lic. arturo montiel rojas gobernador consti directora...

Gobierno del Estado de México Secretaría de Educación Cultura y Bienestar Social Subsecretaría de Educación Media Superior y Superior Dirección General de Educación Media Superior

Escuelas Preparatorias Oficiales del Estado de México

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SBG

Álgebra I

Directorio

Lic. Arturo Montiel Rojas Gobernador Constitucional del Estado de

México

Ing. Alberto Curi Naime Secretario de Educación, Cultura y

Bienestar Social

Ing. Agustín Gasca Pliego Subsecretario de Educación Media Superior

y Superior

Profra. Martha Martínez Díaz Directora General de Educación Media

Superior

Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez Subdirector de Bachillerato General

Material reproducido para fines

académicos, prohibida su reproducción sin

la autorización de los titulares de los

derechos. Art. 148 de la Ley Federal de Derechos de Autor.

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Álgebra I

PRESENTACIÓN

¡Joven estudiante!

La Subdirección de Bachillerato General tiene a bien dirigirse a ti, para hacerte saber que una de sus mayores preocupaciones estriba en ofrecerte con calidad el servicio educativo que recibes en las Escuelas Preparatorias Oficiales, con fundamento en las políticas emanadas del Gobierno del Estado de México.

Por ello, el documento que tienes en tus manos representa el cumplimiento a uno de los grandes compromisos establecidos a través del Plan Maestro al inicio del período de mi gestión y que a la letra dice: “Renovar los enfoques pedagógicos en el diseño de los métodos de enseñanza y los contenidos propios del nivel”.

Así, la “Antología” o “Cuaderno de Trabajo” que tienes en tus manos es producto de la colaboración de los catedráticos del nivel y de asesores expertos que, sumando esfuerzos, hoy consolidan para ti este trabajo.

¡La tarea no fue fácil!, sobre todo si se toma en cuenta el dinamismo de la ciencia y la tecnología y el pronto desfase de los conocimientos; pero el propósito no es sustituir la bibliografía especializada, las fuentes de consulta de primera mano, ni las contribuciones que los mismos profesores, compañeros tuyos o especialistas día a día incorporan en las sesiones de clase, en los eventos académicos y en la vida misma.

Esta aportación es un apoyo sistemático de información de acuerdo a los temas del programa de estudio de la materia de Álgebra I; por lo cual, puedes considerarlo un pilar en el desempeño diario de tu formación.

Esperando que aproveches el contenido al máximo, te deseo éxito en tu vida de estudiante.

Cordialmente

Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez

Subdirector de Bachillerato General

SBG

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Álgebra I

Integración de materiales y elaboración.

Zona Escolar No. 03 de Bachillerato General

Compilador:

Profr. Rubén Torres Solar

(Coordinador General)

Capturistas:

Srita. Juana Ruíz Cecera Srita. Ana Laura Néstor Reyes

Srita. Juana Reyes Becerril

La Antología de Álgebra I se edita por la Subdirección de Bachillerato General perteneciente a la Dirección General de Educación Media Superior de la SECyBS, en el mes de junio de 2003 en las oficinas centrales de la misma dependencia.

El desarrollo de esta actividad estuvo a cargo del Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez. La edición consta de 250 discos compactos.

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Álgebra I

I N T R O D U C C I Ó N

Aunque no existe evidencia real del origen de las Matemáticas, gracias al papiro de Rhind, se sabe que fueron los sacerdotes egipcios (Ahmes, 1700 a.c. ) quienes comenzaron a estructurar esta ciencia como tal. Lo cierto es que ahora el Álgebra (generalización de la Aritmética) se ha convertido en una herramienta indispensable para el estudio de las Matemáticas en el Nivel Medio Superior. Debido a la anterior surge esta obra la cual pretende ser el camino rector en el curso de Álgebra I, sin embargo, al lector le corresponde abordar los temas con la profundidad que su medio y sus necesidades le exijan. La Unidad I aborda fundamentalmente el estudio de los números reales porque son los que el alumno debe operar en todo el curso, también se cita al conjunto de los números complejos y a pesar de que se abordan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con este conjunto, sólo se hace para que el estudiante globalice el campo actual de los números. En la Unidad II se inicia básicamente el estudio del Álgebra, en ésta se plasman los elementos, leyes y principios que deben regir a tan importante rama de las Matemáticas ya que para su estudio requiere de símbolos especiales. La Unidad III marca la operatividad del lenguaje algebraico, en ella se abordan las operaciones y simplificación de algoritmos para expresar situaciones algebraicas con mayor facilidad. Es importante entender que el aprendizaje actual de las Matemáticas esta basado en problemas, por eso en las tres unidades se incluyen cuestionamientos para que al resolverlos, el lector aplique sus conocimientos.

VII

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Álgebra I

Con el propósito de que el estudiante compare sus resultados y adquiera confianza en si mismo, al final se anexa la solución de ejercicios (sólo reactivos pares), también se presenta una lista de símbolos matemáticos la cual el lector deberá enriquecer conforme avance en su formación preuniversitaria.

Haz lo que las tortugas, camina firmemente y siempre hacia

¡ADELANTE!

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Álgebra I

T E M A R I O

Introducción - - - - - - - - - - - - - VII

UNIDAD I NÚMEROS REALES

A).- Números reales

a).- Nociones preliminares

- - - - - - - - - - - - -

2

b).- Números naturales - - - - - - - - - - - - - 4 c).- Números enteros - - - - - - - - - - - - - 7 d).- Números racionales - - - - - - - - - - - - - 12 e).- Números irracionales - - - - - - - - - - - - - 24 f).- Operaciones y problemas - - - - - - - - - - - - - 28

B).- Números complejos

- - - - - - - - - - - - -

34

a).- Forma rectangular de un complejo

- - - - - - - - - - - - -

35

b).- Operaciones con números complejos - - - - - - - - - - - - - 36

UNIDAD II EXPRESIONES ALGEBRAICAS - - - - - - - - - - - - - 41

A).- Introducción al lenguaje algebraico

a).- Constantes, variables y exponentes

- - - - - - - - - - - - -

42

b).- Lenguaje común y lenguaje algebraico - - - - - - - - - - - - - 43

B).- Expresiones algebraicas

a).- Término algebraico y sus partes

- - - - - - - - - - - - -

45

b).- Clasificación de expresiones algebraicas - - - - - - - - - - - - - 48 c).- Grado de una expresión algebraica - - - - - - - - - - - - - 49 d).- Valor numérico - - - - - - - - - - - - - 51

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Álgebra I

C).- Leyes de los exponentes (enteros y racionales)

- - - - - - - - - - - - -

52

a).- Exponentes enteros y su operatividad

- - - - - - - - - - - - -

53

b).- Exponentes racionales y su operatividad - - - - - - - - - - - - - 59

UNIDAD III OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

A).- Operaciones algebraicas

- - - - - - - - - - - - -

64

a).- Términos semejantes

- - - - - - - - - - - - -

65

b).- Adición y sustracción de polinomios - - - - - - - - - - - - - 67 c).- Multiplicación de polinomios - - - - - - - - - - - - - 70 d).- División de polinomios - - - - - - - - - - - - - 72

▪ Polinomio entre monomio - - - - - - - - - - - - - 72 ▪ Polinomio entre polinomio - - - - - - - - - - - - - 74

B).- Productos notables

- - - - - - - - - - - - -

80

a).- Binomio al cuadrado

- - - - - - - - - - - - -

81

b).- Binomios conjugados - - - - - - - - - - - - - 82 c).- Binomio con término común - - - - - - - - - - - - - 83 d).- Binomio al cubo - - - - - - - - - - - - - 84

C).- Factorización

a).- Factor común

- - - - - - - - - - - - -

89

b).- Factorización de una diferencia de cuadrados - - - - - - - - - - - - - 90 c).- Factorización de un trinomio cuadrado perfecto - - - - - - - - - - - - - 91 d).- Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c - - - - - - - - - - - - - 93 e).- Factorización por agrupamiento - - - - - - - - - - - - - 96 f).- Factorización de un polinomio cubo perfecto - - - - - - - - - - - - - 97 g).- Factorización de un polinomio de la forma x3± y3 - - - - - - - - - - - - - 98

D).- Racionalización

- - - - - - - - - - - - -

103

9


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Álgebra I

E).- Expresiones algebraicas racionales

- - - - - - - - - - - - -

106

a).- Operaciones con expresiones algebraicas racionales

- - - - - - - - - - - - -

107

b).- Simplificación de expresiones algebraicas racionales - - - - - - - - - - - - - 112 Respuestas a los reactivos pares

- - - - - - - - - - - - -

115

Glosario

- - - - - - - - - - - - -

125

Bibliografía

- - - - - - - - - - - - -

126

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Álgebra I

U N I D A D I

N Ú M E R O S R E A L E S

Objetivo:

Comprender el significado, notación y propiedades de los

números reales para aplicarlos en la resolución de problemas.

