Aleksandar Karakas

Lebensversicherungsmathematik mitMathematica

Bachelorarbeit

Technische Universitat Graz

Institut fur Analysis und Computational Number TheoryLeiter: O.Univ.-Prof. Dr.phil. Robert Tichy

Betreuer: Hans-Peter Schrei

Graz, Oktober 2013

This document is set in Palatino, compiled with pdfLATEX2e and Biber.

The LATEX template from Karl Voit is based on KOMA script and can befound online: https://github.com/novoid/LaTeX-KOMA-template

Eidesstattliche Erklarung1

Ich erklare an Eides statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbststandigverfasst, andere als die angegebenen Quellen/Hilfsmittel nicht benutzt, unddie den benutzten Quellen wortlich und inhaltlich entnommenen Stellen alssolche kenntlich gemacht habe.

Graz, am

Datum Unterschrift

1Beschluss der Curricula-Kommission fur Bachelor-, Master- und Diplomstudien vom10.11.2008; Genehmigung des Senates am 1.12.2008

iii

Abstract

This thesis gives a short theoretical overview of life insurance mathematicsand describes the functionality and usage of the Mathematica packageRandInsure. This software was developed within the scope of this thesisand solves common problems in life insurance mathematics symbolically.The usage of this package is not restricted to insurances of one life and canhandle computations involving an arbitrary number of insured.

iv

Inhaltsverzeichnis

Abstract iv

1. Einleitung 1

2. Elementare Versicherungsmathematik 32.1. Sterbetafeln und daraus ableitbare Großen . . . . . . . . . . . 3

2.2. Versicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1. Eine einfache Todesfallversicherung . . . . . . . . . . . 5

2.2.2. Allgemeine Todesfallversicherungen . . . . . . . . . . . 6

2.2.3. Weitere Versicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Nettopramien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Versicherungen mehrerer Leben 83.1. Der Zustand verbundener Leben . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. Der Zustand des letzten Lebens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3. Der allgemeine symmetrische Zustand . . . . . . . . . . . . . 11

4. Zusammenfassung 15

A. Installieren von RandInsure 17

B. Dokumentation von RandInsure 20B.1. Dokumentation fur Anwender . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

B.2. Dokumentation fur Entwickler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Literatur 24

v

Abbildungsverzeichnis

A.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

A.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

B.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

B.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

vi

1. Einleitung

Seit dem Jahr 2000 stiegen die weltweiten jahrlichen Beitragseinnahmenim Bereich der Lebensversicherungen um ca. 69 % auf $ 2,62 Billionen imJahr 2012 an. Auch Unfall- und Krankenversicherungsbeitrage weisen ei-ne ahnliche Entwicklung auf. Jedoch generierten diese beiden Versiche-rungstypen zusammen seit 1987 jedes Jahr weniger Pramieneinnahmenals Lebensversicherungen.1 Angesichts dieser bedeutenden Stellung derLebensversicherungen wird die Notwendigkeit zuverlassiger Software zurKalkulation von Pramien und damit zusammenhangenden Großen deut-lich.

Bereits 1994 wurde an der Technischen Universitat Graz eine Softwareveroffentlicht, die die Berechnung von lebensversicherungsmathematischenGroßen auf symbolische Art und Weise ermoglicht. Auch Pensions– undKrankenversicherungen zahlen zum Einsatzgebiet dieses Programms, dasals Maple–Package realisiert wurde.2 Im Jahr 1999 wurde die Software umeine Komponente zur stochastischen Zinsmodellierung erweitert und erhieltden Namen RandInsure.3

Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein Package geschrieben, dass eine ahnlicheFunktionalitat fur das CAS Mathematica zur Verfugung stellen soll; es sollden Namen des Maple-Packages erben. Dennoch ist es keine exakte Kopiedes Maple-Pakets, das vorwiegend prozedural implementiert wurde. Statt-dessen wurde der Kern des Programms Regel–basiert4 umgesetzt. Auch dieTatsache, dass funktionale Programmierung5 in Mathematica meist perfor-

1Vgl. Swiss Re, 2013.2Vgl. Aschenwald, 1994; Aschenwald, Siegl und Tichy, 1996.3Vgl. Predota, 1999.4Vgl. Wagner, 1996, 141 ff.5Vgl. ebd., 97 ff.

1

1. Einleitung

manter6 ist als prozedurale Programmierung, wurde berucksichtigt. Weiterswurden die von Mathematica gebotenen Dokumentationsmoglichkeitengenutzt. Dies soll sowohl die Nutzung als auch die Weiterentwicklung desProgramms erleichtern.

