le paradoxe de banach tarski1.2 biographie de banach et de tarski 7 teitelbaum, en 1918, s’inscrit...
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LE PARADOXE DEBANACH TARSKI
Teseo Schneider
Université de Neuchâtel
2
Table des matières
1 Introduction 5
1.1 Breve explication de l’axiome du choix . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Exemple illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Biographie de Banach et de Tarski . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Alfred Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Stefan Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Le paradoxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Le paradoxe 11
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Équidécomposabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Exemple bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Décomposition d’un group libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Décomposition de presque toute la surface de la sphère . . . . 17
2.6 Absorbtion du dernier bout de la sphère . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Forme forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 TABLE DES MATIÈRES
3 Considerations sur la preuve 23
3.1 Rapport avec l’axiome du choix . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Consistance mathématique du theoreme . . . . . . . . . . . . 23
4 Conclusion 25
Chapitre 1
Introduction
1.1 Breve explication de l’axiome du choix
L’axiome du choix est un axiome supplémentaire de la théorie des en-
sembles de Zermelo Fränkel.
Sa formulation est :
∀x(x 6= ∅ ∧ a ⊆ P (x) − {∅} ∧ a 6= ∅ ⇒ ∃c(c : a → x ∧ ∀z ∈ a(c(z) ∈ z)))
L’axiome affirme qu’à partir d’une famille non vide d’ensembles on peut
construire une collection qui contient un élément de chaque ensemble de la
famille.
Il a posé beaucoup de problèmes en mathématique parce qu’il permet de
bâtir des ensembles complètement différents de ceux qu’on peut construire à
partir des autres axiomes : ces ensembles (les fonctions de choix) ne sont pas
construits à partir d’une propriété particulaire de ses objets.
La grande justification est de nature technique : beaucoup de théorèmes
sont démontrables (comme le paradoxe de Banach Tarski) seulement à partir
6 Introduction
de cet axiome (certains sont aussi équivalents).
1.1.1 Exemple illustratif
Un exemple qui n’a rien à voir avec les mathématiques mais qui montre
bien la nécessité de disposer d’un tel axiome est le suivant :
On a une famille infinie de pair de chaussures, "ensemble" formé d’une chaus-
sure droite et une gauche. On aimerait construire un ensemble qui contient
toutes les chaussures droites. On voit tout de suite qu’il est assez facile d’écrire
une formule qui nous permet de prendre une chaussure parmi l’ensemble "pair
de chaussures".
Le problème surgit si on substitue l’ensemble des paires de chaussures par
l’ensemble des paires de chaussettes, car les chaussettes ne sont pas distin-
guables. Cela implique qu’on ne dispose pas de critères, de "règle" effective
pour définir le choix à effectuer : sans l’axiome de choix on ne pourrait pas
construire une collection donnée par une chaussette dans chaque "ensemble"
de la famille.
1.2 Biographie de Banach et de Tarski
1.2.1 Alfred Tarski
Il naît le 14 février 1902 a Varsovie, dans une famille juif : Teitelbaum.
Grâce a sa famille il reçoit une excellente éducation dans la Schola Mazowiecki
où il commence a montrer ses passions pur les mathématiques.
En 1915 l’université de Varsovie est à nouveaux ouverte et devient vite
un des grands centre de Mathématique européens ; c’est pour ça que Alfred
1.2 Biographie de Banach et de Tarski 7
Teitelbaum, en 1918, s’inscrit pour étudier la biologie. Dans sa formation
de biologiste il lui arrive de suivre un cours de logique de Lesniewski qui
le convint à se dédier aux mathématiques ; il continue donc sa formation
comme mathématicien et il aura l’occasion de rencontrer beaucoup de grands
mathématiciens.
En 1923 à cause d’un grand mouvement de nationalisme polonais il décide
de se convertir et devenir catholique ; ça a comme conséquence le changement
du nom.
Dans la même année il commence à s’intéresser à la théorie des ensembles
et il y dédie sa thèse de doctorat ; c’est aussi dans cette année qu’il publie
avec Banach le texte qui contient le fameux paradoxe.
