libro de ingeco

8/16/2019 Libro de Ingeco

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remuneraciones o pago de deudas a proveedores, entre otros, se representan con unaflecha hacia abajo lo que indica un flujo de caja negativo.

4 El criterio del final del período : debido a que una entrada o salida de efectivo puedeocurrir en cualquier punto dentro de un período de tiempo, la convención asume queocurren al final de cada período.

5 Las entradas y salidas de dinero pueden expresarse en forma bruta (entrada y salida) oen forma neta (entrada-salida).

6 Los diagramas de flujos de caja pueden referirse al punto de vista del prestamista o delprestatario, según las características del problema.

Ejemplo 1Elabore un diagrama de flujo de caja desde el punto de vista de una empresa cuya cuentacorriente muestra los siguientes movimientos:Durante el sexto mes se recibe un ingreso por ventas de S/. 4 500.El pago de mano de obra del segundo mes equivale a S/. 15 500.El pago del alquiler del cuarto mes es S/. 1 700 por mes adelantado.El segundo mes se efectúa una cobranza por S/. 3 500.

Ejemplo 2La entidad A presta al señor B un monto de S/. 1 000 a una tasa de interés de 8% mensualy con plazo de pago a 30 días. Elabore el flujo de caja desde el punto de vista de laentidad A y B.

1.3 INTERÉS

Al vincular los montos presentes y futuros podemos observar de la expresión Fn = P + In quela cantidad In, que es el interés, es el incremento del valor inicial P a lo largo de n períodos yque al final de este se ha transformado en un valor Fn, esto se puede interpretar así, el

interés es la retribución monetaria adicional que se le hace al prestamista del capital porusar su dinero durante un período de tiempo determinado.De la ecuación Fn = P + In es sencillo notar que el interés también es la diferencia entre elcapital final y el capital inicial que lo produjo: In = Fn - P.

Se indicó que el monto inicial P se transforma durante n períodos en un monto Fn, la tasa decambio a lo largo de un período es la tasa de interés que se calcula fácilmente expresandoel importe del interés como un porcentaje del capital inicial:

i% = In / P

i% = (Fn - P) / P

Donde:P: es el capital inicial.In: es el capital final luego de n períodos.i%: es la tasa de interés en el período [0 , n].

En este curso de ingeniería económica se usará los siguientes términos:

• Tasa de costo efectivo (costo financiero): es la tasa de interés cuando se solicita unfinanciamiento y expresa en términos porcentuales el costo del financiamiento.

• Rentabilidad o ganancia: es la tasa de interés cuando se realiza una inversión.


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a. El interés simple

Una operación financiera se pacta a interés simple cuando el interés generado por uncapital en un determinado período se calcula como un porcentaje siempre del mismo capitalinicial al margen de la cantidad de períodos que el capital permanezca prestado o invertido.

En este tipo de interés, como el capital es el mismo para el cálculo del importe del interés encada período, el importe total de los intereses es proporcional a la cantidad de períodos detiempo durante el cual ha estado prestado el capital inicial.

Fórmula para el interés simple:

Para deducir una fórmula que calcule el interés simple, sea un préstamo de S/. 1 000 contasa de interés simple del 4% mensual.

Por concepto de interés simple se calculan los intereses “siempre sobre el capital inicial yproporcional a la cantidad de períodos de tiempo”.

Al final del primer mes, el interés generado por el capital inicial será:

Interés = 1000 * 4% * 1 = 40

Al final del segundo mes, el interés generado por el capital inicial será:

Interés = 1000 * 4% * 2 = 80

Al final del tercer mes, el interés generado por el capital inicial será:

Interés = 1000 * 4% * 3 = 120

Al final del n-ésimo mes, el interés generado por el capital inicial será:Interés = 1000 * 4% * n

Generalizando:In = P*i*n

El capital final obtenido en el período n es la suma del capital inicial más los intereses:Fn = P + In ; pero In = P*i*n, reemplazando tenemos:Fn = P + P*i*n ; luego factorizando P:

Fn = P(1 + i*n)

Donde:P: monto del préstamo, principal, capital inicial, valor monetario hoy (t=0).i%: tasa de interés simple por período.n: cantidad de períodos.

Importante: para aplicar las fórmulas anteriores es necesario respetar la correspondencia detiempo entre las tasas y los períodos de tiempo, así por ejemplo:Si “i” es una tasa mensual, entonces, n es la cantidad de meses.Si “i” es una tasa trimestral, entonces, n es la cantidad de trimestres.Si “i” es una tasa anual, entonces, n es la cantidad de años.

Ejemplo 3

¿Cuál es el interés y el capital final obtenido por S/. 100 prestados durante tres meses conuna tasa de interés simple de 17% mensual?También calcule el interés acumulado en 74 días.


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b. El interés compuesto

Una operación financiera se pacta a interés compuesto cuando el interés generado por uncapital en un período se capitaliza, es decir, se suma al capital inicial del período, formandoun nuevo capital, que será el capital inicial del siguiente período y que en este período

generará un nuevo interés. Este proceso se repite sucesivamente durante cada períodohasta llegar al plazo pactado.

Capitalización:Se denomina capitalización al proceso de transformar el interés calculado en cada períodoen capital al final de cada período de capitalización, en otras palabras:

“El interés generado en un período se suma al capital inicial en dicho período para formar elnuevo capital inicial del siguiente período”

Ejemplo 4¿Cuál es el interés y el capital final obtenido por S/. 100 prestados durante tres meses con

una tasa de interés compuesta de 17% mensual?

De la definición se puede inferir que el interés al final de un determinado período ya no esproporcional a la cantidad de períodos transcurridos, entonces, cómo se calcula este interésen el régimen de interés compuesto.

Fórmula para el interés compuesto:

En general:

0 1 2 3 . . . n

Fn

P

En el primer período [0 , 1]:

F = P + interesesF = P + P*t*i t=1 F1F1 = P(1 + i)

0 1

P


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En el segundo período [1 , 2]:

F = P + intereses

F = Pt=1 + Pt=1*t*i t=1

F2 = Pt=1(1 + i)F2 = P(1 + i) (1 + i)

F2 = P(1 + i)2

0 1 2 1 2

P

F2 F2

Pt=1 = P(1 + i)1

En el tercer período [2 , 3]:

F = P + interesesF = Pt=2 + Pt=2*t*i t=1

F3 = Pt=2(1 + i)

F3 = P(1 + i)2 (1 + i) F3 F3

F3 = P(1 + i)3

0 1 2 3 2 3

PPt=2 = P(1 + i)

2

Al final del n-ésimo período:

Fn = P(1 + i)n

Expresión fundamental

Donde:P: monto del préstamo, principal, capital inicial, valor monetario hoy (t=0).i%: tasa de interés compuesto por período.n: cantidad de períodos.Fn: valor monetario o capital final al final del n-ésimo período.

1.4 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

El concepto de equivalencia en Ingeniería Económica indica que dos montos sonequivalentes si al evaluar esos flujos de caja en una fecha común, todos muestran el mismovalor. Es importante resaltar que el cálculo de dicha valor en esa fecha común debeconsiderar el concepto del valor del dinero en el tiempo. El concepto de equivalenciatambién se entiende como indiferencia entre un pago futuro o una serie de pagos futuros envez de una suma de dinero el día de hoy.


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Así por ejemplo:

Si la tasa de interés es 2% mensual y se deposita un capital inicial de S/. 1 000 durante unmes entonces:Si el monto en F1 es igual a S/. 1020. ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente a

F1 = S/. 1020?Si el monto en F1 es igual a S/. 1030. ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente aF1 = S/. 1030?Si el monto en F1 es igual a S/. 1050. ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente aF1 = S/. 1050?

Para el primer caso:Fn = P(1 + i)

n F1 = 1000(1 + 2%)

1 = S/. 1020Sea la fecha común t=1 vemos que los valores S/. 1 020 ; S/. 1 030 y S/. 1 050 no soniguales, entonces por definición S/. 1 020 es equivalente a S/. 1 000 en t=0 a la tasa de

interés de 2% mensual, pero S/. 1 000 no es equivalente a S/. 1 030 en t=1 ni a S/. 1 050en t=1 a la tasa de interés del 2% mensual.

Ahora usted responda:¿Los S/. 1 000 a qué tasa de interés será equivalente a S/. 1 030 en t=1?¿Los S/. 1 000 a qué tasa de interés será equivalente a S/. 1 050 en t=1?

De los ejemplos anteriores se concluye que el monto de dinero M hoy es equivalente a Mmás intereses, dada cierta tasa de interés en un período de tiempo determinado, es decir,para otros valores de tasa de interés no podemos afirmar que dichos importes seanequivalentes.

En términos prácticos, equivalencia es tener igual valor o comparar en condiciones similaresun monto, esto se aplicará definiendo primero un punto del tiempo (fecha de evaluación) yse trasladará los importes de dinero hasta esa fecha usando una tasa de interés, en otraspalabras:

“Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un mismo punto de tiempo”

Ejemplo 5El día de hoy se otorga un préstamo por un valor de S/. 5 000 a una tasa de interéscompuesta del 15% mensual. Las cuotas a desembolsar por el crédito recibido serán tres.El primer pago se realiza en el primer mes por un valor de S/. 1 000. El segundo pago serealiza el segundo mes y el monto es S/. 2 000.¿Cuál es el valor de la tercera cuota por pagar en el cuarto mes para cancelar el préstamo?

Ejemplo 6Determine el importe de X que usted deberá cobrar en el quinto mes para un préstamoque hizo por un monto de S/. 15 000 si la tasa es 3% compuesta mensual. La primeracuota que se cobrará el primer mes será de S/. 4 800, en el tercer mes S/. 5 100, yS/. 3 000 en el cuarto mes.

El problema lo resolverá de la siguiente manera:

a) De forma detallada usando el concepto de capitalización y sin usar la expresiónfundamental.

b) Utilizando concepto de equivalencia y la expresión fundamental Fn = P(1 + i)n.

c) Compare sus resultados con lo calculado en a) y además interprete económicamente elvalor de X.


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Si ahora la tasa es 2.8% efectiva mensual y con el valor de X antes calculado y las mismascuotas del primer, tercer y cuarto mes se pide lo siguiente:

d) Determine el valor equivalente en t=0 e interprete económicamente sus resultados.e) Calcule el valor equivalente en t=3 y en t=4.

Si ahora la tasa es 3.5% efectiva mensual y con el valor de X antes calculado y las mismascuotas del primer, tercer y cuarto mes se pide lo siguiente:

f) Resuelva nuevamente las preguntas d) y e). Interprete sus resultados.