Der Funktionsumfang von RandInsure ist in der ersten Version auf lebens-versicherungsmathematische Berechnungen beschrankt. Diese sollen in denfolgenden Kapiteln naher vorgestellt werden. Kapitel 2 gibt dazu eineEinfuhrung in die elementare Lebensversicherungsmathematik und de-monstriert die Umsetzung einiger Berechnungen mit RandInsure. In Kapitel3 wird die Theorie im Zusammenhang mit Versicherungen mehrerer Lebenkurz dargestellt. Auch in diesem Kapitel werden die Einsatzmoglichkeitenvon RandInsure aufgezeigt. Kapitel 4 beinhaltet eine Zusammenfassung undliefert einen Ausblick auf etwaige zukunftige Versionen dieser Software.Eine Installationsanweisung des Mathematica-Packages ist in Anhang A zufinden. Anhang B enthalt Informationen zum Dokumentationssystem vonRandInsure.

6Vgl. Wagner, 1996, S. 299.

2

2. ElementareVersicherungsmathematik

Dieses Kapitel dient der Einfuhrung einiger wichtiger lebensversicherungs-mathematischer Begriffe. Es werden auch Moglichkeiten aufgezeigt, diedefinierten Großen in Mathematica mit dem Package RandInsure zu berech-nen.

2.1. Sterbetafeln und daraus ableitbare Großen1

Als Ausgangspunkt fur die folgenden Definitionen soll der Begriff derSterbetafel dienen. Eine Sterbetafel enthalt fur x ∈ {0, 1, . . . , ω} empirischgewonnene Wahrscheinlichkeiten, dass eine x–jahrige Person das Alter x + 1nicht erreicht, wobei ω das angenommene Hochstalter bezeichnet. DerartigeWahrscheinlichkeiten werden Sterbewahrscheinlichkeiten genannt und mitdem Symbol qx abgekurzt.

Mit Hilfe der Sterbewahrscheinlichkeiten kann – ausgehend von 100.000

0-jahrigen Personen – die Anzahl von x-jahrigen Personen lx modelliertwerden. Es gilt somit lx := l0 ·∏x−1

i=0 (1− qi) mit l0 := 100.000. Weiters seidx := lx − lx+1.

Uber px := 1 − qx sind die einjahrigen Uberlebenswahrscheinlichkeitendefiniert. Es gilt auch die Beziehung px = lx+1

lx. Fur mehrjahrige Uberlebens-

wahrscheinlichkeiten t px := ∏t−1k=0 px+k gilt analog t px = lx+t

lx.

1Vgl. Gerber, 1986, S. 16–22 und 114.

3

2. Elementare Versicherungsmathematik

In RandInsure wird q80 beispielsweise durch qx[80] reprasentiert. Fur dieGroßen p80, 5p80, l80 und d80 werden die Befehle px[80], tpx[5,80], lx[80] und dx[80] verwendet. Zu beachten ist, dass die Ausfuhrung einesdieser Befehle keinen numerischen Ausdruck liefert. Stattdessen bleibendie Ausdrucke unausgewertet, solange der Benutzer keine entsprechendeFunktion aufruft. Dies entspricht nicht dem Standardverhalten eingebau-ter Mathematica–Befehle2, gibt dem Anwender jedoch ein Hochstmaß anKontrolle uber den Auswertungsprozess. Die Auswertungsfunktionen sindinsertDefinitions und insertNumbers. Ihr Einsatz soll anhand eines klei-nen Beispiels demonstriert werden.

Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein 80–jahriger die nachsten funfJahre uberlebt. Werden die Auswertungsfunktionen auf tpx[5,80] an-gewandt – also insertDefinitions@tpx[5,80] bzw. insertNumbers@tpx

[5,80] – kommt als Ergebnis lx[85]lx[80] bzw. 0.670745 zum Vorschein. Das

erste Resultat zeigt, wie der ausgewertete Ausdruck in RandInsure definiertist. Beim zweiten Ergebnis wurden zusatzlich die Informationen aus derSterbetafel eingesetzt. Die Sterbetafeln sind bei RandInsure in der DateiLifeTable.dat (im Dateibaum in Abbildung B.2 zu sehen) gespeichert. DieDaten stammen von Statistik Austria und beziehen sich auf das Jahr 2011.3

Der Wert von 0.670745 bezieht sich auf die Sterbetafel fur Manner. Fur einentsprechendes Ergebnis fur Frauen benotigt insertNumbers den Namender zu verwendenden Sterbetafel als zweites Argument.4 insertNumbers[

tpx[5,80],"F"] liefert 0.770018 als Ergebnis. Dass Versicherungestarife inder eu geschlechtsunabhangig5 gestaltet werden mussen, sei hier nur amRande bemerkt.

2Vgl. Wagner, 1996, 185 ff.3Vgl. Statistik Austria, 2013.4Die Namen der Sterbetafeln in LifeTable.dat sind ”M“ fur Manner und ”F“ fur Frauen.5Vgl. apa, 2011.

