l’enseignement et l’apprentissage des

Le (ou les) rôle(s) du langage dans

l’enseignement et l’apprentissage des

mathématiques ?

Lalina Coulange

Didactique des mathématiques

Des mots

« le cercle », « une centaine », « le quart »,

Des écritures (symboliques)

15 1,23 1 + 2 + 2 = 5

Des dessins, des schémas

Qu’est-ce que le langage en classe de

mathématiques ?


mathématiques ?

un OLNI

(Objet Langagier Non Identifié)


mathématiques ?

Ne pas confondre

avec

« langue mathématique »

Contextes de recherche plus ou moins internes à

l’Ecole ou à l’institution scolaire

Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-

ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,

culturel, familial…)

Nouveaux contextes

De l’importance des « bons mots » ?

Allez chercher juste assez de garages en un seul voyage

(Briand, Loubet et Salin 2004)

Cycle 1

De l’importance des « bons mots » ?

Allez chercher juste assez de garages en un seul voyage

Allez chercher le bon nombre de garages en un seul voyage

Cycle 1






Nouveaux contextes

De l’importance des « bonnes écritures » ? Cycle 2

(Laparra et Margolinas 2016, p. 11)






Nouveaux contextes


Ce que l'enseignant remarque comme une erreur grossière qu'il faut au

plus vite corriger, c'est l'écriture fausse : 12+5 = 7. Cependant les élèves

n'ont alors pas étudié la soustraction et l'écriture produite par Hamdi montre

qu'il a bien compris qu'après le "=" se trouve généralement le nombre solution.

La suite qu'il produit est donc "donnée"+"donnée"="solution", comme dans

toutes les écritures qu'il a rencontrées avant (par exemple 6+4=10). L'écriture

produite est donc fausse du point de vue de l'addition, mais elle correspond

bien à la succession des événements qu'il a voulu représenter : j'ai

dessiné 12 cubes, puis, j'en ai barré 5, et alors j'en ai obtenu 7. (…)

(Laparra et Margolinas 2016, p. 11)






Nouveaux contextes

De l’importance des « bonnes écritures » ?






Nouveaux contextes


Dans la classe de T. Dupont

En 5e






Nouveaux contextes


Ne pas confondre langue mathématique et

langage en classe de mathématiques

Attention aux effets de surnormativité

Faire « investir » la langue mathématique


mathématiques ?

« Comprendre » la langue mathématique

pour mieux enseigner les mathématiques

En identifier des fonctionnalités

Oser la questionner

Tiens au fait … cercle ou disque ?


mathématiques ?






Nouveaux contextes

La difficulté scolaire en contexte(s) Un moment d’étude de langue mathématique

« désigner des points par des lettres » Cycle 3

Pourquoi s’intéresser à cette pratique scripturale ?

en CM2 en 6e

Un moment d’étude de langue mathématique


désigner des points par des lettres

recouvre aussi potentiellement

dénommer et désigner des objets géométriques (points, droites,

demi-droites, segments, figures…)

désigner et opérer sur des grandeurs (AB = 5 cm)






Nouveaux contextes



dénommer et désigner des objets géométriques de différentes

dimensions (points, droites, demi-droites, segments,

figures…) ainsi que leurs relations

A sommet du carré ABCD

désigner et opérer sur des grandeurs associées à ces objets

AB = 5 cm



Lire et extraire des informations

Comment « lire » le triangle ABC ou le carré ABCD ?

Des pratiques intermédiaires

Le segment d’extrémités A et B le segment [AB] [AB]



Analyser des situations et penser une progressivité

Un exemple en CM2


« désigner des points par des lettres »

Cycle 3


Notons au passage que les mots « sommets », « milieux », « extrémités »

contribuent peut-être à masquer l’objet « point » dans d’autres situations…


« désigner des points par des lettres »




Un exemple en 6e

Des enjeux d’étude à ne pas négliger ?

« désigner des points par des lettres » et … Cycle 3

Tracer un carré de 6 cm de côté. Tracer un cercle de centre B de 2 cm de rayon. Faire un carré qui part du point A, qui mesure 6 cm, faire une droite perpendiculaire à la droite AB, s’appelant BC, mesurant 12 cm, faire la même chose pour CD. Exemples de production d’élèves à l’entrée en Sixième



Le cercle de centre le sommet « en haut à droite »

le cercle de sommet B

avec comme signification « en haut à droite » !



