lezione 9. calcolo dell’antitrasformata di...
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F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 2
Schema della lezione
1. Introduzione
2. Antitrasformazione di Laplace
3. Strumenti per l’antitrasformazione
4. Teorema del valore iniziale
5. Teorema del valore finale
6. Antitrasformazione mediante sviluppo di Heaviside
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 3
1. Introduzione
S yu
Equazioni algebriche
Equazioni differenziali
( )tu
Dominio del tempo
Dominio delle
trasformate
L
1-L
( )sU
( )ty ( )sY
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 4
t0
( )tf2
( )tf1
( )tf
0≥t
Si ha corrispondenza biunivoca considerando uguali le funzioni che lo sono:
• per • a meno di un insieme di misura
nulla (singoli punti) 1−L
L
( )tf ( )sF
2. Antitrasformazione di Laplace
( )tf1
( )tf2
-1L( )tf
( )sFL
L
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 5
( ) ( )[ ]sFtf1−
=L
3. Strumenti per l’antitrasformazione di Laplace
Formula esplicita
Teorema del valore iniziale
Teorema del valore finale
Sviluppo di Heaviside (solo per razionale)( )sF
( )0f
( )∞f
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 6
( ) ( )[ ]tfsF L=
( ) ( )ssFfs ∞→
= lim0 se esiste finito
4. Teorema del valore iniziale
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 7
( ) ( )[ ] ( )[ ] 22cosω+
=ω==s
sttfsF LL
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 22
2
0?0ω+ω−
=−==s
fssFtff L
( ) ( ) 1lim0 ==∞→
ssFfs
infatti ( ) ( ) 10cos0 ==f
( ) 0lim0 22
2
=ω+ω−
=∞→ s
sfs
infatti ( ) ( ) 00sin0 =−=f
Esempio
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 8
( ) ( ) ( )ssFtffst 0limlim →∞→
=≡∞
( )sF ha solo:• poli con parte reale negativa• poli nulli, cioè in 0=s
Ipotesi
se esiste finito
5. Teorema del valore finale
( ) ( )[ ]tfsF L=
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 9
Poli in ω± j il Teorema del valore finale non è applicabile !
( ) ( )[ ] 22cosω+
=ω=s
stsF L
( ) 11lim0
=⋅=∞→ s
sfs
( ) ( )[ ]s
tsF 1sca ==L
Esempio
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 10
Applicabile solo per razionali( )sF
( ) ( )( ) nm
asasabsbsb
sDsNsF
nnn
mmm
≤++++++
== −
−
1
10
110
( ) ( ) ( ) ++= sFsFsF 21
( ) ( ) ( )tftftf =++ 21
6. Antitrasformazione mediante sviluppo di Heaviside
1−L 1−L
L’idea è scomporre nella somma di elementi per i quali è nota l’antitrasformata.
( )sF
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 11
Si considerano solo i seguenti casi:
con poli reali distinti
con poli reali multipli
con poli complessi coniugati
con grado del denominatoreuguale al grado del numeratore (m=n)
( )sF
( )sF
( )sF
( )sF
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 12
( )n
n
pspspssF
+α
++α
++α
= 2
2
1
1
1−L
tpe 11
−α tpe 22
−α ( ) ∑=
−α=n
i
tpi
ietf1
( ) ( )( ) ( )npspspsasD +++= 210
ip−poli in con ji pp ≠ ji ≠ ,
1−L
Poli reali distinti
0≥ttp
nne−α
1−L
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 13
Esempio( ) ( )( )16
2++
+=
sssssFCalcolare l’antitrasformata di
( ) ( )( ) =+α
++α
+α
=++
+=
16162 321
ssssssssF
( )( ) ( ) ( )( )( ) =
+++α++α+++α
=16
6116 321
sssssssss
( ) ( )( )( )16
667 13212
321
++α+α+α+α+α+α+α
=sss
ss
=α=α+α+α
=α+α+α
26167
0
1
321
321
Devono essere uguali
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 14
=α=α+α+α
=α+α+α
26167
0
1
321
321
Bisogna risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite
=α
=α+α+
=α+α+
31
1637
031
1
32
32
=α
=α+−α−
−α−=α
31
1631
37
31
1
33
32
=α
−=α
−α−=α
31
51
31
1
3
32
−=α
−=α
=α
5115
23
1
3
2
1
( ) ( )( ) 15
1
615
23
1
162
+−
+−=
+++
=ssssss
ssF
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 15
E’ quindi possibile calcolare l’antitrasformata
( ) ( )( ) 15
1
615
23
1
162
+−
+−=