4

2. Elementare Versicherungsmathematik

2.2. Versicherungen

2.2.1. Eine einfache Todesfallversicherung6

Mit Hilfe der bisher eingefuhrten Symbole und des Abzinsungsfaktors vlassen sich verschiedene Versicherungen bewerten. Eine Todesfallversiche-rung zahle eine Geldeinheit am Ende des Jahres, in dem der Versichertestirbt. Der erwartete Barwert – auch Nettoeinmalpramie (nep) genannt –einer solchen Versicherung betragt

Ax := E[vK+1] =∞

∑k=0

vk+1k px qx+k.

Dabei bezeichnet die Zufallsvariable K die Anzahl der Jahre, die der Versi-cherte noch leben wird.

In RandInsure wird die nep einer Todesfallversicherung mit Ax dargestellt.Somit kann die nep fur einen 94–Jahrigen wie folgt berechnet werden.

In[1]:= insertNumbers@Ax[94]

Out[1]=0.000145867(1566.99v95+1620.9v96+3667.68v97)

v94

Der Wert des Abzinsungsfaktors kann dabei mit der in Mathematica einge-bauten Funktion ReplaceAll (/.) eingesetzt werden. Der folgende Befehlersetzt v im letzten Output durch 1

1,03 .

In[2]:= % /. v- >(1/1.03)

Out[2]= 0.934372

Wie Ax in RandInsure definiert ist, zeigt das folgende Beispiel.

In[3]:= insertDefinitions@Ax[94]

Out[3]=v95dx[94]+v96dx[95]+v97dx[96]

v94lx[94]

Anhand dieses Beispiels kann auch gezeigt werden, inwieweit der Benutzerin den Auswertungsprozess von insertDefinitions eingreifen kann. Das

6Vgl. Gerber, 1986, S. 24.

5

2. Elementare Versicherungsmathematik

eben genannte Resultat spiegelt namlich nicht die direkte Definition vonAx[94] in RandInsure wider. Es ist vielmehr das Ergebnis von mehrerenhintereinander ausgefuhrten Ersetzungen, die so lange ausgefuhrt werden,bis keine Ersetzungsregeln mehr anwendbar sind. Wird nur ein Substitu-tionsschritt gewunscht, kann dies durch die Angabe der auszutauschen-den Symbole realisiert werden. So gibt beispielsweise insertDefinitions

[Ax[94],Ax] den Ausdruck Mx[94]Dx[94] zuruck, der die Kommutationszahlen7

Dx := vxlx und Mx := vx+1dx + vx+2dx+1 + . . . enthalt. Sollen neben Ax

auch Mx und Dx durch ihre jeweiligen Definitionen ersetzt werden, so wurdeder entsprechende Befehl insertDefinitions[Ax[94],Ax,Mx,Dx] lauten.

RandInsure bietet mit useCommNum eine Funktion, die den Substitutionspro-zess teilweise umkehrt. Angewandt auf insertDefinitions@Ax[94] liefertdiese Funktion beispielsweise Mx[94]

Dx[94] .

2.2.2. Allgemeine Todesfallversicherungen8

Die nep kann auch fur Versicherungen berechnet werden, deren Auszah-lungshohe vom Auszahlungszeitpunkt abhangt. Zu diesem Zweck kanndie Auszahlungsstruktur in Form einer Liste an Ax ubergeben werden. Diesdeckt auch die Spezialfalle, wie Versicherungen vom Typ ”standard increa-sing“9 oder ”standard decreasing“10, ab. Der erste dieser Spezialfalle wirdz.B. fur einen 50–Jahrigen mittels

In[4]:= x = 50;

Ax[x, Range [\[ Omega ]+1-x]

umgesetzt. Dabei erspart der Range–Befehl die Schreibarbeit fur die Liste{1, 2, . . . , ω + 1− x}.

7Vgl. Gerber, 1986, 115 f.8Vgl. ebd., S. 28–32.9Vgl. ebd., S. 30.

10Vgl. ebd.

6

2. Elementare Versicherungsmathematik

2.2.3. Weitere Versicherungen

Weitere von RandInsure unterstutzte Versicherungstypen umfassen tem-porare Todesfallversicherungen, Erlebensfallversicherungen und gemischteVersicherungen. Diese werden in der vorliegenden Arbeit nicht besprochen.Fur diese Arten von Versicherungen sei auf die Literatur11 bzw. auf dasHilfesystem von RandInsure12 verwiesen.

2.3. Leibrenten13

”Eine Leibrente besteht aus einer Reihe von Zahlungen, die gemacht werden,solange eine bestimmte Person [. . . ] lebt.“14 Betragt die Hohe der Leibrente1 und wird dieser Betrag jahrlich vorschussig ausbezahlt, so ergibt sich furden erwarteten Barwert ax := E[∑K

k=0 vk] = ∑∞k=0 vk

k px. In RandInsure wirddiese nep durch ax (mit dem Anfangsalter als Argument) symbolisiert.

