Álgebra i · 2015. 8. 20. · Álgebra i agosto 2015 laboratorio # 7 introducción a la...

Álgebra I Agosto 2015

Laboratorio # 1 Ecuaciones Cuadráticas I I.-Resolver las ecuaciones siguientes usando el método de factorización.

II.- Resolver las ecuaciones siguientes usando el método completando un trinomio cuadrado perfecto.

III.- Resolver las ecuaciones siguientes usando cualquier método.

1) 𝑥2 + 5𝑥 −11

4= 0 7) 𝑦2 − 7𝑦 + 12 = 0

2) 𝑥2 + 30 − 11𝑥 = 0 8) 24𝑥 − 22𝑥 − 12 = 0

3) 2𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0 9) 3(𝑥 + 8) − 7 = 50

4) 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 10) 𝑥2 + 6𝑥 + 4 (3

2) 2 = 16

5) 3𝑥2 − 4𝑥 + 2 = 0 11) 𝑥2 + 10𝑥 − 24 = 0

6) 4𝑦2 − 𝑦 + 2 = 0

1) 𝑥2 − 40 = 3𝑥 5) 𝑥2 − 11𝑥 + 12 = −4𝑥

2) 15𝑥 − 10 = 3𝑥2 − 2𝑥 6) 8𝑥2 − 6𝑥 + 3 = 0

3) 𝑥3 − 2𝑥2 − 4 − 3𝑥 = −4 7) 9𝑥3 + 6𝑥2 = 0

4) 3𝑥2 + 8𝑥 − 9 = 2𝑥

1) 4𝑥2 + 16𝑥 = 8 5) 𝑥2 + 16𝑥 + 64 = 0

2) 10𝑥2 + 20𝑥 − 10 = 0 6) 𝑥2 + 10𝑥 + 16

3) −5𝑥2 + 80 = −20𝑥 − 5 7) 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 16 − 14

4) 2𝑥2 + 12𝑥 − 16 = 0


Laboratorio # 2 Ecuaciones Cuadráticas II

I.- Calcular el discriminante para determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación dada. Hallar la suma y el producto de las raíces.

1) 6𝑥2 + 3𝑥 − 4

2) 4𝑥2 + 2𝑥 = 3

3) −𝑦2 = 3𝑦 − 5

4) 10𝑥 = 5𝑥2

5) 2𝑥2 − 4𝑥 = 0

6) 8𝑥2 + 8𝑥 + 2

7) (10𝑥 + 3)(𝑥 − 2) + 4 = 0

8) 3𝑥2−5

5= −

6𝑥

2− 5

9) 𝑥2 − 4𝑥 + 3

10) 5𝑥2 = 𝑥 + 1

II.- Obtener el valor(s) de K de modo que la ecuación dada tenga raíces iguales.

1) 𝑘𝑥2 + 16𝑥 + 8 = 0

2) 𝑘𝑥 = +4 − 6𝑥2

3) 𝑥2 − 4𝑥 = −𝑘

III.- Construir la ecuación cuadrática con coeficientes enteros que tenga como raíces los números indicados.

1) 5,7

2) 4 + 𝑖, 4 − 𝑖

3) 3 + √7, 3 − √7

4) √3, −√3

5) 1

2 ,

3

4


Laboratorio # 3 Formas Cuadráticas

I.-Resolver las siguientes ecuaciones y comprobar.

1) √3𝑥−2+1

√𝑥+2−1= 3

2) √3𝑎𝑥 − 𝑎2 = √𝑎𝑥 + 𝑎

3) √1 + √2 + √6𝑥 = 2

4) 𝑦 − 5𝑦1/2 + 6 = 0

5) 𝑦 − 2 = √𝑦 + 2

6) √2 − 𝑤2 = 1

7) 𝑦 + 5𝑦1/2 − 6 = 0

8) 𝑦 − 2 = √𝑦 − 2

9) √3 − 𝑦 = √𝑦 − 13

10) 𝑦−4 − 5𝑦−2 + 4 = 0

11) 𝑦2 + 𝑦 +12

𝑦2+𝑦= 8

12) - 𝑤−1

𝑤=

−3𝑤

𝑤+1

13) √2𝑥 + 7 = 𝑥 + 1

14) √𝑥4

+ 2√𝑥 = 3

15) √2𝑥 + 1 − √2𝑥 − 1 = 0

16) 𝑧 − 5√𝑧 + 6 = 0

17) √√5𝑥 − 1 − 2 = 1

18) 𝑥6 − 35𝑥3 + 216 = 0

19) √4 − 3𝑧 + √3𝑧 − 9 = 0

20) (2𝑥2 + 7𝑥)2 − 12(2𝑥2 + 7𝑥 ) = 45


Laboratorio # 4 Sistema de ecuaciones cuadráticas

I.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. 1) 𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑦 = 3 − 𝑥