Entre 1922 et 1925 Tarski obtient un poste à l’Institut Pédagogique de
Varsovie ; il réussira ensuite à devenir professeur de logique et de mathéma-
tiques à l’université de Varsovie. Malheureusement il n’arrive pas à trouver
un poste à plein temps et alors il complète son horaire en enseignant les
mathématiques aux lycées. En juin 1929 il se marie avec Maria Witkowska.
En 1935 il publie son travail plus important : Concept de vérité dans les
langages des sciences déductives.
En 1939, après avoir cherché un poste à l’université de Lvov, Tarski part
pour les états unis invité par Willard Van Orman Quine et enseigne à l’uni-
versité de Harvard.
Apres avoir enseigné dans plusieurs université américaines il obtient un
poste fixe à l’université de Berkeley en 1942.
En 1945 il obtient le passeport américain. Dans ses derniers années il
continue quand même à voyager : en 1950 il donne des cours à l’University
8 Introduction
College de Londres et en 1955 il enseigne à l’Institut Henri Poincaré de Paris.
En 1983, âgée de 81 ans, il meurt à Berkeley en Californie.
1.2.2 Stefan Banach
Stefan Banach est né le 30 mars 1892 à Ostrowsko près de Cracovie, alors
territoire de l’Empire Autrichien. Abandonné dans sa plus tendre enfance il
est élevé par sa grand mère.
En 1902 il fait ses études primaires et secondaires à Cracovie où il com-
mence à être passionné par les problèmes mathématiques. Ne pensant pas à
une carrière comme mathématicien, en 1910 il s’inscrit à la faculté d’ingé-
nierie à l’université de Lvov en Pologne ; à cause de sa situation economique
il doit financer ses études en donnant des cours privés, c’est pour ça qu’en
1914 il réussit à peine sa formation.
Pendant la guerre, à cause d’un problème a l’oeil, il est réformé et travaille
à la construction de routes et suit des leçons de mathématiques à l’Université
de Cracovie.
Le grand tournant de sa vie arrive en 1916 où Hugo Dyonizy Steinhaus,
en traversant un parc de Cracovie, entend par hasard prononcer les mots
"mesure de Lebesgue" ; c’est ainsi qu’il fait la connaissance de deux jeunes
mathématiciens Otto Nikodym et Stefan Banach. C’a été le début d’une
fructueuse collaboration.
En 1919, à l’initiative de Steinhaus, ils créent la Société de Mathématiques
de Cracovie, transformée en 1920 en Société de Mathématiques de Pologne.
Banach y fait de nombreuses communications. En 1920, il devient assistant de
Lomnicki à l’Université Technique de Lvov et en 1922 passe son habilitation.
1.3 Le paradoxe 9
Il est nommé professeur en 1924.
En 1929, avec Steinhaus, il crée la revue Studia Mathematica consacrée
à l’analyse fonctionnelle. En 1931 commence une série de publications sous
le titre de Mathematical Monographs ; la direction est assurée par Banach et
Steinhaus à Lvov ainsi que par Kuratowski, Mazurkiewicz, et Sierpinski à
Varsovie. Le premier volume est Théorie des opérations linéaires de Banach
qui est considéré l’une de ses plus influentes oeuvres.
La seconde guerre fut une période de difficultés avec les occupations so-
viétiques puis nazis. En 1941 pour survivre il est oblige de nourrir avec son
sang des poux utilisées pour une recherche sur la fièvre typhoïde faite par
Rudolf Weigl. Aussi à cause de ça sa santé dégénère et il tombe malade de
cancer aux poumons.
Finalement en 1944 les russes réussissent à reconquérir Lvov mais c’est
juste trop tard pour être rapatrié ; c’est ainsi qu’il meurt en 1945 en Pologne.
1.3 Le paradoxe
La formulation plus directe et intuitive est :
Proposition. Il est possible de diviser une boule en 10 parties et ensuite
recomposer, sans les deformer, ces parties pour former deux boules identiques
à la première.
Une formulation plus technique pourrait être :
Proposition. Il est possible de couper une boule de R3 en un nombre fini
de morceaux et de rassembler ces morceaux que avec des tranlations et des
10 Introduction
rotations pour former deux boules identiques à la première, à une isométrie
près.