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CAPÍTULO 2

FACTORES DE EQUIVALENCIA

Los factores de equivalencia que se mostrarán en este capítulo sólo utilizan tasas de interéscompuesto porque sus deducciones usan la expresión fundamental Fn = P(1 + i)

n la cualincorpora en su demostración el concepto de capitalización.

2.1 FACTORES DE PAGO ÚNICO (PAGOS SIMPLES)

2.1.1 Valor presente de un pago simple (P/F)

Fn

0 1 2 3 4 … n-1 n

P = ?i

Donde:P=?: valor presente.Fn: valor futuro.i: tasa de interés compuesta en cada período.n: cantidad de períodos.

Despejando P de la expresión fundamental Fn = P(1 + i)n tenemos la expresión para

calcular el valor presente de un monto único Fn en el futuro:

P =Fn

(1 + i)n

Notación:

(P/F , i , n) =

1

(1 + i)n

(P/F , i , n) es el factor de actualización de un pago único y se lee “P dado F”.

A la operación de calcular el valor presente P a partir de Fn se le denomina “actualizacióndel monto Fn o descuento del monto Fn “.

Luego: P = Fn(P/F , i , n)


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2.1.2 Valor futuro de un pago simple (F/P)

0 1 2 3 4 … n-1 n

Pi

Fn = ?

Donde:P: valor presente.Fn=?: valor futuro.i: tasa de interés compuesta en cada período.

n: cantidad de períodos.

De la expresión fundamental Fn = P(1 + i)n

Notación:

(F/P , i , n) = (1 + i)n

(F/P , i , n) es el factor de capitalización de un pago único y se lee “F dado P”.

A la operación de calcular el valor presente Fn a partir de P se le denomina “capitalizacióndel monto P “.

Luego: Fn = P(F/P , i , n)

2.2 SERIE DE PAGOS UNIFORME (ANUALIDAD)

2.2.1 Valor presente de una serie de pagos uniforme

i

0 1 2 3 4 … n-1 n

Pt=0 = ?

A


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Donde:P=?: valor presente de la serie de pagos uniforme.A: monto constante desembolsado cada período.i: tasa de interés compuesta en cada período.n: cantidad de períodos.

A continuación, se presenta la deducción del factor para calcular el monto “P” en el tiempot=0, dados “n” montos iguales a “A”, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y“n” períodos de tiempo iguales.

El valor presente de cada uno de los montos “A” en t=0:

P = A(P/F , i , 1) + A(P/F , i , 2) + A(P/F , i , 3) + … + A(P/F , i , n-1) + A(P/F , i , n)

A A A A A

(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n-1 (1 + i)n+ …(1)+ … + +P = +

Multiplicando la expresión (1) por (1 + i):

A A A A

(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n-2 (1 + i)n-1…(2)P(1 + i) = A + + + … + +

Luego restando (2) - (1):

A(1 + i)n - A

(1 + i)n

P(1 + i) - P = A -

Pi =

A

(1 + i )n

Finalmente:

P A(1 + i)n - 1

(1 + i)n i=

Notación:

(P/A , i , n) =(1 + i)n - 1

(1 + i )n i

(P/A , i , n) es el factor de actualización de una serie de pagos uniforme y se lee “Pdado A”.

Luego: P = A(P/A , i , n)


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2.2.2 Valor presente de una serie de pagos uniforme infinita

En este caso la serie de pagos uniforme es infinita, es decir, la cantidad de pagos n→ ∞.

i

0 1 2 3 4 … ∞

Pt=0 = ?

A

Para calcular el valor presente de esta serie se calcula el límite de la expresión (P/A , i , n)cuando n→ ∞.

∞

∞;

(1 + i)n - 1

(1 + i)n iP =

lim

n →∞A

Al dividir el numerador y denominador entre (1 + i)n para levantar la indeterminación:

(1 + i)n

1 - 0

iP = A

lim

n →∞

P =lim

n →∞A

1

(1 + i)n (1 + i)n

(1 + i)n i

(1 + i)

n

-

Finalmente:

A

iP =


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2.2.3 Valor futuro de una serie de pagos uniforme

i

0 1 2 3 4 … n-1 n

Fn = ?

A

Sabemos que el valor presente de una serie de pagos uniforme es:

Además:

Fn = P(F/P , i , n) …(1)

P = A(1 + i)n - 1

(1 + i)n i

Reemplazando P en la expresión (1):

(F/P , i , n)(1 + i)n i

Fn = A(1 + i)n - 1

Finalmente:

(1 + i)n

(1 + i)n iFn = A

(1 + i)n - 1

Fn = A(1 + i)

n - 1

i

Notación:

(F/A , i , n) =(1 + i)n - 1

i

(F/A , i , n) es el factor de capitalización de un serie uniforme de pagos y se lee “F dado A”.

Luego: Fn = A(F/A , i , n)


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2.3 SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE LINEAL

Los flujos de efectivo pueden aumentar o disminuir de un período a otro según un montoconstante; a este importe se le denomina la gradiente lineal o aritmética y su flujo de cajase muestra a continuación:

A + GA

… 2GG

0 0 1 2 3 … n-1 n 0 1 2 3 … n-1 n 0 1 2 3 … n-1 n

i i i

… …

A + (n-1)G

Pt=0 = ?A + (n-2)G

A + 2G (n-1)GA

(n-2)G

= +

Serie de pagoscon gradiente lineal

Serie de pagosuniforme

Serie triángulode pagos

Del gráfico se observa que la serie de pagos con gradiente lineal se puede expresar comola suma de un flujo uniforme de pagos y una serie triángulo, asimismo, su valor presente es:

Pt=0 = P t=0 serie de pagos uniforme + P t=0 serie triángulo de pagos

Pt=0 = A(P/A , i , n) + P t=0 serie triángulo de pagos

2.3.1 Valor presente de una serie triángulo de pagos

Pt=0 = ?

2GG

0 0 1 2 3 … n-1 n

i

(n-1)G

(n-2)G

Donde:P=?: valor presente de la serie triángulo de pagos.G: cambio aritmético constante del monto de un período al siguiente.

(También llamada la gradiente lineal o gradiente aritmética).i: tasa de interés compuesta en cada período.n: cantidad de períodos.


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A continuación, se presenta la deducción de la expresión para calcular el monto “P” en eltiempo t=0, dados la gradiente lineal G, una tasa de interés compuesta “i%” en cada períodoy “n” períodos de tiempo iguales.

El valor presente de cada uno de los montos en t=0:

P = + + +G(P/F , i , 2) 2G(P/F , i , 3) 3G(P/F , i , 4) + … + (n-2)G(P/F , i , n-1) (n-1)G(P/F , i , n)

P =G

+2G

+3G

+ … +(n-2)G (n-1)G

…(1)(1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4 (1 + i)n-1 (1 + i)n

+

Multiplicando la expresión (1) por (1 + i):

=G

+(1 + i)1

P(1 + i)2G

+3G

+ … +(1 + i)2 (1 + i)3

(n-2)G+

(n-1)G…(2)

(1 + i)n-2 (1 + i)n-1


++1

G

Pi = G1

(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n-1+ … +

1

-G

+ … +nG

(1 + i)2 (1 + i)n-1 (1 + i)n (1 + i)n

G+Pi =

G+

(1 + i)1

(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n-1++

G-

(n-1)G

(1 + i)n

GP(1 + i) - P

1

(1 + i)n

nG

(1 + i)n-

G+ … +=

G

Observe que la expresión entre corchetes es el factor (P/A , i , n):

Finalmente:

También:

G

iP = (P/A , i , n) - n (P/F , i , n)

-n

(1 + i)n i2 (1 + i)ni

P = G(1 + i)

n - 1

-nG

(1 + i)n i (1 + i)n

Pi = G(1 + i)n - 1

Notación:

(P/G , i , n) =(1 + i)n - 1

-n

(1 + i)n i2 (1 + i)ni

(P/G , i , n) es el factor de actualización de un serie triángulo de pagos y se lee “P dado G”.

Luego: P = G(P/G , i , n)


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2.3.2 Valor presente de una serie de pagos con gradiente lineal

Reemplazando P = G(P/G , i , n) en la expresión:

Pt=0 = A(P/A , i , n) + P t=0 serie triángulo de pagos

Pt=0 = A(P/A , i , n) + G(P/G , i , n)

2.4 SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE GEOMÉTRICA

A menudo los flujos de efectivo aumentan o disminuyen de un período a otro según unporcentaje constante; esta tasa de cambio define la llamada serie de pagos con gradientegeométrica y su flujo de caja se muestra a continuación:

A*(1+g)2

A*(1+g)

A* …

0 0 1 2 3 … n-1 n

i

Pt=0 = ?

A*(1+g)n-2

A*(1+g)n-1

Donde:P=?: valor presente de la serie de pagos con gradiente geométrica.A*: monto inicial en el primer período.g: porcentaje de aumento o disminución de un período al siguiente.i: tasa de interés compuesta en cada período.n: cantidad de períodos.

2.4.1 Valor presente de una serie de pagos con gradiente geométrica

A continuación, se presenta la deducción de la expresión para calcular el monto “P” en eltiempo t=0, dados la gradiente geométrica “g%”, una tasa de interés compuesta “i%” encada período y “n” períodos de tiempo iguales.

El valor presente de cada uno de los montos en t=0:

P = + A*(1 + g)n-2(P/F , i , n-1) +

A*(1 + g)n-2+

A*(1 + g)n-1…(1)

(1 + i)n-1

(1 + i)n

A*(1 + g)1+

A*(1 + g)2+ … +

(1 + i)2

(1 + i)3

P =A*

+

(1 + i)1

A*(P/F , i , 1) A*(1 + g)1(P/F , i , 2) + … + A*(1 + g)n-1(P/F , i , n)


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Multiplicando la expresión (1 + g) / (1 + i):

=A*(1 + g)1

+(1 + i)2

P(1 + g)

(1 + i)

A*(1 + g)2+

A*(1 + g)3+ … +

(1 + i)3 (1 + i)4A*(1 + g)n-1

+A*(1 + g)n

…(2)(1 + i)n (1 + i)n+1


-(1 + g)n

(1 + i) (1 + i)1 (1 + i)n1

P(g - i)= -

A*

A*+

A*(1 + g)n

(1 + i) (1 + i)1 (1 + i)n+1

P(1 + g)- P = -

Finalmente:

(αααα); i ≠≠≠≠ g

(1 + g)n

(1 + i)n

i - g

-P = A*

1

Notación:

; i ≠≠≠≠ g-

(1 + g)n

(1 + i)n

i - g

(P/A* , i , g, n ) =1

(P/A* , i , g , n) es el factor de actualización de un serie de pagos con gradiente geométricay se lee “P dado “g” geométrico”.

