hueuni.edu.vn · l˝ic…mÌn líi ˜ƒu ti¶n, tæi xin b€y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c...
TRANSCRIPT
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHAN THẾ HẢI
MỘT SỐ MỞ RỘNG
CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ
VÀ VÀNH LIÊN QUAN
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 62460104
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. BÀNH ĐỨC DŨNG
HUẾ - NĂM 2016
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết riêng
hoặc viết chung với các đồng tác giả. Các kết quả nghiên cứu nêu trong
luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
PHAN THẾ HẢI
2
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy
hướng dẫn là GS.TS. Lê Văn Thuyết, Đại học Huế và TS. Bành Đức Dũng,
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh, những người Thầy rất
nghiêm khắc nhưng mẫu mực, những người luôn tận tình dạy bảo, hướng
dẫn, cổ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của
mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán và Phòng Sau đại học của Trường
Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng
Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học
tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh của mình.
Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ
Kỳ và Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, Trường
Đại học Kazan, Liên bang Nga đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được sang
thực tập, nghiên cứu trong thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại Thổ
Nhĩ Kỳ) và từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga).
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Trương Công Quỳnh, Trường
Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng đã có sự nhiệt tình giúp đỡ và trao đổi
chuyên môn trong quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết
và chỉnh sửa luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè và các anh chị em nghiên cứu
sinh đã luôn động viên và cổ vũ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của tôi
đã đồng cảm và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi làm nghiên
cứu sinh và hoàn thành luận án. Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con, chính
họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn
thành luận án này.
PHAN THẾ HẢI
3
MỤC LỤC
1 Kiến thức chuẩn bị 16
1.1 Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ 19
1.3 Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan trọng khác . 23
1.4 Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn . . . . . . . . . . . 26
2 Môđun giả nội xạ cốt yếu 30
2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu . . . . 32
3 Môđun ADS tổng quát 48
3.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát . . . . . . 50
4 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) 64
4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn
điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Tài liệu tham khảo 94
4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
KÝ HIỆU NGHĨA CỦA KÝ HIỆU
[1] Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"
N Tập hợp các số tự nhiên
Z Vành các số nguyên
Q, R Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng)
|X| Bản số của tập hợp X
E(M) Bao nội xạ của môđun M
EndR(M) Vành các tự đồng cấu của R-môđun M
Im(f),Ker(f) Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng)
Mn(R) Vành ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R
MR (RM) M là một R-môđun phải, trái (tương ứng)
M (I)⊕i∈IM (tổng trực tiếp của |I| bản sao của môđun M)
M I∏i∈IM (tích trực tiếp của |I| bản sao của môđun M)
N ≤M N là môđun con của môđun M
N < M N là môđun con thực sự của môđun M
N ≤e M N là môđun con cốt yếu (hay lớn) của môđun M
N M N là môđun con đối cốt yếu (hay bé) của môđun M
N ≤⊕ M N là hạng tử trực tiếp của môđun M
N 'M N đẳng cấu với môđun M
N ⊕M Tổng trực tiếp của môđun N và môđun M
rR(X), lR(X) Linh hóa tử phải và trái của tập hợp X trong R
R[x] Vành đa thức trên vành R
Rad(M), J(R) Căn của môđun M , căn của vành R (tương ứng)
Soc(M) Đế của môđun M
Sr, Sl Soc(RR), Soc(RR)
5
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ
THUẬT NGỮ TIẾNG ANH
ADS Absolute Direct Summand
bao nội xạ injective hull
bất biến đầy đủ fully invariant
bất biến đẳng cấu automorphism-invariant
chính quy regular
di truyền hereditary
đều uniform
đế socle
đế mịn socle fine
địa phương local
điều kiện dây chuyền giảm Descending Chain Condition
điều kiện dây chuyền tăng Ascending Chain Condition
đối nửa đơn co-semisimple
đơn simple
giả nội xạ pseudo-injective
giả nội xạ cốt yếu essentially pseudo-injective
giả nội xạ cốt yếu mạnh strongly essentially pseudo-injective
hạng tử trực tiếp direct summand
iđêan ideal
không phân tích được indecomposable
liên tục continuous
linh hóa tử annihilator
lũy đẳng idempotent
M được sinh con bởi N M is subgenerated by N
M là một vật sinh con của N M is a subgenerator for N
6
THUẬT NGỮ TIẾNG ANH
M sinh ra N M generates N
M -sinh M -generated
môđun cốt yếu (lớn) (large) essential module
môđun đối cốt yếu (bé) (small) superfluous module
môđun mở rộng extending module
môđun trung thành faithful module
môđun tự do free module
môđun tự nội xạ self-injective module
môđun tựa nội xạ quasi-injective module
môđun tự sinh self-generator module
mở rộng cốt yếu essential extension
N -giả nội xạ pseudo-N -injective
N -giả nội xạ cốt yếu essentially pseudo N -injective
N -nội xạ N -injective
N -nửa xạ ảnh semi-N -projective
nội xạ tương hỗ (relative) mutually injective
nửa Artin semi Artinian
nửa đơn semisimple
nửa xạ ảnh semi projective
phần bù giao complement
suy biến singular
thể (vành chia) skew field (division ring)
tựa liên tục quasi-continuous
trực giao orthogonal
vành Artin nửa đơn semisimple Artinian ring
vành nửa di truyền semihereditary ring
vành QF quasi Frobenius ring
vành tự nội xạ self-injective ring
xiclic cyclic
7
MỞ ĐẦU
Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuất
hiện khoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâm
nghiên cứu. Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướng
chính. Hướng thứ nhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều
kiện bên trong (tức là nghiên cứu các iđêan một phía) và hướng thứ hai là
đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (tức là nghiên cứu các môđun
trên chúng). Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc vành theo
hướng thứ hai.
Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuất
vào năm 1940. Theo đó, một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi
môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến
đồng cấu g : N →M . Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với
mọi môđun N . Không chỉ đưa ra khái niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa
ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khi nào thì một R-môđun M là
nội xạ. Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn Baer" và được phát biểu như
sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọi đồng cấu
f : IR →MR đều mở rộng được đến đồng cấu g : RR →MR.
Từ khi có tiêu chuẩn Baer ra đời, hai hướng nghiên cứu chính về sự mở
rộng của môđun nội xạ đã được đề cập. Đó là nghiên cứu sự mở rộng môđun
nội xạ từ định nghĩa gốc và từ Tiêu chuẩn Baer. Vì mục đích của luận án
này, chúng tôi chỉ đề cập đến một sự mở rộng của môđun nội xạ từ định
nghĩa gốc mà Johnson và Wong đã đề xuất vào năm 1961 trong [26], đó là
môđun tựa nội xạ. Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M -nội xạ.
Môđun tựa nội xạ là một mở rộng thực sự của môđun nội xạ.
Vào năm 1967, Singh và Jain đã nghiên cứu một trường hợp tổng quát
của môđun tựa nội xạ, đó là môđun giả nội xạ (xem [38]). Theo đó, môđun
M được gọi là N -giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của N thì mỗi đơn
8
cấu từ A vào M đều mở rộng được đến đồng cấu từ N vào M . Môđun M
được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ. Có thể nói môđun giả nội xạ
là một khái niệm đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm đặc biệt của các
nhà nghiên cứu. Các công trình tiêu biểu liên quan đến môđun giả nội xạ
có thể kể đến là Singh và Jain (1967, [38]), Hallett (1971, [21]), Teply (1975,
[41]), Jain và Singh (1975, [25]), Dung-Huynh-Smith và Wisbauer (1996,
[14]), Dinh (2005, [13]), Alahmadi, Er và Jain (2005, [6]). Tổng quan chung
về các nội dung được các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạ
bao gồm: Nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự các
tính chất của môđun tựa nội xạ; xét xem khi nào thì một môđun giả nội xạ
sẽ là môđun tựa nội xạ; đưa ra các ví dụ để chứng tỏ tồn tại môđun giả nội
xạ mà không tựa nội xạ; nghiên cứu thêm các tính chất riêng của môđun
giả nội xạ để từ đó đặc trưng một số vành quan trọng như vành Artin nửa
đơn, vành QF, vành PF, vành Artin và vành Noether, vv. . .
Cũng cần nói thêm rằng, mặc dù môđun giả nội xạ là một mở rộng của
môđun tựa nội xạ nhưng nó có phải là một mở rộng thực sự hay không
thì chưa ai trả lời được từ năm 1967 cho đến khi xuất hiện công trình của
Hallett vào năm 1971 (xem [21]). Trong luận án tiến sĩ của mình, Hallett
đã đưa ra ví dụ về môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ. Sau đó, vì nhiều
mục đích khác nhau, Teply ([41]) cũng như Jain và Singh ([25]) đã bổ sung
nhiều ví dụ khác để chứng tỏ tồn tại một môđun giả nội xạ mà không tựa
nội xạ.
Như một sự tất yếu của quá trình phát triển toán học, môđun giả nội xạ
ra đời với nhiều tính chất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lý thuyết vành
đã tạo nên động lực lớn thúc đẩy các nhà nghiên cứu tiếp tục quan tâm đến
sự mở rộng của môđun này. Một số mở rộng đáng kể của lớp môđun giả nội
xạ là lớp môđun giả nội xạ cốt yếu (xem [6]), môđun nội xạ cốt yếu (xem
[14]), môđun C2 (xem [14] và [32]), vv...
Sự nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là tiếp tục nghiên cứu
một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng các vành
9
quen thuộc. Vì vậy, chúng tôi chọn tên đề tài để nghiên cứu trong luận án
là "Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan".
Cấu trúc của luận án được chia thành 4 chương.
Chương 1 dành để trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả đã
biết nhằm sử dụng cho các chương sau.
Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội
xạ cốt yếu.
Vào năm 2005, các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã nghiên cứu một
trường hợp tổng quát của môđun giả nội xạ, đó là môđun giả nội xạ cốt
yếu (xem [6]). Theo đó, môđun M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với
mỗi môđun con A cốt yếu của N thì mọi đơn cấu f : A→M đều mở rộng
được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là môđun giả nội xạ
cốt yếu nếuM làM -giả nội xạ cốt yếu. Trong [6], các tác giả đã nghiên cứu
một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu và các ứng dụng của nó để
đặc trưng vành Artin nửa đơn, vành QF và vành SI. Mặt khác, các tác giả
cũng đã chứng minh được rằng: Một môđun có chiều Goldie hữu hạn là giả
nội xạ khi và chỉ khi nó là giả nội xạ cốt yếu. Những kết quả đầu tiên mà
chúng tôi thu được trong chương này là các đặc trưng của môđun N -giả nội
xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7).
Trong [13], tác giả đã chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ đều
thỏa mãn điều kiện C2. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi chứng
minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3
(Định lý 2.2.11).
Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ,
H. Q. Dinh đã đặt ra câu hỏi trong [13] là: Một môđun không suy biến, giả
nội xạ và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Bằng việc nghiên
cứu tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã chứng minh được
rằng, một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ
cốt yếu và CS (Định lý 2.2.12). Từ kết quả này, chúng tôi thu được câu trả
10
lời cho câu hỏi nêu trên là: Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M
là môđun giả nội xạ và CS. Ngoài các tính chất của môđun giả nội xạ cốt
yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun giả
nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đề cập
trong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạ
cốt yếu nếu vành EndR(M) là giả nội xạ cốt yếu phải.
Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế
mịn nếu với bất kỳ M,N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M) ' Soc(N) khi và chỉ
khi M ' N (xem [24]). Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh
nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu với mọi R-môđun phải N . Chúng tôi ký
hiệu SE là lớp các R-môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các
R-môđun phải xạ ảnh. Khi đó chúng tôi chứng minh được rằng, R là vành
QF khi và chỉ khi lớp PR ∪ SE là đế mịn (Định lý 2.2.15). Trong trường
hợp R là vành Artin nửa đơn thì chúng tôi thu được kết quả: R là Artin
nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn
khi và chỉ khi lớp SE là đế mịn (Định lý 2.2.16). Ngoài các tính chất liên
quan đến vành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu các tính chất của
môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan đến vành Noether, vành đối nửa đơn và
mở rộng vành cũng được chúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.17 và Định lý
2.2.18.
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của
môđun ADS, đó là: Môđun ADS tổng quát.
Vào năm 2012, Alahmadi, Jain và Leroy đã quan tâm nghiên cứu môđun
ADS. Theo đó, một R-môđun phảiM được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân
tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T ′ của S thì M = S ⊕ T ′ (xem[7]). Trong công trình của mình, các tác giả trên đã chỉ ra được rằng, khái
niệm môđun ADS là một mở rộng thực sự của môđun tựa liên tục. Nhiều
kết quả thú vị liên quan đến môđun này đã được nghiên cứu trong [7] và
[35]. Có một tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mật thiết đến
định nghĩa của môđun ADS mà chúng tôi quan tâm, đó là: Nếu M và N là
11
các môđun và X = N ⊕M thì N là M -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu
với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩M = 0 thì X = N ⊕K(xem [6]). Từ mối liên quan này, chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun
ADS, đó là môđun ADS tổng quát. Một môđun M được gọi là ADS tổng
quát nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T của M và mỗi phần bù giao T ′
của S mà T ′ ∩ T = 0 thì M = S ⊕ T ′. Lớp môđun ADS tổng quát là một
mở rộng thực sự của lớp các môđun ADS (Ví dụ 3.1.2). Trong [7], các tác
giả đã chứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phân
tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là nội xạ tương hỗ. Đối với môđun
ADS tổng quát, chúng tôi chỉ ra được rằng, môđun M là ADS tổng quát
thì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là giả nội xạ
cốt yếu tương hỗ (Định lý 3.2.1). Nhiều kết quả chúng tôi thu được đối với
môđun ADS tổng quát là tương tự với các kết quả của môđun ADS trong
[35]. Tuy nhiên, cũng có một số kết quả trong môđun ADS không còn đúng
nữa đối với môđun ADS tổng quát. Chẳng hạn, để hạng tử trực tiếp của
môđun ADS tổng quát là ADS tổng quát thì chúng tôi cần thêm một số
điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp
của môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS (Mệnh đề 3.2.6).
Trong [35], các tác giả đã chứng minh được rằng, M là nửa đơn nếu và
chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun hữu hạn
sinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là
ADS. Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi chứng minh được rằng, M
là nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và
chỉ nếu mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ
nếu mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát (Định lý 3.2.10). Do
đó, một vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải là ADS
tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quát
khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát (Hệ quả 3.2.11).
Đối với trường hợp môđun 2-sinh trong σ[M ], chúng tôi đã chỉ ra rằng, một
môđun xiclic M là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là
12
ADS tổng quát (Mệnh đề 3.2.12). Từ kết quả này, chúng tôi thu lại được kết
quả trong [35], đó là: R là vành Artin nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun
phải 2-sinh là ADS. Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun
tựa nội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Trong phần cuối
của chương này, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên
quan đến mở rộng vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong
Định lý 3.2.15.
Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của
môđun C2, đó là: Môđun thỏa mãn điều kiện (C). Việc nghiên cứu lớp
môđun thỏa mãn điều kiện (C) cho chúng tôi thu được một số kết quả để
từ đó đặc trưng một số lớp vành quen thuộc.
Như chúng ta đều biết, vành QF (hay còn gọi là tựa Frobenius) được
Nakayama giới thiệu vào năm 1939, đó là vành Artin hai phía và tự nội xạ
hai phía. Một trong những kết quả đẹp đẽ về mối quan hệ giữa môđun xạ
ảnh và môđun nội xạ liên quan đến vành QF là định lý Faith-Walker. Định
lý được phát biểu rằng: Vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải
(trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là
nội xạ. Nhiều đặc trưng khác cho một vành là QF đã được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu. Cuốn sách chuyên khảo [33] được xem là cuốn
sách chứa đầy đủ thông tin nhất về vành QF. Vào năm 1967, Faith-Walker
đã chứng minh được rằng, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải
(trái) nhúng được vào một môđun tự do. Như vậy, nếu mỗi R-môđun phải
nhúng được vào một môđun tự do thì R là vành QF. Một câu hỏi được
đưa ra ở đây là: Nếu mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một
môđun tự do thì R có phải là vành QF hay không? Vành R mà mỗi R-
môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun tự do thì được gọi
là vành FGF. Do đó, câu hỏi mà chúng ta vừa đề cập có thể viết ngắn gọn
lại là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Câu hỏi này chính là giả
thuyết FGF nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời. Trong [33], các
tác giả đã chứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành
13
QF. Như vậy, việc nghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hy
vọng là sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết FGF nói trên.
Theo [33] thì các khái niệm về vành thỏa mãn các điều kiện C1, C2 và
C3 được đề xuất bởi Utumi vào năm 1961. Sau đó việc mở rộng tới các
môđun lần lượt thuộc về Jeremy đối với môđun C1 (năm 1971), Takeuchi
đối với môđun C2 (năm 1972), Mohammed và Bouhy đối với môđun C3
(năm 1976).
Cho M là một môđun và S = EndR(M). Trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi
chứng minh được rằng, môđun M là môđun C2 nếu và chỉ nếu với bất kỳ
s ∈ S, mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp
của M . Từ kết quả này, chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun C2,
đó là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Một môđun M được gọi là thỏa mãn
điều kiện (C) nếu với mỗi s ∈ S và s 6= 0, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và
nếu Ker(sn) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(sn) là hạng tử trực tiếp của
M . Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu RR là môđun
thỏa mãn điều kiện (C). Một số mệnh đề tương đương với một môđun thỏa
mãn điều kiện (C) đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.10 và điều
kiện đủ cho một môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng đã được chúng tôi đề
cập trong Mệnh đề 4.1.11. Từ định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện
(C), chúng ta có mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện (C). Khi môđun M
có vành các tự đồng cấu S = EndR(M) là vành địa phương thì chúng tôi
chứng minh được 2 lớp môđun này là trùng nhau (Mệnh đề 4.1.7). Đối với
môđun C2 thì hạng tử trực tiếp của môđun C2 cũng là môđun C2. Trong
Định lý 4.1.12, chúng tôi cũng chứng minh được rằng, hạng tử trực tiếp của
môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Khi M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) mà có sự phân tích
M = A1⊕A2 thì trong Mệnh đề 4.1.13, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu
f : A1 → A2 là một R-đồng cấu thỏa mãn Ker(f) ≤⊕ A1 thì Im(f) ≤⊕ A2.
Từ mệnh đề này, chúng tôi thu được một hệ quả về mối liên hệ giữa môđun
thỏa mãn điều kiện (C) và môđun C2 là: Nếu M ⊕M là một môđun thỏa
14
mãn điều kiện (C) thì M là môđun C2 (Hệ quả 4.1.15).
Về mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tự
đồng cấu S = EndR(M) của nó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M
là môđun tự sinh thì M thỏa mãn điều kiện (C) khi và chỉ khi S là vành
thỏa mãn điều kiện (C) phải (Định lý 4.1.17).
Trong [30] và [31], các tác giả Lee, Rizvi và Roman đã đưa ra các khái
niệm môđun Rickart và d-Rickart như sau: Một môđun M được gọi là
Rickart nếu ∀s ∈ S thì Ker(s) = e(M) với e2 = e ∈ S và M được gọi là
d-Rickart nếu ∀s ∈ S thì Im(s) = e(M) với e2 = e ∈ S. Mối liên hệ giữa
môđunM với tính chính quy của vành các tự đồng cấu S = EndR(M) cũng
đã được các tác giả trên đưa ra trong [30] và [31]. Theo đó, S là vành chính
quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện C2 khi và
chỉ khi M là môđun d-Rickart và thỏa mãn điều kiện D2. Đối với môđun
thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng chứng minh được rằng, S là vành
chính quy khi và chỉ khiM là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện (C) khivà chỉ khi M là môđun d-Rickart và s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S(Định lý 4.1.21).
Việc nghiên cứu môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành được
chúng tôi quan tâm trong phần cuối của luận án này. Khi R là vành chính
quy (theo nghĩa von Neumann), một số tính chất của R-môđun thỏa mãn
điều kiện (C) được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.2.2. Khi R là vành di
truyền, một kết quả quan trọng đã biết là, vành R là di truyền nếu và chỉ
nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ. Trong Định
lý 4.2.4, chúng tôi chứng minh được rằng R là vành di truyền phải nếu và
chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa
mãn điều kiện (C). Chúng tôi cũng thu được một số kết quả về việc đặc
trưng vành Noether đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Định lý
4.2.5. Cuối cùng, các đặc trưng liên quan đến vành nửa Artin được chúng
tôi nghiên cứu trong Định lý 4.2.6.
15
CHƯƠNG 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R đã cho luôn được giả
thiết là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun
unita phải hoặc trái.
1.1 Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản
Trước hết, chúng tôi giới thiệu những ký hiệu, khái niệm và các tính
chất cơ bản sẽ được sử dụng trong luận án. Những khái niệm và kết quả
cơ bản liên quan đến luận án mà không được giới thiệu ở đây chúng ta có
thể tham khảo trong các tài liệu của Anderson-Fuller ([10]), Dung-Huynh-
Smith-Wisbauer ([14]), Kasch ([28]), Lam ([29]), Nicholson-Yousif ([33]) và
Wisbauer ([42]).
Với vành R đã cho, ta viết MR (RM) để chỉ M là một R-môđun phải
(t.ư., trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của luận án, khi không sợ nhầm lẫn
về phía của môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì MR. Chúng tôi
dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự)
của môđun M . Nếu A là một hạng tử trực tiếp của môđun M thì ta viết
A ≤⊕ M . Ký hiệu Mn(R) là để chỉ vành các ma trận vuông cấp n lấy các hệ
tử trên vành R. Nếu I là một tập với card(I) = α và M là một môđun, ta
sẽ kí hiệu tổng trực tiếp α bản sao củaM bởiM (I) hoặcM (α), tích trực tiếp
α bản sao của M bởi M I hoặc Mα. Ta ký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm
16
trù các R-môđun phải (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun phải, đồng
cấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun
phải N .
Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ 6= X ⊂M . Linh hóa tử phải của
X trong R được ký hiệu là rR(X) và được xác định như sau:
rR(X) = r ∈ R | xr = 0 ∀x ∈ X .
Khi không sợ nhầm lẫn về vành cơ sở R chúng ta có thể viết gọn là r(X)
thay vì rR(X). Khi X = x1, x2, . . . , xn thì chúng ta viết r(x1, x2, . . . , xn)
thay vì r(x1, x2, . . . , xn). Ta có rR(X) là một iđêan phải của vành R. Hơn
nữa, nếu X là môđun con của M thì rR(X) là một iđêan (phải và trái) của
R. Linh hóa tử trái của X trong R được ký hiệu là lR(X) và được định
nghĩa tương tự.
Môđun MR được gọi là trung thành nếu rR(M) = 0. Điều này tương
đương với việc tồn tại một đơn cấu ι : RR →M (X) với X là một tập chỉ số
nào đó.
Cho N là một môđun con của M , khi đó môđun con K của M được
gọi là phần bù giao của N trong M nếu K là môđun con cực đại thỏa mãn
điều kiện K ∩N = 0. Theo [10, Proposition 5.21] thì mọi môđun con trong
M luôn tồn tại phần bù giao trong M .