En fait il montre qu’ils existent des morceaux non mesurables, sans quoi
on obtiendrait une contradiction (la longueur, la surface où le volume sont
lie à la mesure).
Il remet en cause notre notion intuitive de volume et donc l’existence de
parties de R3 pour lesquelles la notion de mesure (et donc de volume) n’a pas
de sens. Cela peut paraître aussi "paradoxal" que d’affirmer que l’intervalle
[0, 1] contient "autant" de nombres que R tout entier (il y a une bijection
entre les deux espaces).
La démonstration de ce paradoxe utilise l’axiome du choix, qui a été et est
toujours contesté par certains mathématiciens. Par ailleurs, toute tentative
d’exhiber des ensembles non mesurables utilise cet axiome.
Chapitre 2
Le paradoxe
2.1 Introduction
En regardant la formulation du paradoxe posée dans le chapitre précèdent
on remarque toute de suite que, avant d’entrer dans les détails propres de la
démonstration, il faut expliciter des notions comme "couper", "boules", etc.
Pour ça il faut commencer à définir quelques notions :
Définition. L’ensemble B3 = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 < 1} ⊆ R
3 est appelle
la boule unité ouverte.
Définition. L’ensemble S2 = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1} ⊆ R3 est appelé
la surface de la boule unité.
Définition. Soient A et B deux ensembles tels que A∩B = ∅ ; on appellera
l’union disjointe de A et B, noté AtB, A∪B (la définition est identique à
l’union classique mais elle affirme que l’intersection des deux ensembles est
vide).
12 Le paradoxe
2.2 Équidécomposabilité
2.2.1 Définition
La notion de équidécomposabilité est naturelle pour quelqu’un habitué à
une figure géométrique comme l’ensemble de ses propres points1.
Définition. Soient A et B deux sous-ensembles de Rn on dit qu’ils sont
équidécomposables, noté A ∼ B, s’il existe une famille finie {An}0<n<N et
il existe une famille d’isométries directes (rotationelles et translationelles)
{Φn}0<n<N avec Φn : Rn → Rn tels que :
A = A1 t A2 t · · · t AN et B = Φ1(A1) t Φ2(A2) t · · · t ΦN (AN)
2.2.2 Exemple bidimensionnel
Il suffit de penser au rectangle [0, 2] × [0, 1] ⊆ R2 ; intuitivement on peut
le couper en deux carrés ([0, 1]× [0, 1] et [1, 2]× [0, 1]) un fois un. Le problème
est que le rectangle n’est pas équidécomposable en ces deux carrés (L’union
de ces deux carrés n’est pas vide : il reste la droite {1} × [0, 1]).
Il faut maintenant rappeler la définition d’infini de Dedekind :
Définition. Un ensemble est infini s’il est en bijection avec l’une de ses
parties.
Le problème est devenu maintenant de prouver que [0, 1]× [0, 1] ∼ [0, 1]×
[0, 1[ ; c’est-à-dire "absorber" le segment {1} × [0, 1] dans la décomposition.
Pour ce faire, il faut utiliser les rotations.
1Ce concept est relativement récent, appartenant au XV IIeme siècle ; dans l’axiomati-
sation d’Euclide, la droite et le point sont deux entités séparées.
2.2 Équidécomposabilité 13
Proposition. Le semi group {Φn : n ∈ N} est isomorphe à N, avec Φ :
R2 → R2 une rotation de centre (1
2, 1
2) et d’angle φ pas multiple de π.
Démonstration. En fait Φm = Φn implique que Φm−n = Id ; ce qui veut dire
que Φm−n doit être multiple de 2π. Par choix de l’angle, il n’existe pas de k
tel que π = kφ, donc Φm−n ne peut pas être multiple de 2π.
On considère maintenant le segment S = {1
2}×]0, 1
3] et l’ensemble T =
⋃
n∈NΦn(S). Parce que sur S il n’y a pas de points fixes de Φ, on a que
Φ(T ) = T \ S, et en itérant on obtient Φ3(T ) = T \ (S ∪ Φ(S) ∪ Φ2(S)).
