levas fsn

MECANISMOS. Diseo de levas. 1

Vamos a llamar contacto superficial de pares superiores, aquellos que presentan contacto puntual o lineal, entre los cuales se encuentra las levas y los engranajes.

Una leva (camn) es un cuerpo slido con una forma tal que su movimiento imparte un desplazamiento concreto a un segundo cuerpo denominado seguidor, quien se mantiene en todo momento en contacto con la leva. La forma de la leva y la relacin fsica entre esta y el seguidor definen la relacin que existir entre la posicin de la leva y la del seguidor.

Como disear una leva para generar un movimiento del seguidor determinado?: Se utilizarn dos mtodos: uno grfico y otro analtico.


Existe una gran variedad de tipos de leva pero slo se estudiarn las levas de disco, con diferentes tipos de seguidores

(para ampliar conocimientos sobre levas se puede acudir a la bibliografa).


La utilizacin de levas es una de las formas ms simples de generar movimientos complejos peridicos con precisin, a un costo razonable.



Contacto de deslizamiento y contacto rodante. Antes de comenzar el estudio de las levas en

s, se aprovechar este apartado para introducir dos conceptos que van a ser ampliamente utilizados en los temas que tratan los pares superiores. Estos conceptos estn ntimamente ligados a la forma fsica de efectuarse el contacto en este tipo de pares, y son:

Contacto de deslizamiento. Contacto rodante.


Contacto de deslizamiento Si en un mecanismo en el que existe contacto directo entre

dos de sus eslabones, estos tienen movimiento relativo a lo largo de la tangente en el punto de contacto, entonces hay deslizamiento entre ellos y el contacto se denomina contacto de deslizamiento.

Atendiendo a la figura y analizando las velocidades de ambos eslabones en el punto de contacto P se obtiene: VP4 Velocidad del punto P perteneciente a 4.

VP2 Velocidad del punto P perteneciente a 2.

wO O

V

V

t

t n

n

M normal comun

tangente comun

2

P2P=PL

2 V

VP221

1

Vt

O2

P4

P4

4

4

4


Contacto de deslizamiento Puesto que no puede haber penetracin de un cuerpo en otro, sus

velocidades a lo largo de la normal comn tendrn que ser iguales. Las proyecciones de las velocidades y sobre la tangente comn

indican que un cuerpo desliza sobre el otro de forma que la diferencia de estas proyecciones es la velocidad de deslizamiento:

wO O

V

V

t

t n

n

M normal comun

tangente comun

2

P2P=PL

2 V

VP221

1

Vt

O2

P4

P4

4

4

4

MPLPVDesliz 42. =

Esta velocidad de deslizamiento indica la velocidad relativa del punto P perteneciente a un eslabn respecto del otro.

2/424 PPP VVV

+=

Que debe darse para que no ocurra deslizamiento?


Contacto rodante. En un mecanismo de contacto directo, existe rodadura slo si no

hay deslizamiento Las componentes tangenciales de las velocidades de cada uno de

los puntos deben ser iguales en magnitud y direccin: vP2 = vP4 Por otra parte, estas dos velocidades slo pueden tener la misma

direccin cuando el punto de contacto P est situado en la lnea que une los centros de rotacin y de cada uno de los eslabones (figura); esta lnea recibe el nombre de lnea de centros.


Contacto rodante. La condicin expuesta es necesaria para que exista

rodadura pura, pero no es suficiente. Puede haber deslizamiento entre los dos cuerpos a

menos que las componentes tangenciales de las velocidades del punto de contacto para cada cuerpo sean idnticas.

Si la velocidad del punto de contacto de cada uno de los cuerpos es diferente, existir deslizamiento.

O OP P

4

2

1 1

2 4

V

V

P2

P4

La representacin matemtica de la funcin que relaciona el desplazamiento del seguidor con la posicin angular de la leva, se denomina diagrama cinemtico, y la funcin recibe el nombre de funcin de desplazamiento. Por otra parte, el desplazamiento del seguidor puede ser tanto lineal como angular.


Durante un ciclo completo de la leva se distinguen cuatro diferentes fases: Accionamiento: El desplazamiento del seguidor vara desde cero a un valor

mximo. Reposo: Periodo en el que es mantenido el mximo desplazamiento. Retorno: El desplazamiento del seguidor disminuye del mximo valor

alcanzado durante el accionamiento (y mantenido en reposo) a cero. Reposo: Es un segundo reposo en el que el valor del desplazamiento se

mantiene nulo.


