschaft von PA genau ein h,, so da13 fur jedes i E I

Der kanonische Limes von i?l, sei PL mit den Projektionen p: : Po

h, Po - I?J (4

kommu tiert .

86 MICHAEL RICHTER

Weiter gilt

2.1 Hilfssatz. Es gibt Homomorphismen f o : Po + IT Ai /D und f6 : Ph --*

Beweis. Es existieren eindeutig bestimmte j 0 und j ; , so daD

A i / D mit f o = f 6 0 h,. i E I iEI

P!

/ e i (Projekt,ionen)

kommutiert niimlich

man setze dann fo = X D 0 /,, f; = ndg o j ; . Der Ultrapotenzfunktor liefert ein inverses System

{(I, ~ ) , ( ~ i ) ~ , ~ € I ~ ( ( p i j ) ~ , ~ Sj)}, dessen inverser Limes P, mit den Projektionen p , i : P , + (A;); in eK existiere und dessen kanonischer inverser Limes Pi mit den Projektionen pi i : Pi -+ (Ai); sei. Sei I t , die eindeutig bestimmte Abbildung, die

kommutativ macht.

Wenn A i : A i + (Ai); die kanonischen Einbettungen sind, dann existieren

qo: Po + PI, qo = ]Edi (in 9,)

76: PA 3 P i , q6 = lirn'li (in eQ). und

c

Weil fur alle i E I A i eine Einbettung ist, i u t auch eine Einbettung.

LINITES IN KATECORIEN VON RELATIONALSYSTEMEN 87

2.2 Hilfssatz. Es existieren

seien hJt : AfD + (A,)&

die Rest,riktionsisomorphismen

und h:t : n Ai/D -+ 17 Ai/D [ J J : i E I i € J t

dann kommutiert fur alle i , k E I mit i 5 k das Dreieck

(man schriinke nur auf die Filtermenge JT n JZ = JZ ein). Deshalb existieren eindeutig bestimmte go, gh, so daD fur alle i E I

j j l i = p l i o g 0 und p l i = p ~ i o g ~ .

Ferner ist kommutativ :

PI AJD I JT

denn wenn ri : 17 Ai + fl Ai die Restriktionsabbildung ist, gilt nach Definition

17 p j i / D I J f o h > f o n , o fl p i = ? c D ~ J ; o fl p j i o r i o fl pi von h>;: i E I i E J t

j € J T iEI j € J : iEI

= ~ D I J : 0 P? = CdiIfi 0 P i ,

wenn (Ai)J; : Ai + (Ai)& die kanonische Einbettung ist. Also gilt

d i 0 Pi = P1 i 0 f o = P1i 0 90 0 f , entsprechend erhiilt man: A i 0 pi = p i i 0 gh 0 j : ; man erhalt also vo = go o fo und

Da go eindeutig bestimmt ist, gilt auch gb = h, o go. Man erhiilt also folgendes 17; = g:,ofA.

Diagramm :

2.3 Korollar. Weder F, noch Pi sind leer.

Wenn samtliche A i endlich sind, dann sind Ai und (Ai); sowie Pi und PA iao- morph. Daraus folgt, daB der inverse Limes endlicher Mengen niemals leer ist, denn er ist homomorphes Bild des Ultraprodukts eben dieser Mengen (vgl. auch A. RO- BINSON [15]).

2.4 Korollar. f6 i s t eine Einbettung.

Beweis. A i ist fur alle i E I eine Einbettung, daher auch 76 und somit fb. Bemerkungen. 1) Die Einbettung f6 geht fur den Spezialfall, das P' ein direktes

Produkt und somit inverser Limes seiner endlichen Partialprodukte ist, auf CHANG und KEISLER zuriick, s. FRAYNE-MOREL-SCOTT [5].

2 ) Aus Korollar 2.4 folgt noch, daB UCA-Klassen abgeschlossen gegen kanoni- sche inverse Limites sind und somit in diesen Klassen (gerichtete) kategoriale Li- mites existieren, da aich die Limites, genau wie im direkten Falle, als Subsystem von Ultraprodukten uber die einzelnen Glieder darstellen lassen (vgl. FLEISCHER [4] dort durch Induktion uber den Aufbau der Formel bewiesen). Weiter folgt noch, daB eine UCA-Klasse dann und nur dann gegen baliebige direkte Produkte abgeschlos- sen ist, wenn sie gegen endliche direkte Produkte abgeschlossen ist (zuerst bei TARSEI [ 161).

LIMITES IN KATEGORIEN VON RELATIONALSYSTEMEN 89

Sei 'II, das durch n-malige Anwendung des Ultrapotenzfunktors aus go entstan- dene inverse System, dessen Limes P, in ,QK existieren moge und dessen kanoni- scher Limes PA sei, die Projektionen seien p , bzw. pk i ; sei weiter : A,; = Ai , A,+li = = (A,,); und sei An = 17 AnJD, dann verschafft man sich wie oben hn, f,, fk, g,, g:, , 15, i , qn , T:, so daD ein (f) entsprechendes Diagramm kommutiert :

i E I

Ani (Ant);) = A,,+, , i und v, = g, o f,, q: = g: o fk die q0 bzw. q; entsprechende Limesabbildung ist. Daraus resultiert, daD die Familie {P,, PA, An 1 n < w} zusammen mit der Familie {f, , f i , h, , g n , gk I n < w} ein direktes System %* vom Typ w definiert, in dem die Teilsysteme, die durch die P, bzw. P: bzw. A, definiert werden, konfinal sind.

2.5 Definition. Das inverse System '21, heil3t

(i) schon, wenn fur n < w q i eine elementare Einbettung ist;

(ii) sehr schon, wenn lim'iT0 in eK existiert und wenn fur n < w sowohl q,, als auch q: eine elementare Einbettung ist.

bzw. qk Limites von elementaren Einbettungen sind, ist bei direkten Syste- men eine (i) analoge Bedingung immer und eine (ii) analoge Bedingung fiir Kate- gorien RK mit K € EC, erfiillt.

t

Da

2.6 Satz. Sei K E E C , . Dann gilt: (i) Fur sehr schone Systeme sind die inversen Limites in @K gerade die kanonischen,

auperdem sind die Limites nicht leer. (ii) Wenn lim ( K ) 2 K und % schon ist, dann existiert h i ((Lo in !RK zcnd ist kanonisch ;

damit ist % dann auch sehr schon.

Beweis. (if Man betrachte das direkte System %*, dessen direkter Limes L sei. Da % sehr schcn, ist L elementar aquivalent sowohl zu Po als auch zu PA, daher ist Pi E K und Po E PA. Nach Korollar 2.3 ist Pi nicht leer, daher gilt auch Ph $- 0,

(ii) Man betrachte das durch die Pi bzw. A" definierte Teilsystem von %* (die Existenz von P, wird gar nicht vorausgesetzt). Wegen K E ECA ist An E K , fiir alle n < co und wegen lim(K) 2 K gilt L lim(An 1 n < o) E K ; da L elementar Lqui- valent zu PA folgt Pi E K , damit ist auch Fi = I*(%) in BK und % sehr schon.

--+

Po * 0.

--+ ---t

90 MICHAEL RICHTER

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(Eingegangen am 9. Juli 1969)