limesi, levi i desni limes

Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio

Granicne vrijednosti realnih nizovaFunkcija f : N R, gde je N skup prirodnih brojeva a R skup realnih brojeva, zove se niz realnih brojeva ili realan niz. Opsti clan niza f je f (n),n N, i obicno se obelezava sa fx, dok se sam niz obelezava sa (fn), ili saf = (f1, f2, . . . , fn, . . . ). Niz se cesto obelezava sa (xn), (yn) ili (an). Na

1 primer xn = 2n

1 je opsti clan niza x = (1, ,1 3

1 15 , 7

, . . . ).

IV.1. Granina vrijednost funkcije

Definicija 1. Neka je funkcija definisana u okolini neke take , osim eventualno u samoj taki . Za broj kaemo da je granina vrijednost funkcije u taki i piemo ako za dat postoji koje zavisi samo od (to piemo kao ) tako da vrijedi

.Ovo moemo zapisati kao

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 .

Ovdje po definiciji pretpostavljamo da je . Granina vrijednost funkcije () moe da bude i beskonanost (+ ili - ).Sada emo dati deficiciju u sluaju da je granina vrijednsot .

Definicija 2. Neka je funkcija definisana u nekoj okolini take osim eventualno u samoj taki . Tada je ako za proizvoljno veliko, pozitivno M postoji broj koji zavisi samo od (dakle, ) takav da vrijedi

.Napomenimo da funkcija u nekoj taki ne moe primati vrijednost ili .

Pogledajmo primjer funkcije sa grafika:

Ova funkcija oigledno nema graninu vrijednost kada . Meutim ima tzv. "desnu" i "lijevu" graninu vrijednost. S slike se vidi da je lijeva granina vrijednost neki konaan broj, dok je desna granina vrijednost .Sada emo dati definiciju desne i lijeve granine vrijednosti.

Definicija 3. Neka je funkcija definisana na intervalu (). Broj je lijeva granina vrijednost funkcije f kad (ili kada , to znai da se pribliava broju s lijeve strane) ako za svako postoji takvo da vrijedi


(lijevu graninu vrijednsot analogno definiemo i kada je ).Ovo piemo kao .Desna granina vrijednost funkcije (bila ona konana ili beskonana) analogno se definie se na isti nain, samo je potrebno da funkcija bude definisana desno od take i treba vrijediti


Za desnu graninu vrijednost koristimo oznaku (ili ).Teorem. Funkcija f ima u taki graninu vrijednost A (ili ) ako i samo ako postoje limesi i i jednaki su A (ili ).Na kraju, daemo definiciju granine vrijednosti funkcije kada , odnosno kada .

Definicija 4. Neka je funkcija f definisana na intervalu (). Funkcija f ima graninu vrijednost kada () ako za dato postoji takvo da vrijedi

() .(U sluaju ili imali bi () za unaprijed dato .)Primjer 1. Izraunajmo .

Direktnim uvrtavanjem u funkciju vidimo da je .

Analogno, zakljuujemo da je .

Primjer 2. Ukoliko elimo direktnim uvrtavanjem izraunati , to nije mogue jer za dobijamo da je , to nije definisano. Ukoliko bismo napisali da je , takoer bismo napravili greku, jer limes moe biti samo ili , a ne . To nas navodi da posmatramo posebno lijeve i desne granine vrijednosti, pa imamo:

, gdje nam znak "-" iznad broja 0 oznaava da je za (jer posmatramo lijevi limes) izraz negativan. To znai da je kolinik takoer negativan (jer je eksponencijalna funkcija uvijek pozitivna), pa je .

Analogno, moemo zakljuiti da je, za izraz uvijek pozitivan, pa je .

Kako se lijevi i desni limesi funkcije , kad razlikuju, to ne postoji limes te funkcije kad , nego samo lijevi i desni limesi.

Primjer 3. Izraunajmo . Pri izraunavanju limesa racionalne funkcije kada , jednostavnije je podijeliti brojnik i nazivnik sa varijablom podignutom na najvei stepen koji se nalazi u nazinviku (u ovom primjeru je to 2). Imamo:

. (Koristili smo injenicu da je ).Analogno emo izrainati i . Imamo:

.

.

Na kraju, navedimo neke vane granine vrijednosti:

(po definiciji);

;

.