Wie bei den Versicherungen gibt es bei Leibrenten eine zeitlich beschrankteVariante. Sie wird in RandInsure durch axn reprasentiert. Dieser Befehl erhaltals erstes Argument das Anfangsalter, wahrend das zweite Argument diemaximale Dauer der Rente angibt.

2.4. Nettopramien

Mit RandInsure konnen nicht nur Nettoeinmalpramien kalkuliert werden.Auch jahrlich zu zahlende Nettopramien lassen sich berechnen. Sie sollenhier jedoch nicht naher besprochen werden. Weitere Informationen findensich z.B. bei Gerber15 bzw. in der RandInsure–Hilfe16.

11Vgl. Gerber, 1986, S. 25 f.12Vgl. Anhang B.1 auf Seite 20.13Vgl. Gerber, 1986, S. 35 f.14Ebd., S. 35.15Vgl. ebd., S. 48–54.16Vgl. Anhang B.1 auf Seite 20.

7

3. Versicherungen mehrerer Leben

Im vorangegangenen Kapitel war der Zeitpunkt der Versicherungsleistungbzw. die Dauer einer Leibrente eindeutig uber den Zeitpunkt des Ablebensdes Versicherten definiert. Mit anderen Worten, die Versicherungsleistungwurde dann fallig, nachdem der Zustand eines lebenden Versicherten er-losch bzw. die Leibrente erfolgte, solange dieser Zustand aufrecht war. ImFalle mehrerer Versicherter kann dieser Zustand, uber den die Auszah-lungsfunktionen von Versicherungen und Leibrenten definiert sind, aufverschiedene Arten festgesetzt werden:

• Der Zustand verbundener Leben (intakt, solange alle Versichertenleben)• Der Zustand des letzten Lebens (intakt, solange mindestens ein Versi-

cherter lebt)• Der allgemeine symmetrische Zustand (intakt, solange eine bestimmte

Anzahl (exakt oder mindestens) an Versicherten lebt)

In den folgenden Abschnitten werden diese drei Definitionsmoglichkeitenbesprochen. Dabei wird stets angenommen, dass die zukunftigen Lebens-dauern der Versicherten unabhangig sind.

3.1. Der Zustand verbundener Leben1

Lebensversicherungsmathematische Großen erhielten in Kapitel 2 das Alterdes Versicherten als Index. Damit wurde der Zustand angedeutet, von demdas indizierte Symbol abhangt. Im Falle m verbundener Leben, in dem derZustand als erloschen gilt, sobald der erste Versicherte stirbt, lautet der Index

1Vgl. Gerber, 1986, S. 80 f.

8

3. Versicherungen mehrerer Leben

”x1 : x2 : . . . : xm“. Dabei bezeichnet xi fur i ∈ {1, 2, . . . , m} das Anfangsalterdes i–ten Versicherten. Aufgrund der angenommen Unabhangigkeit derzukunftigen Lebensdauern ergibt sich beispielsweise fur die t–jahrige Uber-lebenswahrscheinlichkeit t px1:x2:...:xm = ∏m

k=1 t pxk .

Fur die nep von Leibrenten und Todesfallversicherungen ergeben sich dieBeziehungen

ax1:x2:...:xm =∞

∑k=1

vkk px1:x2:...:xm bzw.

Ax1:x2:...:xm =∞

∑k=1

vk+1k px1:x2:...:xm qx1+k:x2+k:...:xm+k.

Die in Kapitel 2 vorgestellten RandInsure–Befehle bleiben auch im Fallverbundener Leben gultig. Die einzige Anderung bezieht sich auf das Argu-ment, das das Alter eines Versicherten angibt. Da nun mehrere Personenversichert sind, werden ihre Anfangsalter in Form einer Liste ubergeben.Als Beispiel diene die zweijahrige Uberlebenswahrscheinlichkeit dreier Per-sonen mit den Altern 92, 88 und 91. Mit insertDefinitions kann die obenangegebene Beziehung reproduziert werden.

In[1]:= insertDefinitions[tpx[2,{92,88,91}], tpx]

Out[1]= tpx[2,88,id ->2] tpx[2,91,id ->3] tpx[2,92,id ->1]

Jeder Faktor wird mittels id–Option eindeutig einem der drei Versichertenzugewiesen. Dies ist dann wichtig, wenn fur die Versicherten verschiedeneSterbetafeln zum Einsatz kommen sollen.

3.2. Der Zustand des letzten Lebens2

Falls der Zustand als intakt erachtet wird, solange mindestens ein Versi-cherter lebt, wird x1 : x2 : . . . : xm als Index verwendet. Es soll nun gezeigtwerden, dass sich der Zustand des letzten Lebens auf jenen verbundenerLeben zuruckfuhren lasst.

2Vgl. Gerber, 1986, S. 82–84.