Môđun con A của môđun M được gọi là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu
với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B 6= 0. Khi đó,
chúng ta cũng gọi M là một mở rộng cốt yếu của A và được ký hiệu là
A ≤e M . Một đơn cấu f : M → N được gọi là đơn cấu cốt yếu (hoặc nhúng
cốt yếu) nếu Im(f) ≤e N . Đối ngẫu với khái niệm cốt yếu, môđun con A
của môđunM được gọi là đối cốt yếu hoặc bé trongM , ký hiệu là AM ,
nếu với mỗi môđun con B 6= M của M chúng ta đều có A + B 6= M . Một
toàn cấu g : M → N được gọi là toàn cấu đối cốt yếu (hoặc toàn cấu bé )
nếu Ker(g)M .
Phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x. Các
17
cặp phần tử lũy đẳng e1, e2 của vành R được gọi là trực giao nếu e1.e2 =
e2.e1 = 0.
Một kết quả về phần tử lũy đẳng liên quan đến luận án là bổ đề sau
đây:
Bổ đề 1.1.1 ([5, Lemma 5]). Cho R là một vành thỏa mãn R = ReR với
e2 = e ∈ R và M là một R-môđun phải. Đặt S = eRe và giả sử L là một
môđun con của M . Khi đó:
(1) L là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu Le là cốt yếu trong (Me)S.
(2) L là phần bù giao của K trong M nếu và chỉ nếu Le là phần bù giao
của Ke trong (Me)S.
(3) MR = L⊕K nếu và chỉ nếu (Me)S = Le⊕Ke.
ChoM vàN là cácR-môđun, theo [42, Definitions, trang 118] thì môđun
N được gọi là được sinh bởi M (M -sinh) hay M sinh ra N nếu tồn tại toàn
cấu f : M (Λ) → N , với tập chỉ số Λ nào đó. Môđun M được gọi là tự sinh
nếu nó sinh ra mọi môđun con của nó, có nghĩa là với mọi môđun con N
của M thì luôn tồn tại toàn cấu f : M (Λ) → N với tập chỉ số Λ nào đó. Ta
nói một R-môđun phải N là được sinh con bởi M hoặc M là một vật sinh
con của N nếu N đẳng cấu với một môđun con của một môđun M -sinh.
Ta ký hiệu σ[M ] là phạm trù con của phạm trù Mod-R mà các vật là các
R-môđun phải được sinh con bởi M và các cấu xạ là các đồng cấu môđun.
Rõ ràng, σ[M ] là phạm trù con đầy đủ của phạm trù Mod-R.
Đế phải của môđunMR được kí hiệu là Soc(MR), nó là tổng các môđun
con đơn của MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của MR. Nếu
MR không chứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR) = 0. Căn của môđun
MR được kí hiệu là Rad(MR), nó là giao của tất cả các môđun con tối đại
của MR, là tổng tất cả các môđun con bé của MR. Nếu MR không chứa
môđun con tối đại nào thì ta định nghĩa Rad(MR) = MR. Đặc biệt, chúng
18
ta đã biết Rad(RR) = Rad(RR) = J(R). Do đó không sợ nhầm lẫn, ta luôn
kí hiệu J(R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng là căn của RR.
Cho R-môđun M và L là lớp các môđun con nào đó của M . Ta nói
L thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng, viết là ACC, nếu mọi dãy tăng
A1 ≤ A2 ≤ . . . ≤ An ≤ . . . các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại
n ∈ N sao cho An = An+i với mọi i ∈ N. Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây
chuyền giảm, viết là DCC, nếu mọi dãy giảm D1 ≥ D2 ≥ . . . ≥ Dn ≥ . . .
các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho Dn = Dn+i với
mọi i ∈ N. Một R-môđun phải M được gọi là Noether nếu tập tất cả các
môđun con của M thỏa mãn ACC và M được gọi là môđun Artin nếu tập
tất cả các môđun con của M thỏa mãn DCC.
1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của
môđun nội xạ
Cho M , N là các môđun, A là một môđun con của M và các đồng cấu
f : A → N , f : M → N . Khi đó người ta gọi f là một mở rộng của đồng
cấu f hoặc f mở rộng được đến đồng cấu f (hoặc f mở rộng được đến M)
nếu f(x) = f(x) với mọi x ∈ A.
Sau đây, chúng tôi giới thiệu lớp các môđun quan trọng và có nhiều ứng
dụng trong lý thuyết vành kết hợp, đó là môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.
Một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N
thì mọi đồng cấu f : A→M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N →M .
Nếu môđun M là M -nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ hoặc tự nội xạ.
Nếu M là N -nội xạ với mọi N ∈ Mod-R thì M được gọi là nội xạ. Các
môđun M1, . . . ,Mn được gọi là nội xạ tương hỗ nếu Mi là Mj-nội xạ với
mọi i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n. Một kết quả về môđun nội xạ liên quan đến luận
án là bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.2.1 ([32, Corollary 1.8, Corollary 1.19]). Cho môđun M =n⊕i=1
Mi.
19
Khi đó:
(1) M là A-nội xạ khi và chỉ khi Mi là A-nội xạ với mọi i = 1, 2, . . . , n.
(2) M là tựa nội xạ khi và chỉ khiMi làMj-nội xạ với mọi i, j = 1, 2, . . . , n.
Mn là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ với mọi 1 ≤ n ∈ N.
Bao nội xạ của môđun M là một môđun nội xạ N cùng với một đơn
cấu cốt yếu ι : M → N . Lúc này, người ta vẫn thường gọi N là bao nội xạ
của M và ký hiệu là N = E(M). Hơn nữa, mọi môđun được nhúng cốt yếu
vào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nội xạ.
Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là N -xạ ảnh nếu
với mọi toàn cấu g : N →M và mỗi đồng cấu f : P →M đều tồn tại một
đồng cấu h : P → N sao cho f = gh. Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P
là N -xạ ảnh với mọi môđun N thuộc Mod-R.
Phủ xạ ảnh của một môđun M là một môđun xạ ảnh P cùng với một
toàn cấu đối cốt yếu p : P →M . Khi đó, ta vẫn thường gọi P là phủ xạ ảnh
của M . Mặc dù mọi môđun là ảnh toàn cấu của một môđun xạ ảnh nhưng
một môđun không nhất thiết có phủ xạ ảnh. Vành R mà mọi R-môđun có
phủ xạ ảnh chính là vành hoàn chỉnh.
Sau đây là một kết quả về bao nội xạ liên quan đến sự phân tích thành
tổng trực tiếp của các môđun:
Bổ đề 1.2.2 ([33, Proposition 1.10]). Nếu M =n⊕i=1
Mi là một tổng trực
tiếp hữu hạn của các môđun. Khi đó, E(n⊕i=1
Mi) =n⊕i=1
E(Mi).
Theo định nghĩa, để kiểm tra tính nội xạ của một R-môđun M , ta phải
kiểm tra xemM có là N -nội xạ với mọi R-môđun N hay không. Tuy nhiên,
trên thực tế, ta chỉ cần kiểm tra M có R-nội xạ hay không là đủ nhờ tiêu
chuẩn Baer sau đây.
Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M là nội xạ nếu với mọi iđêan phải
20
I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu
f : RR →MR.
Có hai hướng mở rộng chính về môđun nội xạ, đó là: Mở rộng từ định
nghĩa gốc và mở rộng từ tiêu chuẩn Baer. Các mở rộng của môđun nội xạ
theo hướng từ định nghĩa gốc là môđun C-nội xạ, đế nội xạ mạnh, giả nội
xạ, FP-nội xạ, vv... Các mở rộng của môđun nội xạ theo tiêu chuẩn Baer là
môđun F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội xạ, nội xạ cực tiểu, nội xạ bé, vv ...
Vì mục đích riêng của luận án, chúng tôi chỉ quan tâm đến một mở rộng
của môđun nội xạ, đó là môđun giả nội xạ.
Cho R là một vành và M , N là các R-môđun phải. Khi đó, theo [25],
một môđun M được gọi là N -giả nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N
thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M .
Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ. Hai môđun M và
N được gọi là giả nội xạ tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ và N là M -giả
nội xạ. Một vành R được gọi là giả nội xạ phải nếu RR là một môđun giả
nội xạ.
Mặt khác, theo [6], một môđun M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu
với mỗi môđun con cốt yếu A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở
rộng được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là giả nội xạ cốt
yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu. Hai môđun M và N được gọi là giả
nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và N là M -giả nội
xạ cốt yếu. Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một
môđun giả nội xạ cốt yếu.
Nhiều kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu đã được các tác
giả Alahmadi, Er và Jain đưa ra trong [6]. Tuy nhiên, vì mục đích riêng của
luận án, chúng tôi chỉ đưa ra một số kết quả sau đây:
Bổ đề 1.2.3 ([6, Proposition 2.2]). Cho M và N là các môđun và X =
N ⊕M. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:
21
(1) N là M -giả nội xạ cốt yếu.
(2) Với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩M = 0 thì X =
N ⊕K.
Bổ đề 1.2.4 ([6, Proposition 2.3]). Nếu N là M -giả nội xạ cốt yếu thì mỗi
hạng tử trực tiếp của N là M -giả nội xạ cốt yếu.
Bổ đề 1.2.5 ([6, Proposition 2.4]). Cho M và N là các môđun. Khi đó, các
điều kiện sau đây là tương đương:
(1) N là M -giả nội xạ cốt yếu.
(2) N làM
L-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con L của M .
Bổ đề 1.2.6 ([6, Theorem 2.7]). Nếu M ⊕ N là M -giả nội xạ cốt yếu thì
N là M -nội xạ.
Vào năm 1961, trong công trình của mình, Utumi đã định nghĩa về các
vành thỏa mãn các điều kiện C1, C2 và C3. Sau đó, việc mở rộng từ các vành
C1, C2 và C3 sang môđun lần lượt thuộc về Jeremy, Takeuchi, Mohammed
và Bouhy. Để giới thiệu các khái niệm về môđun C1, C2, C3 và các mở
rộng của nó, trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số điều kiện sau đây đối với
môđun:
Điều kiện C1 (hoặc điều kiện CS): Với mọi môđun con A của M , tồn
tại một hạng tử trực tiếp B của M thỏa mãn A ≤e B.
Điều kiện C2 : Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực
tiếp của M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
Điều kiện C3 : Nếu A và B là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn
A ∩B = 0 thì A⊕B cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
Định nghĩa 1.2.7. Cho M là một môđun. Khi đó:
(1) Môđun M được gọi là C1 nếu M thỏa mãn điều kiện C1. Môđun C1
còn được gọi là môđun CS hoặc môđun mở rộng.
22
(2) Môđun M được gọi là C2 nếu M thỏa mãn điều kiện C2. Môđun C2
còn được gọi là môđun nội xạ trực tiếp.
(3) Môđun M được gọi là C3 nếu M thỏa mãn điều kiện C3.
(4) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và
C2.
(5) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1
và C3. Môđun tựa liên tục còn được gọi là môđun π-nội xạ.
Cuối cùng, một khái niệm liên quan đến luận án mà đã được Alahmadi,
Jain và Leroy đề xuất vào năm 2012, đó là môđun ADS. Theo đó, một R-
môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T và
với mỗi phần bù giao T ′ của S, chúng ta có M = S ⊕ T ′ (xem [7]). Nhiều
kết quả về môđun ADS đã được các tác giả nghiên cứu trong [7] và [35].
1.3 Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan
trọng khác
Định nghĩa 1.3.1. Vành R được gọi là Artin phải, Noether phải nếu RR
là môđun Artin, Noether (tương ứng).
Định lý 1.3.2 ([28, Theorem 6.5.1]). Các điều kiện sau đây là tương đương
đối với vành R:
(1) R là vành Noether phải.
(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là nội xạ.
(3) Mỗi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun phải đơn
là nội xạ.
Định nghĩa 1.3.3. Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhất
một iđêan phải (hoặc trái) cực đại.
23
Một kết quả của vành địa phương liên quan đến sự phân tích của một
môđun thành tổng trực tiếp của các môđun con mà được sử dụng trong
luận án là bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.3.4 ([10, Lemma 26.4]). Cho M là một môđun có sự phân tích
M = K ⊕ L. Giả sử N là một hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn N =
N1 ⊕ · · · ⊕Nn trong đó mỗi End(Ni) là một vành địa phương. Khi đó, tồn
tại các hạng tử trực tiếp K ′ của K và L′ của L sao cho M = N ⊕K ′⊕L′.
Định nghĩa 1.3.5. Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa von
Neumann) nếu với mỗi a ∈ R thì luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba.
Thể, vành nửa đơn và vành ma trận Mn(K) với K là một trường là
những vành chính quy. Sau đây, chúng tôi nhắc lại một tính chất quan
trọng liên quan đến vành chính quy.
Bổ đề 1.3.6 (McCoy’s Lemma, [37, Lemma 2.1]). Cho R là vành và a, b ∈ Rmà c = a− aba là một phần tử chính quy thì a là phần tử chính quy.
Các vành chính quy có các đặc trưng quan trọng sau đây:
Định lý 1.3.7 ([18, Theorem 1.1]). Các điều kiện sau đây là tương đương
đối với vành R:
(1) R là một vành chính quy.
(2) Mọi iđêan phải (trái) xiclic là hạng tử trực tiếp của RR (RR).
(3) Mọi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR (RR).
Bổ đề 1.3.8 ([27, Lemma 4]). Cho R là một vành chính quy. Nếu R-môđun
M là xạ ảnh thì mọi môđun con hữu hạn sinh của M là hạng tử trực tiếp
của M .
Định nghĩa 1.3.9. Vành R được gọi là di truyền phải (nửa di truyền phải)
nếu mỗi iđêan phải (hữu hạn sinh) là xạ ảnh.
24
Các khái niệm về vành di truyền (nửa di truyền) trái hoặc hai phía được
định nghĩa hoàn toàn tương tự.
Rõ ràng, các vành chính quy là nửa di truyền (phải và trái). Các vành
Artin nửa đơn, vành ma trận tam giác trên trên một thể là di truyền phải
và trái (xem [29, 2.36]).
Các vành di truyền (một phía) có đặc trưng tiêu biểu sau đây:
Định lý 1.3.10 ([29, Corollary 2.26 và Theorem 3.22]). Các điều kiện sau
đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành di truyền phải.
(2) Mọi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ.
(3) Mọi môđun con của một R-môđun phải xạ ảnh là xạ ảnh.
Lý thuyết vành tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) có nguồn gốc từ
lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn và được Nakayama giới thiệu vào năm
1939. Cho đến nay, đã có rất nhiều đặc trưng của lớp vành này được chỉ
ra. Lớp vành tựa Frobenius có vai trò quan trọng trong lý thuyết vành kết
hợp không giao hoán, đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.
Vành QF được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.3.11. Vành R được gọi là tựa Frobenius (hay gọi là vành
QF) nếu nó là vành Artin (phải và trái), tự nội xạ (phải và trái).
Sau đây, chúng tôi giới thiệu một số đặc trưng của lớp vành này bằng
cách giảm nhẹ tính tự nội xạ (xem [33]).
Định lý 1.3.12. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành tựa Frobenius.
(2) R là vành Artin phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái.
(3) R là vành Noether phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái.
25
Một đặc trưng đẹp đẽ của vành QF thông qua các lớp môđun nội xạ,
xạ ảnh là định lý Faith-Walker sau đây:
Định lý 1.3.13 ([33, Theorem 7.56]). Các điều kiện sau đây là tương đương
đối với vành R:
(1) R là vành tựa Frobenius.
(2) Mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh.
(3) Mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ.
Trong phần cuối của mục này, chúng tôi giới thiệu về vành nửa Artin.
Định nghĩa 1.3.14. Một môđun M được gọi là nửa Artin nếu mọi môđun
thương khác không có đế khác không. Một vành R được gọi là vành nửa
Artin phải nếu RR là môđun nửa Artin.
Sau đây là một số đặc trưng của vành nửa Artin.
Định lý 1.3.15 ([33, Lemma B.31]). Các điều kiện sau đây là tương đương
đối với vành R:
(1) R là vành nửa Artin phải.
(2) Mọi R-môđun phải khác không có đế cốt yếu.
(3) Mọi R-môđun phải khác không có môđun con đơn.
(4) Mọi R-môđun phải là nửa Artin.
1.4 Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn
Định nghĩa 1.4.1. Một môđun M được gọi là đơn nếu M chỉ có đúng hai
môđun con là 0 và M .
26
Định nghĩa 1.4.2. Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu M phân tích
được thành tổng trực tiếp của các môđun con đơn. Một vành R được gọi là
nửa đơn phải (trái) nếu RR (RR) là môđun nửa đơn.
Đối với môđun nửa đơn, chúng tôi giới thiệu một đặc trưng quan trọng
sau đây:
Bổ đề 1.4.3 ([14, 7.14], [42, 20.2]). Cho M là một R-môđun phải. Khi đó,
các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) M là môđun nửa đơn.
(2) Mọi R-môđun N là M -nội xạ.
(3) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M .
(4) Mỗi môđun trong σ[M ] là M -nội xạ.
(5) Mỗi môđun xiclic trong σ[M ] là M -nội xạ.
Khi nghiên cứu vành nửa đơn, chúng ta không cần đề cập đến phía của
nó nhờ định lý sau đây:
Định lý 1.4.4 ([23, Theorem 2.2.5]). Các điều kiện sau đây là tương đương
đối với vành R:
(1) R là nửa đơn phải.
(2) R là nửa đơn trái.
(3) Mọi R-môđun phải M là nửa đơn.
(4) Mọi R-môđun trái M là nửa đơn.
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại ở đây một số đặc trưng quan trọng của
vành nửa đơn liên quan đến phạm trù Mod-R, sự phân tích thành tổng trực
tiếp vành, vành chính quy và vành Artin.
27
Định lý 1.4.5. (Osofsky). Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun
phải (trái) xiclic là nội xạ.
Định lý 1.4.6. (Wedderburn-Artin). Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó
là tổng trực tiếp vành của một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể.
Định lý 1.4.7. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quy và
không chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao.
Định lý 1.4.8. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là Artin phải hay trái
và J(R) = 0.
Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề liên quan đến căn của vành, đã
có lúc Jacobson định nghĩa một vành R là nửa đơn khi J(R) = 0 và cho
đến nay vẫn còn một số nhà toán học sử dụng định nghĩa này. Chính vì thế,
để khỏi nhầm lẫn, từ Định lý 1.4.8, một số nhà toán học đã gọi vành nửa
đơn trong Định nghĩa 1.4.2 là vành Artin nửa đơn. Trong luận án này, kể từ
đây về sau, chúng tôi gọi vành nửa đơn như trong Định nghĩa 1.4.2 là vành
Artin nửa đơn.
Trong phần cuối của chương này, chúng tôi tổng hợp các mối quan hệ
giữa các môđun và các vành đã được đề cập ở trên bởi các sơ đồ sau đây:
1. Sơ đồ về mối quan hệ giữa các môđun
Giả nội xạ cốt yếu C3 ⇐ ⇐⇑ ⇑ ⇑
Giả nội xạ ⇒ C2 ADS
⇑ ⇑ ⇑Nửa đơn ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục
⇑ ⇑ ⇓Đơn Nội xạ C1
28
2. Sơ đồ về mối quan hệ giữa các vành
Nửa Artin (trái)
⇑QF ⇒ Artin (phải) ⇒ Noether (phải)
⇑Artin nửa đơn ⇒ Di truyền phải
⇓ ⇓Chính quy ⇒ Nửa di truyền phải
29
CHƯƠNG 2
Môđun giả nội xạ cốt yếu
Trong chương này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun
giả nội xạ cốt yếu ngoài những tính chất mà đã được Alahmadi, Er và Jain
nghiên cứu trong [6]. Một số áp dụng để nghiên cứu các vành Artin nửa đơn,
vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn cũng được đưa ra. Các kết quả
chính của chương này là Định lý 2.2.11, Định lý 2.2.12, Định lý 2.2.15, Định
lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17. Chương này được viết trong [2] và [34].
2.1 Định nghĩa và ví dụ
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về môđun giả nội xạ cốt yếu
đã được Alahmadi, Er và Jain đưa ra trong [6] như sau:
Định nghĩa 2.1.1. Cho M và N là các R-môđun phải. Khi đó:
(1) M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A
của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu
g : N →M .
(2) M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu.
(3) Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là
N -giả nội xạ cốt yếu và N là M -giả nội xạ cốt yếu.
(4) Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun
giả nội xạ cốt yếu.
30
Từ Định nghĩa 2.1.1 ta có, nếu M là N -giả nội xạ thì M là N -giả nội
xạ cốt yếu. Sau đây là ví dụ về môđun giả nội xạ cốt yếu.
Ví dụ 2.1.2. Xét các Z-môđun Zp2, Zp3 và Zn trong đó p là một số nguyên
tố và 2 ≤ n ∈ N. Khi đó:
(1) Zn là môđun giả nội xạ cốt yếu.
(2) Zp3 là Zp2-giả nội xạ cốt yếu.
(3) Zp2 không là Zp3-giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh. (1). Theo [33, trang 9] thì Z-môđun Zn là tựa nội xạ, do đó
nó là môđun giả nội xạ cốt yếu.
(2). Vì môđun Zp2 chỉ có 3 môđun con làp2Zp2Z
= 0,pZp2Z
vàZp2Z
= Zp2 nên
trong các Z-đơn cấu từ các môđun con của Zp2 đến Zp3, ta chỉ xét Z-đơn cấu
f :pZp2Z→ Zp3. Giả sử f(p) = b ∈ Zp3, khi đó ta có f(p.p) = f(0) = 0 = pb.
Vậy, b = 0 hoặc b = p2. Vì f là đơn cấu nên b = p2 và như vậy chỉ có một
đơn cấu duy nhất f :pZp2Z→ Zp3 là đơn cấu được xác định bởi: f(0) = 0 và
f(p) = p2. Bây giờ ta chọn ánh xạ g : Zp2 → Zp3 được xác định g(a) = pa
với mọi a ∈ Zp2. Khi đó, g là một Z-đồng cấu. Hơn nữa, với x ∈ pZp2Z
thì
x = mp với m = 0, 1, . . . , p− 1. Khi đó g(x) = mp2 = f(x). Từ đó suy ra,
g là một mở rộng của đồng cấu f . Vì vậy, Zp3 là Zp2-giả nội xạ cốt yếu.
(3). Ta lấy một môđun con cốt yếu của Zp3 làpZp3Z
. Xét đơn cấu f :
pZp3Z→ Zp2 được xác định f(a) = (
a
p) với mọi a ∈ pZ
p3Z. Giả sử đồng cấu
g : Zp3 → Zp2 là một mở rộng của đơn cấu f . Khi đó, giả sử g(1) = b ∈ Zp2thì pb = pg(1) = g(p.1) = g(p) = f(p) = 1. Vậy pb = 1 với b ∈ Zp2. Tuynhiên, trong Zp2 thì phương trình pb = 1 không có nghiệm nên không tồn
tại đồng cấu g là một mở rộng của f . Vậy, Zp2 không là Zp3-giả nội xạ cốt
yếu.