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Álgebra I

A).- Números reales

a).- Nociones preliminares

Conjunto

Un conjunto es relacionar o agrupar en un todo los objetos distintos de nuestra intuición o pensamiento (Cantor)1. Ejemplos:

✓ El conjunto de asignaturas del primer semestre en preparatoria. ✓ El conjunto de los dedos de la mano. ✓ El conjunto de números dígitos primos.

Notación

Generalmente y por comodidad, los conjuntos se presentan con

letras mayúsculas (A,B,C,...Z). Sus elementos se limitan por llaves ó corchetes y se encuentran separados por comas.

Cuando en un conjunto enlistamos todos sus elementos se dice

que está representado por extensión ; si por el contrario sólo expresamos las características de sus elementos , se dice que esta representado por comprensión, entonces los ejemplos anteriores quedarían así: Por extensión A= Álgebra I, Métodos, Técnicas de Investigación I, Taller de Lectura y Redacción, Antropología, Etimologías, Lógica, computación. B= Pulgar, índice, medio, anular, meñique C= 2,3,5,7 Por comprensión A= x/x es asignatura del primer semestre de preparatoria B= x/x es un dedo de la mano C= x/x es número dígito primo

1 Álgebra para Preuniversitarios, Pág. 10

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Álgebra I

Subconjunto

Se dice que un conjunto A es subconjunto de otro B, si todo elemento de A es también de B y se denota así: AB

Ejemplo:

R= recámara, cocina, baño

S= recámara, cocina, baño, sala, comedor

T= recámara, cocina, alberca

R S ; T S

Debido a que en matemáticas necesariamente se hace uso de los números, se ha establecido de manera universal una nomenclatura para identificar los distintos conjuntos existentes hasta ahora, entonces: N representa al conjunto de los números naturales E o Z representa al conjunto de los números enteros Q representa al conjunto de los números racionales I representa al conjunto de los números irracionales R representa al conjunto de los números reales Ejercicio 1 a)Enlista cinco conjuntos por comprensión y cinco por extensión (pueden ser los mismos) Por comprensión 1)_______________________________________________________ 2)_______________________________________________________ 3)_______________________________________________________ 4)_______________________________________________________ 5)_______________________________________________________ Por extensión 1)_______________________________________________________ 2)_______________________________________________________ 3)_______________________________________________________ 4)_______________________________________________________ 5)_______________________________________________________

Todos son

subconjuntos de los

números reales

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Álgebra I

b) Dados los conjuntos K= x/x es número dígito L= 1,3,5,7,9 M= 2,4,6,8,0 N= 0,4,8 P= 3,6,9,0

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas y explica por qué? 1) LK______________________________________________________

2) MK______________________________________________________

3) N L______________________________________________________

4) PK______________________________________________________

5) P L______________________________________________________

6) NM______________________________________________________

7) NK______________________________________________________

8) KP______________________________________________________

9) MP______________________________________________________

10) LN______________________________________________________

b).- Números naturales

Es un conjunto creado por el hombre debido a su necesidad de contar, sus elementos son: N= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... En la recta numérica se representan así: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...

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Álgebra I

Sus características son:

Es infinito Todo número natural tiene un sucesor Todo número natural (excepto el cero) tiene un antecesor Todos sus elementos (excepto el cero) son positivos Solo permite las operaciones de suma y multiplicación

Suma o adición con N

Se define como el hecho de agrupar o asociar varios enteros

aritméticos o algebraicos, su símbolo es (+) ejemplo: 325 Sumandos + 897 1222 Suma o total

Multiplicación con N Se define como una suma abreviada en donde todos los

sumandos son iguales, sus símbolos son x, ۰ , ( ), . ejemplo: 398 Factores x 67 2786 2388 26666 Producto

Propiedades de los números naturales. i) Cerradura.- Sean m y n dos números naturales, si se suman ó

se multiplican, el resultado necesariamente será otro número natural. m + n = número natural ó m.n = número natural.

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Álgebra I

Ejemplos:

suma multiplicación

5 + 11 = 16 (5) (11) = 55 9 + 37 = 46 (9) (37) = 333

ii) Conmutativa.- Sean m y n dos números naturales, si se suman o se multiplican, “el orden de los sumandos o factores no altera la suma o el producto, respectivamente”. m + n = n + m ó m.n = n.m

Ejemplos: suma multiplicación 12 + 11 = 11 + 12 (12) (11) = (11) (12) 10 + 15 = 15 + 10 (10) (15) = (15) (10)

iii) Asociativa.- sean m, n, q, tres números naturales, se pueden agrupar los sumandos o los factores (según sea el caso) en la forma que más convenga, sin que se altere la suma o el producto, respectivamente. (m+n) + q = m + (n+q) (m.n) q = m (n.q)

Ejemplos: suma multiplicación (6 + 3) + 4 = 6 + (3 + 4) [(6) (3)] 4 = 6 [(3) (4)] 9 + 4 = 6 + 7 (18) (4) = 6 (12) i.i.i.i) Identidad.- Todo número natural sumado con cero “0” , da como resultado el mismo número, entonces m + 0 = m. Todo número natural multiplicado por uno “1” da como resultado el mismo número, entonces (m) (1) = m

Ejemplos: suma multiplicación 8 + 0 = 8 (14) (1) = 14 239 + 0 = 239 (637) (1) = 637

El “0” es el neutro

aditivo y el “l” es el

neutro multiplicativo

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Álgebra I

i.i.i.i.i) Distributiva.- El resultado que se obtiene de multiplicar la

suma de dos o más números por un mismo factor, es igual al resultado que se obtiene de multiplicar el factor por cada sumando y sumar después los productos parciales que resulten de cada multiplicación, esto es:

m(n + q) = m.n + m.q

Ejemplos:

✓ 5(7 + 8) = (5) (7) + (5) (8) ✓ 5(15) = 35 + 40

Ejercicio 2

Sin calculadora, resuelve correctamente las siguientes operaciones con números naturales.

1) 654+8763+19657+17 7) 7(28+19) + 8 (18+57)

2) 2003+96+35468+1 8) 4(16+9+13) + 3 (6+29+32)

3) (6324) (789) 9) (5+12)(11+6)(10+7)

4) (19698) (2754) 10) 11)27( ++ )713(5 ++

5) (15+8) 4 + 9 (27+19) 11) )1518(12 ++ 33)627( ++

6) 7834 + 0 12) (15879) (1)

c).- Números enteros Queda claro que con el conjunto de los naturales sólo se pueden representar cantidades positivas, sin embargo en ocasiones hay la necesidad de presentar cantidades negativas ( pérdidas, temperaturas bajo cero, retiros de dinero en el banco , etc.). por eso se acordó complementar este conjunto anteponiendo a cada uno de sus elementos el signo menos (-).

Es así como aparece el conjunto de los números enteros cuyo símbolo es “Z”

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Álgebra I

Z= ,...7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7... −−−−−−− ... 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 ...


Es infinito.

Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.

El antecesor de un número entero es menor que el y se localiza a su

izquierda.

El sucesor de un número entero es mayor que el y se localiza a su

derecha.

Permite las operaciones de suma, resta y multiplicación.

Cumple con todas las propiedades de los N, además del inverso aditivo y

la propiedad de cancelación para la multiplicación

El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los

enteros, esto es: N Z i.i.i.i.i.i) Inverso aditivo.- si m Z, entonces se cumple que

m+(-m)=0 Ejemplos:

✓ 36+ (-36)=0 ✓ (-109) + 109 =0

i.i.i.i.i.i) Cancelación.- si los números a, b, c, є Z y forman la

igualdad a.b = b.c podemos cancelar a “b” y expresar la igualdad asi a=c

Ejemplos: ✓ 5(9) = (9) c 5=c ✓ 4(-8)= (-8) c 4=c

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Álgebra I

Valor absoluto

El valor absoluto de una cantidad es el número con que se representa, el cual no tiene signo ni dirección y se simboliza con dos líneas verticales II, entonces:

m = – m =m

Ejemplos: –20 = + 20 = 20 39 = – 39 = 39 Suma o adición con Z Para sumar varios números del mismo signo , se suman sus valores absolutos y al resultado (suma o total) se le antepone el signo común. Ejemplos:

✓ 9 + 13 + 47 = 69

✓ ( - 8 ) + ( - 29) + (- 12) + (- 6) = - 55 Para sumar varios números con diferente signo, se suman por separado (los positivos y negativos), posteriormente al sumando de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le antepone el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplo:

✓ (-15) + 8 + 17 +(-13) + (-3)= Por separado (-15) + (-13) + (-3) = -31 y 8 + 17 = 25 –31 – +25 = 31 – 15 = 6 Como es el -31 el de mayor valor

