matematika15.wordpress.com lembar aktivitas … · · 2016-08-3110. latihan 2 1. tentukan nilai a...

Matematika15.wordpress.com

1 King’s Learning Be Smart Without Limits

LEMBAR AKTIVITAS SISWA – MATRIKS

Nama Siswa : ___________________

Kelas : ___________________

A. PENGERTIAN MATRIKS

1) Tabel berikut menyatakan nilai yang di peroleh oleh 3 tim bola

basket dari SMU yang berbeda dari 5 pertandingan bola basket

yang diikuti.

Jika data pada tabel di atas hanya dituliskan bilangan saja,

kemudian susunan bilangan diberi tanda kurung, maka akan

diperoleh

………. Bentuk (1)

2) Lihat tabel berikut dan lengkapi.

JIka hanya koefisien peubahnya saja yang dituliskan, kemudian

diberi tanda kurung maka diperoleh

……………… Bentuk (2)

Bentuk (1) dan (2) merupakan sebuah matriks, maka dapat

disimpulkan

Notasi dan Ordo Matriks

Lengkapilah isian berikut!

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital,

misalnya:

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom

yang terdapat di dalam matriks tersebut.

Dengan demikian matriks m x n adalah sebagai berikut.

Jenis-jenis Matriks

1. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris,

sehingga berordo 1 x n. berikan 3 contoh matriks baris dengan

ordo yang berlainan.

A = B =

C =

2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu

kolom, sehingga berordo m x 1. berikan 3 contoh matriks baris

dengan ordo yang berlainan.

P = Q = R =

Matriks adalah ……………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………



3. Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan

kolomnya sama, sehingga berordo m x m. berikan 3 contoh

matriks baris dengan ordo yang berlainan.

D = E = F =

4. Matriks transpose

Transpose dari suatu matriks A ditulis dengan At atau A’ adalah

suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengubah setiap baris

matriks A menjadi kolom pada matriks A’ atau seballiknya.

Contoh:

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika

ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang seletak

juga sama.

Contoh:

matriks A = a cb d

, matriks B = p rq s , jika A = B maka:

a = p

b = q

c = r

d = s

Latihan 1

1.

2.

3.

4.

5.

Jawab:

6.

Jawab:

7.

Jawab:



8.

Jawab:

9.

Jawab:

10.

Tentukan nilai a dan b.

Jawab:

11.

Tentukan nilai a + b + y .

Jawab:

B. OPERASI MATRIKS

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

“Jumlah atau selisih dua matriks yang sama ukurannya (ordo

sama) sama dengan matriks baru dengan menjumlahkan atau

mengurangkan elemen-elemen seletaknya”

Contoh:

(Penjumlahan)

a. a cb d

+ p rq s =

a + p c + rb + d d + s

b.

c.

(pengurangan)

d.

e.

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

Latihan 2

1.

Jawab:

2.

Jawab:



3.

Jawab:

4.

Jawab:

5.

Jawab:

6.

Jawab:

7.

Jawab:

8.

Jawab:



9.

Jawab:

10.

Jawab:

11.

Jawab:

12.

Jawab:

13.

Jawab:

14. 2x − 1 3

−1 y + 2 +

y 1−2 x + 1

t

= 2 10 4

.

Tentukan Nilai y –x.

Jawab:



2. Perkalian Matriks

Perkalian matriks ada dua jenis, yaitu perkalian matriks dengan

skalar dan perkalian antarmatriks.

a) Perkalian Matriks Dengan Skalar

Perkalian matriks dengan real k hasilnya matriks yang

diperoleh dengan cara mengalikan semua elemen matriks dengan

bilangan k.

Contoh:

Jawab:

a.

b.

c.

Latihan 3

1.

Jawab:

2.

Jawab:

3.

Jawab:

4.

Jawab:



5.

Jawab:

6.

Jawab:

7.

Jawab:

8.

Jawab:

9.

Jawab: 10.

Jawab:



11. Dik: A = −1 21 34 −2

, B = 1 5

−1 32 −2

, dan C = 4 2

−3 13 −1

Jika 3A – 5B + D = 2C, tentukan D.

Jawab:

b) Perkalian Dua Matriks

Metode menggabungkan dua matriks ini disebut Perkalian

Matriks. Aturannya adalah “kalikan matriks baris dengan kolom

dan jumlahkan hasilnya”

Catatan:

Contoh:

a. 2 11 0

−1 2 .

1 −1 02 1 2

10

= … + … … + … … + …… + … … + … … + …… + … … + … … + …

… + …… + …… + …

=

… … … … … …… … … … … …… … … … … …

… …… …… …

b.

Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks

persegi, maka An = A x A x A x …… A (sebanyak n faktor) atau

dapat juga dituliskan An = A X A

n-1 atau A

n = A

n-1 x A.

