Temperatura: Termometría y dilatacióna

Lic. Carlos E. Joo García – FÍSICA APLICADA

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Termometría y Dilatación

Las juntas de dilatación permiten que el puente se dilate o se contraiga sin generarse tensiones cuando la temperatura varía

Es común usar indistintamente los términos: temperatura y calor, en el habla cotidiana. En física, en cambio, los dos términos tienen significado muy distinto. Definiremos la temperatura en términos de su medición y veremos como los cambios de temperatura afectan las dimensiones de los objetos. Estudiaremos como el calor se refiere a la transferencia de energía causada por las diferencia s de temperatura, y aprenderemos a calcular y a controlar tales diferencias de temperatura.

En este capitulo nos ocuparemos de los conceptos de temperatura y calor; en relación con los objetos macroscópicos (cilindros de gas, cubitos de hielo, el cuerpo humano, etc.). En el siguiente capitulo veremos estos mismos conceptos desde una perspectiva microscópica, en términos del comportamiento de los átomos y las moléculas individuales. Ambas unidades establecen las bases para el tema de la termodinámica.

“Actualmente no conocemos ninguna- cantidad mecánica pura – es decir, que pueda expresarse sólo en términos de masa, longitud y tiempo – que pueda usarse, aunque sea incómoda, en vez de la temperatura. Nos inclinamos a sacar la conclusión de que probablemente la temperatura, en si misma, es un concepto básico”. A.G. Worthing (1940)

1. Nociones generales de Temperatura

La temperatura es una propiedad física que se refiere a las nociones comunes de calor o ausencia de calor, sin embargo su significado formal en termodinámica es más complejo, a menudo el calor o el frío percibido por las personas tiene más que ver con la sensación térmica (ver más abajo), que con la temperatura real. Fundamentalmente, la temperatura es una propiedad que poseen los sistemas físicos a nivel macroscópico, la cual tiene una causa a nivel microscópico, que es la energía promedio por partícula.

Capítulo

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Al contrario de otras cantidades termodinámicas como el calor o la entropía, cuyas definiciones microscópicas son válidas muy lejos del equilibrio térmico, la temperatura sólo puede ser medida en el equilibrio, precisamente porque se define como un promedio.

La temperatura está íntimamente relacionada con la energía interna y con la entalpía de un sistema: a mayor temperatura mayores serán la energía interna y la entalpía del sistema.

La temperatura es una propiedad intensiva, es decir que no depende del tamaño del sistema, sino que es una propiedad que le es inherente y no depende ni de la cantidad de sustancia ni del material del que este compuesto*.

En física, se define como una magnitud escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico, definida por el principio cero de la termodinámica. Más específicamente, está relacionada directamente con la parte de la energía interna conocida como "energía sensible", que es la energía asociada a los movimientos de las partículas del sistema, sea en un sentido traslacional, rotacional, o en forma de vibraciones. A medida de que sea mayor la energía sensible de un sistema, se observa que éste se encuentra más "caliente"; es decir, que su temperatura es mayor.

Debemos tener en cuenta que la temperatura no es una medida de la energía cinética total de las moléculas de una sustancia. Hay más energía cinética molecular en el cubo de hielo que en la llama del palito de fósforos del ejemplo de la figura. Sin embargo la temperatura de la llama es mucho mayor que la temperatura del hielo, por que la energía cinética promedio de las moléculas de la combustión de la llama es mayor que las del agua en el cubo. Así pues:

“La temperatura es una magnitud física tensorial que nos indica el grado de agitación molecular que en promedio tiene un cuerpo”.

Obviamente no tiene sentido hablar de la temperatura del vacío.

1.1. LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA†

Antes de dar una definición formal de temperatura, es necesario entender el concepto de equilibrio térmico. Si dos partes de un sistema entran en contacto térmico es probable que ocurran cambios en las propiedades de ambas. Estos cambios se deben a la transferencia de calor entre las partes. Para que un sistema esté en equilibrio térmico debe llegar al punto en que ya no hay intercambio neto de calor entre sus partes, además ninguna de las propiedades que dependen de la temperatura debe variar.

Una definición de temperatura se puede obtener de la Ley cero de la termodinámica, que establece que si dos sistemas A y B están en equilibrio térmico, con un tercer sistema C, entonces los sistemas A y B estarán en equilibrio térmico entre sí.[1] Este es un hecho empírico más que un resultado teórico. Ya que tanto los sistemas A, B, y C están todos en equilibrio térmico, es razonable decir que comparten un valor común de alguna propiedad física. Llamamos a esta propiedad temperatura.

