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LezionePONTI E GRANDI STRUTTUREIng. Eugenio FerraraUniversità degli Studi di Catania

Metodo di ripartizione dei carichi di Guyon‐Massonnet‐Bareš

2

EsempioDati geometrici dell’impalcato

• Lunghezza impalcato 22.30 m

• Larghezza impalcato 11.50 m

• Larghezza marciapiede 1.75 m

• Larghezza carreggiata 8.00 m

• Luce tra le travi 1.00 m

• Lunghezza traverso 11.50 m

3

EsempioDati della sezione trasversale

RETTANGOLO 1 2 3 4

Base 100 54 14 98 cm

Altezza 20 7 91 12 cm

baricentro yGi 120 106.5 57.5 6 cm

Area Ai=bh 2000 378 1274 1176 cm2

Momento statico Si=AyGi

240000 40257 73255 7056 cm3

Momento d'inerzia Il=bh3/12

66667 1544 879166 14112 cm4

Momento trasporto A(yG‐yGi)2

4107318 382665 376142 5547558 cm4

4

1

2

3

498

100

54

207

9112

14

EsempioDati della sezione trasversale

SEZIONE

baricentro dell'intera sezione

74.683 cm

area totale 4828 cm2

momento statico totale 360568 cm3

momento d'inerzia totale 961488.33 cm4

momento di trasporto totale

10413683 cm4

momento d'inerzia della sezione

11375171 cm4

5

1

2

3

498

100

54

207

9112

14

EsempioDati sezione trasversale

I rettangoli 1 e 2 vengono uniti così da ricondursi ad una sezione a I.

Unione del rettangolo 1 e 2: Larghezza:100 cmAltezza: (A1+A2)/b=(2000+378)/100=23.78 cm

6

12

3

498

100

54

207

9112

14

1

2

398

100

54

207

9112

14

EsempioDati sezione trasversale

RETTANGOLO 1 2 3

lato maggiore (l) 100 91 98 cm

lato minore (δ) 23.78 14 12 cm

rapporto l/δ 4.20521 6.5 8.16667

β=ψ/3 0.28467 0.30185 0.30828

momentoinerzia torsionale

382805 75373 52204 cm4

INTERA SEZIONEmomento inerzia

torsionale510383 cm4

7

1

2

398

100

54

207

9112

14

EsempioLarghezza collaborante della soletta dei traversi

I traversi presenti sono tre, di cui due posti alle estremità ed uno in mezzeria.

tratto da: Eurocodice 2 Parte 1 – 5.3.2.1

Per sezioni in cls, la larghezza efficace dell’ala è basata sulla distanza l0tra i punti di momento nullo, come mostrato in figura :

8

Per essi si considera una larghezza collaborante di soletta secondo quanto stabilito nell’Eurocodice 2.


La larghezza efficace dell’ala beffper una trave a T o a L può essere definita come:


eff eff,i wb b bdove:beff,i = 0.2bi + 0.1l0 ≤ 0.2l0beff,i ≤bi

9


La larghezza efficace dell’ala beff,1 = beff,2 è il minimo valore tra:


0 0.15 0.15 2230 334.5 cml l

Nell’esempio in esame, la lunghezza l0 vale :

eff,1 0.2 542.5 0.1 334.5 141.95 cmb eff,1 0.2 334.5 66.9 cmb

La larghezza efficace beff è pertanto :

eff 66.9 2 30 163.8 cmb

10

beff,i = 0.2bi + 0.1l0 ≤ 0.2l0beff,i ≤bi( )