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Álgebra I

absoluto, hereda su signo al resultado el resultado es –6 Ejercicio 3 Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones con números Z. 1) 27 +48 11) ( -67) – (-125) 2) 12 + (-5) 12) (9-15) + (22 – 17) 3) (-17) + 13 13) (5 +19) + (36 – 47) 4) (-14) + (-8) 14) 7 + 8 –25 + 4 –18 5) 76 + (-103) 15) 12 – 15 +23 –26 +18 –21 6) (-120) + 37 16) –435 +634 –246 7) (-135) + (-93) 17) 3)85( +− - )158(4 −+ 8) 68 – (49) 18) )54()2( +−+− + 82()45( +−−+ 9) (59) – (-37) 19) )7(43 −−+ - )5()45( −−+ = 10) (-74) – (-48) 20) )13()487( −+−+ + )56()49( +−−

Multiplicación con Z El producto de dos números enteros se obtiene multiplicando entre si ambos factores, esto es a.b= ab. Es importante considerar las leyes de los signos. Si los factores

tienen el mismo signo el producto será positivo entonces (+) (+) = + (-) (-)

= +

Si los factores tienen signo diferente, el producto será negativo, esto es (+) (-) = - ó (-) (+) = -

Todo número

multiplicado por

cero es igual a cero

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SBG

Álgebra I

Cuando multiplicamos más de dos enteros: si tenemos número impar de signos negativos (1,3,5,7,...), el producto es negativo. (-)(-)(-)(-)(-) = - Si se tiene número par de signos negativos (0,2,4,6,...), el producto será positivo. (-)(-)(-)(-) = +

Ejemplos:

✓ (7) (4) = 28 ✓ (-8) (7) = -54 ✓ (-4)(-2)(-7)= -42 ✓ (-2)(-5)(-3)(-4) = 120 ✓ (4)(-a) = -4a

Ejercicio 4 a). Resuelve las siguientes multiplicaciones con números enteros. 1) (9) (13) 6) 7 (-34) (9)(-15) 2) (-6)(15) 7) 4 (-697)(0)(34) 3) (-12) (-17) 8) 19 (0) (-4634) 4) (-2)(-2)(-2)(-2) 9) (-79) (-467)(-1) 5) (-1)(-1)(-1)(-1)(-1) 10) (-156)(-468)(1) b). Aplica la propiedad conmutativa en las siguientes operaciones. 1) (7) (-14) 2) (-8) (-15) 3) (-17) (9) 4) (-m)(n) 5) (-3a)(-2b) c). Aplica la propiedad asociativa en las siguientes operaciones. 1) 12 ( 8x5)

2) )8)(6(− 9 3) )15)(7( 6 4) (w.v) z 5) a(b.c)

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SBG

Álgebra I

d). Aplica la propiedad de cancelación en las siguientes expresiones para indicar el valor de la letra. 1) (9) (x) = (9) (12) 2) w(-8) = 15 (-8) 3) 75 z = (75)(84) 4) 136 y = 49 (136) 5) m.n = m.d e). Comprueba la propiedad distributiva en los ejercicios siguientes 1) 6 (9 +15) 2) 15 (14 – 19) 3) 6 (16+12-13)

4) 8 )12()15( −+− 5) y ( 13-6 +z)

d).- Números racionales Un número racional es el conciente de dos enteros que tiene la

forma b

a donde b ≠ 0

Este conjunto surge por la necesidad de fraccionar a un todo en partes más pequeñas, simbólicamente se representa así:

Q = b

a a,b є Z y b ≠0

...2 1 0 1 2 ...

-

3

4 -0.5

6

5 1.6

b ≠ 0 porque la división entre cero no esta definida

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SBG

Álgebra I


Es infinito. Un racional no tiene antecesor ni sucesor. Permite las operaciones de suma, resta, multiplicación,

división, potenciación y radicación. Cumple con todas las propiedades de los enteros, además de

la propiedad del inverso multiplicativo y de densidad. Forma un campo. Tiene representación decimal finita o periódica.

En la fracción b

a

“a” es el numerador ( partes que se toma de un entero). “b” es el denominador ( partes en que se divide el entero).

▪ Es fracción propia, si el numerador es menor que el denominador y representa una cantidad menor a la unidad.

▪ Es fracción impropia si el numerador es mayor que el denominador y

representa una cantidad mayor a la unidad, ésta se convierte en fracción mixta cuando efectuamos la operación en donde el cociente es la parte entera, el residuo es el numerador y el divisor es el denominador.

Ejemplos:

7

3 fracción propia

Son fracciones comunes

5

9 fracción impropia

5

4 es fracción mixta

▪ Si necesitamos convertir una fracción propia o impropia a decimal, hacemos la división y obtenemos las cifras decimales requeridas.

1

23


SBG

Álgebra I

- Puede ser un entero si la división es exacta. - Puede ser una fracción decimal finita si el residuo llega a ser

cero. - Puede ser una fracción decimal periódica si el residuo no llega a

ser cero.

Ejemplos:

3

132 = 44

4

13 = 3.25

3

2 = 0.6666 = 0 . 6

▪ Una fracción común b

a es positiva si tanto el número como el

denominador tienen el mismo signo, en caso contrario será negativa.

Ejemplos:

9

7 o

9

7

−

− es positiva

3

5− o

3

5

− es negativa

i.i.i.i.i.i.i) Propiedad del inverso.- Todo número racional sumado con

su inverso aditivo es igual a cero, esto es:

b

a + (-

b

a) = 0 con b ≠ 0

Ejemplo:

5 + ( -5 ) = 0

7 7

El inverso aditivo de un Q es el mismo pero con signo contrario

24


SBG

Álgebra I

Todo número racional multiplicado por su inverso multiplicativo

es igual a uno, esto es:

a b = 1 con a i b ≠ 0

b a

Ejemplos:

3 8 = 1

8 3

-5 -4 = 1

4 5

i.i.i.i.i.i.i.i) Propiedad de densidad.- Entre dos números racionales

siempre habrá otro número racional, esto es: con b ٨ d ≠ 0 a c b d e donde a < e < c f b f d

Ejemplo:

1 11 6 17 1 < 17 < 11 12 12 6

El inverso multiplicativo de un Q es su recíproco y con el mismo signo

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SBG

Álgebra I

Para definir si una fracción es > , < o = que otra, se efectúan los

productos cruzados.

Ejemplos:

3 _5_ (3) (12) < (5) (8) 3 < 5_ 8 12 8 12

- 1 _-1_ (-1) (2) (-1) (3) - 1_ > -1_ 3 2 3 2

4 _16 _ (4) (12) = (16) (3) 4 = 16_ 3 12 3 12

El conjunto de los enteros es subconjunto de los racionales Z Q

Suma o adición con Q

Caso 1 Cuando el denominador es el mismo, sólo se suman los numeradores y se respeta el común denominador. (si es posible se simplifica el resultado).

b

a + b

c =

b

ca + con b O

Ejemplo:

10

7 +

10

8 +

10

9 =

10

987 ++ =

10

24 =

Caso 2 Cuando el denominador es diferente:

- Se multiplican los denominadores de ambas fracciones para obtener el denominador final.

5

12

26


SBG

Álgebra I

- Se efectúan los productos cruzados y los resultados formarán el nuevo

numerador. - Se suman los productos entre si para obtener el numerador final. - Si es posible se simplifica.

b

a +

d

c =

bd

cbda ))(())(( +

Ejemplo:

8

7 +

6

5 =

)6)(8(

)8)(5()6)(7( + =

48

4042 + =

48

84 =

- Si se tienen tres o más sumandos, conviene obtener el mínimo común

múltiplo (m.c.m) de todos los denominadores.

Ejemplo: Factorizamos los denominadores

8

5 +

6

7 +

3

4 = 8, 6, 3 2

4, 3, 3 2 el m.c.m. = 24

2, 3, 3 2 1, 3, 3 3

1 1

entonces

8

5 +

6

7 +

3

4 =

24

)4)(8()7)(4()5)(3( ++ =

24

322815 ++ =

24

75 =

En ambos casos, si tenemos fracción mixta es conveniente

primero convertir a fracción común.

24

41

8

25

27


SBG

Álgebra I

Ejemplos:

✓ 1 7

3 +

7

4 + 2

7

1 =

7

10 +

7

4 +

7

15 =

7

15410 ++ =

2 3

1 + 1

5

2 +

6

5 =

3

7 +

5

7 +

6

5

3, 5, 6 2 3, 5, 3 3 el m.c.m. = 30 1, 5, 1 5

3

7 +

5

7 +

6

5 =

30

)5)(5()7)(6()7)(10( ++ =

30

254270 ++ =

Resta o sustracción con Q Aplicamos el mismo procedimiento que en la suma solamente que en lugar de sumarse, los productos se restan, entonces:

b

a - b

c =

b

ca − Cuando los denominadores son iguales

b

a - d

c =

bd

bcad − Cuando los denominadores son diferentes

Ejemplos:

✓ 6

5 -

6

1 -

6

7 =

6

715 −− =

6

85 − = -

6

3− =

✓ 3 3

2 -

7

5 =

3

11 -

7

5 =

21

)3)(5()7)(11( − =

21

1577 − =

7

29

30

137

2

1−

21

62

28


SBG

Álgebra I

Ejercicio 5 Resuelve las operaciones siguientes y verifica tus resultados con la calculadora.

