Lecture Note: Dynamic Force Analysis

상상은 지식보다 더욱 중요하다. 지식은 한계가 있지만

상상은 세상의 모든 것들을 끌어 안기 때문이다.

(Albert Einstein)

169

강체의 질량 중심 (Center of mass)

강체 상 한 점 P 에 위치한 미소질량 m 의 가속도가 PA

라면, 이 질점의 운동방정식은

다음과 같이 기술할 수 있다.

PAmF

여기서 F

는 질점이 받는 힘을 나타낸다. 이제 강체에 작용하는 힘의 합을 F라 하면

dmAFdF P

--- (1)

그런데 운동학 2 점 정리에 의해

PGPGGP RRAA

)( --- (2)

(2)식을 (1)식에 대입하면,

dmRdmRAdm

dmRRAdmAF

PGPGG

PGPGGP

)( --- (3)

그러므로

GAmF

따라서 강체에 작용하는 힘의 합은 강체의 전체질량 m 에 질량중심점의 가속도 GA

를 곱한

값과 같다는 결론이 도출된다. 이는 질점에 대한 뉴톤의 운동방정식과 동일한 형태이다.

170

G

P

O

GR

PR

앞에서 유도된 대로 강체의 운동방정식이 그 질량 중심점에 대해 주어지므로 질량중심점을

구하는 방법을 알 필요가 있다. 우선 위 그림은 여러 개의 질점이 배치된 경우이다. 이 때

그 질량 중심점을 구하기 위한 공식은 다음과 같다. 원점에서 질점 i 까지의 벡터를 iR

라

하고 질량 중심점 G 까지의 벡터를 GR

라 하면

i

iiG m

RmR

만일 위 오른쪽 그림과 같이 질점이 연속적으로 분포되어 있다면

dm

dmRR

P

G

0)( dmRdmRR PGGP

면적이나 부피의 중심점을 도심이라 부르는데, 만일 질량의 밀도가 균일하게 그 면적이나

부피 상에 분포한다면 도심은 질량 중심과 일치하게 된다. 2 차원 또는 3 차원 공간에 위치

한 물체의 도심은 질량 중심과 유사하게 다음 공식으로 구할 수 있다.

dA

dARR

P

C

dV

dVRR

P

C

원, 사각형, 삼각형, 그리고 구, 직육면체 등과 같이 규칙적 형상을 가진 물체들의 경우는

그 도심을 구하는 것이 비교적 쉬우므로 균일한 질량 밀도를 갖는다면 질량 중심점도 쉽게

구할 수 있다.

171

i

j

k

R

O

P

관성 행렬 (Inertia Matrix)

강체의 질량이 부피를 따라 어떻게 분포되어 있느냐에 따라서 그 강체의 회전운동 특성은

달라지게 된다. 강체의 질량분포를 나타내는 방법 중 하나가 관성행렬을 이용하는 방법이며

관성행렬은 다음과 같이 3 3 의 크기를 갖는 대칭행렬이다.

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

O

III

III

III

I

관성행렬의 요소 값들을 결정하는 것은 기준점과 좌표계이다. 즉, 위 그림에서 O와 i , j ,

k 이다. 이들에 의해 요소들의 값은 다음 식들로 결정된다. kzjyixR ˆˆˆ

이라면,

dmzydmRiRiI xx )()ˆ()ˆ( 22

dmxzdmRjRjI yy )()ˆ()ˆ( 22

dmyxdmRkRkI zz )()ˆ()ˆ( 22

dmxydmRjRiI xy )()ˆ()ˆ(

dmyzdmRkRjI yz )()ˆ()ˆ(

dmzxdmRiRkI zx )()ˆ()ˆ(

위에서 zzyyxx III ,, 는 관성모멘트라 부르고 zxyzxy III ,, 는 관성적이라 부른다.

172

i

j

k

O

m

kcjbiaR ˆˆˆ

예제 1

그림에서 같이 질량 m 인 하나의 질점이 공간에 위치해 있을 때, 이 질점에 의한 O 점을

기준점으로 하는 관성행렬의 요소 값들을 구하라.