EsempioDati traversi

RETTANGOLO 1 2

base 163.8 30 cm

altezza 20 110 cm

baricentro 120 55 cm

area 3276 3300 cm2

momento statico 393120 181500 cm3

momento d'inerzia 109200 3327500 cm4

momento di trasporto 3485579 3460229 cm4

11

INTERA SEZIONE

baricentro intera sezione 87.38 cm

area totale 6576 cm2

momento statico totale 574620 cm3

momento d'inerzia totale 3436700 cm4

momento di trasporto totale 6945808 cm4

momento inerzia sezione 10382507 cm4

1

2

163.8

30

110

20 1

2

y


RETTANGOLO 1 2

lato maggiore (l) 163.8 110 cm

lato minore (δ) 20 30 cm

rapporto (l/δ) 8.19 3.67

β=ψ/3 0.31 0.28

momento inerzia torsionale 404058 824246 cm4

INTERA SEZIONE

momento inerzia torsionale 1228304 cm4

12

1

2

163.8

30

110

20 1

2


La precedente relazione per la determinazione della larghezza della solettacollaborante risulta essere molto conservativa. In passato si utilizzava unarelazione che teneva in considerazione l’altezza della soletta.

13

coll w 2 5 30 2 5 20 0 230 cm b b s r

EsempioParametri di Guyon e di Massonnet

14

Si suppone che gli elementi siano realizzati con calcestruzzo C28/35 avente le seguenti caratteristiche :

Modulo elastico E=32308 N/mm2

Modulo di taglio G=13461.8 N/mm2 (ν=0.2)

I coefficienti di rigidità flessionale e torsionale della trave e del traverso valgono:

l

z 3675119 kNmEI

D

tx

t

291688 kNmEI

D

l

zx 68707 kNmGJ

D

txz

t

14378 kNmGJ

D

(trave)

(traverso)

EsempioParametri di Guyon e di Massonnet

15

Il parametro di rigidezza trasversale (parametro di Guyon) vale :

z4

x

0.4862B Dl D

zx xz

z x

0.042D D

D D

mentre il parametro di rigidezza torsionale (parametro di Massonnet) è :

dove :

B larghezza dell’impalcatol lunghezza dell’impalcato

EsempioSviluppo in serie del carico

k kk,m

k k

4sin sin

p m c m dp

m l l

Carico p carico per unità di superficie tra xk = dk – ck e tra xk = dk + ck

con m=1,2,3...

ck

dklk

ck

16


k,m4p

pm

k,m4p

pbm

k

k,mk k

2sin

P m dp

bl l

Carico p carico per unità di superficie tra xk = 0 e tra xk = lk

con m=1,3,5...

Carico p carico per unità di lunghezza tra xk = 0 e tra xk = lk

con m=1,3,5...

Carico concentrato P in xk = dk

k k

k k

m=1,2,3... per d l /2con

m=1,3,5... per d l /2

17


d2

d3

d1

F

q

1 2 3 p p p p

Carico sinusoidale medio

F

18

1

2 3


CARICO AGENTE Ampiezza del carico

Distanza dall’appoggio

Intensità del carico Carico p

m m kN/m2

1 22.3 11.5 27 kN/m 17.19

2 ‐ 10.55 300 kN 26.81

3 ‐ 11.75 300 kN 26.81

270.81 kN/mp

2k

2k k

2 2 300 (kN) 10.55 (m)sin sin 26.81 kN/m

1 (m) 22.30 (m) 22.30 (m)P d

pbl l

Stesso discorso si applica per i carichi da considerare nella seconda corsia.

19

Ad esempio :

Carico sinusoidale medio


21 100% 70.81 kN/mp p

Carichi da applicare alla sezione trasversale

22 40.52 kN/mp

1e marciapiede 2

35 1.75

4 4 11.14 kN/mq l

p

Ampiezza dei carichi

20

1p

2p 3p3p

50 250

487.5487.5

3 m

3 m

1.75 m

………………………………

………………………………

……………

R


2 2

1 1 2 2

22.3/2 70.81 3567.7 kNm

lM l p

Il momento in mezzeria dato dallo sviluppo sinusoidale dei carichi vale :

22.30 m

2 2

2 2 2 2

22.3/2 40.53 2041.7 kNm

lM l p

2 2

3 3 2 2

22.3/2 11.14 561.3 kNm

lM l p

21

EsempioCarichi descritti da norma NTC08

1 0.5 27 22.3 2 300 601.1 kNR

La reazione agli appoggi vale:

Dall’equilibrio alla rotazione si ricava il momento massimo in mezzeria:

2

max22.3 11.5

/2 601.1 27 300 0.6 4843.4 kNm2 2

M l

2 0.5 7.5 22.3 2 200 283.63 kNR

22

R R

F

q

F

1

2 3

22.30 m


I momenti in mezzeria, per ogni condizione di carico di normativa, valgono:

1 max/2 /2 4843.4 kNmM l M l

2 max corsia 2/2 /2 2576.2 kNmM l M l

2 2

3 122.3

/2 5 1.75 543.9 kNm8 8el

M l q b

23

R R

F

q

F

1

2 3

22.30 m


I momenti calcolati utilizzando i carichi da norma sono leggermente maggiori (ad eccezione del carico del marciapiede) dei momenti dati da carichi con andamento sinusoidale (solo primo termine della serie).

1 4843.4 kNmM

2 2576.2 kNmM

3 561.3 kNmM

24

Nel seguito verranno considerati i carichi massimi :

EsempioCalcolo del coefficiente Kα

Il coefficiente K0 (cosi come il coefficiente K1) è calcolato per interpolazione a partire dai valori ricavati dalle tabelle fornite da Guyon‐Massonnet‐Bareš.

K0 (θ0=0.45)

K0 (θ1=0.5)

00 1 0

1 0

x x x x

e/by/b ‐1 … 1

0 0.7355 … 0.735… … … …1 ‐1.6003 … 4.5496

e/by/b ‐1 … 1

0 0.6203 … 0.6203… … … …1 ‐1.4286 …. 4.7981

Ad esempio, per e/b=1 ed y/b=1(=0.486)

00.486 0.45

K 4.55 4.8 4.55 4.730.5 0.45

25

Formula di interpolazione


Il coefficiente Kα è calcolato per interpolazione a partire dai valori ricavati dalle tabelle fornite da Guyon‐Massonnet‐Bareš. Si considera ad esempio il caso di y/b=1

K0 (θ=0.486)

K1 (θ=0.486)

e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

1 ‐1.4773864 ‐1.00587 ‐0.51849 0.019239 0.653033 1.427799 2.374029 3.491269 4.727492

e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

1 0.394052 0.472667 0.569387 0.698204 0.870106 1.093728 1.374075 1.709133 2.082612

26


α 0 1 0K =K + K ‐K α

‐2

‐1

0

1

2

3

4

5

‐1.00 ‐0.50 0.00 0.50

y/b=1

y/b

Il coefficiente Kα viene calcolato in funzione di K0 e K1al variare del valore dell’eccentricità del carico.

e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

1 ‐1.1025217 ‐0.70971 ‐0.30058 0.155241 0.696514 1.360882 2.17373 3.134292 4.1977

27

S


‐2

‐1

0

1

2

3

4

5

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

(y/b=0.75)

‐2

‐1

0

1

2

3

4

5

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

(y/b=0.25)

‐2

‐1

0

1

2

3

4

5

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

(y/b=0)

‐2

‐1

0

1

2

3

4

5

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

(y/b=0.50)

28

‐2

‐1

0

1

2

3

4

5

‐1.00 ‐0.50 0.00 0.50

EsempioCalcolo momenti sull’impalcato

Calcolo di Kα y=b y=0.75b y=0.5b y=0.25b y=0

marciapiede dx 3.550 2.779 2.036 1.369 0.787

corsia 1 1.962 1.798 1.610 1.357 1.055

corsia 2 0.508 0.705 0.912 1.072 1.189

marciapiede sn ‐ ‐ ‐ 0.312 0.797

29

1p

2p 3p3p

0.5081.962

3.550

‐0.863

S (y/b=1)