Luego: P = A*(P/A* , i , g , n)


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CAPÍTULO 3

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS EFECTIVA

3.1 TASA NOMINAL

Es una tasa de tipo referencial a partir de la cual se definen las tasas de interés efectivasusando períodos de capitalización. La tasa de interés nominal no es la que se usa para elproceso de capitalización de intereses.La proporcionalidad de la tasa nominal in puede efectuarse directamente a través de unaregla de tres simple considerando las siguientes equivalencias de tiempo según el sistemabancario:

1 año = 360 días.1 mes = 30 días.1 mes = (30/7) semanas.

1 mes = 2 quincenas.

Ejemplo 1¿Cuál será la tasa nominal diaria y nominal mensual correspondiente a una tasa nominalanual del 24%?

inominal diaria*360 = inominal anual inominal diaria = 24%/360inominal diaria = 0.066%

inominal mensual*12 = inominal anual inominal mensual = 24%/12inominal mensual = 2%

Ejemplo 2Calcule:

La tasa nominal cuatrimestral a partir de una tasa nominal anual del 24%.La tasa nominal trimestral a partir de una tasa nominal semestral del 12%.La tasa nominal de 22 días a partir de una tasa nominal trimestral del 15%.

3.2 TASA EFECTIVA

Es la tasa de interés que sí considera el proceso de capitalización. A menudo una tasanominal anual capitaliza en períodos de tiempo menores o iguales a un año, estos períodosde tiempo son los períodos de capitalización.

1) in TASA NOMINAL en un período base (con frecuencia el período base es anual)

2) Período de capitalización

in

N

Tasa efectiva en elperíodo de capitalización

ief =:


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Ejemplo 3in = 50% nominal anualCapitalización trimestralP = S/. 100 (capital inicial)¿Cuál es el valor dentro de un año?

F

0 1 2 3

P

12.5% efectiva trimestral

1 año4 trimestres

Ejemplo 4in = 50% nominal anualCapitalización mensual.P = S/. 100 (capital inicial)¿Cuál es el valor dentro de un año?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses

P

F

4.166% efectiva mensual

…1 año

Ejemplo 5in = 30% nominal semestralCapitalización trimestralHallar la tasa efectiva trimestral

Primera forma: Segunda forma:inominal

N30%

2ief = 15% efectiva trimestral

ief =

ief =


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3.2.1 Cálculo de la tasa efectiva anual a partir de la tasa nominal anual

Tasa efectivaF Fen cada período

de capitalización iE efectiva anual

0 1 año 1 año

N

P Períodos de capitalización P

=

in

nominal anual

N

0

F = F(el mismo valor futuro en ambos flujos)

inN

NinN

N

… β- 1iE = 1 +

P 1 + iEP 1 + =

iE: tasa de interés efectiva anual.in: tasa de interés nominal anual.N: cantidad de períodos de capitalización comprendidos en un año.

Ejemplo 6Determine la tasa de interés efectiva anual si la tasa de interés nominal anual es 20% y lacapitalización trimestral.

Importante:La tasa de interés efectiva siempre es mayor o igual a la tasa de interés nominalcomparadas sobre la misma base de tiempo. Verifiquemos esto examinando los ejemplos 3y 4 anteriores (ver página 18).

Cuando el período base es igual al período de capitalización entonces: inominal = iefectiva

Ejemplo 7Determine la tasa de interés efectiva anual si la tasa de interés nominal anual es 50% y lacapitalización anual.


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3.2.2 Cálculo de tasas de interés efectivas con capitalización continua

A medida que el período de capitalización se hace más corto, el valor de N aumenta;cuando N tiende al infinito la capitalización de intereses ocurre en forma continua y en estecaso la expresión β (ver página 19) se transforma en:

- 1iniE = e

Demostración:

Recordemos que:

3.2.3 Cálculo de tasas de interés efectivas

a. Tasas efectivas equivalentes

Son tasas que generan el mismo monto final si se deposita el mismo capital inicial, duranteel mismo período de tiempo.

Ejemplo 8in = 30% nominal anualCapitalización cuatrimestralP = S/. 200 (capital inicial)¿Cuál es el valor futuro en el segundo año?

0 1 2 3 4 5 6 cuatrimestres 0 0 2 años

1 año

P P P

F F

2 años 2 años

i = 10% efectiva i = 77.156% efectiva i = 33.100% efectivacuatrimestral en dos años anual

F


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- 23 -

b. Determinación de una tasa efectiva a partir de otra tasa efectiva

Tasas efectivas equivalentes cuando:

b1. El período requerido es mayor que el período de capitalización

Ejemplo 9Para la tasa nominal anual de 40% capitalizable mensualmente, calcular la tasa efectivaequivalente trimestral, la tasa efectiva equivalente cuatrimestral y la tasa efectivaequivalente anual.

in = 40% nominal anualCapitalización mensual

También:

i = 3.333% efectiva mensual

0 1 2 3 meses 0 3 meses 1 trimestre

F F

i = ? efectiva trimestral

100 100


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- 24 -

b2. El período requerido es menor que el período de capitalización

Ejemplo 10Para la tasa nominal trimestral de 18% capitalizable mensualmente, calcule la tasa efectivaequivalente diaria y la tasa efectiva equivalente quincenal.

in = 18% nominal trimestralCapitalización mensual

También:

i = 6% efectiva mensual

0 1 mes 0 1 2 3 30 días

F…

…

i = ? efectiva diaria

100 100

F


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- 25 -

Ejemplo 11Para la tasa de interés efectiva semestral de 60%, determine la tasa de interés efectivasemanal equivalente, la tasa efectiva para un período de 45 días, la tasa efectiva anualequivalente y la tasa efectiva diaria equivalente.

Ejemplo 12Hallar la tasa de interés efectiva anual, si la tasa nominal es 17% anual y la capitalizacióncontinua.

in=17% nominal anualCapitalización continuaiE = e

in - 1iE = e

0.17 - 1iE = 18.530% efectiva anual

Ejemplo 13Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente, si la tasa nominal es 12% trimestral y lacapitalización continua.

Primera forma: Segunda forma:in=12% nominal trimestralCapitalización continua

iE = ein - 1

iE = e0.12 - 1

iE = 12.749% efectiva trimestralianual = (1 + 12.749%)

4 - 1 = 61.603% efectiva anual

Ejemplo 14

Un banco paga por ahorros una tasa del 18% efectiva anual con capitalización bimestral.¿Cuál es la tasa de interés nominal anual?


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- 26 -

3.3 INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO

En el sistema financiero algunas operaciones se calculan con el interés pagado poradelantado, es decir, el interés se calcula a la fecha de vencimiento pero el pago se exigeno en esa fecha sino en el momento del desembolso del préstamo.

Sea:P = S/. 100 (préstamo)iv = 15% efectiva mensualPlazo = un mes

100

0 1 mes

(intereses)

(devolución)P = 100

I = iv*P = 15

Tasa de costo efectivo = 15% efectiva mensual

Si el prestamista exige que el pago de los intereses sea por adelantado:

Flujo de caja del prestatario:

0 1 mes 0 1 mes

100

15

100

85

100

Tasa de costo efectivo, o costo financiero:85 = 100(P/F , i , 1)i = 17.647% efectiva mensual

Efectos en el prestatario:

1. En t=0 la disponibilidad de dinero en el momento inicial disminuye debido al pagoadelantado de los intereses: (S/. 100 > S/. 85).

2. El costo del préstamo, con el interés pagado por adelantado, aumenta: 17.647% efectivamensual > 15% efectiva mensual. A la tasa del 17.647% se le denomina tasa efectivaadelantada.

A continuación se demostrará una fórmula que a partir de la tasa de interés efectiva alvencimiento permita calcular la tasa de interés efectiva adelantada.


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- 27 -

En general:Sea P el monto prestado con plazo igual a un período y una tasa de interés al vencimientode iv% efectiva en dicho período.

P P

0 0

P P

iv*P

1 1

iv*P

Flujo de caja con interesesal vencimiento:

Flujo de caja con interesesadelantados:

iv: tasa de interésefectiva al vencimiento

iad: tasa de interésefectiva adelantada

En el flujo de caja con intereses adelantados:

Ejemplo 15Qué ocurre si usted pide un préstamo de S/. 100 con las siguientes condiciones:

P = S/. 100 (préstamo) P = S/. 100 (préstamo)iv = 15% efectiva mensual iv = 17.647% efectiva mensualinterés pagado por adelantado interés pagado al vencimientoPlazo = un mes Plazo = un mes

0 1 mes 0 1 mes

100 + 100*17.647% = 117.647

85 100

100

Tasa de costo efectivo:

Como no hay comisión de apertura:

iv = 17.647%efectiva mensualal vencimiento

i= 15%

1 - 15%

efectiva mensualadelantada17.647%iad =


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- 28 -

Conclusión:El préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 15% efectiva mensual e interesespagados por adelantado tiene el mismo costo financiero que un préstamo de P = S/. 100con tasa de interés de 17.647% efectiva mensual con intereses pagados al vencimiento, sinembargo, en este caso la disponibilidad de dinero no disminuye en t=0 como sí ocurre en el

con el interés por adelantado.

Ejemplo 16Qué ocurre si usted pide un préstamo con las siguientes condiciones:

P = S/. 100 (préstamo) P = S/. 85 (préstamo)iv = 15% efectiva mensual iv = 17.647% efectiva mensualinterés pagado por adelantado interés pagado al vencimientoPlazo = un mes Plazo = un mes

0 1 mes 0 1 mes

85 + 85*17.647% = 100

85 85

100

Tasa de costo efectivo:

Como no hay comisión de apertura:i=15%

1 - 15%

efectiva mensualal vencimiento

efectiva mensualadelantada

17.647%iad = 17.647%iv =

Conclusión:En este caso, el préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 15% efectiva mensual alvencimiento y con intereses pagados por adelantado tiene el mismo costo financiero que unpréstamo de P = S/. 85 con tasa de interés de 17.647% efectiva mensual con interesespagados al vencimiento, asimismo, el flujo de caja es similar, sin embargo, en el caso deinterés por adelantado la disponibilidad del dinero disminuye en t=0.

Ejemplo 17

Calcule la tasa mensual y bimestral adelantada si la tasa es 90% nominal anual y lacapitalización cuatrimestral e intereses pagados por adelantado.