앞 쪽에 소개된 식들에 kcjbiaR ˆˆˆ

을 대입하면,

)( 22 cbmI xx

)( 22 acmI yy

)( 22 bamI zz

mabI xy

mbcI yz

mcaI zx

이 계산 내용은 다음 쪽에 설명될 관성행렬의 평행축정리에 유용하게 사용된다.

173

관성행렬을 위한 평행축정리

우리는 학부 2 학년 과정에서 관성모멘트의 평행축정리를 아래와 같이 배웠다. 즉,

addGO III

즉, 질량 m 인 강체의 질량중심점 G 에 대한 관성모멘트가 GI 라면 임의의 한 점인 O 에

대한 관성모멘트는 두 점 사이의 거리 d 를 이용하여 구할 수 있다는 것이며 여기서

2mdIadd

관성모멘트의 평행축정리라 불리는 위 내용은 관성행렬에 대해서도 유사하게 확장하여 적용

할 수 있는데 그 내용은 다음과 같다. 즉,

addGO III

여기서 addI 는 강체의 모든 질량이 질량중심점 G 에 한 질점으로 집중되어 있다고 할 때

그 질점의 O 점에 대한 관성행렬 값이다. 즉, 강체의 총 질량이 m 이고

kcjbiaRGOˆˆˆ

라면

)(

)(

)(

22

22

22

bammcbmca

mbcacmmba

macmabcbm

I add

행렬의 요소들이 계산되는 과정은 앞 쪽의 예제 문제를 통해 다루었다.

여기서 OI , GI , 그리고 addI 는 모두 동일한 좌표계를 사용하여 계산된 관성행렬이다.

다음에는 동일한 대상을 다른 좌표계를 사용하여 관성행렬을 계산할 때 그 결과가 어떻게

달라지는가를 살펴보도록 하자.

174

서로 다른 좌표계를 사용해 계산된 관성행렬

동일한 기준점에 대한 관성행렬을 좌표계 kji ˆ,ˆ,ˆ 에 대해 구하면 그 요소 값은 다음과

같다.

dmzydmRiRiI xx )()ˆ()ˆ( 22

dmxzdmRjRjI yy )()ˆ()ˆ( 22

dmyxdmRkRkI zz )()ˆ()ˆ( 22

dmyxdmRjRiI yx )()ˆ()ˆ(

dmzydmRkRjI zy )()ˆ()ˆ(

dmxzdmRiRkI xz )()ˆ()ˆ(

그런데 kzjyixkzjyixR ˆˆˆˆˆˆ

이므로

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( ikzijyiixx

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( jkzjjyjixy

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( kkzkjykixz

i

j

k R

O

i ˆ

jˆ

k ˆ

175

위 식에서 )ˆˆ(),ˆˆ(),ˆˆ( ikijii 등을 방향 코사인이라 부르며 그들을 요소로 갖는 다음

행렬을 방향코사인 행렬 혹은 변환행렬이라 부른다.

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

kkkjki

jkjjji

ikijii

C

이 변환행렬을 이용하면 두 좌표계에 대한 관성행렬의 관계를 다음과 같이 간단하게 나타낼

수 있다.

TCICI

위 식은 동일 기준점에 대해 그러나 서로 다른 좌표계를 이용하여 구해진 관성행렬들 간의

관계를 보여준다.

앞에서 우리는 동일 좌표계에 대해서 그러나 서로 다른 기준점에 대한 관성행렬을 구하는

평행축정리를 배웠다. 그러므로 이제 우리는 기준점이 변하고 좌표계가 변하더라도 그에

해당하는 관성행렬을 구할 수 있다.

