le triangle de pascal - le binôme de newton - une...

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

le triangle de Pascal - le binôme de Newtonune introduction

J-P SPRIET

2015

1 / 51



Plan

Voici un exposé présentant le triangle de Pascal et uneapplication au binôme de Newton.

1 Le triangle de Pascal

2 Le binôme de Newton

2 / 51



définitionpropriétéscalcul des un,k

Plan

1 Le triangle de Pascaldéfinitionpropriétéscalcul des un,k

2 Le binôme de Newton

3 / 51




On va définir une suite double d’entiers que l’on peut rangerdans un tableau

4 / 51




On va définir une suite double d’entiers que l’on peut rangerdans un tableau dont les lignes et les colonnes sontnumérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

4 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

u0,0

u1,0 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

u5,0 u5,5

4 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

u0,0

u1,0 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

u5,0 u5,5

un,k est le terme situé dans la case du tableau situé à la ligne net à la colonne k . 4 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

u0,0

u1,0 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

u5,0 u5,5

un,k est le terme situé dans la case du tableau situé à la ligne net à la colonne k . un,k n’est défini que si 0 ≤ k ≤ n. 4 / 51




La suite u des termes un,k est construite de la façon suivante :

5 / 51




La suite u des termes un,k est construite de la façon suivante :un,0 = 1 pour tout n ≥ 0 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

1 u5,5

5 / 51




La suite u des termes un,k est construite de la façon suivante :un,0 = 1 pour tout n ≥ 0 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

1 u5,5

Autrement dit, la première colonne correspondant à k = 0 n’estcomposée que de 1.

5 / 51




Puis on poursuit la construction des termes un,k de la façonsuivante :

6 / 51




Puis on poursuit la construction des termes un,k de la façonsuivante : un,n = 1 pour tout n ≥ 0 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

1 1

6 / 51




Puis on poursuit la construction des termes un,k de la façonsuivante : un,n = 1 pour tout n ≥ 0 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

1 1

Autrement dit, la première diagonale n’est composée que de 1.6 / 51




Puis on poursuit la construction des termes situés à l’intérieurdu triangle :

7 / 51




Puis on poursuit la construction des termes situés à l’intérieurdu triangle : un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que0 ≤ k < n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

.... . .

...u3,1 u3,2 . . .

...u4,2 . . .

1 1

7 / 51




Puis on poursuit la construction des termes situés à l’intérieurdu triangle : un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que0 ≤ k < n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

.... . .

...u3,1 u3,2 . . .

...u4,2 . . .

1 1

Autrement dit, la somme des deux termes des cases bleuesdonne le terme de la case rouge. 7 / 51




Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne aprèsligne le tableau :

8 / 51




Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne aprèsligne le tableau :les deux premières règles :un,0 = 1 pour tout n ≥ 0un,n = 1 pour tout n ≥ 0

8 / 51




Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne aprèsligne le tableau :les deux premières règles :un,0 = 1 pour tout n ≥ 0un,n = 1 pour tout n ≥ 0

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 18 / 51




Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne letableau :

9 / 51




Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne letableau :la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < n

9 / 51




Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne letableau :la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 1

1 1

1 1

permet de remplir la ligne correspondant à n = 2 9 / 51




la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < npermet de remplir la ligne correspondant à n = 3 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 1

1 1

1 1

10 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 1

1 1

11 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 1

1 1

12 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 1

13 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 1

14 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

et ainsi de suite...15 / 51




Quelles propriétés semble avoir ce triangle ?

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

16 / 51




Quelles propriétés semble avoir ce triangle ?

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

il n’est composé que d’entiers naturels : ∀(k ,n) ∈ N on aun,k ∈ N.

16 / 51




Chaque ligne est un palindrome : elle se lit aussi bien degauche à droite que de droite à gauche.

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

17 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Comment écrire cette relation ?17 / 51





0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Pour tout n ≥ 0 on a :

pour tout k tel que 0 ≤ k ≤ n, un,k = un,n−k . 18 / 51




Il y a bien d’autres propriétés : la somme des termes formant laligne n est égale à 2n :

n∑

k=0

un,k = 2n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 119 / 51




On voudrait maintenant trouver l’expression générale de cestermes

(nk

)sans avoir besoin de les construire ligne après ligne.