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3.3.1 Comparaciones de las tasas de interés efectivas al vencimiento y las tasas deinterés efectivas adelantadas

TASANOMINAL

ANUAL

PERIODODE

CAPITALIZACIÓNN

TASA

ANUALEFECTIVAVENCIDA

TASA

ANUALEFECTIVA

ADELANTADA

40% Anual 1 40% Anual 40.000% 66.667% Anual 66.667%

40% Semestral 2 20% Semestral 44.000% 25.000% Semestral 56.250%

40% Trimestral 4 10% Trimestral 46.410% 11.111% Trimestral 52.416%

40% Bimestral 6 6.667% Bimestral 47.290% 7.143% Bimestral 51.279%

40% Mensual 12 3.333% Mensual 48.213% 3.448% Mensual 50.203%

40% Diaria 12*30 0.111% Diaria 49.149% 0.111% Diaria 49.216%

40% Horaria 24*12*30 0.0046% Horaria 49.181% 0.0046% Horaria 49.184%

40% Por minuto 60*24*360 7.716 x 10-5% Por minuto 49.182% 7.716 x 10-5% Por minuto 49.183%

. . .

. . .

. . .40% Continua 49.182% 49.182%

TASA EFECTIVA

VENCIDA DELPERÍODO DE

CAPITALIZACIÓN

TASA EFECTIVA ADELANTADA

DELPERÍODO DE

CAPITALIZACIÓN

Graficando:iE: tasa anual efectiva al vencimiento y tasa anual efectiva adelantada.

N: cantidad de períodos de capitalización

1 N

ein

-1

in = ief

iE

Tasa anual efectiva adelantada

Tasa anual efectiva al vencimiento


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Del gráfico se obtiene las siguientes conclusiones para quien evalúa el crédito:

1. Si se solicita un crédito con interés pagado al vencimiento, entonces, procurar que elperíodo de capitalización sea lo mayor posible, es decir, que el valor de N sea lo menorposible.

2. Si se solicita un crédito con interés pagado por adelantado al inicio de cada período decapitalización, entonces, procurar que el período de capitalización sea lo menor posible,es decir, que el valor de N sea lo mayor posible.

3. Para un período de capitalización dado, siempre preferir el crédito con interés efectivoal vencimiento en vez del crédito con intereses pagados por adelantado.


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4. CAPÍTULO 4

OPERACIONES DE CRÉDITO

4.1 DEFINICIONES

Monto del préstamo o principal (P).

Amortización (A): pago gradual del préstamo en cada cuota de pago y que se efectúa enuna o más períodos según las condiciones definidas por el prestamista.

Intereses (I): es la ganancia del prestamista en cada período y que es pagada por elprestatario al cancelar la cuota de pago. Esta es la renta periódica del prestamista por eldinero que otorgó en préstamo.

Cuota de pago (C): es el monto total que el prestatario paga cada período. Tiene dos

componentes: amortización e intereses y se calcula así:

Cuota = Amortización + Intereses

La ecuación indica que en cada cuota el prestatario devuelve al prestamista una parte delpréstamo que es la amortización, más el interés que es la ganancia.

Saldo deudor (SD): es la cantidad del préstamo que aún está pendiente de pago en undeterminado período y no incluye los intereses. En un período dado, el monto del saldodeudor más los intereses correspondientes del período es el monto total de la deuda.

Modalidad de pagos: características de las cuotas de pago, tales como periodicidad y

comportamiento de la amortización y las cuotas de pago.Calendario de pagos: en este cronograma, se presenta para cada período de pago, el saldodeudor inicial, amortización, intereses, cuota de pago, saldo deudor final y cualquier otroconcepto desembolsado, tales como, comisión de apertura, portes, seguro dedesgravamen, entre otros.

Flujo de caja del crédito: es el diagrama que resume las obligaciones de pagos delprestatario en el plazo establecido y según la modalidad de pago definida por elprestamista.

Tasa de interés efectiva del préstamo (iP): tasa pactada para el cálculo del importe de losintereses.

Costo financiero, costo del crédito o tasa de costo efectivo (icf): es la tasa de interés efectivaque representa en términos porcentuales el costo del crédito para el prestatario ya queincluye todos los pagos que efectuará. Se obtiene aplicando equivalencia enfrentando elpréstamos y los pagos expresados en un período de tiempo que a menudo es t=0.

Período de gracia: períodos de tiempo en los cuales el prestatario sólo desembolsa el pagode intereses del período sin amortizar parte del principal.


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4.2 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES

En este tipo de crédito la amortización más los intereses suman en cada período unacantidad constante que es la cuota de pago y se cumple que las amortizaciones soncrecientes y los intereses decrecientes.

Ejemplo

Principal:

Plazo: 1 año

Cuotas: bimestrales iguales

Cálculo de la cuota:

P = Cuota(P/A , i , n)

10000 = Cuota(P/A , 5% , 6)

Cuota =

Calendario de pagos:

Período Amortización Intereses CuotaSaldo

deudor final

1 1470.17 500.00 1970.17 8529.83

2 1543.68 426.49 1970.17 6986.14

3 1620.87 349.31 1970.17 5365.27

4 1701.91 268.26 1970.17 3663.36

5 1787.01 183.17 1970.17 1876.36

6 1876.36 93.82 1970.17 0

10000

10000

Saldo

deudor inicial

1970.175

Tasa de interés: 5% efectiva bimestral

3663.36

1876.36

10000

8529.83

6986.14

5365.27

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera:

1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período.

2. Calcule los intereses multiplicando la tasa de interés efectiva del préstamo en el períodode pago por el saldo deudor inicial del período:

Interesesi = iP* Saldo deudor iniciali

3. Calcule la amortización con la siguiente expresión:

Amortización = Cuota - Intereses

4. El saldo deudor final en cada período se calcula así:

Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali - Amortizacióni

5. El saldo deudor inicial en cada período se calcula así:

Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1 Donde:i representa el período


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4.3 CRÉDITO CON AMORTIZACIÓN CONSTANTE (CUOTAS DECRECIENTES)

En esta modalidad el prestatario amortiza la deuda en partes iguales durante los períodosdel plazo pactado y se cumple que los intereses y las cuotas de pago decrecen cadaperíodo según una gradiente lineal.

EjemploPrincipal:Plazo: 1 añoCuotas: bimestrales con amortización constante

Cálculo de la amortización:A = P / nA = 10000 / 6A =



deudor final1 1666.67 500.00 2166.67 8333.332 1666.67 416.67 2083.33 6666.673 1666.67 333.33 2000.00 5000.004 1666.67 250.00 1916.67 3333.335 1666.67 166.67 1833.33 1666.676 1666.67 83.33 1750.00 0

10000

10000

1666.667

Tasa de interés: 5% efectiva bimestral

Saldodeudor inicial

100008333.336666.675000.003333.331666.67


1. Coloque el monto de la amortización, previamente calculado, en cada período.



3. Calcule la cuota con la siguiente expresión:

Cuota = Amortización + Intereses




Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1Donde:i representa el período


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4.4 CRÉDITO CON CUOTAS CRECIENTES (SUMA DE DÍGITOS)

Con esta modalidad de crédito las cuotas de pago crecen conforme transcurre el tiempo y laamortización se calcula con el método de la “suma de dígitos” que a continuación seexpone:

EjemploPrincipal:Plazo: 1 añoCuotas: crecientes bimestrales por suma de dígitos

S = n(n+1)/2Factor de amortización = ft = t / S ; ft


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- 35 -

Calculando la tasa de costo efectivo icf:

1 2 3 4 5 6 bimestres

3000Equivalencia en t=0:10000 = 976.19(P/F , icf , 1) + 1428.57(P/F , icf , 2) + 1857.14(P/F , icf , 3) +

+ 2261.90(P/F , icf , 4) + 2642.86(P/F , icf , 5) + 3000(P/F , icf , 6)

icf = 5% efectiva bimestral

Si hay comisión de apertura de 1%:


3000Equivalencia en t=0:10000 - 100 = 976.19(P/F , icf , 1) + 1428.57(P/F , icf , 2) + 1857.14(P/F , icf , 3) +

+ 2261.90(P/F , icf , 4) + 2642.86(P/F , icf , 5) + 3000(P/F , icf , 6)

icf = 5.267% efectiva bimestral > 5% efectiva bimestral

10000

0

976.19

1428.571857.14 2261.902642.86

10000

1857.14 2261.902642.86

0

100976.19

1428.57


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4.5 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES Y PERÍODOS DE GRACIA

EjemploPrincipal:

Plazo: 6 trimestresCuotas: trimestrales iguales2 trimestres

Cálculo de la cuota:P = Cuota*(P/A , i , n) Cantidad de períodos en los que se amortiza la10000 = Cuota*(P/A , 7% , 4) deudaCuota = 6 - 2 = 4Interes en el período de gracia = 10000*7% = 700Estos intereses son iguales en los períodos de gracia porque en ellos no se amortiza el

principal (amortización igual a cero).Calendario de pagos:


deudor final1 0 700.00 700.00 100002 0 700.00 700.00 100003 2252.28 700.00 2952.28 7747.724 2409.94 542.34 2952.28 5337.785 2578.64 373.64 2952.28 2759.146 2759.14 193.14 2952.28 0

10000

7% efectiva trimestral

10000

Período de gracia:Tasa de interés:

2952.281

Saldo deudor inicial

100001000010000

7747.725337.782759.14


1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período, excepto en losperíodos de gracia.




Cuota = Amortización + InteresesEn los períodos de gracia, la cuota es igual a los intereses porque la amortización escero.




Saldo deudor iniciali = Saldo deudor final

i-1

Donde:i representa el período


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- 37 -

Calculando la tasa de costo efectivo icf:

0 1 2 3 4 5 6 trimestres

Equivalencia en t=0:10000 = 700(P/A , icf , 2) + 2952.28(P/A , icf , 4)(P/F , icf , 2)

icf = 7% efectiva trimestral

Si hay comisión de apertura de 1%:

0 1 2 3 4 5 6 trimestres

Equivalencia en t=0:

10000 -1%*1000 = 700(P/A , icf , 2) + 2952.28(P/A , icf , 4)(P/F , icf , 2)icf = 7.266% efectiva trimestral > 7% efectiva trimestral

100700

2952.28

10000

700

2952.28

10000


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4.6 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES E INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO

EjemploPrincipal:

Plazo:Cuotas: mensuales iguales

intereses pagados por adelantado


C = ( P - iv*P ) * (A/P , iadelantado , n)

Con los datos:

iadelantado = 0.02 / (1 - 0.02)iadelantado =

iv*P = 2%*10000

iv*P =C = (10000 - 200)(A/P , 2.041% , 4)



deudor final

0 200.00 10000

1 2424.76 151.50 2576.26 7575.24

2 2474.24 102.02 2576.26 5101.00

3 2524.74 51.53 2576.26 2576.26

4 2576.26 0 2576.26 0

10000

5101.00

2576.26

Saldodeudor inicial

10000

10000

7575.24

interés pagado por adelantado

2.041% efectiva mensual adelantada

C = 2576.26

200

iadelantado =iv ; iv: tasa de interés al vencimiento

1 - iv

10000

4 meses

Tasa de interés: 2% efectiva mensual

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera:1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período.