9

3. Versicherungen mehrerer Leben

Fur die t–jahrige Uberlebenswahrscheinlichkeit gilt

t px1:x2:...:xm = P(B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bm),

wobei Bi fur i ∈ {1, 2, . . . , m} das Ereignis bezeichnet, dass der i–te Ver-sicherte t Jahre uberlebt. Nun ist ist die Anwendbarkeit der Inklusions-Exklusions-Formel ersichtlich. Es gilt somit

t px1:x2:...:xm = St1 − St

2 + St3 − · · ·+ (−1)m−1St

m

mit Stk := ∑ t pxj1

:xj2 :...:xjk, wobei uber alle (m

k ) Moglichkeiten summiertwird.

Daraus kann nun die Beziehung

ax1:x2:...:xm = Sa1 − Sa

2 + Sa3 − · · ·+ (−1)m−1Sa

m

mit Sak := ∑ axj1

:xj2 :...:xjkgewonnen werden. Mit SA

k := ∑ Axj1:xj2 :...:xjk

giltauch

Ax1:x2:...:xm = SA1 − SA

2 + SA3 − · · ·+ (−1)m−1SA

m.

In RandInsure wird der Zustand des letzten Lebens durch 1 als letztesArgument angezeigt. Dieses Argument soll verdeutlichen, dass der Zustandintakt ist, solange mindestens ein Versicherter am Leben ist. Beispielsweisestellt

In[2]:= insertDefinitions[tpx[2,{92,88,91},1], tpx]

Out[2]= Stk [2 ,{92 ,88 ,91} ,1] - Stk [2 ,{92 ,88 ,91} ,2] + Stk

[2 ,{92 ,88 ,91} ,3]

die 2–jahrige Uberlebenswahrscheinlichkeit fur dieselben Versicherten wieim letzten Abschnitt symbolisch dar – dieses Mal wird das Uberleben jedochdurch den Zustand des letzten Lebens definiert. Dabei steht Stk fur dieGroße St

k, wobei t dem ersten und k dem letzten Argument entspricht.

10

3. Versicherungen mehrerer Leben

3.3. Der allgemeine symmetrische Zustand3

Der Zustand, der intakt ist, solange mindestens k der m Versicherten am Le-

ben sind, wird durch den Indexk

x1 : x2 : . . . : xm angedeutet. Ist der Zustand

nur dann intakt, falls exakt k der m Personen leben, so wird[k]

x1 : x2 : . . . : xmverwendet.

Dieser zweite Zustand kann fur k < m bei Vertragsabschluss niemals intaktsein. Dennoch erweist er sich bei der Berechnung von Uberlebenswahr-scheinlichkeiten sowie nep als wertvoll. Mit Hilfe der Formel von Schuette–Nesbitt lassen sich namlich mit diesem Zustand Großen berechnen, die anden Zustand ”mindestens k Personen leben“ gebunden sind.

Satz (Formel von Schuette–Nesbitt). Seien B1, B2, . . . , Bm beliebige Ereignisseund sei die Zufallsvariable N definiert als die Anzahl dieser Ereignisse, die ein-treffen. Dann gilt mit S0 = 1 und Sk = ∑ P(Bj1 ∩ Bj2 ∩ . . . ∩ Bjk) fur beliebigeKoeffizienten c0, c1, . . . , cm

m

∑n=0

cnP(N = n) =m

∑k=0

∆kc0 Sk.

Damit ergeben sich fur Uberlebenswahrscheinlichkeiten sowie die nep

einfacher Leibrenten die Beziehungen

m

∑k=0

ck t p [k]x1:x2:...:xm

=m

∑j=0

∆jc0 Stj (3.1)

undm

∑k=0

ck a [k]x1:x2:...:xm

=m

∑j=0

∆jc0 Saj , (3.2)

wobei St0 = 1 und Sa

0 dem Barwert der ewigen Rente entspricht. Fur beliebigeKoeffizienten d1, d2, . . . , dm ergeben sich aus (3.1) und (3.2) durch

c0 = 0 und ck = d1 + . . . + dk (3.3)3Vgl. Gerber, 1986, S. 84–87.

11

3. Versicherungen mehrerer Leben

die Gleichungenm

∑k=1

dk t p kx1:x2:...:xm

=m

∑j=1

∆j−1d1 Stj (3.4)

undm

∑k=1

dk a kx1:x2:...:xm

=m

∑j=1

∆j−1d1 Saj . (3.5)

Mit Hilfe der Identitat 1 = dax + Ax4 (wobei mit d die Vorauszinsrate

bezeichnet wird) lasst sich eine ahnliche Beziehung auch fur die nep einerTodesfallversicherung herleiten. Somit gilt

m

∑k=1

dk A kx1:x2:...:xm

=m

∑j=1

∆j−1d1 SAj . (3.6)

Mit den Gleichungen (3.4), (3.5) und (3.6) lassen sich nun Uberlebenswahr-scheinlichkeiten sowie die nep berechnen, die vom Zustand ”mindestens kVersicherte leben“ abhangen. Falls etwa solch eine Große fur ein bestimmtesk gesucht ist, kann einfach dk = 1 und dj = 0 fur j 6= k gesetzt werden.

