Lecture Notes Stochastic Calculus

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<p>Steven Shreve: Stochastic Calculus and FinanceP RASAD C HALASANI Carnegie Mellon University chal@cs.cmu.edu S OMESH J HA Carnegie Mellon University sjha@cs.cmu.edu</p> <p>THIS IS A DRAFT: PLEASE DO NOT DISTRIBUTE c Copyright; Steven E. Shreve, 1996</p> <p>October 6, 1997</p> <p>Contents1 Introduction to Probability Theory 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 The Binomial Asset Pricing Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue Measure and the Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . General Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 Independence of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Independence of -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Independence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Correlation and independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Independence and conditional expectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 16 22 30 40 40 41 42 44 45 46 47 49 49 50 52 52 53 54 55 57 58</p> <p>2 Conditional Expectation 2.1 2.2 2.3 A Binomial Model for Stock Price Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.4 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Denition of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Further discussion of Partial Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Properties of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Examples from the Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p> <p>2 3 Arbitrage Pricing 3.1 3.2 3.3 Binomial Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . General one-step APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risk-Neutral Probability Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 3.3.2 3.4 3.5 Portfolio Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Self-nancing Value of a Portfolio Process . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 60 61 62 62 63 64 67 67 69 70 70 73 74 77 77 79 81 85 85 86 88 89 91 91 92 94 97 97</p> <p>Simple European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Binomial Model is Complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>4 The Markov Property 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Binomial Model Pricing and Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Computational Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Different ways to write the Markov property . . . . . . . . . . . . . . . . Showing that a process is Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application to Exotic Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>5 Stopping Times and American Options 5.1 5.2 5.3 American Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Value of Portfolio Hedging an American Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Information up to a Stopping Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>6 Properties of American Derivative Securities 6.1 6.2 6.3 6.4 The properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proofs of the Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compound European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimal Exercise of American Derivative Security . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>7 Jensens Inequality 7.1 7.2 7.3 Jensens Inequality for Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimal Exercise of an American Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stopped Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>8 Random Walks 8.1 First Passage Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>3</p> <p>8.5 8.6 8.7 8.8 8.9</p> <p>The Strong Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 General First Passage Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Example: Perpetual American Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Difference Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Distribution of First Passage Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107</p> <p>8.10 The Reection Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9 Pricing in terms of Market Probabilities: The Radon-Nikodym Theorem. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 111</p> <p>Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Radon-Nikodym Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 The State Price Density Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Stochastic Volatility Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Another Applicaton of the Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 118 119</p> <p>10 Capital Asset Pricing</p> <p>10.1 An Optimization Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11 General Random Variables 123</p> <p>11.1 Law of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11.2 Density of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 11.4 Two random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.5 Marginal Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.6 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.7 Conditional Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.8 Multivariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.9 Bivariate normal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 11.10MGF of jointly normal random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12 Semi-Continuous Models 131</p> <p>12.1 Discrete-time Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131</p> <p>8.4</p> <p>Expectation of</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100</p> <p>8.3</p> <p>The moment generating function for</p> <p>8.2</p> <p>is almost surely nite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>97 99</p> <p>4 12.2 The Stock Price Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 12.3 Remainder of the Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.4 Risk-Neutral Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.5 Risk-Neutral Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 12.6 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 12.7 Stalking the Risk-Neutral Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 12.8 Pricing a European Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 13 Brownian Motion 139</p> <p>13.1 Symmetric Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 13.2 The Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 13.3 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 13.4 Brownian Motion as a Limit of Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 13.5 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 13.6 Covariance of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 13.7 Finite-Dimensional Distributions of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . 144 13.8 Filtration generated by a Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 13.9 Martingale Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 13.10The Limit of a Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 13.11Starting at Points Other Than 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 13.12Markov Property for Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 13.13Transition Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 13.14First Passage Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 14 The It Integral o 153</p> <p>14.1 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14.2 First Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14.3 Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 14.4 Quadratic Variation as Absolute Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 14.5 Construction of the It Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 o 14.6 It integral of an elementary integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 o 14.7 Properties of the It integral of an elementary process . . . . . . . . . . . . . . . . 159 o 14.8 It integral of a general integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 o</p> <p>5 14.9 Properties of the (general) It integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 o 14.10Quadratic variation of an It integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 o 15 It s Formula o 167</p> <p>15.1 It s formula for one Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 o 15.2 Derivation of It s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 o 15.3 Geometric Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 15.4 Quadratic variation of geometric Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 15.5 Volatility of Geometric Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 15.6 First derivation of the Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 15.7 Mean and variance of the Cox-Ingersoll-Ross process . . . . . . . . . . . . . . . . 172 15.8 Multidimensional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 15.9 Cross-variations of Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 15.10Multi-dimensional It formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 o 16 Markov processes and the Kolmogorov equations 177</p> <p>16.1 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 16.2 Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 16.3 Transition density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 16.4 The Kolmogorov Backward Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 16.5 Connection between stochastic calculus and KBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 16.6 Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 16.7 Black-Scholes with price-dependent volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 17 Girsanovs theorem and the risk-neutral measure 189</p> <p>17.2 Risk-neutral measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 18 Martingale Representation Theorem 197</p> <p>18.1 Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18.2 A hedging application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18.4 18.3 -dimensional Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199</p> <p>-dimensional Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 200</p> <p>18.5 Multi-dimensional market model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200</p> <p>17.1 Conditional expectations under</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191</p> <p>6 19 A two-dimensional market model 19.2 Hedging when 203</p> <p>20 Pricing Exotic Options</p> <p>20.1 Reection principle for Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 20.2 Up and out European call. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 20.3 A practical issue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 21 Asian Options 219</p> <p>21.1 Feynman-Kac Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 21.2 Constructing the hedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 21.3 Partial average payoff Asian option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 22 Summary of Arbitrage Pricing Theory 223</p> <p>22.1 Binomial model, Hedging Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 22.2 Setting up the continuous model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 22.3 Risk-neutral pricing and hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 22.4 Implementation of risk-neutral pricing and hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 23 Recognizing a Brownian Motion 233</p> <p>23.1 Identifying volatility and correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 23.2 Reversing the process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 24 An outside barrier option 239</p> <p>24.1 Computing the option value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 24.2 The PDE for the outside barrier option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 24.3 The hedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 25 American Options 247</p> <p>25.1 Preview of perpetual American put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 25.2 First passage times for Brownian motion: rst method . . . . . . . . . . . . . . . . 247 25.3 Drift adjustment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 25.4 Drift-adjusted Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 25.5 First passage times: Second method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251</p> <p>19.1 Hedging when</p> <p>. ....</p>

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