lezione 10 - unimi.itreazioni nucleari nel sole • la sequenza di catene di fusione principale è...
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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Fusione nucleare
Lezione 10
Fusione nucleare (Das-Ferbel, cap. 5.3)
• Abbiamo già accennato alla fusione nucleare che costituisce la sorgente di energia del sole
• Oggi vogliamo trattare questo processo in maniera un po’ più quantitativa: – Energia irraggiata e “durata” del sole – Fenomeni che determinano il tasso della reazione:
• Picco di Gamow Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 A. Andreazza - a.a. 2015/16 2
Hans Bethe Nobel 1967
Reazioni nucleari nel sole
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Reazioni nucleari nel sole
• La sequenza di catene di fusione principale è data dalle reazioni:
• Il risultato netto di 2 volte le prime rea- zioni e della terza è:
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1H+ 1H→ 2H+ e+ +νe
2H+ 1H→ 3He+γ
3He+ 3He→ 4He+ 21H
Q = 2m 1H( ) 2 u +14.58MeV−m 2H( ) − 2 u −13.14 MeV
−2m2 −1.02 MeV= 0.42 MeV
+0.42 MeV
+5.49 MeV
Q = m 2H( ) 2 u +13.13MeV+m 1H( ) 1u + 7.29 MeV−m 3He( ) − 3 u −14.93MeV
Q = 2m 3He( ) 6 u + 29.86 MeV
−2m 1H( ) − 2 u −14.58MeV−m 4He( ) − 4 u − 2.42 MeV
+12.86 MeV
6(1H)→ 4He + 2(1H)+ 2e+ + 2νe + 2γ +24.68 MeV
4(1H)→ 4He + 2e+ + 2νe + 2γ + 24.68MeV
Reazioni nucleari nel sole
• Nuclei pesanti possono venire prodotti dalla fusione di particelle α
• Questo permette altre catene, ad esempio la sequenza del ciclo CNO:
• Il 12C funge come una sorta di catalizzatore, e l’effetto netto è sempre:
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3 4He( )→ 12C + 7.27 MeV
12C + 1H→ 13N + γ
+1.20 MeV
+1.95 MeV
+7.55 MeV
+4.96 MeV
4(1H)→ 4He + 2e+ + 2νe + 2γ + 24.68MeV
13N→ 13C + e+ +νe
13C + 1H→ 14N + γ14N + 1H→ 15O + γ +7.34 MeV
15O→ 15N + e+ +νe
15N + 1H→ 12C + 4He+1.68 MeV
La vita del sole
• Il sole ha una massa M☉ = 2×1030 kg – costituiti in massima parte da idrogeno – atomi di idrogeno: M☉NA/A
• La potenza irraggiata è L☉ = 4×1026 W – il numero di cicli di fusione al secondo
L☉/24.68 MeV – Ogni ciclo brucia 4 atomi di idrogeno
dNH/dt=4L☉/24.68 MeV
• Il combustibile si esaurisce in un tempo
– Prima della relatività ristretta si supponeva che l’energia prodotta dal sole fosse di origine gravitazionale. Quale sarebbe stata l’età del sistema solare in tal caso?
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NH=1.2×1057
dNH/dt=4×1038 s-1
T =NH
dNH / dt= 0.3×1019s ≈ 1011yr
Barriera Coulombiana
• Perché una reazione tra il nucleo X ed il nucleo Y possa avvenire bisogna superare la barriera coulombiana:
• Per la prima reazione della catena, p+p, Rp~0.85 fm (PDG)
• Il problema è quanti protoni hanno l’energia sufficiente per superare tale barriera: – I protoni, ad una temperatura T
avranno una distribuzione di velocità alla Maxwell-Boltzmnann:
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V =e2
4πε0ZXZYRX + RY
=e2
4πε0!c!c
RX + RYZXZY =α
!cRX + RY
ZXZY
Vpp =α!c2Rp
=1137
197MeVfm1.7fm
= 0.85MeV
dNdv
= N 2π
mp
kT⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3/2
v2 exp −12mpv
2
kT
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
Barriera Coulombiana
• Esprimiamo la distribuzione di Maxwell-Boltzmann in termini di energia cinetica:
– dove abbiamo usato le relazioni:
• La frazione di protoni con E>Vpp
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dNdv
= N 2π
mp
kT⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3/2
v2 exp −12mpv
2
kT
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
dNdE
=dNdv
dvdE
= N 2π
mp
kT⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3/22Emp
exp −EkT
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12mpE
= N 2π
1kT⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟3/2
E exp −EkT
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
E = 12mpv
2 dvdE
=2mp
121E=
12mpE
v = 2E /mp
= dE 2π
1kT⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟3/2
E exp −EkT
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Vpp
+∞
∫f = 1N
dE dNdEVpp
+∞
∫ =2π
dx x exp −x( )Vpp /kT
+∞
∫ x = EkT
=1− erfVpp
kT
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟+
2π
Vpp
kTexp −
Vpp
kT⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟= erf( x )− 2
πx exp −x( )
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥Vpp /kT
+∞
erf x( ) =2π
dxe−12x2
0
x
∫
Barriera Coulombiana • Al centro del sole T~15×106 K:
– kT=8.617×10-5 eV/K × 15×106 K = 1.3 keV – Vpp/kT = 850 keV/1.3 keV = 654
• Per fare calcoli con numeri così grandi possiamo usare l’espansione della erf per x→∞
• Per vedere immediatamente l’ordine di grandezza, estraiamo il logaritmo
• abbiamo visto che nel sole ci sono “solo” 1057 protoni
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1− erf x( ) x→+∞⎯ →⎯⎯ exp(−x2 ) / π x
log10 f = log101π2
Vpp
kT+
kTVpp
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟exp −
Vpp
kT⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥=1.5−
Vpp
kTlog10 e = −282.5
non esistono protoni con energia sufficiente
f = 1π2 Vpp
kT+
kTVpp
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟exp −
Vpp
kT⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Picco di Gamow
• Reazioni di fusione alle temperature stellari sono possibili solo grazie all’attraversamento della barriera Coulombiana per effetto tunnel
• Lo stesso fattore di Gamow che entra nel decadimento α:
• La sezione d’urto effettiva:
• La probabilità di interazione λ per un protone di energia E è data da:
– np=densità di protoni • Il tasso di interazioni per unità di
volume ad una certa energia:
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G =2mp
!2Ee2
4πεof2Rpb
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
f x( ) = arccos x − x − x2⎡⎣
⎤⎦b = e2
4πεoE
σ (E) = e−2Gσ 0(E)
sezione d’urto in assenza di repulsione Coulombiana
λ = vσ (E)np = 2E / mpσ (E)np
dnintdt
(E) = np(E)2Emp
e−2G(E )σ 0(E)np
Reattività
• Il tasso di interazione ad una certa energia è dato da:
• Il tasso totale di interazioni per unità di volume:
– In generale per diverse specie:
• Il prodotto ⟨σv⟩ prende il nome di reattività – determina il tasso di interazioni – dipende dalla temperatura del sistema
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dnintdt
(E) = np(E)2Emp
e−2G(E )σ 0(E)np = npnp(E)np
v(E)e−2G(E )σ 0(E)np
dnintdt
= np2 dEnp(E)np
v(E)e−2G(E )σ 0(E)0
+∞
∫
sezione d’urto × velocità pesata sulla distri-buzione dell’energia dnint
dt= np2 σ v
dnintdt
= nXnY σ v
Reattività
• Il processo di fusione nel sole inizia con un in’interazione debole σ≈10-44 cm2
– compensata dall’alta densità – e volume
• Processi di fusione artificiale necessitano di avere tassi di maggiori interazione maggiori: – processi “forti”
σ≈10-26 cm2
– temperature più elevate
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Neutrini solari
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• Il sole produce energia sintetizzando elementi pesanti partendo da elementi leggeri mediante un processo di fusione nucleare – La reazione di partenza è la produzione di deuterio partendo da nuclei di
idrogeno
• La rivelazione del neutrino avviene con un processo analogo a quello utilizzato per l’antineutrino
• La prima rivelazione del neutino solare fu fatta da R. Davis negli anni ’60 utilizzando un metodo radiochimico – L’interazione utilizzata era – Il nucleo di 37Ar è radioattivo e decade con un tempo di dimezzamento di
circa 35 giorni. Il positrone ha un’energia massima di circa 800 keV
p + p→ d + e+ +νe
νe + n→ p + e−
νe +37Cl→ 37Ar + e−
37Ar→ 37Cl + e+ +νe
Fusione nel sole
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Neutrini solari
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νe +37Cl→ 37Ar + e−
νe +71Ga→ 71Ge + e−
νe + e− → νe + e−
Neutrini solari
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• Il rivelatore consisteva in un eneorme serbatoio riempito di tetracloroetilene e alloggiato nella miniera d’oro di Homestake in South Dakota – I pochi atomi di 37Ar prodotti ogni giorno venivano estratti con un
procedimento chimico-fisico e introdotti in un rivelatore a gas – Il rivelatore veniva fatto funzionare in un ambiente a bassa attività
naturale
ESERCIZI
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Esercizio 10.1
Stimare il flusso di neutrini solari sulla terra sapendo che vengono prodotti 2 neutrini per un ciclo 41H→4He liberando 26 MeV di energia. • trovare i dati mancanti sul PDG
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Esercizio 10.2
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Le reazioni nucleari avvengono nella parte centrale del Sole:
– R<0.2 R☉
• +In tale regione è contenuta circa 1/3 delle massa solare M☉
• Assumendo il Sole composto al 100% di 1H, dare una stima della reattività: – ⟨σv⟩ – per il processo
1H+1H→2H+e++ν