31
2.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt
yếu
Kết quả đầu tiên mà chúng tôi thu được về môđun N -giả nội xạ cốt yếu
là mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 2.2.1. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với các môđun
M và N :
(1) M là N -giả nội xạ cốt yếu.
(2) Với mỗi R-môđun phải A, với mỗi đơn cấu cốt yếu bất kỳ g : A → N
và đơn cấu f : A → M thì luôn tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho
f = gh.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho A là R-môđun phải, g : A → N là một đơn
cấu cốt yếu và f : A→ M là một đơn cấu. Từ g : A→ N là một đơn cấu
cốt yếu, chúng ta có g(A) ≤e N . Chúng ta chọn đồng cấu f ′ : g(A) → M
sao cho f ′(g(a)) = f(a) với mọi a ∈ A. Rõ ràng f ′ là đơn cấu. Do M là
N -giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho h|g(A)= f ′.
Vì vậy, với mọi a ∈ A chúng ta có (hg)(a) = h(g(a)) = f ′(g(a)) = f(a).
Suy ra f = gh.
(2)⇒ (1). Khi A ≤e N , lúc đó với mọi đơn cấu f : A→M thì ta chọn
đơn cấu cốt yếu g : A → N là đơn cấu chính tắc. Theo giả thiết, luôn tồn
tại đồng cấu h : N → M là mở rộng của đơn cấu f . Do vậy, M là N -giả
nội xạ cốt yếu.
Theo [33, trang 8], một môđun con N của M được gọi là bất biến đầy
đủ trong M nếu f(N) ≤ N với mọi f ∈ EndR(M).
Trong [6, Corollary 2.12], các tác giả đã chứng minh được rằng, một
môđun M là giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu nó bất biến đầy đủ qua các
đơn cấu trong EndR(E(M)). Trong định lý dưới đây, chúng tôi sẽ chỉ ra
32
rằng, một môđun M là N -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu α(N) ≤M với
mọi đơn cấu α : E(N)→ E(M).
Định lý 2.2.2. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với các môđun
M và N :
(1) M là N -giả nội xạ cốt yếu.
(2) α(N) ≤M với mọi đơn cấu α : E(N)→ E(M).
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho α : E(N) → E(M) là một đơn cấu. Đặt
A = N ∩ α−1(M) thì A ≤e N và α(A) ≤ M . Thật vậy, lấy 0 6= x ∈ N , do
α là đơn cấu nên 0 6= α(x) ∈ E(M). Vì M ≤e E(M) nên tồn tại r ∈ Rđể 0 6= α(x)r = α(xr) ∈ M . Do đó 0 6= α−1(α(xr)) = xr ∈ α−1(M).
Mặt khác, vì x ∈ N nên xr ∈ N . Do vậy xr ∈ A hay A ≤e N . Như vậy,
A ≤e N và α là đơn cấu từ A → M . Theo (1) thì tồn tại R-đồng cấu
g : N →M sao cho g(a) = α(a) với mọi a ∈ A. Bây giờ chúng ta sẽ chứng
minh g(n) = α(n) với mọi n ∈ N .
Thật vậy, giả sử tồn tại n0 ∈ N sao cho g(n0) 6= α(n0). Đặt x =
g(n0) − α(n0) ∈ E(M) thì x 6= 0. Do M ≤e E(M) nên tồn tại r ∈ R sao
cho 0 6= xr = g(n0r) − α(n0r) ∈ M . Điều này chứng tỏ α(n0r) ∈ M hay
n0r ∈ α−1(M). Vì n0r ∈ N nên n0r ∈ N ∩ α−1(M) hay n0r ∈ A. Do đó,
α(n0r) = g(n0r) hay g(n0r) − α(n0r) = xr = 0, kết quả này mâu thuẫn
với xr 6= 0. Do vậy, α(N) ≤M với mọi đơn cấu α : E(N)→ E(M).
(2)⇒ (1). Cho A ≤e N và f : A→M là một đơn cấu. Vì A ≤e N nên
E(A) = E(N), do đó tồn tại đơn cấu g : E(N) → E(M) sao cho g|A = f .
Theo (2) thì g(N) ≤ M và g là mở rộng cần tìm của f , có nghĩa M là
N -giả nội xạ cốt yếu.
Ví dụ 2.2.3. Xét các Z-môđun Zp2 và Z⊕ Zp3. Khi đó, Zp2 là Z⊕ Zp3-giảnội xạ cốt yếu.
Chứng minh. Ta có E(Zp2) = E(Zp3) = Zp∞ và E(Z) = Q nên theo Bổ đề
1.2.2, ta có E(Z ⊕ Zp3) = E(Z) ⊕ E(Zp3) = Q ⊕ Zp∞. Xét đơn cấu khác
33
không f : Q⊕Zp∞ → Zp∞. Giả sử f không toàn cấu thì f(Q⊕Zp∞) là một
môđun con thực sự của Zp∞. Nhưng theo [42, (2), 17.13 ] thì f(Q⊕Zp∞) là
hữu hạn. Vì f đơn cấu nên f(Q⊕ Zp∞) ' Q⊕ Zp∞. Do Q⊕ Zp∞ là tập vô
hạn nên sự đẳng cấu trên là vô lý. Vậy f là một đẳng cấu.
Nếu f(Q) 6= Zp∞ thì lại theo [42, (2), 17.13 ], ta có f(Q) hữu hạn nhưng
f(Q) ' Q trong đó Q là tập vô hạn nên vô lý. Vậy f(Q) = Zp∞. Tuy nhiên,
f(Q ⊕ Zp∞) = Zp∞ nên f(Q) = f(Q ⊕ Zp∞). Từ đó suy ra Q = Q ⊕ Zp∞.Điều này là vô lý. Do đó, không có đơn cấu nào từ Q ⊕ Zp∞ → Zp∞ và ta
chỉ có đồng cấu không. Vì vậy, theo Định lý 2.2.2, ta có Zp2 là Z⊕ Zp3-giảnội xạ cốt yếu.
Nhận xét 2.2.4. Từ Ví dụ 2.1.2, ta có Zp2 không là Zp3-giả nội xạ cốt
yếu, do đó Zp2 không là Zp3-giả nội xạ. Vì vậy, theo [13, Proposition 2.1] thì
Zp2 không là Z ⊕ Zp3-giả nội xạ. Tuy nhiên, từ Ví dụ 2.2.3 ta lại có Zp2 là
Z⊕ Zp3-giả nội xạ cốt yếu. Do vậy, khái niệm "M là N -giả nội xạ cốt yếu"
là một mở rộng thực sự của khái niệm "M là N -giả nội xạ".
Từ Định lý 2.2.2, khi cho M = N , chúng tôi thu được hệ quả dưới đây
là nội dung của [6, Corollary 2.12].
Hệ quả 2.2.5 ([6, Corollary 2.12]). Các điều kiện sau đây là tương đương
đối với môđun M :
(1) M là giả nội xạ cốt yếu.
(2) α(M) ≤M với mỗi tự đơn cấu α của E(M).
Tiếp theo là một số kết quả về môđun giả nội xạ cốt yếu tương tự như
các kết quả trong [13, Proposition 2.1] về môđun giả nội xạ.
Mệnh đề 2.2.6. Cho M và N là các môđun. Khi đó:
(1) M là N -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu M là K-giả nội xạ cốt yếu
với mọi K là môđun con cốt yếu của N .
34
(2) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K ' N , thì M là K-giả nội xạ cốt
yếu.
(3) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K ' M thì K là N -giả nội xạ cốt
yếu.
(4) Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Nếu tồn tại
một đẳng cấu giữa các môđun con A và B trong đó A ≤e N và B ≤e Mthì M ' N .
(5) Giả sử A và B là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Nếu E(A) 'E(B) thì mỗi đẳng cấu từ E(A)→ E(B) thu hẹp được thành đẳng cấu
từ A→ B. Hơn nữa, A và B là giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh. (1) (⇒). Cho L ≤e K ≤e N và f : L → M là một đơn cấu.
Vì E(L) = E(K) = E(N) nên tồn tại đơn cấu g : E(N)→ E(M) sao cho
g|L = f . Do M là N -giả nội xạ cốt yếu nên theo Định lý 2.2.2, chúng ta có
g(N) ≤M . Từ đó suy ra g(K) ≤M và vì vậy M là K-giả nội xạ cốt yếu.
(⇐). Khi M là K-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con cốt yếu K của
N thì hiển nhiên M là N -giả nội xạ cốt yếu.
(2). Cho M là N -giả nội xạ cốt yếu và g : K → N là một đẳng cấu, ta
cần chứng minh M là K-giả nội xạ cốt yếu. Đặt L ≤e K thì g(L) ≤e N .
Xét đơn cấu f : L → M , khi đó tồn tại một đơn cấu fg′ : g(L) → M ,
trong đó g′ : g(L) → L là một đơn cấu. Vì M là N -giả nội xạ cốt yếu nên
đơn cấu fg′ có thể mở rộng được đến đồng cấu h : N → M . Khi đó đồng
cấu hg : K → M thỏa mãn hg(l) = fg′(g(l)) = f(l) với mọi l ∈ L nên
hg : K →M là một mở rộng của f . Vậy M là K-giả nội xạ cốt yếu.
(3). Giả sử M là N -giả nội xạ cốt yếu và K ' M , ta cần chứng minh
K là N -giả nội xạ cốt yếu. Gọi A là môđun con cốt yếu trong N , xét đơn
cấu f : A → K và g : K → M là một đẳng cấu. Đặt h = gf : A → M .
Hiển nhiên h là đơn cấu. VìM là N -giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại đồng cấu
t : N → M sao cho t(a) = h(a) với mọi a ∈ A. Ta đặt u = g−1t : N → K
35
thì u là một đồng cấu. Với mọi a ∈ A ta có u(a) = g−1t(a) = g−1h(a) =
g−1gf(a) = f(a), vậy u là đồng cấu mở rộng của đơn cấu f nên K là N -giả
nội xạ cốt yếu.
(4). Cho f : A → B là một đẳng cấu. Vì A ≤e N và B ≤e M nên tồn
tại một đẳng cấu g : E(N)→ E(M) sao cho g|A = f . Như vậy, ta có 2 đơn
cấu là g : E(N) → E(M) và g−1 : E(M) → E(N). Theo Định lý 2.2.2,
chúng ta có g(N) ≤ M và g−1(M) ≤ N . Vậy g|N : N → M là một đẳng
cấu.
(5). Cho g : E(A)→ E(B) là một đẳng cấu. VìB là A-giả nội xạ cốt yếu
nên theo Định lý 2.2.2, ta có g(A) ≤ B. Tương tự ta cũng có g−1(B) ≤ A.
Do đó B = (gg−1)(B) = g(g−1(B)) ≤ g(A) ≤ B. Vậy g(A) = B và ta có
g|A : A → B là một đẳng cấu. Hơn nữa, từ A là B-giả nội xạ cốt yếu và
B ' A nên theo (2) chúng ta suy ra A là A-giả nội xạ cốt yếu hay A là
giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự, ta cũng có B là giả nội xạ cốt
yếu.
Trong Bổ đề 1.4.3 ta có, N là môđun nửa đơn khi và chỉ khiM là N -nội
xạ với mọi môđunM . Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi thu được
một kết quả mở rộng sau đây:
Định lý 2.2.7. Cho M và N là các môđun. Khi đó:
(1) N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N -giả nội xạ cốt yếu với mọi
môđun M .
(2) Giả sử N = A ⊕ B và M = C ⊕ D sao cho B được nhúng trong D.
Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu thì C là A-giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh. (1) (⇒). Khi N là môđun nửa đơn thì theo Bổ đề 1.4.3, mọi
R-môđun M là N -nội xạ. Do đó, với mọi R-môđun M thì M là N -giả nội
xạ cốt yếu.
(⇐). Cho A ≤ N , khi đó tồn tại C ≤ N sao cho A ⊕ C ≤e N . Giả sử
36
rằng ι : A ⊕ C → N là một đồng cấu bao hàm. Vì M là N -giả nội xạ cốt
yếu với mọi môđun M nên A ⊕ C là N -giả nội xạ cốt yếu, do đó tồn tại
f : N → A⊕ C sao cho fι = 1A⊕C . Theo [3, Mệnh đề 3.15, trang 30] thì ι
chẻ ra hay ι(A⊕C) = A⊕C ≤⊕ N . Giả sử N = (A⊕C)⊕N ′ với N ′ ≤ N
thì do A⊕ C ≤e N nên N ′ = 0. Vậy ta có N = A⊕ C. Điều này chứng tỏ
A ≤⊕ N . Theo Bổ đề 1.4.3 thì ta có N là môđun nửa đơn.
(2). Vì B được nhúng trong D nên tồn tại đơn cấu α : B → D. Giả sử
H ≤e A và f : H → C là một đơn cấu. Thế thì, f⊕α : H⊕B →M = C⊕Dlà một đơn cấu. Hơn nữa, theo [10, Proposition 5.20] thìH⊕B ≤e A⊕B hay
H⊕B ≤e N . VìM là N -giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại đồng cấu g : N →M
sao cho g là mở rộng của f ⊕ α. Đặt f = πgι : A → C với π : M → C là
phép chiếu và ι : A→ N là đồng cấu bao hàm. Khi đó, với mọi h ∈ H thì
f(h) = πgi(h) = πg(h + b) = π(f ⊕ α)(h + b) = π(f(h) + α(b)) = f(h).
Vì vậy, f |H = f . Do đó C là A-giả nội xạ cốt yếu.
Hệ quả 2.2.8. Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ cốt yếu là
giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh. Hệ quả được suy ra một cách trực tiếp từ Định lý 2.2.7 khi ta
cho M = N , A = C và B = D.
Tiếp theo là các tính chất khác của môđun giả nội xạ cốt yếu.
Định lý 2.2.9. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :
(1) Mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt yếu.
(2) M là giả nội xạ cốt yếu và mỗi môđun con cốt yếu của M là bất biến
đầy đủ dưới các đơn cấu của EndR(M).
(3) Mỗi môđun con cốt yếu của M là giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh. (1)⇒ (2). Cho f ∈ EndR(M) là một đơn cấu và H là môđun
con cốt yếu của M . Khi đó tồn tại một đơn cấu g của E(M) sao cho g
37
là mở rộng của f . Do E(H) = E(M) nên g cũng chính là đơn cấu từ
E(H) → E(H). Theo giả thiết, mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt
yếu nên H là giả nội xạ cốt yếu. Vì vậy, theo Hệ quả 2.2.5 ta có g(H) ≤ H.
Do g là mở rộng của f nên f(H) ≤ H. Vậy H là bất biến đầy đủ dưới đơn
cấu của EndR(M).
(2) ⇒ (3). Cho H là một môđun con cốt yếu của M . Giả sử A ≤e Hvà f : A → H là một đơn cấu. Khi đó, tồn tại một đơn cấu g của E(M)
là một mở rộng của f . Vì E(M) = E(H) nên g là một đơn cấu của E(H).
Theo Hệ quả 2.2.5 ta có g(H) ≤ H và vì vậy g là mở rộng của f hay H là
môđun giả nội xạ cốt yếu.
(3) ⇒ (1). Giả sử rằng H là một môđun con của M . Khi đó, tồn tại
một môđun K của M sao cho H ⊕ K ≤e M . Theo (3) thì H ⊕ K là giả
nội xạ cốt yếu và do đó theo Hệ quả 2.2.8, H cũng là môđun giả nội xạ cốt
yếu.
Theo Hệ quả 2.2.8 thì mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ
cốt yếu là giả nội xạ cốt yếu. Tuy nhiên, để tổng trực tiếp của hai môđun
giả nội xạ cốt yếu là môđun giả nội xạ cốt yếu thì chúng tôi cần thêm một
số điều kiện.
Định lý 2.2.10. Cho M = M1 ⊕M2 và E(M1), E(M2) là các môđun con
bất biến đầy đủ dưới các tự đơn cấu của E(M). Khi đó M là giả nội xạ cốt
yếu khi và chỉ khi M1,M2 là giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh. (⇒). Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.2.8.
(⇐). Vì M = M1 ⊕M2 nên theo Bổ đề 1.2.2, ta có E(M) = E(M1)⊕E(M2). Lấy α : E(M)→ E(M) là một đơn cấu. Khi đó, do E(M1), E(M2)
là các môđun con bất biến đầy đủ dưới các đơn cấu của E(M) nên α|E(Mi) :
E(Mi) → E(Mi) là đơn cấu với i = 1; 2. Từ M1,M2 là giả nội xạ cốt yếu
38
nên theo Hệ quả 2.2.5, ta có:
α(M) = α(M1 +M2)
= α(M1) + α(M2)
= α|E(M1)(M1) + α|E(M2)(M2)
≤M1 +M2 = M.
Lại theo Hệ quả 2.2.5, ta có M là giả nội xạ cốt yếu.
Trong [13, Theorem 2.6], tác giả đã chứng minh được rằng, mọi môđun
giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu,
chúng tôi chứng minh được:
Định lý 2.2.11. Mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3.
Chứng minh. Cho M là một môđun giả nội xạ cốt yếu, giả sử A và B là
2 hạng trực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0. Chúng ta cần chứng minh
A⊕B cũng là hạng tử trực tiếp của M .
Vì A ≤⊕ M nên ta có M = A ⊕ A′. Đặt π : M → A′ là phép chiếu
chính tắc. Vì A ⊕ B ≤ M nên tồn tại C là môđun con của M sao cho
(A⊕ B) ∩ C = 0 và A⊕ B ⊕ C ≤e M . Đặt D = B ⊕ C, khi đó A⊕D =
A⊕ π(D). Thật vậy, với x ∈ A⊕ π(D) thì x = a+ π(d) trong đó a ∈ A và
d ∈ D. Giả sử d = a1 + a′1 với a1 ∈ A; a′1 ∈ A′ thì x = a + π(a1 + a′1) =
a+ a′1 = a+ d− a1 = (a− a1) + d ∈ A⊕D. Mặt khác, với mọi x ∈ A⊕Dthì x = a + d trong đó a ∈ A và d ∈ D. Giả sử d = a1 + a′1 với a1 ∈ A;a′1 ∈ A′ thì x = a + d = a + (a1 + a′1) = (a + a1) + a′1 ∈ A ⊕ π(D). Vậy
A ⊕ π(D) = A ⊕D. Hơn nữa, π|D : D → π(D) là một đẳng cấu. Do vậy,
1A ⊕ π|D : A ⊕D → A ⊕ π(D) là một đẳng cấu. Do M là môđun giả nội
xạ cốt yếu và A⊕D là cốt yếu trong M nên 1A⊕ π|D mở rộng được tới tự
đẳng cấu g của M . Vì B ≤⊕ M và π(B) = g(B) ≤⊕ M nên π(B) ≤⊕ A′.Giả sử A′ = π(B) ⊕ A′′, khi đó ta có M = A ⊕ A′ = A ⊕ π(B) ⊕ A′′. Vìvậy, A⊕π(B) ≤⊕ M . Mặt khác, bằng việc chứng minh tương tự như chứng
minh A ⊕ π(D) = A ⊕ D, ta cũng có A ⊕ B = A ⊕ π(B), do đó ta được
A⊕B ≤⊕ M .
39
Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ,
trong [13, Question 3.5], H. Q. Dinh đã đặt ra câu hỏi: Một môđun không
suy biến, giả nội xạ và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Trong
định lý dưới đây, chúng tôi chứng minh được rằng, một môđun M là tựa
nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ cốt yếu và CS. Từ đó chúng
tôi đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của H. Q. Dinh.
Định lý 2.2.12. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt
yếu và CS.
Chứng minh. (⇒). Khi M là môđun tựa nội xạ thì hiển nhiên M là giả nội
xạ cốt yếu và CS.
(⇐). Vì M là giả nội xạ cốt yếu nên theo Định lý 2.2.11 ta có M
thỏa mãn điều kiện C3, do đó M là tựa liên tục. Mặt khác, với mọi f ∈EndR(E(M)) thì do E(M) là môđun liên tục nên theo [11, Theorem 3.9],
ta có f = e + g trong đó e2 = e ∈ EndR(E(M)) và g ∈ Aut(E(M)). Vì
môđun E(M) là tựa nội xạ nên theo [33, Lemma 1.15] ta có g(M) ≤ M .
Hơn nữa, vìM là tựa liên tục nên theo [32, Theorem 2.8], ta có e(M) ≤M .
Do đó, f(M) = e(M) + g(M) ≤M . Lại theo [33, Lemma 1.15], ta có M là
tựa nội xạ.
Hệ quả 2.2.13. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và
CS.
Kết quả sau đây nói về mối quan hệ giữa một môđun giả nội xạ cốt yếu
và vành các tự đồng cấu của nó.
Định lý 2.2.14. Cho M là một môđun tự sinh. Nếu EndR(M) là giả nội
xạ cốt yếu phải thì M là giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh. Đặt S = EndR(M), giả sử A ≤e M và f : A→M là một đơn
cấu. Đặt I = g ∈ S| g(M) ≤ A. Chúng ta sẽ chứng minh rằng I là một
iđêan phải cốt yếu của S. Thật vậy, với mọi m ∈M , g ∈ I và s ∈ S thì ta
40
có gs(m) ∈ g(M) ≤ A. Vậy I là một iđêan phải của S. Mặt khác, với mọi
0 6= s ∈ S, thì tồn tại m0 ∈M để 0 6= s(m0) ∈M . Vì A ≤e M nên tồn tại
r ∈ R sao cho 0 6= (s(m0))r ∈ A, do đó s(m0r)R ≤ A hay s(m0rR) ≤ A.
Mặt khác, vìM là môđun tự sinh nên theo [4, Mệnh đề 1.2.4, trang 45] chúng
ta có thể viết m0rR =∑
u∈K⊆Su(M). Nếu m0rR = 0 thì m0r = 0, suy ra
s(m0r) = 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. D đó, m0rR 6= 0, suy ra tồn
tại u ∈ K sao cho 0 6= su(M) ≤ A và do đó 0 6= su ∈ I hay I ≤e S. Bây giờ,
ta xét S-đồng cấu φ : I → SS được xác định bởi φ(g) = fg. Do f là một đơn
cấu nên φ cũng là một S-đơn cấu. Vì S là giả nội xạ cốt yếu phải nên tồn tại
đồng cấu φ là mở rộng của đồng cấu φ. Giả sử φ(g) = fg với f ∈ S và g ∈ S.Khi đó, với mọi g ∈ I thì fg = fg. Với mỗi a ∈ A, tồn tại u1, . . . , uk ∈ I,m1, . . . ,mk ∈ M sao cho a = u1(m1) + · · · + uk(mk). Do đó chúng ta có
f(a) = fu1(m1) + · · ·+ fuk(mk) = fu1(m1) + · · ·+ fuk(mk) = f(a).
Vì vậy f là mở rộng của f .
Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, theo [24, trang
398], Ω được gọi là đế mịn nếu với bất kỳM,N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M) 'Soc(N) khi và chỉ khi M ' N .
Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N -giả
nội xạ cốt yếu với mọi R-môđun phải N . Chúng tôi ký hiệu SE là lớp các
R-môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các R-môđun phải xạ
ảnh.