+++
=ssssss
ssF
( ) ( ) 0per 51
152sca
31 6 ≥−−= −− teettf tt
Si può scrivere anche così:
( ) 0per 51
152
31 6 ≥−−= −− teetf tt
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 16
( ) ( ) 1>+= kpssD k
( )( ) ( )
++β
+++β
++β
+= kk
pspspssF 2
21
pte−β1ptte−β2
( )pt
k
k ekt −
−
−β
!1
1
1−L 1−L 1−L
Poli reali multipli
Ci possono essere poli multipli
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 17
Esempio( ) ( )1
22 ++
=ss
ssFCalcolare l’antitrasformata di
=α=α+α=α+α
210
12
1211
211
Devono essere uguali
( ) ( ) =+α
+α
+α
=++
=11
2 221211
2 sssssssF
( ) ( )( ) =+
α++α++α=
111
2
221211
ssssss
( ) ( )( )12
1212112
211
+α+α+α+α+α
=ss
ss
=α=α−=α
12
1
2
12
11
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 18
( ) ( ) 1121
12
22 +++−=
++
=sssss
ssF
E’ quindi possibile calcolare l’antitrasformata
( ) ( ) ( ) 0per ram2sca ≥++−= − tetttf t
Si può scrivere anche così:
( ) 0per 21 ≥++−= − tettf t
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 19
( ) ( )( ) ω+σ−ω−σ−= jsjssD
( )( )
+ω+σ−
γ+β+=
22sssF
( ) 22 ω+σ−s poli in ω±σ j
1−L
Poli complessi coniugati
( ) ( ) ( ) 222222 ω+σ−ω
ωβσ+γ
+ω+σ−
σ−β=
ω+σ−βσ+βσ−γ+β
sss
ss
1−Lte t ωσ cos te t ωσ sin
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 20
( ) ( ) ( ) ...sincos... +ωωβσ+γ
+ωβ+= σσ tetetf tt 0≥t
( )( )
+ω+σ−
γ+β+=
22sssF
1−L
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 21
Esempio( ) ( )( )252
432 +++
−=
sssssFCalcolare l’antitrasformata di
( ) ( )( ) =++γ+β
++α
=+++
−=
52225243
22 sss
ssssssF
( ) ( )( )( )( ) =
++++γ+β+++α
=252
2522
2
sssssss
( ) ( ) ( )( )( )252
25222
2
+++γ+α+γ+β+α+β+α
=sss
ss
−=γ+α=γ+β+α
=β+α
425322
0
Devono essere uguali
=γ=β−=α
32
2
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 22
( )52
322
22 ++
++
+−=
sss
ssF
Si ha quindi la seguente scomposizione:
( ) ...2 2 +−= − tetf ?
Non ha un’antitrasformata immediata
( ) =+++
++
+−=
+++
++
−=412
322
252
322
222 ss
ssss
ss
sF
E’ però possibile riscrivere il denominatore del secondo termine in modo differente:
( ) 4132
22
2 +++
++
−=s
ss
Qual è l’antitrasformata ?
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 23
( ) ( ) ( )=
+++
+++
=++
+41
241
141
3222212 s
ks
sks
s
( ) 22 ω+σ+ω
s
( ) 22 ω+σ+σ+
ss
( ) 0per sin ≥ωσ− tte t
( ) 0per cos ≥ωσ− tte t
Quindi:
Pro memoria
( ) 412
2211
++++
=s
kksk
=+=
322
21
1
kkk
=
=
212
2
1
k
k
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 24
E’ quindi possibile calcolare l’antitrasformata
( )( ) ( ) 41
221
4112
22
22 +++
+++
++
−=ss
ss
sF
( ) ( ) ( ) 0per 2sin212cos22 2 ≥++−= −−− tteteetf ttt
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 25
Se il numeratore e il denominatore hanno lo stesso grado, nella scomposizione di bisogna aggiungere un termine costante.
( ) 0α+=sF
( ) ( )ttf imp... 0α+=
1−L
( )sF( )sN ( )sD
Grado relativo nullo (m=n)
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 26
Esempio( ) ( )
( )12 2
++
=ss
ssFCalcolare l’antitrasformata di
( ) ( )( ) =α+
+α
+α
=++
= 021
2
112
ssssssF
( ) ( )( ) =+
+α+α++α=
111 021
ssssss
( )( )1
10212
0
+α+α+α+α+α
=ss
ss
=α=α+α+α
=α
44
1
1
021
0
Devono essere uguali
−=α=α=α
141
2
1
0
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 27
E’ quindi possibile calcolare l’antitrasformata
( ) ( ) ( ) 0per impsca4 ≥+−= − ttettf t
Si può scrivere anche così:
( ) ( ) 0per imp4 ≥+−= − t tetf t
( ) =++
−= 11
14ss
sF
F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 28
( ) ( ) ( )tutyty +−=
( ) ( )s
sYs 141 +=+
( ) ( )11
14
++
+=
ssssY
( ) ( )( ) ( )sUsYyssY
+−==−
0( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]tusU
tysY
LL=
=
Esempio esplicativo(Trasformazione di Laplace per la risoluzione di equazioni differenziali)
( ) ( )ttu sca=( ) 40 =y
Con( ) ( ) ( ) ( )sUsYyssY +−=− 0