Sifat-sifat perkalian dua matriks

jika matriks A, B, dan C serta k ∈ Bil. Real, berlaku sifat-sifat

berikut:

a. anti komutatif: A.B ≠ B.A

b. distributif kiri: A (B ± C) = (AB ± AC)

c. distributif kanan: (B ± C) A = (BA ± CA)

d. asosiatif: (i) A(BC) = (AB)C

(ii) k (AB) = (kA).B = A.(kB)

e. I.A = A.I = A , dimana I adalah matriks Identitas

f. Jika A.B = O, belum tentu A = O atau B = O, dimana O = matriks

nol

g. Jika AB = AC, belum tentu B = C

h. ((AB)T = B

TA

T

Latihan 4

1.

Jawab:

2.

Jawab:



3.

Jawab:

4.

Jawab:

5.

Jawab:

6.

Jawab:

7.

Jawab:

8.

Jawab:

9.

Jawab:



10.

Jawab:

11.

Jawab:

12.

Jawab:

13.

Jawab:

14.

Jawab:

15.

Jawab:



16.

Jawab:

17.

Jawab:

18.

Jawab:

19.

Jawab:

20.

Jawab:

21.

Jawab:



22. diketahui A = 2 1 0

−2 3 2 , B =

3 0 0−1 −3 4

, dan

C = 4 1 −12 −1 3

, bila F(x,y,z) = 2x – 3y + z. Tentukan

f(A-2B, 3C, B+A–2C) ?

Jawab:

23. A = −5 7−3 4

, tentukan hasil A + A2 + A

3 + … + A

45 + A

46 + A

47 ?

Jawab:

C. DETERMINAN MATRIKS

Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu

bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks

persegi A dinotasikan dengan |A|.

1. Matriks Berordo 2x2

Contoh:

3 45 7

= (…... x ……) – (…… x …...) = ….. – …… = ……..

−2 4−3 6

= (…... x ……) – (…… x …...) = ….. – …… = ……..

2. Matriks berordo 3x3

Aturan Sarrus

Contoh:

2 3 41 5 76 8 9

= ( …… + …… + …… ) – (…… – …… – ……)

= ……......... – ……………… = ………….



Metode Ekspansi Kofaktor

a. Ekspansi Baris

Contoh: (Baris 1)

2 3 41 5 76 8 9

= …. … … … … – ….

… … … … + ….

… … … …

= ………… – ………….. + ……………

= ……………

b. Ekspansi Kolom

Contoh: (kolom 3)

2 3 41 5 76 8 9

= …. … … … … – ….

… … … … + ….

… … … …

= ………… – ………….. + ……………

= ……………

Catatan:

Matriks Singular adalah matriks yang determinannya adalah 0.

Sifat-sifat determinan matriks

a. |A| = |AT|

b. |kA| = kn |A|, Matriks A berordo (n x n)

c. |AB| = |A|. |B|

d. |An| = (|A|)

n

e. Jika salah satu baris atau kolom dari matriks A dikalikan k

maka determinannya menjadi: k.|A|

f. Jika baris ke-i ditukarkan dengan baris ke-j atau kolom-m

ditukarkan dengan kolom ke-n, maka determinannya menjadi:

(-1) x determinan semula.

g. apabila baris ke-i ditambah k dikali baris ke-j atau kolom ke-n

ditambah k kali kolom ke-n, maka tidak mengubah determinan

matriks (operasi baris/kolom tidak mengubah nilai

determinan).

h. apabila ada dua baris atau dua kolom yang saling berkelipatan,

maka determinannya sama dengan nol.

i. apabila ada baris atau kolom yang semua nilai elemennya nol,

maka determinannya sama dengan nol

Latihan 5

1.

Jawab

2.

Jawab:

3.

Jawab:



4.

Jawab:

5.

Jawab:

6.

Jawab:

7.

Jawab:

8.

Jawab:

9.

Jawab:

10.

Jawab:



11.

Jawab:

12. sin 𝑥 cos 𝑥 1

0 1 01 cos 𝑥 sin 𝑥

= ….

A. cos2 x D. sin

2 x

B. - sin2 x E. - cos

2 x

C. 1

Jawab:

13. Matriks A berordo 3x3 dan mempunyai determinan 2, maka

determinan dari matriks (2A) adalah …

A. 16 C. 18 E. 5

B. 12 D. 36

Jawab:

14. Jika A = 0 0 0

15 −5 821 −8 31

, maka nilai |-3A| = …

A. 9 D. 0

B. 3 E. -3

C. 1

Jawab:

15. A = 2 73 10

maka |A2016

| = ….

Jawab:

16. Jika A = −2 5−1 3

, B = 12 2 51 −8 3

24 4 10 ,

maka nilai |3.A25

| - 325

.|BT|= ….

Jawab:

A. - 9 D. 0

B. - 3 E. 3

C. - 1

17. Jika |A| = 1

2, |B|= -3 , dan matriks A dan B berordo 2x2

tentukan:

a. 2 .|A|. |B2|

Jawab:



b. |2A|.|B.A|

Jawab:

c. |A3| . |12.B

T|

Jawab:

d. |6.AT |

|B|

Jawab:

18. Jika a b cd e fg h i

= 6, tentukan nilai:

a. d e fa b cg h i

= …

b. 2a 2b 6cd e 3fg h 3i

= …

c. a b c

d − 2a e − 2b f − 2cg + a h + b i + c

= …

d. a + 3c b c − 2bd + 3f e f − 2eg + 3i h i − 2h

= …

D. INVERS MATRIKS

Pengertian Invers Matriks

Jika A = 3 72 5

, B = 5 −7

−2 3 , dan I =

1 00 1

, tentukanlah:

A.I = … …… … .

