lgciv2043 : structures en bois - issd.beissd.be/pdf/bois_partie 2.pdf · la magnifique structure en...
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
LGCIV2043 : Structures en boisPierre Latteur Partie 2 : Calcul ELU et ELS
des éléments structuraux
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Contenu (82 pages) :Section 1 : GénéralitésSection 2 : Bases de conception et calculSection 3 : Propriétés des matériauxSection 4 : DurabilitéSection 5 : Bases de l’analyse de structuresSection 6 : Etats limites ultimesSection 7 : Etats limites de service
Remarques : NVN ENV 1995-1-1 : ancienne version provisoire NBN EN 1995-1-1 = EN 1995-1-1 (même contenu) Partie 1-2 de l’EC5: concerne les aspects FEU (Partie 5) Partie 2 de l’EC5: concerne les PONTS en bois
Section 8 : Assemblages par organes métalliquesSection 9 : Composants et sous-systèmesSection 10 : Détails structuraux et contrôle
Annexe A, B, C, D
L’EC5-partie 1-1 :Calcul des structures en bois
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L’EC5-partie 1-1/A1 et A2 : Amendements 1 et 2
Ces documents de 22 pages (Amendement 1, 2008) et 10 pages (Amendement 2, 2014) proposent des corrections, parfois importantes, du texte de base (partie 1-1) de l’EC5
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L’EC5-partie 1-1 : Annexe nationale ANB
Ce document de 6 pages propose quelques variantes mineures au texte de base de l’EC5, uniquement applicables en Belgique
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b
h
…Les paramètres « b » et « h » représentent respectivement la largeur et la hauteur de la section de la poutre à l’endroit considéré. L’aire bxh est notée A
…Les efforts internes pondérés selon les combinaisons de charge réglementaires sont notés MEd, VEd, NEd, TEd et les contraintes associées sont notées Ed et Ed
Avertissement : dans ce cours…
Pierre LatteurCours de : Structures en bois
Chap. 8 : Eléments structuraux en bois massif
Photo :lineaire-design.com
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Bois ronds
Il n’existe pas de norme européenne pour le classement des bois ronds, moins utilisés en structure que les bois sciés
Les dimensions courantes sont :- Diamètre : 8 à 20 cm- Longueur : jusqu’à 6 m
Processus de fabrication :- Ebranchage et écimage- Ecorçage- Calibrage, fraisage- Tronçonnage- Tri- Séchage- Préservation
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Quelques utilisations des bois ronds
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Bois sciés Obtenus par découpe des grumes dans le sens longitudinal
En structure, les résineux sont beaucoup plus utilisés que les feuillus, davantage destinés aux menuiseries
Les résineux sont plus droits et plus longs : en Belgique, les scieries de résineux sont donc plus développées et automatisées que celles des feuillus
Le rendement de sciage est de l’ordre de 60% (40% de déchets)
(Source : Houtinfobois.be)
En Belgique, 80% des bois sciés de résineux sont utilisés en structure et le reste pour l’emballage, la paletterie et le coffrage
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Etapes de production des bois sciésSource des figures :
Houtinfobois.be, 2015
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Dimensions usuelles des bois de structure sciés
Les dimensions annoncées ne correspondent pas toujours à des éléments séchés et/ou rabotés : il faut y être attentif !Rem 1 : voir à ce sujet: http://www.houtinfobois.be/fr/190/construction/dimensions-des-boisRem 2 : épaisseur du rabotage: 1mm/face pour une dimension de base de 38 à 49mm, 2.5mm/face pour 50 à 150mm, 3mm/face pour plus de 150mm
Le tableau ci-contre donne quelques dimensions courantes des sections de résineux en Europe (séchées et rabotées, jusqu’à7 m de longueur)
100 125 150 175 200 225 300
19
25
32
38 (4-15) (4-23)
50
63 (7-15) (7-18)
75 () (8-23)
100 () (10-30)
Largeur b
[mm]
Appelations
courantes notées
entre parenthèses
Hauteur h [mm]
Caractéristiques des sections rabotées et séchées usuelles
Dimensions Dimensions rabotées bh3 (/106) bh2 (/106) bh (/103)
non rabotées b [mm] h [mm] [mm4] [mm3] [mm2]
4x15 : 38 150 128,3 0,86 5,70
4x23 : 38 225 432,8 1,92 8,55
7x15 : 63 150 212,6 1,42 9,45
7x18 : 63 175 337,6 1,93 11,03
8x23 : 75 225 854,3 3,80 16,88
10x30 : 100 300 2700,0 9,00 30,00
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Chap. 9 : Eléments structurauxen bois lamellé-collé (BLC)
Ce chapitre est inspiré des slides du cours du professeur Descamps
de l’Umons
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Pourquoi le BLC?
Uniformiser les défauts naturels du bois pour obtenir un matériau final aux propriétés mieux contrôlées et moins variables
Permettre la production d’éléments structuraux de très grandes dimensions, sans avoir le besoin de grands arbres
Permettre la production d’éléments aux formes quelconques
Libramont Exhibitions & Congress (arcs de portée 60 m tous les 4,5 m). Architecte : Synergy
International, ingénieur : MC² sprl
Koblenz/Allemagne - 2011 Viewpoint (Ney&Partners
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Etapes de production du BLC
Séchage du bois (éviter les déformations après collage et favoriser le collage)
Tri manuel ou automatique des lamelles
Stockage provisoire
Rabotage des lamelles
Aboutage : la résistance en traction du joint doit être au moins égale à la résistance hors du joint
Collage des lamelles pour former la section (6h), et serrage (0,4…1,2 MPa) avec cintrage éventuel
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Etapes de production du BLC (suite)
Elimination des bavures de colle par rabotage
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Dimensions couranteset limitations
Les dimensions courantes sont : - Largeur : 6 à 27 cm- Hauteur : jusqu’à 2 m- Longueur : …40 m…, portée
limitée par le transportRaboteuse pour BLC
Exemple des dimensions de section produites chez Lamcol :- Largeur : 115, 140, 160, 185, 205, 235, 270 mm- Hauteur : multiples de 45 mm
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Quelques exemples d’utilisations du BLC
Centre de secours d’Annecy en France (Agence Richard
Plottier), 2002, 31 m de portée
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Quelques exemples d’utilisations du BLC
Centre balnéaire Raoul Fonquesne en France (Yvon Carduner), 1993
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Chap. 10 : Actions, cas de charges, combinaisons de (cas de) charges
Myanmar/Birmanie (Mandalay), 2014:
le pont U Bein
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Sécurité d’une part, service d’autre part
Sécurité structurale : si danger d’effondrement local ou global, on parle d’état limite ultime (ELU)
Aptitude au service : si déformations inacceptables (mais aussi vibrations et altération de l’aspect), on parled’état limite de service (ELS)
Souvent, ce sont les ELS qui guident le dimensionnement pour les simples poutres, alors que pour des systèmes structurauxplus complexes (treillis, arcs,…), ce sont les ELU (éléments et assemblages)
La magnifique structure en bois « The Passenger » construite pour Mons 2015 après son effondrement
partiel en décembre 2014,heureusement sans faire de victimes
Les incertitudes sont couvertes à la fois par des coefficients réducteurs sur les résistances des matériaux (m=1,25…1,3) et des coefficients pondérateurs sur les actions (i =1,35…1,5, i=0,3…1). Ces coefficients couvrent les autres incertitudes liées aux imprécisions de modélisation, défauts de construction, tolérances non respectées, etc.
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Les types d’actions (=charges) :
Le poids propre de la structure portante :
action permanente G
Pont du Gard : poids propre important
Toiture tendue : poids propre faible
Les charges s’accrochant à la structure portante :
action permanente G
Couvertures, bardages, façades,
châssis, faux-plafonds,
équipements…
Les actions variables Q:
Le ventLa neige :
Les piétons, voitures, etc
(=charges d’exploitation) :
Les actions
accidentelles A :
feu, explosion, choc, séisme, …
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Les types d’actions (=charges) :
Le poids propre de la structure portante :
action permanente G
Pont du Gard : poids propre important
Toiture tendue : poids propre faible
Les charges s’accrochant à la structure portante :
action permanente G
Couvertures, bardages, façades,
châssis, faux-plafonds,
équipements…
Les actions variables Q:
Le ventLa neige :
Les piétons, voitures, etc
(=charges d’exploitation) :
Les actions
accidentelles A :
feu, explosion, choc, séisme, …
Tout comme pour les matériaux auxquels on associe des résistances caractéristiques (ft,0,k, fc,0,k, fm,k, etc. = résistance obtenue dans plus de 95% des cas), les actions peuvent, par voie statistique, s’exprimer en valeurs caractéristiques :
Gk,j : valeur caractéristique de la charge permanente j (par ex. : poids propre)Qk,i : valeur caractéristique de la charge variable i (par ex. : vent)
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Les actions variables/accidentelles peuvent être dynamiques
Rafales de vent :Tourbillons de Von Karman:
Action de la foule (salles de concert, passerelles, gradins, …)
:
Millenium Bridge, Londres (1999) : la passerelle a dû être fermée peu après son inauguration à cause de ses
déformations trop importantes sous les charges de foule.