Pareil / pas pareil ?

Des modes d’agir-parler-penser

Des contextes (celui de la classe de

mathématiques, mais aussi d’autres

contextes…)

Au sein d’une communauté constituée

d’élèves et d’un(e) enseignant(e)

Le langage pour enseigner et apprendre des

mathématiques

Axe Apprentissages et langage en mathématiques

L. Dicharry, A. Jouve, C. Laroche, J. Lorblanché, J-F Peyron

L. Coulange, G. Train

Le LéA Carle Vernet

Apprentissages et langage dans les disciplines

« lire et écrire » des nombres décimaux

Différents modes de désignation des décimaux

Avec les fractions décimales

256

100 ; 2 +

56

100; 2 +

5

10+

6

100 ;

2560

1000

2𝑢 + 56

100u ; 2𝑢 +

56

100

Avec l’écriture décimale

2,56

2 + 0,56

2 + 0,5 + 0,06

Avec les unités de numération

256 centièmes ou 2560 millièmes

2 unités et 56 centièmes

2 unités 5 dixièmes et 6 centièmes

« lire et écrire » des nombres décimaux Cycle 3

Le rôle des unités de numération (centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes) dans les nouveaux programmes de cycle 3 Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l'insuffisance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes, centièmes... Les caractéristiques communes entre le système de numération et le système métrique sont mises en évidence. L'écriture à virgule est présentée comme une convention d'écriture d'une fraction décimale ou d'une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour la nature des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se différencient de celles mises en œuvre pour les entiers) et de calcul. (extrait du nouveau programme de cycle 3 – mathématiques)


Des potentialités « oubliées »

des unités de numération

(Chambris 2008, 2015 & Tempier 2013)

La « conversion » entre unités de numération

Un exemple multiplier 2,56 par 10

10 fois 2 unités 5 dixièmes et 6 centièmes

20 unités 50 dixièmes et 60 centièmes

2 dizaines 5 unités et 6 dixièmes

Notons que du point de vue de l’écriture décimale, ce n’est pas la virgule qui se « décale »


Des potentialités « oubliées »

des unités de numération

(Chambris 2008, 2015 & Tempier 2013)

Unités de numération et décimaux

1 dixième de l’unité = 1 unité partagée en 10

1 centième de l’unité = 1 unité partagée en 100

= 1 dixième de l’unité partagée en 10

Partage - Groupement ?

10 dixièmes de l’unité = 1 unité

10 centièmes de l’unité = 1 dixième de l’unité

Positionner

15/10 sur une droite graduée en centièmes

dans une classe de CM1 à Carle Vernet

La nécessité d’une reconstruction du sens

groupement des unités de numération



La situation de l’enveloppe des nombres

(Fénichel et Taveau 2008)

En CM2-6e à Carle Vernet – Aliénor d’Aquitaine


14 étiquettes « un millième » et 8 étiquettes

marquées « 1/1000 »

16 étiquettes « un centième » et 19 étiquettes


15 étiquettes « un dixième » et 9 étiquettes


7 étiquettes marquées « une unité » et 6

étiquettes marquées « 1 »

2 étiquettes de « une dizaine » et 2 étiquettes

marquées « 10 »

Trouvez le nombre

correspondant à la

valeur du contenu de

l’enveloppe

En CM2-6e à Carle Vernet – Aliénor d’Aquitaine

De retour à l’OLNI …



Des unités de numération

(unité, dixième, centième,

millième…) et des unités de

mesure (m, dm, cm, mm)

Que peut-on dire d’un tel

rapprochement pour les

décimaux ?

Une tentative dans une classe de CM1


En amont

Les fractions introduites comme partage de l’unité

1

2

1

4

1

8



Une première tâche non problématique :

Donner la mesure de différents segments avec des règles

graduées (en papier plastifié) en mm, cm, dm



La tâche au cœur de la situation didactique

Un segment AB de 1 cm étant donné, exprimer la mesure de ce

segment en dm ?