IV. 2. Neprekidnost funkcije. Osobine neprekidnih funkcija.

IV.2.1. Definicija neprekidnosti.

Definicija 1. Neka je funkcija f definisana u taki i u nekoj okolini take . Za funkciju f kaemo da je neprekidna u taki ako postoji i jednak je .

Mogue je definisati neprekidnost s desna (s lijeva) na sljedei nain:Neka je funkcija f definisana u intervalu (). Za funkciju f kaemo da je neprekidna s desna (lijeva) u taki ako postoji () i jednak je .Funkcija je neprekidna u taki ako i samo ako je neprekidna i s desna i s lijeva u toj taki.

Primjer 1.

Neprekidna funkcija u

Funkcija neprekidna s lijeva u

Funkcija neprekidna s desna u

Geometrijski, funkcija je neprekidna u tada je grafik te funkcije kriva koja se "ne prekida" pri prolasku kroz .Elementarne funkcije, o kojima emo vie rei u treem dijelu, su neprekidne u svim takama u kojima su definisane.

Funkcija f definisana u taki i nekoj njenoj okolini je u toj taki prekidna ako i samo ako nije .

Zavisno od toga da li gornji limesi postoje ili ne postoje razlikujemo nekoliko vrsta prekida funkcije.1. Taka je taka prekida funkcije f s konanim skokom ako postoje konane vijednosti lijevog i desnog limesa funkcije u , ali je . Skok je jednak vrijednosti izraza .

2. Ako funkcija ima u konanu graninu vrijednost razliitu od tada je taka otklonjivog prekida funkcije . (Prekid otklanjamo tako da definiemo .)

Primjer. Funkciju u taki definiemo tako da bude jednaka jedan. Tada dobijamo neprekidnu funkciju.

Take prekida koje su navedene pod 1. i 2. nazivamo take prekida I vrste.

3. Za funkciju kaemo da u taki ima prekid II vrste ako bar jedna od graninih vrijednosti ili ne postoji ili je beskonana.

IV.2.1. Osobine neprekidnih funkcija Teorem 1. Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu , onda je ona na tom intervalu ograniena i prima svoju najmanju i najveu vrijednost.

Teorem 2. Ako je funkcija neprekidna na i ako su i razliitog znaka, tad funkcija ima na segmentu barem jednu nulu.

Teorem 3. Funkcija neprekidna u otvorenom ili zatvorenom intervalu prolazi u tom intervalu sve vrijednosti izmeu ma koje dvije vrijednosti i za i iz tog intervala.

IV.3. Neke elementarne funkcije: stepena, eksponencijalna i logaritamska.

U elementarne funkcije stadaju stepena funkcija, eksponencijalna funkcija, logaritamska funkcija, trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije i sve funkcije koje se sa konano mnogo algebarskih operacija i operacijom kompozicije funkcija mogu dobiti iz navedenih funkcija. Mi se neemo baviti trigonometriskim i inverznim trigonometrijskim funkcijama, jer one nemaju iroku primjenu u ekomoniji. 1. Stepena funkcija je funkcija oblika ().Mi emo posmatrati samo neke specijalne sluajeve stepene funkcije. To su:a)

.

Funkcija , gdje je prirodan broj definisana je za svako i neprekidna za svako .

, kada za n neparno i , kada za n parno.Za neparno n funkcija moe biti pozitivna i negativna, dok je za parno n funkcija uvjek pozitivna. Na intervalu funkcija je strogo rastua i neprekidna. Na intervalu funkcija je strogo rastua za neparno n a za parno n je opadajua i neprekidna. Na intervalu funkcija ima inverznu funkciju koja je strogo rastua i neprekidna. Ako je parno inverzna funkcija postoji samo na ,dok za neparno n funkcija ima inverznu funkciju koja je definisana na , rastua i neprekidna na .

Na slici je prikazano nekoliko stepenih funkcija.

b)

, za prirodan broj .Funkcija , , to jest , definisana je za svako , . Ova funkcija je parna kada je parno i neparna kada je neparno. Za parno je:funkcija rastua na intervalu , opadajua na intervalu .

Vrijedi ; .

Za neparno je: funkcija uvjek opadajua, ,

.

Takoer, i funkcija je neprekidna svuda gdje je deifinisana.

c)Mogu se posmatrati i sluajevi kada je ali to neemo initi.