2. Coloque un monto igual a cero para los intereses del último período de pago delpréstamo, porque los intereses se pagan en el período anterior ya que la modalidad escon intereses pagados por adelantado.

3. Coloque un monto igual a cero para el saldo deudor final del último período de pago delpréstamo.


Amortización = Cuota - Intereses


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- 39 -


Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali + Amortizacióni


Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali+1

7. Los intereses se calculan con la tasa de interés efectiva del préstamo al vencimiento dela siguiente manera:

Interesesi = iv1*Saldo deudor iniciali+1

Donde:i representa el período

4.7 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES, PERÍODOS DE GRACIA E INTERESESPAGADOS POR ADELANTADO

EjemploPrincipal:Plazo:Cuotas: mensuales iguales



C = ( P - iv*P ) * (A/P , iadelantado , n)

Con los datos:

iadelantado = 0.02 / (1 - 0.02)

iadelantado =iv*P = 2%*10000

iv*P =C = (10000 - 200)(A/P , 2.041% , 5)

7 - 2 = 5

100007 meses

Tasa de interés: 2% efectiva mensual

Cantidad de períodos en los que se amortiza ladeuda

interés pagado por adelantado

2.041% efectiva mensual adelantada

Períodos de gracia: 2 meses

iadelantado =iv

; iv: tasa de interés al vencimiento1 - iv

C = 2081.62

200

1 Es la tasa al vencimiento, si tiene dudas consulte el acápite 3.4.


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- 40 -



deudor final

0 200.00 10000

1 0 200.00 200.00 100002 0 200.00 200.00 10000

3 1920.02 161.60 2081.62 8079.98

4 1959.20 122.42 2081.62 6120.78

5 1999.18 82.43 2081.62 4121.60

6 2039.98 41.63 2081.62 2081.62

7 2081.62 0 2081.62 0

10000

4121.60

2081.62

10000

10000

8079.98

6120.78

Saldodeudor inicial

10000

10000

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera:1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período, excepto en los

períodos de gracia.

2. Coloque un monto igual a cero para los intereses del último período de pago delpréstamo, porque los intereses se pagan en el período anterior ya que la modalidad escon intereses pagados por adelantado.

3. Coloque un monto igual a cero para el saldo deudor final del último período de pago delpréstamo.


Amortización = Cuota - InteresesEn los períodos de gracia, la cuota es igual a los intereses porque la amortización escero.


Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali + Amortizacióni


Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali+1

7. Los intereses se calculan con la tasa de interés efectiva del préstamo al vencimiento dela siguiente manera:

Interesesi = iv*Saldo deudor iniciali+1Donde:i representa el período


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- 41 -

4.8 CAMBIOS EN LAS MODALIDADES DE CRÉDITOS

Los cambios que se presentarán en este acápite son válidos para las modalidades decrédito con cuotas iguales, con amortización constante, cuotas crecientes y créditos conperíodos de gracia vistos anteriormente, y en general, para cualquier otra modalidad de

crédito con intereses al rebatir, excepto, las modalidades de crédito con intereses pagadospor adelantado.

4.8.1 Monto de la deuda en un período dado

Para la modalidad de crédito con cuotas iguales, se desea cancelar la deuda en el cuartobimestre. ¿Cuál es el monto total por desembolsar?

Primera forma: con el flujo de caja y usando el concepto de equivalencia.

Flujo de caja:

Equivalencia t=0:

10000 = 1970.17(P/A , 5% , 3) + X(P/F , 5% , 4)

X = 5633.55

Saldo deudor inicial del bimestre 4 + Intereses del bimestre 4

5365.27 + 268.26 = 5633.55

Segunda forma: con el calendario de pagos.


deudor final

4 1701.91 268.26 1970.17 3663.365365.27

Saldodeudor inicial

Saldo deudor inicial (SDI) + Intereses = 5365.27 + 268.56 = 5633.55

Cuota + Saldo deudor final (SDF) = 1970.17 + 3663.36 = 5633.55


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La deuda no es: 1970.17 + 1970.17 + 1970.17 = 5910.51 > 5633.55

Cuota del Cuota del Cuota delbimestre 4 bimestre 5 bimestre 6

4.8.2 Saldo deudor inicial de un período dado

¿Cómo hallar el SDI en un período dado sin usar el calendario de pagos?

Hallar el SDI del período 4 para la modalidad de crédito con cuotas iguales.

Flujo de caja:

3 3 4 5 6 bimestres

SDI4 1970.17

SDI4 = 1970.17(P/A , 5% , 3)SDI4 = 5365.27

También:

Flujo de caja:

SDI4 = 10000(F/P , 5% , 3) - 1970.17(F/A , 5% , 3)SDI4 = 5365.27

4.8.3 Cambio en la tasa de interés en un período dado

Para la modalidad de crédito con cuotas iguales, si la tasa de interés se incrementa a 7%efectiva bimestral, 35 días después de haber pagado la cuarta cuota.¿Cuál es el valor de la quinta y sexta cuota si también son uniformes?¿Cómo varía el calendario de pagos?¿Cuál es el costo financiero del crédito incluida la variación de la tasa de interés?

0 1 2 3 4 5 635d 25d

5% 7%


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- 43 -

Calculemos los intereses en el quinto bimestre: 4 5

Primera forma:

SDI5 = 3663.36

(3663.36)*(1+5%)(35/60) = 3769.12 ; 3769.12 - 3663.36 = 105.76(3769.12)*(1+7%)(25/60) = 3876.88 ; 3876.88 - 3769.12 = 107.76

Interés del quinto bimestre 213.52

Segunda forma:

Composición de tasas:

i = (1+5%)(35/60)*(1+7%)(25/60) - 1i = 5.828 % efectiva en el quinto bimestre

Interés del quinto bimestre = 5.828%*3663.36Interés del quinto bimestre = 213.52

¿Cuál es el valor de la quinta y sexta cuota si también son uniformes?

Flujo de caja:

0 1 2 3 4 5 6 bimestres

7% efectiva bimestral

10000

1970.17

5% efectiva bimestral

C


10000 = 1970.17(P/A , 5% , 4) + C(P/F , 7% , 25/60)( P/F , 5% , 35/60)(P/F , 5% , 4) ++ C(P/F , 7% , 1)( P/F , 7% , 25/60)( P/F , 5% , 35/60)(P/F , 5% , 4)

C = 2004

¿Cómo varía el calendario de pagos con la tasa modificada?

Calendario de pagos con tasa modificada:

Tasa1-4 = 5.000%Tasa4-5 = 5.828% (1+5%)

(35/60)*(1+7%)(25/60) - 1Tasa

5-6 = 7.000%


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PeríodoSaldo

deudor inicialAmortización Intereses Cuota

Saldodeudor final

1 10000 1470.17 500.00 1970.17 8529.832 8529.83 1543.68 426.49 1970.17 6986.143 6986.14 1620.87 349.31 1970.17 5365.274 5365.27 1701.91 268.26 1970.17 3663.365 3663.36 1790.47 213.52 2004.00 1872.896 1872.89 1872.89 131.10 2004.00 0

10000 ¿Cuál es el costo financiero del crédito incluida la variación de la tasa de interés?

Sea icf el costo financiero por determinar:

Flujo de caja:

0 1 2 3 4 5 6 bimestres

10000

1970.17

2004


10000 = 1970.17(P/A , icf , 4) + 2004.00(P/A , icf , 2)(P/F , icf , 4)i = 5.161% efectiva bimestral ∈ [5% , 7%] > 5% efectiva bimestral

EjemplosCasos 1, 2 (al final de este capítulo).


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4.10 CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA

Así como en los créditos anteriormente vistos en soles la tasa de costo efectivo se expresóen soles, así también en los créditos en dólares dicha tasa debe expresarse en dólares. Engeneral, la tasa de costo efectivo de un crédito en cualquier moneda, debe expresarse en

esa moneda.

El objetivo de este acápite es determinar una tasa de interés efectiva en soles que seaequivalente a la tasa de interés efectiva en dólares -u otra moneda- del crédito pactado.

4.10.1 Tipo de cambio (TC)

El tipo de cambio es el precio de la moneda extranjera en términos de la moneda local.Este índice mide una equivalencia relativa entre dos monedas, la moneda débil y la monedafuerte, por ejemplo, el sol y el dólar respectivamente.

Ejemplo

Cuando nos preguntan ¿cuál es el tipo de cambio del dólar?, respondemos ¿compra oventa?TC = 3.26 venta; significa que para comprar un dólar pagamos 3.26 nuevos soles.TC = 3.24 compra; significa que para vender un dólar nos pagan 3.24 nuevos soles.

4.10.2 Devaluación (ΨΨΨΨ)

En las economías con tipo de cambio variable éste no permanece constante en el tiempo; siel tipo de cambio sube, se genera la llamada devaluación (o depreciación) de la monedadébil respecto de la moneda fuerte. La devaluación se puede interpretar como la pérdida devalor de la moneda débil con respecto a la moneda fuerte. Por ejemplo, si el tipo de cambioes 2.86 S/. / US$ y al día siguiente sube a 2.88 S/. / US$ entonces el sol se devaluó con

respecto al dólar.

La devaluación desde “0” hasta “t” se calcula y expresa en términos porcentuales así:

ΨΨΨΨ0→→→→ t =TCt - TC0

*100%TC0

Hay devaluación si: TCt > TC0

Ejemplo

TC0 = 3.48 S/. / US$ TC1 = 3.50 S/. / US$ TC2 = 3.51 S/. / US$ TC3 = 3.53 S/. / US$

días0 1 2 3

(3.50 - 3.48)*100% (3.51 - 3.50)*100% (3.53 - 3.51)*100%

3.48 3.50 3.51

en un día en un día en un día

0.570% >0

Ψ0→1 = Ψ1→2 = Ψ2→3 =

Ψ0→1 = 0.575% >0 Ψ1→2 = 0.286% >0 Ψ2→3 =

¿Y la devaluación acumulada?

Ψ0→2 =

Ψ0→2 = (1 + 0.575%)*(1 + 0.286%) - 1Ψ0→2 = en dos días

(1 +Ψ0→1)*(1 +Ψ1→2) - 1

0.863%


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Y no es correcto:

Ψ0→3 =Ψ0→3 = (1 + 0.575%)*(1 + 0.286%)*(1 + 0.570%) - 1

Ψ0→3 = en tres días

En general:

Ψ0→ t =¡Similar a una tasa efectiva!