Trong [24, Theorem 3.3], các tác giả đã chứng minh được rằng, R là vành
QF khi và chỉ khi hoặc lớp các R-môđun xạ ảnh hoặc lớp các R-môđun nội
xạ là đế mịn. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu mạnh, chúng tôi cũng thu
được kết quả tương tự sau đây:
Định lý 2.2.15. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành QF.
(2) Lớp PR ∪ SE là đế mịn.
41
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Nếu R là QF thì theo Định lý 1.3.13, ta có mọi
R-môđun xạ ảnh là nội xạ. Vì vậy PR ∪ SE = SE .
Bây giờ, giả sử M và N là hai môđun thuộc lớp SE mà Soc(M) 'Soc(N) thì ta có E(Soc(M)) ' E(Soc(N)). Mặt khác, do R là Artin nên R
là nửa Artin phải. Vì vậy, từ [4, Mệnh đề 2.2.2, trang 141], ta có Soc(M) ≤e
M và Soc(N) ≤e N . Theo Mệnh đề 2.2.6 (4), ta có M ' N .
Ngược lại, nếu M ' N thì theo [4, Định lý 1.1.5, trang 103], ta có
Soc(M) ' Soc(N). Do vậy, lớp PR ∪ SE là đế mịn.
(2)⇒ (1). Cho P là R-môđun phải xạ ảnh. Khi đó P ∈ PR và E(P ) ∈SE và Soc(P ) = Soc(E(P )). Theo (2), chúng ta có P ' E(P ). Vì E(P )
nội xạ nên P là nội xạ. Điều này chứng tỏ R là vành QF.
Trong [24, Theorem 2.1], mối quan hệ giữa vành Artin nửa đơn R với
các R-môđun nội xạ đã được các tác giả chỉ ra là: R là Artin nửa đơn khi
và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun nội xạ là đế mịn. Đối với môđun giả nội
xạ cốt yếu và giả nội xạ cốt yếu mạnh, chúng tôi cũng thu được các kết quả
tương tự sau đây:
Định lý 2.2.16. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là Artin nửa đơn.
(2) Lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn.
(3) Lớp SE là đế mịn.
Chứng minh. (1)⇒ (2). Vì R là vành Artin nửa đơn nên theo [10, Proposi-
tion 13.9] ta có mọi R-môđun phảiM là nửa đơn. Do đó ta có Soc(M) = M .
Điều này chứng tỏ khi R là vành Artin nửa đơn thì lớp R-môđun là đế mịn.
Do đó lớp tất cả các môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn.
(2)⇒ (3). Giả sử M,N ∈ SE thì M và N thuộc lớp môđun giả nội xạ
cốt yếu. Theo (2) thì Soc(M) ' Soc(N) ⇔ M ' N . Do đó, lớp SE là đế
mịn.
42
(3) ⇒ (1). Rõ ràng Soc(E(RR)) = Soc(RR) = Soc(Soc(RR)). Vì
E(RR) và Soc(RR) là giả nội xạ cốt yếu nên theo (3), chúng ta nhận
được E(RR) ' Soc(RR). Điều đó suy ra rằng E(RR) là nửa đơn và do
RR ≤ E(RR) nên R là nửa đơn.
Theo Fuller trong [17], một môđun M được gọi là đối nửa đơn nếu mỗi
môđun con thực sự của M là giao của các môđun con cực đại. R được gọi
là vành đối nửa đơn nếu môđun phải RR là một môđun đối nửa đơn. Theo
[22, Proposition 3.1] thì M là một môđun đối nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi
R-môđun đơn là M -nội xạ.
Định lý 2.2.17. Cho R là một vành. Khi đó:
(1) Mỗi tổng trực tiếp của 2 môđun giả nội xạ cốt yếu là môđun giả nội xạ
cốt yếu khi và chỉ khi mỗi môđun giả nội xạ cốt yếu là nội xạ.
(2) Mở rộng cốt yếu của một R-môđun phải nửa đơn là giả nội xạ cốt yếu
khi và chỉ khi R là vành đối nửa đơn phải và Noether phải.
Chứng minh. (1) (⇒). ChoM là môđun giả nội xạ cốt yếu. Khi đó theo giả
thiết, ta có M ⊕E(M) là một môđun giả nội xạ cốt yếu. Vì vậy, theo Định
lý 2.2.11, môđun M ⊕E(M) thỏa mãn điều kiện C3. Xét đơn cấu chính tắc
i : M → E(M) thì từ [8, Proposition 2.3], ta có M ≤⊕ E(M). Do hạng tử
trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ nên ta được M là nội xạ.
(⇐). Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu. Theo giả thiết
thì M và N là các môđun nội xạ. Do vậy M ⊕ N là nội xạ. Từ đó ta có
M ⊕N là giả nội xạ cốt yếu.
(2) (⇒). Cho M là một môđun nửa đơn, khi đó M ⊕M là môđun nửa
đơn. Vì M ⊕M ≤e M ⊕ E(M) nên M ⊕ E(M) là một mở rộng cốt yếu
của môđun nửa đơn M ⊕M . Do đó từ giả thiết ta có M ⊕ E(M) là một
môđun giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự như phần (1) ta có M là
nội xạ. Vì vậy R là vành đối nửa đơn phải và Noether phải.
43
(⇐). Vì R là vành đối nửa đơn phải và Noether phải nên ta có mỗi
R-môđun phải nửa đơn là nội xạ. Do đó mở rộng cốt yếu của một R-môđun
phải nửa đơn là giả nội xạ cốt yếu.
Trong phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu một kết quả liên
quan đến mở rộng vành.
Định lý 2.2.18. Cho M là S-R-song môđun. Giả sử T =
(S M
0 R
)là giả
nội xạ cốt yếu phải. Khi đó:
(1) R là giả nội xạ cốt yếu phải.
(2) Nếu SM là trung thành thì MR là giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh. (1). Cho I là một iđêan phải cốt yếu của R và f : I → R
là một đơn cấu. Đặt I =
(S M
0 I
). Khi đó I là một iđêan phải cốt
yếu của T . Thật vậy, với mọi
(s1 m1
0 i
)∈ I và
(s m
0 r
)∈ T , ta có(
s1 m1
0 i
)(s m
0 r
)=
(s1s s1m+m1r
0 ir
)∈ I. Do đó I là một iđêan phải
của T . Mặt khác, với 0 6= t =
(s m
0 r
)∈ T thì:
+) Nếu s 6= 0 thì tồn tại t′ =
(1S 0
0 0
)∈ T thỏa mãn
tt′ =
(s m
0 r
)(1S 0
0 0
)=
(s 0
0 0
)∈ I và tt′ 6= 0.
+) Nếu m 6= 0 thì tồn tại t′ =
(0 0
0 1R
)∈ T thỏa mãn
tt′ =
(s m
0 r
)(0 0
0 1R
)=
(0 m
0 r
)∈ I và tt′ 6= 0.
44
+) Nếu 0 6= r ∈ R thì do I ≤e R nên tồn tại r1 ∈ R sao cho 0 6= rr1 ∈ I.
Chọn t′ =
(0 0
0 r1
)∈ T thì ta có tt′ =
(s m
0 r
)(0 0
0 r1
)=
(0 mr1
0 rr1
)∈ I
và tt′ 6= 0.
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có nếu 0 6= t =
(s m
0 r
)∈ T thì tồn
tại t′ ∈ T để 0 6= tt′ ∈ I. Do đó ta có I ≤e T .
Bây giờ, chúng ta thiết lập đồng cấu θ : I → T được xác định bởi
θ(
(s m
0 i
)) =
(s m
0 f(i)
)với mọi
(s m
0 i
)∈ I. Khi đó θ là một T -đơn cấu.
Do T là giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại T -đồng cấu φ : T → T là mở rộng của
đồng cấu θ. Giả sử với mọi t =
(s m
0 r
)∈ T , ta có φ(t) =
(s1 m1
0 r1
)∈ T .
Khi đó nếu t =
(s m
0 i
)∈ I thì r1 = f(i). Bây giờ, ánh xạ f : R → R
được xác định f(r) = r1 với mọi r ∈ R là một R-đồng cấu. Khi đó, với mọi
i ∈ I thì f(i) = r1 = f(i) hay f là một mở rộng của đồng cấu f . Vậy R là
giả nội xạ cốt yếu.
(2). Giả sử N là một môđun con cốt yếu của M và f : N → M là
một đơn cấu. Đặt N =
(0 N
0 R
). Ta sẽ chứng minh N là một iđêan phải
cốt yếu của T . Thật vậy, với mọi
(0 n1
0 r1
)∈ N và
(s m
0 r
)∈ T thì ta có(
0 n1
0 r1
)(s m
0 r
)=
(0 n1r
0 r1r
)∈ N . Do đó N là một iđêan phải của T .
Mặt khác, với 0 6= t =
(s m
0 r
)∈ T thì:
+) Nếu s 6= 0 thì do SM là môđun trung thành nên tồn tại 0 6= m′ ∈Msao cho sm′ 6= 0. Vì 0 6= sm′ ∈ M và N ≤e M nên tồn tại r1 ∈ R
45
thỏa mãn 0 6= (sm′)r1 ∈ N . Bây giờ ta chọn t′ =
(0 m′r1
0 0
)∈ T thì
tt′ =
(s m
0 r
)(0 m′r1
0 0
)=
(0 sm′r1
0 0
)∈ N và tt′ 6= 0.
+) Nếu 0 6= m ∈ M thì do N ≤e M nên tồn tại r1 ∈ R thỏa mãn
0 6= mr1 ∈ N . Chọn t′ =
(0 0
0 r1
)∈ T thì tt′ =
(s m
0 r
)(0 0
0 r1
)=(
0 mr1
0 rr1
)∈ N và tt′ 6= 0.
+) Nếu 0 6= r ∈ R thì chúng ta có 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: m 6= 0. Trường hợp này đã được chứng minh ở trên.
- Trường hợp 2: m = 0. Chọn t′ =
(0 0
0 1R
)∈ T thì khi đó ta có
tt′ =
(s 0
0 r
)(0 0
0 1R
)=
(0 0
0 r
)∈ N và tt′ 6= 0.
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có nếu 0 6= t =
(s m
0 r
)∈ T thì tồn
tại t′ ∈ T để 0 6= tt′ ∈ N . Do đó ta có N ≤e T .
Bây giờ, chúng ta thiết lập θ : N → T được xác định bởi θ(
(0 n
0 r
)) =(
0 f(n)
0 r
). Khi đó θ là một T -đơn cấu. Theo giả thiết, tồn tại một T -đồng
cấu φ : T → T là mở rộng của θ. Giả sử với mỗi x ∈M và
(0 x
0 r
)∈ T thì
θ(
(0 x
0 r
)) =
(sx mx
0 rx
)trong đó sx ∈ S, rx ∈ R và mx ∈M . Bây giờ, ánh
xạ f : M → M được xác định f(x) = mx với mọi x ∈ M là một R-đồng
cấu. Khi đó, với mọi x ∈ N thì f(x) = mx = f(x) hay f là một mở rộng
của f .
46
Điều ngược lại của Định lý 2.2.18 ở trên là không đúng.
Thật vậy, cho S = M = R = K với K là một trường. Khi đó R là giả
nội xạ cốt yếu phải, SM là trung thành và MR là giả nội xạ cốt yếu. Nếu
T là giả nội xạ cốt yếu phải thì theo Định lý 2.2.12, ta có T là vành C3.
Tuy nhiên, theo [33, Example 1.34] thì T không phải vành C3 nên ta có T
không phải là vành giả nội xạ cốt yếu phải.
KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 2
Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:
Trong phần đầu của chương, chúng tôi thu được các đặc trưng của
môđun N -giả nội xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.2.1, Định lý 2.2.2 và Mệnh đề
2.2.6). Từ kết quả của Định lý 2.2.2, chúng tôi thu lại được kết quả trong [6,
Corollary 2.12]. Một mối liên hệ giữa môđun nửa đơn và môđun nội xạ mà
chúng ta đã biết là: N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N -nội xạ với
mọi môđun M . Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi thu được một
kết quả mở rộng sau đây: N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N -giả
nội xạ cốt yếu với mọi môđun M (Định lý 2.2.7). Ngoài ra, chúng tôi cũng
đã thu được một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.9
và Định lý 2.2.10). Đặc biệt, chúng tôi chứng minh được rằng, mọi môđun
giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3. (Định lý 2.2.11) và môđun
M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý
2.2.12). Hơn nữa, chúng tôi cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin
nửa đơn, vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn thông qua môđun
giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.15, Định lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17). Cuối
cùng, một kết quả liên quan đến mở rộng vành giả nội xạ cốt yếu cũng được
chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 2.2.18.
47
CHƯƠNG 3
Môđun ADS tổng quát
Trong chương này, chúng tôi khảo sát một trường hợp tổng quát của
môđun ADS, đó là môđun ADS tổng quát. Như chúng tôi đã đề cập trong
phần đầu của Chương 2, khái niệm môđun giả nội xạ cốt yếu là do các tác
giả Alahmadi, Er và Jain đưa ra trong [6]. Kết quả mà chúng tôi quan tâm
trong công trình của họ là [6, Proposition 2.2], trong đó các tác giả đã chứng
minh được rằng, nếu M và N là các môđun và X = N ⊕M thì N là M -giả
nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà
K ∩M = 0 thì X = N ⊕K. Mặt khác, một R-môđun phải M được gọi là
ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T ′ của
S, chúng ta có M = S⊕T ′ (xem [7]). Tổ hợp các khái niệm vừa nêu ở trên,
chúng tôi xét một mở rộng của môđun ADS, đó là môđun ADS tổng quát.
Một số tính chất của môđun ADS tổng quát đã được đưa ra và việc vận
dụng chúng để đặc trưng vành Artin nửa đơn cũng được chúng tôi nghiên
cứu. Các kết quả chính của chương này là Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.10 và
Định lý 3.2.14. Chương này được viết trong [19].
3.1 Định nghĩa và ví dụ
Trước hết, chúng tôi đưa ra khái niệm về môđun ADS tổng quát như
sau:
Định nghĩa 3.1.1. Một môđun M được gọi là ADS tổng quát nếu với mỗi
48
sự phân tích M = S ⊕ T của M và với mỗi phần bù giao T ′ của S mà
T ′ ∩ T = 0 thì M = S ⊕ T ′. Một vành R được gọi là ADS tổng quát phải
nếu RR là môđun ADS tổng quát.
Từ các định nghĩa về môđun ADS và môđun ADS tổng quát, chúng ta
dễ dàng suy ra được mỗi môđun ADS là ADS tổng quát. Do đó, các vành
Z và Zn là các vành ADS tổng quát. Tuy nhiên, điều ngược lại không phải
bao giờ cũng đúng. Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng, một môđun ADS tổng quát
thì có thể không là môđun ADS.
Ví dụ 3.1.2. Cho R =
F F F0 F 0
0 0 F
trong đó F là một trường có 2 phần
tử. Khi đó N = e11R là một R-môđun phải bất biến đẳng cấu (có nghĩa là,
N là bất biến dưới tất cả các tự đẳng cấu của bao nội xạ của nó), không
phân tích được, không tựa nội xạ và EndR(N) là vành địa phương (xem [39,
Example]).
Bây giờ, ta xét R-môđun M = N1⊕N2 trong đó N1 = N2 = N . Chúng
ta sẽ chứng minh rằng M là môđun ADS tổng quát. Giả sử M = A⊕B mà
A 6= 0 và B 6= 0. Vì N1 ≤⊕ M và EndR(N1) là vành địa phương nên theo
Bổ đề 1.3.4 sẽ tồn tại A1 ≤⊕ A và B1 ≤⊕ B sao cho M = N1 ⊕ A1 ⊕ B1.
Do đó, N2 ' A1 ⊕ B1. Vì N2 là một môđun không phân tích được nên ta
có hoặc là A1 = 0 hoặc là B1 = 0.
Trường hợp 1: A1 = 0, chúng ta có M = N1 ⊕ B1 và N2 ' B1. Khi
đó M = N1⊕B1 = A⊕B =A⊕B′1⊕B1 và do đó N1 ' A⊕B′1. Vì N1 là
môđun không phân tích được nên B′1 = 0. Vì vậy, B = B1 ' N2 và A ' N1.
Trường hợp 2: B1 = 0, bằng cách lý luận tương tự như trên, chúng ta
có B ' N1 và A ' N2.
Trong cả hai trường hợp, nếu M = A ⊕ B thì A ' B ' N . Do N là
môđun bất biến đẳng cấu nên N là môđun giả nội xạ. Từ đó suy ra A là
B-giả nội xạ và B là A-giả nội xạ. Theo Định lý 3.2.1 sẽ được giới thiệu
49
sau đây, chúng ta có M là môđun ADS tổng quát. Mặt khác, chúng ta có
N không là tựa nội xạ, do đó M không là môđun ADS.
3.2 Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát
Trong [7], các tác giả Alahmadi, Jain và Leroy đã chứng minh được
rằng: Nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, ta
luôn có A và B là nội xạ tương hỗ. Trong trường hợp môđun ADS tổng
quát, chúng tôi thu được kết quả sau đây:
Định lý 3.2.1. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :
(1) M là ADS tổng quát.
(2) Nếu M = A⊕B thì A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ.
(3) Với bất kỳ sự phân tích M = A⊕B, thì phép chiếu chính tắc πB : M →B là một đẳng cấu khi nó được hạn chế đến bất kỳ phần bù giao C của
A trong M mà C ∩B = 0.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử M là một môđun ADS tổng quát có sự
phân tích M = A ⊕ B. Gọi B′ là một phần bù giao của A trong M mà
B′ ∩B = 0. Khi đó ta có M = A⊕B′. Theo Bổ đề 1.2.3, ta có A là B-giả
nội xạ cốt yếu. Lí luận một cách tương tự, chúng ta có B là A-giả nội xạ
cốt yếu. Vì vậy, A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ.
(2)⇒ (1). Giả sử môđun M có sự phân tích M = A⊕B. Khi đó, theo
giả thiết ta có A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Vì vậy, theo Bổ đề
1.2.3, với mỗi phần bù giao B′ của A mà B′ ∩ B = 0 thì M = A⊕ B′. Do
đó, M là môđun ADS tổng quát.
(1)⇒ (3). Giả sửM là ADS tổng quát vàM = A⊕B. Xét πB : M → B
là phép chiếu chính tắc. Gọi C là phần bù giao của A trong M thỏa mãn
C ∩B = 0. Chúng ta sẽ chứng minh rằng πB |C là một đẳng cấu.
50
Thật vậy, với c ∈ C thì c ∈ M và giả sử c = a+ b với a ∈ A và b ∈ B.
Khi đó, nếu πB(c) = 0 thì πB(c) = πB(a + b) = b = 0. Do đó a = c. Vì C
là phần bù giao của A trong M nên C ∩ A = 0 và do đó a = c = 0. Vậy
πB |C là đơn cấu.
Mặt khác, vì M là ADS tổng quát nên M = A⊕C. Khi đó, với bất kỳ
b ∈ B thì b ∈ M , do đó tồn tại a ∈ A và c ∈ C sao cho b = a + c, suy ra
c = −a + b và ta có πB(c) = b. Vậy πB |C là toàn cấu. Điều này chứng tỏ
πB |C là một đẳng cấu.
(3) ⇒ (1). Giả sử M = A ⊕ B và C là một phần bù giao của A trong
M mà C ∩ B = 0. Theo (3), phép chiếu chính tắc πB |C : M → B là một
đẳng cấu. Do đó M = A ⊕ B = A ⊕ πB(C). Để chứng minh môđun M là
ADS tổng quát, ta cần chứng minh M = A⊕ C hay A⊕ πB(C) = A⊕ C.
Thật vậy, với x ∈ A ⊕ πB(C) thì x = a + πB(c) trong đó a ∈ A và
c ∈ C. Giả sử c = a′ + b với a′ ∈ A; b ∈ B thì x = a + πB(a′ + b) =
a + b = a + c − a′ = (a − a′) + c ∈ A ⊕ C. Mặt khác, với mọi x ∈ A ⊕ Cthì x = a + c trong đó a ∈ A và c ∈ C. Giả sử c = a′ + b với a′ ∈ A;
b ∈ B thì x = a + c = a + (a′ + b) = (a + a′) + b ∈ A ⊕ πB(C). Vậy
A⊕ πB(C) = A⊕ C.
Hệ quả 3.2.2. Cho M là một R-môđun phải. Giả sử A là một hạng tử trực
tiếp bất kỳ của M vàM
A⊕ A
Klà một môđun ADS tổng quát với mọi môđun
con K của A. Khi đó, M là môđun ADS.
Chứng minh. Giả sử M = A ⊕ B, theo giả thiết, chúng ta cóM
A⊕ A
Klà
môđun ADS tổng quát với mọi môđun con K của A. Theo Định lý 3.2.1,
chúng ta suy raM
AlàA
K-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con K của A.
VìM
A' B nên theo Mệnh đề 2.2.6, ta có B là
A
K-giả nội xạ cốt yếu với
mọi môđun con K của A. Do đó theo Bổ đề 1.2.5, ta có B là A-nội xạ. Lý
luận một cách tương tự, chúng ta có A là B-nội xạ. Do vậy, theo [7, Lemma
3.1], ta có M là môđun ADS.
51
Từ Định lý 3.2.1, chúng tôi thu được một số ví dụ liên quan đến môđun
ADS tổng quát sau đây:
Ví dụ 3.2.3. Xét Z-môđun M = Zp2⊕Zp3. Theo Ví dụ 2.1.2 thì Zp2 khônglà Zp3-giả nội xạ cốt yếu. Do vậy, theo Định lý 3.2.1 thì M không phải là
môđun ADS tổng quát và hiển nhiên M không phải là môđun ADS.
Ví dụ 3.2.4. Cho vành R =
(Z2 Z2
0 Z2
)và đặt M = RR. Xét các R-môđun
con của M là A =
(Z2 Z2
0 0
)và B =
(0 0
0 Z2
). Khi đó:
(1) A và B là các R-môđun ADS tổng quát.
(2) M = A⊕B không là R-môđun ADS tổng quát.
Chứng minh. (1). Thật vậy, do A chỉ có một môđun con thực sự J =(0 Z2
0 0
)và B là môđun đơn nên A và B đều không phân tích được thành
tổng trực tiếp của 2 môđun con khác không. Vì vậy, theo [7, Lemma 3.1]
thì các môđun A và B là môđun ADS và do đó, chúng là các môđun ADS
tổng quát.
(2). Thậy vậy, ta lấy môđun con khác không và khác A duy nhất của A
là A1 =
(0 Z2
0 0
)và thiết lập R-đồng cấu ϕ :
(0 Z2
0 0
)→(
0 0
0 Z2
)thỏa
mãn ϕ(
(0 1
0 0
)) =
(0 0
0 1
). Khi đó A1 ≤e A và ϕ là đẳng cấu.
Tuy nhiên, giả sử α là một R-đồng cấu bất kỳ từ
(Z2 Z2
0 0
)→(
0 0
0 Z2
)
và giả sử α(
(1 0
0 0
)) =
(0 0
0 x
)với một x nào đó thuộc Z2.