1) 7

2 +

7

5 -

7

9 6) 1

4

3 +

24

0 + 5

2) 5

3 +

9

4 7) -

7

2 -

4

3 -

14

5

3) 7

6 -

3

4 8) 2

4

3 + 5

6

1 - 3

6

5

4) 2 5

3 +

6

1 -

10

7 9) (3 +

6

5) -

5

2 +

2

3 + ( -

2

3 )

5) 8

9 - 3

5

2 +

20

13 10) (-6 +

7

5) + 1

3

2 - (

5

2 + 3

6

4)

Multiplicación con Q Esta operación se efectúa de manera directa, es decir multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador.

b

a

d

c =

bd

ac con b d 0

Ejemplos:

5

3

9

2 =

45

6 =

15

2

−

4

1

3

1 = -

12

1

−

5

32

−

7

4 =

−

5

13

−

7

4 =

35

52

29


SBG

Álgebra I

División con Q Para resolver la división con números racionales aplicamos los productos cruzados, es decir:

b

a ÷

d

c =

cb

da

.

.

Esta operación también se puede expresar de la siguiente manera

b

a

d

c

En este caso, el resultado será el producto de los extremos entre el producto de los medios, entonces:

b

a

= cb

da

.

.

d

c

Ejemplos:

✓ 11

12 ÷

1

3 =

33

12 =

11

4

✓ -5

3 ÷ -

6

5 =

25

18

A todo entero le

colocamos

denominador uno

30


SBG

Álgebra I

5

6

= 20

54 =

10

27

9

4

6

7

3− =

6

71

3−

= - 7

18

6

5

6

5

= = 18

5

3 1

3

Potenciación con Q

La potenciación se define como una multiplicación abreviada en donde todos los factores son iguales, entonces:

an= a . a . a . a … n veces a= base. n= exponente y Z. El resultado es la potencia. Ejemplos: ✓ 53= 5 x 5 x 5= 125

✓ 4-2= 2

4

1= 0625.0

16

1=

✓ (-3)0 = 1 ✓ 00 = N. E.

Todo número (excepto el cero) elevado a la cero potencia, es igual a uno.

31


SBG

Álgebra I

Si una fracción

b

a está elevada a la n potencia, tanto el

numerador como el denominador son afectados, esto es:

n

nn

b

a

b

a=

con a b 0

Ejemplos:

✓ ( )( )( )( )( )( ) 512

125

888

555

8

53

==

✓ ( )( )( )( ) 16

9

44

33

4

32

=−−

=

−

✓ (-2.5)3= -15.625

Radicación con Q

La radicación se define como la operación inversa de la potenciación por la que se obtiene un resultado (raíz), que elevado a un exponente dado por el índice da el radical, y se expresa así:2

yxn =

donde: n= índice x= radicando y= raíz = radical

Ejemplos:

✓ 9812 = porque 92= 81

✓ 283 −=− porque (-2)2= -8

✓ 56254 = porque 54= 625

✓ ..326 EN=− porque no hay un número

racional que elevado a la sexta potencia de cómo resultado –32.

Más simple, la radicación es una potenciación cuyo exponente es

una fracción. El numerador es el exponente del radicando y el denominador es

2 Diccionario enciclopédico éxito.

Si el índice es par y el radicando es negativo, NO TIENE RAIZ

32


SBG

Álgebra I

el índice de la raíz, así las expresiones anteriores se verían de la siguiente manera.

✓ (81)1/2= 9 ✓ (-8)1/3= -2 ✓ (625)1/4= 5 ✓ (-32)1/6= N. E.

Cuando el radicando también es una fracción, entonces el radical

se aplica a ambas partes, esto es:

n

n

n

b

a

b

a=

Ejemplos:

✓ 4

3

64

27

64

273

3

3 ==

✓ 11

7

121

49

121

49==

Ejercicio 6 Resuelve las operaciones siguientes:

1)

−

−

2

3

5

2

3

5

2)

−

9

4

7

23

3) 5

6

7

4

4) 66

13

5) 8

3

5

2

7

4

6) (-1)12

7) (-8)0

33


SBG

Álgebra I

8) (6)0

9)

3

5

1

10)

5

3

2

−

11) 3 216

12) 1−

13) 5 0

14) (16)1/2

15) 144

121

16) 5243

32−

17)

6

58

3

18)

4

2

8

3

5

4

3

12

−

+

19)

5

2

6

4

8

31

7

5

e).- Números irracionales. Un número irracional se define como aquel que no puede representarse exactamente. Ejemplos de números irracionales son:

etcerae,,,2360679778.2,3,2,2 3

(número de veces que cabe su diámetro en la circunferencia)

e (base de los logaritmos naturales o neperianos)

34


SBG

Álgebra I

Las características de este conjunto son:

Es infinito. Su representación decimal es aproximada. Para aplicaciones prácticas, sólo utilizamos su

aproximación. Este conjunto se representa con la letra I. No tienen sucesor ni antecesor.

Ejercicio 7 Usando la calculadora, obtén el valor aproximado de los

siguientes números irracionales.

1) 2

2) 4 2

3) 6 2

4) 3−

5) 3 4

6) 5−

7) 3 47

8) 18

9) 5 2

10)

Números reales. La unión del conjunto de los números racionales con los

irracionales forman el conjunto de los números reales, esto es: Q U I = R

3

-2.415

3 2 1 0 1 2 3 4

-2

3 e

35


SBG

Álgebra I

El conjunto de los números reales cumple con todas las

propiedades estudiadas hasta ahora por lo que forma un campo.

Campo de números. Se dice que un conjunto de números forma un campo, si la suma, la diferencia, producto y cociente (excluyendo la división entre cero) de dos números cualquiera del conjunto, son también elementos del mismo conjunto, así Q, R, y C son ejemplos de campo.

Relación de orden de los números reales. Las expresiones >,

36


SBG

Álgebra I

Los intervalos infinitos son aquellos que no tienen fin, al menos en

uno de sus extremos.

( ) xaxa = /,

a

( axxa =− /,

a

( ) Rxx =− /,

Ejercicio 8 Representa gráficamente los siguientes conjuntos:

1) 5/ xx

2) 3/ −xx

3) 4/ −xx

4) 42/ − xx

5) 54/ − xx

6) xx / 8 0 x

7) 510/ −− xx

8) Rxx /

37


SBG

Álgebra I

f).- Operaciones y problemas

Cuando se tienen operaciones entre llaves, corchetes y

paréntesis, se recomienda resolver primero las operaciones marcadas en los paréntesis, posteriormente las que aparezcan en los corchetes y al final resolver los que queden en las llaves.

Ejemplo:

✓ 5 ( )

+

−++−

5

2

6

1

3

28534

2

5 ( )

+

−+−

12

5

3

16816

5

−+

12

598

5 12

515

12

185

12

37==

Ejercicio 9. a) Resuelve correctamente la siguientes operaciones.

1) –2

+−

+

22

2

3

81

169

5

12

3

23

2) 3

2

+

−

+ 2

5

4

3

2

6

3

2

14

5

27

3) ( )

−+−+ 2.3

5.1

5.72.46.28.63.124

b) Escribe sobre la línea la propiedad que se aplica en cada caso y resuelve las operaciones para verificar a dicha propiedad, donde sea necesario escribe el número o el signo que haga falta.

Resolver de adentro hacia afuera.

38


SBG

Álgebra I

1. 479

7−+ ________________________

2. 5

9

21

9

215 +=+

_______________________

3. ( )

−+=−+

3

227

3

227 ________________________

4. 4 + ( ) = 0 ________________________

5. (-7) ( ) = 1 ________________________

6.

−

+

=

−+

10

17

4

327

5

27

10

1

4

32

5

27 ________________________

7. 3.1416 ________________________

8. 2.72 2.71 ________________________

9. 5

2

5

2−=

− ________________________

10. 4

3

4

3=

+

________________________

Debido a que cada problema es diferente, no existe formato

alguno que nos lleve a resolver cualquier tipo de cuestionamiento, sin embargo, en términos generales los siguientes pasos te ayudarán a resolver tus problemas matemáticos.

1. Leer el problema las veces que sea necesario hasta entenderlo.

2. Hacer un esquema (dibujo) del problema para ubicar los datos y la o las incógnitas (preguntas).

39


SBG

Álgebra I

3. Traspolar el problema del lenguaje común al lenguaje

algebraico (plantear la ecuación).

4. Usar las herramientas (operaciones y fórmulas) adecuadas para resolver la ecuación.

Ejemplo:

✓ La capacidad del tanque de gasolina de un automóvil es de 50 litros, los cuales se terminan en cuatro días. Durante los tres primero

se gastó 5

2

6

1,

4

1y de tanque, respectivamente.

a) ¿Cuántos litros de gasolina le quedan para el cuarto día? b) Si el automóvil desarrolla en promedio 15 kilómetros por litro,

¿cuántos kilómetros recorre diariamente? Solución.

a)

1er. día 2do. día 3er. día 4to. día

?

