libro de autoformación e innovación docente 9
DESCRIPTION
Libro de Autoformación e Innovación Docente del Ministerio de Educación de El Salvador, Viceministerio de Ciencia y Tecnología. Plan Piloto.TRANSCRIPT
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Versin preliminar para plan piloto
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Reloj solar ubicado en el Museo Nacional de Antropologa del pas, Miriam de
Grabs (donante) expres que el reloj retoma conocimientos que las culturas
ancestrales desarrollaron con la observacin de los cambios en las sombras
producidas por la luz solar (texto tomado de http://www.elsalvador.com) foto
tomada por Omar Carbonero, modificada por Daniel Acevedo.
El reloj muestra grficas de sistemas de ecuaciones no lineales.
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Ministerio de Educacin.
Viceministerio de Ciencia y Tecnologa
Programa Cerrando la Brecha del Conocimiento
Subprograma Hacia la CYMA
Material de Autoformacin e Innovacin Docente
Para Matemtica 9 Grado
Versin Preliminar para Plan Piloto.
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Ministerio de Educacin
Mauricio Funes Cartagena Presidente de la Repblica
Franzi Hasbn Barake Secretario de Asuntos Estratgicos de la Presidencia de la Repblica
Ministro de Educacin Ad-honorem
Erlinda Hndal Vega Viceministra de Ciencia y Tecnologa
Hctor Jess Samour Cann Viceministro de Educacin
William Ernesto Meja Director Nacional de Ciencia y Tecnologa
Xiomara Guadalupe Rodrguez Amaya Gerente de Educacin en Ciencia, Tecnologa e Innovacin
Oscar de Jess guila Chvez Jefe de Educacin Media en CTI (Coordinador de Matemtica)
Carlos Ernesto Miranda Oliva Jefe de Educacin Bsica en CTI (Coordinador de Ciencias Naturales)
Eder Alexander Jacobo Autor
Jorge Vargas Mndez Revisin de texto
Primera edicin (Versin Preliminar para Plan Piloto).
Derechos reservados. Ministerio de Educacin. Prohibida su venta y su reproduccin parcial o total.
Edificios A4, segundo nivel, Plan Maestro, Centro de Gobierno, Alameda Juan Pablo II y Calle Guadalupe, San Salvador, El Salvador,
Amrica Central. Telfonos: + (503) 2537-4217, + (503) 2537-4218, + (503) 2537-4219, Correo electrnico: [email protected]
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Estimadas y estimados docentes:
l Plan Social Educativo Vamos a la Escuela 2009-2014 nos plantea el reto histrico de formar
ciudadanas y ciudadanos salvadoreos con juicio crtico, capacidad reflexiva e investigativa, con
habilidades y destrezas para la construccin colectiva de nuevos conocimientos, que les permitan
transformar la realidad social y valorar y proteger el medio ambiente.
Nuestros nios, nias y jvenes desempearn en el futuro un rol importante en el desarrollo cientfico,
tecnolgico y econmico del pas; para ello requieren de una formacin slida e innovadora en todas las reas
curriculares, pero sobre todo en Matemtica y en Ciencias Naturales; este proceso de formacin debe iniciarse desde
el Nivel de Parvularia, intensificndose en la Educacin Bsica y especializndose en el Nivel Medio y Superior. En la
actualidad, es innegable que el impulso y desarrollo de la Ciencia y la Tecnologa son dos aspectos determinantes en el
desarrollo econmico, social y humano de un pas.
Para responder a este contexto, en el Viceministerio de Ciencia y Tecnologa se han diseado materiales de
autoformacin e innovacin docente para las disciplinas de Matemtica y Ciencias Naturales, para los Niveles de
Parvularia, Educacin Bsica y Educacin Media. El propsito de stos materiales es orientar al cuerpo docente para
fundamentar mejor su prctica profesional, tanto en dominio de contenidos, como tambin en la implementacin de
metodologas y tcnicas que permitan la innovacin pedaggica, la indagacin cientfica-escolar y sobre todo una
construccin social del conocimiento, bajo el enfoque de Ciencia, Tecnologa e Innovacin (CTI), en aras de mejorar la
calidad de la educacin.
Los materiales, son para el equipo docente, para su profesionalizacin y autoformacin permanente que le
permita un buen dominio de las disciplinas que ensea. Los contenidos que se desarrollan en estos cuadernillos, han
sido cuidadosamente seleccionados por su importancia pedaggica y por su riqueza cientfica. Es por eso que para el
estudio de las lecciones incluidas en estos materiales, se requiere rigurosidad, creatividad, deseo y compromiso de
innovar la prctica docente en el aula. Con el estudio de las lecciones (de manera individual o en equipo de docentes),
se pueden derivar diversas sesiones de trabajo con el estudiantado para orientar el conocimiento de los temas clave o
pivotes que son el fundamento de la alfabetizacin cientfica en Matemtica y Ciencias Naturales.
La enseanza de las Ciencias Naturales y la Matemtica debe despertar la creatividad, siendo divertida,
provocadora del pensamiento crtico y divergente, debe ilusionar a los nios y nias con la posibilidad de conocer y
comprender mejor la naturaleza y sus leyes. La indagacin en Ciencias Naturales y la resolucin de problemas en
Matemtica son enfoques que promueven la diversidad de secuencias didcticas y la realizacin de actividades de
diferentes niveles cognitivos.
Esperamos que estos Materiales de Autoformacin e Innovacin Docente establezcan nuevos caminos para la
enseanza y aprendizaje de las Ciencias Naturales y Matemtica, fundamentando de una mejor manera nuestra
prctica docente. Tambin esperamos que el contenido de estos materiales nos rete a aspirar a mejores niveles de
rendimiento acadmico y de calidad educativa, en la comunidad educativa, como en nuestro pas en general.
Apreciable docente, ponemos en sus manos estos Materiales de Autoformacin e Innovacin Docente,
porque sabemos que est en sus manos la posibilidad y la enorme responsabilidad de mejorar el desempeo
acadmico estudiantil, a travs del desarrollo curricular en general, y particularmente de las Ciencias Naturales y
Matemtica.
Lic. Franzi Hasbn Barake
Secretario de Asuntos Estratgicos de la Presidencia de la Repblica
Ministro de Educacin Ad-honorem
Dr. Hctor Jess Samour Cann Dra. Erlinda Hndal Vega
Viceministro de Educacin Viceministra de Ciencia y Tecnologa
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ndice
I Parte
Presentacin... 8
La resolucin de problemas..... 9
Uso de los cuadernillos en el aula. 11
Matriz de ubicacin de lecciones... 14
II Parte
Lenguaje Algebraico... 18
Interpretacin analtica de la lnea recta.. 27
Sistemas lineales de ecuaciones.. 39
Arco y sector circular... 52
Principios bsicos de conteo... 62
Distintos tipos de permutaciones..... 76
Nmero combinatorio. 86
Desarrollo binomial y multinomial.. 97
Tringulo de Pascal 106
Sistemas no lineales de ecuaciones.................... 113
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Primera parte
Por qu material de autoformacin e
innovacin docente?
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Presentacin
l Viceministerio de Ciencia y Tecnologa a travs de la Gerencia de Educacin
en Ciencia, Tecnologa e Innovacin (GECTI) y su programa Hacia la CYMA
que se est desarrollando durante el quinquenio 2009-2014, ejecuta el
Proyecto de Enriquecimiento Curricular en el rea de Ciencias Naturales y Matemtica, el
cual tiene entre sus acciones la elaboracin y entrega de material de enriquecimiento
curricular y de autoformacin para docentes.
Este material de enriquecimiento curricular para docentes tiene como propsito
fortalecer el desarrollo curricular de Matemtica de Noveno Grado de Educacin Bsica,
introduciendo el enfoque Ciencia Tecnologa e Innovacin (CTI) como parte inherente y
relevante del proceso de formacin cientfica. Con este propsito se han elaborado
lecciones con temas pivotes1 considerados necesarios para la educacin de calidad de la
niez salvadorea, para obtener una fundamentacin cientfica que permita fortalecer
las capacidades de investigacin, creacin de conocimiento y de utilizacin de ese
conocimiento para la innovacin.
Se busca que mediante la formacin cientfica se mejoren las condiciones sociales y
econmicas para alcanzar una vida digna de nuestros futuros ciudadanos. Cada tema de
este cuadernillo mantiene una relacin con otros materiales curriculares como los
programas de estudio, y la coleccin Cipotas y Cipotes (Gua para Docentes y Libros de
texto).
El enriquecimiento que se ha hecho partiendo de temas pivotes, tiene la posibilidad
de ser plataforma de construccin de conocimiento, bajo el enfoque de resolucin de
problemas, metodologa mediante la cual se desarrollan competencias matemticas
necesarias, que debe tener una persona para alcanzar sus propsitos de incorporarse de
manera propositiva y til a la sociedad, y sus propsitos formacin intelectual, como son:
saber argumentar, cuantificar, analizar crticamente la informacin, representar y
comunicar, resolver y enfrentarse a problemas, usar tcnicas e instrumentos matemticos y
modelizar e integrar los conocimientos adquiridos, para mejorar su calidad de vida y la de
sus comunidad.
1. Un tema pivote es un contenido curricular clave, se considera que si los docentes manejan adecuadamente dichos temas, podr
desarrollar otros contenidos con facilidad y aplicar de forma ms pertinente el conocimiento a la realidad en que se desarrolla el proceso
de enseanza aprendizaje; por otra parte podr seleccionar qu contenidos del programa desarrollar y en qu orden, de acuerdo a las
necesidades e intereses del grupo de alumnos.