Thế thì, với mọi
(a b
0 0
)∈ A, ta có α(
(a b
0 0
)) = α(
(1 0
0 0
)(a b
0 0
))
52
= α(
(1 0
0 0
))
(a b
0 0
)=
(0 0
0 x
)(a b
0 0
)=
(0 0
0 0
). Vậy α là đồng cấu
không. Điều này chứng tỏ đồng cấu ϕ không mở rộng được đến đồng cấu
α nên môđun B không phải là A-giả nội xạ cốt yếu. Do vậy, theo Định lý
3.2.1, chúng ta có M không phải là môđun ADS tổng quát.
Sau đây là một điều kiện tương đương khác để một môđunM là môđun
ADS tổng quát.
Định lý 3.2.5. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :
(1) M là ADS tổng quát.
(2) Với mỗi sự phân tích M = A⊕B và với mỗi đơn cấu
f ∈ HomR(E(B), E(A)) thì M = A⊕X trong đó X = b+ f(b) | b ∈B, f(b) ∈ A.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Để chứng minh M = A ⊕ X, chúng ta sẽ chỉ ra
rằng X ∩ A = 0, X ∩B = 0 và X là phần bù giao của A trong M .
Thật vậy, nếu n ∈ X ∩ A thì n ∈ X, do đó n = b + f(b) với b ∈ B và
f(b) ∈ A. Suy ra b = n − f(b) ∈ A. Lại do b ∈ B nên b ∈ A ∩ B = 0 hay
b = 0. Do đó f(b) = 0 và suy ra n = 0. Vậy X ∩A = 0. Mặt khác, ta cũng
có nếu m ∈ X ∩B thì m ∈ X, do đó m = b+ f(b) với b ∈ B và f(b) ∈ A.Suy ra f(b) = m − b ∈ B. Lại do f(b) ∈ A nên f(b) ∈ A ∩ B = 0 hay
f(b) = 0. Vì f đơn cấu nên b = 0. Vậy m = 0. Do đó, X ∩B = 0.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng X là môđun con lớn nhất trong
M có giao với A bằng 0. Lấy L là một môđun con củaM sao cho L∩A = 0
và X ≤ L. Xét các phép chiếu tự nhiên πA và πB của M tới A và B tương
ứng. Khi đó ta có πA(x) = fπB(x) với mọi x ∈ L.
Thật vậy, giả sử tồn tại x ∈ L sao cho πA(x) 6= fπB(x) hay 0 6=(πA−fπB)(x) ∈ E(A). Vì A ≤e E(A) nên tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= (πA−fπB)(xr) ∈ A. Giả sử x = a+ b ∈ L trong đó a ∈ A và b ∈ B thì πA(xr) =
53
ar và πB(xr) = br, suy ra πA(xr) + πB(xr) = ar + br = xr hay πA(xr) =
xr−πB(xr). Do đó πA(xr)−fπB(xr) = xr−(πB(xr)+fπB(xr)). Hiển nhiên
πA(xr)− fπB(xr) = (πA− fπB)(xr) ∈ A theo giả thiết. Mặt khác, cũng từ
(πA− fπB)(xr) ∈ A nên fπB(xr) ∈ A, do đó πB(xr) + fπB(xr) ∈ X ≤ L.
Vì xr ∈ L nên πA(xr) − fπB(xr) = xr − (πB(xr) + fπB(xr)) ∈ L. Vậy
πA(xr)− fπB(xr) ∈ A ∩ L = 0 và điều này là một điều mâu thuẫn với giả
thiết. Do đó πA(x) = fπB(x) với mọi x ∈ L.
Bây giờ với mọi x ∈ L, chúng ta có x = πA(x) + πB(x) = f(πB(x)) +
πB(x) ∈ X. Điều này chứng tỏ L ≤ X và do đó L = X.
(2) ⇒ (1). Giả sử với mỗi sự phân tích M = A ⊕ B và với mọi đơn
cấu f ∈ HomR(E(B), E(A)), chúng ta có M = A ⊕ X trong đó X =
b + f(b)| b ∈ B, f(b) ∈ A. Khi đó, với mọi b1 ∈ B thì b1 ∈ M . Giả sử
b1 = a+ x với a ∈ A và x ∈ X thì b1 = a+ b+ f(b) với b ∈ B và f(b) ∈ A.Vậy b1−b = a+f(b). Do b1−b ∈ B và a+f(b) ∈ A nên b1−b = a+f(b) = 0
hay b1 = b và f(b) = −a. Điều này chứng tỏ f(b1) = f(b) = −a ∈ A hay
f(B) ≤ A. Theo Định lý 2.2.2, ta có A là B-giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh
tương tự, ta cũng có B là A-giả nội xạ cốt yếu và do đó M là ADS tổng
quát theo Định lý 3.2.1.
Chúng ta biết rằng, hạng tử trực tiếp của một môđun ADS cũng là
môđun ADS. Tuy nhiên, để một hạng tử trực tiếp của môđun ADS tổng
quát là môđun ADS tổng quát thì chúng tôi cần bổ sung thêm một số điều
kiện.
Theo [33, trang 41], một môđun M được gọi là phân phối nếu A∩ (B+
C) = (A ∩B) + (A ∩ C) với mọi môđun con A,B và C của M .
Mệnh đề 3.2.6. Cho M là môđun ADS tổng quát. Khi đó:
(1) Mỗi hạng tử trực tiếp thỏa mãn điều kiện CS của M là ADS tổng quát.
(2) Nếu M là môđun phân phối thì mỗi hạng tử trực tiếp của M là ADS
tổng quát.
54
Chứng minh. Cho M = A ⊕ B là môđun ADS tổng quát. Ta cần chứng
minh A là môđun ADS tổng quát. Giả sử A = A1 ⊕ A2 và K là phần
bù giao của A1 trong A thỏa mãn K ∩ A2 = 0. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng
A = A1 ⊕K.
Trước hết, ta có với mọi x ∈ K ∩ (A1⊕B) thì x ∈ K và x ∈ A1⊕B, do
đó x = a1 + b trong đó a1 ∈ A1 và b ∈ B. Vì x ∈ K ≤ A và a1 ∈ A1 ≤ A
nên ta có b = x − a1 ∈ A và do vậy b = x − a1 ∈ A ∩ B = 0. Từ đó
suy ra b = 0 và do đó x = a1. Vì x ∈ K, a1 ∈ A1 và K là phần bù giao
của A1 trong A nên A1 ∩ K = 0 và ta có x = a1 = 0. Điều này suy ra
K ∩ (A1 ⊕B) = 0.
(1). Giả sử A là một môđun CS. Vì K là phần bù trong A nên K ≤⊕ A.Do đó K ≤⊕ M . Lại vì, K là phần bù giao của A1 trong A nên theo [40,
Lemma 2.2], ta có K⊕A1 ≤e A. Từ đó suy ra K⊕(A1⊕B) ≤e A⊕B = M .
Vậy K là phần bù giao của A1 ⊕B trong M theo [40, Lemma 2.2].
(2). Giả sử tồn tại môđun C sao cho K ≤ C ≤ A và thỏa mãn C ∩(A1 ⊕ B) = 0. Khi đó, vì M là môđun phân phối nên C ∩ (A1 ⊕ B) =
(C ∩ A1) ⊕ (C ∩ B) = 0, do đó C ∩ B = 0 và C ∩ A1 = 0, từ đó suy ra
(C ∩A)∩A1 = 0. Do K ≤ C ∩A và K lại là phần bù giao của A1 trong A
nên từ việc (C ∩A)∩A1 = 0 ta suy ra K = C ∩A = (C ∩A)⊕ (C ∩B) =
C ∩ (A ⊕ B) = C ∩M = C. Điều này chứng tỏ K là phần bù giao của
A1 ⊕B trong M .
Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có K là phần bù giao của
A1 ⊕B trong M .
Vì M là môđun ADS tổng quát nên M = (A1 ⊕ B) ⊕ K = A ⊕ B.
Trong chứng minh ở phần (1), ta có A1⊕K ≤e A. Mặt khác, với mọi a ∈ Athì a ∈ M . Giả sử a = a1 + b + k với a1 ∈ A1, b ∈ B và k ∈ K, suy ra
b = a− (a1 + k). Do a ∈ A và a1 + k ∈ A1 ⊕K ≤ A nên b ∈ A. Vì b ∈ Bvà A ∩ B = 0 nên b = 0. Do đó a = (a1 + k) ∈ A1 ⊕ K. Từ đó suy ra
A ≤ A1 ⊕K và ta được A = A1 ⊕K. Vì vậy, A là ADS tổng quát.
55
Trong Ví dụ 3.2.4, với R =
(Z2 Z2
0 Z2
)thì ta có các R-môđun
(Z2 Z2
0 0
)
và
(0 0
0 Z2
)là ADS tổng quát. Tuy nhiên, ta lại có R-môđun
(Z2 Z2
0 Z2
)=(
Z2 Z2
0 0
)⊕(
0 0
0 Z2
)không phải là môđun ADS tổng quát. Điều này chứng
tỏ tổng trực tiếp của hai môđun ADS tổng quát không nhất thiết là một
môđun ADS tổng quát. Do vậy, trong phần tiếp theo, chúng tôi quan tâm
đến việc khi nào thì tổng trực tiếp của hai môđun ADS tổng quát là một
môđun ADS tổng quát.
Trước hết, chúng tôi giới thiệu bổ đề cơ bản sau đây:
Bổ đề 3.2.7 ([35, Lemma 2.15]). Cho (Mi)i∈I và A, B là các môđun con
của R-môđun phảiM sao choM =⊕i∈IMi = A⊕B. Nếu, với bất kỳ i, j ∈ I,
HomR(Mi,Mj) = 0 thì với mọi i ∈ I ta có Mi = (A ∩Mi)⊕ (B ∩Mi) và
hơn nữa A =n⊕i=1
(A ∩Mi) và B =n⊕i=1
(B ∩Mi).
Định lý 3.2.8. Cho M =n⊕i=1
Mi trong đó E(Mi)i là một họ các môđun
con bất biến đầy đủ của E(M). Thế thì, M là ADS tổng quát nếu mỗi Mi
là ADS tổng quát với mọi i = 1, 2, . . . , n.
Chứng minh. Giả sửM =n⊕i=1
Mi = A⊕B. Để chứng minhM là môđun ADS
tổng quát ta sẽ chứng minh A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Từ giả
các giả thiết đã cho, theo Bổ đề 3.2.7, chúng ta cóMj = (A∩Mj)⊕(B∩Mj)
với mọi j = 1, 2, . . . , n, A =n⊕i=1
(A ∩Mi) và B =n⊕i=1
(B ∩Mi). Khi đó theo
Bổ đề 1.2.2, ta có E(A) =n⊕i=1
E(A ∩Mi), E(B) =n⊕i=1
E(B ∩Mi).
Lấy ϕ : E(B) → E(A) là một đơn cấu. Với mỗi i = 1, 2, . . . , n, đặt
ϕi = ϕιi : E(B ∩Mi)→ E(A) trong đó ιi : E(B ∩Mi)→ E(B) là các đơn
cấu chính tắc. Từ đó ta có ϕi là đơn cấu. Với j 6= i và đặt πj : E(A) →E(A∩Mj) là phép chiếu chính tắc. Thế thì πjϕi : E(B∩Mi)→ E(A∩Mj)
56
thỏa mãn πjϕi = 0 (theo giả thiết). Do đó ϕi(E(B∩Mi)) ≤ E(A∩Mi). Vì
Mi là môđun ADS tổng quát và Mj = (A ∩Mj)⊕ (B ∩Mj) nên chúng ta
nhận được A∩Mi là B∩Mi-giả nội xạ cốt yếu và từ Định lý 2.2.2 chúng ta
có ϕi(B ∩Mi) ≤ A ∩Mi. Do vậy ϕ(B) ≤ A. Điều này có nghĩa A là B-giả
nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự ta cũng có B là A-giả nội xạ cốt yếu.
Theo Định lý 3.2.1, ta có M là môđun ADS tổng quát.
Trong [6, Example 2], các tác giả đã đưa ra được phản ví dụ để chứng
tỏ rằng S1 và S2 là các môđun N -giả nội xạ cốt yếu nhưng S1⊕S2 không là
N -giả nội xạ cốt yếu. Từ đó, chúng tôi xem xét điều kiện sau đối với môđun
M :
(*): Nếu S1 và S2 là các môđun N -giả nội xạ cốt yếu thì S1 ⊕ S2 là
N -giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con S1, S2 và N của M .
Nếu môđunM =n⊕i=1
Mi thỏa mãn thêm điều kiện (*) thì chúng tôi nhận
được kết quả sau đây:
Mệnh đề 3.2.9. Cho M =n⊕i=1
Mi là môđun phân phối và thỏa mãn điều
kiện (*). Khi đó, M là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi Mi là ADS tổng
quát và Mi là Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i.
Chứng minh. (⇐). Ta cần chứng minhM là môđun ADS tổng quát. Giả sử
M = A⊕B. VìM là môđun phân phối nênMi = Mi∩M = Mi∩(A⊕B) =
(A ∩Mi) ⊕ (B ∩Mi) với mọi i = 1, 2, . . . , n. Mặt khác, A = A ∩M =
A∩n⊕i=1
Mi =n⊕i=1
(A∩Mi) và lý luận tương tự ta cũng có B =n⊕i=1
(B∩Mi). Do
Mi là ADS tổng quát và Mi = (A∩Mi)⊕ (B ∩Mi) với mọi i = 1, 2, . . . , n
nên A ∩Mi là (B ∩Mi)-giả nội xạ cốt yếu với mọi i = 1, 2, . . . , n. Theo
giả thiết, ta có Mi là Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i nên A ∩Mi là
A∩Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i. Lại do A∩Mj là (B ∩Mj)-giả nội
xạ cốt yếu với mọi i = 1, 2, . . . , n nên A∩Mi là (B∩Mj)-giả nội xạ cốt yếu
với mọi i, j = 1, 2, . . . , n và i 6= j. Như vậy, ta có A ∩Mi là (B ∩Mj)-giả
nội xạ cốt yếu với mọi i, j = 1, 2, . . . , n. Theo [6, Corollary 2.13] thì A∩Mi
57
làn⊕i=1
(B ∩Mj)-giả nội xạ cốt yếu hay A ∩Mi là B-giả nội xạ cốt yếu với
mọi i = 1, 2, . . . , n. Theo tính chất (*) ở trên thìn⊕i=1
(A ∩Mi) là B-giả nội
xạ cốt yếu hay A là B-giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự ta cũng có
B là A-giả nội xạ cốt yếu. Theo Định lý 3.2.1, ta có M là môđun ADS tổng
quát.
(⇒). Khi M là môđun ADS tổng quát thì theo Định lý 3.2.1 và Mệnh
đề 3.2.6, ta có mỗi Mi là ADS tổng quát và Mi là Mj-giả nội xạ cốt yếu với
mọi j 6= i.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu các tính chất liên quan đến
khái niệm ADS tổng quát đối với môđunM khiM là môđun nửa đơn trong
phạm trù σ[M ]. Từ đó chúng tôi thu được một số kết quả về vành Artin
nửa đơn.
Trong [35, Theorem 2.4], các tác giả đã chứng minh được rằng, M là
nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi
môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh
trong σ[M ] là ADS. Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi cũng chứng
minh được các kết quả tương tự như sau:
Định lý 3.2.10. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :
(1) M là nửa đơn.
(2) Mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát.
(3) Mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.
(4) Mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.
Chứng minh. (1)⇒ (2). Khi M là môđun nửa đơn, theo Bổ đề 1.4.3, ta có
mỗi môđun trong σ[M ] là môđun nội xạ. Do đó mỗi môđun trong σ[M ] là
ADS tổng quát.
58
(2)⇒ (3)⇒ (4) là hiển nhiên.
(4) ⇒ (1). Lấy N ∈ σ[M ] là môđun xiclic và x ∈ M . Khi đó ta có
(N ⊕xR)⊕xR là môđun 3-sinh trong σ[M ] và do đó theo (4) nó là môđun
ADS tổng quát. Theo Định lý 3.2.1, ta có N ⊕ xR là xR-giả nội xạ cốt yếu
và do đó theo Bổ đề 1.2.6, N là xR-nội xạ theo. Từ [32, Proposition 1.4],
ta có N là M -nội xạ. Vì vậy theo Bổ đề 1.4.3, M là môđun nửa đơn.
Hệ quả 3.2.11. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là Artin nửa đơn.
(2) Mỗi R-môđun phải là ADS tổng quát.
(3) Mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quát.
(4) Mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát.
Trong trường hợp môđun 2-sinh, chúng tôi nhận được kết quả sau đây:
Mệnh đề 3.2.12. Cho M là môđun xiclic. Khi đó, các điều kiện sau đây
là tương đương đối với môđun M :
(1) M là nửa đơn.
(2) Mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.
Chứng minh. (1)⇒ (2). Điều này được suy ra từ Định lý 3.2.10.
(2)⇒ (1). Cho N là R-môđun xiclic trong σ[M ]. DoM là môđun xiclic
nên với bất kỳ môđun K của M , ta có N ⊕ M
Klà môđun 2-sinh và do đó
theo (2), N ⊕M
Klà môđun ADS tổng quát. Theo Định lý 3.2.1, ta có N là
M
K-giả nội xạ cốt yếu. Vì vậy, theo Bổ đề 1.2.5, N là M -nội xạ và do đó M
là môđun nửa đơn theo Bổ đề 1.4.3.
Hệ quả sau đây là một mở rộng của Corollary 2.5 trong [35]:
59
Hệ quả 3.2.13. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là Artin nửa đơn.
(2) Mỗi R-môđun phải 2-sinh là ADS tổng quát.
Tiếp theo là mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa
nội xạ.
Định lý 3.2.14. Cho M =n⊕i=1
Mi là một tổng trực tiếp các môđun. Khi đó,
các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) M là tựa nội xạ.
(2) Mi là tựa nội xạ với mọi i = 1, 2, . . . , n và M 2 là ADS tổng quát.
(3) Mk là ADS tổng quát với mọi số nguyên dương k ≥ 3.
Chứng minh. (1)⇒ (2) và (1)⇒ (3). Nếu M là tựa nội xạ thì theo Bổ đề
1.2.1, ta có Mi là tựa nội xạ với mọi i = 1, 2, . . . , n và Mk là tựa nội xạ
với mọi số nguyên dương k ≥ 1 và do đó Mk là ADS tổng quát với mọi số
nguyên dương k ≥ 1.
(2) ⇒ (1). Theo giả thiết, chúng ta có M 2 = [[n⊕
i=1,i 6=jMi]
2 ⊕Mj] ⊕Mj
là ADS tổng quát. Theo Định lý 3.2.1, ta có [n⊕
i=1,i6=jMi]
2⊕Mj là Mj-giả nội
xạ cốt yếu. Vì vậy, theo Bổ đề 1.2.6 ta có [n⊕
i=1,i 6=jMi]
2 là Mj-nội xạ. Từ Bổ
đề 1.2.1 ta thu được Mi là Mj-nội xạ với mọi i 6= j. Vì Mi là tựa nội xạ với
mọi i = 1, . . . , n nên ta có Mi là Mj-nội xạ với mọi i, j = 1, . . . , n. Lại theo
Bổ đề 1.2.1, chúng ta có M là tựa nội xạ.
(3) ⇒ (1). Chúng ta có Mk = [[[n⊕
i=1,i 6=jMi]
k ⊕Mk−2j ] ⊕Mj] ⊕Mj là
ADS tổng quát với mọi số nguyên dương k ≥ 3. Theo Định lý 3.2.1, chúng
ta có [[n⊕
i=1,i 6=jMi]
k ⊕Mk−2j ]⊕Mj là Mj-giả nội xạ cốt yếu. Do đó, theo Bổ
60
đề 1.2.6, [n⊕
i=1,i 6=jMi]
k ⊕Mk−2j là Mj-nội xạ. Từ Bổ đề 1.2.1, ta có các Mi
và Mj là Mj-nội xạ với mọi i, j = 1, . . . , n. Vậy Mi là Mj-nội xạ với mọi
i, j = 1, . . . , n. Lại theo Bổ đề 1.2.1, chúng ta có M là tựa nội xạ.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu một số kết quả liên quan
đến vành ADS tổng quát.
Trước hết là kết quả liên quan đến mở rộng vành.
Định lý 3.2.15. Cho M là một S-R-song môđun. Nếu T =
(S M
0 R
)là
vành ADS tổng quát phải thì R là vành ADS tổng quát phải.
Chứng minh. Giả sử RR = A⊕B, ta sẽ chứng minh A và B là giả nội xạ cốt
yếu tương hỗ. Giả sử I ≤e A và f : I → B là R-đơn cấu. Đặt A =
(0 0
0 A
),
B =
(S M
0 B
)và I =
(0 0
0 I
). Khi đó chúng ta có TT = A ⊕ B và I là
một iđêan phải của A. Mặt khác, nếu 0 6= x =
(0 0
0 a
)∈ A =
(0 0
0 A
)thì 0 6= a ∈ A. Do I ≤e A nên tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= ar ∈ I.
Lấy t =
(0 0
0 r
)∈ T thì ta có xt =
(0 0
0 a
)(0 0
0 r
)=
(0 0
0 ar
)∈ I và
xt 6= 0 do ar 6= 0. Vậy I ≤e A. Bây giờ, chúng ta xây dựng đồng cấu
θ : I → B được xác định θ(
(0 0
0 r
)) =
(0 0
0 f(r)
). Thế thì θ là một T -đơn
cấu. Vì TT = A ⊕ B là môđun ADS tổng quát nên tồn tại một T -đồng
cấu φ : A → B sao cho φ(i) = θ(i) với mỗi i ∈ I. Giả sử với bất kỳ
a ∈ A ta có φ(
(0 0
0 a
)) =
(s m
0 b
). Khi đó, ánh xạ f : A → B được xác
định bởi f(a) = b là một R-đồng cấu. Bây giờ, với mỗi i ∈ I, chúng ta có
φ(
(0 0
0 i
)) =
(0 0
0 f(i)
), do đó f(i) = f(i) hay f là một mở rộng của f .
61
Do vậy B là A-giả nội xạ cốt yếu. Chứng minh tương tự ta cũng có A là
B-giả nội xạ cốt yếu và do đó R là vành ADS tổng quát phải.
Sau đây là một kết quả khác liên quan đến vành ADS tổng quát.
Mệnh đề 3.2.16. Cho M là một R-môđun phải trong đó R = ReR với
e2 = e ∈ R và S = eRe. Khi đó:
(1) (Me)S là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu MR là ADS tổng quát.
(2) (Re)S là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu RR là ADS tổng quát.
(3) SS là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu (eR)R là ADS tổng quát.
Chứng minh. (1) (⇒). Giả sử (Me)S là ADS tổng quát và MR = L ⊕ K.
Gọi H là phần bù giao của K trong M thỏa mãn H ∩ L = 0. Chúng ta sẽ
chứng minh rằng M = H ⊕ K. Theo (2) và (3) trong Bổ đề 1.1.1, chúng
ta có Me = Le ⊕Ke và He là phần bù giao của Ke trong Me thỏa mãn
He ∩ Le = 0. Vì (Me)S là ADS tổng quát nên Me = He ⊕Ke. Theo (3)
trong Bổ đề 1.1.1, ta có M = H ⊕K.