2) 𝑦2 = 1 − 𝑥

1 = 𝑥 + 2𝑦

3) 2𝑦 = 𝑥2

𝑦 = 4𝑥3

4) 𝑥 + 3𝑦 = 5

𝑥2 + 𝑦2 = 25

5) 𝑦2 = 6(𝑥 + 2)

𝑦2 + 4𝑥 = 4

6) (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 10

𝑥 + 𝑦 = 1

7) 𝑦 = 20

𝑥2

𝑦 = 9 − 𝑥2

II.- Resuelva. 1) Un muchacho tiene 7 años menos que el triple de la edad de su perro. La suma de sus edades es 17. Hallar la edad de cada uno. 2) Encuentre tres números cuya suma y producto sean 20 y 60, respectivamente, y tales que uno de los números sea igual a la suma de los otros dos.


Laboratorio # 5 Inducción Matemática I.- Usar inducción matemática para demostrar las relaciones siguientes (n es un entero positivo).

1) 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛+1)

2 , 𝑛 ∈ 𝑙𝑁 , 𝑛 ≥ 1

2) 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 1

𝑎−1 , 𝑎 ≠ 1 , 𝑛 ≥ 0, 𝑛 ∈ 𝑙𝑁

3) (1)31 + (3)32 + (5)33 + ⋯ + (2𝑛 − 1)3𝑛 = (𝑛 − 1)3𝑛+1 + 3 , 𝑛 ≥ 1 , 𝑛 ∈ 𝑙𝑁

4) 2 + 4 + 10 + ⋯ + (4𝑛 − 2) = 2𝑛2 , 𝑛 ∈ 𝑙𝑁 , 𝑛 ≥ 1

5) 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6

6) (1)(2)(3) + (2)(3)(4) + ⋯ + 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) = 1

4𝑛 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

7) 33𝑛 − 1 , 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 2

8) 7𝑛 + 2 , 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 3

9) 10𝑛 + 5 , 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 5

10) (10)2𝑛−1 + 1 , 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 11


Laboratorio # 6 Teorema del Binomio

I.- Usar el teorema del Binomio para efectuar el desarrollo indicado y simplificar cada resultado.

1) (𝑥 + √2)4

+ (𝑥 − √2)4

2) (𝑎 + 𝑏)4

3) (1 − 2𝑥)5

4) (𝑥2 −√2

𝑥)

5

5) (𝑥 +2

𝑥)

4

6) (𝑥2

2−

2

𝑥)

6

7) (𝑥4 − 5𝑦3)6

II.- Escribir y simplificar los 4 primeros términos del desarrollo dada.

1) (𝑥 − 3)5

2) (cos(𝑎) + 𝑥 sen(𝑎))5

3) (1

5−

5𝑎

2)

6

4) (2 − 3𝑦)4

5) (𝑥3 + 𝑦4)5

6) (2𝑥3 − 3𝑦4)6

7) (1

5−

5𝑎

2)

6

III.- Obtener solamente el término indicado de cada desarrollo.

1) El sexto termino de (𝑥 + 𝑦)15

2) El termino central en el desarrollo (√𝑥3

−𝑥−2

2)

6

3) Término independiente de 𝑥 en (𝑥 −1

𝑥)

9

4) El quinto término de (𝑥 + 2𝑦)5

5) El termino independiente de 𝑎 en(𝑎3 −2

𝑎)

20


Laboratorio # 7 Introducción a la trigonometría

I.- Representar gráficamente los puntos dados, escribiendo sus coordenadas, indicar el valor de la

abscisa, la ordenada y el radio vector; señalar el cuadrante en el cual está ubicado el punto.

1) (√7 , √2) 3) (1 , 2) 5)(−3

2 ,

3

4 ) 7) (3 ,

−1

2)

2) (4 , −3) 4) (−12 , −6) 6)(√5

5 ,

1

5) 8) (0 , 1)

II.- Para el punto dado hallar ‘x’, ‘y’ o ‘r’, según sea el caso.