주관성모멘트와 주관성축

어떤 좌표계를 이용하여 관성행렬을 구했을 때, 그 행렬의 비대각 요소인 관성적들의 값이

모두 0 이라면 그 때 구해진 관성모멘트들의 값을 주관성모멘트라 하고 좌표계의 세 방향을

주관성축이라 부른다. 이들을 구하는 방법은 다음과 같은 고유치 문제가 된다. 즉, 임의의

좌표계 kji ˆ,ˆ,ˆ 를 이용하여 구한 관성행렬을 I 라 하면, 다음 문제에서 구해진 고유치가

주관성모멘트이며 그 때 구해진 고유벡터가 주관성축의 방향을 결정한다.

xxI

여기서는 이 고유치 문제에 대한 더 상세한 언급은 하지 않으려 한다.

176

관성력과 달랑베르 원리

평면운동을 하는 강체의 운동방정식은 다음 두 식으로 주어진다.

G

n

ii amF

1

Gn

ii IM

1

이 두 식을 뉴톤-오일러 방정식이라 부른다. 그런데 G

n amF

1 그리고

Gn IM 1

라고 정의하면

01

1

n

iiF

01

1

n

iiM

결국 원래의 운동방정식이 정적 평형방정식으로 변환된 것과 같은데, 이러한 변환을 통해

얻어진 방정식을 달랑베르 원리라고 한다. 달랑베르 원리는 Gam

와 GI 를 하나의

힘과 토크로 생각함으로써 가능해지는데 이 가상적인 힘과 토크를 각각 관성력 그리고 관성

토크라 부른다.

본 장에서는 14 장과 달리 운동을 하는 기구에 발생하는 힘 또는 모멘트를 구하게 되지만,

그 힘 또는 모멘트들을 구할 때는 14 장에서 사용한 방법을 그대로 사용할 수 있다. 단지

운동을 하는 경우는 추가로 관성력과 관성토크를 더 고려하면 된다. 그런데 기구의 해석 시

관성력과 관성토크는 합하여 하나의 힘으로 치환될 수도 있다. 아래의 그림은 그 예를 보여

주고 있다.

즉 관성토크를 관성력과 같은 크기를 갖는 힘으로 이루어진 커플로 치환을 하면 그 커플 중

아래 힘은 원래의 관성력과 상쇄가 되므로 위에 위치한 관성력만 남게 되는 것이다. 커플을

구성하는 힘 간의 거리 h 는 다음과 같이 구해진다.

G

G

mA

Ih

177

A

VOB

AOA ,

nBAA t

BAA

B G

예제 1

문제) 위 그림의 현재 상태에서 슬라이더 A 의 속도가 일정하게 sftVA /6.12 가 되도록

힘 AF 를 구하라. 이 문제에서 슬라이더 A와 B 의 질량은 무시한다.

풀이)

우선, 속도 다각형을 그린다. 속도 다각형으로부터

BA

BA

R

V3

23BA

nBA RA

이 결과를 이용하여 가속도 다각형을 그린다. 이에 근거하여 링크 3 의 각가속도는 다음과

같이 결정된다.

BA

tBA

R

A3

tBABA AR ˆˆˆ3 (시계방향)

이제 링크 3 에 걸리는 관성력과 (우측방향) 관성토크를 (반시계방향) 하나의 힘으로 치환

하기 위해서 h 를 구하면,

G

G

Am

Ih

3

33

이제 마지막으로 링크 3의 힘 해석을 도해적 방법으로 수행한다.

178

위 그림에서 힘을 구하는 순서는 다음과 같다. 먼저 GAm

의 크기에서 14F

를 모멘트

평형식을 이용하여 구한다. 다음에는 이 두 힘을 합친 힘이 AF

와 12F

를 합친 힘과

평형을 이룬다는 사실에서 AF

와 12F

를 구할 수 있다.

AF

12F

14F

hGAm

네 힘이 합친 작용선

179

예제 2

문제) 모든 기하학적 운동관련 정보는 주어졌다고 가정하고 링크 사이에 작용하는 구속력과

구동 토크의 값을 구하라.

해석적 풀이)

각 링크의 자유물체도에 근거해서 운동방정식을 유도한다.