1.438%

Ψ0→2 = 0.575%*0.286%3.48

(1 + Ψ0→1)*(1 + Ψ1→2)*(1 + Ψ2 →3) - 1

(1 + Ψ0→1)*(1 + Ψ1→2)*(1 + Ψ2 →3)*…*(1 + Ψt-1 → t) - 1

Que es lo mismo:

Ψ0→2 =(3.51 - 3.48)*100%

= 0.863%

Apliquemos la devaluación a los tipos de cambio:

TC0 = 3.48 3.48*(1 + 0.575%) = 3.50 = TC1 TC1 = 3.50 3.50*(1 + 0.286%) = 3.51 = TC2 TC2 = 3.51 3.51*(1 + 0.570%) = 3.53 = TC3

En general si Ψ no es constante:

TCt = TCt-1*(1 + ΨΨΨΨ t-1→ t)

Si Ψ es constante:

TC0 = 3.50 S/. / US$ TC1 = 3.514 S/. / US$ TC2 = 3.528 S/. / US$

días

0 1 2(3.514 - 3.50)*100% (3.528 - 3.514)*100%

3.50 3.514

en un día en un día

Ψ0→1 = Ψ1→2 =

Ψ0→1 = 0.400% >0 Ψ1→2 = 0.400% >0

La devaluación es constante e igual a 0.4% por día.

TC1 = TC0*(1 + Ψ0 →1)

TC2 = TC1*(1 + Ψ1 →2)

Entonces:TC2 = TC0*(1 + Ψ0 →1)(1 + Ψ1 →2)

Ψ

TC2 = TC0*(1 + Ψ)*(1 + Ψ)

TC2 = TC0*(1 + Ψ)2

Como Ψ es constante entonces:

Ψ0→1 = Ψ1→2 = luego:

Entonces, en general si laΨ es constante:

TCt = TC0* (1 + ΨΨΨΨ)t


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4.10.3 Conversión de un flujo de caja en dólares a un flujo de caja en soles

Flujo de caja en dólares Flujo de caja en soles(moneda fuerte) (moneda débil)

Caso 1: la devaluaciónΨΨΨΨ no es constante

US$ 1000*3.45=US$ 1000 S/. 3450

0 1 2 3 0 1 2 3meses meses

US$ 200 S/. 694 US$ 500*3.5=

S/. 1750 US$ 700*3.51=

S/. 2457

TC1=3.47 S/. / US$ ; TC2=3.5 S/. / US$ ; TC3=3.51 S/. / US$

TC0=3.45 S/. / US$

US$ 200*3.47=

US$ 500 US$ 700

Ψ0→1≠ Ψ1→2≠ Ψ2→3 ; la devaluación en cada período no es constante.

En el flujo de caja en dólares, equivalencia en t=0:

1000 = 200(P/F , icf , 1) + 500(P/F , icf , 2) + 700(P/F , icf , 3)icf = 15.615% efectiva mensual en dólares

En el flujo de caja en soles, equivalencia en t=0:

3450 = 694(P/F , icf , 1) + 1750(P/F , icf , 2) + 2457(P/F , icf , 3)icf = 16.337% efectiva mensual en soles

De los cálculos anteriores se observa que si bien la tasa de 15.615% efectiva mensual endólares es diferente a la tasa de 16.337% efectiva mensual en soles, estas son tasasequivalentes pero expresadas en diferente moneda.


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Si la devaluaciónΨ no es constante aplicar la metodología siguiente:

1. Transformar los montos en US$ a S/. (moneda fuerte a moneda débil) con el tipo decambio S/. / US$ en cada período.

2. Con el concepto de equivalencia, calcule la tasa de interés efectiva para el flujo de cajaen dólares (moneda fuerte) y para el flujo de caja en soles (moneda débil).3. Las tasas de interés efectivas obtenidas son equivalentes.

Caso 2: la devaluaciónΨΨΨΨ es constante

TC0=3.45 S/. / US$ US$ 1000*3.45=US$ 1000 S/. 3450

0 1 2 3 0 1 2 3meses meses

US$ 200 S/. 703.8

US$ 500*3.59=S/. 1795

US$ 700*3.662= S/. 2562.7

TC1=3.519 S/. / US$ ; TC2=3.59 S/. / US$ ; TC3=3.662 S/. / US$

US$ 200*3.519=

US$ 500 US$ 700

Ψ0→1=2% = Ψ1→2=2% = Ψ2→3=2%; la devaluación en cada período es constante.

En el flujo de caja en dólares, equivalencia en t=0:

1000 = 200(P/F , icf , 1) + 500(P/F , icf , 2) + 700(P/F , icf , 3)icf = 15.615% efectiva mensual en dólares

En el flujo de caja en soles, equivalencia en t=0:

3450 = 703.80(P/F , icf , 1) + 1794.50(P/F , icf , 2) + 2562.7(P/F , icf , 3)icf = 17.927% efectiva mensual en soles

En este caso cuando la devaluación es constante, se puede simplificar este procedimientoaplicando la siguiente ecuación:

iS/. = (1 + iUS$)*(1 + ΨΨΨΨS/. / US$) - 1

iS/. = (1 + 15.615%)*(1 + 2%) - 1iS/. = 17.927% efectiva mensual en soles. ¡Se obtiene el mismo resultado!

De los cálculos anteriores se observa que si bien la tasa de 15.615% efectiva mensual endólares es diferente a la tasa de 17.927% efectiva mensual en soles, estas son tasas

equivalentes pero expresadas en diferente moneda.


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4.11 FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE BONOS

Los bonos son títulos valores puesta a la venta por empresas, bancos o el Estado paracaptar efectivo y representan una obligación de pago de largo plazo de intereses periódicosy una redención del capital de parte del emisor.

4.11.1 Flujo de caja del emisor de bonos

Flujo de caja para el emisor de los bonos:

PC (el precio de colocación lo recibe la empresa emisora, del adquiriente delbono)

0 1 2 3 n

= BGE …

emisora El valor de redención lopaga la empresa emisora,

al adquiriente del bono

R = VNGastos de emisión Los intereses los paga la empresaque paga la empresa emisora, al adquiriente del bono

PC: precio de colocación, precio de compra del adquiriente del bono o inversionista.GE: gastos de emisión.iB: tasa de interés del bono, también llamada tasa cupón.I: importe de los intereses del bono.VN: valor nominal del bono.R: valor de redención.n: vida del bono.1,2,3,… fechas de pago de los intereses del bono (cupones).

Aplicando equivalencia (t=0) para determinar el costo financiero de la empresa emisora delos bonos.

PC - GE = iB*VN(P/A , i

cf , n) + R(P/F , i

cf , n)

De la expresión anterior se obtiene icf que es el costo financiero para la empresa emisorade los bonos, y es costo porque la empresa está obteniendo dinero a través definanciamiento por emisión de bonos.


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4.11.2 Flujo de caja de para el adquiriente de bonos

El adquiriente del bono invierte su dinero al comprarlo con la expectativa de obtenerganancias.

Flujo de caja para el adquiriente del bono o inversionista:

0 1 2 3 n

PC (paga el adquiriente del bono al emisor)

I = iB*VN

R = VNel adquiriente del bono, del emisor

El valor de redenciónque recibe el adquiriente

Los intereses que recibe del bono, del emisor

Aplicando equivalencia (t=0) para determinar la rentabilidad del adquiriente del bono:

PC = iB*VN(P/A , iR , n) + R(P/F , iR , n)

De expresión anterior se obtiene iR que es la rentabilidad del adquiriente del bono oinversionista.

EjemploCaso 4 (al final de este capítulo).


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CASO 1: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIACIÓN DE DEUDA

La empresa “Friedman S.A.” necesita para el pago del desaduanaje de su mercaderíaimportada S/. 30 975, por esta razón solicitó al Banco Economist un préstamo en soles conlas siguientes características:

Tasa de interés del préstamo : 30% nominal anual, con capitalización bimestralPlazo : 5 bimestresModalidad de pago : cuotas bimestrales con amortización constanteRetención : 10% del principal, que remunera al 5% efectiva anualComisión de apertura : 1.5%

Se pide:

a) Determine el monto del préstamo que solicitó Friedman S.A.

b) Elabore el calendario de pagos, grafique el flujo de caja del préstamo y determine la tasa

de costo efectivo (costo financiero) del préstamo.

Por no tener liquidez suficiente, la cuarta cuota no se cancela en la fecha acordada.Después de 10 días de vencida esta cuota se solicita la refinanciación del préstamo, elBanco Economist acepta la solicitud y establece las siguientes condiciones:

Pago de los intereses compensatorios acumulados a la fecha de refinanciación.Pago de intereses moratorios a una tasa de 2.0% efectiva mensual en soles.La empresa puede solicitar la devolución de la retención, pero perderá los interesesacumulados a la fecha.

La refinanciación será mediante una línea de crédito en soles con las siguientes

características:Comisión de refinanciación : 2.5%Nuevo plazo : 6 mesesTasa de interés : 3.5% efectiva mensualModalidad de pago : cuotas mensuales constantes

Friedman dispone de S/. 2 000 para cumplir con estas condiciones y para amortizar lomáximo posible del saldo deudor.

c) Determine los conceptos y montos que se desembolsarán al momento de solicitar larefinanciación.

d) Elabore el flujo de caja de la refinanciación y determine su costo financiero. Comparecon el costo financiero del préstamo original y comente.

Ahora asuma que después de 20 días de la cancelación de la tercera cuota, la tasa deinterés del préstamo se incrementa a 36% nominal anual en soles, con capitalizaciónbimestral.

e) ¿Cómo cambia el calendario de pagos para las cuotas que faltan desembolsar, si laamortización sigue siendo constante?


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SOLUCIÓN CASO 1: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIACIÓN DE DEUDA

a)

Monto del préstamo que solicitó Friedman S.A. = MM - 10%M - 1.5%M = 30975M = S/.

b)

Tasa de interés efectiva del préstamo:

Retención =


Amortización Intereses Cuota OtrosSaldo

deudor final0 40251 7000 1750 8750 28000

2 7000 1400 8400 210003 7000 1050 8050 140004 7000 700 7700 70005 7000 350 7350 3645.24 0

Flujo de caja de Friedman S.A.:

3645.24


Retención =Comisiónde apertura =

1750

G = + 350Equivalencia en t=0:35000 - 3500 - 525 = (7000 + 1750)(P/A , icf , 5 ) - 350(P/G , icf , 5) - 3645.24(P/F , icf , 5)

icf = 6.501 % efectiva bimestral en soles > 5% efectiva bimestral en soles

Intereses

3500Amortización = 7000

525

140007000

35000

35000

2800021000

S/. 3500Comisión de apertura = 1.5%*35000 (siempre como porcentaje del monto del préstamo)

Período(bimestres)

Saldodeudor inicial

Comisión de apertura = S/. 525

ief =30%

6ief = 5% efectiva bimestral

35000

ief =inN


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c)

Si no ha cancelado la cuarta cuota, significa que la última que pagó fue la tercera cuota,entonces lo que se debe de la deuda original de S/. 35 000 es el SDF3.