Actions sismiques (tremblements de terre) :
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Max. 40 m
> 40 m
Dilatations empêchées : efforts parasites
40 m à 60 m
Autres types d’actions (actions indirectes)
Actions thermiques :
Tassements d’appuis :
Structure hyperstatique : le tassement d’appui
génère des efforts internes
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Cas de charge et combinaisons (de cas) de charges
Un CAS DE CHARGE est une action qui peut agir sans les
autres (sauf le poids propre qui est
toujours présent)
Cas 1 : le poids propre
Cas 2 : les charges permanentes
Cas 4 : les piétons
Cas 5 : la neige sur la partie droite du pont
Cas 6 : la neige sur la partie gauche du pont
Cas 7 : un vent qui soulève le pont
Etc...
Une COMBINAISON DE (CAS DE) CHARGES est un ensemble de cas de charges pouvant agir
en même temps
Combinaison 1 : Cas 1 + Cas 2 + Cas 3 + Cas 7
Combinaison 2 : Cas 1 + Cas 2 + Cas 4 + Cas 6 + Cas7
Etc...
Un élément structural doit donc être vérifié pour toutes les combinaisons de charges, chacune d’elle provoquant en une section donnée une combinaison d’efforts internes (MEd, N Ed, V Ed, T Ed) différente, appelée Sollicitation et dont
l’effet (en termes de contraintes par exemple) est noté Sd
L’une d’elle sera forcément la plus défavorable !
(voir également : notion d’enveloppe des efforts)
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Les combinaisons de charges définies par l’EC1 (§6.4.3)Les charges permanentes peuvent se combiner à 3 types distincts de combinaisons de charges variables :
En cas de charge accidentelle (feu…), il est utile de pouvoir la combiner avec un compromis entre les deux précédentes : ce sont les combinaisons fréquentes de charges variables, plus sévères que la quasi-permanente, mais moins que les rare. Elle est aussi parfois utilisée pour les calculs ELS pour des critères esthétiques et de confort (NBN03-003) 1,dom : coefficients 1
2
,2,1
i
iidomdom QQ
j
jG
Charges variables s’appliquant sur l’ouvrage pendant une grande partie (50%) de sa vie (ex : bibliothèques) : c’est lacombinaison dite quasi-permanente. Elle est utilisée pour les calculs de déformations non réversibles (fluage)
1
,2
i
iiQ
2,i : coefficients1
j
jG
Charges variables ayant une trèsfaible probabilité de se produire en même temps : ce sont lescombinaisons dites rares ou caractéristiques. Elles sont utilisées pour les calculs ELU
2
,0,,
i
iiiQdomdomQ QQ
Action variable dominante
Actions variables concomitantes
Q,i : coefficients >1 (en général 1,5)0,i : coefficients 1 tenant compte de la probabilité réduite d’avoir plusieurs charges variables agissant ensemble avec un effet maximum
j
jG
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Les combinaisons ELU, pratiquement…
L’EC0 impose de vérifier les éléments structuraux pour toutes les combinaisons rares (autant de combinaisons que d’actions variables, prises chacune à leur tour comme charge dominante) :
2
,0,,,
i
iiiQdomdomQ
j
jjG QQG
Actions permanentes
Action variable dominante
Autres actions variables
A quelques exceptions près (charges favorables et classes de conséquence), cette formulation peut se réécrire :
2,05,135,1
iiidom
jj QQG
Q,i : coefficients >1 (en général 1,5)
0,i : coefficients 1 tenant compte de la probabilité réduite d’avoir plusieurs charges variables agissant
ensemble avec un effet maximum
De manière simplifiée (avant projet) et (très) sécuritaire, on peut prendre 0,i=1, en veillant à séparer les actions ou parties d’actions éventuelles ayant un effet favorable :
i
i
j
j QG35,1
QGj
j 5,135,1 Ou, si une seule charge variable :
Type d'action variable Y0
Toutes charges d'exploitation sauf stockage (habitations,
bureaux, lieux de rassemblement, magasins)0,7
Stockage 1
Charges de véhicules jusqu'à 160 kN 0,7Neige 0,5Vent 0,6
Température (hors incendie) 0,6
Valeurs du coefficient 0pour les bâtiments
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Et en cas de charge accidentelle ?
L’EC0 définit aussi une formulation des combinaisons à considérer en cas d’action accidentelle (notée Ad), et basée sur les combinaisons fréquentes de charges variables, avec :
2
,21
i
iidomd
j
j QQAG
- Les coefficients 2 qui pondèrent les autres charges variables (non dominantes dans la combinaison considérée)
- Le coefficient 1 qui pondère la charge variable Qk,dom prise comme dominante dans la combinaison considérée
Type d'action variable Y1 Y2
Charges d'exploitation (habitations et
bureaux)0,5 0,3
Charges d'exploitations (lieux de
rassemblement et magasins)0,7 0,6
Stockage 0,9 0,8Charges de véhicules jusqu'à 160 kN 0,5 ou 0,7 0,3 ou 0,6
Neige 0,2 0Vent 0,5 0
Température (hors incendie) 0,5 0
Valeurs de 1et 2pour les bâtiments
= 0 en cas d’incendie< > 0 en cas de séisme ou explosion
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Détail des valeurs de 0, 1 et 2 selon l’EC0, applicables en Belgique
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RAPPEL : coefficients correctifs kdef et 2 pour les flèches à long terme (fluage)
Classe de
service 1
Classe de
service 2
Classe de
service 3
0,6 0,8 2
Valeurs de kdef (EC5)
Type d'action variable Y2
Charges d'exploitation (habitations et
bureaux)0,3
Charges d'exploitations (lieux de
rassemblement et magasins)0,6
Stockage 0,8Charges de véhicules jusqu'à 160 kN 0,3 ou 0,6
Neige 0Vent 0
Température (hors incendie) 0
Valeurs de 2pour les bâtimentsLe fluage est dû aux charges permanentes G, mais aussi à la fraction Y2Q des charges variables qui s’applique de manière cumulée pendant une partie de la vie de l’ouvrage
( ) 1: 22 avecukuuuuGCharges instdefinstcreepinsttermelong
2 : égal à 1 pour les charges permanentes, qui ont un effet prépondérant sur le fluage. Pour les charges d’exploitation, il ne dépend que du temps d’application et est, évidemment, toujours <1 :
( ) 1: 22 avecukuuuuQCharges instdefinstcreepinsttermelong
Kdef : caractérise la propension au fluage, ne dépend que de l’hygrométrie, donc de la classe de service, et s’applique de la même façon aux charges permanentes et variables
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Combinaisons ELS pour les flèches selon l’EC5 (§2.2.3)
Flèche instantanée uinst (dite aussi flèche élastique) : c’est une flèche qui s’annule quand l’action disparaît, qu’elle soit permanente et/ou variable. Elle est liée à une notion de court terme. Elle est identique en début de vie et en fin de vie de l’ouvrage, et peut être calculée avec Emoyen
et les combinaisons rares prises avec G= Q =1 :
2
,0
i
iidom
j
j QQG
- Soit encore à partir de la combinaison dite « quasi permanente », mais de manière simplifiée en la
multipliant par kdef, puis en calculant la flèche élastique avec Gmoy et Emoy:
1
,2
i
ii
j
jdef QGk
Flèche de fluage ucreep : c’est une flèche résiduelle qui s’ajoute à uinst et qui subsiste même quand toute les actions disparaissent. Elle est liée à une notion de long terme. Ce sont les charges permanentes qui la provoquent, mais aussi la partie2,iQk,i des charges variables Qk,i qui s’applique de manière cumulée pendant une grande partie de la vie de l’ouvrage. ucreep se calcule :
- Soit à partir de la combinaison dite « quasi permanente » et d’un calcul (complexe) de
fluage: )(1
,2fluagedelois
udeCalculQG
creep
i
ii
j
j
36
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Calcul d’une flèche en début de vie de l’ouvrage : synthèse
)384/5( 4 EIqLtypedushabituelleformules
( )iinstinst uu ,max, max
Calcul à partir des combinaisons rares prises avec G= Q =1 :
2
,0
i
iidom
j
j QQG
icombichaquepourEaveccalculéu moyiinst ,
G1…
Gj…
Q1 Q2…
Gi…
uinst
1i
i
j
j QGSimplification éventuelle avec une seule
combinaison (0,i=1 : sécuritaire) :
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Calcul d’une flèche en fin de vie de l’ouvrage : synthèse
)9,384/5( 4 chapvoirEIqLtypedushabituelleformules
( )ifinfin uu ,max
Calcul de ufin (flèche totale à long terme) à partir des combinaisons rares modifiées :
moyifin Eaveccalculéu ,
La flèche finale (flèche totale) vaut ufin=uinst+ucreep
( )
1,2
2,01
iiidef
iiidom
jjdef QkQQGk
1
,2
i
ii
j
jdef QGk
2
,0
i
iidom
j
j QQG +Pour le calcul de la flèche
instantanée uinst
Pour le calcul de la flèche différée (non réversible, de fluage) ucreep
Simplification éventuelle avec une seule combinaison (0,i=1 : sécuritaire) :
( )
1
,2
1
1i
iidef
i
i
j
jdef QkQGk
Pierre LatteurCours de : Structures en bois
Chap. 11 : calcul des flèchesSelon les critères définis par l’EC5
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Généralités Pour les calculs de flèche à partir des combinaisons définies au chap. 10 , ce sont les valeurs moyennes de E et G qui sont utilisées, contrairement aux calculs ELU qui se basent sur les valeurs caractéristiques des résistances et des modules (pour le flambement ou le déversement)
mmoyend EE 11 mAvec
Les déformations d’effort tranchant peuvent être importantes (bois : G petit !)
