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CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 34 -

Deductivo simple (diagrama lineal, deductivo directo, deductivo indirecto, leyes lógicas), reglas

elementales de inferencia, conclusiones lógicamente válidas. DEDUCTIVO SIMPLE

Aquí veremos la aplicación del proceso deductivo a situaciones no tan complicadas y de mínima dificultad a lo cual denominamos “deductivo simple” porque se requieren pocas variables proposicionales y un razonamiento directo, por supuesto que también requerimos un poco de creatividad de los estudiantes. PROCESO DEDUCTIVO: Consiste en analizar y relacionar un conjunto de enunciados llamados premisas, y a partir de ellos llegar a una conclusión, es este capítulo por lo general se ven casos particulares de deducción en los cuales se usan básicamente la estructura “si … entonces” y de manera implícita algunas leyes como la conmutatividad y asociatividad de la conjunción de proposiciones. DEDUCCIÓN INMEDIATA llamaremos así al proceso mediante el cual la conclusión se obtiene de manera directa relacionando los datos o premisas. INFERENCIAS LÓGICAS Son las deducciones a las que se puede llegar a partir de un conjunto de premisas. Para obtener estas se puede recurrir a los diagramas de Venn-Euler, debiendo graficar primero las premisas que contengan un cuantificador universal. Ejemplos: Si todos los poetas son soñadores, y ningún soñador es racional, ¿qué se puede inferir?

∴ Ningún poeta es racional.

Si ningún A es B, y algunos B son C, ¿qué se puede inferir?

∴ Algunos C no son A.

PROPOSICIONES CATEGÓRICAS: Son aserciones que afirman o niegan que una clase (conjunto) esté incluida en otra, ya sea total o parcialmente. Las proposiciones categóricas típicas se caracterizan por tener: cuantificador (todos, ningún, algún), sujeto, verbo copulativo (ser) y predicado. Ejemplos: Todos los peces son acuáticos ⇒ universal afirmativa. Ningún peruano es ecuatoriano ⇒ universal negativa. Algunos libros son educativos ⇒ particular afirmativa. Algunas bebidas no son alcohólicas ⇒particular negativa. NEGACIÓN DE PROPOSICIONES: Para negar una proposición categórica, se debe cambiar tanto su cantidad (universal en particular y viceversa), como su calidad (afirmativa en negativa y viceversa) Ejemplos: • p = Todos los animales son salvajes. ⇒ ∼ p = Algunos animales no son salvajes. • q = Ningún chofer es distraído. ⇒ ∼ q = Algún chofer es distraído. • r = Algunos países son industrializados. ⇒ ∼ r = Ningún país es industrializado. • s = Algunos problemas no son interesantes. ⇒ ∼ s = Todos los problemas son interesantes. PROPOSICIONES EQUIVALENTES Cuando el predicado está negado se presentan las siguientes equivalencias: Ningún S es no P ≡ Todos los S son P Todos los S no son P ≡ Ningún S es P Algunos S no son P ≡ Algunos S no son P

Ejemplo: Ningún hombre es inmortal ≡ Todos los hombres son mortales. Caso especial: En una proposición, cuando el cuantificador es universal y la negación afecta al verbo copulativo, la negación actúa como si negara al cuantificador. Ejemplo: Todos los primos no son impares ≡ No todos los primos son impares. ≡ Algunos primos no son impares.

LÓGICO MATEMÁTICA

1 CIENCIAS

poetas soñadores

nacionales

B A

x

C

Lógico Matemática Teoría y ejercicios – Semana 1


1. Complete las casillas en blanco con números de un dígito, de manera que al sumar los valores de cada fila o columna, resulte 34. Luego responda: ¿cuántas veces aparece el dígito 9 en ambas diagonales?

8 9 8 8 8 9

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Solución Empecemos por la tercera fila desde arriba:

8 8 para que la suma de los términos de dicha fila sea 34, los dos casilleros en blanco deben sumar: 34 – (8 + 8) = 18, y esto solo es posible cuando sumamos 9 y 9. Lo mismo se aplica para la primera columna; luego el cuadro se completa fácilmente.

9 8 8 9 8 9 8 9 8 9 9 8 9 8 9 8

∴ Ambas diagonales contienen en total 6 nueves. 2. ¿Cuál es la negación lógica de la proposición:

“Todas estas preguntas son difíciles”?