Sin embargo, para que esta definición sea útil es necesario desarrollar un instrumento capaz de dar un significado cuantitativo a la noción cualitativa de ésa propiedad que presuponemos comparten los sistemas A y B. A lo largo de la

* http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura † http://www.mitecnologico.com/Main/LeyCeroTermodinamica

Un termómetro debe alcanzar el equilibrio térmico antes de que su medición sea correcta.

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historia se han hecho numerosos intentos, sin embargo en la actualidad predominan el sistema inventado por Anders Celsius en 1742 y el inventado por William Thomson (mejor conocido como lord Kelvin) en 1848.

1.2. EQUILIBRIO TÉRMICO

“Si dos cuerpos a diferentes temperaturas se ponen en contacto, al cabo de cierto tiempo ellos adquirirán una temperatura de equilibrio, cuyo valor estará comprendido entre la alta y la baja”. Tcuerpo 1≤ TEquilibrio.≤ Tcuerpo 2.

‡

Llamaremos equilibrio térmico a aquel estado particular en el que las moléculas de dos o más cuerpos en contacto vibran en promedio con la misma rapidez. En este estado las temperaturas se igualan.

En el ejemplo de la figura el calor es la energía que se transmite del bloque A al bloque B porque entre ellos existe una diferencia de temperaturas.

Este comportamiento de la temperatura de los cuerpos también es explicado por el «Principio Cero de la Termodinámica».

1.3. TERMÓMETROS Y ESCALAS TERMOMÉTRICAS

El termómetro (del griego θερμός (termo) el cuál significa "caliente" y metro, "medir") es un instrumento de medición de temperatura. Desde su invención ha evolucionado mucho, principalmente a partir del desarrollo de los termómetros electrónicos digitales. El termómetro es un cuerpo de pequeña masa, que al ponerse en contacto con otro cuerpo de mayor masa alcanza el equilibrio térmico, de modo que la temperatura de este último permanece sensiblemente fija. Este principio de funcionamiento es utilizado para construir diferentes escalas de medida, las cuales a su vez han considerado dos fenómenos naturales que se producen siempre del mismo modo (al nivel del mar y a 45° de latitud), siendo éstos: El punto de fusión y el punto de ebullición del agua.

A) Termómetro clínico de cristal. B) Termómetro clínico digital. C)Un termómetro de infrarrojos (antiguamente se llamaba pirómetro óptico) puede dar indicaciones acerca del estado de una planta, al igual que el termómetro de sobaquillo nos cuenta cómo andamos nosotros. Mide a distancia y se apunta con un láser incorporado.

‡ http://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_t%C3%A9rmico

Física II 4

Las escalas de medición de la temperatura se dividen fundamentalmente en dos tipos, las relativas y las absolutas. Los valores que puede adoptar la temperatura en cualquier escala de medición, no tienen un nivel máximo, sino un nivel mínimo: el cero absoluto§ Mientras que las escalas absolutas se basan en el cero absoluto, las relativas tienen otras formas de definirse.

1.3.1. ESCALA CELSIUS

Para establecer una base de medida de la temperatura Anders Celsius utilizó (en 1742) los puntos de fusión y ebullición del agua. Se considera que una mezcla de hielo y agua que se encuentra en equilibrio con aire saturado a 1 atm está en el punto de fusión. Una mezcla de agua y vapor de agua (sin aire) en equilibrio a 1 atm de presión se considera que está en el punto de ebullición. Celsius dividió el intervalo de temperatura que existe entre éstos dos puntos en 100 partes iguales a las que llamó grados centígrados °C. Sin embargo, en 1948 fueron renombrados grados Celsius en su honor; así mismo se comenzó a utilizar la letra mayúscula para denominarlos. En 1954 la escala Celsius fue redefinida en la Décima Conferencia de Pesos y Medidas en términos de un sólo punto fijo y de la temperatura absoluta del cero absoluto. El punto escogido fue el punto triple del agua que es el estado en el que las tres fases del agua coexisten en equilibrio, al cual se le asignó un valor de 0,01 °C. La magnitud del nuevo grado Celsius se define a partir del cero absoluto como la fracción 1/273,16 del intervalo de temperatura entre el punto triple del agua y el cero absoluto. Como en la nueva escala los puntos de fusión y ebullición del agua son 0,00 °C y 100,00 °C respectivamente, resulta idéntica a la escala de la definición anterior, con la ventaja de tener una definición termodinámica.

1.3.2. ESCALA FAHRENHEIT Toma divisiones entre el punto de congelación de una disolución de cloruro amónico (a la que le asigna valor cero) y la temperatura normal corporal humana (a la que le asigna valor 100). Es una unidad típicamente usada en los Estados Unidos; erróneamente, se asocia también a otros países anglosajones como el Reino Unido o Irlanda, que usan la escala Celsius.