=++

=++60

49

60

241015

5

2

6

1

4

1

4 6 5 2 60

11

60

4960

60

49

1

1

60

491 =

−=−=−

2 3 5 2

1 3 5 3

1 5 5

1 Le quedan 11/60 del tanque.

b) Si 1 tanque = 50 litros 60

1 de tanque = x litros. Aplicando

4

1

6

1

5

2

40


SBG

Álgebra I

el producto de extremos entre medios tenemos que:

x litros =

( )

que

quedelitros

tan1

tan60

150

x litros = 60

50 litro

x = 6

5 litro ó 0.83 litros

Si multiplicamos por 15 km, obtenemos la distancia recorrida.

1er. día (12.5) x 15 = 187.5 kilómetros recorridos.

2do. día 8.33 x 15 = 125 kilómetros recorridos.

3er. día 20 x 15 = 300 kilómetros recorridos.

4to. día 9.1 6 x 15 = 137.5 kilómetros recorridos.

1er día

156

5

litro

12 litros2

1

2do día

106

5

litro

8 litros3

1

3er. día

246

5

litro

20 litros

4to. día

116

5

litro

9 litros6

1

41


SBG

Álgebra I

Ejercicio 10. Resuelve correctamente los siguientes problemas.

1. En el siguiente cuadro, coloca los números del 8 al 23 de tal manera que al sumarlos horizontal, vertical o diagonalmente, el resultado sea siempre 62.

2. Un alumno de la Preparatoria “x” lee 225 palabras por minuto.

¿Cuántas palabras leerá en 25 segundos? 3. Si una empresa disquera produce 125,000 C.D. mensuales y necesita

elevar su producción en 9%, ¿cuántos discos deberá producir para cubrir la demanda?

4. Los muelles de una camioneta tienen tres placas de acero, cuyos

espesores son de 1/2, 1/4, 1/8 de pulgada respectivamente, ¿cuál es el espesor total de dichos muelles?

5. Si colocamos 50 monedas de un peso (una sobre otra), ¿cuántos

centímetros de altura alcanzan si cada una mide 1.9 milímetros de espesor?

6. Para pintar su casa, el propietario utilizó cuatro días, el primer día

gastó 2

.14 litros de pintura, el segundo 4

34 litros, el tercero 8

33

litros y el último 6

52 litros, si compró una cubeta de 19 litros, ¿le

sobró o le faltó pintura y cuánto?

7. De un rollo de tela de alambre un comerciante ha vendido dos partes,

una de 7

2 y la otra de 53 , ¿qué cantidad del rollo faltó por venderse?

42


SBG

Álgebra I

8. Un campesino debe sembrar 7 hectáreas de terreno, si en tres días

sembró 34 , 6

11 , 7

51 de hectárea respectivamente y desea terminar

en dos días más, ¿qué cantidad de terreno debe sembrar de manera equitativa en los días que le faltan?

9. Si te dieran a escoger de 5/6 y 6/7 de pizza, ¿cuál de las dos

porciones escogerías para que te tocara más? Justifica tu respuesta.

10. ¿Cuántas botellas de litro y medio de capacidad se pueden llenar con 3 galones de aceite si cada galón equivale a 3.875 litros?

11. Si un grado sexagesimal equivale a 0.01745 radianes, ¿cuántos

radianes habrá en 297.3 grados?

12. Un automóvil circula a velocidad promedio de 95 km/h, ¿qué distancia habrá recorrido en 5 horas con 38 minutos?

13. La capacidad de un tanque estacionario de gas LP es de 300 litros,

para satisfacer sus necesidades una familia gasta 5/8 del tanque mensualmente, ¿cuántos litros de gas necesita comprar cada año?

14. Un profesionista distribuye su sueldo quincenal de la siguiente

manera: 1/3 para alimentación, 2/5 para vestido; 9/40 para otros gastos y el resto lo guarda, ¿en qué tiempo habrá ahorrado lo que gana exactamente en un mes?

15. Si en una Preparatoria “x” 98 hombres representan las 2/3 partes del

total de alumnos, ¿cuántas mujeres son alumnas de esa Institución?

16. Si el valor exacto de Sen 45° es 2

2, ¿cuál es su valor aproximado?

17. La cancha de básquetbol tiene una circunferencia central y dos semicircunferencias en la zona de tiro libre. Si oficialmente su diámetro debe medir 3 metros,

a) ¿Cuál es el perímetro de cada una de ellas? b) Calcule el área del círculo y de las dos semicircunferencias. c) Si para pintar 1.9 m2 de superficie se requiere un litro de pintura, ¿qué cantidad se necesita para pintar la circunferencia central y los dos semicírculos?

43


SBG

Álgebra I

18. Completa la siguiente tabla para obtener el valor aproximado del número “e”.

x x

11+

x

x

+

11

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

Ejercicio 11.

Elabora un mapa conceptual del conjunto de los números reales.

B).- Números complejos. Una de las necesidades que motiva el surgimiento de este

conjunto es el no poder resolver expresiones como 1− ; x2 + 4 = 0 con los

números reales.

Definición. Un número complejo “C”, es la suma algebraica de un real con un imaginario por lo que su representación es a+b i

( ) iyRbabiabaC =−+== 1,/, Si a= 0 se llama imaginario puro.

Si b= 0 se llama número real.

Entonces: iRC =

44


SBG

Álgebra I

Ejemplos:

✓ 4i; -2i; ;3

5i i2 Son imaginarios puros.

✓ 9 + 0i; 5 – 0i; i05

3+ Degeneran en números reales.

✓ 5 + 4i; -2 + 3i; 4 – 8i Son complejos

a).- Forma rectangular de un complejo.

La forma rectangular de un complejo es a + bi donde a y b R, estos pueden representarse gráficamente en un sistema bidimensional en donde el eje horizontal es el real y el eje vertical es el imaginario.

i (a + bi) bi

R a

Ejemplo:

✓ Localiza en el plano los siguientes número complejos. a) –2 + 3i

b) 3 + i2

5

c) 2 – 2i

d) –3 – 2i

determina la dirección de la magnitud de (a + bi)

R

i

A

D

B

C

45


SBG

Álgebra I

Ejercicio 12. Representa en el plano los siguientes números complejos.

A) –4

B)0 + 0i

C)5i

D) –3i

E) i2

3

F)3 + 2i

G)–2 – 4i

H) i32

1+

I)–2 - i2

1

J)1 – i

b).- Operaciones con números complejos.

Suma o adición con C. Para obtener el total de dos complejos, se suman por separado

las partes reales y las partes imaginarias, esto es: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

46


SBG

Álgebra I

Ejemplos:

(4 + 2i) + (5 – 4i) =

i

i

i

29

45

24

−

−

+

(12 – 3i) + (3 + 16i)=

i

i

i

1315

163

312

+

+

−

Resta o sustracción con C. Para obtener la diferencia de dos complejos se restan (por

separado) las partes reales y las partes imaginarias, entonces: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i Ejemplos:

(4 + 2i) – (5 – 4i) =

i

i

i

61

45

24

+−

+−

+

(12 – 3i) – (3 + 16i) =

i

i

i

199

163

312

−

−−

−

+

+

47


SBG

Álgebra I

Potencias de i.

Si elevamos a “i” a las primeras cinco potencias, obtenemos:

i= 1−

i2= ( ) 11 2 −=−

i3= i2 . i= (-1)(i)= -i

i4= i2 . i2= (-1)(-1)= 1

i5= i4 . I= (1)(i)= i

Multiplicación con C. Para obtener el producto de dos complejos aplicamos la propiedad distributiva, esto es: (a + bi) (c + di) = ac + adi + cbi + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc) i Ejemplo:

2

2

18920

1815

2420

34

65

ii

ii

i

i

i

−+

−−

+

−

+

Como i2 = -1 (-18) (-1) = 18 el producto es 38 + 9i

Los valores de i se vuelven a repetir

5 + 6 i2 4 - 3 i

-15 i - 18 i2

20 + 24 i 20 + 9 i - 18 i2

48


SBG

Álgebra I

División con C.

Para obtener el cociente de dos complejos se multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador y se reduce. Ejemplo:

=−

+

i

i

24

32

el conjugado de (4 - 2i) es (4 + 2i)

2

2

416

61248

24

24

24

32

i

iii

i

i

i

i

−

+++=

+

+

−

+

)1(416

)1(6168

−−

−++=

i

20

162 i+=

20

16

20

2 i+=

i5

4

10

1+=

Ejercicio 13. a) Resuelve correctamente las siguientes operaciones con números complejos. 1) (4 + 3i) + (6 – 5i)

2) (-12 – 5i) + (7 – 6i)

3) (3 – 5i) – (13 + 6i)

4) (-7 – 4i) – (5 + 9i)

49


SBG

Álgebra I

5) (2 + 3i) (12i)

6) (7 – 3i) (4 + 4i)

7) i23

5

−

8) i

i

+

−

5

24

9) i16

10) i30

11) ( ) ( )4495 −−−+

12) 362

254

−−

−+

b) Obten a y b en cada inciso, fíjate en el inciso 1.