A) Todas estas preguntas son fáciles. B) Ninguna de estas preguntas es difícil. C) Algunas de estas preguntas no son fáciles. D) Algunas de estas preguntas son difíciles. E) Algunas de estas preguntas no son difíciles.

Solución La negación de la proposición categórica: “Todos los P son Q”, es: “Algunos P no son Q” En el ejemplo: Algunas de estas preguntas no son difíciles. 3. ¿Qué alternativa muestra una proposición

equivalente a: “Ningún diplomático es descortés“? A) Algún diplomático es cortés. B) Algún diplomático no es descortés. C) Ningún cortés es diplomático. D) Todo diplomático es descortés. E) Todo diplomático es cortés.

Solución: La proposición: “Ningún S es no P”, donde se niega el predicado, es equivalente a: “Todos los S son P”, pudiendo expresarse también en singular. ∴ Ningún diplomático es no-cortés ≡ Todo diplomático es cortés. 4. La figura muestra 8 casillas en las cuales usted

deberá colocar todos los números enteros del 1 al 8,

con la condición de que dos números consecutivos no sean adyacentes ni por el lado de una casilla ni por un vértice.

Dé como respuesta la suma de los números de las casillas sombreadas.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Solución Si en la casilla señalada con “x” colocamos por ejemplo el número 5, su consecutivo que es el 6 solo podrá ir en la casilla inferior; sin embargo el 4 también es consecutivo con el 5 y no tendría ninguna casilla disponible. Este análisis nos permite deducir que el valor de “x” solo puede ser 1 u 8, que poseen un solo consecutivo; lo mismo ocurre para la casilla inmediatamente debajo de la “x”. El resto se completa fácilmente. ∴ 1 8 9+ =

RECORRIDOS EULERIANOS FIGURAS DE TRAZO CONTINUO Es posible dibujar algunas figuras con trazo continuo, esto es, sin recorrer dos veces la misma línea y sin levantar el lápiz del papel. Con otros resulta imposible hacerlo. Ejemplo ¿Cuáles de las figuras siguientes se puede dibujar con un solo trazo? a b c d Sólo las figuras a, b y d se pueden dibujar de un solo trazo. La figura “c” es imposible trazarla, a menos que se repita un segmento.

7

4 3

5 6

2

1

8



* Las razones se basan en una teoría que se conoce desde la época de Leonard Euler (1759) y de la cual extraemos algunos principios.

- Para que una figura se pueda dibujar de un solo trazo;

es decir, sin levantar el lápiz del papel y sin repetir ninguna línea, es necesario estar en alguno de los siguientes casos:

Caso I: Todos los vértices de la figura dada deben ser pares; entendiéndose como vértice par aquel punto o nudo donde concurren un número par de líneas. La trayectoria del trazo debe iniciarse en alguno de los vértices y concluir en el mismo. Caso II: La figura debe tener sólo dos vértices impares. La trayectoria del trazo debe iniciarse en uno de los vértices impares y concluir en el otro vértice impar. - Cualquier otra situación diferente a los dos casos, no

da lugar a realizar la figura de un solo trazo. - Si deseamos dibujar de un solo trazo, una figura con

más de dos vértices impares, repetiremos como

mínimo i 22− líneas; donde “i” es el número de

vértices impares. 1. Una persona debe recorrer el laberinto en una sola

dirección sin recorrer dos veces por un mismo camino. ¿Por cuál de la 3 puertas debe salir para finalizar?

A) A

B) B

C) C

D) cualquiera de los 3

E) N.A. Solución Necesariamente debe terminar en un vértice impar, ya que empieza también en un vértice impar. Haciendo el trayecto que debe seguir:

Por lo tanto debe salir por A

2. ¿Qué figuras se pueden construir con un trazo continuo y sin pasar dos veces por el mismo trazo?

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I y II

E) II y III Solución Teniendo en cuenta los principios de Euler deducimos que I se puede trazar porque hay sólo dos puntos impares; II tiene más de dos puntos impares y no se puede trazar, lo mismo sucede con III. Sólo se puede construir I 3. Miro las figuras y señala las que no se pueden

construir con un trazo continuo y sin pasar dos veces por el mismo trazo.