mmoyend GG
L’EC5 (§7.1) recommande (sans imposer) les limitations suivantes :
Contreflèche éventuelle (peu fréquente pour le bois)Flèche finale
Flèche « résultante finale »Flèche « instantanée » Flèche de fluage
1 : Ceci n’est pas clairement défini dans les dernières versions de l’EC5, mais confirmé dans certains ouvrages tels que : Designers' Guide to Eurocode 5: Design of Timber Buildings, J. Porteousand P. Ross, 2013
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
est le glissement : il détermine la déformation angulaireproduite par les contraintes de cisaillement
G est le module de glissement, avec, pourun matériau élastique linéaire isotrope :
G
( )
12
EG
RAPPEL : le module de glissement G est au glissement ce que le module d’élasticité E est à la déformation
)( E
Les contraintes normales provoquent de l’allongement ou du rétrécissement Les contraintes cisaillement provoquent du gauchissement/glissement
Pour le bois qui est tout sauf isotrope, le module de glissement G ne répond pas à la loi G=E/2(1+) ci-dessus. Ses valeurs sont très faibles et inférieures à 1000 Mpa : il faut donc en principe en tenir compte pour le calcul des flèches
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
RAPPEL : théorème de la force unité(voir cours MDS et STAB)
La flèche en A s’obtient avec la relation suivante :
x 1N
m(x),n(x),v(x)
A
A=?
A
M(x),N(x),V(x)
Lx
x v
Lx
x
Lx
x
A dxGA
Vvdx
EA
Nndx
EI
Mm
000
Av : section réduite
Av=5bh/6 pour une section rectangulaire
Av=âme de la section pour une section en I
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Exemple : flèche au centre d’une poutre
Flèche de moment :
-
-
qxqLxV
qxqLxxM
2)(
22)( 2
( )EI
qLdx
EI
xqxqLxdx
EI
MmLx
x
Lx
x384
5
42
42
0
2
0
-
x
=?
L
q [kN/m]
x
q [kN/m]
M(x)
qL/2V(x)
x
m(x)
1/2
1 [kN]
mmax=L/4
L/2
v(x)
21)(
2)(
xv
xxm
Flèche d’effort tranchant :
( )
v
Lx
x v
Lx
x v GA
qLdx
GA
xqxqLdx
GA
Vv
84
22
22
00
-
v
VMtotGA
qL
EI
qL
8384
5 24
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Peut-on négliger les déformations d’effort tranchant ?
Le rapport Emoyen/Gmoyen est quasiment invariable pour le
bois massif (=16). Pour le BLC, il varie entre 13 et 22 (avec
une moyenne de 18)
b
h3
44
32
5
384
5
Ebh
qL
EI
qLM
Gbh
qL
GA
qL
v
V20
3
8
22
22
36,1596,0
L
h
L
h
G
E
M
V
Les déformations d’effort tranchant ne
sont donc négligeables que pour les poutres
élancées(L/h>10 : 15%) !
=5bh/6 pour section rect.
Pierre LatteurCours de : Structures en bois
Chap. 12 : Résistance en section : critères de dimensionnement ELU
Une horreur!
Rappel : valeurs caractéristiques prescrites par laNBN EN 338: version 2016 (bois sciés et ronds)
E0 : identique en compression, en traction, et donc en flexionE90 : en compression uniquement (car non pertinent en traction car quasiment nul)G0,k : introuvable dans les normes, mais plusieurs document concèdent que G0,k = E0,k/16
C18 C22 C24 C27 C30 C35 C40 D30 D35 D40 D50 D60 D70
fm,k 18 22 24 27 30 35 40 30 35 40 50 60 70 fm,k
ft,0,k 10 13 14,5 16,5 19 22,5 26 18 21 24 30 36 42 ft,0,k
ft,90,k 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 ft,90,k
fc,0,k 18 20 21 22 24 25 27 24 25 27 30 33 36 fc,0,k
fc,90,k 2,2 2,4 2,5 2,5 2,7 2,7 2,8 5,3 5,4 5,5 6,2 10,5 12 fc,90,k
fv,k 3,4 3,8 4 4 4 4 4 3,9 4,1 4,2 4,5 4,8 5 fv,k
E0,moyen 9000 10000 11000 11500 12000 13000 14000 11000 12000 13000 14000 17000 20000 E0,moyen
E0,k 6000 6700 7400 7700 8000 8700 9400 9200 10100 10900 11800 14300 16800 E0,k
E90,moyen 300 330 370 380 400 430 470 730 800 870 930 1130 1330 E90,moyen
Gmoyen 560 630 690 720 750 810 880 690 750 810 880 1060 1250 Gmoyen
rk 320 340 350 360 380 390 400 530 540 550 620 700 800 rk
rmoyen 380 410 420 430 460 470 480 640 650 660 740 840 960 rmkg/m
3
Mpa
Mpa
Résineux Feuillus
46
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
GL20h GL24h GL28h GL32h
fm,k 20 24 28 32
ft,0,k 16 19,2 22,4 25,6
ft,90,k 0,5 0,5 0,5 0,5
fc,0,k 20 24 28 32
fc,90,k 2,5 2,5 2,5 2,5
fv,k 3,5 3,5 3,5 3,5
E0,moyen 8400 11500 12600 14200
E0,k 7000 9600 10500 11800
E90,moyen 300 300 300 300
Gmoyen 650 650 650 650
G0,k 540 540 540 540
rk 340 385 425 440
rm 370 420 460 490
Lamellé-collé homogène (BLC)
Mpa
kg/m3
Mpa
Rappel : valeurs caractéristiques prescrites par la NBN EN 14080 (Bois lamellé collé homogène)
Le BLC homogène est constitué de planches en C24, C30,C40,…identiques de bas en haut
Le BLC panaché est une variante dans laquelle on place des planches de meilleure qualité au niveau des fibres inférieures et supérieures (GL24c à GL36c, dont les valeurs caractéristiques sont aussi bonnes en flexion)
La résistance du BLC est déterminée par la classe du bois constitutif et la résistance des aboutages, qui constituent des zones de faiblesse
47
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Principe généraldu calcul ELU Calcul des combinaisons de charges :
Si on ne tient pas compte des
phénomènes d’instabilité
(flambement et déversement), on
parlera de résistance en section. Dans le
cas contraire on parlera de résistance
globale
Pour chaque combinaison, calcul des efforts internes dans la structure : chaque élément structural est soumis à une sollicitation d’efforts
internes (MEd,NEd,VEd,TEd), dont l’effet est noté Sd
2
,015,135,1i
ii
j
j QQG
1
35,135,1i
i
j
j QGou (simplif.) :
Pour chaque sollicitation Sd, il faut vérifierLe critère de résistance Xd de l’élément structural :
( )m
ksyshdd
XkkkXS
mod
Résistance caractéristique
Coefficient de sécuritéSelon classe de service et
temps d’application des charges
Le cas échéant : kh (éléments petits, voir partie 1) et ksys
(effet système)
48
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Principe généraldu calcul ELU (suite)
Calcul ELU (=combinaisons rares)
Bois massif 1,3
Bois lamellé-collé 1,25
Calcul ELU (combinaisons accidentelles) 1
Calcul ELS 1
Valeurs de m selon l'EC5
Plus la charge est de longue durée, plus le kmod à prendre en compte est petit
m
kd
XkS
mod
G seules : kmod=0,6 (charge perm.)