Eksponencijalna funkcija Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , pri emu uzimamo da je . Ova funkcija je definisana za svako i pozitivna za sve .

Razlikujemo dva sluaja: i . U sluaju funkcija je konstanta (jednaka je 1 za svako x).

a)Za , funkcija je rastua i neprekidna na cijelom definicionom podruju. Vrijedi

, .

b)Za , funkcija je opadajua i neprekidna na cijelom definicionom podruju i vrijedi , .

Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji. To je funkcija oblika , pri emu smatramo da je i . Ova funkcija je definisana samo za pozitivne realne brojeve, i slino kao kod eksponencijalne funkcije, razlikovat emo dva sluaja:

a)Za funkcija raste na cijelom definicionom podruju, neprekidna je, ima nulu u taki

i vrijedi , te .

b)Za tada funkcija opada na cijelom definicionom podruju, neprekidna je, ima nulu u taki i vrijedi , te .

Vaan specijalni sluaj eksponencijalne i logaritamske funkcije je kada je () tako da tada funkcije i spadaju u klasu .

Napomenimo jo da je i .

IV. 4. Pojam izvoda funkcije. Geometrijsko znaenje izvoda funkcije.

U ispitivanju ekonomskih pojava do sada smo se bavili tzv statikom analizom, tj odreivali smo stanje ekvilibrijuma datog modela. Pri tome se nismo bavili pitanjem koliko se taj ekvlibrijum mijenja ukoliko promijenimo poetne uvjete. Time se bavi dinamika analiza. U dinamikoj analizi bavit emo se tzv stepenom promjene odreene varijable pri nekoj promjeni varijable . Taj stepen promjene moemo ispitivati kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativno, zanima nas da li sa porastom - sa dolazi do porasta ili smanjivanja y-a i kvantitativno, zanima nas kolika je ta promjena. Pretpostavimo sada da naa varijabla y zavisi samo od x.

.

Ukoliko x promijeni svoju vrijednost od do , tada y mijenja svoju vrijednost od do . Razmjera, ili stepen promjene y po jedinici promjene x-a je . Vidimo da je funkcija i (za dato f).

Ako je ugao oznaen na slici, vidimo da je .

Definicija. Ako postoji kaemo da je funkcija diferencijabilna u taki (odnosno da ima izvod u ). Izvod funkcije u oznaavamo sa .

Piemo jo i .Dakle, za malo . (ovdje je oznaka za priblinu vrijednost).Geometrijski gledajui, prvi izvod funkcije u taki (dakle, ) jednak je koeficijentu pravca tangente na krivu u taki .

Prvi izvod nam odreuje smjer promjene funkcije. Ako je tu je promjena pozitivna (s rastom x-a raste i y), a ako je tu je promjena negativna (s rastom x-a y opada).

Proces nalaenja izvoda zovemo diferenciranjem.

Vidjeli smo ranije da ne mora postojati. Meutim mogu postojati lijevi i desni limesi. Takvi limesi su desni i lijevi izvod funkcije u taki (tu funkcija nije diferencijabilna). ( Sluaj kada postoje dvije razliite tangente (lijeva i desna), tj. kada su desni i lijevi izvod funkcije u taki razliiti prikazan je na slici dole lijevo).

Ukoliko je tu funkcija nije diferencijabilna, ali to geometrijski znai da je tangenta u taki okomita na x osu.

Moemo rei da izvod funkcije oznaava "brzinu njene promjene".

IV.5. Primjena izvoda u ekonomiji. Marginalna funkcija. Koeficijent elastinosti.

Kao to smo vidjeli, izvod funkcije nam govori kojom se brzinom i kako funkcija mijenja. Ukoliko je prvi izvod veliki pozitivan broj, to znai da funkcija brzo rasle, ukoliko je malen (po apsolutnoj vrijednosti) negativan broj, to znai da funkcija sporo opada i sl.

Ukoliko je rije o funkciji koja ima neko ekonomsko znaenje, tada nam prvi izvod predstavlja graninu ili marginalnu funkciju te funkcije.

Primjer 1. Ako je funkcija trokova (gdje smo sa oznaili koliinu proizvodnje) , u ekonomiji se definie tzv. funkcija marginalnog ili graninog troka, koju oznaavamo sa MC(Q) sa

.Ako sa oznaimo funkciju prosjenog troka, tj. , tada je

za male Q.