A) I y III

B) II y III

C) I y II

D) Solo I

E) Solo III Solución Teniendo en cuenta los principios de Euler deducimos que I se puede trazar porque hay sólo dos puntos impares; II tiene todos los puntos pares y se puede trazar, pero en la figura III hay más de dos puntos impares, por lo que no se puede hacer el trazo. Sólo se puede construir I y II

EJERCICIOS DE CLASE 1. En una encuesta realizada a todos los alumnos del

aula 08 del Cepre Untels sobre los deportes que practican, entre ajedrez, tenis de mesa y vóley, se obtuvo la siguiente información:

I. Todos practican al menos uno de los tres deportes mencionados.

II. Los que practican ajedrez y vóley, también practican, tenis de mesa.

III. No es cierto que algunos practican solo ajedrez o solo vóley.

¿Qué afirmación siempre es verdadera? A) Los que practican sólo vóley no practican, tenis

de mesa. B) Algunos no practican, tenis de mesa. C) Ninguno practica sólo, tenis de mesa. D) Los que practican sólo ajedrez no practican, tenis

de mesa. E) Todos practican, tenis de mesa.

III II I



2. Raquel espera comprarse una Ipod de 440 soles con su sueldo que recibiría al trabajar una semana. Ella analiza las tres ofertas de trabajo que tiene en las tiendas Ripley, Metro y en Plaza Vea. Al analizar las propuestas deduce lo siguiente: • Si le pagan más de 400 soles entonces no

trabajará en Ripley. • Si recibe a lo más 500 soles entonces no

trabajará en Metro. • Si recibe por lo menos 600 soles entonces no

trabajará en Plaza Vea. ¿Dónde le conviene trabajar, para que con seguridad se pueda comprarse la Ipod?

A) Solo en Metro B) Solo en Ripley C) Solo en Plaza Vea D) En Metro o Plaza Vea E) En Ripley o Plaza Vea

3. En una carrera donde participan solo cuatro deportistas y no debe haber empates, se sacó las siguientes conclusiones verdaderas: “Abdías no ganará, si se coloca en segundo lugar Gastón. Si Abdías gana, entonces se coloca en segundo lugar Paulo o Gastón. Si Marcelo se coloca en segundo lugar, Paulo no se colocará en segundo lugar. Abdías ganará.” Entonces

A) Paulo o Marcelo serán terceros. B) Paulo quedara último lugar. C) Marcelo quedará en segundo lugar. D) Gastón quedará tercero. E) Gastón o Miguel quedaran en cuarto lugar.

4. En una urna, se tiene siete fichas y cada una con

numeración diferente del 1 al 7. Tres personas toman 2 fichas cada una, obteniendo cada uno de ellos la misma suma en los valores de sus fichas. Si esta suma es un número par, ¿qué número tiene la ficha que quedó en la caja?

A) 4 B) 2 C) 5 D) 3 E) 1

5. En el cumpleaños de Fernando se inflaron 5 globos, como se muestra en la figura, que al final se reventaron. Cuando se reventó el globo con la letra O, quedaban todavía 2 globos sin reventar. El globo con la letra P no se reventó al inicio ni al final, pero si después del que tiene la letra A, que se reventó segundo. El globo con la letra L fue el que se reventó al último. Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

I El globo con la letra U se reventó primero. II. El globo con la letra O se reventó cuarto. III. El globo con la letra A se reventó antes que el

globo con la letra O.

A) I y II

B) solo I

C) solo II

D) I y III

E) II y III

6. Eduardo quiere descubrir los dígitos que forman un código que permite hallar dinero, y dicho código está escondido en la siguiente tabla, para esto, él debe señalar en cada columna, dos dígitos que sumen 8; luego en cada fila hacer lo mismo. Si después de borrar todos los dígitos señalados, los que quedan forman el código buscado, ¿cuál es la suma de los dígitos del código buscado por Eduardo?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 21 E) 8

7. En un establo hay 1008 cabezas de ganado caprino,

se sabe que de las hembras 3/8 son crías, los 2/5 del número total de hembras es igual al número de machos, y los 2/5 del número de hembras adultas están preñadas. ¿Cuántas hembras adultas no están preñadas? A) 180 B) 270 C) 300 D) 260 E) 280