l’EC5 (§3.1.3(2)) impose que, pour une combinaisondonnée, le kmod à prendre en compte dans le critère de résistancecorrespondra à la charge de plus courte durée dans la combinaison (…discutable…)
Exemple (pour une classe de service 2) :
G + Exploit. + Neige : kmod=0,8 (neige)G + Exploit. + vent : kmod=0,9 (vent)
G + neige (dom.) + vent (Y0) : kmod=0,9 (vent)
G + stockage (dom.) + piétons (Y0) : kmod=0,8 (piétons)
Classe de
durée de
charge
Durée de la charge ExempleClasse de
service 1
Classe de
service 2
Classe de
service 3
Permanente >10 ans Poids propre 0,6 0,6 0,5
Long terme 6 mois10 ans Stockage 0,7 0,7 0,55
Moyen terme 1 semaine6 moisCharges
d'exploitation, neige0,8 0,8 0,65
Court terme <1 semaine (Neige), vent 0,9 0,9 0,7
Instantanée Instantanée(Vent),
action accidentelle1,1 1,1 0,9
Tableau défini dans l'EC5 Coefficients kmod associés
Rem : l’ANB ne spécifie pas si la neige est du MT ou du CT, ni si le vent est du CT ou de l’instantané. Suggestion : Neige =MT (0,8), Vent=CT (0,9)
49
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en traction || aux fibres
Critère de dimensionnement :dt
EdEdt f
A
N,0,,0,
NEd
t,0,Ed𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
A
( )mktdt fkfavec ,0,mod,0,
50
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en traction aux fibres (à éviter!)
Critère de dimensionnement (bois massif) :
dtEd
Edt fA
N,90,,90,
NEd
t,90,Ed
𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
A
Critère de dimensionnement (lamellé-collé) :
2,03
,90,,90,
01,0
V
mf
A
Ndt
EdEdt
V
Facteur correctif dans l’ancienne version de l’EC5, qui a disparu aujourd’hui, avec ambiguïté : en traction aux fibres, plus le volume contraint est grand, plus la probabilité de trouver des nœuds est grand, ce qui fragilise l’ensemble
51
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en compression || aux fibres
Critère de dimensionnement :dc
EdEdc f
A
N,0,,0,
NEd
c,0,Ed𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
52
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en compression aux fibres
Critère de dimensionnement :
dcEd
Edc fA
N,90,,90,
NEd
c,90,Ed
𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
A
Appui
Ce critère peut-être rendu moins sévère par l’introduction d’un coefficient kc,90 qui tient compte de différents paramètres : distance avec d’autres charges (l1), zone d’application de la charge (l), hauteur de la section (h), etc. (voir EC5, §6.1.5. Voir également notion de longueur et aire efficace)
dccEd
Edc fkA
N,90,90,,90,
avec 1kc,901,75*
*amendement de 2008 à l'EC5 : 1,75 et plus 4
53
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en compression ou traction oblique(formules de Hankinson et al)
Compression oblique :
dc
dcdc
dc
dc fff
ffAvec ,0,
,90,,0,
,90,
,,²cos²sin
dcEd
Edc fA
N,,,,
A
NEd
Traction oblique :
dtEd
Edt fA
N,,,,
dt
dtdt
dt
dt fff
ffAvec ,0,
,90,,0,
,90,
,,²cos²sin
:
Remarque : l’EC5 introduit dans cette formule un paramètre kc,90 (le même qu’au transparent précédent), mais sa détermination est ambigüe. On conseille donc ici de le prendre égal à 1, ce qui est sécuritaire
54
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en flexion simple : contraintes dues au moment
Critère de dimensionnement : dm
él
EdEdm f
W
M,,
MEd
m,Ed
𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
Comme la rupture est une rupture fragile qui a lieu dans la zone tendue de la poutre (pas de plastification possible dans cette zone), on considère que la répartition des contraintes est triangulaire, même si dans la zone comprimée de la plastification peut apparaître :
Il n’est donc pas question de supposer la naissance de rotule plastique comme pour les structures métalliques et la notion de module de flexion plastique Wpl n’existe pas
MEd
VEd
55
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en flexion simple : contraintes dues àl’effort tranchant
La section soumise à l’effort tranchant maximal doit être vérifiée indépendamment de la section soumise au moment maximal
Ed=3V/(2A)𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
VEd
Ed
Ed
Dans le cas du bois, ce sont les contraintes rasantes, provoquant du cisaillement longitudinal, qui sont les plus défavorables :
Cisaillement longitudinal
Cisaillement transversal
(Et Ed=4V/(3A) pour une section circulaire)
( ) dv
ef
Ed
cr
EdEd f
hb
V
hbk
V,
2
3
2
3
kcr (cr pour « cracks ») est un coefficient égal à 0,67 pour le bois massif et le BLC, qui tient compte de
l‘existence éventuelle de fissures dans le bois(VOIR : EC5/A1/Chap. 6.1.7/équ. 6.13a
et EC5/A2/chap. 9/équ. 6.60)
Dans la suite de ce cours, on notera
bef=kcrb=0,67b
56
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Quelques mots d’explication sur le coefficent kcr
C’est la norme EN338 qui définit les résistances caractéristiques des différentes classes de bois, en particulier les valeurs de fv,k
Dans la version actuelle de cette norme, les valeurs données pour fv,k sont accompagnées de la note suivante : « Les valeurs caractéristiques pour fv,k sont données pour du bois sans fissures. Il convient de couvrir l’impact des fissures par des règles de calcul »
Pour la Belgique, la règle de calcul dont il est question est précisée dans l’amendement A1 (2008) de l’EC5 (Chap. 6.1.7/équ. 6.13a) : b remplacé par 0,67b
Notons que :- l’influence des fissures sur les caractéristiques mécaniques du bois est
aujourd’hui encore très peu connue - l’ancienne version de l’EC5 ne mentionnait pas le facteur kcr. De même, les anciennes versions de la EN338 ne mentionnaient pas la note ci-dessus mais prescrivaient des valeurs de fv,k inférieures à celles prescrites dans la version actuelle, d’un facteur moyen proche de 0,67. La situation actuelle permet donc à chaque état de prescrire la règle de calcul qu’il juge opportune (0,67 en Belgique via l’amendement 1 de l’EC5 datant de 2008)
57
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Poutre en flexion simple : récapitulatif du calcul
MEd
VEd
Pour chaque combinaison, calcul des efforts internes et réactions d’appui
Calcul des combinaisons de charges ELU :
2
,015,135,1i
ii
j
j QQG
Q
QG i
i
j
j
5,1
35,135,1 1ou (simplif.) :
Vérification du critère de FLECHE (fin du chap 10 et chap 11) et de FEU (chap 15)
Vérification dans la section la plus fléchie : dmcrit
él
EdEdm fk
W
M,,
Vérification dans la section avec effort tranchant max : dv
cr
EdEd f
bhk
V,
2
3
Vérification à l’appui (réaction REd) : dc
appui
EdEdc f
A
R,90,,90,
Si déversement (chap 11)
58
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Quel critère domine ? M?, V?, ?