Es la escala que se usa comúnmente en los Estados Unidos, en ella el número 32 denota la temperatura de congelación del agua y el número 212 se asigna aja temperatura de ebullición del mismo. La escala Fahrenheit se volverá obsoleta si Estados Unidos continúa adoptando como hasta ahora el sistema métrico (1 división= 1°F).

OTRAS ESCALAS RELATIVAS SON: • Grado Réaumur (°Ré, °Re, °R). Usado para procesos industriales específicos, como el del

almíbar. • Grado Rømer o Roemer. En desuso. • Grado Newton (°N). En desuso. • Grado Leiden. Usado para calibrar indirectamente bajas temperaturas. En desuso. • Grado Delisle (°D) En desuso.

1.3.3. ESCALA KELVIN Es la escala que se emplea en la investigación científica adoptada por el Sistema Internacional. En esta la escala se asigna el número cero a la menor temperatura posible: cero absoluto. A una temperatura de cero absoluto, las sustancias ya no tienen energía cinética que ceder.

§ El cero absoluto es la temperatura teórica más baja posible. A esta temperatura el nivel de energía del sistema es el más bajo posible, por lo que las partículas, según la mecánica clásica, carecen de movimiento;[1] no obstante, según la mecánica cuántica, el cero absoluto debe tener una energía residual, llamada energía de punto cero, para poder así cumplir el principio de indeterminación de Heisenberg. El cero absoluto sirve de punto de partida tanto para la escala de Kelvin como para la escala de Rankine.

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El cero de la escala Kelvin, o cero absoluto, corresponde a -273°C de la escala Celsius. A diferencia de la escala Celsius no hay temperaturas negativas en la escala termodinámica. Los grados de la escala Kelvin son del mismo tamaño que los de la escala Celsius. Así, el hielo se funde a 0 ºC o 273K y el agua hierve. A 100°C o 373K. La escala Kelvin fue nombrada así en honor al físico británico Lord Kelvin, quien .inventó la palabra «termodinámica>; y propuso por primera, vez esta escala (1 división = 1K).

El Kelvin es la unidad de medida del SI. La escala Kelvin absoluta es parte del cero absoluto y define la magnitud de sus unidades, de tal forma que el punto triple del agua es exactamente a 273,16 K.[3] Aclaración: No se le antepone la palabra grado ni el símbolo º.

1.3.4. Sistema Anglosajón de Unidades Rankine (R o Ra). Escala con intervalos de grado equivalentes a la escala Fahrenheit. Con el origen en -459,67 °F. En desuso.

1.3.5. CERO ABSOLUTO Si el movimiento térmico de los átomos aumenta sin cesar, la temperatura se eleva. No parece existir un límite superior para la temperatura. En cambio, en el otro extremo de la escala de temperatura existe un límite bien definido. Si el movimiento térmico de los átomos de una sustancia se reduce sin cesar, la temperatura disminuye. Conforme se va deteniendo el movi-miento térmico, la energía cinética de los átomos tiende a cero y la temperatura se aproxima a un límite inferior. Dicho límite es el cero absoluto de la temperatura. A cero absoluto ya no es posible extraer más energía de una sustancia ni reducir aún más su temperatura. En la escala Celsius esta temperatura límite corresponde a 2730 bajo cero. El cero absoluto corresponde a cero grados en la escala Kelvin, o escala termodinámica, y se escribe OK (que significa «O Kelvin»).

1.3.6. RELACIONES DE TRANSFORMACIÓN Sean C, K y F las lecturas de una misma temperatura en las tres escalas, las mismas que en la figura de la página anterior aparecen en una misma horizontal. Luego, para poder encontrar una relación que nos permita expresar una misma temperatura en distintas escalas, emplearemos la proporcionalidad de los segmentos que en dicho esquema aparecen y que de acuerdo con el Teorema de Thales, se establece que:

180

32100

273100

−=

−=

FKC ......................................................... (IV.1)

Luego de simplificar se tiene: 9

325273

5−

=−

=FKC .......................................................... (IV.2)

De donde se puede deducir que: K = C + 273 3259

+= CF

Física II 6

Teniendo en cuenta que las divisiones de estas escalas guardan entre sí una proporcionalidad fija, es evidente que para cualquier cambio de temperatura en cualquiera de estas escalas, éstos tendrán entre sí una relación de equivalencia. Esto significa que un cambio de temperatura en la escala Celsius ΔT(°C) tendrá un cambio de temperatura equivalente en la escala Fahrenheit ΔT(ºF) y otro en la escala kelvin ΔT(K), los cuales estarán relacionados así:

FFT

KKT

CCT

º8,1)(º

1)(

º1)(º ∆

=∆

=∆ ................................................ (IV.3)

EN RESUMEN

Es una

Definición empírica: relacionada con:

y nos informa: y aproximadamente con:

2. EXPANSIÓN – DILATACIÓN DE SÓLIDOS Y LíQUIDOS**

Como sabemos, los cuerpos en general están constituidos por moléculas, los que en el caso de sólidos y líquidos guardan entre sí distancias más o menos fijas. Si calentamos o enfriamos un cuerpo, observaremos que ellos se dilatan o se contraen respectivamente; esto se explica porque a nivel molecular el cuerpo a alta temperatura aumenta las distancias intermoleculares, y a baja temperatura estas distancias disminuyen.

** http://es.wikipedia.org/wiki/Dilataci%C3%B3n_t%C3%A9rmica

PROPIEDAD DE LOS SISTEMAS TERMODINÁMICOS QUE DETERMINA SI ESTÁN O NO EN EQUILIBRIO TÉRMICO

PRINCIPIO CERO DE LA TERMODINAMJCA “SI DOS SISTEMAS DISTINTOSESTÁN EN EQUILIBRIO

TERMODINÁMICO CON UN TERCERO, DEBEN ESTAR EN EQUILIBRIO ENTRE SÍ”

ESTA PROPIEDAD COMPARTIDA EN EL EQUILIBRIO ES LA TEMPERATURA,

ENERGIA INTERNA DE UN CUERPO QUE AGRUPA LOS APORTES DE LAS DISTINTAS MANIFESTACIONES DE ENERGÍA CINÉTICA:

TRASLACIONAL, ROTACIONAL y VIBRACIONAL DE LAS PARTÍCULAS CONSTITUYENTES

TEMPERATURA

LO CALIENTE O LO FRIO QUE SE ENCUENTRA UN CUERPO CON RELACIÓN A O1RO TOMADO COMO REFERENCIA

EL NIVEL DE AGITACIÓN DE LAS MOLÉCULAS DE UN CUERPO

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A) Anillo de Gravesande: Sirve para demostrar la dilatabilidad y la contractilidad. El aparato consiste en una base de madera sobre la que hay una barra metálica vertical a la que se sujeta un anillo metálico de 5 cm de diámetro. El experimento consiste en observar que una esferilla metálica que a la temperatura ordinaria puede atravesar libremente el anillo metálico, si por medio de una lamparilla se calienta, entonces ya no lo atraviesa. B)Para evitar que la dilatación de los rieles ocasione un pandeo se deben colocar estos con una separación. Lo mismo sucede en el caso de placas.

2.1. Dilatación Lineal

La experiencia nos demuestra que si calentamos una varilla o alambre como el de la figura adjunta, comprobaremos que sufre una dilatación (∆.L), y será proporcional a la longitud inicial (L0) y al cambio de temperatura (∆T), de modo que:

TLL ∆=∆ 0α ................................................................... (IV.4)

Donde α expresa el coeficiente de dilatación lineal del tipo de material y es constante para ∆T pequeños.

Si efectuamos el análisis dimensional, advertimos que las unidades de α, estarán dadas por: α = cm / cm. ºC = 1/ºC o bien ºC-1 ( grado -1); luego:

También podemos escribir la ecuación como: )( ifiif TTLLL −=− α Ó [ ])(1 ifif TTLL −+= α ........................... (IV.5)

La experiencia demuestra que el coeficiente de dilatación lineal depende de la temperatura. Se puede definir el coeficiente de dilatación lineal medio “αt”, como "el aumento que experimenta la unidad de longitud inicial, que se encuentra a una temperatura t cualquiera, cuando se aumenta en un grado dicha temperatura”, por eso este coeficiente de dilatación medio, dependerá del incremento de temperatura. El coeficiente de dilatación lineal medio a una temperatura “ t ”, puede ser deducido a partir de la ecuación:

En general αt es igual al inverso de la longitud inicial por dl/dt, a presión constante. Donde el cociente diferencial dl/dt, representa la derivada de la longitud con respecto a la temperatura a P = cte y αt será el coeficiente de dilatación lineal real a cualquier temperatura t. Como la longitud del sólido es función de la temperatura: representando gráficamente dicha función resulta que αt es el coeficiente angular de la recta tangente a la curva L = f(t) en el punto de abscisa t, dividido por la longitud correspondiente a dicha temperatura, figura: De modo que α, representa el cambio fraccional de la longitud por cada

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cambio de un grado en la temperatura. Hablando rigurosamente, el valor de α depende de la, temperatura real y de la temperatura de referencia que se escoja para determinar L. Sin embargo, casi siempre se puede ignorar su variación, comparada con la precisión necesaria en las medidas de la ingeniería. Podemos, con bastante seguridad, suponerla como una constante independiente de la temperatura en un material dado. En la Tabla 1 se presenta un detalle de los valores experimentales del coeficiente de dilatación lineal promedio de sólidos comunes.