Accionamiento Reposo Retorno Reposo1 2 3O A A A

Desplaz.total=L

(A)f

A2


Expresndolo de forma matemtica:

Pueden darse casos, como el mostrado en la figura, en los que el reposo es nulo, haciendo coincidir los puntos A1 y A2.

- Accionamiento: 0 A A-Reposo: A A-Retorno: -Reposo:

1

1

f A f Af A L Af A f A A A Af A A A

( ) ( )( )( ) ( )( )

= = = =

1

2

3 2 3

30 2

total=L

(A)f

Accionamiento Retorno Reposo21 2 3O A A A

A

Despl.


Tanto la funcin de accionamiento, como la de retorno, representan el movimiento fsico del seguidor, por lo tanto deben ser continuas y derivables; adems para lograr una transicin continua a los reposos adyacentes sus derivadas deben ser cero al final de sus respectivos intervalos.

Si denotamos por H(A) la posicin del seguidor:

La velocidad del seguidor se obtendr derivando respecto al tiempo:

Derivando de nuevo se obtendr la aceleracin:

H A f A cte( ) ( )= +

AAfAHdtdA

dAAdfAH

Afdtd

dtAdH

=

=

+=

)()(

)()(

0)()(

AfAAfAAH )()()( 2 +=


Valores grandes de supondrn grandes valores de la aceleracin del seguidor. Por otra parte, si la funcin es discontinua, tambin lo ser , lo que supondr que la fuerza de contacto entre la leva y el seguidor ser discontinua, ocasionndose una situacin de impacto (lo que puede provocar dao en las superficies de la leva y el seguidor as como vibraciones que excitan al sistema mecnico).

Por lo tanto para la eleccin de la funcin de desplazamiento es necesario tener en cuenta tanto la funcin en s como sus derivadas primera y segunda.

f A( )

AfAAfAAH )()()( 2 +=

f A( )

( )H A

Definiciones Es un mtodo que est quedando en desuso pero es muy intuitivo y sirve

para ver de forma clara la relacin existente entre la funcin de desplazamiento y el perfil de leva.

Antes definiremos una serie de conceptos que sern de uso:


-Perfil de leva: Es la parte de la superficie de la leva que hace contacto con el seguidor.

-Crculo base: Es el crculo ms pequeo que, estando centrado en el eje de rotacin de la leva, es tangente al perfil de la misma.

-Curva primitiva: Es la curva cerrada descrita por el punto de trazo. Dicho punto se considerar el eje de rotacin del rodillo si el seguidor es de rodillo.

-Crculo primitivo: Es el crculo ms pequeo que estando centrado en el eje de rotacin de la leva es tangente a la curva primitiva.

Reposo RetornoAccionamiento Reposo

12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

12121

2

3

4

567

8

9

10

11

diagrama dedesplazamiento

f (A)

A

Circulobase

Posicion del seguidor

linea primitiva

Perfil de leva

Circulo primitivo


Leva con seguidor de traslacin de cara plana. Se utiliza el mtodo de inversin cinemtica.


12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

12121

2

3

4

567

8

9

10

11

Cara del seguidor


f (A)

A

Circulobase

Perfil de leva



12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

12121

2

3

4

567

8

9

10

11


f (A)

A

Circulobase

Posicion del seguidor

linea primitiva

Perfil de leva

Circulo primitivo

Leva con seguidor de traslacin de rodillo. Se utiliza el mtodo de inversin cinemtica.


Leva con seguidor plano.


Leva con seguidor de rodillo oscilante.

Levas con seguidor de traslacin de cara plana. Se supondr una leva como la mostrada en la figura; el eje de rotacin de la misma es el punto O, y el ngulo de rotacin de la leva A, medido desde una lnea que permanece estacionaria OM (lnea de referencia del cuerpo).


D

M

OO

RM

RoH(A)

f(A)

AG

A=0

Linea de contac

GQ

El desplazamiento del seguidor vendr dado por la expresin:

- f(A): es la funcin de desplazamiento elegida.- Ro: es el radio del crculo base.