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La resolucin de problemas en Matemtica
esde asegurar la subsistencia cotidiana, hasta abordar los ms complejos desafos
derivados desde la Ciencia y la Tecnologa, sin excepcin todos resolvemos
problemas. Lo vital de la actividad de resolucin de problemas es evidente; en
definitiva, todo el progreso cientfico y tecnolgico2, el bienestar y hasta la supervivencia de la
especie humana dependen de esta habilidad. No debemos extraarnos de que la misma se haya
convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atencin de profesionales de la
psicologa, ingeniera, fsica, qumica, biologa, matemtica, etc.
En Matemtica debemos hacer algunos cuestionamientos que son fundamentales en el
proceso metodolgico de la resolucin de problemas.
Cul es la diferencia entre ejercicio y problema en Matemtica? Cundo est el
estudiantado resolviendo un ejercicio y cundo un problema? Cul es el papel de un profesor en la
enseanza de la resolucin de problemas?
Al analizar un ejercicio se puede deducir si se sabe resolver o no; Comnmente se aplica un
algoritmo elemental o complejo que los nios y nias pueden conocer o ignorar, pero una vez
encontrado este algoritmo, se aplica y se obtiene la solucin.
Justamente, la exagerada proliferacin de ejercicios en la clase de Matemtica ha
desarrollado y penetrado en el estudiantado como un sndrome generalizado. En cuanto se les
plantea una tarea a realizar, tras una simple reflexin, tratan de obtener una solucin muchas veces
elemental, sin la apelacin a conocimientos diversos.
En un problema no es siempre evidente el camino a seguir. Incluso puede haber muchos.
Hay que apelar a conocimientos, no siempre de Matemtica, relacionar saberes procedentes de
campos diferentes, poner a punto nuevas relaciones. El papel de cada docente es proporcionar a la
niez la posibilidad de aprender hbitos de pensamiento adecuados para la resolucin de
problemas matemticos y no matemticos.
De qu les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos
algoritmos, teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos all
hermticamente acumulados? A la resolucin de problemas se le ha llamado, con razn, el corazn
de las matemticas, pues ah es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha trado y atrae a
acadmicos de todas las pocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden
resultar motivaciones, actitudes, hbitos, ideas y competencias para el desarrollo de herramientas,
en una palabra, la vida propia de la Matemtica3.
2 Jos Heber Nieto Said; Resolucin de Problemas Matemticos 2004. 3 Miguel de Guzmn Ozmiz, (1936 - 2004) matemtico espaol.
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Obviamente la resolucin de problemas tiene una clsica y bien conocida fase de
formulacin elaborada por el matemtico hngaro George Polya4 en 1945. Fase que consisten en
comprender el problema, trazar un plan para resolverlo, poner en prctica el plan y comprobar el
resultado.
Por supuesto hay que pensar que no slo basta con conocer las fases y tcnicas de
resolucin de problemas. Se pueden conocer muchos mtodos pero no siempre cul aplicar en un
caso concreto.
Justamente hay que ensear tambin a las nias y nios, a utilizar las estrategias que
conocen, con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo. Es ah donde se sita la diferencia
entre quienes resuelven problemas y los dems, entendiendo que este nivel es la capacidad que
tienen de autoregular su propio aprendizaje, es decir, de planificar qu estrategias se han de utilizar
en cada situacin, aplicarlas, controlar el proceso, evaluarlo para detectar posibles fallos, y como
consecuencia transferir todo ello a una nueva actuacin5.
Hay que tener presente que resulta difcil motivar. Slo con proponer ejercicios no se puede
conseguir que las nias y nios sean capaces de investigar y descubrir nuevos conocimientos y
relaciones entre las ciencias. Se recomienda establecer problemas en los que no sepan qu hacer en
un primer intento, con esto conseguiremos atraer su atencin y motivacin, para que se impliquen
en el proceso de resolucin. Otro aspecto no menos importante a tener en cuenta es la
manipulacin de materiales para resolver problemas. Hemos de ser capaces de que las nias y los
nios visualicen el problema, utilizando materiales concretos, materiales que manipulen, pues la
manipulacin es un paso previo e imprescindible para la abstraccin en las ciencias en general.
Descripcin de contenidos de cuadernillos
Para elaborar el Cuadernillo de Autoformacin e Innovacin Docente de Matemtica para Noveno
Grado de Tercer Ciclo de Educacin Bsica, se han seleccionado 10 temas, considerando para ello,
el programa de estudio de matemtica en vigencia para noveno grado y libros de texto
especializados en las distintas reas de matemtica que se discuten en Noveno Grado. Estos temas
son considerados fundamentales en la educacin de jvenes y la formacin docente, las lecciones
del cuadernillo pretenden fortalecer competencias conceptuales, procedimentales y actitudinales
de la juventud salvadorea, no perdiendo de vista el enfoque resolucin de problemas.
El cuadernillo de noveno grado de educacin bsica, es un material de apoyo para el docente, y en
consecuencia, se benefician sus estudiantes, esto mediante una propuesta en la secuencia de los
contenidos del programa de estudio de matemtica en un entorno participativo y de investigacin,
poniendo nfasis en el enfoque de resolucin de problemas, donde el estudio de las ciencias (Fsica,
Qumica y Biologa) en conjunto con la matemtica fortalecen competencias mediante la adopcin
de los enfoques Ciencia Tecnologa e Innovacin (CTI) y Ciencia Tecnologa y Sociedad (CTS).
4 George Plya (1887-1985), matemtico Hngaro, How to solve it, Pricenton University Press.
5 Allan Schoenfeld (1985). Mathematical Problem Solving. New York: Academic Pres.
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La seleccin de los contenidos considerados temas pivotes se efectu siguiendo el siguiente
proceso:
1. Revisin: de la secuencia de contenidos que presentan algunos libros matemticos,
considerando los bloques: Aritmtica, lgebra, Geometra, Estadstica, Probabilidad,
Combinatoria, Clculo y Trigonometra.
2. Revisin: de libros que utilizan los docentes para la planificacin de la clase, hacer una
comparacin entre las secuencias de contenidos, obteniendo de este modo una perspectiva
sobre la relevancia de contenidos y su secuencia.
3. Revisin: Programas de Estudio (Ministerio de Educacin de El Salvador, Libros de textos
especializados en las reas de Matemtica.
4. Propuesta de Temas Pivotes: Que son considerados temas principales para el desarrollo del
conocimiento matemtico.
5. Elaboracin y revisin de lecciones: por consultores especialistas en el rea de matemtica,
especialistas de la UES encargados de la revisin terica y metodolgica.
6. Entrega Tcnica a docentes: propsito de elaboracin del presente manual.
Descripcin de la estructura del cuadernillo.
El cuadernillo de Autoformacin e Innovacin Docente para matemtica de Noveno Grado, est
formado por 10 lecciones elaboradas a partir de 10 temas considerados pivotes, la relevancia de
estos contenidos permite introducir en su estructura elementos innovadores y propuestas de
integracin con las ciencias y la sociedad. Las lecciones del presente cuadernillos se ubican en 3
bloques de estudio de la matemtica, entre estos: Algebra, Geometra y Combinatoria.
La secuencia de las lecciones en relacin a los contenidos del programa de estudio, no guardan
relacin directa, puesto que, en el cuadernillo se ha modificado el orden de algunas temticas
garantizando de este modo, que durante la lectura de las lecciones y la explicacin de ejercicios y
problemas, se utilicen los conocimientos que se van adquiriendo durante la lectura, Adems, se han
incorporado nuevas temticas que por su relevancia en el aprendizaje de jvenes, forman parte del
material de Autoformacin e Innovacin Docente del libro de texto y programa de estudio. Estos
contenidos sern desarrollados paulatinamente, permitiendo que el estudiantado identifique en
cada etapa la utilizacin, importancia y complejidad.
Descripcin de la estructura de las lecciones.
Las lecciones se estructuran normalmente en catorce partes, las cuales se detallan a continuacin.
a. Nmero de leccin y ubicacin de la leccin en el programa de estudio: Se detalla el grado, y la
unidad a la que pertenece.
b. Tiempo: Es el tiempo estimado para aplicar la leccin. Este es un tiempo aproximado que el
docente puede readecuar segn sus necesidades.
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c. Titulo: Condensa la idea central de la leccin, se presenta como una idea clara y precisa del
contenido.
d. Ilustracin: Imagen o figura que representa la aplicacin de la temtica en la vida cotidiana.
e. Introduccin del tema: Presenta una breve discusin de la temtica mostrando puntos
relevantes que se tratarn en la leccin. Es un espacio para generar inters y motivacin en
cada docente, para que esta curiosidad pueda trasmitirla a sus estudiantes.
f. Competencias a fortalecer. Son los conocimientos, habilidades y destrezas que el estudiantado
puede adquirir al finalizar la leccin. Se pretende que este, con ayuda de su docente desarrolle
las competencias esenciales en matemtica para una formacin cientfica de calidad y con
capacidad de innovacin. Dichas competencias son:
i. saber argumentar.
ii. Saber cuantificar.
iii. Saber analizar crticamente la informacin.
iv. Saber representar y comunicar.
v. Saber resolver y enfrentarse a problemas.
g. Objetivos: Son las metas que se persiguen con la leccin, es decir, lo que se pretende alcanzar
con el desarrollo de la leccin.
h. Presaberes: es un conjunto de conocimientos y habilidades que se estima posee cada estudiante
antes de iniciar la leccin, los Presaberes tambin son nombrados conocimientos previos. La
existencia de los conocimientos previos requeridos para la leccin son identificados mediante
actividades diagnstico.
i. Vocabulario clave: En este apartado se encuentra un pequeo glosario de conceptos bsicos de
la leccin. La eleccin de estos conceptos se ha realizado con la intencin de que sirva de ayuda
para comprender algunos trminos que se utilizan en el desarrollo de la leccin.
j. Relato histrico: Breve relato histrico que guarda estrecha relacin con el ttulo de la leccin.