Cabe señalar que los valores de α son relativamente pequeños del orden de 10-5 a 10-6, razón por la cual el aumento-disminución del tamaño de los cuerpos por causa de un cambio de temperatura es pequeño, y solo apreciable si las dimensiones de los cuerpos son considerablemente grandes. Podemos imaginar a los sólidos como una estructura cristalina en donde las moléculas se encuentran vibrando como si estuvieran unidas por resortes imaginarios. Cuando la temperatura aumenta, las vibraciones aumentan la amplitud de sus

oscilaciones, dando lugar a un aumento

del tamaño de los cuerpos. Cuando se enfrían ocurre todo lo contrario.

2.2. Dilatación Superficial

Cuando calentamos una lámina o placa como la mostrada en la figura, comprobamos que su superficie experimenta una dilatación (∆A), cuyo valor viene dado por:

TAA i∆=∆ β

)( ifiif TTAAA −=− β Ó [ ])(1 ifif TTAA −+= β ............................... (IV.5)

2.3. Dilatación Volumétrica

Es indudable que al calentar o enfriar un cuerpo, todas sus dimensiones: largo, ancho y altura, experimentan cambios. Por ello se afirma que en todo fenómeno de dilatación realmente se produce una variación en el volumen (∆V), cuyo valor estará dado por:

TVV i∆=∆ γ

)( ifiif TTVVV −=− γ Ó [ ])(1 ifif TTVV −+= γ ............................................................... (IV.6)

Observaciones: 1.:- Si llevamos a un gráfico L-vs-T la ecuación (IV.5.1), se obtiene una línea recta cuya pendiente (tg θ) viene dada por:

αθ ⋅= iLtg 2.- Al comparar los valores de los coeficientes de dilatación para un mismo material, encontramos que:

321γβα

== …………………………………..……………(IV.7)

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2.4. Aplicaciones de la Dilatación.

A) LISTONES BIMETÁLICOS.- Una buena cantidad de dispositivos que funcionan automáticamente lo hacen utilizando un listón extendido o enrollado, compuesto por dos metales de diferente coeficiente a, de manera que al sufrir un cambio en su Temperatura se doble, se enrolle más o se desenrolle. Esto se explica por la diferente dilatación que cada componente experimenta. En la figura a, el listón a la temperatura T0 presenta una orientación vertical, dado que cada componente del listón posee la misma longitud.

B) DILATACIÓN DE AGUJEROS.- En el experimento de Gravesande la página anterior, la esfera podría pasar por el aro si ésta también se hubiera calentado. Esto significa que los agujeros en los sólidos se dilatan como si estuvieran llenos del material que los rodea. Lo mismo le sucede al interior de las vasijas cuando las calentamos como los de la figura inferior.

C) EN LAS CONSTRUCCIONES.- Cuando se construye una vía de ferrocarril, se deja un espacio entre riel y riel por los cam-bios de temperatura ambiental. Por esta misma razón se adicionan rodillos en los extremos de los puentes.

2.5. Dependencia entre D y T

Es evidente que al calentar un cuerpo su volumen aumenta, pero como su masa es prácticamente la misma, concluimos que su densidad disminuye, dado que ésta es inversamente proporcional con el volumen. Los globos de la foto disponen de un quemador que calienta el aire haciéndolo menos denso y liviano por lo cual va hacia arriba, de este modo el globo se infla y por el principio de Arquímedes el aire circundante ejerce sobre él un empuje suficientemente grande que logra elevado. En general, la densidad Df de un cuerpo a la temperatura Tf viene dada por:

)(1 if

if TT

DD−+

=γ

………(IV.8)

2.6. Comportamiento anómalo del agua††

Se sabe que el agua es una de las pocas sustancias que al calentarse desde 0°C hasta 4ºC en vez de dilatarse se contrae, como lo indica el gráfico Volumen-vs-Temperatura de 1g de agua en la Fig. de la columna. Esto explica a su vez que el agua alcanza su máxima densidad de 1 g/cm3 a 4°C, que es cuando su volumen es mínimo. Por encima de

†† http://www.textoscientificos.com/fisica/termodinamica/dilatacion/liquidos http://www.upct.es/seeu/_as/divulgacion_cyt_09/Libro_Historia_Ciencia/web/aparato_de_hope.htm

COEF. α DE SÓLIDOS COEF. γ DE LIQUIDOS

Sustancia 10-5 [ºC-1] Sustancia 10-4[ºC-1]