1) 링크 2

0)(2232122 Gi AmFFF

0)( 21232 222

GAOO IMFRM

2) 링크 3

0)(3343233 Gi AmFFF

0)( 4333 333 FRIAmRM BAGGAGA

3) 링크 4

0)(4434144 GCi AmFFFF

0)( 3444 4444444 FRFRIAmRM BOCCOGGOGO

4) 작용-반작용

2332 FF

4334 FF

미지수 13 개 식 13 개

180

f

중첩의 원리

중첩의 원리는 선형 시스템에만 성립하는 것으로 원인과 결과 사이에 선형적인 관계가 성립

한다는 것이다. 예를 들어서 위와 같은 외팔보 자유단에 힘 f 가 가해질 때 의 변위가

발생한다면 그들 사이의 관계가 선형적이라면 다음과 같이 표시할 수 있다.

)( fL

그런데 11 )( fL 이고 22 )( fL 라면

2121 )( ffL

이러한 특성은 그러나 비선형 시스템에는 성립하지 않는다. 예를 들어 3kxf 으로 힘과

변위관계가 주어지는 비선형 스프링이 있다면

3

2132

3121 )( xxkkxkxff

인간의 지각 능력은 중첩의 원리에 근거하므로 선형적으로 성립하는 자연현상에 대해서는

경험이 쌓이면 시간이 지날수록 예측 능력이 발전할 수 있으나 비선형적인 현상에 대해서는

아무리 많은 경험이 쌓인다 할지라도 전혀 예측 능력이 발전하지 않는다. 물론 비선형적인

현상들도 수학적 모델을 통해 예측이 가능하나 우리 인간의 지각능력은 그 결과를 예측하지

못한다. 대표적인 비선형 현상은 기후나 주가 같은 것들이 있으며 역학적으로는 소성역학

또는 비선형 진동이 그 범주에 속한다.

기구 하중 해석에 중첩의 원리를 적용하는 방법

1. 운동 해석을 수행하여 각 링크의 각속도와 각가속도 등의 정보와 질량 중심 위치

등을 알아낸다.

2. 부하로 가해지는 힘이나 토크를 고려하여 정적 평형 해석을 수행한다. 이 해석의

결과는 각 링크에 작용하는 압력과 구속력의 방향 및 크기이다.

3. 단계 1 의 결과와 각 링크의 질량 및 관성모멘트를 이용하여 관성력과 관성 토크를

구한다. 2 번에서 사용된 부하 대신에 관성력과 관성 토크를 부하로 이용하여 정적

평형 해석을 수행한다.

4. 단계 2 의 결과와 단계 3 의 결과를 중첩한다.

181

예제 3

문제) 기하 운동학적 정보가 모두 주어졌을 때 위 4 절 기구에 작용하는 구속력을 포함한

모든 힘들을 구하라.

도해적 풀이)

1) 링크 4

182

위 그림에서 (a)는 링크 4 의 관성력에 의해서만 초래되는 하중을 구한 것이고 (b)는 아무

하중이 작용하지 않을 때 발생하는 하중이며, (c)는 CF 에 의해 발생하는 하중 해석 결과

이다. 세 경우의 결과를 중첩의 원리를 이용하여 더하면 총 하중을 구할 수 있다. 그런데

위에서 (a)와 (c)의 경우는 그 크기가 모두 결정되나 (b)의 경우는 그 크기를 알 수 없다.

따라서 다른 링크들의 분석을 통해 결정되어야 한다. 아래 그림은 링크 3 의 분석 내용을

보여준다.

2) 링크 3

위 그림에서 (b)의 경우가 링크 3 의 관성력과 관성토크를 고려한 경우이며, 나머지 (a)와

(c)의 경우는 단순히 축 방향으로 두 개의 힘이 작용한다. 여기서 (b)의 경우에 모든 힘들

의 크기가 결정되므로 링크 4 의 (b)의 경우에 결정되지 않았던 힘이 결정되게 된다. 그러

므로 이제 모든 힘들을 중첩의 원리에 의해 구할 수 있다. 예를 들어,

23232323 FFFF

183

r

nt

O

G

3) 링크 2

이제 앞에서 23F

이 결정되었으므로 2332 FF

그러므로

233212 FFF

32212 FhM

고정 점에 대한 회전운동

운동방정식에서

GAmF

GG IM

OG

G

GO

IkmrI

nrtrmnrkI

FrMM

ˆ)(

ˆˆˆˆ

2

2

따라서 다음 형태의 달랑베르 원리를 적용할 수 있다.