(⇐). Giả sửM là ADS tổng quát. Với bất kỳ sự phân tíchMe = Le⊕Kevà He là phần bù giao của Ke trongMe thỏa mãn He∩Le = 0, chúng ta sẽ
chứng minh rằng Me = He⊕Ke. Theo (2) và (3) trong Bổ đề 1.1.1, chúng
ta có M = L⊕K và H là phần bù giao của K trong M mà H ∩L = 0. Vì
M là ADS tổng quát nên M = H ⊕K. Theo (3) trong Bổ đề 1.1.1, ta có
Me = He⊕Ke.
(2). Nếu chúng ta chọn R-môđun phải M ở (1) là R-môđun phải R thì
ta được kết quả là (2).
(3). Nếu chúng ta chọn R-môđun phải M ở (1) là R-môđun phải eR thì
khi đó (Me)S = (eRe)S = SS và ta được kết quả là (3).
KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 3
Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:
62
Chúng tôi đã đưa ra được một số điều kiện tương đương để một môđun
là ADS tổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.5). Mặc dù, chúng tôi chưa
biết được một hạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là ADS
tổng quát hay không nhưng nếu thêm một số điều kiện như môđun M phải
là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏa mãn
điều kiện CS thì khi đó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M là môđun
ADS tổng quát thì mọi hạng tử trực tiếp của môđun M cũng là ADS tổng
quát (Mệnh đề 3.2.6). Chúng tôi cũng nghiên cứu được một số tính chất
của môđun ADS tổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđun M là nửa đơn
(Định lý 3.2.10) và từ đó đưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artin nửa
đơn (Hệ quả 3.2.11). Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun
tựa nội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Cuối cùng, cũng
giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộng
vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15.
63
CHƯƠNG 4
Môđun thỏa mãn điều kiện (C)
Khi nghiên cứu về môđun giả nội xạ, trong [13, Theorem 2.6], tác giả
H. Q. Dinh đã chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn
điều kiện C2. Ngoài ra, tác giả cũng đã đưa ra được ví dụ để chỉ ra rằng,
môđun C2 là một mở rộng thực sự của môđun giả nội xạ ([13, Remark 2.9]).
Liên quan đến việc nghiên cứu môđun C2, chúng tôi xin nhắc lại ở đây một
giả thuyết nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời, đó là giả thuyết
FGF, nội dung của giả thuyết là: Vành FGF có phải là vành QF hay không?
Trong [33, Theorem 7.21], các tác giả đã chứng minh được rằng, nếu R là
vành FGF và C2 thì R là vành QF. Như vậy, việc nghiên cứu môđun C2
và các mở rộng của nó được hy vọng là sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết
FGF nói trên. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một mở rộng của
môđun C2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C) và từ mở rộng này, chúng tôi
nghiên cứu để áp dụng vào việc đặc trưng vành bao gồm vành chính quy,
vành Artin nửa đơn, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin.
4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C)
Trong phần này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun
thỏa mãn điều kiện (C). Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C)với môđun C2 cũng được chúng tôi đề cập. Việc áp dụng một số tính chất
của môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành Artin nửa đơn và
64
vành chính quy cũng được nghiên cứu. Các kết quả chính trong phần này là
Mệnh đề 4.1.7, Định lý 4.1.10 và Định lý 4.1.21. Phần này được viết trong
[1], [20] và [36].
Chúng tôi bắt đầu phần này bằng một tính chất đơn giản của môđun
C2 như sau:
Bổ đề 4.1.1. Cho M là một R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các
mệnh đề sau là tương đương:
(1) Môđun M là môđun C2.
(2) Với s ∈ S mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử
trực tiếp của M .
Chứng minh. (1)⇒ (2). ChoM là môđun C2 và s ∈ S thỏa mãn Ker(s) ≤⊕
M . Khi đó M = Ker(s) ⊕ K với K là một môđun con của M . Vì vậy,
Im(f) ' M
Ker(s)' K ≤⊕ M . Vì M là môđun C2 nên
M
Ker(s)≤⊕ M và do
đó Im(s) ≤⊕ M .
(2) ⇒ (1). Giả sử N ≤ M mà N ' K ≤⊕ M , ta cần chứng minh
N ≤⊕ M . Vì K ≤⊕ M nên tồn tại e2 = e ∈ S để K = e(M). Gọi α
là một đẳng cấu từ e(M) → N và i : N → M là đơn cấu chính tắc.
Đặt s = iαe, khi đó se(M) = iαee(M) = iαe(M) = N và Ker(se) =
m ∈M | iαe(m) = 0 = m ∈M | αe(m) = 0 = m ∈M | e(m) = 0= Ker(e). Do e là đồng cấu lũy đẳng nên Ker(e) ≤⊕ M và do đó Ker(se) ≤⊕
M . Theo (2), ta suy ra Im(se) ≤⊕ M hay N ≤⊕ M , do đó M là môđun
C2.
Xuất phát từ đặc trưng của môđun C2 trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi đề
xuất một tính chất mở rộng của môđun C2 như sau:
Định nghĩa 4.1.2. Một môđun MR được gọi là thỏa mãn điều kiện (C)nếu với mỗi s ∈ S và s 6= 0, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn)
là hạng tử trực tiếp của M thì Im(sn) là hạng tử trực tiếp của M .
65
Một vành R được gọi là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu RR là
môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Từ định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện (C) ở trên, chúng ta dễ
dàng có được mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 4.1.3. Mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện (C).
Ví dụ 4.1.4. Cho vành R =
(Z2 Z2
0 Z2
)và đặt M = RR. Khi đó:
(1). Môđun M không phải là môđun C2 và cũng không thỏa mãn điều
kiện (C). Thật vậy, xét ánh xạ f : M → M được xác định f(
(x1 x2
0 x3
)) =(
0 x3
0 0
). Hiển nhiên là f 6= 0 và f 2 = 0. Mặt khác, với r =
(r1 r2
0 r3
)∈ R
và x =
(x1 x2
0 x3
)∈M thì f(xr) = f(
(x1r1 x1r2 + x2r3
0 x3r3
)) =
(0 x3r3
0 0
)=
f(x)r. Do đó f là một R-đồng cấu. Ta có Ker(f) =
(Z2 Z2
0 0
)≤⊕ M nhưng
Im(f) =
(0 Z2
0 0
)6≤⊕ M , do đó M không phải là môđun C2. Vì f 2 = 0
nên M cũng không phải là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
(2). Xét các R-môđun con của M là A =
(Z2 Z2
0 0
)và B =
(0 0
0 Z2
).
Do A chỉ có một môđun con thực sự J =
(0 Z2
0 0
)và J 6' A nên A là
môđun C2. Hơn nữa, B là môđun đơn nên B cũng là môđun C2. Vậy cả A
và B đều là các môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Nhận xét 4.1.5. Ta có
(Z2 Z2
0 Z2
)=
(Z2 Z2
0 0
)⊕(
0 0
0 Z2
). Từ Ví dụ 4.1.4,
ta có các môđun A và B thỏa mãn điều kiện (C) nhưng môđun A ⊕ B lại
không thỏa mãn điều kiện (C), điều này chứng tỏ tổng trực tiếp của hai
66
môđun thỏa mãn điều kiện (C) không nhất thiết là một môđun thỏa mãn
điều kiện (C).
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng một môđun con của một môđun thỏa mãn
điều kiện (C) cũng có thể không thỏa mãn điều kiện (C).
Ví dụ 4.1.6. Xét Q như là một Z-môđun. Khi đó S = EndZ(Q) ' Q.
Vì mỗi phần tử của S hoặc là đồng cấu không hoặc là đẳng cấu nên Qlà môđun thỏa mãn điều kiện (C). Bây giờ ta xét môđun con của Q là
Z và xét f ∈ EndZ(Z) được xác định bởi f(x) = 2x với mọi x ∈ Z.Vì 0 = Ker(fn) ≤⊕ Z và Im(fn) 6≤⊕ Z với mọi số nguyên dương n nên
Z-môđun Z không phải là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Khi S = EndR(M) là vành địa phương thì chúng tôi nhận thấy các
môđun C2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C) là trùng nhau thể hiện trong
mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 4.1.7. Cho M là một R-môđun phải có vành các tự đồng cấu
S = EndR(M) là vành địa phương. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương
đương:
(1) M là C2.
(2) M thỏa mãn điều kiện (C).
Chứng minh. (1)⇒ (2). Theo Mệnh đề 4.1.3.
(2)⇒ (1). Giả sử M là môđun thỏa mãn điều kiện (C) và s : M → M
là một đơn cấu. Nếu tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và Ker(sn) ≤⊕ M thì
sn(M) ≤⊕ M . Vì s là một đơn cấu nên sn : M →M cũng là đơn cấu. Giả
sử M = sn(M)⊕K với K ≤M . Khi đó, với mọi x ∈M thì x = sn(m) + k
vớim ∈M và k ∈ K. Xét đồng cấu g : M →M được xác định như sau: Với
x ∈M mà x = sn(m) +k thì g(x) = m. Hiển nhiên ta có gsn = 1M . Vì vậy
S = Ssn ⊆ Ss. Mặt khác, với s ∈ S thì s = s.1M = sgsn = (sg)sn ∈ Ssn,
67
do đó S ⊆ Ssn và ta có S = Ss. Theo [43, Theorem 4 và Corollary 11], ta
suy ra M là môđun C2.
Ví dụ sau đây giới thiệu về một môđun có vành các tự đồng cấu là vành
địa phương và nó cũng đồng thời là môđun C2 và môđun thỏa mãn điều
kiện (C).
Ví dụ 4.1.8. Xét Z-môđun Z4, vì Z4 chỉ có một iđêan cực đại duy nhất là
2Z4 nên Z4 là vành địa phương. Mà Z4 ' EndZ(Z4) nên EndZ(Z4) là vành
địa phương. Vì Z4 không phân tích được nên nếu f ∈ EndZ(Z4) mà fn 6= 0
và Ker(fn) ≤⊕ Z4 thì Im(fn) ≤⊕ Z4. Do vậy Z4 là môđun thỏa mãn điều
kiện (C). Hơn nữa, theo [33, trang 9] thì Z-môđun Z4 là tựa nội xạ, do đó
nó là môđun C2.
Tiếp theo, chúng tôi xem xét các điều kiện tương đương với một môđun
thỏa mãn điều kiện (C) nhưng trước hết chúng tôi cần bổ đề sau đây:
Bổ đề 4.1.9. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó:
(1) Nếu s ∈ S mà Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S và n ∈ N thì Im(sn) =
Im(sne).
(2) Nếu với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 thì Ssn ⊆ Se ⊆lS(Ker(sn)) nếu và chỉ nếu Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S.
Chứng minh. (1). Trước hết, ta có nếu x ∈ Ker(e) thì e(x) = 0, do đó
x − e(x) = x hay (1 − e)(x) = x. Vậy x ∈ Im(1 − e). Mặt khác, nếu
x ∈ Im(1 − e) thì tồn tại y ∈ M để (1 − e)(y) = x. Do e2 = e nên
(1 − e)2 = 1 − e, vì vậy (1 − e)(y) = (1 − e)2(y) = (1 − e)(x) = x
hay e(x) = 0. Vậy x ∈ Ker(e). Tóm lại, ta có Ker(e) = Im(1 − e). Vì
Ker(sn) = Ker(e) nên Ker(sn) = Im(1− e), suy ra sn((1− e)(M)) = 0 hay
Im(sn) = Im(sne).
(2) (⇒). Giả sử với e2 = e ∈ S, ta có Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)) thì ta
cần chứng minh Ker(sn) = Ker(e).
68
Thật vậy, vì Se ⊆ lS(Ker(sn)) = h ∈ S | h(Ker(sn)) = 0 nên e ∈lS(Ker(sn)), do đó e(Ker(sn)) = 0 hay Ker(sn) ⊆ Ker(e). Mặt khác, vì
Ssn ⊆ Se nên sn ∈ Se. Giả sử sn = s′e với s′ ∈ S và x ∈ Ker(e) thì
sn(x) = s′e(x) = s′(0) = 0 nên x ∈ Ker(sn) hay Ker(e) ⊆ Ker(sn). Vậy
Ker(sn) = Ker(e).
(⇐). Giả sử Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S thì ta cần chứng minh
Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)).
Thật vậy, vì Ker(sn) = Ker(e) nên theo (1) ta có Im(sn) = Im(sne).
Do đó, Ssn = Ssne = (Ssn)e ⊆ Se. Mặt khác, với he ∈ Se thì he(Ker(sn))
= he(Ker(e)) = h(e(Ker(e))) = h(0) = 0. Điều này chứng tỏ he ∈lS(Ker(sn)) hay Se ⊆ lS(Ker(sn)). Vậy, Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)).
Bây giờ, chúng tôi sẽ sử dụng Bổ đề 4.1.9 để chứng minh các kết quả
trong định lý sau đây.
Định lý 4.1.10. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các
mệnh đề sau đây là tương đương:
(1) Môđun M thỏa mãn điều kiện (C).
(2) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) =
Ker(e) với e2 = e ∈ S thì e ∈ Ssn.
(3) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) =
Ker(e) với e2 = e ∈ S thì Ssn = Se.
(4) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) =
Ker(e) với e2 = e ∈ S thì Im(sne) ≤⊕ M .
(5) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ssn ⊆ Se ⊆lS(Ker(sn)) với e2 = e ∈ S thì Ssn = Se.
(6) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) =
Ker(e) với e2 = e ∈ S thì Ssn = lS(Ker(sn)).
69
Chứng minh. (1) ⇒ (4). Cho M là môđun thỏa mãn điều kiện (C) và 0 6=s ∈ S. Giả sử tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và Ker(sn) = Ker(e) với
e2 = e ∈ S. Vì e lũy đẳng nên Ker(e) ≤⊕ M , do đó Im(sn) ≤⊕ M .
Mặt khác, từ Bổ đề 4.1.9 ta có Im(sn) = Im(sne). Do vậy, chúng ta có
Im(sne) ≤⊕ M .
(4)⇒ (1). Với mỗi 0 6= s ∈ S và tồn tại n ∈ N để Ker(sn) ≤⊕ M , khi đó
Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S. Theo Bổ đề 4.1.9 ta có Im(sn) = Im(sne).
Theo (4) thì Im(sne) ≤⊕ M nên ta có Im(sn) ≤⊕ M . Vậy, môđun M thỏa
mãn điều kiện (C).
(2) ⇒ (3). Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và
nếu Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S, ta sẽ chứng minh Ssn = Se.
Theo giả thiết thì e ∈ Ssn, do đó Se ⊆ Ssn. Bây giờ, với k ∈ S thì do
Ker(sn) = Ker(e) nên theo Bổ đề 4.1.9 ta có Im(sn) = Im(sne), vì vậy
ksn(M) = k(sne)(M) ∈ Se(M) hay Ssn ⊆ Se. Do đó Ssn = Se.
(3) ⇒ (4). Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu
Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S, ta sẽ chứng minh Im(sne) ≤⊕ M .
Theo giả thiết thì Se = Ssn, do đó e = tsn hoặc e = e2 = tsne với
t ∈ S.Nếu e = tsn thì (snet)2 = snetsnet = sne(tsn)et = sneeet = snet.
Nếu e = tsne thì (snet)2 = snetsnet = sne(tsne)t = sneet = snet.
Trong cả hai trường hợp, chúng ta đều có (snet)2 = snet, tức snet là đồng
cấu lũy đẳng. Do đó, snet(M) ≤⊕ M .
Bây giờ ta sẽ chứng minh snet(M) = sne(M). Thật vậy, hiển nhiên ta
có snet(M) = sne(t(M)) ⊆ sne(M). Hơn nữa, ta có sne(M) = snee(M) =
snetsn(M) ⊆ snet(M) (nếu e = tsn) và sne(M) = snee(M) = snetsne(M) ⊆snet(M) (nếu e = tsne). Do đó, ta luôn có sne(M) ⊆ snet(M). Vậy
snet(M) = sne(M). Vì snet(M) ≤⊕ M nên sne(M) ≤⊕ M .
(4) ⇒ (2). Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu
Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S thì ta sẽ chứng minh e ∈ Ssn.
70
Theo giả thiết thì sne(M) ≤⊕ M và do Ker(sn) = Ker(e) nên theo
Bổ đề 4.1.9 ta có Im(sn) = Im(sne). Từ đó suy ra sn(M) ≤⊕ M . Xét
đồng cấu φ : sn(M) → e(M) xác định bởi φ(sn(m)) = e(m), khi đó nếu
sn(m1) 6= sn(m2) mà φ(sn(m1)) = φ(sn(m2)) thì e(m1) = e(m2), tức là
m1 − m2 ∈ Ker(e) = Ker(sn), do đó sn(m1) = sn(m2). Điều này là mâu
thuẫn với giả thiết, vì vậy φ là đơn cấu. Hiển nhiên φ là toàn cấu nên φ là
đẳng cấu. Xét phép chiếu chính tắc π : M = sn(M)⊕K → sn(M) và đơn
cấu chính tắc i : e(M)→ M . Đặt α = iφπ. Khi đó α ∈ S và α là một mở
rộng của φ. Với mọi m ∈ M , chúng ta có αsn(m) = φ(sn(m)) = e(m) hay
e(m) = αsn(m). Do đó e = αsn ∈ Ssn.
(3) ⇔ (5). Sự tương đương này được suy trực tiếp từ (2) trong Bổ đề
4.1.9.
(5) ⇒ (6). Giả sử, với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0
và nếu Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S, ta cần chứng minh Ssn =
lS(Ker(sn)).
Thật vậy, từ Bổ đề 4.1.9, ta có Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)), do đó từ (5) suy
ra Ssn = Se. Nếu h ∈ lS(Ker(sn)) thì h(Ker(sn)) = 0 hay h(Ker(e)) = 0,
từ đó ta có h ∈ Se. Do đó lS(Ker(sn)) ⊆ Se. Mà Se ⊆ lS(Ker(sn)) nên
Se = lS(Ker(sn)). Vậy Ssn = lS(Ker(sn)).
(6)⇒ (5). Giả sử, với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và
nếu Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)) với e2 = e ∈ S, ta cần chứng minh Ssn = Se.
Thật vậy, từ Bổ đề 4.1.9, ta có Ker(sn) = Ker(e), do đó từ (6) suy ra
Ssn = lS(Ker(sn)). Kết hợp với giả thiết Ssn ⊆ Se ⊆ lS(Ker(sn)) ta suy
ra Ssn = Se = lS(Ker(sn)) hay (5) được chứng minh.
Sau đây là các điều kiện đủ để một môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Mệnh đề 4.1.11. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Chúng ta
xét các điều kiện sau đây:
(1) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu sn(M) đẳng
71
cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì sn(M) ≤⊕ M .
(2) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và mỗi R-đẳng cấu
sn(M) → e(M) trong đó e2 = e ∈ S đều mở rộng thành đồng cấu từ
M →M .
(3) Môđun M thỏa mãn điều kiện (C).
Khi đó, ta có dãy sơ đồ sau: (1)⇒ (2)⇒ (3).
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho 0 6= s ∈ S, giả sử tồn tại n ∈ N sao cho
sn 6= 0 và φ : sn(M)→ e(M) là đẳng cấu, trong đó e2 = e. Vì e(M) ≤⊕ Mvà sn(M) ' e(M) nên theo (1) ta có sn(M) ≤⊕ M . Xét phép chiếu chính
tắc π : M → sn(M) và đơn cấu chính tắc i : e(M)→M . Đặt s = iφπ. Khi
đó s ∈ S và s là một mở rộng của φ.
(2) ⇒ (3). Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu
Ker(sn) = Ker(e) với e2 = e ∈ S thì ta sẽ chứng minh e ∈ Ssn.
Xét đồng cấu φ : sn(M) → e(M) xác định bởi φ(sn(m)) = e(m). Khi
đó, nếu sn(m1) 6= sn(m2) mà φ(sn(m1)) = φ(sn(m2)) thì e(m1) = e(m2),
tức là m1 − m2 ∈ Ker(e) = Ker(sn). Do đó sn(m1) = sn(m2). Điều này
mâu thuẫn với giả thiết, vì vậy φ là đơn cấu. Hiển nhiên φ là toàn cấu nên
φ là đẳng cấu. Theo (2) thì tồn tại t ∈ S là một mở rộng của φ, tức là
với mỗi m ∈ M thì t(sn(m)) = φ(sn(m)) hay t(sn(m)) = e(m). Điều này
chứng tỏ e ∈ Ssn. Theo Định lý 4.1.10, ta có M là môđun thỏa mãn điều
kiện (C).
Ta có môđun con của một môđun thỏa mãn điều kiện (C) không nhất
thiết là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) như trong Ví dụ 4.1.6 đã chỉ
ra. Tuy nhiên, các môđun con là hạng tử trực tiếp thì chúng có tính chất
di truyền. Nói cách khác, hạng tử trực tiếp của một môđun thỏa mãn điều
kiện (C) cũng là một môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Định lý 4.1.12. Nếu môđun M thỏa mãn điều kiện (C) thì mỗi hạng tử
trực tiếp của M cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
72
Chứng minh. Giả sửM là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) và K ≤⊕ M ,
ta cần chứng minh K cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Vì K ≤⊕ Mnên K = eM trong đó e2 = e ∈ S = End(M). Xét đồng cấu f : e(M) →e(M) với f 6= 0 và giả sử tồn tại n ∈ N sao cho fn 6= 0 và Ker(fn) ≤⊕ eM .
Đặt s = ιfπ trong đó π : M → e(M) là phép chiếu chính tắc và ι : e(M)→M là đơn cấu chính tắc. Ta có s(M) = ιfπ(M) = f(eM). Với mọi m ∈Mthì sn(m) = fn(em) nên sn(M) = fn(eM), do đó Ker(sn) = Ker(fn). Vì
Ker(fn) ≤⊕ eM và eM ≤⊕ M nên Ker(fn) ≤⊕ M hay Ker(sn) ≤⊕ M .
Do M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) nên ta có Im(sn) ≤⊕ M . Vì
sn(M) ≤ e(M) ≤M nên theo [10, 4, trang 76], ta có sn(M) ≤⊕ e(M). Do
đó fn(M) ≤⊕ e(M), hay e(M) là một môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Trong mệnh đề tiếp theo, chúng tôi chỉ ra rằng nếu A1 ⊕ A2 là một
môđun thỏa mãn điều kiện (C) thì có một mối liên hệ liên quan đến điều
kiện C2 giữa A1 và A2.
Mệnh đề 4.1.13. Giả sử M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) có sự
phân tích M = A1 ⊕ A2 và f : A1 → A2 là một R-đồng cấu thỏa mãn
Ker(f) ≤⊕ A1 thì Im(f) ≤⊕ A2.