EsempioCalcolo del momento sulla nervatura

Individuata la condizione di carico più gravosa per il momento flettente Mx si ha :

y/b=1Mi Pi Kαi Pi∙Kα,i

(kNm) (kN/m)

marciapiede dx 561.34 11.14 3.55 39.55

corsia 1 4843.35 70.81 1.96 138.90

corsia 2 2576.21 40.52 0.51 18.98

totale 122.47 199.05

Mmedio Mx(kNm) (kNm)

725.54 1179.23

n

i α,i ii=1

x medio

ii=1

K ,

n

p y eM M

p

n

ii 1

medio numero travi

MM

30

EsempioCalcolo del momento sulla nervatura

Per y/b=0.25 dall’andamento della linea di influenza si avranno tutti momenti positivi. Tuttavia, ciò non determina la condizione più sfavorevole.

31

y/b=0.25Mi Pi Kαi Pi∙Kα,i

(kNm) (kN/m)

marciapiede dx 561.34 11.14 1.37 15.25

corsia 1 4843.35 70.81 1.36 96.12

corsia 2 2576.21 40.52 1.07 43.45

marciapiede sn 561.34 11.14 0.31 3.47

totale 133.6 158.3


776.57 920.05

1p2p

3p 4p

R

EsempioCalcolo Mx sull’impalcato

Si procede allo stesso modo per il calcolo del momento minimo M.

Per y=0 ed y=0.25b la linea di influenza non consente il posizionamento di alcun carico al fine di determinare il momento minimo

32

y/b=1Mi Pi Kαi Pi∙Kα,i

(kNm) (kN/m)

marciapiede dx 561.34 11.14 ‐0.86 ‐9.62

corsia 1 4843.35 70.81 ‐0.18 ‐12.51

totale 81.95 ‐22.48


491.34 134.80

2p1p

EsempioDefinizione coefficiente μα

Per il calcolo del momento flettente nel traverso si utilizza il coefficiente μα definito nelle tabelle di Guyon‐Massonnet‐Bareš. Si riportano i risultati per y/b=0

μ0 (θ=0.486)

μ1 (θ=0.486)

e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0 ‐2076.0591 ‐1068.65 ‐40.5289 1048.301 2238.538 1048.3014 ‐40.5289 ‐1068.65 ‐2076.06

e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0 ‐771.095 ‐501.471 ‐144.787 421.4754 1385.419 421.4754 ‐144.787 ‐501.471 ‐771.095

33

‐2500

‐1500

‐500

500

1500

2500

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

y=0


La funzione che si determina (μα) viene utilizzata come linea di influenza

0 1 0

e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0 ‐1814.6638 ‐955.039 ‐61.4126 922.7429 2067.651 922.74295 ‐61.4126 ‐955.039 ‐1814.66

34


‐2500

‐1500

‐500

500

1500

2500

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

y/b=1

‐2500

‐1500

‐500

500

1500

2500

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

y/b=0.75

‐2500

‐1500

‐500

500

1500

2500

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

y/b=0.25

‐2500

‐1500

‐500

500

1500

2500

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

y/b=0.50

35

EsempioCalcolo del momento My sul traverso

Per massimizzare l’effetto dei carichi, si posiziona il blocco di carico più gravoso a cavallo della cuspide della linea di influenza.

n

y i α ii 1

,M b p y e

b =5.75 m (semilarghezza dell’impalcato)dove :

36

y/b=0.25Pi α,i Pi∙α,i

(kN/m)

corsia 1 70.81 1881.04 133193.35

corsia 2 40.52 51.55 2089.06

totale 13.53∙104

My(kNm)

77.79

2p1p

R


Per massimizzare l’effetto dei carichi, si posiziona il blocco di carico più gravoso a cavallo della cuspide della linea di influenza.

37

y/b=0Pi α,i Pi∙α,i

(kN/m)

corsia 1 70.81 2067.65 146406.79

My(kNm)

84.18

n

y i α ii 1

,M b p y e

b =5.75 m (semilarghezza dell’impalcato)dove :

1p

R R


Lo stesso procedimento si effettua per il calcolo del momento minimo My .