Aluminio 2.3 Aceite 6

Bronce 1.8 Alcohol 7.5 Zinc 2.9 Agua (10-2Cf'C) 1.5

Cobre 1.7 Gasolina 10 Acero 1.2 Glicerina 5 Latón 1.9 Kerosene 10 Oro 1,4 Mercurio 1.8

Plata 0.9 Petróleo 10 Plomo 2.9

Vidrio 0.9

Pyrex 0.3

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esta temperatura el volumen aumenta, y el comportamiento del agua se normaliza. De acuerdo con el gráfico Volumen - temperatura del agua, puede apreciarse que el mínimo volumen de un gramo de agua a la presión atmosférica normal es de 1 cm3, por lo cual se afirma que la densidad máxima del agua es de 1 g/cm3, la cual se presenta a 4 °C. ¿Por qué se rompen las botellas de gaseosa cuando las dejamos por un buen tiempo dentro de la nevera? La razón la encontramos en la dilatación anómala del agua. ¿Por qué se congelan sólo las partes superiores de los lagos? Cuando un lago se congela, el hielo que se va formando por tener menor densidad va hacia las partes superiores del agua. De este modo bajo la capa de hielo se encuentra el agua líquida a O°C y más abajo el agua está más caliente (4°C). Esta distribución de temperaturas también se explica por el comportamiento anómalo del agua.

2.7. ADICIONAL: ESFUERZOS DESARROLLADOS POR LA DILATACIÓN DE LOS SÓLIDOS

Si la barra de la Figura E, está fija en uno de sus extremos, por ejemplo empotrada, a causa de la dilatación térmica, se desarrollan esfuerzos en la misma, que se deben tener en cuenta para los cálculos del diseño de la pieza o de su instalación. La deformación en la barra debido a las tensiones desarrolladas puede ser expresada como, ∆L = F.Lo (6) A.E Donde F es la fuerza que actúa en la sección de la barra, Lo es la longitud original, A es el área de la sección y E es el módulo de elasticidad del material de la barra Figura E Si a la relación F/A se expresa como σ (sigma) ∆L = σ.Lo / E (7) Si consideramos la dilatación debido a la temperatura, ∆L = αot.Lo.t (8) igualando las expresiones tendremos: σ.Lo / E = αot. Lo.t Por lo que σ = αot. E.t (9) Las tensiones desarrolladas a causa de una variación de temperatura, son directamente proporcionales al coeficiente de dilatación, al módulo de elasticidad y a la temperatura. Cuando tomamos un plano dentro de un cuerpo sólido, de modo que el área de la superficie de dicho plano esta dada por la expresión: S = L1.L2, se determina que: St = So ( 1 +2α.t), (10) Con ( 1 +2α. t) llamado binomio de dilatación superficial

Lo

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Sea un plano rectangular dentro de un cuerpo sólido. Tal que S = L1.L2 derivando a S respecto de t: Si dividimos m.a. m. por S

Nos queda:

Observando el segundo miembro se puede establecer que: Integrando entre So y St St = So ( 1 +2α t), ( 11)

con ( 1 + 2α. t) como binomio de dilatación superficial. (Como ejercitación se propone demostrar para un sólido, ∆V = 3αVo∆Τ, tal que el coeficiente de dilatación volumétrico β = 3 αL)

dtdL

Ldt

dLL

dtdS 1

22

1 .. +=

dtdL

LLL

dtdL

LLL

dtdS

S1

21

22

21

1 ...

1+=

dtdL

LdtdL

LdtdS

S1

1

2

2

.1.11+=

121

∂+∂=dtdS

SSdtdS ∂= 2

∫∫ ∂=t

o

St

So

dtSdS 2Por ser isótropo α1=α2=αL

L1 S L2

FIGURA F

Física II 12

Dilatación de los Sólidos - Problemas

1- La longitud de un cable de aluminio es de 30 m a 20°C. Sabiendo que el cable es calentado hasta 60 °C y que el coeficiente de dilatación lineal del aluminio es de 24*10-6 1/°C. Determine: a) la longitud final del cable y b) la dilatación del cable. 2- Una barra de hierro de 10 cm de longitud está a 0 °C; sabiendo que el valor de α es de 12*10-6 1/°C. Calcular: a) La Lf de la barra y la ΔL a 20 °C; y b) La Lf de la barra a -30 °C. 3- La longitud de un cable de acero es de 40 m a 22 °C. Determine su longitud en un día en que la temperatura es de 34 °C,sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del acero es igual a 11*10-6 1/°C. 4- A través de una barra metálica se quiere medir la temperatura de un horno para eso se coloca a una temperatura de 22 °C en el horno. Después de un cierto tiempo se retira la barra del horno y se verifica que la dilatación sufrida equivale a 1,2 % de su longitud inicial, sabiendo que α = 11*10-6 1/°C. Determine : La temperatura del horno en el instante en que la barra fue retirada. 5- La plataforma de la figura es horizontal y está apoyada en 2 columnas; una de Aluminio y otra de Hierro . Determine las longitudes de las barras a 0 °C para que la plataforma permanezca horizontal a cualquier temperatura,sabiendo que la diferencia de nivel entre los puntos A y B es de 50 cm y que α hierro = 12*10-6 1/°C y α aluminio = 24*10-6 1/°C.