Soit, par définition :
kmmoyen
dvdmkvkm
fE
ffff
,,0
,,,,
Hypothèse : E0,moy/Gmoy=16
(Ok pour bois massif mais approximatif pour BLC : E0,moy/Gmoy=13…22)
MEd=qEdL2/8
VEd=qEdL/2 qEd [kN/m]
300)1(
5
12
32
5
,0
2
3
,0
4 Lk
bhE
qL
bhE
qLdef
moymoy
Critère de flèche :
Suite en page suivante175,0
2
,
,
h
L
bf
qf
W
M
dm
Eddm
él
Ed Critère de flexion :(déversement négligé)
167,0
75,02
3
,
,
h
L
bf
qµf
hb
V
dm
Eddv
ef
Ed Critère d’effort tranchant :
4,17,0
56,056,0255,1
7,0
,
,,0,,
mod
dEdef
dmmoydmkm
m
qqetk
fEffk
15
12
32
52043
,
h
L
h
L
bf
q
dm
Ed
µmoyen moyen
Résineux 7,2 422,9
Feuillus 11,0 313,9
BLC 7,4 448,2
59
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Suite :
Zh
L
2
75,0
On peut simplifier les 3 critères précédents en les multipliant chacun par le même facteur adimensionnel Z=bfm,d/qEd, ce qui permet d’éliminer qdef, b et fm,d de la comparaison. Le + grand des termes de gauche de l’inégalité (ordonnée du graphe) sera alors le critère dominant :
Flexion :
Zh
Lµmoy
12,1
Effort tranchant : Flèche :
Zh
L
h
L
moy
5
12
32
52043
Le critère de moment de flexion ne domine jamais
Pour les élancements L/h<10, le critère d’effort tranchantdomine toujours
Pour les élancements L/h>10, le critère de flèche domine toujours
61
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en flexion composée (M+ traction)
MEd
m,Ed
=Mél/Wél
𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
NEd
t,0,Ed=NEd/A
dvEd ,
Critère de dimensionnement :
1,
,
,0,
,0,
dm
Edm
dt
Edt
ff
Avec vérification de la section la plus sollicitée par l’effort tranchant :
dtEdt f ,0,,0,
dmEdm f ,,
62
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
(Suite)
Exemple de flexion composée avec traction : chevron bloqué sur la panne faîtière et libre sur la panne sablière
© CNDB
© CNDB
63
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en flexion composée (M+ compression)
dvEd ,
Critère de dimensionnement :
1,
,
2
,0,
,0,
dm
Edm
dc
Edc
ff
Avec vérification de la section la plus sollicitée par l’effort tranchant :
MEd
m,Ed
=Mél/Wél
𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
NEd
c,0,Ed=NEd/A
dcEdc f ,0,,0,
dmEdm f ,,
Il y a un effet favorable provenant de l’interaction avec la compression, où le comportement s’avère plastique : globalement le comportement est moins fragile que quand la traction est dominante : non linéarité de la courbe
64
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
(Suite)
Exemple de flexion composée avec compression :chevron bloqué sur la panne sablière. En panne faîtière, on peut avoir blocage ou non
© CNDB
65
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en flexion oblique (=biaxiale) : moment
17,0,7,0,
,,
,
,,
,
,,
,
,,
dm
Edzm
dm
Edym
dm
Edzm
dm
Edym
ffffMax
Comme seuls 2 coins d’aire très réduite sont soumis à de grandes contraintes, la probabilité de trouver des nœuds dans des zones tendues diminue et l’EC5 autorise l’application d’un coefficient favorable (0,7) pour les sections rectangulaires :
m,y,Ed
+m,z,Ed
My,Ed
m,y,Ed
=Mél,y/Wél,y
𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
𝑥𝑦
𝑧
Mz,Ed
m,z,Ed
=Mél,z/Wél,z
dmEdzmEdym f ,,,,,
Critère de dimensionnement:
66
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en flexion oblique (=biaxiale) : effort tranchant
Les contraintes de cisaillement résultantes doivent être calculées vectoriellement :
dvEdzEdy ,
2
,
2
,
z, Ed
𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
Ed
Vz,Ed
y,Ed
Vy,Ed
y,Ed
z,Ed2
,
2
, EdzEdy
Critère de dimensionnement:
67
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère en flexion déviée (=composée oblique)(My + Mz + traction)
m,y,Ed
+m,z,Ed
𝑥
𝑧Axe x = sens
des fibres
Mz,Ed
NEd
t,0,Ed
Critère de dimensionnement :
1,
,,
,
,,
,0,
,0,
dm
Edzm
dm
Edym
dt
Edt
fff
1
7,0
7,0
,
,,
,
,,
,0,
,0,
,
,,
,
,,
,0,
,0,
dm
Edzm
dm
Edym
dt
Edt
dm
Edzm
dm
Edym
dt
Edt
fff
fffMax
L’EC5 permet l’utilisation d’une formulation moins sécuritaire (voir flexion biaxiale) :
My,Ed
Il faut également vérifier l’effet de l’effort tranchant à l’aide du même
critère qu’en flexion biaxiale :
dvEdzEdy ,
2
,
2
,
68
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
1
7,0
7,0
,
,,
,
,,
2
,0,
,0,
,
,,
,
,,
2
,0,
,0,
dm
Edzm
dm
Edym
dc
Edc
dm
Edzm
dm
Edym
dc
Edc
fff
fffMax
L’EC5 permet l’utilisation d’une formulation moins sécuritaire (voir flexion biaxiale) :
m,y,Ed
+m,z,Ed
Mz,Ed
NEd
c,0,Ed
My,Ed
Critère de dimensionnement :
1,
,,
,
,,
2
,0,
,0,
dm
Edzm
dm
Edym
dc
Edc
fff
Il faut également vérifier l’effet de l’effort tranchant à l’aide du même
critère qu’en flexion biaxiale :
dvEdzEdy ,
2
,
2
,
Critère en flexion déviée (My + Mz + compression)
69
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Poutres entaillées (=grugées) à leur extrémité
bh
VEd
2
32max,,
ef
Edbh
V
2
31max,,
Edt ,
Il doit exister une contrainte de traction aux fibres pour équilibrer le morceau
h
efh
Réactionx
( )
--
hh
h
xh
kk
BLCetBMpourk
ef
nv
cr
1,1
8,01
min
67,0
2
Avec :
=5 pour bois massif=6,5 pour BLC
L’eurocode (§6.5) impose de vérifier le critère empirique suivant :
dvv
efcr
Ed kbhk
V,1max,,
2
3
Valeurs de kcr (=0,67) :EC5/A1/chap.6.1.7/équ. 6.13a et
EC5/A2/chap.9/équ. 6.60
70
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Fente due à une contrainte de traction aux fibres prenant naissance dans la partie grugée
71
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Poutres entaillées (=grugées) à leur extrémité (suite)
bh
VEd
2
32max,,
ef
Edbh
V
2
31max,,
Edc,
Il doit exister d’une contrainte de compression aux fibres pour équilibrer le morceau
Réaction
Dans ce cas, comme il s’agit de compression et pas de traction, on peut prendre kv=1 et le critère habituel est utilisé :
1vkAvec :dvv
efcr
Ed kbhk
V,1max,,
2
3
Valeurs de kcr (=0,67) :EC5/A1/chap.6.1.7/équ. 6.13a et
EC5/A2/chap.9/équ. 6.60
Pierre LatteurCours de : Structures en bois
Chap. 13 : intégration du flambement dans les critères de résistance
73
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
RAPPEL : loi d’Euler
2
min,0
2
f
k
critL
IEF
Imin=min(Iy, Ix)
y
x
F
F
Lf=2L Lf=LLf=L
Lf=0,7L Lf=0,5L
E0,k et pas E0,moy!
74
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
RAPPEL : la longueur de flambement n’est pas toujours simple à trouver…
Lf = L Lf = L Lf = 2L Lf = 2L
CAS 2 :Inertie poutre <<< inertie colonnes: Lf = 2L
L Lf = ? 2L
CAS intermédiaire :inertie poutre inertie colonnes
CAS 1 :Inertie poutre >>> inertie colonnes : Lf = L
75
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
RAPPEL : élancement et sensibilité au flambement
IA
f
k
f
kcritcrit
L
E
A
I
L
E
A
F2
,0
2
2
,0
2
L’élancement est une mesure du danger de flambement :
Sensibilité au flambement
0 à 20 aucune
20 à 50 faible à moyenne
50 à 80 forte
80 à 200 très forte
> 200 à proscrire
= 20 = 50 = 10 = 200 = 80
2
,0
2
f
k
critL
IEF
I
AL f
déf .