1) (𝜋 , 2𝜋) 5) (−7 , 𝑦), 𝑟 = 10 𝐶. 𝐼𝐼

2) (0 , −8) 6) (𝑥 , 2), 𝑟 = 4 𝐶. 𝐼

3) (−5 , 𝑦), 𝑟 = 5 𝐶. 𝐼𝑉 7) (𝑥 , 𝑦), 𝑟 = 0

4) (𝑥 , −3), 𝑟 = 12 𝐶. 𝐼𝐼𝐼

III.- Dibujar el ángulo indicado. Determinar un par de ángulos coterminales uno positivo y otro

negativo.

1) 405° 3) 𝜋 5) 4

3𝜋 7) 120°

2) −90 4) −3

4𝜋 6) −30° 8) −

1

4𝜋

IV.- Hallar las seis funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa

por el punto dado.

1) (2 , −3) 3) (0 , 1)

2) (5 , √5) 4) (−2 , 0)


Laboratorio # 8 Funciones Trigonométricas

I.- Hallar las funciones trigonométricas del ángulo θ que satisface las condiciones dadas.

1) tan 𝜃 = 3

4 , 𝜃 ∈ 𝐶𝐼

2) swn 𝜃 = 1

2 , 𝜃 ∈ 𝐶𝐼

3) cos 𝜃 = −1

2 , 𝜃 ∈ 𝐶𝐼𝐼

4) sec 𝜃 = 5

4 , 𝜃 ∈ 𝐶𝐼𝑉

5) sec 𝜃 = −1

6) cot 𝜃 = −3

II.- Dado sen 𝜃 =

1

√2 , 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒

1) 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1

2) 𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃

3) 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2𝜃

III.- Comprobar las proposiciones siguientes

1) 2[sen( 45°) − cos(45°)] = sen(0°)

2) 2 sen(30°) = cos(0°)

3) cos(𝜋

6) = √1− sen(

7𝜋

6)

2

4) 𝑠𝑒𝑛2(𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠2(

𝜋

2) = 4 sen (

𝜋

6) cos(

𝜋

3)

IV.- Halle el valor exacto de la expresión dada

1) sen(45) cos( 45)

2

2) (𝑠𝑒𝑛2(𝜋

4)) (csc (

𝜋

4)) − 𝑐𝑜𝑠2 (

𝜋

4)

3) 𝑐𝑜𝑠2(𝜋) 𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4) 𝑠𝑒𝑐 (

𝜋

6)

4) sec (𝜋

6) csc (

𝜋

3) − 𝑐𝑜𝑠2(

𝜋

4)


Laboratorio # 9 Funciones Trigonométricas II I.- Reducir las expresiones siguientes a una sola función del ángulo dado.

1) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)sec(𝜃)

2) csc (𝑥)

sec (𝑥)

3) (1 + cos (∝)(1 − cos (∝))

4) 𝑐𝑠𝑐2(𝜃)

1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃)

5) 1 + csc (𝛽)

sec (𝛽)− cot (𝛽)

6) (sec(∝) − tan (∝))(csc(∝) + 1)

7) 1 + sec (𝛽)

tan(𝛽) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽)

II.- Usando una sustitución adecuada, reducir la expresión dada a otra que contenga funciones

trigonométricas.

1) (25 − 𝑥2)5

2⁄ ; 𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 5𝑠𝑒𝑛(𝜃)

2) (25 + 𝑥2)5

2⁄ ; 𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 5tan (𝜃)

3) 𝑥

√𝑥2−9 ; 𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 3sec (𝜃)

4) √9−25𝑥2

𝑥 ; 𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 3

5⁄ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

5) 𝑥3√9 + 16𝑥2 ; 𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 34⁄ tan (𝜃)

6) 𝑥2

√16+𝑥2 ; 𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 4cot (𝜃)

7) (𝑥2 − 4)−1

2⁄ ; 𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 2csc (𝜃)

8) (1 + 𝑥2)1

2⁄ ; 𝑠𝑒𝑎 𝑥 = tan (𝜃)


Laboratorio # 10 Identidades Trigonométricas

I.- Verificar las identidades siguientes

1)

2)

3)

4)

5)

6)

II.- Reducir a un sólo término la expresión dada

1)

2)

3)

4)

5)

6)


III.- Calcular sen(u+v) y sen(u-v) si:

1)

2) , en C. II ; , en C. III

IV.- Resuelve:

1) Si y hallar:


Laboratorio # 11 Identidades Trigonométricas I.- Resuelve las ecuaciones siguientes considerando

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

II.- Trazar dos periodos de la gráfica de la función dada.

1)

2) y=

3)

4)

5)


Laboratorio # 12 Números Complejos I I.- Efectúa las operaciones indicadas y expresa cada resultado en forma canónica.