( ) ( )AfRAH O +=

Levas con seguidor de traslacin de cara plana.Localizacin del punto de contacto.La posicin del punto de contacto entre la leva y el seguidor viene determinada por el valor de la distancia D. La lnea que pasa a travs del punto de contacto y es perpendicular a la cara del seguidor se denomina lnea de contacto.Todos los puntos que perteneciendo a la leva estn situados en la lnea de contacto, tienen la misma componente de velocidad a lo largo de dicha lnea, y su valor es:


D

M

OO

RM

RoH(A)

f(A)

AG

A=0

Linea de contac

GQ

Por otra parte, puesto que el seguidor es un slido rgido, todos sus puntos tienen la misma velocidad en la direccin del movimiento de este, su valor es:

V A OQ A DL = =

( )( ) ( )( ) ( )AAAos fAfdtdfR

dtdHV ==+==

Levas con seguidor de traslacin de cara plana.Localizacin del punto de contacto.Puesto que tanto la leva como el seguidor son slidos rgidos, no puede haber penetracin entre ellos a partir del punto de contacto y, para un buen funcionamiento del mecanismo, deben permanecer en contacto; estas condiciones, analticamente, requieren la igualdad de componentes de velocidades de la leva y el seguidor sobre la lnea de contacto:


D

M

OO

RM

RoH(A)

f(A)

AG

A=0

Linea de contac

GQ

Luego el contacto tiene lugar del centro de rotacin de la leva a la derecha cuando D>0, y a la izquierda cuando D

Levas con seguidor de traslacin de cara plana.Perfil de leva.El perfil de la leva se especificar dando las coordenadas polares (R, G) del punto de contacto con respecto a la lnea de referencia del cuerpo OM. Para determinar estos valores se considerarn las siguientes ecuaciones de posicin:


D

M

OO

RM

RoH(A)

f(A)

AG

A=0

Linea de contac

GQ

( )

( ) ( )AOA

A

fRHGAsenR

fDGAcosR

+==

+

==

+

2

2

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

+=+

=+

+==+

==+

AO

A

AOA

A

fRGAscoRfGAsenR

fRHGAcosRfDGAsenR

( ) ( )( )( )

( )

( )( )( )

( )( )

+

+=

+

=+

+

=+

AO

A

AO

A

AO

A

fRf

arctgAG

fRf

arctgGAfR

fGAtg

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]22222 AOA fRfGAscoGAsenR ++=+++

( ) ( )[ ]22 AOA fRfR ++=

( )

( )( )

( ) ( )[ ]

++=

+

+=

22AOA

AO

A

fRfR

fRf

arctgAG

Levas con seguidor de traslacin de cara plana. Radio de curvatura.

Para un buen funcionamiento, el perfil de la leva debe ser suave y tener una derivada continua; de no ser as, el perfil de la leva tendra puntos angulosos. En estos puntos, la tangente no est definida y el radio de curvatura es cero, por lo que existiran problemas de tensiones de contacto ya que la tensin de contacto vara con la recproca de la raz cuadrada del radio de curvatura. En la leva de la figura, para el punto de contacto representado, el radio de curvatura es y el centro de curvatura viene determinado por el punto C*. La distancia del eje de rotacin de la leva al centro de curvatura es Rc. Cada uno de los ngulos A y C son medidos de una vertical comn a diferentes lneas fijadas a la leva (OM y OC* respectivamente), por lo tanto, difieren como mucho en una constante, luego:

Considerando las ecuaciones de posicin siguientes:

Este sistema de ecuaciones tiene tres incgnitas: , Rc, C y . Si se deriva la primera respecto a la posicin angular de la leva A:


M

O A

RcC*

Linea de contacto

C

dAdC

cteAC

1

.

=

+=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CcosRfRH

CsenRfD

CAOA

CAA

=+=

==

( )( ) ( )CcosdA

dCRfdA

dDCA

A ==

Levas con seguidor de traslacin de cara plana. Radio de curvatura.

Teniendo en cuenta que C y A difieren en una constante (dC/dA=1 ):

Sustituyendo en la segunda ecuacin planteada de posicin:

La ecuacin anterior proporciona una expresin para evaluar el radio de curvatura en cualquier punto del perfil, una vez conocido el radio base. Radio del crculo base: Una vez determinado , se calcular el radio base mnimo mediante:

Si la fuerza que presiona el seguidor contra la leva no es constante (por ejemplo la fuerza es mantenida por un resorte), habr que calcular para cada una de las posiciones de la leva teniendo en cuenta el clculo de las tensiones de contacto.