Si on pose , on obtient une autre formulation de la loi d’Euler :
crit
2
,0
2
k
crit
E
76
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
kc
k
kccritf
Ef
,0,
2
,0
2
,0,
2
,0
2
.
k
crit
E
Standardisation de la loi d’Euler :
kc
k
Ekc
k
critf
Ef
E
,0,
,0
,0,2
,0
2
E est l’élancement en dessous duquel la loi d‘Euler cesse d’être valable :
Comportement réel
Loi d’Euler
kcf ,0, « limite » fc,0,k du matériau idéalisé
kc
k
Ef
E
,0,
,0
2
,0
2
. kcrit E
E
rel
kckE
f
fE
IAL
,0,,0Avec :
( )2
2
,0,,0 /
kck fE
2
2
2
1 relE
77
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère de résistance en compression simple selon l’EC5
dccEd
Edc fkA
N,0,,0,
Avec :
( )( )23,015,0 relrelck -
Eulercrit
kc
E
déf
rel
f
,
,0,
22
1
rel
c
kkk
-
élémentsdesrectitudelaàlié
BLCpour
massifboispourc
1,0
2,0
A vérifier selon les 2 axes !
78
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
En résumé pour le dimensionnement (section rectang. bxh)
FIN
On choisit une valeur arbitraire de b et h
IALf
k
kc
relE
f
,0
,0,
22
1
rel
c
kkk
-( )( )23,015,0 relrelck -
BLCpour
massifboispourc
1,0
2,0
?,0, dccEd fkhb
N
NON
OUI
:3,0rel
:3,0rel 1 ck
79
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Généralisation à la flexion composée (MEd+NEd)
MEd
𝑥𝑦
𝑧
Axe x = sens des fibres
NEd
( )1
,
,
,0,
,0,
dm
Edm
dczc,yc,
Edc
ffk,kmin
Avec vérification de la section la plus sollicitée par l’effort tranchant :
Les kc sont calculés avec les mêmes formules qu’en compression simple (transparent précédent)
dvEd ,
La sensibilité au flambement ne permet plus de tenir compte d’un effet favorable de plastification de la zone comprimée par élévation au carré du 1er terme du critère
80
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Généralisation à la flexion déviée (My,Ed+Mz,Ed+NEd)
Avec vérification de la section la plus sollicitée par l’effort tranchant :
Les kc sont calculés avec les mêmes formules qu’en compression simple (transparent précédent)
( )
( )
1
7,0
7,0
,
,,
,
,,
,0,
,0,
,
,,
,
,,
,0,
,0,
dm
Edzm
dm
Edym
dczc,yc,
Edc
dm
Edzm
dm
Edym
dczc,yc,
Edc
fffk,kmin
fffk,kminMax
L’EC5 permet l’utilisation d’une formulation moins sécuritaire (voir flexion biaxiale) :
( )1
,
,,
,
,,
,0,
,0,
dm
Edzm
dm
Edym
dczc,yc,
Edc
fffk,kmin
NEd
Mz,Ed
My,EddvEdzEdy ,
2
,
2
,
Pierre LatteurCours de : Structures en bois
Cas typique où les éléments secondaires, suffisamment
nombreux, empêchent l’apparition d’un déversement des grandes poutres principales (complexe
sportif à Clamart en France, bureau d’études Charpentes-concept)
Chap. 14 : intégration du déversement dans les critères de résistance
82
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Rappel : le déversement, c’est quoi ?
Le déversement est un flambement transversal de la membrure comprimée d’une poutre fléchie
Comme la membrure tendue ne flambe pas, elle « retient » la membrure comprimée. Il en résulte une torsion de la poutre
La sensibilité au déversement est influencée par : le type d’appuis, le type de charge et son point d’application
Q [kN]
83
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Rappel : aire, inertie, inertie polaire
][ 2mdAAA
Contour de la section
r
L’inertie polaire est liée à un point (souvent le centre G) :
][ 42 mdArIA
p
(Avec Ip=Ix+Iy car r2=x2+y2)
L’aire est indépendante de tout axe :
][
][
42
42
mdAxI
mdAyI
A
y
A
xL’inertie (ou moment d’inertie) est toujours liée à un axe :
][ 4mxydAIA
xy Le produit d’inertie est toujours lié à 2 axes :
(Il est nul si x ou y est un axe de symétrie)
84
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Rappel : torsion et constante de torsion
torGI
T
G est le module de glissementet vaut E/(2(1+)) pour un matériau
isotrope…ce qui n’est pas le cas du bois !
La constante de torsion (ou moment d’inertie en torsion) [m4] se définit par la relation qui lie le moment de torsion T
et l’angle de rotation par unité de longueur :
Pour les sections circulaires pleines ou creuses, on démontre que Itor=Ip, avec : RI
T
tor
max2
4RI tor
Pour les sections rectangulaires, on a toujours Itor<Ip, avec, pour des sections élancées (h>>b) : 3
63,013hb
h
bI tor
-
(Pour la section pleine)
-
EI
Mr 1
85
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Quantification du déversement (EC5/§6.3.3)
dmcrit
él
EdEdm fk
W
M,,
critm
kmdéf
mrel
f
,
,
,
-
2
,,
,,
,
1:4,1
75,056,1:4,175,0
1:75,0
mrelcritmrel
mrelcritmrel
critmrel
k
k
k
Avec :yélel
torkk
yél
crity
critmWL
IGIE
W
M
,
,0min,0
,
,
,
el
k
critmhL
Eb ,0
2
,
78,0
Simplification pour les poutres de section rectangulaire en résineux (mais aussi en feuillu, comme l’a démontré M. Monhonval/2015) :
Longueur effective de la poutre (voir p.
