lezione 13. equilibrio mhd in geometria...

G. Bosia - Fisica del plasma confinato Lezione 13 1

Lezione 13Equilibrio MHD in geometria lineare

G. BosiaUniversita’ di Torino


Equazioni MHD ideali

(XII-1)

XII-6)

(XII-11a) che per σ →∞ → (XII11b)

XII-10)

(XII-8a) che per σ → ∞ diventa

(XII-9c)

0)( =+∂

∂Vm

m divt

ρρ

0)( =Bdiv

01

)( 2

0

=∇+×=∂∂

BBvB

σµrot

t)( Bv

B ∧=∂∂

rott

00

2

0

)()

2()(

1

µµµρ BB

BBv ∇⋅++−∇=∧+−∇=

∂∂ B

protptm

')( EBvEJ σσ =∧+= 0=∧+ BvE

0)( =

−

dt

pd mm

γρρ


Diffusione del campo magnetico

Abbiamo visto nella lezione precedente che nell’ ipotesi di conduttività infinita , le linee di campo magnetico si possono ritenere 'incollate' al fluido, per cui, se il fluido si muove, anche le linee di campo si muoveranno in maniera solidale e viceversa. Nell'ipotesi di conduttività finita, questo non è più vero, nel senso che ci si può aspettare un moto relativo fra fluido e linee di campo.

Consideriamo il caso particolare di un campo magnetico statico, per il quale le linee di forza sono immobili nel tempo. Per il principio prima enunciato di fluido solidale alle linee di forza del campo magnetico, un fluido a conduttività infinita, che si trova immerso nel campo, deve essere anche lui immobile, e possiamo dire che ilconfinamento magnetico dei plasmi ad alta temperatur a si basa proprio su questo principio.

Se invece le linee di campo sono fisse, ma il fluido ha una conduttività finita, il fluido si muove rispetto al campo dando luogo ad un processo di diffusione .


Diffusione in campo magnetico

Per calcolare la velocità di diffusione del fluido, dobbiamo immaginare uno stato stazionario nel quale le forze di pressione (grad P) e le forze elettromagnetiche (JΛB) si equilibrano:

(XIII-31)

La legge di Ohm (XII-8a) può essere scritta come:

(XIII-32)

dove η = 1/σ è la resistività. Moltiplicando la (XIII-32) vettorialmente per ΛB, otteniamo:

che può anche essere scritta come:

Detta v⊥ la componente di v perpendicolare a B, questa equazione diventa:

)( pgrad=∧ BJ

)( BvEJ ∧+=η

)()( JEBBvB η+−∧=∧∧

)()(2 JEBBvBv η+−∧=⋅−B

)(2 JEBv η+−∧=⊥B


Diffusione nel campo magnetico

cioè :

(XIII-33)

II primo termine a secondo membro della (XIII-33) rappresenta evidentemente la velocìtà di deriva dovuta a campo elettrico. Il secondo termine è ancora una velocità che e’ legata, come si vede, al fatto che il fluido fluido è resistivo. Nel caso di un fluido confinato da campo magnetico, la velocità di deriva risulta parallela alla superficie di separazione vuoto-fluido; infatti, se c'è un campo elettrico con componente perpendicolare a B, si può far vedere che essa è diretta perpendicolarmente alla superficie di separazione.Nel caso tipico di una colonna di fluido confinata da campo magnetico, il moto di deriva causa un moto rotatorio degli strati della colonna attorno al proprio asse, ma nessun moto in senso radiale.Il secondo termine a secondo membro della (XIII-33) rappresenta una velocità diretta perpendicolarmente alla superficie di separazione data da,

(IV-34come si ottiene sostituendo a il gradiente di pressione secondo la (XIII-31. :

BJBE

v ∧−∧=⊥ 22 BB

η

BJ ∧

)(2

PgradBD

ηη −=v


Diffusione resistiva nel campo magnetico

Si tratta di un fenomeno molto importante che riguarda tutte le macchine che impiegano plasmi confinati magneticamente: è la diffusione del plasma attraverso le linee di campo magnetico. Esso rappresenta evidentemente una perdita dal punto di viltà della 'fusione1, che occorre assolutamente contenere. Vediamo che esso è direttamente collegato alla resistività e si attenua fortemente al crescere del campo magnetico.Si può capire l'origine fisica di questo fenomeno con alcune semplici considerazioni. Come si e’ visto, la resistività di un plasma è legata alla presenza delle collisioni: se non ci fossero collisioni, la resistività sarebbe nulla; tanto più le collisioni sono frequenti, tanto più è elevata la resistività.In completa assenza di collisioni, le particelle del plasma compiono i loro moti a spirale at torno alle linee di campo magnetico e non vi sono perciò migrazioni in direzione perpendicolare, se non quelle dovute a derive elettriche o ad altri effetti.Quando però una particella collide, il suo moto a spirale ne viene bruscamente interrotto e riprende con il 'centro guida’ spostato in generale su un'altra linea di campo magnetico. è facile rendersi conto che per effetto delle collisioni si verificherà una progressiva espansione in direzione perpendicolare al campo magnetico.