En este relato se hace referencia a la vida y obra de diversos matemticos de la historia. Este
elemento introduce a la leccin el ingrediente motivador, puesto que se identifica el
surgimiento de algunas temticas, as tambin, la relevancia de las mismas.
k. Marco terico:
Al final del relato histrico se llega a una idea particular, a partir de esta se construye un marco
terico que es el que gua la leccin. Esta seccin aborda los conceptos, proposiciones y toda la
informacin relevante que se establece como marco de referencia de los tpicos a estudiar.
l. Desarrollo de la leccin: Se presenta una secuencia de actividades donde se muestran ejercicios
y aplicaciones que explican de forma detallada los objetivos, materiales a utilizar y procesos que
se van a seguir. Las actividades propuestas tienen la cualidad de ser de carcter interesante e
innovador, buscan relacionar aspectos tericos, histricos y cientficos con algoritmos
matemticos. Las actividades estn encaminadas a forjar ideas que construyan la comprensin,
el anlisis y la resolucin de problemas como eje fundamental.
m. Gua de ejercicios y aplicaciones: Hay que hacer una valorizacin importante en este apartado, la
gua est integrada por ejercicios, problemas o una integracin de ejercicios y problemas. Esta
gua pretende fortalecer los conocimientos y habilidades tanto en docentes como en
estudiantes, as tambin, brindar un punto de partida hacia el estudio de nuevas temticas.
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n. Referencias bibliogrficas: Se hacen referencias a texto, videos y otros materiales para que cada
docente pueda consultar y profundizar su conocimiento.
Cmo utilizar el cuadernillo?
La organizacin de las actividades de la clase estn de acuerdo a los objetivos y competencias de la
asignatura; se sugiere que este cuadernillo de temas pivotes sea utilizado en cualquiera de los
casos:
a) Organizando actividades para el inicio, desarrollo y cierre de la clase; esto no quiere decir que
lo ejecutar tal como se presenta, sino que puede tomar las ideas que mejor le favorezcan y
alternarlas con las ideas del programa y el libro de texto que pueda utilizar en el aula, en caso
de tenerlo, de manera que pueda crear su clase como mejor se ajuste a sus necesidades: tamao
de la clase, recursos didcticos, nivel de aprendizaje del estudiante, tiempo de clase, entre otros.
La finalidad es que cada docente determine los mecanismos y actividades para avanzar con sus
estudiantes con un ritmo de aprendizaje adecuado y de calidad.
b) Como material de formacin para docente, que le permita emular actividades, conceptos y
estrategias en lecciones colaterales de integracin con las ciencias naturales.
c) Como guion de clase, siguiendo la secuencia de actividades, resolucin de ejercicios y
problemas.
Matriz de justificacin de lecciones propuestas y su ubicacin en el programa
de estudio de Tercer Ciclo de Educacin Bsica, Noveno grado, Matemtica.
En la siguiente tabla, se enumeran las lecciones del Material de Autoformacin e Innovacin
Docente, relacionndolas con contenidos del programa de estudio de Matemtica en vigencia para
Noveno Grado, justificando los aspectos que permiten observar el enriquecimiento temtico de las
lecciones.
Justificacin
El desarrollo de la escritura alge-
braica es de suma importancia en
la matemtica poder escribir en
lenguaje matemtico lo que est
escrito en nuestro lenguaje coti-
diano es un gran paso hacia la
resolucin de problemas, pasando
el desarrollo de conjeturas, plan-
teamiento de hiptesis, estable-
cimiento de ecuaciones, etc.
En nuestro sistema educativo no
se hace un trabajo dedicado ex-
clusivamente al dominio de este
nuevo idioma, se acostumbra
trabajar en la resolucin de pro-
blemas, sin tener bases fuertes
sobre la lectura, comprensin y
traduccin que se debe llevar a
cabo.
Este es uno de los principales
problemas que se muestran en la
resolucin de problemas, el no
poder ver como se relacionan las
variables en una determinada
situacin, lo cual causa que el
estudiantado no logre dar el paso
clave en la bsqueda de la solu-
cin.
Se sugiere utilizar antes de
iniciar el programa de noveno
grado.
Lenguaje Algebraico LECCIN 1
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Justificacin
Se pretende plantear un anlisis
ms profundo sobre la lnea recta,
sobre los componentes de la
ecuacin, sobre la grfica y sobre
su significado en algunos proble-
mas prcticos.
Hacer un trabajo sobre segmentos
de recta y las delimitaciones en su
expresin algebraica.
Justificacin
En el camino del algebra utiliza-
mos tcnicas para resolver siste-
mas de dos ecuaciones desde que
trabajamos problemas que carac-
terizamos del tipo lineal en una
sola variable, esto lo hacemos de
forma inconsciente, a travs de la
repeticin de ejercicios. Un ejem-
plo claro de esto son problemas
de edades en los cuales nos dicen
que la edad de una persona es 5
aos mayor que la de su hermano,
operamos las edades como y
de forma directa, a veces sin
pensar que lo que ah est escon-
dido es la ecuacin .
Se propone un estudio de los m-
todos tanto de igualacin, sustitu-
cin y reduccin, tanto para sis-
temas de dos y tres variables.
Justificacin
Es comn que en el aula se traba-
jen estos temas nicamente como
la aplicacin de las frmulas esta-
blecidas para calcular ambas me-
didas, desaprovechando todo el
desarrollo lgico espacial que se
puede obtener de este tema.
Se propone la elaboracin de pro-
blemas ms interesantes, en los
cuales las frmulas bsicas para
calcular reas de sectores circula-
res se mezclen con clculo de
reas de otras figuras y otras pro-
piedades geomtricas, tratando
de esta manera de crear un pen-
samiento lgico y ordenado orien-
tado a la resolucin de problemas.
Unidad 2: Resolvamos sistemas
de dos ecuaciones lineales.
grado.
Lnea Recta LECCIN 2
Unidad 2: Resolvamos sistemas
de dos ecuaciones lineales.
Unidad 7: Resolvamos sistemas
de ecuaciones.
grado.
Sistemas De Ecuaciones Lineales LECCIN 3
Unidad 4: Midamos ngulos.
Arco Y Sector Circular LECCIN 4
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Justificacin
El programa actual cuenta nica-
mente con una revisin sobre el
principio de la multiplicacin para
la resolucin de problemas de
conteo; sin embargo, en el rea de
conteo los dos pilares fundamen-
tales son el principio de la suma y
el principio de la multiplicacin.
Es por eso importante incluir el
principio de la suma, pues el co-
nocimiento de este ayudar a
tener un mejor anlisis de las
distintas situaciones en los pro-
blemas de conteo.
Justificacin
Las permutaciones resultan ser
un resultado de la aplicacin del
principio de la multiplicacin, sin
embargo el programa actual hace
una revisin superficial del tema
sin profundizar en los distintos
casos que este tema presenta, se
limita a permutaciones del tipo
lineal, sin repeticiones. Se pro-
pone hacer un estudio de los ca-
sos de permutaciones circulares y
permutaciones con repeticin,
este ltimo tratara de construir
un puente hacia el nmero com-
binatorio.
Justificacin
La mayora de libros de texto
usados en nuestro sistema educa-
tivo nicamente trata el nmero
combinatorio como una mera
frmula, la cual funciona para
resolver problemas; sin embargo
nunca se explica su procedencia
ni sus principales identidades.
Este hecho de no entender de
dnde provienen dichas expre-
siones matemticas son las que
generan confusin sobre el hecho
de cmo atacar adecuadamente
los problemas en el campo del
conteo.
Se propone hacer un estudio ms
profundo sobre el significado del
nmero combinatorio y su intima
relacin con las permutaciones
con repeticin.
Unidad 6: Apliquemos tcnicas
de conteo.
Principios Bsicos de Conteo LECCIN 5
Unidad 6: Apliquemos tcnicas
de conteo.
Permutaciones LECCIN 6
Unidad 6: Apliquemos tcnicas
de conteo.
Nmero Combinatorio LECCIN 7
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Justificacin
Es normal encontrar en los libros
de texto, distribuidos en nuestro
sistema educativo, que el desa-
rrollo de este tema es simple-
mente mencionar el Binomio de
Newton mostrando la expansin
de n
a b con coeficientes en
forma de nmeros combinatorios,
sin embargo nunca se demuestra
porque esta expansin es verda-
dera, ni se aprovecha este tipo de
expansiones para mostrar algunas
identidades importantes como el
hecho que 0
2n
n
r
n
r
.
Justificacin
Los libros utilizados en nuestro
medio hacen referencia a la rela-
cin existente entre el tringulo
de Pascal y los coeficientes resul-
tantes de la expansin de un bi-
nomio; sin embargo, esta caracte-
rstica y otras no son explotadas
para obtener identidades propias
del nmero combinatorio, por lo
cual es necesario hacer un estudio
ms profundo de esta tabla num-
rica.
Justificacin
Si y . Cul
es el valor de ?
Se plantea un tema nuevo en el
sistema educativo, se trata de un
conjunto de tcnicas basadas en
manipulacin algebraica y bs-
queda de resultados intermedios
para obtener resultados a pro-
blemas similares al planteado.
Se observa muchas dificultades en
el estudiantado a la hora de resol-
ver problemas de este tipo.
Unidad 8: Utilicemos potencias
algebraicas.
Desarrollo Binomial LECCIN 8
Unidad 8: Utilicemos potencias
algebraicas
Tringulos Aritmticos LECCIN 9
Se sugiere ver al final de la
unidad nmero 9.
Sistemas Algebraicos No Lineales LECCIN 10
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Segunda parte
Lecciones
Contenidos trabajados con enfoque CTI.
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Figura 1. Estatua de Al-Hwarizmi, considerado el
padre del lgebra, ciudad de Xiva Uzbekistn, en la
antigua Unin Sovitica.
Introduccin del tema
En la historia de la especie humana la aritmtica surgi
debido a la necesidad de contar y medir distintas cosas.
Pasados los siglos, el ser humano adquiere un concepto
abstracto del nmero, lo cual genera una revolucin
matemtica y fundamenta el origen del lgebra.
