legge di conservazione della carica...
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l’elemento infinitesimo isolato vale a dire il termine idl
non esiste
la prima formula di Ampere-Laplace riproduce i risultati sperimentali,
Legge di conservazione della carica elettrica
ad es. la legge di Biot Savart,
in natura
di corrente continua,
ma
una possibilita’ sarebbe quella di
se ne conclude che
di lunghezza infinitesima dl come produrre una corrente continua che scorra solamente in un tratto
rettilineo
la corrente elettrica puo’ fluire
ma si verifica sperimentalmente
non si crea ne’ si distrugge
di filo conduttore ?
che in natura la carica elettrica
solo in un circuito chiuso posizionare una carica in questo punto dello spazio
far sparire istantaneamente la carica in questo punto dello spazio
spostare la carica a velocita’ costante lungo il tratto dl e far riapparire istantaneamente un’altra carica in questo punto dello spazio
non e’ possibile isolare dal resto del circuito un elemento infintesimo di corrente continua
- supponiamo di avere cariche elettriche
- supponiamo che, al passar del tempo, la carica
totale qint all’interno del volume,
delimitato da una superficie chiusa Σ un volume V,
( equazione di continuita’ )
per esempio positive
diminuisca
della legge di conservazione Espressione matematica della carica elettrica
all’ interno di
Σ
pero‘ questo implicherebbe la della carica elettrica non conservazione
cio’ potrebbe avvenire se
dall’interno del volume V svanire
dq
una certa quantita’
di carica elettrica
all’interno del volume
e se la carica elettrica non si crea ne’ si distrugge,
a cariche che siano uscite
una diminuzione di carica
puo’ essere dovuto solamente
dall’interno del volume attraversando la superficie
il volume entro cui si trovavano le cariche
che racchiude
Σ
chiusa
potesse semplicemente
ma una carica elettrica che attraversa
Si J dS= ⋅∫
e’ una corrente elettrica una superficie
e risulta che
di solito S ma in questo caso particolare
le cariche elettriche
chiusa Σ corrisponde alla superficie
e’ una superficie aperta,
i J dSΣ
= ⋅∫
che circonda il volume in cui
Nota Bene:
sono contenute
per convenzione e’ orientata
positivamente verso l’esterno
Orientamento di Σ dato che Σ e’ una superfice chiusa
dS
J
vv
v
v
v
vJ nq=
in questo caso q e’ positiva
la velocita’ v
uscente dalla superficie Σ
e’ nel verso
quindi il vettore densita’ di corrente
uscente avra’ verso da Σ
Orientamento di J
sara’ positiva la corrente dunque i J dSΣ
= ⋅∫
la rapidita’ di variazione nel tempo della carica interna sara’ pari a : intdqdt
allo stesso tempo la carica qint che si trova
derivata che ha le dimensioni di una corrente
sta diminuendo nel tempo
i J dSΣ
= ⋅∫
e’ la corrente dovuta alla carica elettrica dq uscente dalla superficie chiusa Σ
Nota Bene:
all’interno del volume V racchiuso
entro la superficie chiusa Σ
che entra nella
deve essere la stessa carica
la carica elettrica dq che costituisce la corrente i J dSΣ
= ⋅∫
intdqdt
dato che la carica elettrica
ossia la stessa carica
si deve imporre l’uguaglianza tra queste due espressioni
dunque
non si crea ne’ si distrugge
che abbandona l’interno del volume
se vale la legge di conservazione della carica elettrica
int int int( ) ( )q t dt q t dq+ − =
qint(t+dt) < qint(t) dqint < 0 ossia e int 0dqdt
<
escono
ma attenzione :
in questo caso cariche elettriche
al passar del tempo qint ma dato che il segno delle cariche
e’ positivo
dalla superficie, quindi
diminuisce
positive
con la quantita’ positiva
dobbiamo introdurre un segno negativo per stabilire
percio’ se imponessimo direttamente l’uguaglianza
uguaglieremmo la quantita’ negativa
un uguaglianza corretta
int dqdt
J dSΣ
= ⋅∫
int dqdt
J dSΣ
⋅∫
commettendo un errore
int dqdt
J dSΣ
− = ⋅∫
equazione di continuita’
e’ – dqint/dt che deve uguagliare il flusso del in conclusione:
vettore densita’ di corrente
per il teorema di Gauss int
0
( )q
E E dSεΣ
Φ = ⋅ =∫
0 ( ) d E dS J dSdt
εΣ Σ
− ⋅ = ⋅∫ ∫
quindi l’equazione puo’ essere riscritta come
nota bene : la superficie Σ e’ chiusa !
nota bene : il termine 0 ( )d E dSdt
εΣ
⋅∫
ha le dimensioni di una corrente
int dqdt
J dSΣ
− = ⋅∫
per il teorema della divergenza
intdJdtρ∇⋅ = −
equazione di continuita’ in forma locale
V
J dS J dVΣ
⋅ = ∇ ⋅∫ ∫
int dqdt
−
in conclusione :
la carica qint e’ distribuita all’interno del volume
densita’ volumetrica di carica ρint int intV
q dVρ= ∫ int
V
d dVdtρ
= − ∫attenzione: si e’ scambiato l’ordine di derivazione con quello di integrazione !
da cui
( ) = ( ) int
V V
d dV J dVdtρ
− ∇ ⋅∫ ∫
int intV
q dVρ= ∫
ed e’ caratterizzata dalla
intV
d dVdt
ρ= − ∫
il risultato ottenuto - NON - dipende dal segno delle cariche
e neppure dal fatto che le cariche siano entranti o uscenti dalla superficie Σ
equazione di continuita’ legge di conservazione della carica elettrica
una formula matematica descrive una proprieta’ della natura
Nota Bene:
- cariche elettriche entranti in Σ - cariche elettriche uscenti da Σ
cariche positive uscenti
int 0dqdt
<
( ) ( )int intq t dt q t+ <
0intdq <
vJ nq=
e’ uscente da Σ
v vv
v
vJdS
Σ
v v
v
v
vJ
dS
Σ
J
dS
v
vv
v
vΣ
v
vv
v
v
J
dS
Σ
0i J dSΣ
= ⋅ >∫
int S
dqdt
J dS− = ⋅∫
cariche positive entranti
( ) ( )int intq t dt q t+ >
0intdq >
vJ nq=
e’ entrante entro Σ
0i J dSΣ
= ⋅ <∫
int S
dqdt
J dS− = ⋅∫
0J dS⋅ >
int 0dqdt
>
0J dS⋅ <
cariche negative uscenti cariche negative entranti
int 0dqdt
>
( ) ( )int intq t dt q t+ >
0intdq >
vJ nq=
e’ entrante entro Σ 0J dS⋅ <
0i J dSΣ
= ⋅ <∫
int S
dqdt
J dS− = ⋅∫
int S
dqdt
J dS− = ⋅∫
int 0dqdt
<
( ) ( )int intq t dt q t+ <
0intdq <
vJ nq=
e’ uscente da Σ 0J dS⋅ >
0i J dSΣ
= ⋅ >∫
ma ma
ma ma
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