Diffusione “ambi-polare”

E' bene anche sottolineare il fatto che questo fenomeno può essere descritto adeguatamente, come si vede, con un modello a fluido unico.Questo rispecchia il fatto che tutte le particelle del plasma vi partecipano, sia gli ioni che gli elettroni.

Se così non fosse, se cioè un tipo di particelle diffondesse con una velocità diversa rispetto all'altro oppure se una specie diffondesse e l'altro no, si formerebbero campi elettrostatici molto forti per effetto della separazione di carica, con la conseguenza che la popolazione che avrebbe tendenza a diffondere più rapidamente viene rallentata nel suo moto da quella che da sola diffonderebbe più lentamente, mentre quella a diffusione più lenta viene trascinata da quella a diffusione più veloce. I

l risultato è che tutta la massa del plasma diffonde con la stessa velocità come moto di insieme, per questo si parla spesso di 'diffusione ambipolare1.


Siamo finalmente in grado di studiare, almeno nell’ approssimazione MHD le condizioni generali di equlibrio di una colonna di plasma confinata da un campo magnetico. In condizioni di equilibrio statico v e le sue derivate sono nulle e le equazioni MHD diventano:

(XIII-35)(XIII-36)(XIII-37)

Eliminando J fra le prime due, facendo uso della identità vettoriale possiamo ottenere una equazione per l’ equilibrio di pressioni:(XIII-38)

con la pressione magnetica B /2µ0 che gioca lo stesso ruolo della pressione del fluido, La relazione (XIII-38) è importante perché è la condizione a cui deve soddisfare un campo magnetico statico (B) per poter confinare un fluido conduttore dotato di pressione (P).

Osserviamo in particolare che se le linee di campo magnetico non hanno curvatura, il termine a secondo membro della (XIII-38) è nullo, questa relazione si riduce a:

(XIII-39) ed otteniamo così il risultato che, nelle ipotesi di validità di questa relazione, la pressione totale ossia la somma della pressione ordinaria (P) e della 'pressione magnetica (B2/2µ0) è costante in tutti i punti dello spazio .

Equilibrio MHD

)(Pgrad=∧ BJ

JH =)(rot

0)( =Bdiv

BBBB )()2

()(2

∇⋅+−=∧ Bgradrot

BB )(1

)2

(00

2

∇⋅=+µµ

Bpgrad

0)2

(0

2

=+µ

Bpgrad


Equilibrio MHD

Dato che sia B che J hanno divergenza nulla (quantità solenoidali), le linee di campo magnetico e quelle di corrente o vanno all’ infinito o sono chiuse al finito. Se il plasma si estende in un volume limitato, le superfici magnetiche devono essere necessariamente chiuse e tali da essere contenute una nell'altra (vedi figura) all'interno di questo volume.

magnetiche‘ e le superfici magnetiche sono anche superfici le superfici a pressione costante (superfici isobariche ).

Allo stesso modo, dalla (XIII-40) si vede che le linee di corrente devono giacere su superficia pressione costante. Quindi, le superfici con P = cost (perpendicolari a ∇p) sono sia "superfici magnetiche" che 'superfici di corrente'. Dalla (XIII-36) ∇x H = J segue:

cioè:(XIII-42)

0=∇⋅ PJ

0=∇⋅ PB

)())((0 JH divrotdiv ==

0=⋅∇ J

Si può far vedere che le equazioni scritte dalla XIII-35) alla (XIII-38), hanno alcune interessanti conseguenze. Dalla (XIII-35) J ∧ B = ∇p , segue che illgradiente della pressione è perpendicolare sia a J che a B, quindi

(XIII-40)

(XIII-41)

Dalla (XIII- 41) si vede che la pressione deve essere costante lungo le linee di campo magnetico ossia le linee di campo devonogiacere su superfici a pressione costante. Le linee di forza pertanto giacciono su superfici dette 'superfi


Confinamento magnetico

La figura mostra un insieme di superfici contenute l'una nell'altra sulle quali la pressione aumenta passando dall'esterno verso l'asse (p0< p1 < p2 <….); le correnti sonotali che la forza J ∧ B sia diretta verso l'asse.