El gran desarrollo experimentado por el lgebra se debi
sobre todo a los matemticos rabes y, muy en particular,
a Al-Hwarizmi (siglo IX d. C.), que sent las bases del
lgebra tal como la conocemos hoy en da.
El lgebra tiene por objeto generalizar todas las
cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades,
mientras en aritmtica las cantidades se representan
mediante nmeros que expresan valores determinados,
en lgebra las cantidades se representan mediante
smbolos que pueden representar cualquier valor que se
les asigne.
El manejo del lenguaje algebraico se vuelve fundamental
para poder resolver, tanto cuestiones generales como
particulares.
Competencias por lograr
Reflexionar sobre la manipulacin
y aplicacin del lenguaje alge-
braico.
Construir e interpretar modelos
matemticos.
Objetivos
Desarrollar la habilidad de mani-
pulacin algebraica para modelar
diversas situaciones.
Refinar el lenguaje algebraico
para la resolucin de problemas.
Presaberes
Operaciones bsicas.
Leccin 9 8 grado Unidad 5 Tiempo: 15 horas clase Leccin 1 9 grado Unidad Tiempo: 4 horas clase
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UN ESPACIO DE REFLEXIN
Es importante en estos momentos tomarse un
poco de tiempo y reflexionar sobre la
enseanza del lgebra en estos momentos de la
vida del estudiante.
Como docentes de matemtica, podemos
observar en la vida matemtica de un
estudiante, muchos momentos crticos en el
desarrollo de su aprendizaje. En sus primeros
aos, el estudiante conoce la utilizacin de los
nmeros, sus representaciones grficas y las
operaciones bsicas que con estos podemos
hacer, en pocas palabras aprende a manipular
el mundo de los nmeros naturales.
Un poco ms adelante se incorpora al mundo
de los nmeros racionales, aprende en este
nuevo mundo, para l, las operaciones y los
significados de estos elementos matemticos
que se incorporan a su vida. Ms adelante hace
lo mismo con el mundo de los enteros y de los
mismos nmeros reales, reaprende una y otra
vez las operaciones aritmticas, procesos y
significados.
Llegado el momento, se da un nuevo salto, se
inicia el mundo del lgebra, en el cual deber
reaprender de nuevo procesos y significados
de las operaciones ya conocidas por l.
Claro est, un estudiante tiene muchos
momentos crticos en distintas reas de la
matemtica; sin embargo, nuestro objetivo es
reflexionar un poco sobre el paso de la
aritmtica al lgebra que es lo que marca
nuestros grados del tercer ciclo de educacin
media, siendo el estudio del lgebra lo que
ocupa la mayor parte del estudio de la
matemtica en estos niveles.
Note que mientras se ensea aritmtica se
busca que los procesos y mtodos se
incorporen a la vida del estudiante de una
manera natural; por lo tanto, es lgico pensar
que al dar el paso al lgebra nuestro objetivo
como docentes sera lograr incorporar los
mtodos algebraicos a la vida y pensamiento
de nuestros estudiantes como algo natural;
pero entonces surge la pregunta cmo
logramos que el mtodo algebraico se
incorpore como algo natural?
Para lograr esto es necesario que, adems de
cambiar los smbolos, se produzca un cambio
en su significado, es decir, que no se haga
solamente una sustitucin de los nmeros por
letras, sino que se realice el paso de nmeros a
variables y para ello hay que realizar un
cambio, tanto de smbolo como de significado.
Es muy comn que el cambio se produce
nicamente en los smbolos y solo se realiza el
paso de nmeros a letras, dejando de lado los
significados. As tambin se dificulta en el
manejo del lgebra de parte de los estudiantes
debido al significado que poseen las letras,
refirindose al uso y significado de estas en
situaciones especficas:
a) Cuando se evala. Por ejemplo un
polinomio evaluado para 2.
b) Cuando es una incgnita especfica. Por
ejemplo si deseamos resolver alguna
ecuacin como 2 .
c) Cuando es una variable. Por ejemplo en la
representacin algebraica de un polinomio
como .
d) Cuando es un nmero generalizado. Por
ejemplo decir que todos los nmeros pares
son de la forma 2 .
Note que en cada uno de los casos, se utiliza la
misma letra x, pero en cada uno de los casos, la
interpretacin y el uso que se le da es distinto.
-
20
Discutir este tipo de cosas con los estudiantes
se vuelve fundamental para el buen
aprendizaje y manejo de las expresiones
algebraicas.
Esto nos conduce a reflexionar tambin sobre
el significado de los smbolos utilizados para
representar operaciones bsicas, sobre lo que
significan y representan en el rea de la
aritmtica y cmo se utilizan y se representan
en el mundo algebraico.
Dado que los smbolos son un recurso que nos
permite denotar y manipular abstracciones, se
vuelve importante reconocer la naturaleza y el
significado de estos para saber cmo
interpretar los resultados.
En aritmtica los signos de operacin indican
una accin que se va a realizar con nmeros, y
que da como resultado otro nmero, por lo
cual el significado de estos resulta ser un
procedimiento para llegar a la respuesta.
Mientras tanto en el lgebra simplemente
tienen un carcter de representacin, dado que
las operaciones que indican pueden realizarse
o simplemente quedar como operaciones
indicadas, por lo cual es necesario ampliar el
concepto de la notacin utilizada en las
operaciones aritmticas.
Debe resultar preocupante que un estudiante
de este nivel pueda dar respuesta a situaciones
como: si tienes $10 y gastas $5 cunto te
queda. Pero no pueda responder a situaciones
como: Si al inicio del da tenas x dlares y
gastaste $5 cunto dinero tendrs al final del
da?
Este tipo de situaciones son muy recurrentes
en nuestro sistema educativo, muchos de los
problemas presentados por los estudiantes en
este nivel, se deben a que no tienen claro el
significado de las operaciones que realizamos,
y de cmo estas estn presentes en todo
momento, sin duda, si experimenta con sus
estudiantes y hace preguntas parecidas a las
dos citadas, aplicadas en distintos contextos,
como edades, nmeros, tiempo, etc.,
seguramente encontrar que a la pregunta
aritmtica todo mundo le dar respuesta; pero
a la parte algebraica un buen porcentaje de los
estudiantes no sabrn responder. Intente lo
siguiente, pida a sus estudiantes dos nmeros
cuya diferencia sea 2, sin duda todos los
estudiantes le dirn un par de nmeros que
cumplan lo pedido.
Ahora pida que escriban en lenguaje algebraico
lo siguiente: dos nmeros cuya diferencia es 2,
cumplen adems que su producto es 168.
Notar usted que muy pocos lograrn escribir
( 2) o ( 2) o incluso
con 2. Esto debido a la
dificultad que implica escribir el lado izquierdo
de la ecuacin.
Detengmonos a hablar un momento del signo
igual, debido a la importancia didctica que
esta presenta. Es fcil encontrar situaciones en
las que la apariencia de la notacin aritmtica y
la notacin algebraica son muy similares, sin
embargo, los significados de estos son muy
diferentes, por lo cual se vuelve comn
confundirlos.
En el mundo de la aritmtica representa una
accin fsica, que es utilizada para conectar un
problema con su resultado numrico.
Es normal que este significado se traslade al
lgebra y se confunda con el signo igual de las
ecuaciones. A lo que nos referimos, claro est,
es que ( ) ( ) 2 siempre ser verdadero,
mientras que en la ecuacin ( ) ( ) 2 la
igualdad no ser cierta para todo valor de x, y,
por lo tanto, aqu se trata de encontrar un valor
especfico.
-
21
La manipulacin correcta de los mtodos
algebraicos, es de suma importancia a causa de
su amplio campo de aplicaciones, que se
muestran en diferentes procesos matemticos
como:
a) Generalizaciones, donde trminos
numricos son remplazados por variables.
b) Simplificaciones, expresiones parciales son
remplazadas por variables en expresiones
dadas.
c) Eliminaciones, variables implicadas en
expresiones son suprimidas.
d) Sustituciones, variables implicadas en
expresiones son reemplazadas por
expresiones dadas.
e) Particularizaciones, variables se
reemplazan por valores especficos para la
verificacin de ciertas expresiones.
La correcta comprensin de los mtodos
algebraicos abrir al estudiante la oportunidad
de un mejor aprendizaje de la matemtica en
otras de sus reas y de una buena ventaja en el
estudio de otras ciencias.
Sobre el lenguaje algebraico
Tericamente muy poco se puede hablar al
respecto, como con cualquier lenguaje, el arte
de dominarlo nicamente se adquiere con la
prctica, el estudio y la repeticin de los
procesos, acompaado siempre de la mano del
entendimiento de las formas. El traductor
experto es aquel que prctica a diario el
manejo del lenguaje.
Dado que los estudiantes del noveno grado ya
tienen experiencia en el uso de lenguaje
algebraico, pues ya lo han usado durante todo
el octavo grado, dedicaremos estas pginas a
mostrar algunas actividades que pueden
ayudar que el dominio del lenguaje adquirido
durante el transcurso de los grados anteriores
mejore.
Planteamos dos tipos de actividades
La primera presenta dos situaciones
especficas acompaadas de una tabla y un
problema, la tabla trae la escritura en lenguaje
comn y en lenguaje algebraico, esto con el fin
que el estudiante relacione una forma con la
otra, el problema versa sobre una situacin que
tiene que ver con la escritura practicada en la
tabla; en esta actividad la primera de las
situaciones muestra la solucin tanto de la
tabla como del problema, con comentarios
acerca del trabajo por realizar con los
estudiantes; mientras que la segunda situacin
no muestra la solucin, sin embargo, el trabajo
en el aula ser anlogo al de la primera
situacin.
La segunda de las actividades muestra dos
situaciones en las que se pide hacer la
traduccin de un lenguaje a otro. Note que la
diferencia de esta actividad con la anterior
radica en el hecho de que ac no se muestran
los dos tipos de escritura, sino se pide
encontrar la forma faltante.