Donc en divisant le segment {1} × [0, 1[ en trois segments isométriques à
S, on a que :
[0, 1]×[0, 1] = [0, 1]×[0, 1]\TtT = [0, 1[×[0, 1]\Tt{1}×[0, 1[t(1, 1)tStΦ3(T )
∼ [0, 1[×[0, 1] \ T t {(1, 1)} t S t Φ(S) t Φ2(S) t Φ3(T )
= [0, 1[×[0, 1] \ T t {(1, 1)} t T
∼ [0, 1[×[0, 1] t {(1, 1)}
De ce résultat on voit qu’il reste seulement le point (1, 1) qui peut être
réabsorbé de façon analogue au segment.
Ce concept est normalement utilisé en géométrie euclidienne bidimension-
nelle pour démontrer les formules des aires des polygones : deux figures sont
équidécomposables si et seulement si elles ont la même aire.
Ce résultat géométrique est apparemment en complète opposition avec le
théorème de Banach Tarski ; mais en R3, par exemple, on a des théorèmes
opposées comme celui de Dehn.
14 Le paradoxe
Proposition. Un tétraèdre et un cube qui ont le même volume ne sont pas
équidécomposables.
Je ne vais pas démontrer ce théorème, car il n’y a pas d’utilité par rapport
au sujet principal, je note seulement que la démonstration nécessite l’axiome
du choix ; la démonstration se base sur l’existence de fonctions additives2 non
linéaires : l’idée est trouver une fonction F qui à chaque polyèdre associe un
réel et tel que si B et C équidécomposent A alors F (A) = F (B) + F (C),
si on trouve cette fonction et elle a deux valeurs distinctes sur le cube et le
tétraèdre le théorème est démontré.
2.3 Décomposition d’un group libre
La démonstration du théorème de Banach Tarski se base sur l’existence
d’un sous-groupe libre génère par deux rotation de R3.
Définition. Soient φ et θ deux rotations de l’espace centrées en l’origine,
soit G l’ensemble de toutes les rotation engendrées par φ et θ (toutes le com-
positions de deux rotations).
Si les seules compositions de rotations qui donnent l’identité contiennent
une rotation et son inverse l’une après l’autre alors G est appelé le group
libre sur φ et θ.
On note une propriété utile et intéressante d’un group libre : chaque
rotation s’écrit de manière unique comme composition des deux rotations
(toujours sous la contrainte de ne pas écrire une rotation et son inverse l’une
2Une fonction f est additive si et seulement si f(x + y) = f(x) + f(y).
2.3 Décomposition d’un group libre 15
après l’autre)3.
Maintenant il s’agit d’expliciter ce groupe libre : si on prend deux rota-
tions au tour des axes x et z d’angle arccos 1
3on engendre le groupe libre ; la
notation matricielle des deux rotations est :
φ =
1
3−2
√2
30
2√
2
3
1
30
0 0 1
θ =
1 0 0
0 1
3−2
√2
3
0 2√
2
3
1
3
On appellera alors G ce groupe libre, une image possible est :
Fig. 2.1 – Une possible image graphique de G
De l’image on voit que G est fractal et auto similaire, on pourra donc le dé-
3Une curiosité : en R2 il n’existe pas de group libre, on a toujours φθ = θφ, mais pour
n > 2 il est toujours possible d’en trouver.
16 Le paradoxe
composer en "copies de lui-même". On appellera {Gx : x ∈ {φ, θ, φ−1, θ−1}}
l’ensemble des éléments de G qui commencent par x.
On a alors clairement : G = {e} t Gφ t Gθ t Gφ−1 t Gθ−1 .
On cherche alors de voir ce que φGφ−1 ; il suffit de prendre la branche qui
lie Gφ−1 à e et la lier à φ. On obtiens alors l’ensemble des composition qui ne
commencent pas par φ ; de là on peut donc décomposer G = Gφ t φGφ−1 et
analogiquement pour θ.
A la fin on a trouvé que G "contient" quatre "morceaux", φ, θ, φ−1, θ−1,
qui peuvent être recomposées, en utilisant des rotations, en deux copies de
G.