20 / 51




On voudrait maintenant trouver l’expression générale de cestermes

(nk

)sans avoir besoin de les construire ligne après ligne.

pour cela on va faire une digression sur les factorielles...

20 / 51




Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre

21 / 51





n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

21 / 51





n! = 1 × 2 × · · · × n


par exemple : 1! =

21 / 51





n! = 1 × 2 × · · · × n


par exemple : 1! = 1

21 / 51





n! = 1 × 2 × · · · × n



par exemple : 3! =

21 / 51





n! = 1 × 2 × · · · × n




21 / 51





n! = 1 × 2 × · · · × n




par exemple : 4! =

21 / 51





n! = 1 × 2 × · · · × n





21 / 51





n! = 1 × 2 × · · · × n





on remarque que 4! = 4 × 3!

21 / 51





n! = 1 × 2 × · · · × n





on remarque que 4! = 4 × 3! et de façon généralen! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 2

21 / 51




Par nécessité on impose que 0! = 1.

Ainsi, n! peut se définir par récurrence :{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

22 / 51




Par nécessité on impose que 0! = 1.

Ainsi, n! peut se définir par récurrence :{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

Ainsi puisque 1! = 1 on a bien pour n = 1 la relationn! = n × (n − 1)!.

22 / 51




{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

23 / 51




{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

On définit alors les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

23 / 51




{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1


k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


par exemple(3

2

)=

3!2! (3 − 2)!

=3!

2!× 1!=

62 × 1

= 3

23 / 51




{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1


k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


par exemple(3

2

)=

3!2! (3 − 2)!

=3!

2!× 1!=

62 × 1

= 3

par exemple(5

3

)=

5!3! (5 − 3)!

=5!

3!× 2!=

1206 × 2

= 10

23 / 51




On peut alors calculer les(

nk

)

=n!

k! (n − k)!pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

kn

(00

)

(10

) (11

)

.... . .

.... . .

(40

) (42

) (44

)

24 / 51




On peut alors calculer les(

nk

)

=n!


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

25 / 51




Il y a une forte ressemblance avec les termes de la suite(un,k )...on va montrer que ce sont en fait deux suites qui prennent lesmêmes valeurs... et on aura donc trouvé la formule généraleque l’on cherchait...

26 / 51




On a défini les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


27 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


par exemple(n

0

)=

27 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=

27 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

27 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

par exemple(n

n

)=

27 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

par exemple(n

n

)=

n!n! (n − n)!

=

27 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

par exemple(n

n

)=

n!n! (n − n)!

=n!

n!× 0!=

27 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!


par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

par exemple(n

n

)=

n!n! (n − n)!

=n!

n!× 0!=

n!n!× 1

= 1

27 / 51




On définit les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!


On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1

28 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!


On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1

On montre alors que l’on a la relation :(n

k

)+( n

k+1

)=(n+1

k+1

)pour tout n et k tels que 0 ≤ k < n

28 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!


On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1


k

)+( n

k+1

)=(n+1

k+1


démontrer cette relation !

28 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!


On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1


k

)+( n

k+1

)=(n+1

k+1


démontrer cette relation !Ce qui justifie que la suite des

(nk

)suit exactement le même

procédé de construction que la suite (un,k ).

28 / 51





k

)comme

(nk

)

=n!


On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1


k

)+( n

k+1

)=(n+1

k+1


démontrer cette relation !Ce qui justifie que la suite des

(nk

)suit exactement le même

procédé de construction que la suite (un,k ).Et donc pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n, on a

un,k =

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

28 / 51




Ainsi, plutôt que de noter un,k on préfère noter les termes(n

k

)

29 / 51





k

)

que l’on "lit" : k parmi n

29 / 51





k

)

que l’on "lit" : k parmi n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

u0,0

u1,0 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

u5,0 u5,5

devient avec ces nouvelles notations :29 / 51




Plutôt que de noter un,k on préfère noter les termes(n

k

)

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

(00

)

(10

) (11

)

.... . .

.... . .

...