Actividad 1
Objetivo: Estudiar y profundizar sobre las expresiones del lenguaje algebraico.
Indicaciones
Para cada una de las situaciones siguientes, complete la tabla, trasladando el nmero de la
izquierda correspondiente a las expresiones en lenguaje comn, con su correspondiente expresin
en lenguaje algebraico.
-
22
Luego discuta con los estudiantes el problema planteado.
Situacin 1. Un problema de edades. Representemos con x la edad de Carlos
No. Lenguaje comn No. Lenguaje algebraico
1 El doble de la edad de Carlos. 3 x-20
2 La edad de Carlos hace 10 aos. 4,6 x-30
3 La edad de Daniel, hijo de Carlos que es 20 aos menor que l. 8 2x-30
4 La edad de Daniel hace 10 aos. 4,6 x-30
5 La edad de Carlos dentro de 10 aos. 1 2x
6 La edad de Mara, hija de Carlos, quien naci cuando l tena
30 aos.
5 x+10
7 La edad del padre de Carlos, quien tiene el triple de la edad
que Carlos tena hace 10 aos.
10 x/2
8 La suma de las edades de los dos hijos de Carlos. 9 2x-50
9 La diferencia entre la edad del padre de Carlos y la de Carlos. 7 3x-30
10 La mitad de la edad de Carlos. 2 x-10
Es importante, para rellenar esta tabla, discutir
con el grupo de estudiantes acerca del proceso
de traduccin desde el lenguaje comn hacia el
lenguaje algebraico, por ejemplo:
Decir que el doble de la edad de Carlos es 2x,
lleva inmerso el siguiente trabajo de
traduccin, que para algunos resulta ms
complicado que para otros: dado que la edad
de Carlos es x, entonces el doble de la edad de
Carlos es el doble de x, ahora el doble de x se
escribe como 2x, note que existe un paso
intermedio entre la lectura el doble de la edad
de Carlos y la escritura 2x, el cual muestra la
comprensin de lo que est pasando y es la
lectura el doble de x.
Decir que la edad de Carlos hace 10 aos es x-
10, implica haber realizado el siguiente
anlisis: hablar de una edad en pasado,
significa retroceder en la lnea del tiempo, si la
lnea del tiempo la vemos como la recta
numrica, retroceder en el tiempo sera
retroceder en la recta numrica desde un
punto dado, sabemos que la operacin
relacionada a un retroceso en la recta numrica
es la resta, por lo tanto ac tendramos que
plantear una resta.
Esto resulta muy lgico si a un estudiante,
digamos de 15 aos, se le pregunta la edad que
tena hace 10 aos, sin pensarlo responder 5
aos, pida qu explique que hizo para
responder , sin lugar a duda le dir a le
quit (rest) 0.
Discutir el hecho de que estos procesos
mentales no cambian sin importar que la
pregunta se la hubiesen hecho a la edad de 14,
16, 17 aos a cualquier otra, lo nico que
cambia es la respuesta en cada momento, es de
suma importancia para pasar de lo particular
que fue 15-10, a lo general que es x- 0 la edad
que tena hace 10 aos en cualquier momento
x de su vida. De forma anloga se puede
hablar de las edades en el futuro,
representadas con la operacin suma.
Es importante detenerse unos momentos en
los literales 4 y 6, reflexionar que una
expresin en lenguaje algebraico puede tener
muchas traducciones al lenguaje comn, podra
planterseles que describan lo que podra
-
23
significar la expresin x-30 en una situacin
distinta a la de la edad.
Esta discusin es muy importante en el sentido
de ver que el lenguaje algebraico utilizado en
una situacin especfica nos puede ayudar a
traducir y resolver otras situaciones muy
distintas a esta.
Como dira Polya Siempre que resuelva un
problema, piense si alguna vez ha resuelto un
problema con caractersticas parecidas, esto,
claro, abarca desde el uso de tcnicas
especficas, hasta el uso del lenguaje
algebraico.
Problema: un profesor de Matemtica, en sus
vacaciones, se hosped en un hotel junto con
su padre y sus dos hijas. Al registrarse, la
persona que los atendi, quien tambin era
aficionado a las matemticas, les dijo que para
registrarlos necesitaba saber sus edades. Por lo
cual sostuvieron el siguiente dilogo:
Profesor: Te dir que la suma de las edades de
mis dos hijos, es aun 20 aos menos que la
diferencia entre la edad de mi padre y la ma.
Encargado: Disculpe, pero esa informacin aun
no me es suficiente para saber sus edades.
Profesor: Quiz te sirva saber que mi hija naci
el da exacto en el que yo cumpla los 30. Y que
a estas alturas he vivido el doble que mi hijo.
Encargado: Aun con esa informacin no soy
capaz de saber sus respectivas edades.
Profesor: Bueno solo te dir que mi padre tiene
tres veces la edad que yo tena hace 10 aos
Encargado: Permtame, los registro en un
minuto.
Profesor: Gracias.
Encargado: Es curioso, si en lugar de decirme
que ha vivido el doble que su hijo me hubiese
dicho que su hijo es 20 aos menor que usted,
yo jams habra sabido sus edades.
Tal como lo hizo el encargado del hotel
puedes determinar las edades de los cuatro
huspedes? Puede explicar el ltimo
comentario del encargado del hotel?
Solucin
Debemos iniciar reflexionando sobre lo que
nos dice el problema, preguntar al estudiante si
tiene claro qu se nos pide, qu incgnitas
intervienen, qu datos conocemos, si
conocemos problemas parecidos a este, qu
plan de trabajo podramos utilizar para
encontrar la solucin.
Luego de esto podemos enfocarnos en cules
partes del problema nos dan ideas de cmo
iniciar nuestro ataque, se vuelve claro que la
primera frase del profesor se vuelve
fundamental.
El primer dato dado por el profesor nos
permite imaginar que podemos plantear la
igualdad
Suma de las edades de los hijos = (diferencia
entre las edades del abuelo y el padre) 20.
Si logramos plantear esta igualdad en forma de
ecuacin, utilizando lenguaje algebraico,
entonces tendremos resuelto el problema.
Aqu se vuelve importante discutir el resto de
la informacin del problema, para ver en torno
a quin gira la informacin, para seleccionar
alguna forma conveniente de traducir nuestro
problema.
Dado que la informacin de los dems la
entrega el profesor en funcin de su edad,
puede resultar cmodo iniciar la traduccin
dndole a la edad del profesor el nombre x,
esto, claro est, no es obligacin, la ventaja de
la matemtica es que los problemas se pueden
-
24
resolver de mltiples formas, alguien puede
iniciar dndole el nombre de x a la edad de
cualquiera de los involucrados, es interesante
discutir esas variantes con los estudiantes, y
ver las distintas ecuaciones que se consiguen al
final, pues al no hacer eso se transmite la mala
idea de que esta es la nica solucin posible.
Supongamos que la edad del profesor es x
aos, por lo tanto la hija del profesor tendr x-
30 aos y el hijo tendr x/2 aos y la suma de
las edades de los hijos sera x - 30+ x/2.
Tendramos que nuestra igualdad tendra la
forma
x - 30 + x/2 = (edad del abuelo) - x -20
Para encontrar la edad del abuelo tenemos que
la edad del profesor hace 10 aos fue x-10 y el
triple de esto sera 3(x-10). As nuestra
igualdad tomara la forma
x - 30 + x/2 = 3(x-10) - x -20
En cada uno de los momentos previos es
importante discutir la forma de construccin
de las expresiones en lenguaje algebraico y nos
podemos apoyar de la discusin previa
realizada para completar la tabla.
Al resolver esta ecuacin tendramos x 0,
por lo que las edades son 90, 40, 20 y 10.
La segunda pregunta se vuelve muy
interesante para estudiar, note que
simplemente se ha cambiado un dato por otro,
veamos qu es lo que sucede.
Si el dato del hijo cambia a ser 20 aos menor,
es decir x-20, nuestra igualdad sera
x - 30 + x - 20 = 3(x-10) - x -20
o lo que es lo mismo al operar
2x 50 = 2x 50
0 = 0
Por lo cual es imposible determinar las edades.
Note que la sustitucin de un dato por otro
hace que la ecuacin se transforme en una
identidad, la igualdad que obtuvimos se
cumple para todo x, sin embargo, no se cumple
para todas las edades del grupo familiar, pues
aunque las edades de los hijos y del padre el
prximo ao seguirn representados por el
mismo lenguaje algebraico, la expresin de la
edad del abuelo, no ser representada de la
misma forma.
Hay que reflexionar lo siguiente, en muchas
ocasiones las traducciones algebraicas que
usamos nos pueden conducir a callejones, que
pueden aparentar o ser sin salida, como este
que encontramos ac, en muchas ocasiones eso
se debe a que hemos hecho una traduccin no
til, por ejemplo tomar como inicio de nuestra
traduccin un dato que no era el ms ptimo,
por lo tanto el estudiante debe comprender
que las traducciones a lenguaje algebraico se
pueden hacer de muchas maneras, cada una de
las cuales nos lleva a una expresin distinta;
sin embargo, en este caso el encargado del
hotel tena razn, con ese dato todas las
posibles traducciones eran caminos sin salida,
eso hace que tengamos la siguiente reflexin,
es necesario que usted, como docente, se tome
el cuidado de revisar la informacin planteada
en los problemas que se proponen en el aula,
para evitar frustraciones de parte de los
estudiantes.
-
25
Situacin 2. Un problema de nmeros. Dados dos nmeros el primero a, el segundo b.