Primjer 2. Koeficijent elastinosti pojave u odnosu na promjenu pojave se definie sa . Ekonomski, to znai da, ako se promijeni za 1% (tj. ) tada se varijabla y promijeni za . Ako je tada je y elastina na promjenu x, a za kaemo da je y neelastina na promjenu x. Zapravo kad je rije o malim promjenama (u ekonomiji su uglavnom takve u vremenu) , moemo smatrati da je .

(U mikroekonomiji se definiu razliite elastinosti, npr. elastinost supstitucije proizvodnih faktora skupljeg faktora jeftinijim, ili elastinost potranje u odnosu na dohodak, ...).

Neto kasnije emo vidjeti kako pomou izvoda moemo, za datu funkciju ukupnih trokova proizvodnje izraunati nivo proizvodnje na kome su jedinini trokovi proizvodnje minimalni. EMBED CorelDRAW.Graphic.10

EMBED CorelDRAW.Graphic.10




























_1218653634.unknown

_1219486295.unknown

_1219487597.unknown

_1219488504.unknown

_1219490450.unknown

_1219490848.unknown

_1219490925.unknown

_1219670458.unknown

_1219670579.unknown

_1267180202.unknown

_1219670467.unknown

_1219670334.unknown

_1219490868.unknown

_1219490807.unknown

_1219490830.unknown

_1219490708.unknown

_1219489185.unknown

_1219489967.unknown

_1219490084.unknown

_1219489475.unknown

_1219488797.unknown

_1219489171.unknown

_1219488562.unknown

_1219487749.unknown

_1219488172.unknown

_1219488385.unknown

_1219488464.unknown

_1219488217.unknown

_1219487822.unknown

_1219487848.unknown

_1219487763.unknown

_1219487685.unknown

_1219487723.unknown

_1219487743.unknown

_1219487659.unknown

_1219487641.unknown

_1219487312.unknown

_1219487487.unknown

_1219487529.unknown

_1219487535.unknown

_1219487523.unknown

_1219487415.unknown

_1219487431.unknown

_1219487358.unknown

_1219486514.unknown

_1219487134.unknown

_1219487299.unknown

_1219487115.unknown

_1219486446.unknown

_1219486483.unknown

_1219486365.unknown

_1218702655.unknown

_1218706611.unknown

_1219485738.unknown

_1219485833.unknown

_1219486272.unknown

_1219486280.unknown

_1219485996.unknown

_1219485799.unknown

_1219485809.unknown

_1219485752.unknown

_1219485784.unknown

_1218710239.unknown

_1218710718.unknown

_1218745552.unknown

_1218745829.unknown

_1218745954.unknown

_1218746073.unknown

_1219485606.unknown

_1219485723.unknown

_1218746129.unknown

_1218746019.unknown

_1218745927.unknown

_1218745727.unknown

_1218745750.unknown

_1218745623.unknown

_1218745676.unknown

_1218745319.unknown

_1218745407.unknown

_1218712849.unknown

_1218712904.unknown

_1218712871.unknown

_1218710725.unknown

_1218712836.unknown

_1218710331.unknown

_1218710534.unknown

_1218710610.unknown

_1218710465.unknown

_1218710308.unknown

_1218710321.unknown

_1218710271.unknown

_1218708185.unknown

_1218710046.unknown

_1218710132.unknown

_1218710223.unknown

_1218710118.unknown

_1218709393.unknown

_1218709519.unknown

_1218709717.unknown

_1218709903.unknown

_1218709784.unknown

_1218709553.unknown

_1218709432.unknown

_1218708216.unknown

_1218709368.unknown

_1218708207.unknown

_1218707951.unknown

_1218707992.unknown

_1218708124.unknown

_1218707985.unknown

_1218706711.unknown

_1218707945.unknown

_1218706638.unknown

_1218704174.unknown

_1218704551.unknown

_1218705062.unknown

_1218705122.unknown

_1218705171.unknown

_1218705082.unknown

_1218705003.unknown

_1218705052.unknown

_1218704843.unknown

_1218704921.unknown

_1218704753.unknown

_1218704822.unknown

_1218704480.unknown

_1218704505.unknown

_1218704538.unknown

_1218704497.unknown