Del calendario de pagos:SDF3

Intereses acumulados (intereses compensatorios) = (14000)*((1 + 5%)(70/60) - 1)Intereses acumulados (intereses compensatorios) = S/. 820.02

Intereses moratorios = (14000)*((1 + 2%)(10/30) - 1)Intereses moratorios = S/. 92.72

Amortización = S/. A

Comisión de refinanciación = 2.5%*(14000 - A)

Total pagos = Total de efectivo disponible820.02 + 92.72 + A + 2.5%*(14000 - A) = 2000 + 3500

Los conceptos y montos que se desembolsarán en la fecha de la refinanciación son:

Concepto

Intereses acumulados (intereses compensatorios) =Intereses moratorios =Amortización A =Comisión de refinanciación 2.5%*(14000 - A) =Total

d)

Saldo deudor a refinanciar = 14000 - ASaldo deudor a refinanciar = 14000 - 4345.91

Saldo deudor a refinanciar

Refinanciación con cuota de pago constante.

Equivalencia en t=0 y usamos la tasa de interés del préstamo:9654.09 = C(P/A , 3.5% , 6)

S/. 241.35S/. 5500

C = S/. 1811.77

= S/. 9654.09

Monto

S/. 820.02S/. 92.72

S/. 4345.91

A = S/. 4345.91 Esta es la amortización máxima posible porque se usa el total disponiblepara pagar.

= S/. 14000


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Flujo de caja de la refinanciación:

0 1 2 3 4 5 6 meses


9654.09 - 241.35 = 1811.77(P/A , icf , 6)icf = 4.276 % efectiva mensual en soles > 3.5% efectiva mensual en soles

icf = 8.735 % efectiva bimestral en soles > 6.501% efectiva bimestral en soles¡El costo financiero de la refinanciación es más costoso que el crédito original!

Comisión derefinanciación = 241.35

1811.77

9654.09


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CASO 2: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIACIÓN DE DEUDA

Para financiar la importación de sus productos por un monto de S/. 45 000 la empresaDYNAMIX solicitó un préstamo al Banco Comercial el cual lo devolverá en 10 cuotasmensuales que aumentan con gradiente lineal de S/. 100 cada dos meses, durante el

bimestre las cuotas mensuales serán uniformes. Para la apertura del crédito, el bancocobra una comisión administrativa del 2% por la evaluación crediticia y de riesgo efectuadaa DYNAMIX y por seguridad una retención del 8% remunerada al 5% efectiva anual.

Si el costo financiero de este crédito es 26.520% nominal anual con capitalización mensual,se pide:

a) Determine el monto del préstamo que DYNAMIX solicitó.

b) ¿Cuál es el importe de cada cuota? Plantee el flujo de caja del préstamo.

c) ¿Cuál es el valor de la tasa de interés del préstamo?

d) Elabore el calendario de pagos para este préstamo.

Por no tener liquidez suficiente, las cuotas 7 y 8 no se cancelan en la fecha acordada.Después de 15 días de vencida la octava cuota, se solicita la refinanciación del préstamo.

El Banco Comercial acepta la refinanciación y exige las siguientes condiciones:

Devolución de la retención a DYNAMIX, con los intereses capitalizados a la fecha de larefinanciación.Comisión de refinanciación : 2.5%Nuevo plazo : 6 meses

Modalidad de pago : amortización constantePeríodos de gracia : 2 mesesTasa de interés : 36% nominal anual, con capitalización mensual

DYNAMIX dispone de S/. 5 000 para cumplir con estas condiciones y para amortizar lomáximo posible del saldo deudor. Determinar sin consultar el calendario de pagos, losconceptos y montos que se desembolsarán al momento de solicitar la refinanciación.

e) Elabore el calendario de pagos para la refinanciación.

f) ¿Cuál es el costo financiero de la refinanciación?

g) Plantee el flujo de caja de toda la operación.


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Sobre este flujo de caja planteamos equivalencia y lo evaluamos con el costo financieroincluyendo la comisión administrativa, la retención y la retención remunerada en t=10.


50000 - 2%*50000 - 8%*50000 - C(P/A , 2.210% , 2) = (C + 100)(P/A , 2.210% , 2)(P/A , 4.469% , 4) + + 100(P/A , 2.210% , 2)(P/G , 4.469% , 4) - 4000*(1 + 5%)(10/12)(P/F, 2.210% , 10)

Cuota 1 =Cuota 2 =Cuota 3 =Cuota 4 =

Flujo de caja del préstamo:

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5350.46

5650.46c)

Tasa del préstamo:Para determinar la tasa de interés del préstamo no se considera la comisión administrativa, lala retención al inicio ni la retención remunerada en t=10.

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5250.46

5550.46

Cuota 10 = S/. 5650.46

S/. 5250.46 Cuota 5 = S/. 5450.46Cuota 6 = S/. 5450.46Cuota 7 = S/. 5550.46

S/. 5350.46S/. 5350.46S/. 5250.46

Cuota 8 = S/. 5550.46Cuota 9 = S/. 5650.46

5350.46

5450.46

50000

1meses

5250.46

4000

5250.46

5450.465550.46

1meses

1000

50000 4165.985

C = S/. 5250.46


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Equivalencia en t=0 para calcular la tasa de interés del préstamo:50000 - 5250.46(P/A , imensual , 2) = (5250.46 + 100)(P/A , imensual , 2)(P/A , ibimestral , 4) +

+ 100(P/A , imensual , 2)(P/G , ibimestral , 4)

ibimestral

= (1 + imensual

)2 - 1

Resolviendo:imensual = efectiva mensual

ibimestral = efectiva bimestral

d)


Período Amortización Intereses Cuota OtrosSaldo

deudor final

5000 500004461.35 789.11 5250.46 45538.654531.76 718.70 5250.46 41006.884703.28 647.18 5350.46 36303.604777.51 572.95 5350.46 31526.094952.91 497.55 5450.46 26573.185031.08 419.38 5450.46 21542.105210.48 339.98 5550.46 16331.625292.71 257.75 5550.46 11038.915476.24 174.22 5650.46 5562.67

5562.67 87.79 5650.46 4165.99 0

Podemos calcular el SDF6 usando el flujo de caja y equivalencia:

SDF6: saldo deudor al final del mes 6 o saldo deudor inicial del mes 7.

6 6 7 8 9 10SDF6 meses

5550.46

SDF6 = 5550.46(P/A , 1.578% , 2) + 5650.46(P/A , 1.578% , 2)(P/F , 1.578% , 2)

SDF6 =

Observaciones:1. Para calcular el SDF6 no se incluyó en el flujo de caja la devolución de la retención en t=10; observe el

desarrollo de la pregunta c) donde se usó la tasa de interés del préstamo para calcular la cuota sin incluir, la

comisión administrativa, la retención ni la retención remunerada.

S/. 21542.10

10 5562.67

5650.46¡tasa de interés del préstamo,

no el costo financiero!

8 16331.629 11038.91

6 26573.187 21542.10

4 36303.605 31526.09

2 45538.653 41006.88

500001 50000

1.578%tasa de interés del préstamo, no es el costo financiero

3.181%

Saldodeudor inicial


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2. Recuerde que los intereses son calculados con la tasa de interés del préstamo=1.578% efectiva mensual

y no con la tasa costo financiero=2.210% efectiva mensual, por esto, en la expresión de equivalencia anteriorpara calcular SDF6 se usó la tasa de interés del préstamo en las expresiones de equivalencia P/A y P/F.

Intereses acumulados = (21542.10)*(1 + 1.578%)(75/30) - 1)Intereses acumulados = S/. 860.04

Observaciones:1. Los intereses se calculan sobre el SDF6 porque esto es lo que se debe de los S/. 50 000 del préstamo

original.

2. Son 75 días porque la útlima cuota que se pagó fue la sexta ya que la séptima y octava no se pagaron y 15

días después de vencida la octava cuota se solicita el refinanciamiento. Recuerde que la cuota es mensual.

Amortización = AObservaciones:1. La amortización A indica que se pagará una parte del SDF 6 que aún se debe de los S/. 50 000 del préstamo

original.

Saldo deudor a refinanciar = 21542.10 - AObservaciones:1. Este es el saldo que aún quedará pendiente de pago de los S/. 50 000 del préstamo original, por tanto, es

lo que se refinancia.

Comisión de refinanciación = 2.5%*(21542.10 - A)Observaciones:1. La comisión de refinanciación, se aplica al monto a refinanciar.

Devolución de la retención = 4000*(1 + 5%)(255/360)

Devolución de la retención = S/. 4140.66

Total pagos = Total de efectivo disponible860.04 + A + 2.5%*(21542.10 - A) = 5000 + 4140.66

Saldo deudor a refinanciar = 21542.10 - A = S/. 17848.34Tasa de interés de la refinanciación = 36% / 12 = 3% efectiva mensual

Finalmente los conceptos y montos que se desembolsarán en el momento de la refinanciaciónson:

Intereses acumulados (intereses compensatorios) =

Nota:No se está pagando el total del saldo deudor a refinanciar sino una parte que corresponde a la

amortización A = S/. 7940.58.

Total S/. 9140.66

S/. 860.04Amortización A = S/. 7940.59Comisión de refinanciación = 2.5%*(21542.10 - A) S/. 340.04

¡tasa de interés del préstamo,no el costo financiero!