No. Lenguaje comn No. Lenguaje algebraico
1 El doble del primero a - b
2 La suma de ambos nmeros (a+b)2
3 La diferencia del primero con el segundo 3b a
4 El producto de ambos nmeros 2
5 El producto del doble del primero con el segundo a+b
6 Sustraer del segundo el primero b a
7 El cuadrado de la suma de los dos nmeros 2a b
8 La suma de los cuadrados de los dos nmeros 3(a-b)
9 El triple del segundo por el primero a2 + b2
10 El triple de la diferencia de los dos nmeros ab
Problema: Juan y scar mantienen el siguiente
dilogo:
Juan: He pensado dos nmeros y s que no los
podrs adivinar.
scar hbil con el lgebra le dice:
scar: Si me respondes tres preguntas
seguramente los encontrar.
Juan: Dime tus preguntas.
scar: Cul es el producto de los nmeros?
Juan: 84.
scar: Cul es la suma de sus cuadrados?
Juan: 193.
scar: Cul es la diferencia entre los nmeros?
Juan: 5.
scar: Fcil, los nmeros son 7 y 12.
Juan: Increble, acertaste.
Puedes explicar cmo scar encontr los dos
nmeros.
Nota: Es importante ver en este problema que a
pesar que no es un problema de los que a estas
alturas se conocen por los estudiantes, resulta
til para repasar el binomio al cuadrado, esto,
pues, las dos primeras preguntas que hace
Oscar son los elementos de una expansin
binomial. La tercera pregunta ayuda a cambiar
la forma (a+b)2 a la forma (a+a+5)2.
Actividad 2
Objetivo: Desarrollar la habilidad y manipulacin sobre las expresiones del lenguaje algebraico.
Indicaciones: Para cada una de las situaciones siguientes, traduzca al lenguaje algebraico cada caso
escrito en lenguaje comn.
Situacin 1. Un problema de dinero. Representemos con n la cantidad de dinero de Jorge
a) Enrique tiene 10 dlares ms que Jorge.
b) Ana tiene 15 dlares menos que Enrique.
c) Juan tiene la misma cantidad de dinero que Jorge con Enrique.
d) Carlos tiene el doble de dinero que Ana.
e) Manuel tiene 5 dlares menos que el doble de lo que tiene Ana.
-
26
Situacin 2. Un problema de reas. Suponga un rectngulo de base b
a) La altura es 15 unidades mayor que la base.
b) El permetro del rectngulo.
c) El rea del rectngulo.
d) El doble del rea del rectngulo.
e) La razn entre el rea y el permetro.
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
1. Arcavi, A. (1995). El sentido de los smbolos. Generacin de intuiciones en matemticas formal.
2. Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra en D.A. GROWS (ed.), Handbook
of research on mathematics teaching and learning. MacMillan Et N.C.T.M. Nueva York.
3. Thaeler, J.S. (1986). A New Solution to an Old Problem-Solving Word Problems in Algebra en
Mathematics Teacher.
Referencias de imgenes
1. Figura 1: Fuente
http://www.naciodigital.cat/blocdefotos/index.php?seccio=noticies&accio=veure&id=27
358&autor=1187
-
27
00000000000
Figura 1. Interseccin de rectas en el plano,
paralelas con una perpendicular en el plano
cartesiano.
Introduccin del tema
La interpretacin de la recta como una ecuacin en dos
variables en el inicio de la Geometra Analtica.
La idea que llev a la geometra analtica fue: a cada punto
en un plano le corresponde un par ordenado de nmeros
y a cada par ordenado de nmeros le corresponde un
punto en un plano.
Lo novedoso de la geometra analtica es que permite
representar figuras geomtricas mediante frmulas del
tipo f(x, y) = 0.
Tanto en el campo terico-acadmico, como en la vida
cotidiana, la geometra nos rodea, y es parte
imprescindible de nuestra propia humanidad.
Competencias por lograr
Construir e interpretar modelos
matemticos
Objetivos
Desarrollar la habilidad de mani-
pulacin algebraica para modelar
diversas situaciones.
Refinar el lenguaje algebraico
para la resolucin de problemas.
Presaberes
Operaciones bsicas.
Leccin 9 8 grado Unidad 5 Tiempo: 15 horas clase Leccin 2 9 grado Unidad 2 Tiempo: 12 horas clase
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28
INTRODUCCIN
Considere un plano w. Las rectas ,
pertenecen a este plano, se cortan en y son
perpendiculares.
Figura 2. Plano w, conteniendo dos rectas
perpendiculares.
Al punto le llamaremos origen del plano.
Partiendo de es posible llegar a cualquier
otro punto del plano, nicamente utilizando
dos clases de movimientos: uno sobre la recta
y el otro paralelo a la recta .
Diremos que ambos movimientos son dirigidos
puesto que moverse unidades sobre la recta
partiendo de y hacia la derecha no es lo
mismo que moverse las mismas unidades,
pero hacia la izquierda.
Las rectas , son llamadas ejes coordenados.
Por convencin asignaremos un signo a cada
clase de movimiento: moverse hacia arriba
ser positivo y hacia abajo ser negativo,
Moverse hacia la derecha ser positivo y a la
izquierda negativo.
Si para llegar al punto partiendo del origen
es necesario moverse unidades dirigidas
(con signo) sobre el eje y unidades
dirigidas en direccin paralela al eje entonces
diremos que el punto posee coordenadas
( , ).
A cada punto del plano se le asocia un par
ordenado de nmeros reales ( , ).
Inversamente, a cada par ordenado de
nmeros reales es posible asociarle uno y slo
uno de los puntos del plano. La biyeccin
existente entre los puntos del plano y los pares
ordenados ( , ) nos permite definir un
punto como cualquier par ordenado de
nmeros reales ( , ). De aqu en adelante
utilizaremos los conceptos punto y par
ordenado para referirnos a lo mismo.
REAS
Nuestro objetivo es encontrar las propiedades
que cumplen las coordenadas de familias de
puntos alineados. Antes de desarrollar tal tema
nos concentraremos en algunas propiedades
elementales de rea en trminos de
coordenadas de puntos que utilizaremos ms
adelante.
En geometra elemental se define el rea de
todo tringulo como un medio del producto de
la base por su correspondiente altura. Suponer
que el punto tiene coordenadas ( , ) y sea
la proyeccin de sobre el eje . Por
definicin el tringulo es rectngulo en
de donde el rea de , que simbolizaremos
como , -, ser igual a:
Figura 3. Ilustracin de la forma geomtrica de encontrar
el rea de un tringulo
El rea , - ser positiva cuando las
coordenadas del punto tengan el mismo
-
29
signo (negativa en los otros casos). Por
convencin diremos que
2
es el rea orientada (con signo) del tringulo
. Considere ahora un segundo punto de
coordenadas ( , ) y sean , las
proyecciones de sobre los ejes ,
respectivamente.
Figura 4. Proyecciones de puntos hacia los ejes X y Y.
La proyeccin de sobre el eje es .
Finalmente, sea la interseccin de las rectas
, . El rea del tringulo puede
calcularse observando que
, - , - , - , -
Por otro lado es evidente que el rea de es
la mitad del rea del cuadriltero . El rea
de es un medio del rea del cuadriltero
. Finalmente, dado que
, - ( )
, - ( )
, -
2( )( )
se obtiene la siguiente ecuacin, cierta para
cualesquiera dos puntos , del plano:
, -
2( )
2( )
2( )( )
2( )
LA LNEA RECTA
Considerar un tercer punto de coordenadas
( , ). Fcilmente se observa
, - , - , - , -
Haciendo uso del resultado que deducimos en
la seccin anterior se tiene:
, -
2( )
2( )
2( )
Que es una manera elegante y fcil de
encontrar el rea de un tringulo en funcin de
sus coordenadas. En especial, aplicando esta
frmula varias veces es posible encontrar el
rea de todo polgono si son conocidas las
coordenadas de sus vrtices.
Figura 5. Vista geomtrica de la suma de
, - , - , - , -
Ahora estamos listos para encontrar la
ecuacin o condicin que deben cumplir tres
puntos para que estn alineados. Considere los
tres puntos , , de coordenadas
( , ) ( , ) ( , ) respectivamente.
Si suponemos que los puntos , , estn
alineados, entonces el rea del tringulo
debe ser cero.
Inversamente, supongamos que los puntos
, , son tales que el rea del tringulo
es cero. Dado que la distancia de a es
-
30
distinta de cero y el rea de todo tringulo es
proporcional a su altura, concluimos que la
distancia del punto a la recta es cero. En
consecuencia los puntos , , estn
alineados.
Hemos demostrado que los puntos , ,
estn alineados s y slo si el rea del tringulo
es cero. Analticamente, utilizando el
resultado expuesto al inicio de esta seccin,
concluimos que los puntos
( , ) ( , ) ( , ) estn alineados s y
solo si la siguiente igualdad es cierta:
( ) ( )
( ) 0
A manera de ejercicio demostraremos que los
puntos ( , ) ( ,2) y( , ) estn alineados:
( 2) ( )
( 2) ( 2) ( ) ( ) 0
que en efecto demuestra lo planteado.
Fijemos dos puntos , de coordenadas
( , ) y ( , ) respectivamente y
encontremos todos los puntos R de
coordenadas ( , ) que pertenecen a la recta
. Dado que todos esos puntos que nos
interesan pertenecen a la recta , entonces el
rea de siempre debe ser cero. En
consecuencia la siguiente igualdad deber
cumplirse:
( ) ( )
( ) 0
Ahora podemos reagrupar los trminos en la
ecuacin anterior para obtener:
( ) ( )
que se puede reescribir de la siguiente manera:
que es la ecuacin estndar de la lnea recta
pasando por los puntos ( , ) ( , ). Para
cada nmero real es posible encontrar un
nmero real tal que el punto ( , )
pertenezca a la recta pedida.
El coeficiente que acompaa a la variable en
la que hemos llamado la ecuacin estndar de
la recta es conocido como la pendiente de la
recta.