(42

)

. . .(

50

) (55

)

30 / 51




On a les trois règles de construction par récurrence du triangle :

•

(n0

)

= 1 pour tout n ≥ 0

31 / 51





•

(n0

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la première

colonne

31 / 51





•

(n0

)


colonne

•

(nn

)

= 1 pour tout n ≥ 0

31 / 51





•

(n0

)


colonne

•

(nn

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la diagonale

31 / 51





•

(n0

)


colonne

•

(nn

)


•

(nk

)

+

(n

k + 1

)

=

(n + 1k + 1

)

pour tout n et k tels que

0 ≤ k < nrelation appelée formule de Pascal

31 / 51





•

(n0

)


colonne

•

(nn

)


•

(nk

)

+

(n

k + 1

)

=

(n + 1k + 1

)

pour tout n et k tels que

0 ≤ k < nrelation appelée formule de Pascal

pour remplir l’intérieur

31 / 51



définitiondémonstrations

Plan

1 Le triangle de Pascal

2 Le binôme de Newtondéfinitiondémonstrations

32 / 51




On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimantle développement de l’identité remarquable (a + b)n lorsque aet b sont deux nombres réels

33 / 51




On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimantle développement de l’identité remarquable (a + b)n lorsque aet b sont deux nombres réels (ou plus généralement deuxnombres complexes).

33 / 51





Par exemple

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

33 / 51





Par exemple

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 =

33 / 51





Par exemple

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

33 / 51




(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

34 / 51




(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 =

34 / 51




(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

34 / 51




(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 =

34 / 51




(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Quelles sont les propriétés remarquables de cesdéveloppements ?

34 / 51




Dans le développement de (a + b)n :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 =

35 / 51





(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 =

35 / 51





(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

35 / 51





(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

• Il y a une somme de termes en akbℓ avec k + ℓ =

35 / 51





(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

• Il y a une somme de termes en akbℓ avec k + ℓ = n.

35 / 51





(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

• Il y a une somme de termes en akbℓ avec k + ℓ = n. doncen akbn−k .

35 / 51





(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :


• Cette somme commence toujours par an et se finit par bn .

35 / 51





(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :


• Cette somme commence toujours par an et se finit par bn .

• Il y a un nombre entier devant chaque terme akbn−k :pour n = 2 ces entiers sont 1 / 2 / 1pour n = 3 ces entiers sont 1 / 3 / 3 / 1pour n = 4 ces entiers sont 1 / 4 / 6 / 4 / 1Ces entiers ressemblent étrangement à ceux du triangle dePascal.

35 / 51




On va donc démontrer la formule dite du binôme de Newton :

(a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

ak bn−k

36 / 51




On va donc démontrer la formule dite du binôme de Newton :

(a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

ak bn−k

cette formule semble vraie pour n = 2, n = 3 et n = 4. On peutobserver qu’elle est aussi vraie avant : pour n = 1 et n = 0.

36 / 51




La relation

(a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

ak bn−k

peut se démontrer :

- par un raisonnement prouvant une relation de récurrence

- par récurrence

- par un raisonnement ensembliste et de dénombrement

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Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrencePasser de (a + b)2 à (a + b)3 c’est d’abord développer a

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Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrencePasser de (a + b)2 à (a + b)3 c’est d’abord développer a, puis b

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Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

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On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en a3 avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour b3.

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On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en a3 avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour b3.les autres termes sont de la forme ak b3−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.

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On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en a3 avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour b3.les autres termes sont de la forme ak b3−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal,

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On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en a3 avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour b3.les autres termes sont de la forme ak b3−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal, etdonc ils sont égaux à u3,k =

(3k

)

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On peut généraliser aisément :On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en an avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour bn.

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On peut généraliser aisément :On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en an avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour bn.les autres termes sont de la forme ak bn−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.

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On peut généraliser aisément :On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en an avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour bn.les autres termes sont de la forme ak bn−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal,

41 / 51





On peut généraliser aisément :On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en an avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour bn.les autres termes sont de la forme ak bn−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal, etdonc ils sont égaux à un,k =

(nk

)

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Démonstration par récurrenceSoient a et b deux réels (ou deux complexes) fixés. Montronspar récurrence la formule du binôme de Newton :

pour tout n ∈ N, (a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

Notons Pn la propriété : (a + b)n =n∑

k=0

(nk

)

akbn−k .

• Initialisation : la propriété Pn est vraie au rang n = 0 car

(a + b)0 = 1 et que0∑

k=0

(0k

)

akb0−k =

(00

)

a0b0 = 1.

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• HéréditéSupposons la propriété Pn vraie pour un entier n et montronsalors qu’elle est vraie au rang n + 1. C’est à dire supposons

que (a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

akbn−k et montrons alors que

(a + b)n+1 =

n+1∑

k=0

(n + 1

k

)

akbn+1−k

On a (a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n = (a + b)

(n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

)

d’après l’hypothèse de récurrence.