suivante)
86
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Valeurs de la longueur effective selon l’EC5
87
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
En résumé pour le dimensionnement (section rectang. bxh)
FIN
On connaît les valeurs de b et h qui satisfont lecritère de flexion sans déversement
NON
OUI
On lit la valeur de Lel dans le tableau de l’EC5
el
k
critmhL
Eb ,0
2
,
78,0
critm
km
mrel
f
,
,
,
-
2
,,
,,
,
1:4,1
75,056,1:4,175,0
1:75,0
mrelcritmrel
mrelcritmrel
critmrel
k
k
k
?,dmcrit
él
Ed fkW
M
88
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Formulation générale en flexion déviée avec flambement + déversement
Dans le cas rare où tous les types d’efforts internes se combinent à une sensibilité à la fois au flambement et au déversement, le critère de vérification général devient le suivant. Notons que kcrit,z est en général égal à 1 :
( )1
,,
,,
,,
,,
,0,
,0,
dmzcrit
Edzm
dmycrit
Edym
dczc,yc,
Edc
fkfkfk,kmin
NEd
Mz,Ed
My,Ed
Pierre LatteurCours de : Structures en bois
Photo : sud-toitures-charpentes.fr
Chap. 15 :Eléments courbes en BLC
90
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
!1 : Contraintes de cintrage (en usine) dans les lamelles
Le BLC étant composé de lamelles fines (<45 mm), leur cintrage en atelier est aisé et permet d’obtenir toutes les formes possibles
mEtW
M
EtEbt
M
EI
M
r
221213
r
tEm
2
Pour une lamelle d’épaisseur t courbée avec un rayon r, la contrainte de flexion m
vaut (voir cours de MDS – W=bt2/6) :
Pour r=240t (en général on a r>200t)et E=10000 Mpa, on obtient
une valeur élevée: MPam 8,20240
1
2
10000
brinr
L’EC5 intègre ce phénomène dans la réduction de la capacité en flexion (pas en traction ou compression, curieusement) via un coefficient kr :
240/1
240/001,076,0
trsi
trsitrk
in
inin
ravec :dmrdm fkf ,, (empirique, tenant compte de la relaxation) :
Dans une lamelle, le cintrage (avant collage et pressage) crée des contraintes qui diminuent les capacités de flexion, traction, …
m
m
m
m
m
m
91
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Valeurs du coefficient kr prescrites par l’EC5
92
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
!2 : Non linéarité des contraintes de flexion
Dans la section d’un élément courbe, les contraintes sont d’autant moins linéaires (loi =My/I) que la courbure est grande (R/h petit)
La répartition est en réalité hyperbolique avec des contraintes supérieures sur l’intrados, quelque soit le sens du moment (voir cours LAUCE2124 : éléments à forte courbure, théorie de Winkler) :
R
dl
h
MCG
e
R rinCentre de courbure
Fibre neutreFibre moyenne
Pour en tenir compte, l’EC5 majore les contraintes calculées avec MED/W :
W
Mk
W
M Edl
Ed
2
6,035,01
R
h
R
hklavec :
93
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Valeurs du coefficient kl prescrites par l’EC5
94
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
!3 : Naissance de contraintes aux fibres
Equilibre vertical du morceau grisé en supposant une répartition linéaire des contraintes :
2sin2
2sin2
dC
dRb
R
h
d
CCd/2d/2
M M
]1[bR
C
( )]2[
2222
WMb
hb
hC m
La force résultante C des contraintes de compression vaut :
W
M
R
h
25,0:]1[]2[ On obtient :
95
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
!3 : Naissance de contraintes aux fibres
Equilibre vertical du morceau grisé en supposant une répartition linéaire des contraintes :
2sin2
2sin2
dC
dRb
R
h
d
CCd/2d/2
M M
]1[bR
C
( )]2[
2222
WMb
hb
hC m
La force résultante C des contraintes de compression vaut :
W
M
R
h
25,0:]1[]2[ On obtient :
Ce facteur 0,25h/R est désigné Kp par l’EC5, qui définitle critère plus global ci-dessous :
Remarque : pour un M tel que l’intrados est comprimé, la contrainte aux fibres est une contrainte de compression, mais ce cas n’est jamais critique étant donné le rapport moyen entre fc,90,k et fm,k
12
3
,90,,
dtvoldis
Edp
dv
ef
Ed
fkk
W
Mk
f
hb
V*0
EdVsi
dtvoldisEd
p fkkW
Mk ,90,
( )rh25,0 =1,4 pour une poutre courbe
d’inertie constante
2,0301,0
V
mkvol
V : totalité du volume de la partie cintrée de l’élément, (V étant limité au 2/3 du volume de la poutre)
* : logique puisque VEd crée des contraintes rasantes qui agissent sur les facettes tendues
96
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Valeurs du coefficients kp prescrites par l’EC5
97
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Eléments courbes : synthèse du calcul ELU
1. Dans la section la plus comprimée ET la section la plus fléchie, calculer
c,Ed=NEd/bh et m,Ed=6MEd/bh2 et vérifier le critère de flexion composée :
3. Dans la section soumise au plus grand effort tranchant VEd, vérifier : dv
cr
EdEd f
bhk
V,
2
3
1,90,
,
,
dtvoldis
Edmp
dv
Ed
fkk
k
f
2. Dans ces 2 mêmes sections, si l’intrados est tendu, calculer Ed=3VEd/2bh et vérifier la traction aux fibres :
kr 1 : tient compte du cintrage des lamelles en usinekl 1 : tient compte de la contrainte de flexion dont la répartition ne répond plus à la loi habituelle =M/Wkp =0…0,15… : permet de calculer les contraintes de traction aux fibres à partir des contraintes de flexion
kc 1 : tient compte de la sensibilité au flambementkdis =1,4 : permet d’intégrer la manière dont sont distribuées les contraintes de traction aux fibreskvol <1 : tient compte de « l’effet volume » (volume grand plus de défauts moins de résistance)
11
,
,
,0,
,0,
,0,
,0,
dmr
Edml
dcc
Edc
dt
Edt
r fk
k
fkou
fk
L’EC5 n’en fait mention que pour la flexion, mais sa place ici semble
pertinente(cintrage en usine des lamelles)
Pas évident à déterminer pour un élément qui n’est plus droit ! …approche numérique nécessaire (le logiciel Scia est capable de fournir la valeur de kc).
Pierre LatteurCours de : Structures en bois
Photo james.fr
Chap. 16 :Poutres à inertie variable
99
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
100
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Contraintes maximales dans une poutre à inertie variable : pas là où M est maximum ! …
( )( )( )( )2
6
xhb
xMx
( )( )( )
02max
xh
xM
dx
dquetelxpour
am hh
Lxpourmax
1
( ) aam hx
L
hhxh
-
( ) ( )xLqxxM - 5,0
Poutre à simple décroissance :
101
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
12 -
LLhh
Lxpourmax
mam
m
12
12
-
-
LLhh
LLhhhhet
mam
mama
( ) ( )xLqxxM - 5,0
Poutre à double décroissance :
102
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Les poutres à inertie variable : équations valables
Pour autant que la pente ne soit pas trop forte, les formules établies pour les poutres prismatiques, restent valables1 (bien que la réalité montre que les contraintes de flexion ne sont plus parfaitement linéaires, en particulier au niveau du faîte des poutres à double décroissance)
EI
M
r
1
I
My
1Selon Timoshenko, Résistance des matériaux, vol 1
Par contre, la théorie des poutres prismatiques donnera des solutions identiques pour les cas suivants, qu’elle ne pourra distinguer :
103
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
m
m
Approche intuitive
Si l’élément à inertie variable est en compression ou traction simple,on utilise simplement les critères définis au RAPPEL 1 (Hankinson)
Si l’élément est en flexion simple ou composée, les anciennes versions de l’EC5 utilisaient le critère de Hankison (Rappel 1) qui s’est avéré imprécis. Actuellement, l’EC5 prescrit une formulation corrigée qui fait intervenir l’influence des contraintes de cisaillement et de traction/compression : voir détails plus loin
Dans un élément dont l’inertie est variable :
Les fibres de bois sont coupées sur un bord au moins
Les contraintes de flexion (traction ou compression) longent le bord de la section et sont obliques par rapport aux fibres : elles ont donc une composante aux fibres défavorable au bois,dont il faut tenir compte
104
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Quelques rappels pour bien comprendre les
poutres à inertie variable
105
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
A
NEd
RAPPEL 1 : le bois « n’aime pas » la tractionou compression oblique (Hankinson et al)
Compression oblique :
dc
dcdc
dc
dc fff
ffAvec ,0,
,90,,0,
,90,
,,²cos²sin
dcEd
Edc fA
N,,,,
Traction oblique :
dtEd
Edt fA
N,,,,
dt
dtdt
dt
dt fff
ffAvec ,0,
,90,,0,
,90,
,,²cos²sin
:
Remarque : l’EC5 introduit dans cette formule un paramètre kc,90 (le même qu’au transparent précédent), mais sa détermination est ambigüe. On conseille donc ici de le prendre égal à 1, ce qui est sécuritaire
106
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Corolaire : le long d’un bord d’une section droite, la contrainte tangentielle est tangente à ce bord :
RAPPEL 2 : réciprocité des contraintes tangentielles
( ) ( ) - '0'0 yzxxyzM A
107
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
N
=Ncos/(A/cos)
=Nsin/(A/cos)
RAPPEL 3 : contraintes dans un joint collé
N se décompose en :
- 1 composante Ncos de traction- 1 composante Nsin de cisaillement
, qui agissent sur une section oblique(joint collé) d’aire A/cos :
Aire A
Poutre en traction constituée d’un joint collé incliné de ° :
Le joint est donc soumis à :
- 1 contrainte de traction =cos2(N/A) =0cos2
- 1 contrainte de cisaillement =0cossin
108
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
tractioncompression
RAPPEL 4 : contraintes principales
Lignes de contraintes principales dans une poutre sur deux appuis : Allure des
contraintes dues à une charge ponctuelle
109
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
RAPPEL 5 : cercle de Mohr, contraintes de bord de poutre
V
M
ZOOM
P 0 et =M/W 0
Pour un carré de matière de coté dx0 situé au bord de la fibre supérieure, on a :
M/W
0
0
0
dx 0
Par exemple, facette orientée à 45° par rapport au bord
supérieur :
0,5M/W
110
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Quantification des contraintes aux fibres
111
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Divergences par rapport à la théorie des poutres prismatiques : naissance de contraintes aux fibres !