Observar que el eje es la lnea que une los
puntos (0,0) ( ,0) de donde la ecuacin del
eje viene dada por
( ) ( )
(0 0) ( 0) 0 0
0
De igual manera, la ecuacin del eje est dada
por
0
En el caso en que el denominador
se convierte en cero y la ecuacin
estndar encontrada no es vlida.
En tales casos se dice que la recta que une los
puntos ( , ) ( , ) es vertical.
INTERSECCIN DE RECTAS
Ya hemos demostrado que la ecuacin de toda
recta tiene la forma
donde , son nmeros reales. Considere una
segunda recta de ecuacin .
Llamemos al punto de interseccin de tales
rectas. Dado que el punto pertenece a la
primera recta, entonces sus coordenadas ( , )
cumplen la primera ecuacin. Dado que el
punto tambin pertenece (por definicin) a
la segunda recta, entonces sus coordenadas
-
31
( , ) tambin satisfacen la segunda ecuacin.
Concluimos que las coordenadas del punto de
interseccin deben satisfacer el siguiente
sistema lineal de ecuaciones en las variables
, :
{
Restando las ecuaciones se obtiene
0 ( ) ( )
de donde, asumiendo , se obtiene
En el caso en que las rectas sean distintas y
adems se obtiene 0 que es una
contradiccin puesto que en tal caso ambas
rectas tienen igual ecuacin, y por tanto son la
misma. Para tales parejas de rectas no existir
un punto ( , ) que pertenezca a ambas rectas
y por tanto no se cortan. En otras palabras, las
rectas
{
Son paralelas s y slo si .
Figura 6. Interseccin de rectas.
Los coeficientes , son comnmente
conocidos como pendientes de la recta.
Observar que para poder afirmar que es la
pendiente de una recta, la ecuacin de tal recta
debe poder expresarse en la forma
Considere una recta aleatoria de ecuacin
:
Ya hemos demostrado que la ecuacin del eje
es 0. El punto de interseccin ( , ) de la
con el eje deber cumplir
{ 0
De donde inmediatamente
y por tanto
el punto de interseccin ser
(
, 0)
Ahora encontraremos la interseccin de con
el eje . Puesto que la ecuacin del eje es
0, tal punto de interseccin debe cumplir
el siguiente sistema ecuaciones en las variables
, :
{ 0
de donde directamente se obtiene . El
punto de interseccin buscado es
(0, )
Es comn encontrar en libros de Geometra
Analtica que a la constante se le llame
intercepto puesto que indica el punto en donde
la lnea corta al eje .
PENDIENTE
Como ya demostramos, la ecuacin de la recta
que pasa por los puntos ( , ) ( , ) tiene
la forma
para los casos en que . Hemos definido
la pendiente de tal recta como el coeficiente
que acompaa a la variable . En otras
palabras: la pendiente que pasa por los puntos
( , ) ( , ) es
-
32
Este cociente no depende de los puntos que
escojamos sobre una reta fija. Ahora daremos
una interpretacin geomtrica-trigonomtrica
de tal nmero.
Observar el grfico a continuacin
Figura 7. Grafico que muestra los puntos para
obtener la pendiente de una recta.
Es fcil deducir que la pendiente de la recta
corresponde a tan donde es el ngulo
dirigido (medido en direccin contraria al
sentido en que giran las agujas del reloj) que
forma la recta con el eje . De aqu que si
tres puntos , , estn alineados, entonces la
pendiente entre los puntos , es igual a la
pendiente entre los puntos , .
Para toda recta definimos como su
pendiente.
Fcilmente se comprueba que si la recta es
paralela al eje entonces su pendiente es cero.
Para rectas paralelas al eje la pendiente no
est definida.
RECTAS PERPENDICULARES
Encontraremos una condicin necesaria y
suficiente para que las rectas
:
:
sean perpendiculares. Asumiremos de entrada
que ninguna de ellas es paralela a los ejes
coordenados, es decir, tanto como son
nmeros reales definidos y diferentes de cero.
Sea el ngulo en que corta al eje . Sea el
ngulo en que corta al eje . De la seccin
anterior obtenemos
tan tan
De donde
tan ( ) tan ( )
Las rectas , son perpendiculares s y solo si
la resta es mltiplo de
que es s y solo
si tan( ) est indefinida.
Por otro lado sabemos que
tan( ) tan(tan ( ) tan ( ))
que est indefinida solo para el caso .
Se concluye que las rectas , son
perpendiculares s y solo si el producto de sus
pendientes es .
Ejemplo: Demostrar que la recta que une los
puntos ( , ) ( ,2) es perpendicular a la
recta que une los puntos ( , ) ( , ).
Solucin: La pendiente de la recta que pasa por
los puntos ( , ) ( ,2) es
2 ( )
( )
9
La pendiente de la recta que pasa por los
puntos ( , ) ( , ) es
2
Tendremos
de donde las
rectas deben ser perpendiculares y la
demostracin finaliza.
-
33
RECTA DADO UN PUNTO Y LA PENDIENTE
Se desea encontrar una recta que pase por un
punto ( , ) y adems, tenga pendiente .
Observar que todo punto ( , ) sobre la recta
deseada debe cumplir la igualdad
de donde
( ) ( )
que claramente tiene pendiente .
DISTANCIA
Una aplicacin directa del teorema de
Pitgoras es que la distancia entre los puntos
( , ) ( , ) est dada por
( ) ( )
Figura 8. Distancia entre dos puntos.
PUNTO MEDIO
Sea el punto medio del segmento . Los
puntos , tienen coordenadas
( , ) ( , ) respectivamente.
Las proyecciones de , sobre el eje son ,
respectivamente. En el cuadriltero los
lados , son paralelos. Aplicando el
teorema de Thales, la proyeccin de sobre el
eje debe ser el punto medio del segmento .
Se concluye que la coordenada en del punto
medio del segmento es
( ).
De manera anloga se encuentra la coordenada
en el eje . El punto tendr coordenadas
( 2
, 2
)
Figura 9. Punto medio de una recta AB
Los pasos generales para la demostracin del
resultado anterior, sin hacer uso del teorema
de Thales, son los siguientes:
El punto equidista de los puntos , y por
tanto la siguiente igualdad debe satisfacerse:
( ) ( )
( ) ( )
Adems, dado que el punto pertenece a la
recta uniendo y entonces debe satisfacer la
ecuacin de esa recta:
Simultaneando se obtiene la respuesta
deseada.
CONCURRENCIA
Son dadas tres rectas
:
:
:
Estamos interesados en encontrar la condicin
necesaria y suficiente para que tales rectas
concurran.
Simultaneamos las primeras dos ecuaciones
para encontrar su punto de interseccin:
-
34
( )
Despejando:
( )
El punto de interseccin de las rectas , ser
(
, ( ) ( )
)
La recta pasar por el punto de interseccin
de y s y solo si el punto encontrado
satisface la ecuacin de :
( ) ( )
(
)
Reescribiendo:
( ) ( )
( ) ( )
Que es s y solo si
( ) ( ) ( ) 0
Retrocediendo un poco hasta la primera
seccin de este escrito encontraremos que esta
es la condicin necesaria y suficiente para que
los puntos ( , ) ( , ) ( , ) estn alineados.
Hemos demostrado la siguiente propiedad:
Propiedad: Las rectas
:
:
:
concurren s y solo si los puntos
( , ) ( , ) ( , ) estn alineados.
Ejemplo: Demostrar que las rectas que pasan
por las parejas de puntos siguientes son
concurrentes:
( , ) ( ,0)
( ,2) ( , )
(2, ) ( , )
Solucin: Primeramente encontraremos las
ecuaciones de cada una de las tres rectas:
:
0
:
: 2
2
2
:
2
2
:
2
2 2
: 2
Aplicando el resultado que hemos demostrado
con
2
se tiene
( ) ( ) ( )
( 2 ) (
2
2) (
2 ) 0
que demuestra lo pedido.
CENTROIDE
Demostraremos que las rectas que unen los
vrtices de un tringulo con los puntos medios
de los lados opuestos concurren.
Figura 10. Centroide de un tringulo.
Considerar los puntos , , de coordenadas
( , ) ( , ) ( , ) respectivamente.
Llamemos al punto de coordenadas
-
35
(
,
)
Llamemos , , a los puntos medios de los
lados , , respectivamente.
En secciones anteriores encontramos las
coordenadas del punto medio de un segmento.
Fcilmente se verifica que las coordenadas de
los puntos , , son
( 2
, 2
)
( 2
, 2
)
( 2
, 2
)
respectivamente. La pendiente de la recta que
une y es:
2
2
2 ( )
2 ( )
Calcularemos ahora la pendiente de la recta
que une los puntos y :
2
2
2 ( )
2 ( )
Como las rectas , tienen igual pendiente
entonces son paralelas. Como adems
comparten el punto entonces coinciden y por
tanto los puntos , , estn alineados.
De manera anloga se concluye que las rectas
, contienen al punto y por tanto las
medianas del tringulo concurren en . A
este punto llamaremos el baricentro del
tringulo.
El mtodo utilizado en la demostracin de este
resultado no siempre es factible puesto que
en determinados problemas no es fcil adivinar
las coordenadas del punto buscado.
Actividad 1.
Objetivo
Definir y estudiar las propiedades del baricentro de un cuadriltero.
Baricentro: Considerar un cuadriltero no degenerado . Las coordenadas de los vrtices
, , , son ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) respectivamente. Se definen , , , como los
baricentros de los tringulos , , , respectivamente. El baricentro del
cuadriltero se define como el punto de concurrencia de las rectas , , , .
Nuestro objetivo ser demostrar el resultado anterior para el caso especial en que (2, ),
( , ), ( ,2), (2, ).
-
36
Figura 11. Baricentro de un cuadriltero.
Sugerencias para resolver el problema
Permita a sus estudiantes encontrar las coordenadas del baricentro de cada uno de los
tringulos mencionados.
Discuta las posibles formas en que se puede demostrar la concurrencia de las rectas
, , , .