1) [2 + (−3)𝑖]. [−1 + 4𝑖] 2) (−5 + 3𝑖) − (2 + 5𝑖)

3) (2 − 3𝑖)3

4) 2−3𝑖

5+2𝑖

5) (3√2 + 5𝑖) − (4√2 − 𝑖)

II.- Simplificar las expresiones siguientes.

1) 𝑖6

2) 𝑖24

3) (2 − 3𝑖)3

4) (𝑖 − 5𝑖2 + 2𝑖3)2

5) 𝑖39

III.- Calcular el valor de la expresión dada para el intervalo indicado de x.

1) 𝑥2 + 2𝑥 𝑥 = (5 − 3𝑖)

2) 𝑥. (2 + 𝑥) − 3 𝑥 = (√2 + 𝑖)

3) 3𝑥2 + 5 𝑥 = (8 − 3𝑖)


Laboratorio # 13 Números Complejos II I.- Escribir en forma polar los números complejos siguientes:

1) −9 − 3√3

2) √2 − √6𝑖 3) −80 + 80𝑖

4) √3

2+

√2

2𝑖

5) −1 − 𝑖

6) −√5 − √15𝑖

II.- Usar el Teorema de De Moivre para calcular la potencia indicada.

1) (𝑖)10

2) (−√3 − 𝑖)4

3) (5 + √15𝑖)8

4) (1 − 𝑖)5

5) (−2𝑖)3

6) (−√7 + √21𝑖)7

III.- Usar el teorema de De Moivre para obtener las raíces indicadas y representarlas gráficamente.

1) Las quince raíces decimoquintas de (−𝑖)

2) Las cinco raíces quintas de (1 − 𝑖)

3) Las cuatro raíces cuartas (−√5 − √5

3𝑖)

4) Las seis raíces sextas de (−2√2 + √8𝑖)

5) Las tres raíces de (√3 + 𝑖)

6) Las diez raíces décimas de (−2)


Laboratorio # 14 Progresión Aritmética I.- Escribir los 5 primeros términos de una progresión aritmética para la cual:

1) 𝑎1 = 0, 𝑑 = 1

2) 𝑎1 =−1

3, 𝑑 =

5

3

3) 𝑎1 = 𝑥 + 3, 𝑑 = 5𝑥 − 2

4) 𝑎1 = 8𝑥 − 3𝑦, 𝑑 = 𝑥 + 𝑦

II.- Determinar si las sucesiones siguientes forman o no una progresión aritmética.

1) 1

2,

1

4,

1

8,

1

16

2) 1, 10, 19, 28

3) 2𝜋

3, 𝜋,

8𝜋

6,

5𝜋

3

4) 1, -2, 3, -4

III.- Resuelve los siguientes problemas.

1) Indica la posición del término 20117 siendo la sucesión -23, -11, 1,…

2) Los términos quinto y octavo de una sucesión aritmética son 5 y 72 respectivamente,

encuentre el primer término.

3) Encuentre la suma 𝒮2015 si 𝑎1 = 13, 𝑑 = 8

4) Inserte 3 medidas aritméticas entre 1 y 5

5) Un castillo de naipes tiene 20 barajas en la base, 18 en el siguiente piso y así sucesivamente

hasta llegar al final con 2 barajas. Encuentre el número total de barajas en el castillo.

6) Un escritor comienza una historia con 1,000 palabras el primer día, 1,200 palabras el

segundo y así sucesivamente hasta llegar a 5,000 palabras el cual mantiene ese ritmo por 10

días más. Encuentre el número total de palabras de la historia.


Laboratorio # 15 Progresión Geométrica I.- Determinar si las siguientes sucesiones definen o no una progresión geométrica. 1) 2, 4, 6, 8, 10,…

2) 2, 4, 8, 16, 23,…

3) 0,𝜋

6,

𝜋

4,

𝜋

3,

𝜋

2,…

4) (𝑒5𝑥+1), (𝑒5𝑥+1)2, (𝑒5𝑥+1)3, (𝑒5𝑥+1)4, (𝑒5𝑥+1)5,…

5) x-1, -3x+3, 6x-6, -9x+9,…

II.- Resuelve los siguientes problemas.

1) El primero término de una sucesión geométrica es el segundo es √12, encontrar el quinto

término.

2) Calcule la suma parcial de la progresión geométrica con a=3, r=4, n=5

3) Una mujer muy paciente quiere ser billonaria. Se apega a un esquema sencillo: aparta 1 peso

el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero, etc. Duplicando la cantidad de pesos cada día.