38

y/b=0.25Pi α,i Pi∙α,i

(kN/m)

marciapiede dx 11.14 ‐1291.41 ‐14387.44

marciapiede sn 11.14 ‐1291.41 ‐14387.44

totale 28774.88

My(kNm)

‐16.55

R R

EsempioCalcolo del momento torcente nella trave

La condizione di carico che massimizza il momento torcente prescritta da normativa è quella indicata in figura.

q

F F

R’Ad2

d3

39

1 2

3


CARICO AGENTE Ampiezza del carico Distanza dall’appoggio Intensità del carico

(m) (m)

1 ‐ 0 300 kN

2 ‐ 1.2 300 kN

3 22.3 11.15 27 kN/m

Data la presenza della forza concentrata all’appoggio non è possibile procedere allo sviluppo in serie del carico in quanto questa forza non verrebbe considerata.

40


Si opererà calcolando l’intensità massima delle condizioni di carico sinusoidale.

2

'1

22.3300 22.3 300 22.3 1.2 27

2 884.91 kN22.3AR

'1

1

884.9 1.472601.1

A

A

RR

'

1 1 70.81 1.472 104.25 kN/mA

A

Rp p

R

'2

2 22

40.52 1.667 67.56 kN/mA

A

Rp pR

3 3 11.14 kN/mp p

'2

2

472.87 1.667283.63

A

A

RR

41

EsempioDefinizione del coefficiente τα

Per il calcolo del momento torcente nella trave si utilizza τα . Esso è funzione di τ1 definito nelle tabelle di Guyon‐Massonnet‐Bareš.Si riportano i risultati per e/y=0

τ1 (θ=0.486)

1

e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0 ‐0.1689178 ‐0.1517 ‐0.1274 ‐0.08379 0 0.0837908 0.127403 0.151699 0.168918

e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0 ‐0.0338356 ‐0.03039 ‐0.02552 ‐0.01678 0 0.016784 0.02552 0.030387 0.033836

42

EsempioDefinizione del coefficiente τα

‐0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

y/b=1

‐0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

y/b=0.75

‐0.04

‐0.02

0

0.02

0.04

0.06

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

y/b=0.50

‐0.03

‐0.02

‐0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

‐1 ‐0.5 0 0.5 1

y/b=0.25

43

EsempioCalcolo del momento torcente sulla trave

Data la simmetria della linea di influenza, il momento torcente massimo coincide in valore assoluto con il valore minimo

nzx

zx i ii 1zx xz

2 ( , )D

T b p y eD D

λ = 1 (interasse travi)dove :

44


(kN/m)

marciapiede dx 11.14 0.03 0.35

corsia 1 104.25 0.02 2.42

totale 2.77

Tzx(kNm)

‐26.4

R

1p2p

EsempioCalcolo del momento torcente sul traverso

Stessa soluzione vale per il momento torcente nel traverso, considerando l’inversione dei coefficienti di rigidità torsionale

45

nzx

zx i ii 1zx xz

2 ( , )D

T b p y eD D

λ = 11.15 (interasse traversi)dove :


(kN/m)

marciapiede dx 11.14 0.03 0.35

corsia 1 104.25 0.02 2.42

totale 2.77

Tzx(kNm)

‐5.53

R

1p2p

EsempioCalcolo Taglio

Il taglio nella trave è somma del contributo del momento flettente nella trave (coefficiente Kα) e del contributo del momento torcente nei traversi (μα). Il secondo termine risulta trascurabile rispetto al primo .

n

i α i nxzi 1

x x,med i α ini 1x

ii 1

( , )cos ( , )

p k y eD x

V V b p y eD l lp

n n

zxx i α i i α i

i 1 i 1xz zx

( , ) 2 ,D

V p k y e b p y eD D l

Il taglio nel traverso è somma del contributo del momento flettente nella traverso (coefficiente Kα) e del contributo del momento torcente nella trave (μα).

46

FINE

47

lezione 16b (esempio guyon-massonnet-bares).ppt … ponti 2014-15/lezione... · esempio larghezza...

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