Chứng minh. Giả sử Ker(f) ≤⊕ A1 thì ta có A1 = Ker(f) ⊕ B trong đó
B là một môđun con của A1. Do M = A1 ⊕ A2 = Ker(f) ⊕ B ⊕ A2
nên B ⊕ A2 ≤⊕ M . Vì M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) nên từ
Bổ đề 4.1.12 ta có môđun B ⊕ A2 thỏa mãn điều kiện (C). Xét đồng cấu
g : B → A2 được xác định g = f |B, khi đó g là đơn cấu. Đặt s := ιgπ
trong đó ι : A2 → M là đơn cấu chính tắc và π : M → B là phép chiếu
chính tắc. Thế thì s 6= 0 và s(M) = (ιgπ)(M) = (ιg)(B) = g(B) ≤ A2. Do
đó, s2(M) = s(s(M)) ≤ s(A2) = ιgπ(A2) = 0 hay s2 = 0. Vì M là một
môđun thỏa mãn điều kiện (C) và Ker(s) = A2 ≤⊕ M nên s(M) ≤⊕ M . Do
s(M) ≤ A2 ≤M nên theo [10, 4, trang 76], ta có s(M) ≤⊕ A2. Vì g(B) =
s(M) nên g(B) ≤⊕ A2. Do g(B) = f(B) = f(A1) nên f(A1) ≤⊕ A2 hay
Im(f) ≤⊕ A2.
73
Từ Mệnh đề 4.1.13, chúng tôi thu được một số hệ quả sau đây:
Hệ quả 4.1.14. Giả sửM là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) có sự phân
tích M = A1 ⊕ A2 và f : A1 → A2 là một R-đơn cấu thì Im(f) ≤⊕ A2.
Hệ quả 4.1.15. Nếu M ⊕M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) thì M
là môđun C2.
Chứng minh. Giả sửM1 ≤⊕ M vàM1 'M2, ta cần chứng minhM2 ≤⊕ M .
Đặt ϕ : M1 →M2 là một đẳng cấu và giả sử M = M1⊕K với K là môđun
con của M . Thế thì M ⊕M = (M1 ⊕ 0) ⊕ (K ⊕M). Chúng ta xét đồng
cấu sau đây:
ϕ : M1 ⊕ 0 −→ K ⊕M(m1, 0) 7−→ (0, ϕ(m1)).
Ta có Ker(ϕ) = (m1, 0) | ϕ(m1) = 0 = (0, 0), do đó ϕ là một đơn cấu.
Vì M ⊕M là môđun thỏa mãn điều kiện (C) nên theo Hệ quả 4.1.14, ta có
Im(ϕ) ≤⊕ K⊕M hay 0⊕M2 ≤⊕ K⊕M . Giả sửK⊕M = (0⊕M2)⊕H với
H ≤ K⊕M . Khi đó 0⊕M = (0⊕M)∩(K⊕M) = (0⊕M)∩[(0⊕M2)⊕H] =
(0⊕M2)⊕ [(0⊕M) ∩H].
Đặt L = m ∈M | (0,m) ∈ H. Khi đó, L ≤ M . Hơn nữa, vì (0 ⊕M)∩H = (0,m) | (0,m) ∈ H nên (0⊕M)∩H = 0⊕L. Vậy 0⊕M =
(0⊕M2)⊕ (0⊕ L) hay 0⊕M2 ≤⊕ 0⊕M và do đó M2 ≤⊕ M .
Hệ quả 4.1.16. Cho M là một R-môđun phải. Khi đó:
(1) Tổng trực tiếp hữu hạn bất kỳ các bản sao của M là một môđun thỏa
mãn điều kiện (C) khi và chỉ khi tổng trực tiếp hữu hạn bất kỳ các bản
sao của M là một môđun C2.
(2) Tổng trực tiếp đếm được các bản sao của M là một môđun thỏa mãn
điều kiện (C) khi và chỉ khi tổng trực tiếp đếm được các bản sao của M
là một môđun C2.
74
(3) Tổng trực tiếp bất kỳ các bản sao của M là một môđun thỏa mãn điều
kiện (C) khi và chỉ khi tổng trực tiếp bất kỳ các bản sao của M là một
môđun C2.
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều
kiện (C) và vành các tự đồng cấu S = EndR(M) của nó.
Định lý 4.1.17. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó:
(1) Nếu S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải thì M là môđun thỏa mãn
điều kiện (C).
(2) Nếu M là môđun tự sinh và thỏa mãn điều kiện (C) thì S là vành thỏa
mãn điều kiện (C) phải.
Chứng minh. (1). Cho 0 6= s ∈ S. Vì S là vành thỏa mãn điều kiện (C)phải nên theo Định lý 4.1.10, nếu tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu
rS(sn) = rS(f) sao cho f 2 = f ∈ S thì f ∈ Ssn. Giả sử e2 = e ∈ S sao
cho Ker(sn) = Ker(e). Khi đó rS(sn) = rS(e) và do đó e ∈ Ssn. Điều này
chứng tỏ M là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
(2). Cho 0 6= s ∈ S. Từ M là môđun thỏa mãn điều kiện (C), tồn tại
n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) = Ker(u) sao cho u2 = u ∈ S thì
u ∈ Ssn. Giả sử e2 = e ∈ S sao cho rS(sn) = rS(e). Ta cần chứng minh
Ker(sn) = Ker(e).
Thật vậy, với mọi m ∈ Ker(sn) thì sn(m) = 0, do đó sn(mR) =
0. Vì M là môđun tự sinh nên mR =∑
f∈I⊆Sf(M). Khi đó sn(mR) =∑
f∈I⊆Ssnf(M) = 0. Từ đó suy ra snf = 0 với mọi f ∈ I và do đó
f ∈ rS(sn) = rS(e) hay ef = 0. Vì vậy, f(M) ≤ Ker(e) và ta có mR =∑f∈I⊆S
f(M) ≤ Ker(e). Điều này chứng tỏ m ∈ Ker(e). Chứng minh hoàn
toàn tương tự, chúng ta cũng có với mọi m ∈ Ker(e) thì m ∈ Ker(sn). Do
đó Ker(sn) = Ker(e). Theo giả thiết thì ta suy ra được e ∈ Ssn. Vì vậy, Slà vành thỏa mãn điều kiện (C) phải.
75
Vì một môđun tự do thì sinh tất cả các môđun con của nó nên ta có:
Hệ quả 4.1.18. Giả sử M là một R-môđun tự do phải. Khi đó M là môđun
thỏa mãn điều kiện (C) nếu và chỉ nếu vành các tự đồng cấu EndR(M) của
M là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải. Đặc biệt, với n ∈ N thì Rn là
R-môđun thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu và chỉ nếu Mn(R) là vành thỏa
mãn điều kiện (C) phải.
Từ Hệ quả 4.1.16 và Hệ quả 4.1.18, chúng tôi thu được hệ quả sau đây:
Hệ quả 4.1.19. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R(n)R là môđun C2 phải với mọi n ≥ 1.
(2) R(n)R là môđun thỏa mãn điều kiện (C) với mọi n ≥ 1.
(3) Mn(R) là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải với mọi n ≥ 1.
Chứng minh. (1)⇔ (2). Điều này được suy ra từ Hệ quả 4.1.16.
(2)⇔ (3). Điều này được suy ra từ Hệ quả 4.1.18.
Theo Lee, Rizvi và Roman trong [30], một R-môđun M được gọi là
Rickart nếu ∀s ∈ S = EndR(M) thì Ker(s) = e(M) với e2 = e ∈ S. Trong[30, Theorem 3.17], các tác giả đã chứng minh được rằng, S là vành chính
quy nếu và chỉ nếu Ker(f) và Im(f) là các hạng tử trực tiếp của M với mọi
f ∈ S.
Dựa theo khái niệm môđun nửa xạ ảnh đã được Wisbauer giới thiệu
trong [42, trang 260], chúng tôi gọi một R-môđun phải N là M -nửa xạ ảnh
nếu, với mỗi toàn cấu π : M → B trong đó B là môđun con bất kỳ của M
và với mỗi R-đồng cấu α : N → B đều tồn tại một R-đồng cấu β : N →M
sao cho πα = β. Hiển nhiên, M là nửa xạ ảnh nếu M là M -nửa xạ ảnh.
Trong mệnh đề dưới đây, chúng tôi sẽ đưa ra mối quan hệ giữa môđun
Rickart M và khái niệm M -nửa xạ ảnh.
76
Mệnh đề 4.1.20. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các
điều kiện sau đây là tương đương:
(1) M là môđun Rickart.
(2) s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S.
Chứng minh. (1)⇒ (2). Trước hết, chúng tôi chứng minhM là nửa xạ ảnh.
Thật vậy, đặt f : M → A là một toàn cấu và g : M → A là một R-đồng
cấu trong đó A ≤ M . Đặt ι : A → M là một đơn cấu chính tắc. Khi đó,
theo giả thiết ta có Ker(ιf) = e(M) với e2 = e ∈ S. Vì Ker(ιf) = Ker(f)
nên Ker(f) ≤⊕ M . Vậy f là một toàn cấu chẻ ra. Do đó, tồn tại h : A→M
sao cho fh = idA. Vì f(hg) = (fh)g = g nên M là nửa xạ ảnh.
Bây giờ, với mọi s ∈ S mà Ker(s) ≤⊕ M thì s(M) ' e(M) với e2 =
e ∈ S. Nếu A là một môđun con của M , chúng ta xét sơ đồ sau đây:
M
e(M)
M A 0.
?
p
?
g
-f
-
Đặt ι : e(M) → M là đơn cấu chính tắc và p : M → e(M) là phép
chiếu chính tắc. Vì M là nửa xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h : M →M sao
cho fh = gp. Từ đó suy ra f(hι) = g. Vì vậy, e(M) là M -nửa xạ ảnh và do
đó s(M) cũng là M -nửa xạ ảnh.
(2)⇒ (1). Với mỗi s ∈ S, chúng ta xét sơ đồ sau đây:
s(M)
M s(M) 0.?
ids(M)
-s -
77
Vì s(M) là M -nửa xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h : s(M) → M sao cho
sh = ids(M). Do đó s là một toàn cấu chẻ ra và vì vậy Ker(s) ≤⊕ M.
Đối ngẫu với môđun Rickart là môđun d-Rickart đã được các tác giả
Lee, Rizvi và Roman giới thiệu trong [31] như sau: Một R-môđun M được
gọi là d-Rickart nếu ∀s ∈ S = EndR(M) thì Im(s) = e(M) với e2 = e ∈ S.Một kết quả liên quan giữa môđun d-Rickart M và vành các tự đồng cấu
S = EndR(M) của nó đã được các tác giả nói trên đưa ra trong [31, Theorem
3.8]. Theo đó, S là vành chính quy nếu và chỉ nếu M là môđun d-Rickart
thỏa mãn điều kiện D2 (Một môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện D2
nếu mọi môđun con A ≤M màM
Ađẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
M thì A là một hạng tử trực tiếp của M).
Sau đây là đặc trưng của vành chính quy thông qua các môđun Rickart,
d-Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Định lý 4.1.21. Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M). Khi đó, các
điều kiện sau đây là tương đương:
(1) S là vành chính quy.
(2) M là môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C).
(3) M là môđun d-Rickart và s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Vì S là vành chính quy nên với mọi f ∈ S, ta
luôn có Ker(f) ≤⊕ M . Do đó M là môđun Rickart. Mặt khác, ta cũng có
Im(f) ≤⊕ M với mọi f ∈ S nên M thỏa mãn điều kiện (C).
(2) ⇒ (1). Lấy x ∈ S, x 6= 0 và tồn tại n ∈ N sao cho xn 6= 0.
Do M là môđun Rickart nên Ker(xn) = e(M) với e2 = e ∈ S. Vì vậy,
Ker(xn) ≤⊕ M . VìM là môđun thỏa mãn điều kiện (C) nên xn(M) ≤⊕ M .
Từ Ker(xn) ≤⊕ M và xn(M) ≤⊕ M , ta suy ra xn là phần tử chính quy của
S. Nếu n = 1 thì x là chính quy. Ngược lại, do xn là phần tử chính quy nên
tồn tại c ∈ S sao cho xn = xncxn. Đặt y = xn−1−xn−1(cx)xn−1, khi đó ta có
78
y2 = (xn−1 − xn−1(cx)xn−1)(xn−1 − xn−1(cx)xn−1)
= x2n−2 − x2n−2(cx)xn−1 − xn−1(cx)x2n−2 + xn−1(cx)xn−1xn−1(cx)xn−1
= x2n−2 − xn−2(xncxn)− xn−1cx2n−1 + xn−1cxn−1(xncxn)
= x2n−2 − xn−2xn − xn−1cx2n−1 + xn−1cxn−1xn
= x2n−2 − x2n−2 − xn−1cx2n−1 + xn−1cx2n−1
= 0.
Vậy y2 = 0. Nếu y = 0 thì xn−1 = xn−1(cx)xn−1 hay xn−1 là phần tử chính
quy. Nếu y 6= 0 thì theo chứng minh trên, chúng ta có y cũng là phần tử
chính quy. Do đó xn−1 là phần tử chính quy theo Bổ đề 1.3.6. Bằng phép
quy nạp theo n, chúng ta có x là phần tử chính quy hay S là vành chính
quy.
(1) ⇒ (3). Vì S là vành chính quy nên Im(s) ≤⊕ M và Ker(s) ≤⊕ Mvới mọi s ∈ S. Do đó, từ Mệnh đề 4.1.20, ta có M là môđun d-Rickart và
s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S.
(3) ⇒ (1). Vì M là môđun d-Rickart nên Im(s) ≤⊕ M với mọi s ∈ S.Lại vì s(M) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S nên theo Mệnh đề 4.1.20, ta
có M là môđun Rickart hay Ker(s) ≤⊕ M với mọi s ∈ S. Do đó S là vành
chính quy.
Trong Ví dụ 4.1.22 dưới đây, chúng ta sẽ thấy rằng một trong hai điều
kiện ở phần (2) của Định lý 4.1.21 là không thể bỏ được.
Ví dụ 4.1.22. Cho vành số nguyên Z và các Z-môđun Z, Z4 và Z6. Khi đó:
(1). Xét Z-môđun Z. Vì mọi Z-đồng cấu f : Z → Z là đơn cấu nên
Ker(f) = 0 với mọi f ∈ EndZ(Z). Vì vậy Z-môđun Z là môđun Rickart.
Tuy nhiên, theo Ví dụ 4.1.6 thì Z-môđun Z không thỏa mãn điều kiện (C).Hơn nữa, theo [30, Theorem 3.17] thì vành S = EndZ(Z) không phải là
vành chính quy.
(2). Xét Z-môđun Z4. Khi đó S = EndZ(Z4) = f1, f2, f3, f4 trong
đó f1 là đồng cấu không, f2 là đồng cấu đồng nhất, f3 là đồng cấu được
xác định bởi f3(0) = f3(2) = 0, f3(1) = f3(3) = 2 và f4 là đẳng cấu
79
được xác định bởi f4(0) = 0, f4(1) = 3, f4(2) = 2, f4(3) = 1. Vì f 23 = 0 và
Ker(f3) = 0, 2 6≤⊕ Z4 nên Z-môđun Z4 là môđun thỏa mãn điều kiện (C).Tuy nhiên, cũng vì Ker(f3) = 0, 2 6≤⊕ Z4 nên Z4 không phải là môđun
Rickart. Theo [30, Theorem 3.17] ta cũng suy ra được vành S = EndZ(Z4)
không phải là vành chính quy.
(3). Xét Z-môđun Z6. Khi đó S = EndZ(Z6) = f1, f2, f3, f4, f5, f6trong đó f1 là đồng cấu không, f2 là đồng cấu đồng nhất, f3 là đồng cấu
được xác định bởi f3(0) = f3(3) = 0, f3(1) = f3(4) = 2, f3(2) = f3(5) = 4,
f4 là đồng cấu được xác định bởi f4(0) = f4(2) = f4(4) = 0, f4(1) =
f4(3) = f4(5) = 3, f5 là đồng cấu được xác định bởi f5(0) = f5(3) =
0, f5(1) = f5(4) = 4, f5(2) = f5(5) = 2, và f6 là đẳng cấu được xác định
bởi f6(0) = 0, f6(1) = 5, f6(2) = 4, f6(3) = 3, f6(4) = 2, f6(5) = 1. Vì
Z6 = 0, 3 ⊕ 0, 2, 4 nên Z-môđun Z6 là môđun thỏa mãn điều kiện
(C) và là môđun Rickart. Hơn nữa, với mọi f ∈ S thì Ker(f) ≤⊕ Z6 và
Im(f) ≤⊕ Z6 nên vành S = EndZ(Z6) cũng là vành chính quy.
Từ Định lý 4.1.21, chúng tôi thu được một số hệ quả sau đây:
Hệ quả 4.1.23. Vành R là chính quy khi và chỉ khi R là vành Rickart thỏa
mãn điều kiện (C).
Hệ quả 4.1.24 ([30, Theorem 3.17]). Cho M là R-môđun phải và S =
EndR(M). Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) S là vành chính quy.
(2) M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện C2.
Hệ quả sau đây là sự mở rộng của Lee-Rizvi-Roman trong [30, Theorem
3.20].
Hệ quả 4.1.25. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành Artin nửa đơn.
80
(2) Mỗi R-môđun tự do là môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C).
(3) R-môđun tự do R(R) là môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C).
Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ Định lý 4.1.21 và [30, Theorem 3.20].
Liên quan đến tính chất bất biến Morita đối với một vành thỏa mãn
điều kiện (C), chúng tôi thu được kết quả sau đây:
Mệnh đề 4.1.26. Nếu R là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải thì vành eRetrong đó e2 = e ∈ R thỏa mãn ReR = R cũng là vành thỏa mãn điều kiện
(C) phải.
Chứng minh. Đặt S = eRe. Giả sử a ∈ S và a 6= 0 thì a ∈ R. Vì R là vành
thỏa mãn điều kiện (C) phải nên nếu tồn tại n ∈ N sao cho an 6= 0 và nếu
rR(an) = rR(f) với f 2 = f ∈ R thì f ∈ Ran. Bây giờ giả sử rS(an) = rS(u)
với u2 = u ∈ S thì ta cần chứng minh u ∈ San.
Trước hết ta có với mọi s ∈ S thì s = ete với t ∈ R. Khi đó se = etee =
ete = s và es = eete = ete = s. Bây giờ ta sẽ chứng minh rR(an) = rR(u).
Thật vậy, nếu r ∈ rR(an) thì với mọi x ∈ R ta có an(erxe) = (ane)(rxe) =
an(rxe) = (anr)(xe) = 0, do đó erxe ∈ rS(an) = rS(u). Vậy u(erxe) = 0
hay urxe = 0 với mọi x ∈ R. Vì ReR = R nên suy ra ur = 0 hay r ∈ rR(u).
Vậy rR(an) ⊆ rR(u). Chứng minh tương tự, ta có rR(u) ⊆ rR(an) và do
đó rR(an) = rR(u). Theo giả thiết, từ rR(an) = rR(u) ta có u ∈ Ran. Vìu ∈ Ran nên u = eu ∈ eRan. Do an = ean nên u ∈ eRan = eRean hay
u ∈ San. Vậy S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải.
Nhận xét 4.1.27. Từ Mệnh đề 4.1.26 thì ta có vành R thỏa mãn điều kiện
(C) phải là một bất biến Morita nếu chúng ta có được vành M2(R) là vành
thỏa mãn điều kiện (C) phải khi R là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải. Do
vậy, từ Hệ quả 4.1.18, chúng ta có thể phát biểu rằng: Vành R thỏa mãn
điều kiện (C) phải là một bất biến Morita khi và chỉ khi nếu R là vành thỏa
81
mãn điều kiện (C) phải thì môđun (R⊕R)R là môđun thỏa mãn điều kiện
(C) phải.
4.2 Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun
thỏa mãn điều kiện (C)
Trong phần này, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành thông qua môđun
thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi thu được bao
gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin. Các
kết quả chính của phần này là Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và
Định lý 4.2.6. Phần này được viết trong [20].
4.2.1. Đối với vành chính quy
Trước hết, chúng tôi có nhận xét sau đây:
Nhận xét 4.2.1. Xét môđun M thỏa mãn tính chất (**) sau đây:
(**) Nếu M = A1 ⊕ A2 trong đó A1 và A2 là các môđun con của M ,
f : A1 → A2 là một R-đơn cấu và i : A1 → A1 là ánh xạ đồng nhất, khi đó
tồn tại một R-đồng cấu g : A2 → A1 sao cho g f = i.
Theo Hệ quả 4.1.14, mỗi môđun thỏa mãn điều kiện (C) thì thỏa mãn
tính chất (**). Chúng tôi xin được nhắc lại rằng tính chất tương đương
Morita là bảo toàn đối với các hạng tử trực tiếp, các đơn cấu và các đẳng
cấu. Do vậy, nếu R và S là các vành tương đương Morita cùng tương đương
phạm trù F : Mod-R → Mod-S thì R-môđun phải MR thỏa mãn tính chất
(**) khi và chỉ khi (F (M))S thỏa mãn tính chất (**).
Định lý 4.2.2. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành chính quy.
(2) Mỗi iđêan phải chính của vành M2(R) thỏa mãn điều kiện (C).
(3) Mỗi iđêan phải chính của vành M2(R) được sinh bởi ma trận đường chéo
thỏa mãn điều kiện (C).
82
(4) Mỗi môđun con hữu hạn sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun
thỏa mãn điều kiện (C).
(5) Mỗi môđun con 2-sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun thỏa
mãn điều kiện (C).
Chứng minh. (1)⇒ (2). Trước hết ta có mỗi vành chính quy là môđun thỏa
mãn điều kiện (C). Thật vậy, giả sửR1 là vành chính quy vàK1 ' H1 ≤⊕ R1.
Vì H1 ≤⊕ R1 nên H1 = eR1 với e là phần tử lũy đẳng của vành R1. Do
đó H1 là iđêan chính. Từ đó suy ra K1 cũng là iđêan chính. Theo Định lý
1.3.7, ta có K1 ≤⊕ R1. Vậy R1 là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Do tính chất chính quy là một tính chất bất biến Morita và theo (1) thì
R là vành chính quy nên M2(R) cũng là vành chính quy. Giả sử K là iđêan
phải chính của M2(R), khi đó, theo Định lý 1.3.7, ta có K ≤⊕ M2(R). Vì
M2(R) là vành chính quy nên M2(R) là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Do
đó, theo Định lý 4.1.12, ta có K là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
(2)⇒ (3). Điều này là rõ ràng.
(3)⇒ (1). Lấy a ∈ R và I là một iđêan phải chính của M2(R) được sinh
bởi ma trận đường chéo
(a 0
0 1
). Xét I như là một M2(R)-môđun phải thì
theo (3), ta có I là một môđun thỏa mãn điều kiện (C). Theo [23, Corollary
10.7.3], ta có M2(R) và R là tương đương Morita. Bây giờ, từ I ' aR⊕ Rnhư là các R-môđun phải và I thỏa mãn tính chất (**) nên theo Nhận xét
4.2.1, ta có aR ⊕ R thỏa mãn tính chất (**) như là một R-môđun phải.
Xét i : aR→ R là một đơn cấu chính tắc. Khi đó, theo Hệ quả 4.1.14 ta có
aR ≤⊕ R và do đó, từ Định lý 1.3.7 ta có R là một vành chính quy.
(1)⇒ (4). Giả sử R là vành chính quy và M là R-môđun xạ ảnh. N là
R-môđun con hữu hạn sinh của M . Nếu K là một môđun con của N mà
K ' H ≤⊕ N thì ta cần chứng minh K ≤⊕ N .