Cuánto dinero tendrá después de pasados 30 días?. Cuántos días deberán transcurrir para

llegar a tener cinco millones de pesos?.

4) Calcule la suma de la progresión geométrica infinita: 1 +1

3+

1

9+

1

27+ ⋯

5) Calcule la suma de la progresión geométrica infinita: 1 −1

2+

1

4−

1

8+ ⋯

6) Insertar 6 medias geométricas entre 1 y 10

7) Tres números forman una progresión aritmética con diferencia igual a 5. Si el primer número

se aumenta en 6, el segundo se aumenta en 10 y el tercero se aumenta en 18, los números

resultantes forman una progresión geométrica. Encontrar los números.

8) El segundo término de una progresión geométrica es 18 y el quinto es −16

3. Calcular el sexto

término y la suma de los 5 primeros términos.

9) 𝑎𝑛 = 1000, 𝑎1 =59

60, 𝒮𝑛 =

1284

7

10) Interpolar 2 medidas geométricas entre √2 𝑦 2

11) Hallar 3 números en progresión geométrica, tal que la suma sea 65 y su producto 3375.


Laboratorio # 16 Progresión Geométrica Infinita I.- Obtener la suma de la progresión geométrica infinita dada.

1) 12,6,3,...

3)

2) 60, 6, 0.6, ...

4)

II.- Escribir la fracción común (simplificada) equivalente al decimal periodico infinito dado

1) 0.636363...

2) 5.146146...

3) 0.46666...

4) 0.8333...

III.- Calcular la suma de la progresión geométrica infinita dada y determinar los valores de x para

los cuales es convergente.

1)

2)

3)

IV.- Resuelve los siguientes problemas

1) Se deja caer una pelota desde una altura de 10 metros. Si rebota aproximadamente la mitad

de la distancia en cada caída. Utilizar una progresión geométrica infinita para calcular

aproximadamente la distancia total que recorre la pelota antes de detenerse.

2) La suma de una progresión geométrica infinita es 64/3. Si el primer término es 16, hallar el

quinto término.

3) Hallar la suma de la progresión infinita


Laboratorio # 17 Teoría de ecuaciones I I.- Usar el teorema del residuo para calcular el residuo de cada división.

1) (𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 19)/(𝑥 − 4)

2) (𝑥5 + 2𝑥4 − 3𝑥3 + 7𝑥 − 17)/(𝑥 −1

2)

3) (2𝑥4 + 3𝑥 + 5)/(5𝑥 + 5)

II.- Usar el teorema del factor para determinar si la primera expresión es factor de la segunda.

1) 𝑥 − 2; 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 30

2) (𝑥 − 4); (𝑥3 + 2𝑥2 − 6𝑥 − 72)

3) (𝑥 − 𝑏); 𝑥3 − 𝑥2(2𝑎 + 𝑏) + 𝑥(3𝑎 + 2𝑏𝑎) − 3𝑎𝑏

III.- Usar división sintética para obtener el cociente y el residuo de cada división.

1) (9𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 − 4)/(𝑥 − 1)

2) (𝑥4 − 5𝑎2𝑥2 − 2𝑎3𝑥)/(𝑥 − 2𝑎)

3) (𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 7)/(𝑥 + 2)

4) (5𝑥 + 2𝑥2 + 5 − 6𝑥3)/(𝑥 − 2)

IV.- Usar la regla de los signos de Descartes para determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación dada.

1) −3𝑥10 + 18𝑦9 + 38𝑥8 − 𝑦7 + 2𝑦6 + 75𝑥5 − 41𝑥2 − 6𝑥 =

2) 𝑥8 − 1 = 0

3) 𝑥6 − 𝑥4 − 𝑥2 + 9 = 0

4) 2𝑥15 − 𝑥14 − 𝑥13 + 𝑥10 + 𝑥9 − 𝑥8 + 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 = 0


Laboratorio # 18 Teoría de Ecuaciones II I.- Comprobar que la ecuación dada tiene como raíces los números indicados y obtener el resto de

las raíces

1) -3

2) ;

3) ;

II.- Hallar las raíces racionales de la ecuación dada

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

III.- Factorizar el polinomio dado

a) Sin restringir el campo de números

b) Los coeficientes deben ser reales.

c) Usar coeficientes racionales.

d) Con coeficientes enteros, trazar la gráfica correspondiente.

1)

2)

3)

4)

Álgebra i · 2015. 8. 20. · Álgebra i agosto 2015 laboratorio # 7 introducción a la...

Documents