Il fatto importante qui è che un plasma può essere confinato interamente dalla forza magnetica; questo va sotto il nome di'confinamento magnetico'. Se un plasma con ∇P = 0 si trova in equilibrio in un campo B applicato dall'esterno, deve necessariamente generarsi nel plasma una corrente Jcompatibile con la ∇P = J ∧ B che rende conto su scala macroscopica dell'effetto di diamagnetismo, per il quale il campo 'interno' al fluido è più debole di quel lo 'esterno'

Si può dimostrare che se le variazioni delle variabili sono abbastanza graduali, se le superfici magnetiche ed isobariche si trovano all'interno di un volume limitato, e se B e Jsono tali da non essere mai nulli in questo volume le superfici magnetiche assumono la forma di toroidi . La superficie degenerata che consiste in una linea chiusa al 'centro’ del sistema di superfici magnetiche contenute l'una nell'altra si chiama asse magnetico .


Corrente diamagneticaPer calcolare questa corrente (detta 'corrente diamaqnetica' ), moltiplichiamo la

(XIII-35)

vettorialmente per B:

da cui ricaviamo la componente J⊥ perpendicolare al campo magnetico, mentre quella parallela è nulla :

(XIII-43)

Questa corrente puo’ essere misurata sperimentalmente e fornisce, noto il campo magnetico, una misura dell’ energia interna del plasma ( )

j)B(BJBJBB ⋅−=∧∧=∇∧ 2)( Bp

2B

P∇∧=⊥B

J

BJ ∧=∇P

P∇


Confinamento magnetico in geometria lineare θ θ θ θ −−−− pinch

Consideriamo per esempio il caso ideale di un solenoide di lunghezza infinita che, come e’ noto, produce, al suo interno, un campo magnetico costante con linee di forza rettilinee lungo l’ asse del solenoide. In questa configurazione nota come θ θ θ θ – pinch , in assenza di plasma sia il campo magnetico (uniforme) uguale a B0. In presenza di plasma il campo magnetico auto consistente e’ dato dalla :

(XIII-39)

Le equazioni MHD dimostrano in un modo auto-consistente che e’ possibile, in linea di principio, confinare un plasma mediante un campo magnetico. Questa e’ stata la base del metodo di “confinamento magnentico”

Vari tipi di “macchine” in geometria lineare e toroidale sono state proposte e realizzate

Ovvero il sistema magnetico puo’ confinare un plasma fino ad una massima pressione cinetica pari a

(XIII-45) pmax = B02/2µ0

0)2

(0

2

=+∇µ

Bp

r

θz


Sistemi di confinamento lineari : θ θ θ θ −−−− pinch

In pratica un θ − pinch e’ un tubo di scarica inserito in un solenoide costituito da una serie di bobine o semplicemente costituito un conduttore metallico a forma di spira molto larga, percorsa da una forte corrente rapidamente variabile, ottenuta mediante la scarica di un banco di condensatori in cui sia stata immagazzinata una grande quantità di energia elettrica . All'interno della spira si genera un campo magnetico assiale (Bz) rapidamente variabile, che induce nel plasma delle correnti azimutali (Jθ), che scorrono in direzione opposta a quelle che percorrono la spira.

E’ utile schematizzare il fenomeno facendo l'ipotesi che il plasma si comporti come un fluido perfettamente conduttore con una pressione cinetica costante; il campo magnetico prodotto dalla spira e’ presente solo nella regione compresa fra il plasma ed il conduttore metallico, dato che non può penetrare nel plasma, per la conservazione del flusso magnetico all’ interno del fluido. Quello che succede e’ che sulla superficie del fluido si genera una corrente diamagnetica azimutale, che comprime (pinch) il fluido fino a quando pressione magnetica e cinetica si eguagliano ossia la quantità

1

)2

(0

20

==

µ

βθB

P

Jθ


Sistemi di confinamento lineari : θ θ θ θ −−−− pinch

La quantità βθ e’ pertanto la misura delle capacità del sistema a confinare un plasma avente una certa pressione cinetica (ovvero temperatura ). In realtà, per conduttività finita, il campo magnetico penetra (o diffonde), in una certa misura, all'interno del plasma ed il plasma diffonde attraverso le linee di campo magnetico. In un caso reale si avrà pertanto una situazione a contorni diffusi, con una pressione cinetica in generale crescente ed una pressione magnetica decrescente verso il centro del solenoide.