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Alors en développant, on obtient que

S = (a + b)

(n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

)

=

a

(n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

)

+ b

(n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

)

par développement du produit

Donc S =

(n∑

k=0

(nk

)

ak+1bn−k

)

+

(n∑

k=0

(nk

)

akbn+1−k

)

par

développement de a dans la première somme et de b dans lasecondeOn pose alors, dans la première somme, le changement devariable i = k + 1, soit encore k = i − 1 et on a :

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S =

(n∑

k=0

(nk

)

ak+1bn−k

)

+

(n∑

k=0

(nk

)

akbn+1−k

)

On pose alors, dans la première somme, le changement devariable i = k + 1, soit encore k = i − 1 et on a :

n∑

k=0

(nk

)

ak+1bn−k =

n+1∑

i=1

(n

i − 1

)

aibn−(i−1) =

n+1∑

i=1

(n

i − 1

)

aibn+1−i

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Ainsi, on a donc d’après le calcul précédent :

S =n+1∑

i=1

(n

i − 1

)

aibn+1−i +

(n∑

k=0

(nk

)

akbn+1−k

)

Puis S =

((n∑

i=1

(n

i − 1

)

aibn+1−i

)

+

(nn

)

an+1b0

)

+

((n∑

k=1

(nk

)

akbn+1−k

)

+

(n0

)

a0bn+1

)

on isole les termes qui ne sont pas commun

S =

(n∑

k=1

( nk−1

)akbn+1−k +

(nk

)akbn+1−k

)

+

(nn

)

an+1b0 +(

n0

)

a0bn+1

par regroupement des deux sommes

S =

(n∑

k=1

(( nk−1

)+(n

k

))

akbn+1−k)

+ an+1 + bn+1

par factorisation dans la somme46 / 51




S =

(n∑

k=1

(( nk−1

)+(n

k

))

akbn+1−k

)

+ an+1 + bn+1

Mais alors on reconnaît la formule de Pascal :(n

k − 1

)

+

(nk

)

=

(n + 1

k

)

de sorte que S =

(n∑

k=1

(n + 1

k

)

akbn+1−k

)

+ an+1 + bn+1

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S =

(n∑

k=1

(n + 1

k

)

akbn+1−k

)

+ an+1 + bn+1

Il ne reste plus qu’à voir que an+1 =(n+1

n+1

)an+1bn+1−(n+1) et

bn+1 =(n+1

0

)a0bn+1−(0)

pour voir que les termes isolés an+1 et bn+1 peuvent êtreintégrés dans la somme pour les indices k = n + 1 et k = 0respectivement :

D’où S = (a+ b)n+1 =

n+1∑

k=0

(n + 1

k

)

akbn+1−k . Et Pn+1 est vraie.

La propriété Pn est donc héréditaire.

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• Conclusion : la propriété Pn est vraie au rang 0 et esthéréditaire. Elle est donc vraie pour tout n ∈ N :

pour tout n ∈ N, (a + b)n =n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

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Démonstration par un raisonnement ensembliste et dedénombrement

(a + b)n =

n fois︷︸︸︷

(a + b)× (a + b)× · · · × (a + b)× (a + b)il s’agit donc de prendre dans chacune des n parenthèses unterme a ou b et de les multiplier entre eux.

On a donc une somme de 2n termes, chacun est formé par desproduits de n facteurs égaux à a ou à b.

On doit alors regrouper les termes ayant autant de a et de b ;on a donc des "anagrammes" de "mots" de la forme

k fois︷︸︸︷

a × a × · · · × a×

n − k fois︷︸︸︷

b × b × · · · × b

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Or les "anagrammes" de "mots" de la formek fois

︷︸︸︷

a × a × · · · × a×


b × b × · · · × b

sont au nombre den!

k! (n − k)!. C’est à dire le coefficient du

triangle de Pascal(n

k

).

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Or les "anagrammes" de "mots" de la formek fois

︷︸︸︷

a × a × · · · × a×


b × b × · · · × b

sont au nombre den!

k! (n − k)!. C’est à dire le coefficient du

triangle de Pascal(n

k

).

Ainsi,

pour tout n ∈ N, (a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

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le triangle de pascal - le binôme de newton - une...

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