Resumo de definições e teoremas – Cap. 04 de Cálculo com Geometria Análitica – Leithold – Resumo de Alyson Prado

Wolf – Acadêmico de Engenharia Mecânica UEM

CAPÍTULO 04 – VALORES EXTREMOS DAS FUNÇÕES, TÉCNICAS DE CONSTRUÇÃO DE

GRÁFICOS E DIFERENCIAL

4.1. Valor funcional máximo e mínimo

1ª definição: A função f terá um valor máximo relativo em c se existir um intervalo

aberto contendo c, no qual f(x) esteja definida, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x nesse

intervalo.

2ª definição: A função f terá um valor mínimo relativo em c se existir um intervalo

aberto contendo c, no qual f(x) esteja definida, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x nesse

intervalo.

3ª definição: Se f(x) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a,b) e

se f tiver um extremo relativo em c, onde a < c < b, então f´(c) = 0, se f´(c) existir.

4ª definição: Se c for um número no domínio da função f e se f´(c) = 0 ou f´(c) não

existir, então c será chamado de número crítico de f.

5ª definição: A função f terá um valor máximo absoluto num intervalo, se existir algum

número c no intervalo, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) será

o valor máximo absoluto de f no intervalo.

6ª definição: A função f terá um valor mínimo absoluto num intervalo, se existir algum

número c no intervalo, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) será

o valor mínimo absoluto de f no intervalo.

7ª definição: f(c) será o valor máximo absoluto da função f se c estiver no domínio de f

e se f(c) ≥ f(x) para todos os valores de x no domínio de f.

8ª definição: f(c) será o valor mínimo absoluto da função f se c estiver no domínio de f

e se f(c) ≤ f(x) para todos os valores de x no domínio de f.

1° teorema: Se a função f for contínua no intervalo [a,b], então f terá um valor máximo

absoluto e um valor mínimo absoluto em [a,b].

Ache os valores da função nos números crítico de f em (a,b).

Ache os valores de f(a) e f(b).

O maior dentre os valores dessas etapas será o valor máximo absoluto e o menor

será o valor mínimo absoluto.

4.3. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

1° teorema: Seja f uma função que

(i) ela seja contínua no intervalo fechado [a,b];

(ii) ela seja derivável no intervalo aberto (a,b);

(iii) f(a) = 0 e f(b) = 0.

Então existe um número c no intervalo aberto (a,b) tal que

f´(c) = 0.

2° teorema: Seja f uma função, tal que

(i) seja contínua no intervalo fechado [a,b];

(ii) seja derivável no intervalo aberto (a,b).

Então, existirá um número c no intervalo aberto (a,b), tal que

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3° teorema: Se f for uma função tal que f´(x) = 0 para todos os valores de x num

intervalo I, então f será constante em I.

4.4. Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira

1ª definição: Uma função f definida num intervalo será crescente naquele intervalo, se

e somente se

onde x1 e x2 são quaisquer números no intervalo.

2ª definição: Uma função f definida num intervalo será decrescente naquele intervalo,

se e somente se

onde x1 e x2 são quaisquer números no intervalo.

1° teorema: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e derivável no

intervalo aberto (a,b):

(i) se f´(x) > 0 para todo x em (a,b), então f será crescente em [a,b];

(ii) se f´(x) < 0 para todo x em (a,b), então f será decrescente em [a,b].

2° teorema: Teste da Derivada primeira - o teste da derivada segunda é mais útil, então

melhor nem perder tempo lendo esse teorema besta.

4.5. Concavidade e pontos de inflexão

1ª definição: O gráfico de uma função f será côncavo para cima no ponto (c, f(c)) se

f´(c) existir e se houver um intervalo aberto I contendo c, tal que para todos os valores

de x ≠ c em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará acima da reta tangente ao gráfico em

(c,f(c)).

2ª definição: O gráfico de uma função f será côncavo para baixo no ponto (c, f(c)) se

f´(c) existir e se houver um intervalo aberto I contendo c, tal que para todos os valores

de x ≠ c em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará abaixo da reta tangente ao gráfico em

(c,f(c)).

1° teorema: Seja f uma função diferenciável em algum intervalo aberto contendo c.

Então,

(i) se f´´(c) > 0, o gráfico de f é côncavo para cima em (c,f(c));

(ii) se f´´(c) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo em (c,f(c)).

3ª definição: O ponto (c,f(c)) será um ponto de inflexão do gráfico da função f se o

gráfico tiver nele uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal

que se x estiver em I, então

(i) f´´(x) < 0 se x < c e f´´(x) > 0 se x > c, ou

(ii) f´´(x) > 0 se x < c e f´´(x) < 0 se x > c.

2° teorema: Se a função f for derivável em algum intervalo aberto contendo c e se

(c,f(c)) for um ponto de inflexão do gráfico de f, então, se f´´(c) existe, f´´(c) = 0.

4.6. O teste da derivada segunda para extremos relativos

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1° teorema: Seja c um número crítico de uma função f, no qual f´(c) = 0 e suponhamos

que f´ exista para todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c. Se f´´(c)

existe e

(i) se f´´(c) < 0, então f tem um valor máximo relativo em c;

(ii) se f´´(c) > 0, então f tem um valor mínimo relativo em c.

4.7. Traçando o esboço do gráfico de uma função

Etapas para o esboço de um gráfico de uma função

(i) Determinar o domínio de f

(ii) Verificar se a função é par ou ímpar ou nenhuma das alternativas

(iii) Determinar os interceptos de y no gráfico e determinar também os interceptos de

x, caso isso possa ser feito facilmente.

(iv) Determinar os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento

da função.

(v) Determinar os pontos de inflexão e as concavidades apresentadas pelo gráfico.

(vi) Verificar a existência de assíntotas horizontais, verticais e oblíquas.

Definição de tangente oblíqua: Seja a reta y = mx + b uma assíntota oblíqua, tem-se

que

4.8. Tratamento adicional dos extremos absolutos e aplicações

1° teorema: Seja f uma função contínua num intervalo I contendo o número c. Se f(c)

for um extremo relativo em I e se c for o único número em I, no qual f tem um extremo

relativo, então f(c) será um extremo absoluto de f em I. Além disso,

(i) se f(c) for um valor de máximo relativo de f em I, então f(c) será um valor máximo

absoluto de f em I;

(ii) se f(c) for um valor de mínimo relativo de f em I, então f(c) será um valor mínimo

absoluto de f em I.

4.9. A Diferencial

1ª definição: Se a função f for definida por então a diferencial de y,

denotada por dy, será dada por

onde x está no domínio de f´ e Δx é um incremento arbitrário de x.

2ª definição: Se a função f for definida por y = f(x), então a diferencial de x, denotada

por dx, será dada por

Onde Δx é um incremento arbitrário de x e x é qualquer número no domínio de f´.

1ª teorema: Se y = f(x), então quando f´(x) existe,

sendo x uma variável independente ou não.

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4.10. Solução numérica de equações pelo método de Newton

Seja a n-ésima aproximação de x em relação a uma raiz de uma equação polinomial,

então

Se , então é raiz de f(x).