Maintenant on a posé et explicité toutes le définitions préliminaires et on
peut donc énoncer le théorème.
2.4 Enoncé du théorème
La boule ouverte B3 est équidécomposable à deux copies d’elle même :
B3 ∼ (B3 t B3)4.
4On remarque tout de suite qu’il y a un abus de langage : B3 ne peut pas être en union
disjointe avec soi-même ; ici on considère que l’union de B3 se fait avec une translation d’elle
même pour avoir l’intersection vide. En fait formellement il faudrait dire : soit Φ : R3 → R3
une translation de norme plus grande que 1, alors B3 ∼ (B3 t Φ(B3)).
2.5 Décomposition de presque toute la surface de la sphère 17
2.5 Décomposition de presque toute la surface
de la sphère
On veut maintenant exploiter ce group libre pour obtenir une décompo-
sition de S2. Pour commencer on considère l’ensemble dénombrable D′ ⊆ S2
de toutes les intersection de S2 avec les axes de rotation des éléments de
G5. On défini aussi D = G(D′), dénombrable pour la même raison que D′,
l’ensemble des images de D′ par toutes les éléments G.
Proposition. Avec ces définitions on a que : soit g ∈ G une rotation, alors
pour tout x ∈ S2 \ D on a que g(x) ∈ S
2 \ D
Démonstration. Etant g une rotation on a tout de suite que g(x) ∈ S2, il
reste donc à voir qu’il n’appartient pas à D.
On suppose par l’absurde que g(x) ∈ D, il existe donc un z ∈ D′ et un
h ∈ G avec g(x) = h(z), ce qui implique que x = g−1h(z) et donc x ∈ D qui
contredit l’hypothèse de la proposition.
Avec cette petite proposition on peut poser une nouvelle définition :
Définition. Soit x ∈ S2 \D on appelle l’orbite de x, noté Orb x, l’ensemble
{g(x) : g ∈ G}.
De cette définition on voit tout de suite que si deux points x et y appar-
tiennent à la même orbite, Orb y = Orb y, s’il existe g ∈ G avec g(x) = y.
Proposition. L’ensemble des orbites est une partition de S2 \ D
5Etant G dénombrable D′ l’est aussi.
18 Le paradoxe
Démonstration. Par l’axiome du choix on peut trouver un ensemble M ⊂
(S2\D) qui contient un seul point pour chaque orbite ; donc pour tout x ∈ M
et pour tout g ∈ G on a que g(x) /∈ M , de plus toute orbite intersecte M6.
Pour terminer la décomposition de S2 il reste à vérifier que les partitions
soient disjointes, pour faire cela il faut poser avant une définition.
Définition. Soit g ∈ G une rotation ; l’ensemble g(M) est l’ensemble de
touts les point de M tourné selon g, l’image de M par g.
Proposition. Soient h et g deux rotation différentes de G alors g(M) ∩
h(M) = ∅.
Démonstration. On suppose par l’absurde qu’il existent x, y ∈ M avec g(x) =
h(y) ; on a alors deux cas :
– Si x = y on aura que x = h−1g(x), mais c’est impossible parce que ça
voudrait dire que x est sur l’axe de rotation de h−1g et donc x ∈ D qui
implique x /∈ M ⊂ S2 \ D.
– Si y 6= x on aura que x = h−1g(y) qui implique directement que x et y
seraient sur la même orbite qui contredit l’hypothèse x, y ∈ M .
Maintenant il ne reste que tirer les conclusions et poser une dernière
définition.
Définition. Si H ⊆ G est un sous-ensemble de G on définit H(M) =⋃
h∈H g(M).
6Pour tout y ∈ S2 \ D ils existent x ∈ M et g ∈ G avec y = g(x).
2.6 Absorbtion du dernier bout de la sphère 19
Donc on a que G(M) = S2\D et par la décomposition de G vu au chapitre
précédent on peut définir les ensembles suivants :
A1 = Gφ(M) , A2 = Gφ−1(M) , A3 = Gθ(M) , A4 = Gθ−1(M)
qui sont deux à deux disjoints et tels que :
A1 t φA2 = S2 \ D , A3 t θA4 = S
2 \ D
On a donc obtenu une copie de S2 \ D en deux copies de lui même ; il
ne reste donc qu’expliciter le résultat dans une forme élégante, mais pour ce
faire il faut poser une autre définition.
