Le graphène

Effet Hall quantique ultrarelativiste

Conduction quantique et Physique mésoscopique, PC 5 PHY 560B Gilles Montambaux users.lps.u-psud.fr/montambaux 15/02/2016

Découverte en 2004 – prix Nobel 2010 The Nobel Prize in Physics 2010 was awarded jointly to Andre Geim and Konstantin Novoselov "for groundbreaking experiments regarding the two-dimensional material graphene"

Science, 324, 530 (2009)

et autres cristaux bidimensionnels… 2

Structure électronique

Structure 2D “nid d’abeilles” Carbone: 6 électrons 1s2 , 2s2 2p2 hybridation: 1 orbitale 2s et 2 orbitales 2p → 3 orbitales sp2

-3 liaisons σ coplanaires, angle 120°: structure “nid d’abeilles” liaisons covalentes + 1 orbitale 2pz perpendiculaire au plan 1 e de conduction par C Bande demi-remplie

3

Réseau de Bravais triangulaire + 2 atomes par maille

Le réseau «nid d’abeilles» n’est pas un réseau de Bravais

a=1.42 A

t t’ 2a 1a

t=2.8eV t’=-0.2eV

a = C-C distance

1

2

( 3,3)2

( 3,3)2

aa

aa

=

= −

4

K’

K’

M

2a1a

K

* *1 2

1 ( )3

K a a G= ± − +

*2a *

1a

Réseau de Bravais triangulaire + 2 atomes identiques par cellule élémentaire

Γ

Espace réel Espace réciproque

a

4'3 3

K KKa

πΓ = =* 4

3iaaπ

=

*. 2i j ija a πδ=

1ère ZB

Modèle liaisons fortes Intégrale de saut t entre premiers voisins 1 orbitale par atome

'

, '.j j

A Bj j

H t h cϕ ϕ= − +∑

+ théorème de Bloch.... 1 ( ) ( )j j j

A A B Bkcells

ik Re k kN

ψ λ ϕ λ ϕ⋅ = + ∑

t 2a 1a

1 2( ) (1 ) ( )A Bik a ik ak t e e kελ λ− ⋅ − ⋅= − + +

k kH ψ ε ψ= projection sur un état l

Aϕ

1 2( ) (1 ) ( )B Aik a ik ak t e e kελ λ⋅ ⋅= − + +

de même : 6

B

A

( ) ( )k f kε = ±

1 2( ) (1 )ik a ik af k t e e⋅ ⋅= − + +

* ( ) (0

0

( )

( )

)

( ) ( )A A

B B

k k

k

f

k k

k

fε

λ λ

λ λ

=

1/23 3( ) 3 2 cos 3 4 cos cos

2 2x x yk k a k a k aε = ± + +

1/2

1 2 1 2 1 2( ) 3 2 cos ( ) 4 cos ( ) cos ( )2 2

a a a a a ak kk kε − − += ± + +

1/2

1 2 1 2( ) 3 2 cos ( ) 2 cos 2 cos a a a ak k k kε −= ± + + +

Hamiltonien 2x2

7

Largeur de bande 6 tPoints selles t = 2,8 eVà ± ±

Niveau de Fermi en ε=0

1

2

( 3,3)2

( 3,3)2

aa

aa

=

= −

*0 ( )

( ) 0k

f kH

f k

=

1 2( ) (1 )ik a ik af k t e e⋅ ⋅= − + +

( ) ( )k f kε = ±

K K’ 1

23

K a π⋅ = ±

223

K a π⋅ =

* *1 2

1 ( )3

K a a G= ± − +

*2a *

1a( ) 0?kε =

Hamiltonien 2x2

( ) ( )F x yf K q v q iq± + = ± +

2

2

( )( )

x y

x y

mc c p ipH

c p ip mc ± −

= ± + −

Développement autour des points de Dirac

6 -13 10 m.s2F

tac v≡ =

K’ K

K K’

équation de Dirac-Weyl dim. 2 particule relativiste de masse nulle

9

( ) Fq v qε = ±

2 2 2 4( ) p p c m cε = ± +2 zH c p mcσ σ= ⋅ +

A B

p q=

Niveau de Fermi en ε=0

Densité d’états

2 2( )2s v

F

g gv

ερ ε

π=

/ 1( ) d αρ ε ε −∝Rappel : en d dimensions kαε ∝

Thermodynamique, transport

gs =2 dégénérescence de spin gv =2 dégénérescence de « vallée »

1953

F ck nπ=

10

Effet Hall quantique “ultrarelativiste”

11

2n nc e BE = ±

Graphène

Niveaux de Landau doublement dégénérés (dégénérescence de vallée)

McClure, 1956

Gaz 2D

12nE n

me B = +

12

13

Evidence expérimentale : mesure de densité d’états par STM

G. Li , E. Andrei, Nature Physics, 3, 623 (2007) G. Li, A. Luican, , E. Andrei, Phys. Rev. Lett (2009)

IR transmission spectroscopy

Sadowski et al., PRL 97, 266404 (2006) Jiang et al., PRL 98, 197403 (2007)

2n nc e BE = ±

3 2

11

2

2

1+

+

−

E∆ ∝

Graphene Gaz 2D

0

1

2 3

1

-1

3 5

-3

Niveaux de Landau doublement dégénérés (dégénérescence de vallée)

15

2

xy sei gh

σ = 2 21

2(2 1) ( )xy s s v

e ei g i g gh h

σ = + = +

2n nc e BE = ± 12nE n

me B = +

−5

i=1

−1

3 5

−3

i=0

1

2 3

2

xy sei gh

σ = 2 21

2(2 1) ( )xy s s v

e ei g i g gh h

σ = + = +

Gaz 2D graphène

16

Effet Hall quantique “ultrarelativiste”

2005, Novoselov, Geim et al. ; Kim, Stormer

212

( )xy s vei g gh

σ = +

particules massives

* Effet Hall quantique “demi-entier” * Température ambiante

17

2 0 ( )42FE v e B B KT= =

* 2 ( ) 0 Km

E B B Te=

=

Echelles caractéristiques

Fermions de Dirac

2 212

(2 1) ( )xy s s ve ei g i g gh h

σ = + = +

18

Le graphène... Premier cristal parfaitement bidimensionnel Structure de bande particulière, deux atomes par maille Mauvais métal ou semi-conducteur à gap nul Relation de dispersion linéaire près du niveau de Fermi Particules sans masse, avec une vitesse élevée La fonction d’onde a un degré de liberté interne (A,B) qui ressemble à un spin 1/2 Propriétés thermodynamiques et de transport nouvelles Effet Hall quantique particulier Forte dépendance des propriétés de transport en fonction de la nature du substrat Importance de la nature des bords pour les rubans de graphène Transport quantique (antilocalisation faible) Propriétés mécaniques, optiques, etc.

19

Le graphène « bicouche »

Empilement « A-B » ou « Bernal »

20

21

Nouveaux matériaux 2D

K. Novoselov