_1218704290.unknown

_1218704381.unknown

_1218704426.unknown

_1218704185.unknown

_1218703101.unknown

_1218703451.unknown

_1218703507.unknown

_1218704061.unknown

_1218704150.unknown

_1218703925.unknown

_1218703952.unknown

_1218703830.unknown

_1218703499.unknown

_1218703350.unknown

_1218703415.unknown

_1218703294.unknown

_1218702966.unknown

_1218703062.unknown

_1218703070.unknown

_1218703018.unknown

_1218702761.unknown

_1218702933.unknown

_1218702698.unknown

_1218655135.unknown

_1218657916.unknown

_1218702160.unknown

_1218702237.unknown

_1218702621.unknown

_1218702197.unknown

_1218701793.unknown

_1218701958.unknown

_1218702043.unknown

_1218701986.unknown

_1218701827.unknown

_1218701706.unknown

_1218701757.unknown

_1218657928.unknown

_1218657661.unknown

_1218657876.unknown

_1218657885.unknown

_1218657850.unknown

_1218657626.unknown

_1218657650.unknown

_1218657514.unknown

_1218654303.unknown

_1218654430.unknown

_1218654944.unknown

_1218655092.unknown

_1218654563.unknown

_1218654816.unknown

_1218654898.unknown

_1218654725.unknown

_1218654538.unknown

_1218654397.unknown

_1218654425.unknown

_1218654321.unknown

_1218654153.unknown

_1218654234.unknown

_1218654262.unknown

_1218654193.unknown

_1218653652.unknown

_1218654136.unknown

_1218653646.unknown

_1218486415.unknown

_1218559816.unknown

_1218652418.unknown

_1218653348.unknown

_1218653489.unknown

_1218653524.unknown

_1218653626.unknown

_1218653512.unknown

_1218653455.unknown

_1218653484.unknown

_1218653433.unknown

_1218652987.unknown

_1218653156.unknown

_1218653327.unknown

_1218653141.unknown

_1218652492.unknown

_1218652902.unknown

_1218652973.unknown

_1218652727.unknown

_1218652440.unknown

_1218651910.unknown

_1218652250.unknown

_1218652362.unknown

_1218652390.unknown

_1218652351.unknown

_1218652097.unknown

_1218652158.unknown

_1218651990.unknown

_1218651418.unknown

_1218651793.unknown

_1218651844.unknown

_1218560032.unknown

_1218643319.unknown

_1218651249.unknown

_1218560031.unknown

_1218559835.unknown

_1218559975.unknown

_1218487463.unknown

_1218559065.unknown

_1218559346.unknown

_1218559512.unknown

_1218559227.unknown

_1218559228.unknown

_1218559128.unknown

_1218558611.unknown

_1218558729.unknown

_1218558826.unknown

_1218558670.unknown

_1218487534.unknown

_1218558538.unknown

_1218487464.unknown

_1218487129.unknown

_1218487225.unknown

_1218487321.unknown

_1218487331.unknown

_1218487462.unknown

_1218487266.unknown

_1218487189.unknown

_1218487213.unknown

_1218487149.unknown

_1218487025.unknown

_1218487083.unknown

_1218487111.unknown

_1218487047.unknown

_1218486591.unknown

_1218486603.unknown

_1218486493.unknown

_1218384456.unknown

_1218385151.unknown

_1218385365.unknown

_1218385822.unknown

_1218385972.unknown

_1218486061.unknown

_1218385845.unknown

_1218385453.unknown

_1218385719.unknown

_1218385740.unknown

_1218385401.unknown

_1218385329.unknown

_1218385340.unknown

_1218385311.unknown

_1218384843.unknown

_1218384923.unknown

_1218384930.unknown

_1218384870.unknown

_1218384523.unknown

_1218384551.unknown

_1218384498.unknown

_1218314593.unknown

_1218384222.unknown

_1218384368.unknown

_1218384416.unknown

_1218384305.unknown

_1218314709.unknown

_1218384198.unknown

_1218314609.unknown

_1218314458.unknown

_1218314535.unknown

_1218314578.unknown

_1218314472.unknown

_1218314411.unknown

_1218314427.unknown

_1218314389.unknown

limesi, levi i desni limes

Documents