A = S/. 7940.59

Concepto Monto


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e)

Intereses del período de gracia = (3%)*(13601.52) = S/. 408.05

Calendario de pagos de la refinanciación:

Amortización Intereses Cuota OtrosSaldo

deudor final0 340.04 13601.511 408.05 408.05 13601.512 408.05 408.05 13601.513 3400.38 408.05 3808.42 10201.144 3400.38 306.03 3706.41 6800.765 3400.38 204.02 3604.40 3400.386 3400.38 102.01 3502.39 0

f)

Costo financiero de la refinanciación:

0 1 2 3 4 5 6 meses

408.05G= 102.01

Equivalencia en t=0:13601.52 - 340.04 = 408.05(P/A , icf , 2) + (3400.38 + 408.05)(P/A , icf , 4)(P/F , icf , 2) +

- 102.01(P/G , icf , 4)(P/F , icf , 2)

icf =

g)

Flujo de caja de toda la operación:

6800.763400.38

13601.51

340.04

13601.5113601.5113601.5110201.14

Saldodeudor inicial

13601.51

Período

3808.42

3.615% efectiva mensual


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CASO 3: CRÉDITO COMERCIAL - CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA

La empresa Friedman S.A. está interesada en adquirir un equipo para mejorar laproductividad de sus líneas de producción para lo cual dispone de la siguiente informaciónde dos casas comerciales:

Los Ingenieros Comercial Inglesa

Precio de lista S/. 80 000 US$ 24 850

Precio al contado 12% descuento del precio delista10% descuento del precio de

listaCuota inicial S/. 7 500 US$ 1 810Pagos Trimestrales BimestralesNúmero de pagos 8 12Interés Flat 5% 3.5%

Además es posible acceder al financiamiento de las siguientes entidades crediticias:

LÍNEA 1: crédito en nuevos soles

Monto máximo : S/. 60 000Tasa de interés : 33.252% nominal anual, capitalización mensualPlazo : dos añosModalidad de pago : cuotas mensuales (suma de dígitos)


LÍNEA 2: crédito en dólares

Monto máximo : US$ 18 000

Tasa de interés : 3.5% efectiva bimestralPlazo : dos añosPeríodos de gracia : 2 bimestresModalidad de pago : cuotas bimestrales, amortización constante

intereses pagados por adelantadoComisión de apertura: 1.5%

Se pide:

a) Determinar el costo financiero anual en soles de cada una de las fuentes definanciamiento.

b) ¿Cómo se debe financiar la compra del equipo de producción? La empresa dispone deefectivo para cubrir la cuota inicial.

Información adicionalTipo de cambio el día de hoy : 1 dólar = 3.2 solesTipo de cambio esperado dentro de un mes : 1 dólar = 3.216 solesSe estima que la devaluación mensual será aproximadamente constante en los próximosdos años.


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SOLUCIÓN CASO 3: CRÉDITO COMERCIAL - CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA

Determinación del precio de mercado o precio al contado mínimo:Los Ingenieros: 80000*(1 - 12%) =

24850*(1 - 10%) =22365 US$*3.20 S/./US$ = S/. 71568PC min = {S/. 70400 , S/. 71568 } = S/. 70400 US$ 22000

Los Ingenieros

Cuota inicial S/.= 7500

C =

Flujo de caja:


70400 - 7500 = 12687.50(P/A , icf , 8)

icf = efectiva trimestral en S/. (costo financiero de Los Ingenieros)

icf = efectiva anual en S/. (costo financiero de Los Ingenieros)

Comercial Inglesa

Cuota inicial US$= 1810

C = US$ 2726.40

C =(24850 - 1810)*(1 + 3.5%*12)

12

S/. 12687.50

12.058%

57.677%

C = D*(1 + iFLAT*n)

n

C =D*(1 + iFLAT*n)

n

C =

(80000 - 7500)*(1 + 5.0%*8)

8

S/. 70400

Comercial US$ 22365


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Flujo de caja:

Equivalencia en t=0:22000 - 1810 = 2726.40(P/A , icf , 12)

icf = efectiva bimestral en US$ (costo financiero Comercial Inglesa)

icf = efectiva mensual en US$ (costo financiero Comercial Inglesa)

iS/ . = ( 1+ iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1iS/ . = ( 1 + 4.086%)*(1 + 0.5%) - 1iS/ . = efectiva mensual en S/. (costo financiero Comercial Inglesa)

iS/ . = efectiva anual en S/. (costo financiero Comercial Inglesa)

Línea 1: crédito en nuevos soles

Como no hay comisiones de apertura ni otros, entonces, la tasa de costo efectivo esigual a la tasa del préstamo.

Tasa del préstamo = 33.252% nominal anual.Calculemos la tasa efectiva mensual:

ief = efectiva mensual

iad = efectiva mensual adelantada en nuevos soles (costo financiero de la Línea 1)icf = efectiva anual en soles (costo financiero de la Línea 1)

8.339%

4.086%

4.606%

71.672%

ief =inN

ief =33.252%

12

2.771%

iad =2.771%

(1 - 2.771%)

2.850%

40.104%


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Línea 2: crédito en dólares

Flujo de caja al vencimiento: Luego adelantamos los intereses:

M M

0 1 2 3 4 5 6 … 12 0 1 2 3 4 5 6 … 12

…. ….

M*iP M*iP*9/10G = M*iP /10

1.5%*M es la comisión de aperturaiP = 3.5%, es la tasa de interés del préstamo al vencimiento

Equivalencia en t=0 en el flujo de caja con intereses adelantados:M - 3.5%M -1.5%M = M*3.5%(P/A , icf , 2) + [ (M/10 + M*3.5%*9/10)(P/A , icf , 10)

- (M*3.5%/10)(P/G , icf , 10) ](P/F , icf , 2)

icf = efectiva bimestral en US$ (costo financiero de la Línea 2)icf = efectiva mensual en US$ (costo financiero de la Línea 2)

iS/ . = ( 1+ iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1

iS/ . = ( 1 + 1.919%)*(1 + 0.5%) - 1iS/ . = efectiva mensual en S/. (costo financiero Línea 2)

iS/ . = efectiva anual en S/. (costo financiero Línea 2)

Friedman dispone de S/. 7500 (monto suficiente para cubrir cuota inicial) US$ 2344Por cubrir con las líneas de crédito bancarias porque son de menor costo financiero:(PCmínimo = US$ 22000) - US$ 2344 = US$ 19656

Línea 2: crédito en dólares es la alternativa de menor costo financiero.Pedir prestado a la Línea 2 US$ 18000 US$ 18000*3.20 S/. / US$ = S/. 57600Recibimos de la Línea 2:

US$ 18000 - 3.5%*18000 - 1.5%*18000 = US$ 17100 < US$ 19656Como nos falta US$ 2556 = US$ 19656 - US$ 17100Pedir prestado a la Línea 1, una cantidad P en nuevos soles tal que:P - 2.771%*P = S/. 8180 US$ 2556*3.2 S/. / US$ = S/. 8180P=P=

En resumen:Pedir prestado a la Línea 2 US$ 18000, de los cuales se recibe US$ 17100 S/.54720.Pedir prestado a la Línea 1 S/. 8413, de los cuales se recibe S/. 8180.

Con el dinero prestado de las Líneas 1 y 2, comprar al contado en la casa comercialLos Ingenieros porque tiene el precio contado mínimo igual a US$ 22000.

A = M /101.5%*M

A = M /10M*iP

M*iP 1.5%*M M*iP

G = M*iP /10

3.874%

1.919%

2.428%

33.364%

S/. 8413.13S/. 8413


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CASO 4: FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE BONOS

La compañía CPLEX necesita incrementar su capacidad de producción para lo cual debeadquirir máquinas cuyo costo es US$ 500 000 las que financiará a través de emisión debonos con las siguientes características:

Valor nominal : US$ 2 000Tasa de interés : 10% efectiva cuatrimestralVida del bono : 3 añosPeríodo de pago : cuatrimestralGastos de emisión : 0.8%

El área financiera de la empresa ha determinado que la mejor alternativa de inversión en elmercado de valores tiene una rentabilidad promedio de 35% efectiva anual.

a) Determine el precio de colocación máximo que podrán tener los bonos emitidos porCPLEX.

b) Determine la cantidad de bonos necesarios que deberá emitir la compañía y el montoque obtendrá por la venta de estos bonos.

c) ¿Cuál es el costo financiero de esta fuente de financiamiento?

d) Al final del segundo año la empresa desea recuperar el 75% de los bonos emitidos. Sidesea mantener el costo financiero del financiamiento, ¿estarán los inversionistasdispuestos a vender sus bonos?


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SOLUCIÓN CASO 4: FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE BONOS

a)

i= 35% efectiva anual

i= (1+35%)(1/3)

- 1

efectiva cuatrimestral

Flujo de caja del inversionista:

0 1 2 3

PC: precio de colocación

Para hallar el precio de colocación máximo, descontamos los montos al 10.521% efectiva

cuatrimestral, ya que es la rentabilidad promedio de otros instrumentos de inversión en el

en el mercado de valores (costo de oportunidad del inversionista).


PCmáximo = 200(P/A , 10.521% , 9) + 2000(P/F , 10.521% , 9)

PCmáximo = US$ 1941.21

PC US$ iR = irentabilidad ; PC = 200*(P/A , iR ,9) + 2000*(P/A , iR , 9)

1500

1600

1800

1900

20002200

3 años

PC

¿Por qué se obtiene el precio de colocación máximo con la la tasa del 10.521% efectiva

cuatrimestral?

10%*2000 = US$ 200

…

4 9 cuatrimestres

adquirir máquinas.

i= 10.521 %

US$ 2000

y adquiere bonos

emitidos por CPLEX.

bonos

CPLEX(emisor)

Inversionista

(adquiriente

del bono)S/.

Necesita dinero para Invierte su dinero


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b)

N: cantidad de bonos1941.214*N - 0.8%*2000*N = 500000

N = 259.7 260 bonos a emitir

c)

Flujo de caja para el emisor: CPLEX

3 años

0 1 2 3 4 … 9 cuatrimestres

0.8%*260*2000 =

260*2000 =520000

Equivalencia en t=0:504715.64 - 4160 = 52000(P/A , icf , 9) + 520000(P/F , icf , 9)

icf= 10.660% efectiva cuatrimestral > 10% efectiva cuatrimestralCosto financiero de CPLEX por el financiamiento con emisión de bonos.

d)

Flujo de caja para el emisor: CPLEX

6 7 8 9 cuatrimestres

P 75%*52000 =39000 75%*520000 =

Equivalencia en t=segundo año:P = 39000(P/A , 10.666% , 3) + 390000(P/F , 10.666% , 3)P = US$ 383113.95

Punitario = US$ 1964.69

Punitario =383113.9575%*260

6 cuatrimestre(segundo año)

390000

504715.64

416010%*260*2000 =

52000

260*1941.214 =


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Flujo de caja del inversionista:Pt=6

US$ 200

0 1 2 3 4 5 6 cuatrimestres

US$ 1941.21

Equivalencia en t=0:1941.21 = 200(P/A , 10.521% , 6) + Pt=6(P/F , 10.521% , 6)

Pt=6

= US$ 1974.3 > US$ 1964.6⇒ Los inversionistas no estarán dispuestos a vender sus bonos.


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CAPÍTULO 5

INFLACIÓN

5.1 DEFINICIONES

5.1.1 Índice de Precios al Consumidor (IPC)

Según el Instituto Nacional de Estadística e Informática

libro de ingeco

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