Permita a sus estudiantes utilizar su propio mtodo (el que resulte ms conveniente para ellos)
Sugiera construir un punto de coordenadas .
,
/.
Sugiera demostrar que el punto anteriormente definido, est sobre cada una de las rectas
, , , y haga referencia a la demostracin dada para el baricentro de un tringulo.
Permita que sus estudiantes concluyan el problema.
ADICIONAL
Discuta las posibles maneras de resolver el caso general.
Demuestre el caso general.
Actividad 2
Objetivo
Desarrollar un mtodo que permita encontrar la distancia entre dos rectas paralelas.
Son dadas las ecuaciones de dos rectas paralelas
Se desea encontrar la distancia que separa a tales rectas.
-
37
Nuestro objetivo especfico ser encontrar la distancia que separa a las rectas
:
:
Figura 12. Distancia entre rectas paralelas.
Sugerencias para resolver el problema
Comience discutiendo el significado de la distancia de un punto a una recta.
Discuta el significado de distancia entre rectas paralelas.
Sugiera tomar un punto especfico sobre una de las rectas ( ).
Sugiera encontrar la ecuacin de la recta que pasa por y que es perpendicular a .
Discuta la manera en que puede encontrarse el punto de interseccin de esta recta
perpendicular a y la recta .
Permita a sus estudiantes llegar a una respuesta concreta.
Actividad 3:
Objetivo
Aplicar las propiedades de la pendiente en la resolucin de problemas analticos sencillos.
Es dado un tringulo . Sea el tringulo formado por los puntos medios de los lados de
. Sea el tringulo formado por los puntos medios de los lados de . De manera
anloga se definen los tringulos , , .
Nuestro objetivo especfico ser demostrar que los baricentros de todos estos tringulos coinciden
para un caso especfico y para el caso general. Para el caso especfico se pide trabajar con los puntos
( ,2) (2, ) ( , ).
-
38
Sugerencias para resolver el problema
Comience discutiendo el caso especfico en que ( ,2) (2, ) ( , ).
Encuentre los baricentros de los tringulos , , .
Sugiera a los alumnos encontrar un patrn que permita generalizar el problema.
Para el caso general sugiera demostrar colinealidad de puntos.
Discuta con los alumnos qu colinealidades conviene demostrar.
Demuestre el caso general guindose por el caso especfico.
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
1. Kletenik, (1979). Problemas de Geometra Analtica. Editorial MIR, Mosc,
2. Lehmann Charles, (1980). Geometra Analtica, Editorial LIMUSA, Mxico.
3. Ya.S. Burgrov S.M. Nikolski, Elementos de lgebra Lineal y Geometra Analtica, Editorial MIR,
Mosc.
-
39
00000000000
Figura 1. Un sistema de ecuaciones lineales
plano solo puede tener una solucin, ninguna
solucin o infinitas soluciones.
Introduccin del tema
Encontrar las soluciones de un sistema lineal es uno de
los principales temas estudiados en el lgebra Lineal. La
teora de Matrices y determinantes es de especial
importancia en la solucin de sistemas lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales son ampliamente
utilizados en la geometra analtica, y tienen aplicaciones
en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias
sociales.
La importancia de la matemtica en el desarrollo
cientfico y tecnolgico de la humanidad est
determinado por la posibilidad de elaborar modelos
matemticos de sucesos reales, ya sea de la ciencia o de la
tcnica.
Competencias por lograr
El Clculo Simblico.
Dominio Algebraico.
Modelaje Matemtico.
Objetivos
Comprender los distintos
mtodos de solucin de
ecuaciones lineales de cuatro o
menos incgnitas.
Aplicar los diferentes mtodos
en la solucin de problemas que
requieran el uso de sistemas
lineales.
Presaberes
Operaciones algebraicas
elementales.
Leccin 9 8 grado Unidad 5 Tiempo: 15 horas clase Leccin 3 9 grado Unidad Tiempo: 8 horas clase
-
40
INTRODUCCIN
Por sistema lineal de ecuaciones se entender
un conjunto o familia de ecuaciones que
presenta una o ms incgnitas, todas ellas con
exponente uno. El siguiente es un ejemplo de
un sistema lineal de ecuaciones que consta de
tres ecuaciones y tres variables
{
2 0 0 2
En la primera ecuacin de este sistema
aparecen tres variables, todas ellas con
exponente uno. En la segunda ecuacin
aparecen nuevamente las tres variables, pero
esta vez el coeficiente que acompaa a la
variable es cero.
Finalmente, en la tercera ecuacin, vuelven a
aparecer las mismas tres variables, pero esta
vez el coeficiente de la variable es cero. Notar
que es posible reescribir el sistema de la
siguiente manera:
{
2 00 0 2 0
en el cual todas las variables aparecen de
manera explcita en todas las ecuaciones que
conforman el sistema, pero por comodidad y
para simplificar futuros clculos algunas veces
ser ms conveniente no escribir las variables
en aquellas ecuaciones en que su coeficiente
sea cero.
Algunas veces los sistemas de ecuaciones
aparecen acompaados de constantes que se
desconocen. En tal caso llamaremos
parmetros a los valores constantes y variables
a los valores que se desea encontrar. Ser
necesario que el problema por resolver
especifique cules son parmetros y cules
variables.
Para ejemplificar, considerar la ecuacin
2 . Esta ecuacin presenta una nica
variable a la cual se ha llamado . La ecuacin
anterior puede ser obtenida de 2 al
darle al parmetro el valor 7. Para cada valor
del parmetro se obtiene una solucin .
Para problemas de este tipo es necesario saber
de antemano si representa un valor por
encontrar o si es un parmetro.
Considerar una ecuacin lineal del tipo
donde , , son las variables. Toda solucin
( , , ) de esta ecuacin tambin es solucin
de
( ) ( ) ( )
Si adems, escogemos tal que 0 entonces
toda solucin de la ltima es una solucin de la
primera. Esto es puesto que la igualdad
( ) ( ) ( )
implica
( ) 0
y puesto que 0 necesariamente debe
cumplirse
( ) 0
En tal caso diremos que las ecuaciones
( ) ( ) ( )
son equivalentes.
Dos ecuaciones lineales son equivalentes si
tienen las mismas soluciones.
-
41
En general un sistema lineal puede no tener
igual cantidad de ecuaciones que variables.
Para un sistema que presenta ecuaciones y
variables diremos que una ecuacin es
deducible o es consecuencia de las restantes si
es posible obtenerla mediante sumas o restas
de las restantes ecuaciones (o de
ecuaciones equivalentes a ellas).
En sistemas de ecuaciones que presentan
una ecuacin deducible de las restantes
es posible borrar tal ecuacin y trabajar con las
restantes, sin temor a perder soluciones en el
proceso.
Si el nuevo sistema de ecuaciones posee,
nuevamente, una ecuacin deducible de las
restantes entonces es posible borrar tal
ecuacin. El proceso se puede repetir varias
veces.
SUSTITUCIN ALGEBRAICA
Para un sistema que posee ecuaciones con
incgnitas el siguiente proceso nos lleva a la
solucin del sistema:
1. Se despeja la primera variable en la
primera ecuacin del sistema.
2. Se sustituye el valor de esta variable en la
segunda ecuacin.
3. Se despeja la segunda variable de la
segunda ecuacin.
4. Se sustituye lo encontrado en la expresin
que se obtuvo al despejar la primera
variable.
5. Se sustituyen las expresiones encontradas
para las primeras dos variables en la
tercera ecuacin.
6. Se despeja la tercera variable de la tercera
ecuacin.
7. Se sustituye lo encontrado en las
expresiones que se encontraron para las
primeras dos variables.
8. Se sustituyen las expresiones encontradas
para las primeras tres variables en la
cuarta ecuacin
9. Repetir el proceso hasta obtener una
ecuacin que solo contenga una variable.
Despus de haber aplicado cierta cantidad de
veces el proceso descrito anteriormente se
habrn encontrado todos los valores de las
variables y por tanto, se habr resuelto el
sistema.
Ejemplo: Encontrar los valores de las variables
, , , si se sabe que:
0 ( )
2 2 (2)
2 2 ( )
2 ( )
Solucin: Despejando en ( ) se obtiene
Sustituyendo en (2) se obtiene
2
Sustituyendo este valor en la expresin
encontrada para la variable se tiene:
2
Sustituyendo los valores encontrados para ,
en ( ) se tiene:
2( 2) 2 2
De donde
0
Despejando :
-
42
Sustituyendo en las expresiones encontradas
para , se tiene
2 2
2
Sustituyendo las expresiones encontradas para
las variables , , en ( ) se tiene:
2 ( ) 2 2
De donde que finalmente nos da
. La solucin al sistema ser
( , , , ) ( 2, , ,2)
IGUALACIN ALGEBRAICA
Los pasos por seguir son ms sencillos de
memorizar. Se dispone de un sistema de dos
ecuaciones y dos variables.
1. Despejar la misma variable en ambas
ecuaciones.
2. Igualar las expresiones obtenidas.
3. Despejar la segunda variable
4. Regresar a cualquiera de las ecuaciones
inciales y encontrar el valor de la
primera variable.
Ejemplo: Resolver el sistema
{2 2
Solucin: Despejando la primera variable en
ambas ecuaciones:
2
2
Igualando:
2 2
que es equivalente a
Que al reescribir se obtiene:
Regresando a la ecuacin
se obtiene:
2
2 2
La nica solucin al sistema es
( , ) (2, ).
REDUCCIN
Se dispone de dos ecuaciones con dos
variables.
1. Multiplicar ambas ecuaciones de tal
forma que la primera variable en
ambas ecuaciones aparezca con el
mismo coeficiente, pero con diferente
signo.
2. Sumar las ecuaciones
3. Despejar la segunda variable.
4. Regresar al sistema original, sustituir el
valor de la segunda variable y
encontrar el valor de la primera.
Ejemplo: Resolver el sistema
{2 2