8. De un total de 250 personas encuestadas sobre sus hábitos al tomar el desayuno, se obtuvo las siguientes respuestas: 30 personas tomaban soya con leche, 40 personas tomaban quinua con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban soya o leche y 150 tomaban quinua o leche. Si ninguno mezcla soya y quinua, ¿cuántas personas no tomaban ninguna de estas bebidas en el desayuno? A) 35 B) 45 C) 50 D) 30 E) 25

9. En un concurso de belleza, participan 96 señoras

cuyas edades son de 55 a 58 años. Se sabe lo siguiente: Hay 4 señoras que no usaron vestido negro ni

blanco y no son menores de 57 años. Hay 3 docenas de señoras que tienen vestido

negro, pero no tienen 55 años. De las que no son mayores de 56 años, 2

docenas de señoras no tienen vestido negro ni blanco.

Cada vestido es de un solo color. ¿Cuántas señoras de 55 años tienen vestido negro, si esta cantidad es la tercera parte del número total de señoras que tienen vestido blanco? A) 10 B) 6 C) 7 D) 9 E) 8

10. Don Bernabé dice lo siguiente: si reparto 15

caramelos a cada una de mis hijos me sobran 4 caramelos, pero si repartiese 22 caramelos a cada una de ellos me faltaría 10 caramelos. ¿Cuántos caramelos tendrá que dar a cada uno para que no le sobre ni le falte? A) 16 B) 19 C) 18 D) 17 E) 20

2 5 1 3 5 2 6 1 6 1 3 5 1 3 2 6



11. Yolanda escribió un número en su cuaderno y luego dibujó un rectángulo. Ella se dio cuenta de que el largo del rectángulo, en centímetros, es tanto como el triple del número que escribió en su cuaderno, más tres; y el ancho, en centímetros, es tanto como el exceso del número 8 sobre el duplo del número que escribió en su cuaderno. Si el perímetro del rectángulo que dibujó es 28 centímetros, halle el área del rectángulo. A) 15 cm2 B) 24 cm2 C) 18 cm2

D) 12 cm2 E) 36 cm2 12. Isela dijo: “Hoy gané el doble de dinero que gané

ayer, pero mañana ganaré el triple de lo que gané ayer y hoy juntos”. Si por los tres días que trabajó en la Pre le pagaron S/. 840, ¿cuánto ganó Isela por el tercer día que trabajó? A) S/. 580 B) S/. 720 C) S/. 630 D) S/. 480 E) S/. 600

13. ¿Cuántas de las figuras siguientes se puede dibujar con un solo trazo continúo ni pasar dos veces por una misma línea? A) 5 B) 4 C) 7 D) 6 E) 8

14. En la figura los hexágonos son regulares y el mayor

de todos tiene por lado 20 cm; además, cada diagonal del hexágono mayor ha sido dividida en partes iguales. Para dibujar dicha figura con un lápiz, de un solo trazo continuo, ¿cuál es la longitud mínima que debe recorrer la punta del lápiz? A) 460 cm

B) 420 cm

C) 480 cm

D) 540 cm

E) 520 cm

15. La figura que se muestra está formada por un cuadrado de lado 8 cm y cuatro semicircunferencias congruentes. Para dibujar dicha figura, de un solo trazo continuo, ¿cuál es la longitud mínima del recorrido de la punta del lápiz? A) (44 + 9𝜋𝜋√2) cm

B) (60 + 8𝜋𝜋√2) cm

C) (40 + 8𝜋𝜋√2) cm

D) (32 + 8𝜋𝜋√2) cm

E) (48 + 7𝜋𝜋√2) cm

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN 1. Ruth asignó un número diferente a una letra

mediante un “OK”, como se observa en el cuadro, pero todas estaban equivocadas. Si se sabe que el número asignado a la vocal A es menor que el número asignado a la vocal E, pero mayor que el número asignado a la vocal O, ¿cuál es la diferencia positiva de los números asignados a las vocales I y U? A) 5 B) 6 C) 4 D) 2 E) 8

2. Fernando decide repartir 6 naranjas entre sus 3 sobrinos Abel, Betty y Cirila; antes de hacer el reparto decide escuchar a cada sobrino y le mencionan lo siguiente: Abel: “me gustaría recibir 2 o 3 naranjas”. Betty: “si no recibo 3 naranjas, Cirila recibirá solo

una naranja”. Cirila: “que Betty reciba menos naranja que Abel”. Si Fernando realiza el reparto quedando todos conforme, ¿cuál es la suma de naranjas que recibieron Abel y Cirila?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6