Ein Beispiel soll demonstrieren, wie Probleme mit dem allgemeinen sym-metrischen Zustand mit RandInsure gelost werden. Sei dazu die nep einerLeibrente fur eine Gruppe von vier Personen zu bestimmen. Diese Personenseien 50, 73, 68 bzw. 45 Jahre alt. Die Leibrente soll derart gestaltet sein,dass die Auszahlungshohe von der Anzahl der lebenden Personen abhangt.Die Auszahlungshohe betrage dabei

8, falls alle Personen leben,4, falls genau drei Personen leben,2, falls genau zwei Personen leben und1, falls genau eine Person lebt.

Um in RandInsure Großen anzugeben, die sich auf den Zustand exakt klebender Personen beziehen, erhalten die entsprechenden Symbole {k} alsletztes Argument. Also kann nun versucht werden, das Beispiel wie folgtzu losen.

4Vgl. Gerber, 1986, S. 36.

12

3. Versicherungen mehrerer Leben

In[3]:= insertDefinitions [8 ax[{50 ,73 ,68 ,45} ,{4}] + 4 ax

[{50 ,73 ,68 ,45} ,{3}] +

2 ax[{50 ,73 ,68 ,45} ,{2}] + ax[{50 ,73 ,68 ,45} ,{1}] , ax

]

Out[3]= 8 ax[{50 ,73,68 ,45} , {0,0,0,0,1}] +

4 ax[{50 ,73,68 ,45} , {0,0,0,1,0}] +

2 ax[{50 ,73,68 ,45} , {0,0,1,0,0}] +

ax[{50 ,73 ,68,45}, {0,1,0,0,0}]

Der Output enthalt zwar nach einem Substitutionsschritt noch immer dasSymbol ax, offenbart jedoch eine weitere Schreibweise des Befehls. So kannax auch mit einer Liste {c0,c1,...,cm} aufgerufen werden, deren Eintrageden Koeffizienten in Formel (3.2) entsprechen. Das Ergebnis eines weiterenErsetzungsschrittes zeigt zunachst noch mehr Summanden als zuvor.

In[4]:= insertDefinitions [%, ax]

Out[4]= Sak[{50 ,73 ,68 ,45} ,1] - 2 Sak[{50 ,73 ,68 ,45} ,2] +

3 Sak[{50 ,73 ,68 ,45} ,3] +

4 (Sak[{50 ,73 ,68 ,45} ,3] - 4 Sak[{50 ,73 ,68 ,45} ,4]) +

4 Sak[{50 ,73 ,68 ,45} ,4] +

2 (Sak[{50 ,73 ,68 ,45} ,2] - 3 Sak[{50 ,73 ,68 ,45} ,3] +

6 Sak[{50 ,73 ,68 ,45} ,4])

Die meisten dieser Summanden heben sich jedoch gegenseitig auf. Das zeigtz.B. ein Aufruf des Mathematica–Befehls Simplify.

In[5]:= Simplify@%

Out[5]= Sak[{50 ,73,68,45}, 1] + Sak[{50 ,73,68,45}, 3]

Ware die an Formel (3.2) angelehnte Schreibweise bereits bei der Beschrei-bung des Problems zum Einsatz gekommen, dann wurde ein Funktionsauf-ruf ausreichen, um dieses pragnante symbolische Ergebnis zu erhalten.

In[6]:= insertDefinitions[ax[{50 ,73,68 ,45} , {0,1,2,4,8}],

ax]

Out[6]= Sak[{50 ,73,68,45}, 1] + Sak[{50 ,73,68,45}, 3]

Uber (3.3) lasst sich das Beispiel in ein Problem uberfuhren, dem der Zu-stand ”mindestens k Personen leben“ zugrunde liegt. Dabei werden die

13

3. Versicherungen mehrerer Leben

Koeffizienten d1=1, d2=1, d3=2, d4=4 aus Formel (3.5) als Argumente anax ubergeben.

In[7]:= insertDefinitions[ax[{50 ,73,68 ,45} , 1,1,2,4], ax]

Out[7]= Sak[{50 ,73,68,45}, 1] + Sak[{50 ,73,68,45}, 3]

14

4. Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit bietet einen kleinen Uberblick uber die Lebensversi-cherungsmathematik und beschreibt das Mathematica–Package RandInsure.Diese Software wurde im Rahmen dieser Arbeit entwickelt und ermoglichtdas symbolische Losen vieler lebensversicherungsmathematischer Proble-me. Die Verwendung dieses Programms ist nicht auf Versicherungen einerPerson beschrankt, sondern erlaubt auch Berechnungen mit einer beliebigenAnzahl an Versicherten.