… …… … =

B.I = … …… … .

… …… … =

A.B = … …… … .

… …… … =

B.A = … …… … .

… …… … =

Invers dari matriks B ditulis B-1

, sedangkan invers matriks A

dituliskan dengan A-1

.

Invers Matriks Berordo 2x2

Contoh:

A = 3 1

15 6

A-1

= 1

…. − …. x

… … … … =

… … … …

Sifatsifat invers matriks:

a. (A.B)-1

= B-1

.A-1

b. A.A-1

= A-1

.A = I: matriks identitas

c. Jika A.B = I maka A-1

= B atau B-1

= A

d. |A-1

| = 1

|A|

e. (At)

-1 = (A

-1)

t

f. (A-1

)-1

= A

Latihan 6

1.

Jawab:

Matriks A disebut invers dari matriks B jika AxB=BxA=I,

dengan I adalah matriks identitas



2.

Jawab:

3.

Jawab:

4.

Jawab:

5.

Jawab:

6.

Jawab:

7.

Jawab:

8.

Jawab:



9. A = a − 1 2a + b c

dan B = −2 −14 3

, Jika A-1

= Bt, nilai b+c adalah ….

A. -2 D. 1 B. -1 E. 2 C. 0 Jawab:

10. A = 2a − 1 b + 2

−4 3a + b dan B =

3 −4−1 1

, Jika A-1

= Bt,

Tentukan nilai b? Jawab:

11. Jika |AT| = -3, |B| =

1

2 , dan matriks A dan B berordo 2x2.

Tentukanlah: a. |2A

T|. |B

-1| = …

b. 3|A.B

-1| = …

c. |-2.A

-1.B| = …

d. 12 |A−1|

B−1 = …

Invers Matriks Berorodo 3x3

Jika maka:

Contoh:

Jika matriks A = 1 2 31 3 31 2 4

, maka A-1

= …….

Jawab:

|A| = ……………………………………………………………………

= ……………………………………………………………………

A-1

=



Latihan 7

1.

Jawab:

2. Matriks A = 1 3 10 3 11 2 1

jumlah elemen-elemen baris pertama

dari invers matriks A adalah…

A. -2 D. 1

B. -1 E. 2

C. 0

Jawab:



3. Matriks A = 1 2 31 3 31 2 4

, maka 2.A-1

adalah…

A. 6 −2 −3

−1 1 0−1 0 1

D. 12 −4 −6−2 2 0−2 0 2

.

B. 6 −2 −3

−2 2 0−2 0 2

E. 6 −2 −3

−2 2 0−1 0 1

C. 12 −4 −6−1 1 0−1 0 1

Jawab:

4. Matriks A = 6 −2 −3

−1 1 0−1 0 1

, maka jumlah kuadrat unsur

pada baris ketiga dari invers matriks A adalah…

A. 21 D. 49

B. 14 E. 34

C. 7

Jawab:



E. PERSAMAAN MATRIKS BENTUK AX = B dan XA = B

Penyelesaiaan persamaan matriks AX = B adalah X = A-1

.B

Penyelesaiaan persamaan matriks XA = B adalah X = B.A-1

Contoh:

Tentukan X supaya: 2 33 5

X = 64 .

Misal A = 2 33 5

, maka A-1

= 1

………….− …………

… … … …

= … … … …

AX = B maka: X = A-1

.B = … … … … . 6

4 . =

… …

Contoh:

Tentukan X supaya: X 3 54 7

= 1 42 5

.

Misal A = 3 54 7

, maka A-1

= 1

………….− …………

… … … …

= … … … …

XA = B maka: X =B. A-1

= 1 42 5

. … … … … =

… … … …

Latihan 8

1.

2.

Jawab:

3.

Jawab:

4.

Jawab:

5.

Jawab:

6.



Jawab:

7.

Jawab: 8. A, B, dan C adalah matriks bukan nol. Jika

ACB = B – A, maka C = … A. A

-1 + B

-1 D. A

-1 – B

-1

B. (AB)-1

E. (A+B)-1

C. (A+B) T

Jawab:

9.

Jawab: 10.

Jawab:

11.

Jawab:



12.

Jawab:

F. MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN

LINEAR

1) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

SPLDV di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu:

Latihan 4

1.

Jawab:

2.

Jawab:

3.

Jawab:

4.

Jawab:



5.

Jawab:

6.

Jawab:

7.

Jawab:

2) Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

(PENGAYAAN)

SPLTV di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu:

Dapat diselesaikan dengan:

Latihan 5

matematika15.wordpress.com lembar aktivitas … · · 2016-08-3110. latihan 2 1. tentukan nilai a...

Documents