1)a + 4i + 2 = 7 – bi

a + bi = 7 – 2 – 4i

a + bi = 5 – 4i

a= 5 y b= -4

2)a – 2i – 3 = 5 + bi + 3i

3)2i + 6 – a= 17 – bi + 3i

4)bi – 5 + 2i = a – 4i + 8

5)5i – 2bi + 4 = 6 + 7i – a

6)9i + 3a – 1 = 4 + i – 4bi

50


SBG

Álgebra I

U N I D A D I I

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Objetivo:

Entender el significado de expresión algebraica para

aplicarlo en la simplificación de expresiones, con base

en las leyes de los exponentes.

51


SBG

Álgebra I

A).- Introducción al lenguaje algebraico. Los conocimientos adquiridos hasta ahora corresponden básicamente a la aritmética (el estudio de los números) sin embargo, debido a la complejidad para plantear y resolver algunos problemas, surge en el hombre la necesidad de crear otra parte de la matemática que facilite tal operación y ésta es el Álgebra.

“El Álgebra es la parte de la matemática que por medio de una simbología propia, generaliza y simplifica los principios relativos a la aritmética” 3. Las culturas egipcia y griega a.c., la hindú y la árabe d.c., hicieron grandes aportaciones, sin embargo fue a partir del Siglo XIII de nuestra era cuando esta asignatura obtuvo su gran desarrollo.

a).- Constantes, variables y exponentes.

Constante. Es una cantidad cuyo valor no cambia al hacer cálculos u operaciones, generalmente es un número. Ejemplos:

✓ 2x + 3= 15 2, 3, 15 son constantes.

✓ A = r2 es la constante.

Variable.

Es una letra que usamos para representar valores numéricos por lo que su valor cambia al hacer cálculos u operaciones.

Se le llama variable independiente a aquella cuyo valor no

depende de la expresión y por lo tanto se le puede asignar diferentes valores.

Por el contrario, una variable es dependiente cuando su valor

está sujeto a la expresión (concretamente al valor de la variable independiente).

3 ALVARADO García, Rodolfo. Álgebra para universitarios, P. 98.

52


SBG

Álgebra I

Ejemplos:

✓ y = 3x2 + 5x – 2 x es la variable independiente

y es la variable dependiente

✓ v = r2h r, h son variables independientes v es la variable dependiente

Exponente.

Es el número o letra escrito en la parte superior derecha de una constante o de una variable. Indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma. Ejemplos:

✓ 2n “n” es el exponente 2 es la base

✓ 4a3b2c 1, 2, 3 son los exponentes 4, a, b, c son la base

b).- Lenguaje común y lenguaje algebraico.

Lenguaje común. Es aquel que nos permite expresarnos por medio de palabras y se le llama así porque lo utilizamos cotidianamente.

Lenguaje algebraico. Es un lenguaje (simbólico) que utiliza números, letras y signos para expresar de manera convencional lo mismo que en el lenguaje común. Ejemplos:

Lenguaje común Lenguaje algebraico Tres hermanos 3 h Por dos tacos y un refresco 2t + 1r = 20

pagué 20 pesos Un automóvil se mueve a razón de

noventa y cinco kilómetros por cada hora v = 95 km/h En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de

la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos c2 = a2 + b2

Gas butano (gas LP) CH3-CH2- CH2- CH3

Si la constante o la variable no tienen exponente escrito, se entiende que es uno.

53


SBG

Álgebra I

Ejercicio 14.

a) Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes incisos. 1) Seis canciones de música “pop” más cuatro de música “industrial”.

______________________________

2) Tres veces la edad de Ricardo es igual a 57 años.

______________________________

3) El número de subconjuntos de un conjunto está dado por dos elevado a la

“n” potencia _________________________

4) El área o superficie de un sector circular es igual a la mitad del producto

que resulta de multiplicar el ángulo (en radianes) por el cuadrado de su

radio _______________________________

5) El volumen de una esfera se define como las cuatro terceras partes del

producto que resulta al multiplicar el valor de su radio elevado al cubo por

el valor de “Pi”. _____________________

6) Agua _____________________

7) Alcohol _____________________

8) Vinagre _____________________

9) Etileuglicol (anticongelante) _____________________

10) Anilina _____________________

b) Consulta libros de física y química para expresar en lenguaje común las siguientes fórmulas.

1) t

dv = ______________________________________________

2) t

va = ______________________________________________

3) amF •= ______________________________________________

4) 2

21

d

mmGF = ______________________________________________

54


SBG

Álgebra I

5) dFT •= ______________________________________________

6) NaCl ______________________________________________ 7) CO2 ______________________________________________ 8) CH3-OH ______________________________________________ 9) Ca (OH)2 ______________________________________________ 10) C12H22O11 ______________________________________________

B).- Expresiones algebraicas. a).- Término algebraico y sus partes.

Un término algebraico es cada parte de la expresión

algebraica separada por las operaciones de suma o resta (+, -). Ejemplo:

25

26

2+−

xx

Las partes de un término algebraico son: a) Coeficiente.- Es el primer factor de un término, generalmente es una constante (número). Ejemplo:

43223

3

25 yxyyxx +−+

Los coeficientes de cada término en esta expresión algebraica son

respectivamente 5, 1,,3

2 .

Término cuadrático

Término lineal

Término independiente

55


SBG

Álgebra I

b) Variable.- Es cada una de las letras que aparecen en la expresión, su valor puede ser cualquier número real. Ejemplo:

A = r2 “r” es variable independiente, su valor puede ser cualquier número real positivo. “A” es variable dependiente, su valor depende del valor que tome “r”. c) Exponente.- Es el número o letra que se localiza en la parte superior derecha de la variable. Ejemplo: x3 + 3x2 – 2x + 5 Así, los exponentes de la variable “x” en la expresión anterior son 3, 2, 1 y 0.

56


SBG

Álgebra I

Ejercicio 15. Completa correctamente la siguiente tabla.

Término Coeficiente Variables Exponentes

4a2bc3de

zyx13

5

2 −

33 nm

e

zyw22

1

3.0−

4

2

hb •

2

2d

2

aP •

hr2

3

2h

57


SBG

Álgebra I

b).- Clasificación de expresiones algebraicas.

La clasificación de una expresión algebraica está dada por el número de términos que contiene, esto es: Monomio. Expresión que tiene un solo término. Ejemplos:

wzyxa 4322

2

3,3;

Binomio. Expresión que tiene dos términos. Ejemplos: a2 + b2 ; a2 - b2 Trinomio. Expresión que tiene tres términos. Ejemplos: a + b + c ; a2 + 2ab + b2 ; ax2 + bx + c Polinomio. Expresión que tiene cuatro términos o más. Ejemplos: a3–3a2b+3ab2–b3 ; b2+c2-2bc CosA – a2 ; x2+y2+Dx+Ey+F

En general todos son Polinomios.

58


SBG

Álgebra I

Ejercicio 16.

Clasifica los siguientes polinomios de acuerdo al número de términos que contienen. 1. 3r + 2t + d ______________________________

2. x2 ______________________________

3. 2x2 + 5x – 4 ______________________________

4. –3x2 + 5x ______________________________

5. a3 – 6a2 + 12a – 8 ______________________________

6. -2r ______________________________

7. 4r2 - d2 ______________________________

8. Dd2

1 ______________________________

9. 22 rhb +• ______________________________

10. 3333

22hrhRhrhR

+++ ______________________________

c).- Grado de una expresión algebraica.

Grado relativo. Es el valor del exponente mayor que contiene la variable a la que se hace referencia. Ejemplos:

r2h es de primer grado respecto a “h” 3 es de segundo grado respecto a “r”

a6 – 3a4b + 3ª2b2 – b3 es de sexto grado respecto a “a”

es de tercer grado respecto a “b” Grado absoluto. Lo representa el término de mayor grado y éste se obtiene de la suma de los exponentes de todas sus variables.

59


SBG

Álgebra I

Ejemplos:

✓ 3

2hr

es de tercer grado absoluto.

✓ a6 – 3a4b3 + 3a2b2 – b3 es de séptimo grado absoluto.

Ejercicio 17. Escribe sobre la línea el grado absoluto de cada polinomio. 1. 3x2 + 5x3 – 8x – x4 ___________________________________

2. 2m3 – 5m + 8 ___________________________________

3. –4 ___________________________________

4. x5

3 ___________________________________

5. 3x2y – 5xy3 + x2 ___________________________________

6. 6m2n – 4m3n3 – 5mn2 ___________________________________

7. 8524

7 23+−+ xxx ___________________________________

8. 32

6

5yx ___________________________________

9. 2x2y3 + x3y3 ___________________________________

10. 22 54 mnwnm − ___________________________________

Porque 2+1= 3 y 4+3=7 respectivamente

60


SBG

Álgebra I

d).- Valor numérico.