Equilibrio di un θ θ θ θ −−−− pinch

Infatti utilizzando le equazioni MHD per un cilindro di lunghezza infinita e tenendo conto che per simmetria

• B ha solo una componente assiale

• J ha solo una componente azimutale

• ∇P ha solo una componente radiale

Utilizzando le equazioni :

ossia ed eliminando Jθ

si ottiene P

Jθ

Jθ

P

J

J

J

J

P


Sistemi di confinamento lineari : Ζ Ζ Ζ Ζ −−−− pinch

In coordinate cilindriche r,z e θ, dato che le coordinate z e θ sono ignorabili per la simmetria del problema, l’ equazione per il bilancio di pressione

(IV-38)

si riduce a :

(IV-46)

Un'altra configurazione lineare di equilibrio MHD, lo “Z-pinch” consiste in una colonna di fluido cilindrica,anche in questo caso di lunghezza infinita, che conduce correnti nella direzione dell'asse z (Jz ). Queste creano così un campo magnetico azimutale (Bθ) e pertanto linee di forza di J e di B sono scambiate rispetto alla configurazione del θ – pinch. La forza J ∧ B è di nuovo radiale, diretta verso l'asse.

Uno 'z-pinch’ si ottiene provocando una scarica in un gas a bassa pressione all'interno di un tubo di vetro, fra due elettrodi terminali, simile a quelli usati per l’ illuminazione. Questi sono evidentemente a contatto col plasma e la corrente totale che percorre il plasma uguaglia quella del circuito esterno che alimenta la scarica.

BB )(1

)2

(00

2

∇⋅=+∇µµ

Bp

02

)2

(0

2

0

2

=++∂∂

r

BBp

r µµ

φ

z

r

θ

θJz

∇P


Sistemi diconfinamentolineari : Ζ Ζ Ζ Ζ −−−− pinch

In questa configurazione e’ la corrente stessa del plasma che crea il campo magnetico di confinamento della scarica. Se si schematizza la situazione con un fluido cilindrico, attraversato da una corrente che scorre parallelamente al suo asse, sotto l'azione della forza J x B il plasma viene compresso (effetto pinch) in un filamento lungo l'asse del cilindro e questa forza e’ equilibrata dal gradiente di pressione nel fluido.

Le superfici P = cost sono ancora cilindri concentrici, ma la pressione ora varia con il raggio del cilindro. Si noti che la che la pressione del plasma viene equilibrata dal campo magnetico attraverso due meccanismi: per effetto della 'pressione magnetica', analogamente al caso del θ-pinch, e per effetto della curvatura delle linee di campo. I due effetti risultano in generale dello stesso ordine di grandezza.

Se la corrente totale I e’ uniformemente distribuita sulla sezione del fluido di raggio a ossia J = I/(πa2), dal teorema della circuitazione, in ogni punto r < a:

ossia e

si ottiene

(XIII-47)

Sostituendo nella (XIII-46)

i due termini di forza sono uguali e pari a (I2/2πa2) r. Pertanto la pressione magnetica cresce verso l’ asse del cilindro con il quadrato del raggio.

ra

IrB

20

2)(

⋅=

πµ

)()(2 0 rIrrB µπ = Ia

rJrrI

2

22)( == π

r

IrB

⋅=

πµ

2)( 0

02 2

=+∂∂

ra

I

r

P

π


Si può dimostrare che l'equilibrio MHD Z-pinch non è stabile e richiede l'aggiunta di una componente assiale di campo magnetico per essere 'stabilizzato'. Inoltre in questa configurazione la colonna di plasma non e’ confinata alle estremità ma in contatto termico con gli elettrodi del circuito eccitatore, pertanto lo Z –pinch ha modeste capacità di confinamento. Studiamo tuttavia in qualche dettaglio qualche sua proprietà perché da questo concetto e’ derivata la configurazione “tokamak” in geometria toroidale.

Si può dimostrare che esiste una relazione fra la corrente del pinch I e la quantità di fluido confinato ad una certa temperatura T.

La condizione di equilibrio (XIII-46) può essere riscritta come:

Moltiplicando per r ed integrando per parti fra 0 ed a, otteniamo:

Se assumiamo che la pressione di plasma vada a zero alla superficie di contorno r = a, questa relazione diventa :

(XIII-48)

Se assumiamo anche gli ioni e gli elettroni abbiamo temperature costanti nella sezione del pinch (Ti e Te ):

(XIII-49)

Proprieta’ dello Ζ Ζ Ζ Ζ −−−− pinch

)(0

2

rBdr

d

r

B

dr

dP +−=µ

aa

a BrrdrPrP 022

0 00

2 ][2

12][ ∫ −=⋅−

µ

2

0 0

2

2

)(2 a

aBprdr

a

πµ

π ⋅=∫

)()()( ie TTKrnrP +⋅=


Relazione di BennetIntroduciamo il numero totale di elettroni per unità di lunghezza della colonna di plasma ('densitàlineare'):