Définition. On dit que A � B si A est équidécomposable à un sous-ensemble
de B, s’il existe B′ sous-ensemble de B tel que A ∼ B′ ⊂ B.
Le résultat est alors :
S2 \ D t τ(S2 \ D) � S
2 \ D Où τ est une translation
Pour conclure la décomposition paradoxale de S2 \ D il faut poser un
théorème qu’on ne va pas démontrer.
Proposition. Si A � B et B � A alors A ∼ B.
2.6 Absorbtion du dernier bout de la sphère
On est maintenant arrive à cette décomposition paradoxale :
S2 \ D t τ(S2 \ D) ∼ S
2 \ D Où τ est une translation
20 Le paradoxe
On remarque qu’on a exactement le même problème qu’on a eu avec le
rectangle : il faut réabsorber l’ensemble D qui est dénombrable donc ça ne
va pas poser de problèmes.
Vu que D est dénombrable il existe une rotation γ telle que γn ∩ γm = ∅.
On peut maintenant fixer un axe de rotation et considérer l’ensemble X des
angles entre deux points quelconques de D.
On pose maintenant T = tk∈Nγk(D), on a tout de suite que T = D t
tk∈Nγk+1(D) = T t γ(T ), et donc T ∼ T \ D.
Avec ce résultat on peut donc conclure la décomposition de S2 :
S2 \ D = S
2 \ T t T \ D ∼ S2 \ T t T = S
2
On a donc maintenant la décomposition paradoxale de toute la surface
sphérique ; pour conclure la démonstration du théorème il suffit de décom-
poser B3 en l’ensemble des petits cônes avec comme base les morceaux de
décomposition de S2 et comme sommet l’origine ; avec cette astuce on obtient
la décomposition de B3 \ {0}. A nouveaux il ne reste qu’à absorber l’origine.
Pour ce dernier pas il suffit de considérer une rotation ξ tel que ξn(0) 6=
ξm(0) et considérer l’orbite O = tn∈Nξn(0). Comme avant on obtient T ∼
T \ {0} et donc on obtient facilement la décomposition B3 ∼ B3 \ {0}.
Pour conclure on a donc que :
B3
∼ B3 t τ(B3) Avec τ une translation
qui démontre le théorème de Banach Tarski.
2.7 Forme forte 21
2.7 Forme forte
Maintenant il est très facile de généraliser le théorème de Banach Tarski
en une forme forte.
Proposition. Soient A et B deux ensemble bornés de R3 avec une partie
non vide alors A ∼ B.
Démonstration. Avec la forme faible on a démontré la décomposition de la
sphère mais en itérant le processus on obtient que : B3 ∼ B3 t · · · t B3. Par
le fait que A et B aillent une partie non vide, il existe une boule Bε telle que
Bε ∈ A et Bε ∈ B.
En plus les ensembles sont bornés donc on peut les recouvrir avec un
nombre fini de Bε et donc :
– B � Bε t · · · t Bε ∼ Bε qui implique que B ∼ Bε
– A � Bε t · · · t Bε ∼ Bε qui implique que A ∼ Bε
A partir de ces deux résultats on peut conclure que A ∼ B.
22 Le paradoxe
Chapitre 3
Considerations sur la preuve
3.1 Rapport avec l’axiome du choix
3.2 Consistance mathématique du theoreme
24 Considerations sur la preuve
Chapitre 4
Conclusion
26 Conclusion
Bibliographie
[1] Carl W. Lee. The banach-tarski paradox : How to disassemble a ball the
size of a pea and reassemble it into a ball the size of the sun. 1962.
[2] Emanuele Paolini. Il paradosso di banach tarski. 2001.
[3] Alexandre Reissman. Le paradoxe de banach-tarski. 1994.
[4] Alfred Tarski Stefan Banach. Sur la décomposition des ensembles de
points en parties respectivement congruentes. 1923.
[5] Francis Edward Su. The banach-tarski paradox. 1990.