Se le llama valor numérico de una expresión algebraica a aquel

número que resulta de sustituir la o las variables por su valor ya establecido y haber resuelto las operaciones indicadas.

Ejemplos:

Las edades de Humberto, Rolando y David son 8, 6 y 2 años

respectivamente. Si estas edades las operamos en las siguientes expresiones algebraicas. ¿Cuántos años representa cada polinomio?

h= 8; r= 6; d= 2

✓ 3hr2 + 2hrd2 – 5rd3 = 3(8)(6)2 + 2(8)(6)(2)2 – 5(6)(2)3

= 3(8)(36) + 2(8)(6)(4) – 5(6)(8) = 864 + 384 – 240 = 1008

El valor numérico es 1008.

✓ 322

6

3

3

2hrd

hrdh+− = 3

22

)2)(6)(8(6

)6)(8(3

3

)2()8(2+−

= )8)(6)(8(6

)36)(8)(3(

3

)2)(64)(2(+−

= 3846

864

3

256+−

= 3841443

256+−

= 1

384

1

12

3

256+−

= 3

115236256 +−

= 33.4573

1372=

El valor numérico es 33.457

Generalmente, resolvemos primero potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones y al final sumas y restas.

61


SBG

Álgebra I

Ejercicio 18. Si a = 3; b = -2; c = 4; calcula el valor numérico de las siguientes expresiones. 1. 3a + 2b – 5c

2. 6b – 5a + 3c

3. a2 + b2 – c2

4. 2a3b – 5abc + 3bc2

5. 4a2b2 – 3b2c2 + 2a2b2

6. acbc6

5

2

3+

7. 24

2

3

42222cbacaab

+−

8. 22322 23 acbaba +−

9. 32

2cabcba

−++

10. 222

5

2

4

5

2

3c

cabba+−

C).- Leyes de los exponentes (enteros y racionales) Recordemos que un exponente es el número o letra colocado en la parte superior derecha de la base e indica las veces que ésta se debe multiplicar por sí misma. Cuando el exponente es un número entero, se dice que la operación representada es una potenciación.

62


SBG

Álgebra I

Ejemplos:

✓ 53 = 5 x 5 x 5 =125

✓ 2-3 = 125.08

1

222

1

2

13

===xx

Cuando el exponente es un número racional, se dice que la operación

representada es una radicación.

Ejemplos:

✓ 86444 2 323

===

✓ 6299.05874.1

1

4

1

2

1

2

12

33 2

3

2

3

2

===−

Para entender mejor estos ejemplos, se hace necesario

entonces conocer las propiedades o leyes que rigen tanto a los exponente enteros como a los exponentes fraccionarios.

a).- Exponentes enteros y su operatividad.

Las principales leyes o propiedades de los exponentes enteros son las siguientes.

1) Multiplicación de potencias de la misma base. En este caso

los exponentes se suman, esto es:

nmnm aaa +=•

Ejemplos:

✓ 31255555 52323 ===• +

✓ 437)3(737 xxxxx ===• −−+−

En todas las leyes de los exponentes se respeta la base

63


SBG

Álgebra I

2) División de potencias de la misma base. En este caso los

exponentes se restan, esto es:

nmn

m

aa

a −= 0aSi

Ejemplos:

✓ 64444

4 3252

5

===−

✓ 2

253

5

31

xxx

x

x===

−−

3) Una potencia elevada a otra potencia. En este caso los exponentes se multiplican, esto es:

nmnm aa •=)(

Ejemplos:

✓ (52)3 = 5(2)(3) = 56 = 15625

✓ 12

12)3)(4(34 1)(

xxxx ===−−−

✓ 10)5)(2(52 )( www == −−−−

4) El producto de dos bases distintas elevado a una potencia. En este caso el exponente afecta a ambas bases, esto es:

mmm baba •=• )(

Ejemplos:

✓ 225)9)(25(35)3)(5( 222 ==•=

✓ 333)( yxxy •=

64


SBG

Álgebra I

5) Un racional (fracción) elevado a una potencia. En este caso

el exponente afecta tanto al numerador como al denominador, esto es:

0=

bSi

b

a

b

am

mm

Ejemplos:

✓ 1975.081

16

)3)(3)(3)(3(

)2)(2)(2)(2(

3

2

3

24

44

===

✓ 3

3

3

333

822

y

x

y

x

y

x==

Ahora bien, si la propiedad “2” es válida cuando m=n, entonces:

0aaa

a nnn

n

==−

Esta división da como resultado un exponente nulo, sin

embargo, también sabemos que todo número diferente de cero dividido por sí mismo es igual a la unidad. Esto nos conduce a definir al exponente nulo de la siguiente manera:

010

= acona

Por otro lado, si la propiedad “1” es válida para m=-n, entonces:

10 ===• +−− aaaa nnnn

dividiendo a ambos miembros de la igualdad por “an”, tenemos:

nn

nn

aa

aa 1=

•−

01

=−

acona

an

n

Las definiciones de a0 y a-n se derivan de las leyes de los exponentes.

65


SBG

Álgebra I

Ejercicio 19. a) Aplicando las leyes de los exponentes, obtén el valor de la siguientes expresiones.

1. 352 333 −••

2. 325 )2()2()2( −−− −

3. 23)4( −

4. 41)3( −−−

5. 4

7

3

3

6. 4

3

)4(

)4(

−

−

7. 3)2)(5(

8. 0)9)(3(

9. 2)3)(2( −

10.

2

5

4

11.

3

4

3−

12. 3

b) Simplifica a su mínima expresión cada uno de los siguientes

reactivos, dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos.

1. ( ) ( )422 43 xyyx −

2. ( )452

234

2

1 −−

yxyx

3. ( )( )232 43 −−− baab

4. ba

ba1

23

−

−−

5. 72

45

−

−

nm

nm

6. 245

832

2

4−−−

−−

nm

nm

7.

3

1

2

3

4

−x

x

8.

2

4

3

3

2−

−

x

x

9.

−

−−

52

54

23

2

4

2

3

5

bca

cba

cab

bca

10.

1

53

32

2

4−

−

−

cb

cb

11.

532

3

2

mn

nm

66


SBG

Álgebra I

12. 4

44

3

32−

−−+

13. 00

00

42

53

−

+

14. 22

22

54

54−−

−−

−

+

15.

3

1

41

2

32

2

2

3

4−

−

−

−

−−

x

y

y

x

y

x

Una de las tantas aplicaciones de las leyes de los exponentes

es la notación científica, la cual consiste en expresar cantidades muy pequeñas o muy grandes con un solo dígito como parte entera, multiplicada por potencias de diez para reproducir su valor original.

Ejemplos:

✓ Una lombriz mide 8 centímetros de largo, ¿cuál será su

longitud en kilómetros? 1 m = 100 cm 1 km = 1000 m 8 cm entonces 1 km = (100) (1000) cm

cm

km

cm

kmx

000100

1

8=

cm

cmkmx

000100

)8)(1(=

000100

8kmx =

kmx 00008.0=

kmxx5

108−

=

• La velocidad de la luz es de 300 000 km/s, ¿cuántos kilómetros recorrerá un rayo solar en un año terrestre?

1 minuto = 60 s rayo solar 1 hora = 60 min. 1 día = 24 h 1 año = 365.3 días entonces un año = (60)2 (24) (365.3) s = 31,561,920 s. Si presentamos ambas cantidades en notación científica se verían así: Velocidad de la luz = 3 x 105 km/s Un año terrestre = 3.1561920 x 107 s

67


SBG

Álgebra I

Si de la fórmula de la velocidad despejamos la distancia

tvdt

dv •==

Sustituyendo:

d = (3 x 105 km/s) (3.1561920 x 107 s) d= (3 x 3.1561920) (105 x 107) km d= (9.468576) (105+7) km. d= 9.468576 x 1012 km.

Ejercicio 20. a) Representa en notación científica las siguientes cantidades. 1. 5 478 000 000

2. 9 500 000 000 000

3. 0. 000000025

4. 0.0000004

5. (0.000022) (0.03)

6. 000003.0

)53.0)(00015.0(

7. 4000

)34000)(5000000000(

8. )25)(48000(

)000032.0)(37000(

b) Resuelve correctamente los siguientes problemas.

1. Una célula de forma rectangular mide 3 x 10-9 m. de ancho y 2.4 x 10-6 m.

de largo, ¿cuál será su área o superficie? 2. Dos cargas eléctricas; Q1 = 4.3 x 10-6c; Q2 = 2 x 10-6c están separadas

por un radio de r = 3 x 10-1 m. Si K0 = 9 x 109 Nm2/c2, encuentra la fuerza utilizando la fórmula:

r

QQKF 210=

68


SBG

Álgebra I

3. Una persona cuyo peso F = 65 x 103 N, se encuentra parada en una

superficie S = 9 x 106 cm2, considerando que P = s

f, encuentra la presión

“P”. 4. La masa de la luna (m1) es de 6.7 x 1014 kg, y la masa (m2) de la Tierra es

de 8.14 x 1015 kg., y la separación entre ambos cuerpos celestes tiene un radio de r = 4 x 105 km. Si la constante de gravitación universal es de G = 6.67 x 10-11 Nm2/kg2, encuentra la fuerza de atracción “F”.