M

O A

RcC*

Linea de contacto

C

( )( ) ( )CcosRfdA

dDCA

A ==

( ) ( )

( ) ( ) ffRffR

AAO

AAO

++=

=+

( ) ( )( )mnAAo ffR mn = .

Levas con seguidor de traslacin de rodillo. Para mantener la respuesta del seguidor del apartado anterior, pero reducir el

rozamiento y el desgaste, pueden utilizarse levas con seguidor de rodillo en vez de seguidor de cara plana.

El centro de la leva es O y el ngulo de rotacin de la misma es A. La posicin del punto de trazo para la posicin inicial de reposo (A=0) es Ho, cuyo valor en funcin del radio del circulo primitivo (Rpo) y del desplazamiento del seguidor respecto de la vertical que pasa por el centro de rotacin de la leva (E) es:


Los valores de los radios tanto del crculo primitivo como del rodillo del seguidor son decisiones de diseo. Por ahora se supondrn conocidos y se volver a su estudio ms adelante.Por otra parte, la posicin del punto de trazo en funcin del ngulo de rotacin de la leva es: M

A=0

O ORpo

R

M

Q

E

H(A)Ho

f(A)

A

G

E

Ap

Linea de contacto

(angulo de presin)

(Posicion inicial de reposo)

H R EO PO= 2 2

( ) ( ) ( ) ( )APOAOA fERfHH +=+=22

Levas con seguidor de traslacin de rodillo. Angulo de contacto o de presin. La lnea de contacto es aquella lnea normal a la tangente en el punto de contacto

entre la leva y el seguidor. El ngulo formado por la lnea de contacto y el eje de desplazamiento del seguidor se denomina ngulo de presin (Ap).

El seguidor no debe ni separarse del perfil de la leva, ni penetrar en l, como se coment con anterioridad. Expresando esta condicin en trminos de velocidad:


Donde:VS es la proyeccin de la velocidad del

punto de contacto del seguidor sobre la lnea de contacto.VL es la proyeccin de la velocidad del

punto de contacto de la leva sobre la lnea de contacto.OQ es la distancia desde el centro de

rotacin de la leva a la lnea de contacto.M

A=0

O ORpo

R

M

Q

E

H(A)Ho

f(A)

A

G

E

Ap

Linea de contacto

(angulo de presin)


( )

OQAV

AcosHV

L

PAS

=

=

Levas con seguidor de traslacin de rodillo. Angulo de contacto o de presin. Teniendo en cuenta la expresin de la distancia OQ:La velocidad de la leva a lo largo de la lnea de contacto quedar:

Por otra parte, puesto que:


Se obtiene que:

Y la componente de la velocidad del punto de seguidor quedar M

A=0

O ORpo

R

M

Q

E

H(A)Ho

f(A)

A

G

E

Ap

Linea de contacto

(angulo de presin)


( ) ( ) ( )PPA AcosEAsenHOQ +=

( ) ( ) ( )[ ]PPAL AcosEAsenHAV +=

( ) ( )APOA fERH +=22

( )( ) ( ) ( )

( ) AfdtdA

dAdf

dtdA

dAdH

dtdH

H AAAA

A ====

( ) ( )pAs AcosfAV =

Levas con seguidor de traslacin de rodillo. Angulo de contacto o de presin. Igualando las dos expresiones obtenidas para las proyecciones de las velocidades

sobre la lnea de contacto se obtiene:


De donde el valor del ngulo de presin en funcin del ngulo girado por la leva es:

El ngulo de presin es una medida de la componente lateral de la fuerza que ejerce la leva sobre el seguidor, dicha fuerza tender a acuar y flexionar al seguidor haciendo que aumente el rozamiento y el desgaste. La prctica indica que, para un rendimiento satisfactorio, el ngulo de presin no debe exceder los /6 radianes. Atendiendo a la ecuacin es evidente que un aumento del radio de la circunferencia primitiva se traduce en una disminucin de Ap .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )A