0

OO IM

184

O

G

Gr

b

타격 중심 (Center of Percussion)

충격량-운동량 원리에 의해 O점에 아무 반발이 없으므로

Gmv

G 점에 대한 각 충격량을 라 하면

b

따라서

GGG bmrmbvbI

그러므로

GG mbrI

관성 반경을 Gk 라 하면, 2G

G mkI , 그러므로

G

G

r

kb

2

185

12F

14F

*4F

*3F

*2F

요동 하중 및 모멘트 (Shaking Forces and Moments)

링크 2, 3, 4 로 구성된 시스템의 자유물체도를 그리면, 위 5 개의 힘이 서로 평형을 이루고

있다. 따라서

12F

+ 14F

+*

2F

+*

3F

+*

4F

=0

따라서 기반 링크에 전달되는 힘의 합은 (이를 요동 하중이라 부름)

sF= 12F

+ 14F

=-(*

2F

+*

3F

+*

4F

)

이 관성력들과 관성 토크들이 발생시키는 모멘트의 합은 (이 때, 모멘트를 정의하기 위한

기준점을 어디에 정하느냐에 따라 결과가 달라진다)

**iiGs TFrM

i

186

복소 대수 방법

본 절에서 소개되는 방법은 다음 절차를 따라 해석이 진행된다.

1. 운동 해석을 수행한다.

2. 각 링크에 대해 자유물체도를 그린다.

3. 각 링크에 대해 동적 힘 방정식을 기술한다.

4. 각 입력 각도에 따라 다음 값들을 계산한다.

(a) 움직이는 링크의 축방향과 횡방향의 힘

(b) 지반 베어링에 걸리는 하중 성분

(c) 관성 토크

(d) 지반에 걸리는 요동 모멘트

위 그림의 예제를 이용하여 위 방법을 설명하기로 하자.

우선 운동해석 부분은 앞에서 배운 3 장과 4 장 내용을 이용하여 수행할 수 잇다. 다만 그

값들을 복소수를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.

2

22

2

2 2222

jyG

xG

jG ejAAejlA

3

33

32

3 32332

222

jyG

xG

jjG ejAAejlejrA

2

44

4

4 4244

jyG

xG

jG ejAAejlA

187

위 그림은 4개 링크들의 자유물체도를 나타낸다. 이제 각각에 대해 운동방정식을 기술하면

먼저 링크 2에 대해서, 병진운동방정식은

2

22

2232123212 )()( jy

GxG

jyyxx ejAAmeFFjFF --- (1)

2O 에 대한 회전운동방정식은

22222322 )(

2lmITFr G

y --- (2)

링크 3 에 대한 병진운동 방정식은

3

33

3343234323 )()( jy

GxG

jyyxx ejAAmeFFjFF --- (3)

3G 에 대한 회전운동방정식은

32334333 3)( G

yy IFlFlr --- (4)

마지막으로 링크 4 에 대한 병진운동방정식은

4

44

4434143414 )()( jy

GxG

jyyxx ejAAmeFFjFF --- (5)

4O 에 대한 회전운동방정식은

4244344 )(

4lmIFr G

y --- (6)

188

이제 작용-반작용 관련 식을 기술하면 다음과 같다.

0)()( 2332322323 jyxjyx ejFFejFF --- (7)

0)()( 4334344343 jyxjyx ejFFejFF --- (8)

0)()( 2112122121 jyxjyx ejFFejFF --- (9)

0)()( 4114144141 jyxjyx ejFFejFF --- (10)

이상에서 식 13 개와 2T 를 포함한 미지수 13 개로 이루어진 문제이므로 풀이가 가능하다.