Observación: Para que la plataforma quede siempre horizontal es necesario que la dilatación de la columna de hierro sea igual a la dilatación de la columna de aluminio; o sea: ΔL Fe = ΔL Al.

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Lic. Carlos E. Joo García – FÍSICA APLICADA

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6- Una barra de hierro a 20 °C se introduce en un horno cuya temperatura se desea determinar. El alargamiento sufrido por la barra es un centésimo de su longitud inicial. Determine la temperatura del horno, sabiéndose que el coeficiente de dilatación lineal del hierro es de 11,8*10-6 1/°C. 7- Una barra de metal de longitud Lo a 0 °C sufre un aumento de longitud de 1/100 de Lo cuando se la calienta a 500 °C. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación del metal?. 8- En el interior de un horno se coloca una barra de 300,5 m de Lo a una temperatura to = 10 °C y su Lf pasa a ser 300,65 m. Determinar la tf del horno; sabiendo que: α = 13*10-6 1/°C. 9- Un oleoducto de acero tiene 1.500 m de longitud a una temperatura de 30 °C. Sabiendo que: α = 12*10-6 1/°C. ¿Cuál será su longitud a 10 °C?. 10- Un hilo de latón tiene 20 m de longitud a 0 °C. Determine su longitud si fuera calentado hasta una temperatura de 80 °R. Se sabe que: α latón =0,000018 1/°C. 11- Un pedazo de caño de cobre tiene 5m de longitud a 20 °C. Si fuera calentado hasta una temperatura de 70 °C, siendo: α cobre = 17*10-6 1/°C. ¿En cuánto aumentaría su longitud?. 12- En cuánto varía la longitud de un cable de plomo de 100 m inicialmente a 20 °C, cuando se lo calienta hasta 60 °C, sabiendo que: α plomo = 29*10-6 1/°C. 13- Un caño de hierro por el cual circula vapor de agua tiene 100 m de longitud. ¿Cuál es el espacio libre que debe ser previsto para su dilatación lineal, cuando la temperatura varíe de -10 °C a 120 °C?. Sabiendo que: α hierro = 12*10-6 1/°C. 14- Un puente de acero de una longitud de 1 Km a 20 °C está localizado en una ciudad cuyo clima provoca una variación de la temperatura del puente entre 10 °C en la época más fría y de 55 °C en la época más calurosa. ¿Cuál será la variación de longitud del puente para esos extremos de temperatura?. Se sabe que: α acero = 11*10-6 1/°C. 15- Una barra de acero tiene una longitud de 2 m a 0 °C y una de aluminio 1,99 m a la misma temperatura. Si se calientan ambas hasta que tengan la misma longitud, ¿cuál debe ser la temperatura para que ocurra?. Se sabe que: α acero = 11*10-6 1/°C y α aluminio = 24*10-6 1/°C. 16- Un pino cilíndrico de acero debe ser colocado en una placa, de orificio 200 cm ² del mismo material. A una temperatura de 0°C; el área de la sección transversal del pino es de 204 cm ². ¿A qué temperatura debemos calentar la placa con orificio, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del acero es 12*10-6 1/°C y que la placa está inicialmente a 0 °C?. Observación: Para que el pino penetre en el orificio, la placa debe ser calentada para que aumente el área del orificio hasta que ella quede igual al área de la sección del pino; o sea: S pino cilíndrico = S placa. 17- Un anillo de cobre tiene un diámetro interno de 3,98 cm a 20 °C. ¿A qué temperatura debe ser calentado para que encaje perfectamente en un eje de 4 cm de diámetro?. Sabiendo que: α cobre = 17*10-6 1/°C. 18- Una chapa de zinc tiene un área de 6 m ² a 16 °C. Calcule su área a 36 °C, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del zinc es de 27*10-6 1/°C. 19- Determine la temperatura en la cual una chapa de cobre de área 10 m ² a 20 °C adquiere el valor de 10,0056 m ². Considere el coeficiente de dilatación superficial del cobre es 34*10-6 1/°C. 20- Una esfera de acero de radio 5,005 cm es colocada sobre un anillo de zinc de 10 cm de diámetro, ambos a 0 °C. ¿Cuál es la temperatura en la cual la esfera pasa por el anillo?. Sabiendo que: α zinc = 0,000022 1/°C y α acero =0,000012 1/°C. 21- Una chapa de acero tiene un área de 36 m ² a 30 °C. Calcule su área a 50 °C, sabiendo que el coeficiente de dilatación superficial del acero es de 22*10-6 1/°C. 22- Un disco de plomo tiene a la temperatura de 20 °C; 15 cm de radio. ¿Cuáles serán su radio y su área a la temperatura de 60 °C?. Sabiendo que: α plomo =0,000029 1/°C. 23- Una chapa a 0 °C tiene 2 m ² de área. Al ser calentada a una temperatura de 50 °C, su área aumenta 10 cm ². Determine el coeficiente de dilatación superficial y lineal del material del cual está formada la chapa. 24- Se tiene un disco de cobre de 10 cm de radio a la temperatura de 100 °C. ¿Cuál será el área del disco a la temperatura de 0 °C?. Se sabe que: α cobre = 17*10-6 1/°C. 25- Un cubo metálico tiene un volumen de 20 cm ³ a la temperatura de 15 °C. Determine su volumen a la temperatura de 25 °C, siendo el coeficiente de dilatación lineal del metal igual a 0,000022 1/°C. 26- Un recipiente de vidrio tiene a 10 °C un volumen interno de 200 ml. Determine el aumento del volumen interno de ese recipiente cuando el mismo es calentado hasta 60 °C. Se sabe que: γ =3*10-6 1/°C.