2

21

r

mmGF

•=

5. El diámetro de un glóbulo rojo es de 7.366 x 10-4 cm aproximadamente, si

se alinearan 3 millones de estas células, ¿qué distancia en metros ocuparían?

6. Si el grosor de un libro es de 2.5 cm y se sabe que cuenta con 292 hojas,

¿cuál es el grosor de cada hoja?

b).- Exponentes racionales y su operatividad.

Cuando en una potencia el exponente es racional ( )ba con “a”

y “b” es entero positivo, nos adentramos al campo de los radicales, es

decir, a la operación conocida como radicación.

Para iniciar, hagamos el siguiente análisis:

De las leyes de los exponentes, sabemos que (am)n = am.n, si

ahora m = n

1 , tenemos:

==

aaa n

nn

n

1

aa

n

n =

1

69


SBG

Álgebra I

La ecuación muestra que la n-ésima potencia de na

1

es igual a

“a”, o bien, que na

1

es una n-ésima raíz de “a”. Especificando esta raíz como

la n-ésima raíz principal de “a”, tenemos, por definición 4:

nn aa =

1

ahora bien, si tenemos la expresión nm

a , la podemos ver como:

( )nma1

Luego entonces:

( ) n mnmnm

aaa ==1

En cualquiera de estas expresiones, la base pude ser cualquier número real si “n” es impar, pero si “n” es par la base sólo puede ser positiva, ya que los números negativos no tienen raíz real cuando el índice es número par.

Ejemplos:

✓ 86444 2 323

===

✓ 6299.05874.1

1

4

1

2

1

2

12

33 2

3

2

3

2

===−

✓ 3 10310

2

5

6

1

3

2

2

5

6

1

3

2

xxxxxx ===••++

✓ ..27)27( 21

EN=−=−

✓ 327)27( 331

−=−=−

4 Fuller Gordón. Álgebra Elemental, P. 125.

El numerador es el exponente de la base y el denominador es el índice de la raíz

Porque no hay un R que multiplicado por sí mismo sea igual a –27 Porque (-3)3 = -27

70


SBG

Álgebra I

Concluimos entonces que de las leyes de los exponentes, se

derivan las siguientes propiedades de los radicales.

1. aan n =

Ejemplos:

✓ 333 55

5 5==

✓ xxx == 33

3 3

2. nnn baba •=•

Ejemplos:

✓ 6)2)(3(827)8)(27( 333 ==•=

✓ 4 34 24 32 yxyx •=•

3. n

n

n

b

a

b

a=

Ejemplos:

✓ 8.05

4

25

16

25

16===

✓ 5

3

5

9

5

9==

4. n mcn cm aa =

Ejemplos:

✓ 39.13240177 33 4)3)(2( )4)(2(

==

✓ 5 4)3)(5( )3)(4(

xx =

5. nmn m aa •=

71


SBG

Álgebra I

Ejemplos:

✓ 2256256256 8)4)(2(2 4 ===

✓ 2057.1292929 18)2)(3)(3(3 3 ==

6. nq npmqq pn maaa

+=•

Ejemplo:

✓ 8385.6333333 4 78 148 212)4)(2( )1)(2()4)(3(42 3 =====•

++

El mismo ejemplo:

✓ 8385.633333333 4 747

8

14

8

212

4

1

2

3

42 3 =====•=•

+

Ejercicio 21. a) Aplica las propiedades de los radicales para obtener el valor de:

1. 3 62

2. 33

3. 5 3 82 •

4. 6 69

5. 10 71

6. 3 )6)(4)(9(

7. 3 729

8. 65536

9. 5 180

10. 144

25

11. 31000

48

Se facilita la operación si expresamos el radical como exponente fraccionario

72


SBG

Álgebra I

12. 3 45 33 •

13. 5 564 222 ••

14. 424

25

33

333−

•

••

b) Simplifica las siguientes expresiones, sin que queden exponentes negativos ni fraccionarios en el resultado.

1. 438 ba

2. 348ab

3. 3 62427 cba−

4. 4 10964 cba

5. 42

35

16

7

yx

yx

6. 372

26

2

54

yx

yx

7. 33

106

32

16−

−

x

yx

8. 3223 yxyx ••

9. 363

25

35

4

yx

yx

xy

yx−

•

10. 3 14x

11. 3 41514

4092 yx

12.

2

3

4

3

5

2

7

77 •

13. 52

3

1

mm •

14. 61

24

3

mmm ••−

15. 2

6

1

3

2

m

mm •

16.

3

2

35

4

m

mm−

−

•

17.

5

6

3

2

1

3

5

mm

mm

•

•

−

73


SBG

Álgebra I

U N I D A D I I I

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Objetivo:

Utilizar las expresiones y propiedades algebraicas para estimular y aplicar las operaciones básicas en la resolución de problemas.

74


SBG

Álgebra I

A).- Operaciones algebraicas. La suma, resta, multiplicación y división son operaciones básicas en el campo de las matemáticas. Cuando alguna o todas las partes de éstas son polinomios, entonces se convierten en operaciones algebraicas. a).- Términos semejantes.

Si a la biblioteca de tu escuela le hacen llegar una caja que contiene libros de todas las asignaturas afines al nivel medio superior, lo que hace la persona responsable es clasificar para colocarlos con su respectiva asignatura, es decir, de acuerdo a su semejanza. En álgebra se les llama términos semejantes a aquellos cuya parte literal es idéntica, sin embargo su signo y su coeficiente puede no serlo.

Ejemplos:

✓ bcabcabca 222

5

2;3; −− son términos semejantes.

✓ abcabccab −− ;4;2 22 no son términos semejantes.

Para reducir términos semejantes es suficiente con sumar o

restar (según el caso) sus coeficientes ya que la parte literal queda igual.

Ejemplos:

✓ 4a3bc2 + 13a3bc2 – 9a3bc2 =

sumando coeficientes 4 + 13 – 9= 8

el resultado es 8a3bc2

✓ 2a + 3b – 5c + 4a - 8b + 4c= 2a + 4a + 3b – 8b – 5c + 4c= (2+4)a + (3-8)b + (4-5)c= 6a – 5b – c

La reducción de términos semejantes es la suma o resta de monomios.

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SBG

Álgebra I

✓ zyxyx3

2

3

132

5

3 3232+−−+

=+

−+

− zyx

3

2

3

123

5

3 32

=+−

+−

zyx3

2

3

16

3

153 32

zyx3

2

3

5

5

12 32++−

Ejercicio 22.

Reduce las siguientes expresiones. 1. 9a2 – 5a2 + 2a2 – 8a2 2. –3b + 5b – 7b – 4b 3. 5a – 3b – 6a + 7b – 4 4. 4ax – 2bx + 5bx – 7ax

5. abba6

5

5

32

3

2−+−

6. 4

3

3

1

3

2

5

4−+− abacab

7. 7

1

8

343

3

2

6

1 22−−+−+ aaaa

8. 7

4

4

33

5

1−+−+ axaxbx

9. 2

48532

222 abbaabba −+−+

10. 4

3

2

3

3

2

4

52222

xyyxxyyx+−+

11. 8542

311−+−+

−−a

bab

12. 2

2

2

496

35

xx

x+−++

−

13. 3123

87432 −−

−+−+ xxxxx

14. 31

3 6

4

1752

xxx −−+−

−

−

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SBG

Álgebra I

b).- Adición y sustracción de polinomios.

Suma o adición.

Sumar dos o más polinomios consiste en colocar uno debajo

del otro atendiendo a sus respectivos términos semejantes para posteriormente poderlos reducir y así obtener el polinomio suma.

Ejemplos:

✓ =−+−+−+ )8745()253( 2222 baababababba

+ 8547

253

22

22

−+−

−+

ababba

ababba

831022

−++ ababba

✓ =

−+

−+

−+

222

5

4

7

25

2

1

3

253 xxxxx

xx

x

xx

7

2

5

4

2

15

3

253

2

2

2

+−

+−

−+

6

1

7

37

5

14 2−+− xx

Si algún término no tiene semejante, se coloca al principio o al final.

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SBG

Álgebra I

Resta o sustracción.

Debido a que el signo de la operación afecta a todo el sustraendo, debemos cambiar término a término los signos y después resolver como su fuera suma. De esta manera es como obtenemos el polinomio diferencia. Ejemplos:

✓ =+−−−+− )635()2453( 2222 mnnmmmnnm

Cambiando los signos del sustraendo:

+635

2453

22

22

−+−

−+−

mnnm

mmnnm

842222

−+−− mmnnm

✓ =

+−+−

lic. arturo montiel rojas gobernador consti directora...

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