Bei der Auswertung von Ausdrucken wird dem Anwender ein Hochstmaßan Kontrolle gegeben. Trotz der gebotenen Moglichkeiten wurde auf Benut-zerfreundlichkeit geachtet. So zeichnen sich die Befehle in RandInsure durchihre syntaktische Konsistenz aus. Daruber hinaus wird eine in Mathematicaintegrierte Dokumentation zur Verfugung gestellt.

Die jetzige Version von RandInsure eignet sich auch gut fur Erweiterungen.Die Erweiterungsfahigkeit wird dadurch gewahrleistet, dass alle Ersetzungs-regeln in einer Liste gespeichert sind. So konnen neue Substitutionsregelneinfach hinzugefugt werden. Außerdem steht Entwicklern eine eigene Do-kumentation zur Verfugung. Um eine vergleichbare Funktionalitat wie dasgleichnamige Maple–Package zu erreichen, konnten Weiterentwicklungenz.B. das Einsatzgebiet von RandInsure auf Kranken– und Pensonsversicherun-gen ausweiten oder eine stochastische Zinsmodellierung in das Programmintegrieren.

15

Appendix

16

Anhang A.

Installieren von RandInsure

Die Installation setzt eine gultige Mathematica-Lizenz voraus. Da RandInsuremit Mathematica 9 geschrieben wurde, wird diese Version zum Einsatz desPackages empfohlen.

Die Software liegt im ZIP-Dateiformat vor. Um RandInsure zu installie-ren, muss lediglich der Inhalt des Archivs (Ordner namens RandInsure) ineinen bestimmten Ordner kopiert werden. Der Speicherort wird dabei vonMathematica ausgegeben, wenn der Befehl

In[1]:= FileNameJoin [{ $UserBaseDirectory ,"Applications"}]

ausgefuhrt wird.

Wenn der Ordner ”RandInsure“ am angegebenen Pfad gespeichert wurdeund Mathematica neu gestartet wurde, kann das Package in der Liste derinsatllierten Add-Ons gefunden werden. Diese ist uber das DocumentationCenter (Menu Hilfe � Documentation Center) zuganglich (siehe Abbil-dung A.1).

In der Liste der installierten Add-Ons kann RandInsure uber einen entspre-chenden Button (siehe Abbildung A.2) geladen werden und ist ab diesemZeitpunkt einsatzbereit.

Das Laden des Packages ist auch in einem Mathematica-Notebook moglich.Zu diesem Zweck kann der folgende Befehl ausgefuhrt werden.

In[2]:= <<RandInsure`

17

Anhang A. Installieren von RandInsure

Abbildung A.1.: Mathematicas Documentation Center.

18

Anhang A. Installieren von RandInsure

Abbildung A.2.: RandInsure in der Liste der installierten Add-Ons.

19

Anhang B.

Dokumentation von RandInsure

B.1. Dokumentation fur Anwender

Die zentrale Hilfeseite von RandInsure erreicht der Benutzer mit der TasteF1 wahrend sich der Cursor im Wort ”RandInsure“ oder an dessen Endebefindet. Also fuhrt das Tippen von ”RandInsure“ mit einem darauffolgendenTastendruck auf F1 zu dieser Hilfeseite. Alternativ kann ”RandInsure“ imSuchfeld des Documentation Centers eingegeben werden. Eine weitereMoglichkeit stellt der mit ”documentation“ beschriftete Button dar, der inAbbildung A.2 ersichtlich ist. Abbildung B.1 zeigt das darauf erscheinendeFenster.

Hier sind alle Symbole, die RandInsure dem Anwender zur Verfugungstellt, aufgelistet. Ein Klick auf ein Symbol fuhrt direkt zur entsprechendenHilfeseite. Im Abschnit ”Functions“ stehen die drei offentlichen Funktionenvon RandInsure. Weiter unten befinden sich alle anderen Symbole. Diese sindzunachst verborgen, da sie gruppiert sind. Sichtbar ist nur die Uberschriftjeder Gruppe sowie ein Button links davon. Mit diesem Button kann dieGruppe aufgeklappt werden, sodass alle darin enthaltenen Symbole sichtbarwerden. In Abbildung B.1 ist dies bei der Gruppe ”Net single premiums ofinsurances“ der Fall. Nun kann die gewunschte Hilfeseite mit einem Klickauf das entsprechende Symbol aufgerufen werden. Eine weitere Moglichkeit,zur Dokumentation eines bestimmten Symbols zu gelangen, ist es, denNamen des Symbols in das Suchfeld des Documentation Centers zu tippen.Das gesuchte Symbol erscheint daraufhin meist oben in der Trefferliste.