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27- Un cuerpo metálico en forma de paralelepípedo tiene un volumen de 50 cm ³ a la temperatura de 20 °C. Determine el volumen final y el aumento de volumen sufrido por el paralelepípedo cuando la temperatura sea 32 °C. Se sabe que: α = 0,000022 1/°C. 28- Un vendedor de nafta recibe en su tanque 2.000 l de nafta a la temperatura de 30 °C. Sabiéndose que posteriormente vende toda la nafta cuando la temperatura es de 20 °C y que el coeficiente de dilatación volumétrica de la nafta es de 1,1*10-³ 1/°C. ¿Cuál es el perjuicio (en litros de nafta) que sufrió el vendedor? 29- ¿Cuál es el volumen de una esfera de acero de 5 cm de radio a 0 °C, cuando su temperatura sea de 50 °C?. Sabiendo que: α acero = 0,000012 1/°C.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Escribir las expresiones que definen los coeficientes de expansión o dilatación térmica Volumétrica β. Verificar si αL es el coeficiente de expansión o dilatación lineal entonces β= 3. αL 2. Encontrar el cambio de volumen de una esfera de aluminio (Al) de 10,0 cm de radio, cuando se calienta de 0 hasta 100ºC. 3. Sea un bloque de cobre de 0,3 kg. de masa. Calcular su cambio de volumen, cuando se calienta de 27ºC a 100ºC 4. Las vías de un ferrocarril se tienden cuando la temperatura es de 0ºC, en ese caso la longitud normal de un tramo de riel es de 12,0 m ¿ Qué espacio o junta de dilatación debe dejarse entre rieles para que no exista una compresión cuando la temperatura es de 42ºC. 5. Una varilla de acero tiene un diámetro de 3,000 cm. Un aro de cobre tiene un diámetro interior de 2,992 cm. ¿A que temperatura común podrá deslizarse exactamente el anillo sobre la varilla? 6. La densidad es la masa por unidad de volumen. Si el volumen V depende de la temperatura, también lo hará la densidad ρ. Demostrar que el cambio de densidad ∆ρ correspondiente a un cambio en la temperatura ∆Τ, está dado por: ∆ρ = −βρ.∆Τ , donde β es el coeficiente de dilatación cúbica. Explicar el porqué del signo negativo. 7. Ejercicio asociado al laboratorio: analizar el TP Nº1, termómetro de aire a volumen constante, el error relativo porcentual que se comete si no se considera la dilatación del recipiente y la influencia que tendría sobre la medición efectuada. 8. Calcular el alargamiento de una barra de Aluminio de 1m de longitud a 0 ºC, cuando aumenta su temperatura a 100ºC. 9. Investigar como el método de Hope, permite hallar el valor de máxima densidad del agua, o mínimo volumen. 10. Explicar operativamente el método de Dulong y Petit, que permite hallar el coeficiente de dilatación cúbica absoluta de un líquido independiente de la dilatación del recipiente que lo contiene.