Ici, on essaie de reconstruire le sens partage à partir du sens

groupement

1 dm = 10 cm 1/10 dm = 1 cm

1 dixième = 10 centièmes = 1/10 de dixième

= 1 centième



Des partages en 8, en 10 (mais avec une traduction erronée 10

dm = 1 cm)…

1 cm = 1

10 dm

0,1






Nouveaux contextes



P : attends, ils ne t’écoutent pas là. Ils ne t’écoutent pas. Va au

tableau et explique.

E : tu dis qu’un centimètre, c’est 10 mm. Du coup, là c’est dix fois

plus grand. T’es obligé de faire dix fois plus grand et du coup si

on veut le faire en décimètre, il faudrait que ce soit dix fois plus

petit.

P : il était en train de me dire que… il y a combien de centimètres

dans un décimètre. Levez la main et répondez.

E : 10.

P : 10. Un centimètre, c’est combien de fois plus petit qu’un

décimètre ?






Nouveaux contextes



E : Puisqu’il y a zéro décimètre, alors j’ai mis un zéro. Mais

virgule 1. Je pense que c’est le même calcul que ça.

P : tu penses que c’est la même chose ?

E : bien oui parce que là c’est un centimètre et 10 millimètres et là

on dit que c’est un dixième, donc s’il fait zéro virgule un, ça veut

dire que c’est un dixième. Parce que là si tu rajoutes le dixième,

ça fait un dixième.

P : donc ce un, ce serait le un du dixième ? Je ne sais pas il va

falloir que l’on en reparle.






Nouveaux contextes



« 10 fois plus grand » « 10 fois plus petit », une connaissance

importante pour faire émerger le 1/10 dm

Le 0, 1 qui apparaît sans lien avec les unités de numération, mais

en lien avec le tableau de conversion entre unités de mesure

Mais une mise en relation

entre les deux qui permet

de reconstruire le sens du 1

comme 1/10 dm



Des écritures qui vont co-exister par la suite

2

10 𝑑𝑚

7

100 𝑑𝑚

1 dm 2 cm 7 mm

1,27 dm


• La conversion entre unités de numération

suppose une reconstruction du sens

groupement dans l’étude des nombres

décimaux

• Le sens de la virgule n’est pas le même

dans le contexte de la mesure et de la

numération décimale

E : « la virgule sert à dire si on parle de

centimètres, de décimètres… »

Quelques mots du tableau (d’unités de

numération, d’unités de mesure)

Pourquoi la virgule « dans le tableau » ?


Quelques mots du tableau (d’unités de

numération, d’unités de mesure)


Le projet Deciplace (Behrens, Bikner-Ashbabs 2016)

https://itunes.apple.com/us/app/place-value-chart/id568750442?mt=8







« lire et écrire » des fractions

La fraction partage de l’unité

1/3 comme une unité (de longueur, d’aire…)

partagée en 3

2/3 comme 2 fois « une unité (de longueur, d’aire…)

partagée en 3 »

La fraction commensuration

2/3 comme permettant d’obtenir 2 unités (de

longueur, d’aire) avec 3

La fraction quotient

Le nombre qui multiplié par 3 donne 2

Plusieurs expérimentations en cours sur la fraction

partage de l’unité en CM1 à Carle Vernet


http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/articles/mise_en_ligne_des_brochures_de_lirem_de_paris/

Des concepts du « quotidien » de la moitié (ou

un demi), du quart de l’unité à faire évoluer

Partage « équitable » ou « superposable » (le

pliage, la superposition au service de cette

évolution)







Nouveaux contextes

Des tensions récurrentes entre actions (plier en

2, replier en 2, …) et les résultats des actions

(1/2, 1/4, 1/8…)

1

2

1

4=

1

8 ou

1

8+

1

8 =

1

4 ou une unité partagée

équitablement en 8


Les équivalences d’écriture, un enjeu crucial…

Toutes les écritures possibles de 1

2 ?


Et alors ?

Pour les élèves

« investir » les différentes dimensions (à l’oral, à

l’écrit) du langage en classe de mathématiques

Pour les enseignants

observer les usages « langagiers » en classe de

mathématiques (des élèves, de la langue math.,

etc.) et s’en « ressaisir »

C’est loin d’être simple !

Le(s) rôle(s) du langage pour enseigner

et apprendre les mathématiques

Merci de votre attention !

l’enseignement et l’apprentissage des

Documents