20

Anhang B. Dokumentation von RandInsure

Abbildung B.1.: Inhaltsverzeichnis der Dokumentation.

21

Anhang B. Dokumentation von RandInsure

Die Hilfeseiten der Funktionen beinhalten in erster Linie Beispiele, die dieVerwendung und Syntax des entsprechenden Befehls verdeutlichen sollen.Bei uberladenen Funktionen, die je nach Art und Anzahl der ubergebenenArgumente eine bestimmte Funktionalitat bieten, werden mehrere solcherBeispiele vorgestellt.

Bei den anderen Symbolen wird zunachst ihr Zweck dargestellt. Dabei wirdoft auch die Beziehung zu anderen Symbolen erwahnt. Im Anschluss daranwird anhand von Beispielen verdeutlicht, wie das Symbol im Kontext vonVersicherungen eines Lebens und schließlich unter dem Aspekt mehrererVersicherter verwendet wird. Den Abschluss bilden Erlauterungen uberetwaige Beschrankungen des Einsatzes.

Die Bedeutungen vieler Symbole sind eng miteinander verbunden. So stehenetwa qx und px uber die Gleichung qx = 1 − px in Beziehung. Wenndie Syntax bei derart eng miteinander in Beziehung stehenden Symbolenubereinstimmt, ist nur eines dieser Symbole ausfuhrlich dokumentiert. DieHilfeseite eines ahnlichen Symbols enthalt dann lediglich Erlauterungenuber den Zweck des Symbols sowie einen Verweis auf die ausfuhrliche Hilfe.Trotz der konsistenten Syntax innerhalb des gesamten Packages, existiertfur fast jede Gruppe auf der zentralen Hilfeseite mindestens ein Symbol miteiner ausfuhrlichen Hilfeseite.

B.2. Dokumentation fur Entwickler

RandInsure besteht im entpackten Zustand aus einem Ordner, der wiederummehrere Ordner und Dateien enthalt. Diese Ordnerstruktur ist in Abbil-dung B.2 ersichtlich. Der von Mathematica eingelesene Sourcecode befindetsich in RandInsure.m. Diese Datei sollte jedoch nicht verandert werden -sie wird bei jedem Speichern von RandInsure.nb automatisch neu generiert.Somit sollen Anderungen am Code in RandInsure.nb durchgefuhrt werden.Das nb-Dateiformat bietet den Vorteil einer ubersichtlicheren Prasentationdes Codes. So ist der Code z.B. in verschiedene Abschnitte unterteilt, dieauf Wunsch verborgen und wieder eingeblendet werden konnen. Außerdemsind auf diese Weise formatierte Kommentare und Uberschriften moglich.

22

Anhang B. Dokumentation von RandInsure

Abbildung B.2.: Dateistruktur von RandInsure.

Neben den Zusatzinformationen in RandInsure.nb bietet die Datei Developers-Guide.nb Hinweise zum Editieren des Quellcodes. Außerdem befinden sichdarin Anleitungen fur das Erstellen von Hilfeseiten sowie das Hinzufugenderselben zu Mathematicas Hilfesystem.

23

Literatur

apa (Marz 2011). Versicherungen mussen Unisex-Tarife anbieten. url: http://derstandard.at/1297819203836/EuGH-Versicherungen-muessen-

Unisex-Tarife-anbieten (besucht am 20. 10. 2013) (siehe S. 4).Aschenwald, Dieter (1994). ”Versicherungsmathematik: Eine Darstellung im

Rahmen des Software - Pakets MAPLE“. Diplomarbeit. TU Graz (sieheS. 1).

Aschenwald, Dieter, Thomas Siegl und Robert F. Tichy (1996). ”MAPin-sure—A {MAPLE} Package for Life Insurance“. In: Journal of Symbo-lic Computation 22.2, S. 227–234. issn: 0747-7171. url: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0747717196900504 (sieheS. 1).

Gerber, Hans U. (1986). Lebensversicherungsmathematik. Springer-Verlag. isbn:9783540166696 (siehe S. 3, 5–9, 11, 12).

Predota, Martin (1999). ”Symbolic Computation in der Pensions- und Kran-kenversicherungsmathematik“. Diplomarbeit. TU Graz (siehe S. 1).

Statistik Austria (2013). Jahrliche Sterbetafeln 1947 bis 2012 fur Osterreich. url:http://www.statistik.at/web_de/static/jaehrliche_sterbetafeln_

1947_bis_2012__fuer_oesterreich_022707.xlsx (besucht am 20. 10. 2013)(siehe S. 4).

Swiss Re (2013). Swiss Re Sigma-Explorer. url: http://www.sigma-explorer.com/ (besucht am 13. 10. 2013) (siehe S. 1).

Wagner, David B. (1996). Power programming with Mathematica: the Kernel.McGraw-Hill. isbn: 9780079122377 (siehe S. 1, 2, 4).

24