AP

APA

pAPPA

PPApA

HEf

Atg

fEAtgHAcosfAcosEAsenH

AcosEAsenHAAcosfA

=

=+

=+

+=

( )

+

=

APO

Ap

fER

EfarctgA

22

Levas con seguidor de traslacin de rodillo. Perfil de leva. El perfil de leva, se determinar mediante el clculo de sus coordenadas polares (R y G) medidas a partir de la lnea de referencia del cuerpo (OM). Introduciendo el ngulo B:

Y como: G = A B se obtiene:

Por otra parte:


Ap

A

G

E

B

R sen(Ap)

R cos(Ap)

RH(A)

O

S

S

M

( )( ) ( )

+

=PSA

Ps

AcosRHAsenREarctgB

( )( ) ( )

+

=PSA

Ps

AcosRHAsenREarctgAG

( ) ( )[ ] ( )[ ]222 PSPSA AsenREAcosRHR ++=

( ) ( )[ ] ( )[ ]22 PSPSA AsenREAcosRHR ++=

Levas con seguidor de traslacin de rodillo.Radio de curvatura.

Para calcular el radio de curvatura del perfil de leva () se calcular inicialmente el de la curva primitiva (p) para posteriormente restarle el radio del rodillo del seguidor (Rs).

Puesto que los ngulos C y A difieren en una constante:

Por otra parte, planteando las ecuaciones de posicin:


C A ctedCdA

= +

=

.

( )1 8

Ap

AC

E

p

p

p

Rc

M

O

C*

.sen(Ap)

.cos(Ap)

H(A)

curva primitiva

( ) ( )

( ) ECcosRAsen

CsenRHAcos

cPp

cAPp

=

=

2

2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ECsenRAsen

CcosRHAcos

cPp

cAPp

=

+=

Levas con seguidor de traslacin de rodillo.Radio de curvatura.

Derivando la segunda de ellas respecto al ngulo de giro de la leva, A:

Sustituyendo en las ecuaciones de posicin:SP R=


Ap

AC

E

p

p

p

Rc

M

O

C*

.sen(Ap)

.cos(Ap)

H(A)

curva primitiva

( ) ( )CcosdAdCRAcos

dAdA

CPP

P = ( ) ( )CcosRAcosA CPPP =

( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )

( ) ( ) (18) A1

AsecHHA1Acos

AcosAHAcos

P

PAP

APPP

PPPAPP

=

=

+=

Obtenindose por derivacin de la expresin del ngulo de presin:

Por tanto el valor del radio de curvatura ser:

( ) ( ) ( )( )P

PAAP Asec1

AtgffA 2+

=

Levas con seguidor de traslacin de rodillo. Radio del crculo primitivo:

Una de las decisiones iniciales de diseo es la eleccin del radio del crculo primitivo. Este valor controla el tamao de la leva, y por lo tanto, es razonable elegirlo pequeo para ahorrar material y reducir el espacio requerido por la leva. Pero, por otra parte, un valor demasiado pequeo de RP0 puede tener dos efectos negativos:

El ngulo de presin puede ser muy grande.

Las tensiones de contacto pueden alcanzar valores inadmisibles, ya que el estado de tensiones depende del radio del rodillo del seguidor y del radio de curvatura del perfil de la leva, y este ltimo depende del radio de curvatura de la curva primitiva y del rodillo


Levas con seguidor de traslacin de rodillo. Radio del rodillo del seguidor. Hay dos consideraciones que restringen el radio del rodillo:

Su efecto sobre las tensiones de contacto. La respuesta cinemtica en el punto del perfil de la leva de mnimo

radio de curvatura. La primera consideracin hace deseable incrementar el radio

para as disminuir los valores de las tensiones de Hertz. La segunda consideracin limita el valor mximo en relacin al mnimo radio de curvatura del perfil de la leva.


Levas con seguidor de traslacin de rodillo. Una vez elegido un valor para el radio del crculo primitivo y

conocida la funcin de desplazamiento, la curva primitiva est completamente definida. El perfil de leva puede definirse entonces como la curva interna a la curva primitiva sobre la que desliza el rodillo con su centro movindose a lo largo de la curva primitiva, tal y como se muestra en la figura en la que se han representado tres diferentes valores para el radio del rodillo del seguidor.

PminSR Rs=Rs

levas fsn

Documents