3. En la figura, se muestra 6 fichas numeradas. ¿Cuántas fichas numeradas como mínimo deben ser cambiadas de posición, para que la suma de cada grupo de dos fichas sea la misma? A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 Grupo I Grupo II Grupo III E) 6

10 12 15 16 18 A Ok E Ok I Ok O Ok U Ok

1 2 3 6 4 5



4. Se tiene 3 fichas circulares, que tienen escrito en sus caras, seis números diferentes del 1 al 6. Al lanzarlos por primera vez, se obtienen 3 números cuya suma es 15; al lanzarlos por segunda vez, se obtiene tres números que suman 11. Si solamente un número de los seis no ha salido en los dos lanzamientos, ¿cuál es dicho número? A) 3 B) 2 C) 1 D) 5 E) 6

5. Si Fernando lleva pareja de ases, lleva póker o gana;

si lleva póker, no lleva pareja de ases; si no sabe jugar al póker, no gana. Luego, si Fernando lleva pareja de ases, entonces A) sabe jugar al póker. B) ganará. C) sabe jugar al póker, pero no ganará. D) no ganará. E) no sabe jugar al póker.

6. En una reunión de 120 alumnos, 30 son varones que no les gusta chicharrón y 50 son mujeres que sí les gusta chicharrón. Si el número de varones que les gusta chicharrón es la tercera parte de las mujeres que no les gusta chicharrón, ¿a cuántas personas les gusta chicharrón? A) 60 B) 80 C) 70 D) 40 E) 10

7. En una reunión mundial sobre preservación del

medio ambiente, 200 representantes de diferentes países discuten sobre alternativas de sustitución de recursos energéticos formando tres grupos de trabajo. Si 80 de ellos eligen trabajar en el grupo A, 78 en el M y 96 en el C; además, 20 de ellos deciden trabajar en los tres grupos; 42 no están de acuerdo con ninguno de los grupos y se retiran de la reunión, 18 se dedican a trabajar con los grupos A y M discrepando con el grupo C, y 38 se dedican exclusivamente al grupo C. ¿Cuántos trabajan en un solo grupo? A) 62 B) 76 C) 78 D) 82 E) 86

8. En un ómnibus viajan 38 pasajeros entre los cuales se observa que: 20 personas están sentadas, hay 13 mujeres en total, de los que están parados 8 son varones que no

leen, y de las 10 mujeres sentadas 8 no leen.

¿Cuántos varones que están parados leen? A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5

9. Marcos pensó en repartir su fortuna en partes iguales entre sus “p” hijos. A cada uno le tocaría S/. 28 800, pero como uno de los hijos falleció en un accidente, entonces cada uno de los restantes recibió S/. 32 400. Calcule el valor de “p –1”. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

10. El número de chocolates que tiene Rosario es igual

a los cuatro quintos del número de chocolates que tiene Gisela. Gisela tiene 2 tercios del número de chocolates que tiene Lucy y Noelia tiene el doble del número de chocolates que tiene Lucy. Si Noelia tiene 22 chocolates más que Rosario, ¿cuántos chocolates tiene Gisela? A) 10 B) 25 C) 20 D) 5 E) 15

11. Ocho niños compraron igual cantidad de dulces, por

los que cada uno debe pagar una misma cantidad de soles. Dos de ellos solo pueden pagar la mitad y otros dos sólo la cuarta parte de lo que les corresponde, obligando de este modo a cada uno de los restantes a pagar S/.10 más de lo que le corresponde. ¿Cuánto debía pagar cada uno? A) S/.28 B) S/.25 C) S/.18 D) S/ 16 E) S/.21

12. Aquí mostramos los planos de ciertos departamentos. ¿Cuál o cuáles de ellos se prestan para pasar por todas las puertas de una sola vez empezando y terminando afuera?

(I) (II)

A) Solo I B) solo II C) I y II D) Ni I ni II E) faltan datos

13. ¿Cuál es la menor longitud, en centímetros, que

debe recorrer la punta de un lápiz, sin levantarla del papel, para dibujar un triángulo equilátero de 10 cm de lado junto con sus tres alturas?

A) (40 + 15√3) cm B) (50 + 15√3) cm C) (40 + 20√3) cm D) (55 + 25√3) cm A) (45 + 20√3) cm

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