(XIII-50)

ed otteniamo :

B(a) è legato alla corrente I dal teorema della circuitazione dalla relazione

(XIII-51)

Der cui otteniamo la relazione (di Bennett):

(XIII-52)

Questa relazione mostra che in un pinch la temperatura del plasma è proporzionale al quadrato della corrente della scarica ed è inversamente proporzionale alla 'densità lineare'. Introducendo la 'pressione media‘ e il parametro parametro 'beta-theta‘ :

(XIII-53) (XIII-54)

∫=a

drrrnN0

)(2π

)(2

)( 2

0

2

aBa

TTKN ie µπ=+⋅

a

IaB

πµ2

)( 0=

πµ8

)(2

0ITTkN ie =+⋅

∫=a

prdra

p0

22

1 ππ

)2(0

20

µ

βθ B

p=


tenendo conto che :il campo magnetico ha una unica componente azimutale (B = Bθ), la (XIII-48) si semplifica in :

(XIII-55) βθ = 1

Nel caso piu’ realistico di un pinch cilindrico che, per esigenze di stabilità, ha una componente di campo magnetico lungo z (Bz):

(XIII-56)

Con un procedimento analogo a prima si ottiene:

(XIII-57)

dove adesso

(XIII-58)

Sarà in generale diverso da 1. Ricorrendo di nuovo alle equazioni (XIII- 49,50 e 51) si può ancora scrivere:

Relazione di Bennet generalizzata

0)2

(0

2

0

22

=++++r

BBBP

dr

d z

µµθθ

θβπµ

π ⋅⋅=⋅∫2

0 0

2

2

)(2 a

aBrdrP

a

∫ ⋅−+=a

zz rdrrB

aBaaB

aB

0

2222

2

)()(

2

)(

)(1

θθθ π

πβ


22

22

)(

)(1 I

aB

BaB zz

ϑθβ −+=

Relazione di Bennet generalizzata(XIII-59)

che generalizza l’ equazione di Bennet al caso in cui sia presente, nella colonna di plasma un campo magnetico avente non solo una componente azimutale ma anche assiale (Bz) e che sottolinea l’ importanza del nel riscaldamento di un pinch: a parità di corrente totale la temperatura e’ proporzionale a .

Il valore di dipende dal profilo di Bz lungo il raggio. Se introduciamo il valore di Bz2 mediato sul raggio:

la (XIII-58) dà :

(XIII-60)

20

8)( ITTKN ie ϑβ

πµ=+⋅

∫=a

zz drrrBa

B0

22

2 )(21 π

π

θβ

θβ

θβ

A seconda del profilo di Bz2 in funzione del raggio si possono

avere tre casi

1) - costante : Bz= Bz (a), da cui βθ = 1 ;

2) - massimo al centro o 'paramagnetico': Bz(0) > Bz(a) da

cui Bz2 >Bz

2(a) e βθ >1 (caso del pinch) ;

3) - minimo al centro o 'diamagnetico': Bz(0)< Bz(a), da cui

Bz2 >Bz

2(a) e βθ <1 (caso del Tokamak) .


La presenza delle due componenti Bθ(r) e Bz(r) fa si che le linee di campo magnetico abbiano la forma di eliche.

Se consideriamo un punto Q mobile lungo una linea di forza che giace su una superficie cilindrica di raggio r. Ad uno spostamento dz parallelo all'asse del pinch, corrisponde una rotazione dθ del punto attorno all'asse magnetico. Il passo dell'elica (la distanza lungo l'asse z percorsa dal punto Q, quando compie un giro completo di rotazione attorno all'asse del pinch ) è dato da:

(XIII-62)

Usando l'equazione della linea di forza

la (XIII-62) dà

Elicità delle linee di forza

ϑπd

dzrL

2)( =

zB

dz

B

rd =ϑ

ϑ

ϑ

πB

BrrL z2)( =

La funzione

(XIII-64)

viene chiamata 'pitch' della linea di forza elicoidale e differisce dal 'passo' della linea di un fattore 2π. Sia L(r) che P(r) sono costanti su una superficie magnetica r = cost. Qualora l'inclinazione delle linee di forza vari da superficie magnetica a superficie magnetica (dP/dr = 0) si dice che le linee di forza hanno uno “shear”

finito.Questo e’ spesso indice di sforzi di taglio tra superfici del fluido e di fenomeni di viscosita e turbolenza nella colonna di plasma .

ϑ

ρB

Brr z=)(

lezione 13. equilibrio mhd in geometria...

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