Pour assurer l’équilibre vertical, il doit exister une contrainte de compression aux fibres :
m
c,90
dx0
dy=dx.tg
( ) ( )
( ) ( )
tgdxbtgdxbF
tgtgdxbdxbF
ccvert
mmhoriz
90,90,:0
:0 2
90, tgmc
Compression + compression
m
t,90
dx0
dy=dx.tg
idemF
idemF
vert
horiz
:0
:0 2
90, tgmt
Pour assurer l’équilibre vertical, il doit exister une contrainte de traction aux fibres :
Traction + traction
112
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Poutres àsimple décroissance
113
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère ELU pour les poutres à simple décroissance
Pour tenir compte des contraintes aux fibres, l’EC5 n’utilise pas les équations d’Hankinson, mais prescrit plutôt un critère (empirique lui aussi) basé sur la comparaison, sur la face inclinée, de la contrainte MEd/Wél avec le facteur km,fm,d :
dmmEd
él
Ed fkbh
M
W
M,,2
6
(+ vérification du critère habituel dans la section soumise à VEd,max et
calcul de flèche)
2
2
,90,
,
2
,
,
,
75,01
1
tgf
ftg
f
f
k
dt
dm
dv
dm
m
2
2
,90,
,
2
,
,
,
5,11
1
tgf
ftg
f
f
k
dc
dm
dv
dm
m
Si la face inclinée est comprimée :
Si la face inclinée est tendue :avec :
114
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Poutres àdouble décroissance
115
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Hors de la zone de faîtage, on a montré qu’il existe une compression aux fibres : il faut faire la même vérification que pour les poutres à simple décroissance
Dans la zone de faîtage, c’est l’inverse : la poussée au vide crée une traction aux fibres, comme l’illustre la figure ci-dessus
Cas particulier du faîte des poutres à double décroissance
t,90
Dans la zone de faîtage, VEd est nul, donc pas de contrainte rasante , donc m et t,90 s’annulent sur la fibre supérieure :
t,90=0
0
dx 0
t,90=0
0
dx 0
m=0
m
t,90
116
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère ELU pour les poutres à double décroissance
Dans les zones hors du faîte, vérifier le mêmecritère que pour les éléments à simple décroissance :
dmmEd
él
Ed fkbh
M
W
M,,2
6
Dans la zone de faîte, il faut vérifier le critère de flexion ET de traction fibres :
dmEd
l fbh
Mk ,2
6 24,54,11 tgtgkl avec (empirique) :Flexion :
( ) dtvoldisEd
p fkkbh
Mtgk ,90,2
62,0
( )
1:
01,0:
4,1
2,03
masssifbois
VmBLCk
k
vol
dis
avec (empirique) :
Traction fibres :
Si VEd0 dans la section de faîte : voir EC5, §6.4.3(7)
(+ vérification du critère habituel dans la section soumise à VEd,max et
calcul de flèche)
117
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Poutres avec zone circulaire
118
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère ELU pour les poutres avec zone circulaire
Dans les zones latérales, vérifier le même critère que pour les éléments à simple décroissance :
dmmEd
él
Ed fkbh
M
W
M,,2
6
( ) ( )
240/1
240/001,076,0
6,035,012
trsi
trsitrk
rhrhk
in
inin
r
apapl
avec (empirique) :Flexion :
Dans la zone de faîte, il faut vérifier le critère de flexion ET de traction fibres, en tenant compte, via kr, de la diminution de résistance due au fléchissement de production des lamelles :
dmrEd
l fkbh
Mk ,2
6
Les lamelles sont en général parallèles aux faces inférieures et supérieures, et cintrées au faîte en usine sur un angle (en degrés)
( )inapap rhbhV 2360
( ) dtvoldisEd
ap fkkbh
Mrh ,90,2
625,0
( )
2,0301,0
4,1
Vmk
k
vol
dis
Traction fibres :
Si VEd0 dans la section de faîte : voir EC5, §6.4.3(7)
avec (empirique) :
(en degrés)
119
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère ELU pour les poutres avec zone circulaire
Dans les zones latérales, vérifier le même critère que pour les éléments à simple décroissance :
dmmEd
él
Ed fkbh
M
W
M,,2
6
( ) ( )
240/1
240/001,076,0
6,035,012
trsi
trsitrk
rhrhk
in
inin
r
apapl
avec (empirique) :Flexion :
Dans la zone de faîte, il faut vérifier le critère de flexion ET de traction fibres, en tenant compte, via kr, de la diminution de résistance due au fléchissement de production des lamelles :
dmrEd
l fkbh
Mk ,2
6
Les lamelles sont en général parallèles aux faces inférieures et supérieures, et cintrées au faîte en usine sur un angle (en degrés)
( )inapap rhbhV 2360
( ) dtvoldisEd
ap fkkbh
Mrh ,90,2
625,0
( )
2,0301,0
4,1
Vmk
k
vol
dis
Traction fibres :
Si VEd0 dans la section de faîte : voir EC5, §6.4.3(7)
avec (empirique) :
(en degrés)
120
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Poutres avec intrados circulaire
121
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Critère ELU pour les poutres BLC avec intrados circulaire
Dans les zones à simple décroissance, vérifier le même critère que pour les éléments à simple décroissance :
dmmEd
él
Ed fkbh
M
W
M,,2
6
Dans la zone de faîte, il faut vérifier le critère de flexion ET de traction fibres, en tenant compte, via kr, de la diminution de résistance due au cintrage des lamelles en usine :
Les lamelles sont en général parallèles à la face inférieure et cintrées au faîte en usine. Les fibres supérieures sont découpées
( )
2,0301,0
7,1
Vmk
k
vol
dis
Traction fibres :
avec (empirique) :( ) dtvoldisEd
p fkkbh
MECvoirk ,90,2
6)8(3.4.6§,5:
240/1
240/001,076,0
47.643.6.),4(3.4.6§,5
trsi
trsitrk
àéquECvoirk
in
inin
r
l
avec (empirique) :Flexion : dmrEd
l fkbh
Mk ,2
6
Si VEd0 dans la section de faîte : voir EC5, §6.4.3(7)
122
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Synthèse pour tous les types de poutres à
inertie variable
123
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Poutres à inertie variable : synthèse du calcul ELU
dmmEd fk
bh
M,,2
6
(km, est à choisir selon que le bord coupé est en compression ou en traction.Si les 2 bords sont coupés, on prendra le + petit des deux)
km, 1 : tient compte de la compression/traction oblique sur le bord coupékl 1 : tient compte de la contrainte de flexion en zone de faîte dont la répartition ne répond plus à la loi habituelle =M/W
kr 1 : tient compte du cintrage éventuel des lamelles en usinekp =0…0,15… : permet de calculer les contraintes de traction aux fibres à partir des contraintes de flexion (empirique)
kdis =1,4 ou 1,7 : permet d’intégrer la manière dont sont distribuées les contraintes de traction aux fibreskvol <1 : tient compte de « l’effet volume » (volume grand plus de défauts moins de résistance)
Dans la zone soumise au plus grand effort tranchant VEd, vérifier : dv
ef
EdEd f
hb
V,
2
3
S’il existe une zone de faîte avec MEd et VEd, vérifier :
dmrEd
l fkbh
Mk ,2
6La flexion :
La traction aux fibres : dtvoldis
Edp fkk
bh
Mk ,90,2
6 et si VEd0 : 1
6
,90,
2
,
dtvoldis
Edp
dv
Ed
fkk
bh
Mk
f
Hors des zones de faîte, calculer l’abscisse de plus grande contrainte, relative à MEd et h, et vérifier le critère suivant :
124
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois
Calcul de la flèche maximale d’une poutre à inertie variable
( ) ( ) ( )
Lx
x v
Lx
x
Lx
x
A dxxGA
Vvdx
xEA
Nndx
xEI
Mv
000
x 1N
m(x),n(x),v(x)
A
A=?
A
M(x),N(x),V(x)
La formulation analytique de la flèche maximale et de son abscisse peut s’avérer complexe : l’utilisation d’un tableur ou d’un petit code de programmation est utile
En 1ère approximation et pour un avant-projet, on peut utiliser une hauteur de section constante égale à la hauteur moyenne
On trouve également dans [Construction en bois, Natterer et al, §6.2.3.5] une abaque permettant de calculer rapidement ces flèches dans des cas simples
Par application du théorème de la force unité (voir cours de MDS), en utilisant I(x), A(x) et Av(x) :