Theo Bổ đề 1.3.8, R là một vành chính quy nếu và chỉ nếu mỗi môđun
83
con hữu hạn sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là hạng tử trực tiếp, do đó
K ' H ≤⊕ N ≤⊕ M . Vì M là môđun xạ ảnh nên N là môđun xạ ảnh. Do
N là hữu hạn sinh và H ≤⊕ N nên H hữu hạn sinh. Vì vậy, K là môđun
hữu hạn sinh. Do R là vành chính quy và K là môđun con hữu hạn sinh
của môđun xạ ảnh N nên K ≤⊕ N .
(4)⇒ (5) là hiển nhiên.
(5) ⇒ (1). Nếu a ∈ R thì R-môđun phải aR ⊕ R là môđun thỏa mãn
điều kiện (C). Xét i : aR → R là một đơn cấu chính tắc. Khi đó, theo Hệ
quả 4.1.14 ta có aR ≤⊕ R và do đó, từ Định lý 1.3.7 ta có R là một vành
chính quy.
Ví dụ 4.2.3. Cho R là vành ma trận
(Z2 Z2
Z2 Z2
)và R-môđun phải M =
RR. Chúng ta xét các môđun con A =
(1 0
0 0
)(Z2 Z2
Z2 Z2
)=
(Z2 Z2
0 0
)và
B =
(1 1
0 0
)(Z2 Z2
Z2 Z2
)=
(Z2 Z2
0 0
)của M . Khi đó A là một iđêan chính
phải của M2(Z2) được sinh bởi ma trận đường chéo e11 =
(1 0
0 0
)và B
là một iđêan chính phải của M2(Z2) được sinh bởi phần tử e =
(1 1
0 0
).
Chúng ta có Z2 là một vành chính quy và lý luận tương tự như trong Ví dụ
4.1.4 thì A và B là các môđun thỏa mãn điều kiện (C).
4.2.2. Đối với vành di truyền
Theo Định lý 1.3.10, một vành R là di truyền phải nếu và chỉ nếu mỗi
môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ. Đối với môđun thỏa
mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng thu được kết quả tương tự sau đây:
Định lý 4.2.4. Cho R là một vành. Khi đó, R là vành di truyền phải nếu
và chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa
mãn điều kiện (C).
84
Chứng minh. (⇒). Khi R là vành di truyền phải thì mỗi môđun thương
của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ, do đó mỗi môđun thương của một
R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
(⇐). Giả sử rằng mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là
môđun thỏa mãn điều kiện (C). Lấy M là một R-môđun nội xạ và K là
một môđun con của M , chúng ta cần chứng minhM
Klà nội xạ.
Vì E(M
K)⊕M là nội xạ và E(
M
K)⊕M
Klà môđun thương của E(
M
K)⊕M
nên theo giả thiết ta có E(M
K)⊕M
Klà môđun thỏa mãn điều kiện (C). Xét
i :M
K→ E(
M
K) là một R-đơn cấu. Khi đó, theo Hệ quả 4.1.14 ta có
M
K' i(
M
K) ≤⊕ E(
M
K). Vì hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội
xạ nên i(M
K) là môđun nội xạ. Do vậy, ta có
M
Klà môđun nội xạ.
4.2.3. Đối với vành Noether
Một môđunM được gọi là Σ-(tựa) nội xạ (đếm được) nếu mỗi tổng trực
tiếp (đếm được) của các bản sao của M là (tựa) nội xạ. Nếu mỗi tổng trực
tiếp (đếm được) của các bản sao của M là môđun thỏa mãn điều kiện (C)thì M được gọi là thỏa mãn điều kiện Σ-(C) (đếm được).
Một kết quả của Faith và Walker đã được đưa ra trong [15] là: Một vành
R là Noether phải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ.
Hơn nữa, tác giả Fuller cũng đã chỉ ra được rằng: Mỗi R-môđun phải tựa
nội xạ là Σ-tựa nội xạ khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ
(xem [16, Theorem 2.3]).
Định lý 4.2.5. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành Noether phải.
(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn
điều kiện (C).
85
(3) Mỗi tổng trực tiếp đếm được của các R-môđun phải nội xạ là môđun
thỏa mãn điều kiện (C).
(4) Mỗi R-môđun phải nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được.
(5) Mỗi R-môđun phải tựa nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3). Chúng được suy ra từ [28, Theorem 6.5.1]
và mỗi môđun nội xạ là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
(3) ⇒ (1). Cho M =⊕i∈IMi là một tổng trực tiếp đếm được của các
R-môđun phải nội xạ. Khi đó, theo (3), ta có M ⊕E(M) =⊕i∈IMi⊕E(M)
là một môđun thỏa mãn điều kiện (C). Xét i : M → E(M) là một đơn cấu
chính tắc. Khi đó, theo Hệ quả 4.1.14 ta có M ' i(M) ≤⊕ E(M). Vì hạng
tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ nên i(M) là môđun nội xạ.
Do vậy, ta có M là môđun nội xạ. Do đó, R là vành Noether phải theo [28,
Theorem 6.5.1].
(4) ⇒ (3). Cho M =⊕i∈IMi là một tổng trực tiếp đếm được của các
R-môđun phải nội xạ, chúng ta cần chứng minh M thỏa mãn điều kiện (C).
Thật vậy, đặt K =∏i∈IMi. VìMi với i ∈ I là các môđun nội xạ nên theo
[33, Corollary 1.3], ta có K là môđun nội xạ. Theo giả thiết (4), ta có K(I)
là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Vì Mi là nội xạ và Mi ≤ K nên chúng ta
có K = Mi⊕ Ti trong đó Ti là một môđun con nào đó của K và i ∈ I. Khi
đó, ta có K(I) =⊕i∈IK =
⊕i∈I
(Mi ⊕ Ti) = (⊕i∈IMi) ⊕ (
⊕i∈ITi) là một môđun
thỏa mãn điều kiện (C). Do vậy, theo Định lý 4.1.12 thì hạng tử trực tiếp
của K(I) là M =⊕i∈IMi cũng là một môđun thỏa mãn điều kiện (C).
(5)⇒ (4) là hiển nhiên.
(1)⇒ (5). Giả sử M là môđun tựa nội xạ. Ta cần chứng minh M (I) là
môđun thỏa mãn điều kiện (C) với I là tập chỉ số đếm được nào đó.
Thật vậy, vì R là vành Noether phải nên [E(M)](I) là môđun nội xạ.
86
Điều này chứng tỏ E(M) là Σ-nội xạ đếm được. Theo [12, Theorem 2.5],
ta có M là Σ-tựa nội xạ đếm được hay M (I) là môđun tựa nội xạ và do đó
M (I) là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
4.2.4. Đối với vành nửa Artin
Theo [9, Definition 1.1], M được gọi là N -đế nội xạ nếu bất kỳ R-đồng
cấu f : Soc(N)→M đều mở rộng được đến đồng cấu từ N →M . Môđun
M được gọi là đế nội xạ mạnh, nếu M là N -đế nội xạ với mọi R-môđun
phải N .
Trong [8, Proposition 2.22], các tác giả đã chứng minh được rằng vành
R là nửa Artin phải khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là
nội xạ. Kết quả tương tự đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúngtôi đưa ra trong định lý sau đây:
Định lý 4.2.6. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là nửa Artin phải.
(2) Mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Từ vành R là nửa Artin phải nên theo [8, Propo-
sition 2.22], ta có mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là nội xạ. Do đó mỗi
R-môđun phải đế nội xạ mạnh là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
(2)⇒ (1). Cho M là một R-môđun phải đế nội xạ mạnh. Khi đó, theo
[9, Theorem 3.1], ta có M = N ⊕ T , trong đó N là nội xạ và Soc(T ) = 0.
Vì M ⊕E(M) = N ⊕T ⊕E(M) = (N ⊕E(M))⊕T nên theo [9, Theorem
3.1], ta có M ⊕ E(M) là đế nội xạ mạnh và vì vậy M ⊕ E(M) là môđun
thỏa mãn điều kiện (C) theo giả thiết. Xét i : M → E(M) là một đơn cấu
chính tắc. Khi đó, theo Hệ quả 4.1.14 ta có M ' i(M) ≤⊕ E(M). Vì hạng
tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ nên i(M) là môđun nội xạ.
Do vậy, ta có M là môđun nội xạ. Theo [8, Proposition 2.22] thì R là nửa
Artin phải.
87
KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 4
Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:
∗ Trong phần đầu của chương, chúng tôi đưa ra các mối quan hệ giữa
môđun C2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Mệnh đề 4.1.3 và Mệnh
đề 4.1.7. Các tính chất của môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi
nghiên cứu trong Định lý 4.1.10, Mệnh đề 4.1.11, Định lý 4.1.12 và Mệnh
đề 4.1.13. Đặc biệt, từ Mệnh đề 4.1.13, chúng tôi thu được Hệ quả 4.1.14 là
một kết quả rất quan trọng vì nó được trích dẫn nhiều lần trong các phần
chứng minh về sau của luận án. Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều
kiện (C) và vành các tự đồng cấu S = EndR(M) của nó được chúng tôi trình
bày trong Định lý 4.1.17. Ngoài ra, tính chính quy của vành các tự đồng
cấu S = EndR(M) của môđun M liên quan đến môđun Rickart, d-Rickart
và môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng được chúng tôi đưa ra trong Định
lý 4.1.21.
∗ Trong phần thứ hai của chương, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành đối
với môđun thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi đã
nghiên cứu bao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành
nửa Artin (Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6).
88
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Trong luận án này, chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau đây:
1.1. Từ việc nghiên cứu về môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã đưa
ra được một số đặc trưng của môđun N -giả nội xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.2.1,
Định lý 2.2.2 và Mệnh đề 2.2.6). Mối liên hệ giữa môđun nửa đơn và môđun
giả nội xạ cốt yếu cũng được chúng tôi chỉ ra là: N là môđun nửa đơn khi và
chỉ khi M là N -giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun M (Định lý 2.2.7). Ngoài
ra, chúng tôi cũng đã thu được một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt
yếu (Định lý 2.2.9 và Định lý 2.2.10). Đặc biệt, chúng tôi chứng minh được
rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3. (Định lý
2.2.11) và môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và
CS (Định lý 2.2.12). Kết quả này đã trả lời khẳng định câu hỏi của H. Q.
Dinh nêu ra trong [13] là: Một môđun không suy biến, giả nội xạ và môđun
CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không?
Ngoài ra, chúng tôi cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa
đơn, vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn thông qua môđun giả nội
xạ cốt yếu (Định lý 2.2.15, Định lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17). Cuối cùng,
một kết quả liên quan đến mở rộng vành giả nội xạ cốt yếu cũng được chúng
tôi nghiên cứu trong Định lý 2.2.18.
1.2. Trong [7] và [35], các tác giả đã nghiên cứu và đưa ra một số tính
chất của môđun ADS. Từ việc kết nối môđun ADS với môđun giả nội xạ
cốt yếu, chúng tôi đề xuất khái niệm môđun ADS tổng quát. Sau đó, chúng
tôi đã đưa ra được một số điều kiện tương đương để một môđun là ADS
89
tổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.5). Mặc dù, chúng tôi chưa biết được
một hạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là ADS tổng quát
hay không nhưng nếu thêm một số điều kiện như môđun M phải là môđun
phân phối hoặc hạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏa mãn điều kiện
CS thì khi đó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếuM là môđun ADS tổng
quát thì mọi hạng tử trực tiếp của môđunM cũng là ADS tổng quát (Mệnh
đề 3.2.6). Chúng tôi cũng nghiên cứu được một số tính chất của môđun
ADS tổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđun M là nửa đơn (Định lý
3.2.10) và từ đó đưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artin nửa đơn (Hệ
quả 3.2.11). Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa nội xạ
được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Cuối cùng, cũng giống như
môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộng vành ADS
tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15.
1.3. Từ một đặc trưng của môđun C2 mà chúng tôi thu được là: Môđun
M là môđun C2 khi và chỉ khi với s ∈ S = EndR(M) mà Ker(s) là hạng
tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp của M , chúng tôi đưa ra
khái niệm môđun thỏa mãn điều kiện (C). Mối quan hệ giữa môđun C2 và
môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng được chúng tôi đề cập trong Mệnh đề
4.1.3 và Mệnh đề 4.1.7. Các tính chất của môđun thỏa mãn điều kiện (C)được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 4.1.10, Mệnh đề 4.1.11, Định lý
4.1.12 và Mệnh đề 4.1.13. Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C)và vành các tự đồng cấu S = EndR(M) của nó được chúng tôi trình bày
trong Định lý 4.1.17. Ngoài ra, tính chính quy của vành các tự đồng cấu
S = EndR(M) của môđun M liên quan đến môđun Rickart, d-Rickart và
môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng được chúng tôi đưa ra trong Định lý
4.1.21.
Trong phần cuối của luận án này, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành đối
với môđun thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi thu
được bao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành nửa
Artin (Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6).
90
1.4. Từ các kết quả mà chúng tôi đã nghiên cứu được về môđun giả nội
xạ cốt yếu, môđun ADS tổng quát và môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúngtôi hoàn thiện sơ đồ đã được đưa ra trong phần cuối của Chương 1 thành
một sơ đồ mở rộng hơn như sau:
ADS tổng quát
Giả nội xạ cốt yếu ⇒ C3 ⇐ ⇐ ⇑
⇑ ⇑ ⇑
Giả nội xạ ⇒ C2 ⇒ (C) ADS
⇑ ⇑ ⇑
Nửa đơn ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ ⇒ Tựa liên tục
⇑ ⇑ ⇓
Đơn Nội xạ C1
2. KIẾN NGHỊ
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ quan tâm đến các vấn đề chính sau
đây:
2.1. Chúng tôi sẽ nghiên cứu để trả lời 2 câu hỏi về môđun ADS, đó là:
+) Hạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là môđun ADS
tổng quát hay không?
+) Cho M =n⊕i=1
Mi là tổng trực tiếp của các môđun ADS tổng quát
Mi và Mi là Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i. Khi đó M có là môđun
ADS tổng quát hay không?
2.2. Chúng tôi sẽ xem xét một môđun thỏa mãn điều kiện (C) có phải
là mở rộng thực sự của môđun C2 hay không.
2.3. Vì môđun D2 là môđun đối ngẫu với môđun C2 nên chúng tôi sẽ
xem xét một mở rộng của môđun D2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C∗).Từ đó chúng tôi hy vọng sẽ đưa ra được các kết quả liên quan đến môđun
D2 cũng như các mở rộng của nó để từ đó nhận được các đặc trưng vành.
91
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH
CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN
1. Phan Thế Hải, Vành và môđun C2 yếu, Tạp chí khoa học, Đại học
Huế, (đã được nhận đăng).
2. Phan Thế Hải và Trương Công Quỳnh, Môđun giả nội xạ cốt yếu,
Tạp chí khoa học và giáo dục, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng,
Số 3(02) (2012), 13-18.
3.Hai, P. T.,On generalizations of ADS modules and rings, Lobachevskii
Journal of Mathematics, 37 (3), (2016), 323-332.
4.Hai, P. T.,On modules and rings satisfy condition(C), Asian-EuropeanJournal of Mathematics, Vol. 9, No. 2 (2016) 1650045 (14 pages).
5. Quynh, T. C., Hai, P. T. and Thuyet, L. V., Mutually essentially
pseudo injective modules, The Bulletin of the Malaysian Mathematical Sci-
ences Society, 39(2), (2016), 795-803.
6. Quynh, T. C., Kosan, M. T. and Hai, P. T., A note on regular mor-
phisms, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 41, (2013), 249-260.
92
CÁC KẾT QUẢ TRONG LUẬN
ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ
THẢO LUẬN TẠI:
1. Hội thảo Khoa học Cán bộ trẻ các trường Đại học Sư phạm toàn quốc
lần thứ ba, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng, 26-27/4/2013.
2. Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ VIII, Trường Sỹ quan thông tin
Nha Trang, Khánh Hòa, 10-14/8/2013.
3. Hội thảo về nhóm, vành và các vấn đề liên quan, Viện nghiên cứu
cao cấp về toán (VIASM), tầng 7 thư viện Tạ Quang Bửu, Trường Đại học
Bách khoa Hà Nội, 30/5/2014.
4. Hội nghị Đại số-Hình học-Tôpô, Tuần Châu, Hạ Long, Quảng Ninh,
18-21/12/2014.
5. Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần thứ nhất, Trường Đại
học Quy Nhơn, Bình Định, 12-14/8/2015.
6. Xêmina tại Tổ bộ môn Đại số-Hình học, Khoa Toán, Trường Đại học
Sư phạm-Đại học Huế.
7. Xêmina tại Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh, Nghệ An.
8. Xêmina tại Khoa Đại số và Logic Toán, Viện Toán-Cơ Lobachevsky,
Trường Đại học Kazan, Liên bang Nga.
93
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT
[1] Phan Thế Hải, Vành và môđun C2 yếu, Tạp chí khoa học, Đại học Huế,
(đã được nhận đăng).
[2] Phan Thế Hải và Trương Công Quỳnh, Môđun giả nội xạ cốt yếu, Tạp
chí khoa học và giáo dục, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng,
Số 3(02) (2012), 13-18.
[3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết môđun và
vành, Nhà xuất bản Giáo dục, (2001).
[4] Trương Công Quỳnh, Lê Văn Thuyết, Giáo trình Lý thuyết vành và
Môđun, Nhà xuất bản Đại học Huế, (2013).
TÀI LIỆU TIẾNG ANH
[5] Akalan, E., Birkenmeier, G. F. and Tercan, A., Goldie extending rings,
Comm. Algebra, 40(3), (2012), 423-428.
[6] Alahmadi, A., Er, N. and Jain, S. K., Modules which are invariant under
monomorphisms of their injective hulls, J.Aust. Math. Soc. 79, (2005),
349-360.
[7] Alahmadi, A., Jain, S. K. and Leroy, A., ADS modules, J. Algebra 352,
(2012), 215-222.
[8] Amin, I., Ibrahim, Y. and Yousif, M. F., C3-modules, Algebra Colloq.
22, (2015), 655–670.
94
[9] Amin, I., Yousif, M. F. and Zeyada, N., Soc-injective rings and modules,
Comm.Algebra 33, (2005), 4229-4250.
[10] Anderson, F. W. and Fuller, K. R., Rings and categories of modules,
Berlin - Heidelbeng - New York (2rd edition), (1992).
[11] Camillo, V. P., Khurana. D., Lamc. T. Y., Nicholson. W. K. and Zhou.
Y., Continuous modules are clean, J. Algebra, 304, (2006), 94-111.
[12] Clark, J., On direct sums of modules which satisfy generalizations of in-
jectivity, Proceedings of the Mathematics Conference, Birzeit University,
West Bank, Palestine, 19-23 August, (1998).
[13] Dinh, H. Q., A note on pseudo-injective modules, Communications in
Algebra, 33, (2005), 361-369.
[14] Dung, N. V., Huynh, D. V., Smith, P. F. and Wisbauer, R., Extending
Modules, Pitman London, (1996).
[15] Faith, C. and Walker, E. A., Direct sum representations of injective
modules, J. Algebra 5, (1967), 203-221.
[16] Fuller, K. R., On direct representations of quasi-injectives and quasi-
projectives, Arch. Math. XX, (1969), 495-502.
[17] Fuller, K. R., Relative projectivity and injectivity classes determined by
simple modules. J.London Math.Soc. 5, (1972), 423-431.
[18] Goodearl, K. R., Von Neumann regular rings, Pitman London, (1979).
[19] Hai, P. T., On generalizations of ADS modules and rings, Lobachevskii
Journal of Mathematics, 37 (3), (2016), 323-332.
[20] Hai, P. T., On modules and rings satisfy condition(C), Asian-EuropeanJournal of Mathematics, Vol. 9, No. 2 (2016) 1650045 (14 pages).
[21] Hallett, R. R., Injective modules and their generalizations, Ph.D. The-
sis,Univ. of British Columbia, Vancouver, B.C., (1971).
95
[22] Hirano, Y., Regular modules and V-modules, Hiroshima Math.J., 11,
(1981), 125-142.
[23] Hazenwinkel, M., Gubaeni, N., Kirichenko, N. N., Algebra, Rings and
Modules (Volume 1), Kluwer Academic Publisher, 2004.
[24] Idelhadj, A., Kaidi, E., Martin, Barquero, D., and Martin Gonzalez,
C., Rings whose class of projective modules is socle fine. Publ. Mat. 48,
(2004), 397-408.
[25] Jain, S. K. and Singh, S., Quasi-injective and pseudo-injective modules,
Canadian Math. Bull. 18, (1975), 359-366.
[26] Johnson, R. E. andWong, E. T.,Quasi-injective modules and irreducible
rings, J. London Math. Soc. 36, (1961), 260-268.
[27] Kaplansky, I., Projective modules, Annals of Mathematics, Second Se-
ries, 68, (1958), 372-377.
[28] Kasch, F., Modules and Rings, L.M.S. Monograph No. 17, Academic
Press, New York, (1982).
[29] Lam, T. Y., Lectures on modules and rings, Grad. texts in Math. 189,
Springer, (1998).
[30] Lee, G., Rizvi, S. T. and Roman, C. S., Rickart modules, Commun.
Algebra 38(11), (2010), 4005-4027.
[31] Lee, G., Rizvi, S. T. and Roman, C. S., Dual Rickart modules, Comm.
Algebra 39, (2011), 4036-4058.
[32] Mohammed, S. H. and Muller, B. J., Continous and Discrete Modules,
London Math. Soc. LN 147: Cambridge Univ. Press., (1990).
[33] Nicholson, W. K. and Yousif, M. F., Quasi-Frobenius Rings, Cambridge
Univ. Press, (2003).
96
[34] Quynh, T. C., Hai, P. T. and Thuyet, L. V.,Mutually essentially pseudo
injective modules, The Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences
Society, 39(2), (2016), 795-803.
[35] Quynh, T. C. and Kosan, M. T., On ADS modules and rings, Commu-
nications in Algebra 42, (2014), 3541-3551.
[36] Quynh, T. C., Kosan, M. T. and Hai, P. T., A note on regular mor-
phisms, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 41, (2013), 249-260.
[37] Shen, L. and Chen, J., New characterization of quasi-Frobenius rings,
Comm. Algebra 34, (2006), 2157-2165.
[38] Singh, S. and Jain, S. K., On pseudo injective modules and self pseudo-
injective rings, The Journal of Mathematical Sciences, 2 (1) (1967), 125-
133.
[39] Singh, S. and Srivastava, A. K., Rings of invariant module type and
automorphism-invariant modules, in: Ring Theory and Its Applications
(volume in honor of T. Y. Lam), Contemp. Math., Amer. Math. Soc.
609 (2014), 299-311.
[40] Smith, P. F. and Tercan, A., Generalizations of CS-modules, Commu-
nications in Algebra 21, (1993), 1809-1847.
[41] Teply, M. L., Pseudo-injective modules which are not quasi-injective,
Proc. Amer. Math. Soc., 49 (2), (1975), 305-310.
[42] Wisbauer, R., Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and
Breach. Reading, (1991).
[43] Zhu, Z. and Yu, J., On GC2 modules and their endomorphism rings,
Linear and Multilinear Algebra 56(5), (2008), 511-515.
97